陕西科技大学：线性代数（吴明鑫）：li1

3 4 5
3 4 5
13 25
13 25
( 35 )
13 25 3 4 5
3 4 5
( 35142 )
13 25 31 44 52
5 de t ( ),
( 1 )
1,2,4
( 1 )
:
ij
p p p
ppp
D a a a
aa
a a a a a
p p p
a a a a a
写 出 阶 行 列 式 中 包 含 并带 正 号 的 所 有 项,
含 有 的 项 共 有 六 项,
其 中 是 三 个 数 的 任 一 排 列,但 正项 只 有 以 下 三 项,
例 1.
解
( 35214 )
13 25 32 41 54
( 35421 )
13 25 34 42 51
( 1 )
( 1 )
a a a a a
a a a a a
一、利用定义计算行列式
12
12
12
(,.,)
12
...
( 23..,1 )
( 1 )
0 1 0,.,0
0 0 2,.,0
,..,..,..,..,..
0 0 0,.,1
0 0,.,0
( 1 ),..
( 1 ) 123...( 1 )
( 1 ) !
:
n
n
n
n
p p p
n p p np
p p p
n
n
D
n
n
D a a a
nn
n



计 算由 行 列 式 的 定 义 可解 知例 2.
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
11
11
4
22
22
()
4 1 2 3 4
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
1 2 2 1 1 2 2 1
00
00
00
00
( 1 )
( ) ( )
:
p p p p
p p p p
p p p p
ab
cd
D
ab
cd
D a a a a
a c b d a d b c b d a c b c a d
a b a b c d c d



计 算由 定 义 可解 知例 3.
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
4
0 1 2 3
()
4 1 2 3 4
32
3 2 1 0
4 3 2
3 2 1 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
( 1 )
()
:
p p p p
p p p p
p p p p
x
x
D
x
a a a x a
D a a a a
x x a a x a x a
x a x a x a x a



计 算例 4.
义由 定 可解 知注,由行列式的定义可知，对于 n阶行列式而言，当行列式中零的个数多于 n2-n时，该行列式的值一定为零。
1 2 3
2 2 3 3
( 1 )
2( )
2( )
2( )
11
2( ) 1 2( ) 0
10
2( ) ( ) 2
:
()
c c c
x y x y
y x y x
x y x y
x y x y x y y x y
y x y x x y x y x
x y x y x y x y
y x y y x y
x y x y x x y x y
x y x y x
x y x x y y x y








计 算 下 面 行 列 式 的 值例 5.
解二、利用性质 1计算行列式
...
...
( 2)
...,..,..,..,..
...
..,1,..
..,1,..
[ ( 1 ) ]
...,..,..,..,..,..,..,..,..,..
..,1
1,..
0 0,.,0
[ ( 1 ) ]
...,..,..,..,..
0 0 0,..
:
a b b b
b a b b
b b b a
a b b b b b b
b a b b a b b
a n b
b b b a b b a
b b b
ab
a n b


解
( 1 )
[ ( 1 ) ] ( )
n
ab
a n b a b

1
2
12
11
2
2
2
1 2 3
1
1 1,.,1
1 0,.,0
(3 ) (,.,0)
...,..,..,..,..
1 0 0,..
1
0 0,.,01 1,.,1
1 0,.,0
1 0,.,0
...,..,..,..,..
...,..,..,..,..
1 0 0,..
1 0 0,..
1
..
:
,( 1 )
n
n
n
i i
n
n
n
n
i i
a
a
a a a
a
aa
a
a
a
a
a
a a a a
a

解
1
2
12
11
2 1 2
1
1
1
2
12
1 1 1,.,1
1 1 1,.,1
( 4) (,.,0)
...,..,..,..,..
1 1 1,.,1
1 1 1,.,1 1 1 1,.,1
1 1 1,.,1 0,.,0
...,..,..,..,..,..,..,..,..,..
1 1 1,.,1 0 0,..
1 0 0,.,0
0,.,0
...,..,..,..,..
:
n
n
nn
n
i i
a
a
a a a
a
aa
a a a
a a a
a
a
a
aa




解
1
1 2 3
2
1
1 2 3
1
1
( 1 ),..
( 1 ),..
0 0,..
n
n
i i
n
n
i i
n
a
a a a a
a
a
a a a a
a
aa


