线性空间中两种运算的 8 条运算规律缺一不可，要证明一个集合是线性空间必须逐条验证．
若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构成线性空间，只需说明在两个封闭性和 8 条运算规律中有一条不满足即可．
一、线性空间的判定
,,
:
,,,.
,,,,
1,.,,,
0,0,0,.
0,0,.
k
k
RR
R
a b a b abR
a k R k a aR
RR
a b k l RR R R
a b a b ab a b R
a k a k aa R
o
Q
Q
Q o o
设 是 全 体 正 实 数 集 合 是 实 数 集 合 在上 定 义 了 两 种 运 算加 法 对 任 意数 量 乘 法 对 任 意判 断 对 这 两 种 运 算 是 否 构 成 数 域 上 的 线 性空 间即解,任 取例,1
R 对 于 上 述 定 义 的 加 法 和 数 量 乘 法 运 算 是 封闭 的 。
( 1 ) ;
( 2) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ;
( 3 ) 1,1 1,1 ;
1 1 1 1
( 4) 0,0,,1
1
( ) ;
( 5 ) ( )
k l k l
a b ab ba b a
a b c ab c ab c a bc
a bc a b c
a a aRR
a a aR
a a a a
a
a
k l a a a a
Q
o
是 中 的 零 元 素即零 元 的 负 元 素 是;
kl
k a l aaaoo
1
( 6) ( ) ( ) ( )
( ) ;()
( 7 ) ( ) ( ) ()
( ) ( ) ( ) ( ) ;
( 8 ) 1
.
lkkl
kl
k
k kk
k l a a aa
k l ala
k a b k ab ab ab
k a k b k a k b
aa a
RR
o
ooo
oo
o o o o
o
对 上 述 定 义 的 加 法 和 数 量 乘 法 构 成 上的 线 性 空 间
T
12
T
T T2
,
0 (,,...,)
| 0
,.
,,.
( ) ( ) 0()
,
n
n
n
n
n x x x
k
k k k
例 2,
Q
A
X A X X
R
V X R X A X
0 V V
X V X V
X A X A XX
X Y V X Y V V
设 为 阶 实 对 称 矩 阵 问 在 什 么 条 件 下 满足 的 维 实 向 量 构成 的 子 空 间令显 然 若 则即又 若,只 要 即 就解,
是 子 空 间,
二、子空间的判定
T
T T T T
T
T
( ) ( )
2 0,
,0.
n
X Y A X Y
X A X X A Y YAX YAY
XAY
VR
X Y V X A Y
而
故 构 成 的 子 空 间 的 条 件 是,对 于 任 意 的
,都 有
2
2
22
2
1 2 3
1 2 3 2 3 3
1,1,( 2) ( 1 ) []
1
( 1 ) 3[ ] [ ]
1,1,( 2) ( 1 ),[]
1 ( 1 ) ( 2) ( 1 ) 0.
2 ( 3 )
x x x Rx
x x
R x R x
x x x Rx
x x xk k k
xk k k k k
例 3,证 明 是 的 一 组基,并 求 向 量 在 该 基 下 的 坐 标 。
解,因 为 是 维 线 性 空 间,所 以 中任 意 三 个 线 性 无 关 的 向 量 都 构 成 它 的 一 组 基 。
令,
整 理 得
2
3
0kx?
三、求向量在给定基下的坐标
1 2 3
23
3
1 2 3
2
20
3 0
0
1 1 2
0 2 3 2 0.
