第六章 二次型本章主要讨论二次型的基本概念及二次型的标准化问题。
§ 6.1 二次型及其标准化
§ 6.2 用配方法化二次型为标准型
§ 6.3 正定二次型第一节 二次型及其标准化
1 2
2 2 2
1 2 11 1 22 2
12 1 2 13 1 3 1,1
,,...,
(,,...,),..
2 2,.,2 ( 1 )
.
,2
n
n nn n
n n n n
ij ji ij i j ij i j ji j i
n x x x
f x x x a x a x a x
a x x a x x a x x
a a a x x a x x a x x
含 有 个 变 量 的 二 次 齐 次 函 数称 为 二定次 型取 则义,
2
11 1 12 1 2 1 1
2
21 2 1 22 2 2 2
2
1 1 2 2
,1
( 1 )
...
,..
( 2),.......,......
,..
nn
nn
n
n n n n nn n ij i j
ij
f a x a x x a x x
a x x a x a x x
a x x a x x a x a x x
于 是 式 可 写 成
1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
1 1 2 2
1
...
...
( 3 )
...............
...
( 3 ) ( 1 )
nn
nn
n n n nn n
x c y c y c y
x c y c y c y
x c y c y c y
f k y
关 于 二 次 型 要 讨 论 的 主 要 问 题 是,寻 求 可 逆 线 性变 换使 二 次 型 只 含 平 方 项,也 就 是 将 代 入,能 使
2 2 2
1 2 2
...
nn
ij ij
k y k y
a f a
f
这 种 只 含 平 方 项 的 二 次 型,称 为 二 次 型 的 标 准 形
（ 或 法 式 ） 。
当 为 复 数 时,称 为 复 二 次 型 ； 当 为 实 数 时称 为 实 二 次 型 。
11 12 1 1
21 22 2 2
12
12
11 12 1
21 22 2
12
(3 )
...
...
(,,...,)
......,..,..,..
...
...
...
...,..,..,..
.
n
n
n
nn n nn
n
n
nn
a a a x
a a a x
f x x x
xa a a
a a a
a a a
aa
A
下 面 仅 讨 论 实 二 次 型,所 求 的 线 性 变 换 也 限 于实 系 数 范 围 。
利 用 矩 阵,二 次 型 可 表 示 为,
若 记
1
2
,
...
..
,
nnn
x
x
xa
f
ff
x
x A x A A
A
,则 二 次 型 可 记 作
。 其 中 为 对 称 矩 阵 。 并 把 对 称 矩 阵 叫 做二 次 型 的 矩 阵,也 把 叫 做 对 称 矩 阵 的 二 次 型
( ) ( 3 )
( ) ( )
( ) ( )
1
ij
f
c
f
RR
A
C
x C y
x A x C y A C y y C A C y
C B C A C A
B B A
A A A
B C A C C A C C A C B
对 称 矩 阵 的 秩 叫 做 二 次 型 的 秩 。
若 记,那 么 可 逆 线 性 变 换 可 记 作
,从 而任 给 可 逆 矩 阵,令,如 果 为对 称 矩 阵,则 亦 为 对 称定 理,
证矩 阵,且为 对 称 矩 阵,,即 有于 是 （ ）
即
11
1
( ) ( ),
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
RR
R R R
R R R R R
B
B A B C A C
B A C A A C B C
A B C B B A
为 对 称 矩 阵 。
再 证 因,故
,又,故
,于 是
2 2 2
1 1 2 2
1
2
1
...
...
4
nn
n
f
f
k y k y k y
k
k
k
x C y
A C A C
x C y
y C A C y
yy
C A C
A
P
定 理 说 明,经 可 逆 变 换 后,二 次 型的 矩 阵 由 变 为,且 二 次 型 的 秩 不 变 。
要 使 二 次 型 经 可 逆 变 换 变 成 标 准 形,这就 是 要 使,
也 就 是 要 使 成 为 对 角 矩 阵 。
由 上 节 定 理 知,任 给 实 对 称 矩 阵,总 有 正 交 矩阵,使注,
1
.