21
3 1 3 2
434 1 4 2
0 1 2 1 4
1 1 1 1
1 4 4 2 6
1 2 3 4
( 1 ) ( 2) 3 3 1 2 1
1 3 6 10
2 1 0 3 5
1 4 10 20
1 3 5 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3
1
1 3 6
:
10 0 1 3 6 0 0 1 3 0 0 1 3
1 4 10 20 0 1 4 10 0 0 1 4 0 0 0 1
rr
r r r r
rrr r r r



计 算 下 面 行 列,式例 6
解
3 4 2 3
4 2 5 5 3
13
0 1 2 1 4 0 1 2 1 4 0 1 2 1 4
1 4 4 2 6 1 4 4 2 6 0 6 5 1 2
( 2) 3 3 1 2 1 1 2 1 1 4 1 2 1 1 4
2 1 0 3 5 0 8 9 6 13 0 8 9 6 13
1 3 5 1 2 1 3 5 1 2 0 5 6 0 2
1 2 1 1 4 1 2 1 1 4 1 2 1 1
0 6 5 1 2 0 0 7 7 22
0 1 2 1 4 0 1 2 1 4
0 8 9 6 13 0 0 7 14 19
0 5 6 0 2 0 0 4 5 22
r r r r
r r r r r
rr











4
0 1 2 1 4
0 0 7 7 22
0 0 7 14 19
0 0 4 5 22



1 2 0 1 4 1 2 1 1 4 1 2 1 1 4
0 1 1 1 4 0 1 2 1 4 0 1 2 1 4
0 0 0 7 22 0 0 0 7 22 0 0 1 5 22
0 0 7 14 19 0 0 0 21 135 0 0 0 7 22
0 0 1 5 22 0 0 1 5 22 0 0 0 21 135
1 2 1 1 4
0 1 2 1 4
4830 0 1 5 22
0 0 0 7 22
0 0 0 0 69







...
...
,..
...,..,..,..,..
...
0,.,0 0
0,.,0 0
0 0,.,0 0
...,..,..,..,..,..
0 0 0,..
..,0 0
0,.,0 0
,..,..,..,..,..
0 0,..
0 0,.,0
n
n
n
x y y y
z x y y
D z z x y
z z z x
x z y x
x z y x
xz
D
x z y x
z z z z z x
x z y x
xz
x
x z y x
xz





按 最 后 一 列 展 开例解,
计 算7.
1?
1
1
1
..,0 0
0,.,0 0
( ),..,..,..,..,..
0 0,..
...
..,0 0
0,.,0 0
( ) ( ),..,..,..,..,..
0 0,..
1 1,.,1 1
n
n
n
x z y x
xz
yx
x z y x
z z z z
x z y x
xz
x x z z y x
x z y x






1
1
2
..,0 0
0,.,0 0
...,..,..,..,..
0 0,..
1 1,.,1 1
2,.,0 0
2,.,0 0
...,..,..,..,..
0 0,.,2
0 0,.,0 1
2,.,0 0
2,.,0 0
...,..,..,..,..
0 0,.,2
0 0,.,2
n
n
n
x z y x
xz
x z y x
x y z y x
z x x y z
x y z y x
x y z y x
z x x y z
x y z y x
z x x y z









而
1
...
...
,..
...,..,..,..,..
...
0 0,.,0
0,.,0
0,.,0
...,..,..,..,..,..
0 0 0,..
0 0 0,..
0,.,0 0
..,0 0
...,..,..,..,..
0 0,.,0
0 0,..
n
n
x y y y
z x y y
D z z x y
z z z x
x y y
z x x y y
z x x y y
x y y
z x x
xy
z x x y
x
xy
z x x y





按 最 后 一 行 展 开又
1
1
1
0,.,0
..,0
( ),..,..,..,..,..
0 0,..
0 0,..
0,.,0 1
..,0 1
( ) ( ),..,..,..,..,..
0 0,.,1
0 0,.,1
n
n
n
x y y
z x x y y
zx
x y y
z x y
xy
z x x y
x x y y z x
xy
zx




1
1
2
0,.,0 1
..,0 1
...,..,..,..,..
0 0,.,1
0 0,.,1
2,.,0 0
2,.,0 0
...,..,..,..,..
0 0,.,2 0
0 0,.,1
2,.,0 0
2,.,0 0
...,..,..,..,..
0 0,.,2
0 0,.,2
n
n
n
xy
z x x y
xy
zx
x y z y x
z x x y z
x y z
zx
x y z y x
z x x y z
x y z y x
z x x y z