0 0 1
0
1 ( 1 ) ( 2) ( 1 )
1 ( 1 ) ( 2) ( 1 ) [ ]
k k k
kk
k
D
k k k
x x x
x x x Rx
比 较 等 式 两 边 得,
其 系 数 行 列 式 为故 方 程 组 只 有 零 解,即,于是,,线 性 无 关,所 以
、,是 的 一 组 基 。
2T
1 2 3
2
1 2 3
2 2
1 2 3 2 3 3
1 2 3 1
2 3 2
33
2T
2
( 2) 1 (,,)
1 1 ( 1 ) ( 2) ( 1 )
1 ( 2 ) ( 3 )
21 3
3 1 4
11
1 ( 3,4,1)
1 3 4( 1 ) (
x x a a a
x x a a x a x x
x x a a a a a x a x
a a a a
a a a
aa
xx
x x x x
设 在 给 定 基 下 的 坐 标 为则 有整 理 得比 较 系 数所 以 在 给 定 基 下 的 坐 标 为即 2) ( 1 ),x
2
2
2
2
2
2
( 1 ) 1 [ ],1 1
( 2) ( 1 ) [ ],
1 1 0 0 1
1 1 1 0
( 2) ( 1 ) 2 3 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1
1 3 1 ( 2) ( 1 )
1 1 1 ( 2) ( 1 ),
x x x x
x x x
xx
xx x
xx
xxx
x x x x x
R
R
已 知,,是 的 一 组 基 又证 二,,,
且
又即,,可 以 由,,线 性 表 示 所以 两
2
2
,,1,,
,1 1 ( 2) ( 1 ),
1 1 ( 2) ( 1 ) [ ],
x x
x x x
x x x x
R
个 向 量 组 等 价 故 有 相 同 的 秩 而 线 性 无关 因 此,,也 线 性 无 关 从 而
、,是 的 一 组 基
1
2
2
3
22
2
1
22
2
3
( 2) 1 ( 1 1 ( 2) ( 1 ) )
1
1 ( 1 ) 1
1
1 1 2
( 1 1 ( 2) ( 1 ) ) ( 1 ) 0 1 3
0 0 1
1 1 1 2
( 1 ) 1 ( 1 ) 0 1 3
1 0 0 1
a
x x x x x a
a
x x x x
x x x x x
a
x x x x a
a
设又所 以
1
1
3
2
2
1 1 2 1 1 1 1 1 3
0 1 3 1 0 1
1 3 4( 1 ) ( 2) ( 1 )
3
3 1 4
0 0 1 1 0 0 1 1 1
( 1,1,( 2) ( 1 ) ) 4,
1
a
x x x xx
a
x x x
a
故因 此
3
T T T
1 2 3
1
2 3 1 2 3 1 2 3
( 1 0 0),( 1 1 0) ( 1 1 1 )
1 1 0
0 1 1
0 0 1
25
.
R
a a a
Ab
b b a a a a b b b
在 中,求 由 基
,
通 过 过 渡 矩 阵 所 得 到 的 新 基,
,,并例 4.
求 在 基,,下 的表 达 式四、由基和过渡矩阵求另一组基
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 1 3 2
T T T
1 2 3
1 2 3 1 2 3
,
1 1 0
( ) (,,0 1 1
0 0 1
(,,)
( 1 0 0),( 0 1 0),( 0 0 1 )
1
2 5 (,,2
5
b b b
b b b a a a
a a a a a
b b b
a a a a a a a
设 欲 求 的 新 基 为,,由 题 设 有
,,)
所 以是 所解求 的 新 基,
)
：
1
1 2 3 1 2 3
1
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 1 0
(,,( ) 0 1 1
0 0 1
1 1 1 0 1
(,,2 ( ) 0 1 1 2
5 0 0 1 5
1 1 1 1 2
( ) 0 1 1 2 ( ) 3
0 0 1 5 5
2 3 5
a a a b b b
a a a a b b b
b b b b b b
b b b
而 ),,
),,
,,,,
4
TT
11
TT
2 2
T T
3 3
T T
4
4
1 2 3 4 1 2 3 4
( 1,2,3,4) ( 1,2,1,0)
( 2,1,4,3 )( 1,1,0,0)
( 1,1,2,1 ) ( 3,4,1,2)
( 0,1,1,1 ) ( 4,3,2,1 )
,,,,,,
R
βα
βα
βα
βα
β β β βα α α α
设 的 两 组 基求 由 基 到 基 的 过 渡 矩 阵 并 写出 相 应 的 坐 标 变 换 公 式例 5.