P A P Λ
,1
2 2 2
1 1 2 2
1 2
( )
,..
,...,( )
n
ij i j ij ji
ij
nn
n ij
f a x x a a
f
f y y y
fa
x Py
A
把 此 结 论 应 用 于 二 次 型,即 有 下 面 定 理,
任 给 二 次 型总 有 正 交 变 换,使 化 为 标 准 形其 中,是 的 矩 阵 的 特 征 值,
定 理 2.
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
2 2 2 2 2 2
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1
1 1 1
1 1 1
11
1 1 1 1
1 1 1
( 1 )
1 1 1
11 11
f x x x x x x x x x x x x
x Py
A
AE
求 一 个 正 交 变 换 把 二 次 型化 为 标 准 形 。
二 次 型 的 矩 阵 为它 的 特 征 多 项 式 为解,
例 1.
1 2 3
2
2 2 3
1 2 3 4
1
1 1 1 1
0 1 2 2 1 2
( 1 ) ( 1 )
0 2 1 2 2 1
0 0 0 1
( 1 ) ( 2 3 ) ( 1 ) ( 3 )
3 1
3 ( 3 ) 0
3 1 1 1
1 3 1 1
3 ~
1 1 3 1
1 1 1 3
r r r r
A
A E x
AE
于 是 的 特 征 值 为当 时,解 方 程由
4
1
4
1 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
r?
T
1
T
1
2 3 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1
0 2 2 0 0 1 1 0 0 1 0 1
~ ~ ~
0 2 2 0 0 0 1 1 0 0 1 1
0 2 2 4 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1
1
1 1 1 1
2
1 ( ) 0.
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
ξ
p
A E x
AE
得 基 础 解 系,单 位 化 即 得当 时,解 方 程 由
1 1 1 1
0 0 0 0
~
0 0 0 0
0 0 0 0
T T T
2 3 4
T
2
T
3
T
4
1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 01 1
11
0 0
22
11
0 0
22
1 1 1 1
2 2 2 2
ξ ξ ξ
p
p
p
可 得 基 础 解 系
，,
单 位 化 即 得
11
22
33
44
2222
1 2 3 4
1 1 1
0
222
1 1 1
0
222
1 1 1
0
22 2
1 1 1
0
22 2
3
xy
xy
xy
xy
f y y y y
于 是 正 交 变 换 为且 有第二节 用配方法化二次型为标准型用正交变换化二次型成标准形，具有保持几何形状不变的优点。如果不限于用正交变换，
那么还可以有多种方法（对应有多个可逆的线性变换）把二次型化成标准形。这里只介绍拉格朗日配方法。下面举例说明这种方法。
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
1 1
2 5 2 2 6
.
f x x x x x x x x x
f x x
化 二 次 型成 标 准 形,并 求 所 用 的 变 换 矩 阵 。
由 于 中 含 变 量 的 平 方 项,故 把 含 的 项 归并 起 来,可 得解,
配 方例 1
2 2 2
1 1 2 1 3 2 3 2 3
2 2 2 2 2
1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
2 2 2
1 2 3 2 2 3 3
1
22
1 2 3 2 3
1 1 2 3
2
2 2 2 5 6
( ) 2 2 5 6
( ) 4 4
( ) ( 2 )
f x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x
x x x x x x x
x
f x x x x x
y x x x
y
上 式 右 端 除 第 一 项 外 已 不 含 有 的 项,而 后 面 三 项 正好 是 一 个 完 全 平 方 和 公 式令
1 1 2 3
2 3 2 2 3
3 3 3 3
22
12
2 2
1 1 1
0 1 2 ( 1 )
0 0 1
x y y y
x x x y y
y x x y
f f y y
CC
即就 把 化 成 标 准 形所 用 变 换 矩 阵 为
1 2 1 3 2 3
1 2
1 1 2
2 1 2
33
22
1 2 1 3 2 3
2 2 2
1 3 2 3 3
1 1 3
2
2 2 6
2 2 4 8
2 ( ) 2 ( 2 ) 6
f x x x x x x
f x x
x y y
x y y
xy
f y y y y y y
f y y y y y
z y y
zy
化 二 次 型成 标 准 形,并 求 所 用 的 变 换 矩 阵 。
在 中 不 含 平 方 项 。 由 于 含 有 乘 积 项,故令代 入 可 得,
再 配解方 得,
令
：
例 2.
