1
1 2 3
2 2 0
2 1 2
0 2 0
2 2 0
2 1 2 ( 4) ( 1 ) ( 2) 0
02
4 1 2
( )
i









例 1,AT
T A T
A
EA
E A x 0 A
设 实 对 称 阵,求 正 交 变 换使 为 对 角 阵 。
解,第 一 步,求 的 特 征 值 。 由得,,
第 二 步,由,求 出 的 特 征 向 量一、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵
1
12
1 2 3 1
23
2
12
13 2
23
3
12
4 ( 4 )
22 2 0,
2 3 2 0,2
2 4 0,1
1 ( )
22 0,
2 2 0,1
2 0,2
2 ( 2 )
4 2 0,
2
xx
x x x
xx
xx
xx
xx
xx














E A x 0
α
E A x 0
α
E A x 0
当,由,得解 得 基 础 解 系当,由,得解 得 基 础 解 系当,由,得
1 2 3 3
23
1
3 2 0,2
2 2 0,2
x x x
xx





α解 得 基 础 解 系
1 2 3
1 2 3
,,
3,
,1,2,3
2 / 3 2 / 3 1 / 3
2 / 3 1 / 3 2 / 3
1 / 3 2 / 3 2 / 3
2 2 1
1
2 1 2
3
1 2 2
i
i
i
i










α α α
A
α
η
α
η η η
T
第 三 步,将 特 征 向 量 正 交 化 。 因 为 是 属于 的 个 不 同 特 征 值 的 特 征 向 量 故 它 们 必 两两 正 交 。
第 四 步,将 特 征 向 量 单 位 化 。 令得,,
令 则
1
4 0 0
0 1 0
0 0 2




T A T
2
1 2 3 1 3 2
1
T
1 2 3 1 2 3 2
3
2
1
(,,) 2
.
0 0 1
(,,) (,,) 0 1 0
1 0 0
0 0 1
0 1 0
1 0 0
( 1 ) 0,( 1 )
f x x x x x x
x
f x x x x x x x
x











例 2.
x A x
A
A
EA
用 正 交 变 换 化 为 标准 形第 一 步,将 二 次 型 表 示 成 矩 阵 形 式得 实 对 称 矩 阵第 二 步,求 出 的 所 有 特 征 值 。 由得解,
23
1,1
二、化二次型为标准形


1
TT
1 2
1 2 1 2
T
T
1 2
1 2
1 2
3
3
3 3
( )
1 0 1,0 1 0
[,] 0
1 1
0 0 1 0
22
( )
1
0,
1












T
E A x 0
α α
α α α α
α α
η η
α α
E A x 0
α
α η
α
第 三 步,求 正 交 矩 阵解 方 程 组,得 它 的 基 础 解 系与 正 交将 它 们 单 位 化,得解 方 程 组,得 它 的 基 础 解 系单 位 化 得
T
3
11
0
22



13 3 1 2
1 2 3
1
2 2 2T T T
1 2 3
,,
(,,)
1 0 0
0 1 0
0 0 1
( )f y y y







η η η
T η η η T
T A T Λ
X T Y
Y T A T Y Y Λ Y
与,正 交令,则 为 正 交 矩 阵,且为 对 角 阵 。
第 四 步,作 正 交 变 换,得
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3
1
2 2 2
1 2 3 1 1 2 3 2 3 2 3
2 2 2 2
1 2 3 2 3 2 3 2
.
(,,) 2 10 2 8 2
(,,) 2 ( ) 2 10 8
( ) ( ) 2 10 8
f x x x x x x x x x x x x
x
f x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x



例 3,
f
用 配 方 法 化 二 次 型 为 标 准 形,并 求 相 应 的线 性 变 换第 一 步,将 中 含 的 项 集 中 进 行 配 方 并 作相 应 的 线 性 变 换 。
解,
3
2 2 2
1 2 3 2 3 2 3
1 2 31
22
33
( ) 9 6
x
x x x x x x x
x x xy
xy
xy



作 线 性 变 换
1 1
2 2 2
1 2 3 1 2 3 2 3
2
2 2 2 2 2
1 2 3 2 3 1 2 3
1 1
2 2 23
3 3
111
0 1 0
0 0 1
(,,) 9 6
9 6 ( 3 )
3
f x x x y y y y y
y
y y y y y y y y
z y
z yy
z y









Y P X P
f
f
Z P Y P
即 且第 二 步,将 中 含 的 项 集 中 进 行 配 方 并 作 相应 的 线 性 变 换令 即,则
2
22
1 2
2 2 1
1 0 0
0 1 3
0 0 1
zz






f
Z P Y P P X
得相 应 的 线 性 变 换 为


2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 1 2
32
22
1 2 3 1 2
2
3 1 2 1 3 2 3
,,,2 3 4
2
2,,,,
5 2 2 4
1 2 4
3,2 2 1
4 1 3
f x x x x x x x x x
xx
f x x x x x
x tx x x x x x
A







1,二 次 型的 矩 阵 是当 时 实 二 次 型是 正 定 的矩 阵 对 应 的 二 次 型 是

2
1 2 3 1
22
2 3 1 2 1 3 2 3
4.,,,
2 2 2,
t f x x x tx
tx tx x x x x x x

当 满 足 时 二 次 型是 负 定 的三、综合练习


222
1 2 3 1 2 3 1 2
1 3 2 3
222
1 2 3 1 2 2 3 1 3
22
13
1 2 3 1 2 3
5.,,4
4 4,
6,
2 2 2
2
,,,,,
,,,.
TT
f x x x x x x x x
x x x x
f x x x ax x x x x x
f y y
X x x x Y y y y
Q






X Q Y
将 二 次 型化 为 标 准 型设 二 次 型经 正 交 变 换 化 成其 中 是 三 维 列 向量 是 三 阶 正 交 矩 阵 试 求 常 数