.
五、过渡矩阵的求法
1 2 3 4
1 1 1 0
2 1 1 1,,,
1 0 2 1
0 0 1 1
A α α α α解,
1 2 3 4
1
1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4
2 1 4 3
,,,
3 4 1 2
4 3 2 1
,,,,,,
1 1 1 0 1 2 3 4 1 1 1 0 1 2 3 4
2 1 1 1 2 1 4 3 0 1 3 1 0 5 10 5
~
1 0 2 1 3 4 1 2 0 1 3 1 4 6 2 2
0 0 1 1 4 3 2 1 0 0 1 1 4 3 2 1
1 1 1 0 1
0 1 3 1
~
0 0 0 2
0 0 1 1
B β β β β
β β β β α α α α AB由 于
31
22
1 2 3 42 3 4 1 1 1 0
0 5 10 50 5 10 5 0 1 3 1
~
4 3 2 14 1 8 3 0 0 1 1
244 3 2 1 0 0 0 1
17 9
22
55
22
31
22
17 9
22
1
55
22
31
22
11
22
1 2 3 4 1 2 3 4
33
44
T
1 2 3 4
11 71 0 0 0
16 13 12 110 1 0 0
~
620 0 1 0
0 0 0 1 24
11 7
16 13 12 11
62
24
,,,,,,
,,,
yx
yx
yx
yx
y y y y
P A B
α β β β β α α α α
P
所 以 过 渡 矩 阵设
T
1
1 2 3 4
,,,x x x x
223
1 2 3 1 2 3 3
1 2 3
.
( 1 ),( ),
,.
( 2),(,,) (,,),
,(,,),
VV
V
x x x x x x xR
V x x x
判 断 下 列 变 换 是 否 为 线 性 变 换在 线 性 空 间 中 定 义 其 中 是 中任 意 向 量 是 中 一 个 固 定 的 向 量在 中 定 义 其 中 任意例 6.
六、线性变换的判定
( ) ( ) ( )
( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k
kk
kk
VV
VV
(1) 对 于,,由 于 是 线 性 空 间,所以,且
，,,
,显 然,只 有 当 时,这时 才 有,
解,
3
1 2 31 2 3
1 2 3 1 1 2 2 3 3
1 2 3
2 2 2 2
1 2 3 3
22
1 2 3 3
0
(,,)( 2) (,,)
(,,) (,,)
( ) (,,)
(,( ),)
(,,
y y y Rx x x
k k x k x k x x y x y x y
k k x k x k x
k x k x x k x
k x x x x
V即 当 时,是 上 的 线 性 变 换,否 则 不 是,
设,,则
，
所 以,
3
) ( )
.R
故 不 是 上 的 线 性 变 换
1 2 3
4
,
( ),
( 1 )
( 2),( ) ( ) ( )
1 0 0 1 0 0
( 3 ),,,
0 0 0 0 1 0
00
.