1 1 3
2 3 2 2 3
3 3 3 3
2 2
y z z
y y z z
z y y z
即
1
一 般 地,任 何 二 次 型 都 可 用 上 面 两 例 的 方 法 找到 可 逆 变 换,把 二 次 型 化 成 标 准 形 。 且 由 上 节 的 定理 可 知,标 准 形 中 含 有 的 项 数,就 是 二 次 型 的 秩 。
注,
222
1 2 3
226
1 1 0 1 0 1 1 1 3
1 - 1 0 0 1 2 1 1 1
0 0 1 0 0 1 0 0 1
f z z z
C
即 有所 用 变 换 矩 阵 为第三节 正定二次型
2 2 2
1 1 2 2
2 2 2
1 1 2 2
1 2 1 2
,.,( 0,1,2,..,)
..,( 0 1,2,...,)
,,...,,,..,
,
r r i
r r i
rr
f
r
f k y k y k y k i r
f z z z i r
k k k
x A x
x C y x P z
设 有 实 二 次 型,它 的 秩 为
,有 两 个 实 可 逆 变 换 及使及惯 性
，
则 中 正 数 的 个 数 与 中 正 数的 数 。
理等定个 相定 理 ()
一、惯性定理二次型的标准形显然不是唯一的，只是标准形中所含项数是确定的（即是二次型的秩）。不仅如此，在限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是不变的（从而负系数的个数也不变），也就是二、正定二次型
( ) 0
( ) 0
( )
f
f
f
f
f
f
n
ff
x A x
x 0 x
A
x 0 x
A
x A x
x C y x
设 有 实 二 次 型如 果 对 任 何,都 有则 称 为 正 定 二 次 型,并 称 对 称 矩 阵 是 正 定 的 ；
如 果 对 任 何,都 有则 称 为 负 定 二 次 型,并 称 对 称 矩 阵 是 负 定 的,
实 二 次 型 为 正 定 的 充 分 必 要 条 件是,它 的 标 准 形 中 的 个 系 数 全 为 正,
设 可 逆 变 换 使义,
证,
定定 理 2.
2
1
()
,0 ( 1,2,...,)
n
ii
i
i
ky
k i n
Cy
先 证 充 分 性 设
1
2
1
( ) 0
,( ) 0
( ) ( ) 0
0 ( 1,2,...,)
n
ii
i
s
s s s
s
i
f k y
k
fk
f
k i n
x 0 y C x 0
x
y e C e
C e 0
A
任 给,则,故再 证 必 要 性 用 反 证 法 假 设 有,则 当单 位 坐 标 向 量 时,
显 然,,这 与 为 正 定 相 矛 盾 。 因 而对 称 矩 阵 为 正 定推 论,
A
的 充 分 必 要 条 件 是,
的 特 征 值 全 为 正 。
11 1
11 12
11
21 22
1
11 1
1
( )
...
0,0,...,...,..,.,0
...
...
( 1 ),..,..,.,0
.
..
n
n nn
r
r
r rr
aa
aa
a
aa
aa
aa
aa
A
A
A
霍 尔 维 茨 定 理 对 称 矩 阵 为 正 定 的 充分 必 要 条 件 是,的 各 阶 顺 序 主 子 式 都 为 正,
即对 称 矩 阵 为 负 定 的 充 分 必 要 条 件 是,奇 数 阶顺 序 主 子 式 为 负,而 偶 数 阶 顺 序 主 子 式 为 正,
即定 理 3.
( 1,2,...,)rn?
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3
2 2 2
1 2 3 2 3 2 3
2 2 2
1 2 3 2 3 3
6 5 7 4 4
6 5 7 4 4
1 1 13 19 4
6 ( )
3 3 3 3 3
1 1 13 2 81
6 ( ) ( )
3 3 3 13 1
.