而
2
1
2
1
2
1
1
2,.,0 0
2,.,0 0
...,..,..,..,..
0 0,.,2
0 0,.,2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 ( ) ()
1 ( )
(
n
n
nn
n
nn
n
n nn
n
x y z y x
z x x y z
D
x y z y x
z x x y z
D x x z z y x D
D x y x y z x D
x x z z y x
x y x y z x x y x z x z y x
D
z y x x z y
y z x
yx










记
) ( )
()
nn
z z y x
zy

1 5 3 3
0 10 5 5
0 16 10 11
0 21 9 11
1 5 3 3 1 5 3 3
0 2 1 1 0 1 1 1
5 ( 5 )
0 0 2 3 0 0 2 3
0 1 1 1 0 2 1 1
1 5 3 3
1 5 3 3
0 1 1 1
0 1 1 1
( 5 ) ( 5 ) 550 0 2 3
0 0 2 3
11
0 0 3 00
8.
1 0
2
D
D








计 算例解,
12
()
1
...
...
...,..,..,..
...
1 1,.,1
...
[ ( 1 ) ]
...,..,..,..
...
1 1,.,1
0,.,0
[ ( 1 ) ]
...,..,..,..
0 0,..
[ ( 1 )
9.
] ( )
n
n
r r r
n
n
x a a
a x a
D
a a x
a x a
D x n a
a a x
xa
x n a
xa
x n a x a




L
计 算例解,
1
22
2,...,
22
1 2 3,..
2 1 0,.,0
3 0 1,.,0
...,..,..,..,..
0 0,.,1
2 3,..
0 1 0,.,0
1 ( 2,.,)0 0 1,.,0
...,..,..,..,..
0 0 0,.,1
1 ( 2,.,)
10.
j
n
c j c
n
jn
n
D
n
tn
Dn
tn



例解,
计 算其 中
1
2
11 12 13 1
1
1 2 3,..
1 2 0,.,0
1 0 3,.,0
...,..,..,..,..
1 0 0,..
11
:
,..
1 2 3,.,1 ( 1 ) 2 3,..
0 2 0,.,01 2 0,.,0
0 0 3,.,01 0 3,.,0
...,..,...,..,..,..,..
1 0 0,..
n
j
j
n
n
cc
j
n
n
D
n
A A A A
n nn
D
n



设 行 列 式求 第 一 行 各 元 素 的 代 数 余 子 式 之 和例,
解
..,..,..
0 0 0,..
( 2 ) !
n
nn
三、利用性质 2计算行列式
11 12 1 ( 1 ) 1
11 12 11 13 11 14
11 1 ( 1 ) 11 1
11 1
11 12 1 ( 1 ) 1
2,.,( 1 )
( 2 ) !
2 0 3 0 4 0
..,( 1 ) 0 0
!
!,( 2,3,...,)
1 1 1
..,! ( 1,.,)
23
nn
nn
i
nn
A A n A nA
nn
A A A A A A
A n A A nA
n
A n A i n
i
A A A A n
n






又,
，,
，,
因 而 有注,利用行列式按行 (列 )展开式的性质，来计算行列式的元素的代数余子式的各种问题。
4
14 24 34 44
14 24 34 44
0
1
1
12
0
1
1
a b c d
c b d a
D
d b c a
a b d c
A A A A
a b c
c b d
A A A A
dbc
a b d


设 四 阶 行 列 式则例,
解,
13
43
4
33
4
2
3 1 1 2
5 1 3 4
2 0 1 1
1 5 3 3
5 1 1 1
5 1 1
11 1 3 1
( 1 ) 11 1 1
0 0 1 0
5 5 0
5 5 3 0
5 1 1 5 4 1
41
5 11 1 1 5 11 12 1 5 40
1
3
21
1 1 0 1 0 0
:
cc
cc
D
D