01
R
ab
V
cd
E E E
E
A
x A x xA x V
x y V xy x y x y
V
全 体 二 阶 实 矩 阵 构 成 实 数 域 上 的 线 性 空 间,
取 固 定 实 数 矩 阵 在 中 定 义 一 个 变 换,
,其 中 是 中 任 意 向 量证 明 是 一 个 线 性 变 换 ；
证 明 对 任 意,恒 有在 中 取 一 组 基
,写 出 在 该例,
基 下 的 矩 阵
7
七、有关线性变换的证明
( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ] [ ] ( ) ( )
( 2) ( )
k l k l k l
k l k l
k l k l
x y V
x A x xA y A y y A
x y A x y x y A
A x A y xA y A
A x xA A y y A x y
xy A xy xy A A xy xA y xA y xy A
(1) 设,,则
，
所 以 是 一 个 线 性 变证 明,
换 ；
1 1 1
23
( ) ( ) ( ) ( )
( 3 ) ( )
1 0 1 0
0 0 0 0
0
0
a b a b
c d c d
b
bc
c
A x xA y x A y y A x y x y
E A E E A
EE
2 2 2
1 2 4
3 3 3
1 3 4
4 4 4
23
0 1 0 1
()
0 0 0 0
( )
0
0 0 0 0
()
1 0 1 0
0
( )
0 0 0 0
()
0 1 0 1
0
0
a b a b
c d c d
c a d
c a d c
c
a b a b
c d c d
b
b d a b
d a b
a b a b
c d c d
b
bc
c
E A E E A
E E E
E A E E A
E E E
E A E E A
EE
1 2 3 4 1 2 3 4
00
0
(,,,) (,,,)
0
00
00
0
0
00
cb
b a d b
c d a c
cb
cb
b a d b
c d a c
cb
E E E E E E E E
B
3
T T T
1 2 3
1 2 2
1 2 3
,
( 1,0,2),( 0,1,2),( 1,2,5 )
( ) ( 2,0,1 ),( ) ( 0,0,1 ),( ) ( 0,1,2)
,,.
R
a a a
a a a
a a a
在 线 性 空 间 中 取 基
,线 性 变换 使例 8
得
，
求 在 基 下 的 矩 阵
.
八、线性变换在给定基下的矩阵
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 0 1
(,,) (,,) 0 1 2
2 2 5
2 0 0
(,,) (,,) 0 0 1
1 1 2
a a a e e e
a a a e e e
解,
1
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 0 1 2 0 0
(,,) (,,) 0 1 2 0 0 1
2 2 5 1 1 2
1 0 1 2 0 0 1 0 0 3 1 0
0 1 2 0 0 1 0 1 0 10 2 1
2 2 5 1 1 2 0 0 1 5 1 0
3 1 0
(,,) (,,) 10 2 1
5 1 0
a a a a a a
a a a a a a
:
所 以而故
TT
11
TT3
22
TT
33
12
3 1 2 3
( 1,0,2) ( 1,1,0)
( 0,1,2) ( 1,0,1 )
( 1,2,5 ) ( 0,1,2)
,( ) ( 2,0,1 ),( ) ( 0,0,1 ),
( ) ( 0,1,2),,,.
R
α β
α β
α β
α α
α β β β
在 中 取 两 组 基,
定 义 线 性 变 换求 在 基
9.
下 的 矩 阵例九、线性变换在不同基下的矩阵
1
1 2 3 1 2 3
1 0 1 1 1 0
(,,) (,,) 0 1 2 1 0 1
2 2 5 0 1 2
1 0 1 1 1 0
0 1 2 1 0 1
2 2 5 0 1 2
β β β α α α
AB
解,
记,
1
1 2 3 1 2 3
1
1 2 3 1 2 3
1
1 2 3 1 2 3
11
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1
(,,) (,,)
1 0 1 2 0 0
(,,) (,,) 0 1 2 0 0 1
2 2 5 1 1 2
2 0 0
0 0 1
1 1 2
(,,) (,,)
(,,) [ (,,) ] (,,)
(
β β β α α α AB
α α α α α α
C
α α α α α α AC
β β β α α α AB α α α AB
α
所 以记
11
23
1 1 1
1 2 3
11
1 2 3
,,)
(,,)
(,,)
α α A C A B
β β β B A A C A B
β β β B C A B
11
1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 2 1
( | ) 0 1 2 0 1 0 ~ 0 1 0 4 3 2
2 2 5 0 0 1 0 0 1 2 2 1
1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 2 1
( | ) 1 0 1 0 1 0 ~ 0 1 0 2 2 1
0 1 2 0 0 1 0 0 1 1 1 1
1 2 1 2 0 0 1 2 1 1
2 2 1 0 0 1 4 3 2
1 1 1 1 1 2 2 2 1
AE
BE
B C A B
而
10
1 0 1
0 1 2
2 2 1
4 2 1,
2 1 1
若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构成线性空间，只需说明在两个封闭性和 8 条运算规律中有一条不满足即可．
一、线性空间的判定
,,
:
,,,.