1
3
f x x x x x x x
f x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
判 定 二 次 型是 否 为 正 定 二 次 型 。
用 配 方 法 化 二 次 型 为 标 准 形,然 后 由标 准 形 判 定 其 正 定解 法性 。 由 于例 1
1 1 2 3
2 2 2
2 2 3 1 2 3
33
11
33
2 1 3 8 1
6
1 3 3 1 3
y x x x
y x x f y y y
yx
f
令 则故 是 正 定 二 次 性 。
1 2 3
6 2 2
2 5 0
2 0 7
6 2 2
2 5 0 ( 3 ) ( 6) ( 9)
2 0 7
3
2
,6,9
f
A
AE
A
计 算 二 次 型 矩 阵 的 特 征 值,看 是 否 全大 于 零 。
所 以 的 特 征 值 为 均 为 正值,故 知 为 正 定解 法二 次 型 。
11
6 2 2
2 5 0
2 0 7
6 2 2
62
6 0,26 0,2 5 0 162 0
25
2 0 7
3
a
f
A
A
用 二 次 型 矩 阵 的 各 阶 主 子 式 是 否 全 大解 法于 零 判 断 。
故 知 为 正 定 二 次 型 。
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
22
5 2 2 4
11
1 2
1 2 5
1t
1 0,1 0,5 4 0
t1
.
f x x x t x x x x x x
t
f
t
t
f
t t t
A
A
设 二 次 型是 正 定 的,试 确 定 的 取 值 范 围 。
的 矩 阵 为为 正 定 的 充 分 必 要 条 件 是 顺 序 主 子 式 均大解于 零,即
：
例 2
2
2
410
0,
5 4 0 5
4
0
5
t
t
tt
tf
解 不 等 式 组 得即 当 时 是 正 定 二 次 型 。
2 2 2
11
5 6 4 4 4
5 2 2
2 6 0
2 0 4
52
5 0,26,
.
80 0,
26
3,
f x y z x y x z
f
a
f
A
AQ
判 别 二 次 型的 正 定 性 。
的 矩 阵 为根 据 定解,
理 知 为 负 定例 3
§ 6.1 二次型及其标准化
§ 6.2 用配方法化二次型为标准型
§ 6.3 正定二次型第一节 二次型及其标准化
1 2
2 2 2
1 2 11 1 22 2
12 1 2 13 1 3 1,1
,,...,
(,,...,),..
2 2,.,2 ( 1 )
.
,2
n
n nn n
n n n n
ij ji ij i j ij i j ji j i
n x x x
f x x x a x a x a x
a x x a x x a x x
a a a x x a x x a x x
含 有 个 变 量 的 二 次 齐 次 函 数称 为 二定次 型取 则义,
2
11 1 12 1 2 1 1
2
21 2 1 22 2 2 2
2
1 1 2 2
,1
( 1 )
...
,..
( 2),.......,......
,..
nn
nn
n
n n n n nn n ij i j
ij
f a x a x x a x x
a x x a x a x x
a x x a x x a x a x x
于 是 式 可 写 成
1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
1 1 2 2
1
...
...
( 3 )
...............
...
( 3 ) ( 1 )
nn
nn
n n n nn n
x c y c y c y
x c y c y c y
x c y c y c y
f k y
关 于 二 次 型 要 讨 论 的 主 要 问 题 是,寻 求 可 逆 线 性变 换使 二 次 型 只 含 平 方 项,也 就 是 将 代 入,能 使
2 2 2
1 2 2
...
nn
ij ij
k y k y
a f a
f
这 种 只 含 平 方 项 的 二 次 型,称 为 二 次 型 的 标 准 形
（ 或 法 式 ） 。
当 为 复 数 时,称 为 复 二 次 型 ； 当 为 实 数 时称 为 实 二 次 型 。
11 12 1 1
21 22 2 2
12
12
11 12 1
21 22 2
12
(3 )
...
...
(,,...,)
......,..,..,..
...
...
...
...,..,..,..
