第三章矩阵的初等变换本章通过引进矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念，然后再利用矩阵的初等变换求矩阵的逆矩阵和解线性方程组,
§ 3.1 矩阵的初等变换
§ 3.2 矩阵的秩
§ 3.3 初等矩阵
§ 3.4 线性方程组的解第一节 矩阵的初等 变 换矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到非常重要的作用。
引例,用消元法解下面的线性方程组
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 ( 1)
2 4 ( 2)
4 6 2 2 4 ( 3)
3 6 9 7 9 ( 4)
2 1 1 1 2
1 1 2 1 4
4 6 2 2 4
3 6 9 7 9
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
B
方 程 组 的 增 广 矩 阵
12
3
( 1) ( 2) 1 2 3 4
2( 3) 2
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 4 ( 1) 1 1 2 1 4
2 2 ( 2) 2 1 1 1 2
~~
2 3 2 ( 3) 2 3 1 1 2
3 6 9 7 93 6 9 7 9 ( 4)
rr
r
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
32
21
4
( 3) ( 2 )
2( 2 ) 2 ( 1 ) 1 2 3 4
3( 4 ) 3 ( 1 )
2 3 4
2 3 4
2 3 4
2 4 ( 1 ) 1 1 2 1 4
3 3 6 ( 2 ) 0 3 3 1 6
2 2 2 0 ( 3 ) 0 2 2 2 0
0 3 3 4 33 3 4 3 ( 4 )
rr
rr
rr
x x x x
x x x
x x x
x x x
3
32
43
( 2 )( 3) ( 2)
( 3 ) ( 2 ) 1 2 3 4
( 3 ) ( 4 )
2 3 4
2 3 4
4
2 4 ( 1) 1 1 2 1 4
0 ( 2) 0 1 1 1 0
~~
0 3 3 1 63 3 6 ( 3)
0 0 0 3 93 9 ( 4)
r
rr
rr
x x x x
x x x
x x x
x
32
4
3( 3 ) 3 ( 2 ) 1 2 3 4
3( 4 ) 3
2 3 4
4
4
2 4 ( 1 ) 1 1 2 1 4
0 ( 2 ) 0 1 1 1 0
~~
0 0 0 2 62 6 ( 3 )
0 0 0 1 33 ( 4 )
rr
r
x x x x
x x x
x
x
34
43
2( 3) 2 ( 4 ) 1 2 3 4
( 4 ) ( 3 )
2 3 4
4
2 4 ( 1 ) 1 1 2 1 4
0 ( 2 ) 0 1 1 1 0
0 0 0 1 33 ( 3 )
0 0 0 0 00 0 ( 4 )
rr
rr
x x x x
x x x
x
1 2 323
( 1) ( 2 ) ( 3 ) 13
( 2 ) ( 3 )
23
4
4 ( 1 ) 1 0 1 0 4
3 ( 2 ) 0 1 1 0 3
0 0 0 1 33 ( 3 )
0 0 0 0 00 0 ( 4 )
~~
r r r
rr
xx
xx
x
13
2 3 3
4
4
3
3
xx
x x x c
x
令,即 方 程 组 的 解 为,
在上述过程中，对线性方程组的消元操作实际上就是对整个线性方程组进行了三种操作,
(1)对某一方程两边同时乘以不为零的常数；
(2)交换方程组中两个方程的位置；
(3)给某一方程乘以常数 k加到另一个方程上去。
1
2
3
4
4 1 4
3 1 3
10
3 0 3
x c
x c
c
x c
x
x
上述的三种操作又都是可逆的，因而变换前的方程组与变换后的方程组是同解方程组。同时还看到，上述变换过程中实际上只对方程组的系数和常数进行运算，这就相当于是对该方程组所对应的增广矩阵进行了：
(1)给某一行所有元素都乘以一个非零常数；
(2)交换两行元素的位置；
(3)给某一行所有元素乘常数 k 加到 另一行的对应元素上去。
定义,下面三种变换称为矩阵的 初等行变换,
1)交换两行 (记为 ri? rj);
2)以数 k? 0乘某一行所有元素（记作 rj× k） ;
3)把某一行所有元素的 k倍加到另一行的对应元素上去（记作 ri+krj ）
把定义中和“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换 的定义（所用记号是把,r”换成
,c”）。
矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为 矩阵的初等变换 。
显然，三种初等变换都是可逆的，且其变换是同一类型的初等变换。变换 ri? rj的逆变换就是本身；变换 rj× k 的逆变换为 rj÷ k ；变换
ri+krj 的逆变换为 ri? k rj。
如果 A 经过有限次初等变换变为矩阵 B，
称矩阵 A与 B是等价的，记为 A～ B 。
矩阵的等价关系有如下性质：
反身性,A～ A
对称性,A～ B,则 B ～ A
传递性,A～ B,B ～ C，则 A ～ C
在数学上，我们把满足上述三条性质的关系称之为等价。
由前面的引例可以看出，同时也不难证明对矩阵进行行的初等变换，可以把矩阵化为行阶梯矩阵，进而可以化为行最简矩阵 。
对行最简矩阵再施以 列的初等变换,行最简矩阵可变成一种形状更简单的矩阵，称它为矩阵的标准形。矩阵标准形的特点是,其左上角是一单位矩阵，其余元素全是零 。可以证明，
任何一个 m× n阶矩阵 A，都可以经过初等
r
mn?