,,,,
1,.,,,
0,0,0,.
0,0,.
k
k
RR
R
a b a b abR
a k R k a aR
RR
a b k l RR R R
a b a b ab a b R
a k a k aa R
o
Q
Q
Q o o
设 是 全 体 正 实 数 集 合 是 实 数 集 合 在上 定 义 了 两 种 运 算加 法 对 任 意数 量 乘 法 对 任 意判 断 对 这 两 种 运 算 是 否 构 成 数 域 上 的 线 性空 间即解,任 取例,1
R 对 于 上 述 定 义 的 加 法 和 数 量 乘 法 运 算 是 封闭 的 。
( 1 ) ;
( 2) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ;
( 3 ) 1,1 1,1 ;
1 1 1 1
( 4) 0,0,,1
1
( ) ;
( 5 ) ( )
k l k l
a b ab ba b a
a b c ab c ab c a bc
a bc a b c
a a aRR
a a aR
a a a a
a
a
k l a a a a
Q
o
是 中 的 零 元 素即零 元 的 负 元 素 是;
kl
k a l aaaoo
1
( 6) ( ) ( ) ( )
( ) ;()
( 7 ) ( ) ( ) ()
( ) ( ) ( ) ( ) ;
( 8 ) 1
.
lkkl
kl
k
k kk
k l a a aa
k l ala
k a b k ab ab ab
k a k b k a k b
aa a
RR
o
ooo
oo
o o o o
o
对 上 述 定 义 的 加 法 和 数 量 乘 法 构 成 上的 线 性 空 间
T
12
T
T T2
,
0 (,,...,)
| 0
,.
,,.
( ) ( ) 0()
,
n
n
n
n
n x x x
k
k k k
例 2,
Q
A
X A X X
R
V X R X A X
0 V V
X V X V
X A X A XX
X Y V X Y V V
设 为 阶 实 对 称 矩 阵 问 在 什 么 条 件 下 满足 的 维 实 向 量 构成 的 子 空 间令显 然 若 则即又 若,只 要 即 就解,
是 子 空 间,
二、子空间的判定
T
T T T T
T
T
( ) ( )
2 0,
,0.
n
X Y A X Y
X A X X A Y YAX YAY
XAY
VR
X Y V X A Y
而
故 构 成 的 子 空 间 的 条 件 是,对 于 任 意 的
,都 有
2
2
22
2
1 2 3
1 2 3 2 3 3
1,1,( 2) ( 1 ) []
1
( 1 ) 3[ ] [ ]
1,1,( 2) ( 1 ),[]
1 ( 1 ) ( 2) ( 1 ) 0.
2 ( 3 )
x x x Rx
x x
R x R x
x x x Rx
x x xk k k
xk k k k k
例 3,证 明 是 的 一 组基,并 求 向 量 在 该 基 下 的 坐 标 。
解,因 为 是 维 线 性 空 间,所 以 中任 意 三 个 线 性 无 关 的 向 量 都 构 成 它 的 一 组 基 。
令,
整 理 得
2
3
0kx?
三、求向量在给定基下的坐标
1 2 3
23
3
1 2 3
2
20
3 0
0
1 1 2
0 2 3 2 0.