.
n
n
n
nn n nn
n
n
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a a a x
a a a x
f x x x
xa a a
a a a
a a a
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A
下 面 仅 讨 论 实 二 次 型,所 求 的 线 性 变 换 也 限 于实 系 数 范 围 。
利 用 矩 阵,二 次 型 可 表 示 为,
若 记
1
2
,
...
..
,
nnn
x
x
xa
f
ff
x
x A x A A
A
,则 二 次 型 可 记 作
。 其 中 为 对 称 矩 阵 。 并 把 对 称 矩 阵 叫 做二 次 型 的 矩 阵,也 把 叫 做 对 称 矩 阵 的 二 次 型
( ) ( 3 )
( ) ( )
( ) ( )
1
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f
c
f
RR
A
C
x C y
x A x C y A C y y C A C y
C B C A C A
B B A
A A A
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对 称 矩 阵 的 秩 叫 做 二 次 型 的 秩 。
若 记,那 么 可 逆 线 性 变 换 可 记 作
,从 而任 给 可 逆 矩 阵,令,如 果 为对 称 矩 阵,则 亦 为 对 称定 理,
证矩 阵,且为 对 称 矩 阵,,即 有于 是 （ ）
即
11
1
( ) ( ),
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
RR
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R R R R R
B
B A B C A C
B A C A A C B C
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为 对 称 矩 阵 。
再 证 因,故
,又,故
,于 是
2 2 2
1 1 2 2
1
2
1
...
...
4
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f
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P
定 理 说 明,经 可 逆 变 换 后,二 次 型的 矩 阵 由 变 为,且 二 次 型 的 秩 不 变 。
要 使 二 次 型 经 可 逆 变 换 变 成 标 准 形,这就 是 要 使,
也 就 是 要 使 成 为 对 角 矩 阵 。
由 上 节 定 理 知,任 给 实 对 称 矩 阵,总 有 正 交 矩阵,使注,
1
.
P A P Λ
,1
2 2 2
1 1 2 2
1 2
( )
,..
,...,( )
n
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ij
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f a x x a a
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f y y y
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A
把 此 结 论 应 用 于 二 次 型,即 有 下 面 定 理,
任 给 二 次 型总 有 正 交 变 换,使 化 为 标 准 形其 中,是 的 矩 阵 的 特 征 值,
定 理 2.
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
2 2 2 2 2 2
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1
1 1 1
1 1 1
11
1 1 1 1
1 1 1
( 1 )
1 1 1
11 11
f x x x x x x x x x x x x
x Py
A
AE
求 一 个 正 交 变 换 把 二 次 型化 为 标 准 形 。
二 次 型 的 矩 阵 为它 的 特 征 多 项 式 为解,
例 1.
1 2 3
2
2 2 3
1 2 3 4
1
1 1 1 1
0 1 2 2 1 2
( 1 ) ( 1 )
0 2 1 2 2 1
0 0 0 1
( 1 ) ( 2 3 ) ( 1 ) ( 3 )
3 1
3 ( 3 ) 0
3 1 1 1
1 3 1 1
3 ~
1 1 3 1
1 1 1 3
r r r r
A
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于 是 的 特 征 值 为当 时,解 方 程由
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1
4
1 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
r?
T
1
T
1
2 3 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1
0 2 2 0 0 1 1 0 0 1 0 1
~ ~ ~
0 2 2 0 0 0 1 1 0 0 1 1
0 2 2 4 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1
1
1 1 1 1
2
1 ( ) 0.