求 四 阶 行例 1,式 的 值解列计算行列式时，把高阶行列式化为低阶行列式来计算也是非常有效的方法。
2 1 1
3 1 2
11
12
2 2 2
12
1 1 1
12
2 1 1
12
2 2 1 1
22
2 2 1 1
1 1,.,1
...
,..
...,..,..,..
...
1 1,.,1
0,..
0 ( ),.,( )
...,..,..,..
0 ( ),.,( )
:
nn
n
nn
n n n
n
r x r
r x r
r x r
n
n n n
nn
nn
x x x
D x x x
x x x
x x x x
D x x x x x x
x x x x x x





例 11.
解计 算 范 德 蒙 行 列 式 的 值
2
21
22
2
1 1,.,1
0 1,.,1
0,.,( )
...,..,..,..
0,..
ni
in
nn
n
xxxx
xx


2
23
2 2 2
1 2 2
2 2 2
23
2
11
34
1 2 2 2 3 3
1
3 2 2 2 1
1
1 1,.,1
...
( ),..
...,..,..,..
...
()
( ) ( ),..
11
()
( )
n
in
in
n n n
n
in
in
n i n n i n
i n i n
n
i n n n
nn
in
n i j
n i j
x x x
x x x x x
x x x
x x D
D x x D D x x D
D x x D D x x
xx
D x x











所 以,,,
，
所 以
1
12
2 2 2
12
2 2 2
12
12
12
2 2 2 2
12
2 2 2 2
12
1 1 1 1
12
12
1 1,.,1
...
,.,
...,..,..,..
...
,..
1 1,.,1 1
...
...
...,..,..,..,.,( )
...
...
.
n
n
n
n n n
n
n n n
n
n
n
n n n n
n
n n n n
n
nn
x x x
x x x
D
x x x
x x x
x x x x
x x x x
fx
x x x x
x x x x
xx



计 算 行 列 式 的 值解,数例构 造 函
12.
..
nn
n
xx
12
1
1
,1
,1,1
1
,1 1 2
1
12
:
( ) ( ) ( ),..( ) ( )
()
()
(,.,) ( )
(,.,) ( )
n i j
n i j
n
n n n
n n n n n
n
n n n i j
n i j
n n i j
n i j
f x x x x x x x x x
D f x x M
D M A
f x x
A x x x x x
D x x x x x








由 范 德 蒙 行 列 式 可 得而 恰 好 是 的 元 素 的 余 子 式即,
而 中 的 系 数 为
1?
11
0,.,0 0
1,.,0 0
0 1,.,0 0
...,..,..,..,..,..
0 0 0,.,1
( )
1,;
:
,;
1
n
nn
n
a b ab
a b ab
D ab
ab
ab
ab
ab
n
nk
nk




例 13.
证 明试 证 阶 行 列 式当 时 上 式 显 然 成 立当 时 假 设 上 式 成 立当 时
1
1
1
11
22
0,.,0 0
1,.,0 0
0 1,.,0 0
...,..,..,..,..,..
0 0 0,.,1
( )
( )
.
k
k
kk
k k k k
kk
a b ab
a b ab
D ab
ab
a b D abD
a b a b
a b ab
a b a b
ab
ab







故 原 命 题 得 证利用不完全数学归纳法来计算行列式，也是计算行列式的常用方法。
2
2
22
22
2
2 0,.,0 0
1 2,.,0 0
0 1 2,.,0 0
...,..,..,..,..,..
0 0 0,.,1 2
0,.,0 0 0,.,0 0
1 2,.,0 0 0 2,.,0 0
0 1 2,.,0 0 0 1 2,.,0 0
...,..,..,..,..,..,..,..,..,..,..,..
0 0 0,.,1 2 0 0 0,.,1 2
1 0,.,0 0
12
4.
1
n
n
aa
aa
D a
a
a a a a
a a a a
D aa
aa
a
aa
a

求例解,
1
..,0 0
0 1 2,.,0 0
...,..,..,..,..,..
0 0 0,.,1 2
n
aDa
a
2
11
1
1 1 2
32
3 2 2
1 0,.,0 0
0,.,0 0
0 1 2,.,0 0
...,..,..,..,..,..
0 0 0,.,1 2
...,.,3
( 1 )
n
nn
nn
n n n n
n
n
a
aa
a aD a aDa
a
D a aD D a aD
D a aD D a
D n a






所 以,,
，,
故
1
1
2 c os 1 0,.,0 0
1 2 c os 1,.,0 0
0 1 2 c os,.,0 0
...,..,..,..,..,..
0 0 0,.,1 2 c os
si n( 1 )
si n
1 2 c os
1
2 c os 1 0,..
5
k
a
a
a
a
na
a
n D a
nk
nk
a
D