0 0 1
0
1 ( 1 ) ( 2) ( 1 )
1 ( 1 ) ( 2) ( 1 ) [ ]
k k k
kk
k
D
k k k
x x x
x x x Rx
比 较 等 式 两 边 得,
其 系 数 行 列 式 为故 方 程 组 只 有 零 解,即,于是,,线 性 无 关,所 以
、,是 的 一 组 基 。
2T
1 2 3
2
1 2 3
2 2
1 2 3 2 3 3
1 2 3 1
2 3 2
33
2T
2
( 2) 1 (,,)
1 1 ( 1 ) ( 2) ( 1 )
1 ( 2 ) ( 3 )
21 3
3 1 4
11
1 ( 3,4,1)
1 3 4( 1 ) (
x x a a a
x x a a x a x x
x x a a a a a x a x
a a a a
a a a
aa
xx
x x x x
设 在 给 定 基 下 的 坐 标 为则 有整 理 得比 较 系 数所 以 在 给 定 基 下 的 坐 标 为即 2) ( 1 ),x
2
2
2
2
2
2
( 1 ) 1 [ ],1 1
( 2) ( 1 ) [ ],
1 1 0 0 1
1 1 1 0
( 2) ( 1 ) 2 3 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1
1 3 1 ( 2) ( 1 )
1 1 1 ( 2) ( 1 ),
x x x x
x x x
xx
xx x
xx
xxx
x x x x x
R
R
已 知,,是 的 一 组 基 又证 二,,,
且
又即,,可 以 由,,线 性 表 示 所以 两
2
2
,,1,,
,1 1 ( 2) ( 1 ),
1 1 ( 2) ( 1 ) [ ],
x x
x x x
x x x x
R
个 向 量 组 等 价 故 有 相 同 的 秩 而 线 性 无关 因 此,,也 线 性 无 关 从 而
、,是 的 一 组 基
1
2
2
3
22
2
1
22
2
3
( 2) 1 ( 1 1 ( 2) ( 1 ) )
1
1 ( 1 ) 1
1
1 1 2
( 1 1 ( 2) ( 1 ) ) ( 1 ) 0 1 3
0 0 1
1 1 1 2
( 1 ) 1 ( 1 ) 0 1 3
1 0 0 1
a
x x x x x a
a
x x x x
x x x x x
a
x x x x a
a
设又所 以
1
1
3
2
2
1 1 2 1 1 1 1 1 3
0 1 3 1 0 1
1 3 4( 1 ) ( 2) ( 1 )
3
3 1 4
0 0 1 1 0 0 1 1 1
( 1,1,( 2) ( 1 ) ) 4,
1
a
x x x xx
a
x x x
a
故因 此
3
T T T
1 2 3
1
2 3 1 2 3 1 2 3
( 1 0 0),( 1 1 0) ( 1 1 1 )
1 1 0
0 1 1
0 0 1
25
.
R
a a a
Ab
b b a a a a b b b
在 中,求 由 基
,
通 过 过 渡 矩 阵 所 得 到 的 新 基,
,,并例 4.
求 在 基,,下 的表 达 式四、由基和过渡矩阵求另一组基
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 1 3 2
T T T
1 2 3
1 2 3 1 2 3
,
1 1 0
( ) (,,0 1 1
0 0 1
(,,)
( 1 0 0),( 0 1 0),( 0 0 1 )
1
2 5 (,,2
5
b b b
b b b a a a
a a a a a
b b b
a a a a a a a
设 欲 求 的 新 基 为,,由 题 设 有
,,)
所 以是 所解求 的 新 基,
)
：
1
1 2 3 1 2 3
1
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 1 0
(,,( ) 0 1 1
0 0 1
1 1 1 0 1
(,,2 ( ) 0 1 1 2
5 0 0 1 5
1 1 1 1 2
( ) 0 1 1 2 ( ) 3
0 0 1 5 5
2 3 5
a a a b b b
a a a a b b b
b b b b b b
b b b
而 ),,
),,
,,,,
4
TT
11
TT
2 2
T T
3 3
T T
4
4
1 2 3 4 1 2 3 4
( 1,2,3,4) ( 1,2,1,0)
( 2,1,4,3 )( 1,1,0,0)
( 1,1,2,1 ) ( 3,4,1,2)
( 0,1,1,1 ) ( 4,3,2,1 )
,,,,,,
R
βα
βα
βα
βα
β β β βα α α α
设 的 两 组 基求 由 基 到 基 的 过 渡 矩 阵 并 写出 相 应 的 坐 标 变 换 公 式例 5.