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
ξ
p
A E x
AE
得 基 础 解 系,单 位 化 即 得当 时,解 方 程 由
1 1 1 1
0 0 0 0
~
0 0 0 0
0 0 0 0
T T T
2 3 4
T
2
T
3
T
4
1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 01 1
11
0 0
22
11
0 0
22
1 1 1 1
2 2 2 2
ξ ξ ξ
p
p
p
可 得 基 础 解 系
，,
单 位 化 即 得
11
22
33
44
2222
1 2 3 4
1 1 1
0
222
1 1 1
0
222
1 1 1
0
22 2
1 1 1
0
22 2
3
xy
xy
xy
xy
f y y y y
于 是 正 交 变 换 为且 有第二节 用配方法化二次型为标准型用正交变换化二次型成标准形，具有保持几何形状不变的优点。如果不限于用正交变换，
那么还可以有多种方法（对应有多个可逆的线性变换）把二次型化成标准形。这里只介绍拉格朗日配方法。下面举例说明这种方法。
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
1 1
2 5 2 2 6
.
f x x x x x x x x x
f x x
化 二 次 型成 标 准 形,并 求 所 用 的 变 换 矩 阵 。
由 于 中 含 变 量 的 平 方 项,故 把 含 的 项 归并 起 来,可 得解,
配 方例 1
2 2 2
1 1 2 1 3 2 3 2 3
2 2 2 2 2
1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
2 2 2
1 2 3 2 2 3 3
1
22
1 2 3 2 3
1 1 2 3
2
2 2 2 5 6
( ) 2 2 5 6
( ) 4 4
( ) ( 2 )
f x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x
x x x x x x x
x
f x x x x x
y x x x
y
上 式 右 端 除 第 一 项 外 已 不 含 有 的 项,而 后 面 三 项 正好 是 一 个 完 全 平 方 和 公 式令
1 1 2 3
2 3 2 2 3
3 3 3 3
22
12
2 2
1 1 1
0 1 2 ( 1 )
0 0 1
x y y y
x x x y y
y x x y
f f y y
CC
即就 把 化 成 标 准 形所 用 变 换 矩 阵 为
1 2 1 3 2 3
1 2
1 1 2
2 1 2
33
22
1 2 1 3 2 3
2 2 2
1 3 2 3 3
1 1 3
2
2 2 6
2 2 4 8
2 ( ) 2 ( 2 ) 6
f x x x x x x
f x x
x y y
x y y
xy
f y y y y y y
f y y y y y
z y y
zy
化 二 次 型成 标 准 形,并 求 所 用 的 变 换 矩 阵 。
在 中 不 含 平 方 项 。 由 于 含 有 乘 积 项,故令代 入 可 得,
再 配解方 得,
令
：
例 2.
1 1 3
2 3 2 2 3
3 3 3 3
2 2
y z z
y y z z
z y y z
即
1
一 般 地,任 何 二 次 型 都 可 用 上 面 两 例 的 方 法 找到 可 逆 变 换,把 二 次 型 化 成 标 准 形 。 且 由 上 节 的 定理 可 知,标 准 形 中 含 有 的 项 数,就 是 二 次 型 的 秩 。
注,
222
1 2 3
226
1 1 0 1 0 1 1 1 3
1 - 1 0 0 1 2 1 1 1
0 0 1 0 0 1 0 0 1
f z z z
C
即 有所 用 变 换 矩 阵 为第三节 正定二次型
2 2 2
1 1 2 2
2 2 2
1 1 2 2
1 2 1 2
,.,( 0,1,2,..,)
..,( 0 1,2,...,)
,,...,,,..,
,
r r i
r r i
rr
f
r
f k y k y k y k i r
f z z z i r
k k k
x A x
x C y x P z
设 有 实 二 次 型,它 的 秩 为
,有 两 个 实 可 逆 变 换 及使及惯 性
，
则 中 正 数 的 个 数 与 中 正 数的 数 。
理等定个 相定 理 ()
一、惯性定理二次型的标准形显然不是唯一的，只是标准形中所含项数是确定的（即是二次型的秩）。不仅如此，在限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是不变的（从而负系数的个数也不变），也就是二、正定二次型
( ) 0
( ) 0
( )
f
f
f
f
f
f
n
ff
x A x
x 0 x
A
x 0 x
A
x A x
x C y x
设 有 实 二 次 型如 果 对 任 何,都 有则 称 为 正 定 二 次 型,并 称 对 称 矩 阵 是 正 定 的 ；
如 果 对 任 何,都 有则 称 为 负 定 二 次 型,并 称 对 称 矩 阵 是 负 定 的,
实 二 次 型 为 正 定 的 充 分 必 要 条 件是,它 的 标 准 形 中 的 个 系 数 全 为 正,
设 可 逆 变 换 使义,
证,
定定 理 2.