证 明当 时,,结 论 成 立 ；
当 时,假 设 结 论 成 立 ；
当 时,
则,
例 1.
证 明,
1
00
1 2 c os 1,.,0 0
0 1 2 c os,.,0 0
...,..,..,..,..,..
0 0 0,.,1 2 c os
k
a
a
a
1
1
2 c os 1,.,0 0
1 2 c os,.,0 0
2 c os
...,..,..,..,..
0 0,.,1 2 c os
2 c os 0,.,0 0
1 2 c os,.,0 0
...,..,..,..,..
0 0,.,1 2 c os
2 c os
si n( 1 ) si n
2 c os
si n si n
si n( 2) si n si
si n
k
k
kk
a
a
a
a
a
a
a
aD D
k a k a
a
aa
k a k a
a




n si n( 2)
si n si n
k a k a
aa
▌
1 2 3
4 5 6
( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 3 )
12
( 1 2 ) ( 2 3 )
4
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
2 1 0 0
1 2 1 0
0 1 2 1
0 0 1 2
2 1 2 0 2 0
3 2 0
1 2 1 1 1 0
1 0 1 0 0 0
1 0 0
2 1 2 0 1 0
2 1 1 1
( 1 ) 3 ( 1 ) 2
1 2 0 2
01
( 1 ) 0
02
3
D
M M M
M M M
AA
A
D M A M A M A M A M A








求
，
例 1
：
，
解
，
6
，
.
，
3 2 ( 2) 1 0 5
2
11
2 ( 1 )
2
( 2 1 )
...,..
...,..
2
0
...
( 1 )
0
0,..
1.
0
7
n
n
n
n
ab
ab
ab
D
cd
cd
c d n
D
Da
d

例解,
计 算
12
2 ( 1 )
( 2 1 )
( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) 1
2 ( 1 ) 2 ( 1 )
1
2 ( 1 ) 2
22
0
...
( 1 )
0
0,.,0
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
( ),.,( )
( )
n
n
n
n n n
nn
n
n
n
n
D
b
c
ad D bc D
ad bc D ad bc D
ab
D ad bc D ad bc
cd






1
1
( 1 ) 1 1
2
1
2
11
1 2 2
1 0 3 3
...,..,..,..,..
1 0 0,.,1 1
1 0 0,.,0
( 1 ) ( 1 ) !
( 1 ) ( 1 ) ( 1 1 ) ! ( 1 ) ( 1 ) !
!!
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
1
......
19.
n
n
nn
nn
n
nn
n
D
nn
n
D nD n
n n D n n
nn
n n D
nn






计 算例解,
41
2
23
2
2 3 4 1
! ! !
( 1 ),.,3 ( 1 ),.,( 1 ) ( 1 )
31
11
2 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) 1
12
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
( ! ),.,
1 2 3
nn
n
n
n n n
n n D
nn
D
Dn
n





1 1 2 1 3 1 4 1
1 2 3 4
2 4 3 1
4 1 3 2
1 4 3
20
2
,D A A A A设例,求
1 1 2 1 3 1 4 1
1 2 3 4
1 4 3 1
0
1 1 3 2
1 4 3 2
A A A A解,
1 1 2
1 2 2
12
12
1 1 2
1 2 2
12
...
...
...,..,..
...
1,..
0,..
0,..
...,..,..,..
0,..
22.
n
n
n
nn
n
n
n n
nn
a b a a
a a b a
D
a a a b
a a a
a b a a
D a a b a
a a a b

计 算边解 加 法例采 用：
1 2 1 2
11
22
12
1 2 1 2
12
1,..,..
1 0,.,0 0 0,.,0
1 0,.,0 0 0,.,0
...,..,..,..,..,..,..,..
1 0 0,.,0 0 0,..
...,.,1,..
nn
nn
n
nn
n
a a a t a a a
bb
bb
bb
a a a
t b b b b b b
b b b





1 2 3
1 2 3
1 2 3
2
2
0
0
0
11
1 1 ( 2) ( 1 ) 0
11
2.
2 1
x x x
x x x
x x x
D
or







已 知 线 性 方 程 组 有 非 零解,
解,求例