.
五、过渡矩阵的求法
1 2 3 4
1 1 1 0
2 1 1 1,,,
1 0 2 1
0 0 1 1
A α α α α解,
1 2 3 4
1
1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4
2 1 4 3
,,,
3 4 1 2
4 3 2 1
,,,,,,
1 1 1 0 1 2 3 4 1 1 1 0 1 2 3 4
2 1 1 1 2 1 4 3 0 1 3 1 0 5 10 5
~
1 0 2 1 3 4 1 2 0 1 3 1 4 6 2 2
0 0 1 1 4 3 2 1 0 0 1 1 4 3 2 1
1 1 1 0 1
0 1 3 1
~
0 0 0 2
0 0 1 1
B β β β β
β β β β α α α α AB由 于
31
22
1 2 3 42 3 4 1 1 1 0
0 5 10 50 5 10 5 0 1 3 1
~
4 3 2 14 1 8 3 0 0 1 1
244 3 2 1 0 0 0 1
17 9
22
55
22
31
22
17 9
22
1
55
22
31
22
11
22
1 2 3 4 1 2 3 4
33
44
T
1 2 3 4
11 71 0 0 0
16 13 12 110 1 0 0
~
620 0 1 0
0 0 0 1 24
11 7
16 13 12 11
62
24
,,,,,,
,,,
yx
yx
yx
yx
y y y y
P A B
α β β β β α α α α
P
所 以 过 渡 矩 阵设
T
1
1 2 3 4
,,,x x x x
223
1 2 3 1 2 3 3
1 2 3
.
( 1 ),( ),
,.
( 2),(,,) (,,),
,(,,),
VV
V
x x x x x x xR
V x x x
判 断 下 列 变 换 是 否 为 线 性 变 换在 线 性 空 间 中 定 义 其 中 是 中任 意 向 量 是 中 一 个 固 定 的 向 量在 中 定 义 其 中 任意例 6.
六、线性变换的判定
( ) ( ) ( )
( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k
kk
kk
VV
VV
(1) 对 于,,由 于 是 线 性 空 间,所以,且
，,,
,显 然,只 有 当 时,这时 才 有,
解,
3
1 2 31 2 3
1 2 3 1 1 2 2 3 3
1 2 3
2 2 2 2
1 2 3 3
22
1 2 3 3
0
(,,)( 2) (,,)
(,,) (,,)
( ) (,,)
(,( ),)
(,,
y y y Rx x x
k k x k x k x x y x y x y
k k x k x k x
k x k x x k x
k x x x x
V即 当 时,是 上 的 线 性 变 换,否 则 不 是,
设,,则
，
所 以,
3
) ( )
.R
故 不 是 上 的 线 性 变 换
1 2 3
4
,
( ),
( 1 )
( 2),( ) ( ) ( )
1 0 0 1 0 0
( 3 ),,,
0 0 0 0 1 0
00
.