2
1
()
,0 ( 1,2,...,)
n
ii
i
i
ky
k i n
Cy
先 证 充 分 性 设
1
2
1
( ) 0
,( ) 0
( ) ( ) 0
0 ( 1,2,...,)
n
ii
i
s
s s s
s
i
f k y
k
fk
f
k i n
x 0 y C x 0
x
y e C e
C e 0
A
任 给,则,故再 证 必 要 性 用 反 证 法 假 设 有,则 当单 位 坐 标 向 量 时,
显 然,,这 与 为 正 定 相 矛 盾 。 因 而对 称 矩 阵 为 正 定推 论,
A
的 充 分 必 要 条 件 是,
的 特 征 值 全 为 正 。
11 1
11 12
11
21 22
1
11 1
1
( )
...
0,0,...,...,..,.,0
...
...
( 1 ),..,..,.,0
.
..
n
n nn
r
r
r rr
aa
aa
a
aa
aa
aa
aa
A
A
A
霍 尔 维 茨 定 理 对 称 矩 阵 为 正 定 的 充分 必 要 条 件 是,的 各 阶 顺 序 主 子 式 都 为 正,
即对 称 矩 阵 为 负 定 的 充 分 必 要 条 件 是,奇 数 阶顺 序 主 子 式 为 负,而 偶 数 阶 顺 序 主 子 式 为 正,
即定 理 3.
( 1,2,...,)rn?
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3
2 2 2
1 2 3 2 3 2 3
2 2 2
1 2 3 2 3 3
6 5 7 4 4
6 5 7 4 4
1 1 13 19 4
6 ( )
3 3 3 3 3
1 1 13 2 81
6 ( ) ( )
3 3 3 13 1
.
1
3
f x x x x x x x
f x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
判 定 二 次 型是 否 为 正 定 二 次 型 。
用 配 方 法 化 二 次 型 为 标 准 形,然 后 由标 准 形 判 定 其 正 定解 法性 。 由 于例 1
1 1 2 3
2 2 2
2 2 3 1 2 3
33
11
33
2 1 3 8 1
6
1 3 3 1 3
y x x x
y x x f y y y
yx
f
令 则故 是 正 定 二 次 性 。
1 2 3
6 2 2
2 5 0
2 0 7
6 2 2
2 5 0 ( 3 ) ( 6) ( 9)
2 0 7
3
2
,6,9
f
A
AE
A
计 算 二 次 型 矩 阵 的 特 征 值,看 是 否 全大 于 零 。
所 以 的 特 征 值 为 均 为 正值,故 知 为 正 定解 法二 次 型 。
11
6 2 2
2 5 0
2 0 7
6 2 2
62
6 0,26 0,2 5 0 162 0
25
2 0 7
3
a
f
A
A
用 二 次 型 矩 阵 的 各 阶 主 子 式 是 否 全 大解 法于 零 判 断 。
故 知 为 正 定 二 次 型 。
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
22
5 2 2 4
11
1 2
1 2 5
1t
1 0,1 0,5 4 0
t1
.
f x x x t x x x x x x
t
f
t
t
f
t t t
A
A
设 二 次 型是 正 定 的,试 确 定 的 取 值 范 围 。
的 矩 阵 为为 正 定 的 充 分 必 要 条 件 是 顺 序 主 子 式 均大解于 零,即
：
例 2
2
2
410
0,
5 4 0 5
4
0
5
t
t
tt
tf
解 不 等 式 组 得即 当 时 是 正 定 二 次 型 。
2 2 2
11
5 6 4 4 4
5 2 2
2 6 0
2 0 4
52
5 0,26,
.
80 0,
26
3,
f x y z x y x z
f
a
f
A
AQ
判 别 二 次 型的 正 定 性 。
的 矩 阵 为根 据 定解,
理 知 为 负 定例 3