EF 0
00
此标准形由 m,n,r三个数完全确定，其中
r就是行阶梯矩阵中非零行的行数，所有与 A等价的矩阵组成了一个集合，这个集合称为一个等价类，标准形 F是这个等价类中形状最简单的矩阵。
2 3 1 3 7
1 2 0 2 4
3 2 8 3 0
2 3 7 4
.
3
1
A把 矩 阵 化 为 行 阶 梯 阵和 行 最 简 阵,并 求 它 的例标 准 形 。
变化化为标准形 F。
41
32
12
12
3
2
2 3 1 3 7 1 2 0 2 4
1 2 0 2 4 0 1 1 1 1
~
3 2 8 3 0 0 8 8 9 12
2 3 7 4 3 0 6 6 7 10
rr
rr
rr
rr
A解,
32
42
432
8
6
( 1 )
1 2 0 2 4 1 2 0 2 4
0 1 1 1 1 0 1 1 1 1
~~
0 0 0 1 4 0 0 0 1 4
0 0 0 1 4 0 0 0 0 0
rr
rr
rrr
1 0 2 0 2 1 0 0 0 0
0 1 1 0 3 0 1 0 0 0
~~
0 0 0 1 4 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
第二节 矩阵的秩在 m× n阶矩阵 A中，任取 k行与 k列 (k≤m，
k ≤n)，位于这些行列交叉点处的 k2个元素，不改变它们在 A中所处的位置次序而得的 k阶行列式，称为矩阵 A的 k阶子式。
m× n阶矩阵 A中的 k阶子式共有 个。
设在矩阵 A中有一个不等于 0的 r阶子式 D，
且所有 r＋ 1阶子式 (如果存在的话 )全等于 0，
那么 D称为矩阵 A的最高阶非零子式，数 r称为矩阵的秩。记作 R(A)。同时规定，零矩阵的秩等于 0。
knkm CC?
由行列式性质可知，在 A中当所有 r＋ 1阶子式全等于零时，所有高于 r＋ 1阶的子式也全等于零，因此 A的秩 R(A)就是 A中不等于零的子式的最高阶数。
由矩阵秩的定义可知，矩阵与它的转置矩阵的秩是相等的。
定理,若 A～ B,则 R(A)= R(B)
证,先证明：若 A经过一次行的初等变换变为 B，
则 R(A)≤ R(B)
设 R(A) = r，且 A的某个 r 阶子式 Dr? 0.
( 1)
( 2)
( 3)
...,..,..,..,..,..
...,..,..,..,..,..
ij
r k r
r r r
r r r
r
r il r il jl
D i B D
D i j B D
D i j
D a B a k a
A ~ B当 时,分 三 种 情 况 来 讨 论,
不 含 第 行,；
既 含 第 行,也 含 第 行,这 时,；
只 含 第 行,不 含 第 行,这 时
，在 B中总能找到与 Dr相对应的子式 Br，由于 Dr= Br或 Dr= － Br或 Br= kDr，
因此 Br≠0，从而 R(B)≥r。
ij irr rkA ~ B A ~ B当 或 时
0 0
R( )
r r r r r r r
r
B D k D D B D D
D i i
rr
A
B
,若,则 ； 若,
则 因 中 不 含 第 行 可 知 中 有 不 含 第 行 的阶 非 零 子 式,由 (1) 可 知以上证明了 A经过一次行初等变换变为 B
时，有 R(A)≤R(B).由于 B也可经过一次行初等变换变为 A，那么同样有 R(A)≥R(B).所以有
R(A)＝ R(B).