01
R
ab
V
cd
E E E
E
A
x A x xA x V
x y V xy x y x y
V
全 体 二 阶 实 矩 阵 构 成 实 数 域 上 的 线 性 空 间,
取 固 定 实 数 矩 阵 在 中 定 义 一 个 变 换,
,其 中 是 中 任 意 向 量证 明 是 一 个 线 性 变 换 ；
证 明 对 任 意,恒 有在 中 取 一 组 基
,写 出 在 该例,
基 下 的 矩 阵
7
七、有关线性变换的证明
( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ] [ ] ( ) ( )
( 2) ( )
k l k l k l
k l k l
k l k l
x y V
x A x xA y A y y A
x y A x y x y A
A x A y xA y A
A x xA A y y A x y
xy A xy xy A A xy xA y xA y xy A
(1) 设,,则
，
所 以 是 一 个 线 性 变证 明,
换 ；
1 1 1
23
( ) ( ) ( ) ( )
( 3 ) ( )
1 0 1 0
0 0 0 0
0
0
a b a b
c d c d
b
bc
c
A x xA y x A y y A x y x y
E A E E A
EE
2 2 2
1 2 4
3 3 3
1 3 4
4 4 4
23
0 1 0 1
()
0 0 0 0
( )
0
0 0 0 0
()
1 0 1 0
0
( )
0 0 0 0
()
0 1 0 1
0
0
a b a b
c d c d
c a d
c a d c
c
a b a b
c d c d
b
b d a b
d a b
a b a b
c d c d
b
bc
c
E A E E A
E E E
E A E E A
E E E
E A E E A
EE
1 2 3 4 1 2 3 4
00
0
(,,,) (,,,)
0
00
00
0
0
00
cb
b a d b
c d a c
cb
cb
b a d b
c d a c
cb
E E E E E E E E
B
3
T T T
1 2 3
1 2 2
1 2 3
,
( 1,0,2),( 0,1,2),( 1,2,5 )
( ) ( 2,0,1 ),( ) ( 0,0,1 ),( ) ( 0,1,2)
,,.
R
a a a
a a a
a a a
在 线 性 空 间 中 取 基
,线 性 变换 使例 8
得
，
求 在 基 下 的 矩 阵
.
八、线性变换在给定基下的矩阵
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 0 1
(,,) (,,) 0 1 2
2 2 5
2 0 0
(,,) (,,) 0 0 1
1 1 2
a a a e e e
a a a e e e
解,
1
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 0 1 2 0 0
(,,) (,,) 0 1 2 0 0 1
2 2 5 1 1 2
1 0 1 2 0 0 1 0 0 3 1 0
0 1 2 0 0 1 0 1 0 10 2 1
2 2 5 1 1 2 0 0 1 5 1 0
3 1 0
(,,) (,,) 10 2 1
5 1 0
a a a a a a
a a a a a a
:
所 以而故
TT
11
TT3
22
TT
33
12
3 1 2 3
( 1,0,2) ( 1,1,0)
( 0,1,2) ( 1,0,1 )
( 1,2,5 ) ( 0,1,2)
,( ) ( 2,0,1 ),( ) ( 0,0,1 ),
( ) ( 0,1,2),,,.
R
α β
α β
α β
α α
α β β β
在 中 取 两 组 基,
定 义 线 性 变 换求 在 基
9.
下 的 矩 阵例九、线性变换在不同基下的矩阵
1
1 2 3 1 2 3
1 0 1 1 1 0
(,,) (,,) 0 1 2 1 0 1
2 2 5 0 1 2
1 0 1 1 1 0
0 1 2 1 0 1
2 2 5 0 1 2
β β β α α α
AB
解,
记,
1
1 2 3 1 2 3
1
1 2 3 1 2 3
1
1 2 3 1 2 3
11
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1
(,,) (,,)
1 0 1 2 0 0
(,,) (,,) 0 1 2 0 0 1
2 2 5 1 1 2
2 0 0
0 0 1
1 1 2
(,,) (,,)
(,,) [ (,,) ] (,,)
(
β β β α α α AB
α α α α α α
C
α α α α α α AC
β β β α α α AB α α α AB
α
所 以记
11
23
1 1 1
1 2 3
11
1 2 3
,,)
(,,)
(,,)
α α A C A B
β β β B A A C A B
β β β B C A B
11
1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 2 1
( | ) 0 1 2 0 1 0 ~ 0 1 0 4 3 2
2 2 5 0 0 1 0 0 1 2 2 1
1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 2 1
( | ) 1 0 1 0 1 0 ~ 0 1 0 2 2 1
0 1 2 0 0 1 0 0 1 1 1 1
1 2 1 2 0 0 1 2 1 1
2 2 1 0 0 1 4 3 2
1 1 1 1 1 2 2 2 1
AE
BE
B C A B
而
10
1 0 1
0 1 2
2 2 1
4 2 1,
2 1 1