经一次行初等变换矩阵的秩不变，即可知经有限次行的初等变换矩阵的秩也不变。
设 A 经过列的初等变换变这 B，那么,AT
经过行的初等变换变为 BT，由上面的讨论可知,R(AT)=R(BT)
又因为,R(A) = R(AT) = R(BT) = R(B)
所以，矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
上面的命题给出了求矩阵的秩的一种常用办法。即就是对待求秩的矩阵进行行的初等变换化为行阶梯矩阵，那么非零行的行数就是矩阵的秩。
12
24
34
14
24
3 4 3
2 4 4 3
2
3
3
2 14
16
2 1 8 3 7 1 0 3 2 0
2 3 0 7 5 0 3 6 3 5
~
3 2 5 8 0 0 2 4 2 0
1 0 3 2 0 0 1 2 1 7
1 0 3 2 0 1 0 3 2 0
0 1 2 1 7 0 1 2 1 7
~ ~
0 0 0 0 14 0
0 0 0 0 16
rr
rr
rr
rr
rr
r r r
r r r r
解,
0 0 0 1
0 0 0 0 0
R ( ) 3
A
2 1 8 3 7
2 3 0 7 5
A
3 2 5 8 0
1 0 3 2 0
1.
AA设 ＝,求 矩 阵 的 秩,并 求 的一 个 最 高 阶 的 非例零 子 式 。
33
45
1 2 3 4 5
1 2 5
( ) 3 3
C C 4 10 40,
40
(,,,,)
2 1 7
2 3 5
(,,),( ) 3
3 2 0
1 0 0
R
R
AA
A
A A a a a a a
B a a a B
B B
由 于,可 知 的 最 高 阶 的 非 零 子 式 为阶,而 的 三 阶 子 式 共 有 ＝ ＝ 个 要从 个 子 式 中 找 出 一 个 非 零 子 式 是 比 较 麻 烦 的,
但 考 察 的 行 梯 矩 阵,记,
则 由 矩 阵 知,
故 中 必 有 三 阶 非 零 子 式 。 中 的 三 阶 子 式 4
2 1 7
3 2 0 14 0
1 0 0
A
只 有 个显 然 ,所 以 该 子 式 便 是 的 最 高阶 的 一 个 非 零 子 式 。
1 2 2 1 1
2 4 8 0 2
2 4 2 3 3
3 6 0 6 4
( | ),
(,)
(,)
( ) ( ),
1 2 2 1 1
2 4 8 0 2
~
2 4 2 3 3
3 6 0 6
2.
4
r
RR
A b A
B A b
B B A b
A A B A b
AB
B
设,,求 矩 阵 及 矩阵 的 秩对 进 行 行 的 初 等 变 换 变 为 行 阶 梯 矩 阵则 就 是 的 行 阶 梯 矩 阵,故 可 从 中 同 时解求 出例
、
：
21
31
21
2
2
3
1 2 2 1 1
0 0 4 2 0
0 0 2 1 5
0 0 6 3 1
rr
rr
r
3 2 3 42
3 2 4 3
22
35
1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1
0 0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 0
~ ~ ~
0 0 2 1 5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 1
0 0 6 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
( ) 2 ( ) 3
r r r rr
r r r r
RR
AB因 此,
1 1 1 2
3 1 2 ( ) 2
53
3.
6
a R a b
b
AA设,已 知,求,例 的 值,
3221
3 1 3 1
3
55
1 1 1 2 1 1 1 2
~ 0 3 4 4 ~ 0 3 4 4
0 8 5 4 0 5 1 0
( ) 2 5 0 1 0 5,1
rrrr
r r r r
aa
b a b
R a b a b
A
A
解,
由 于,,
T
0 ( ) m in{,}
( 2) ( ) ( )
( 3 ) ~,( ) ( )
( 4) ( ) ( )
( 5 ) m a x{ ( ) ( ) } ( | ) ( ) ( )
( 6) ( ) ( ) ( )
( 7) ( ) m in{ ( ) ( ) }
( 8 ) ( ) (
m n n p
R m n
RR
RR
RR
R R R R R
R R R
R R R
RR
A
AA
A B A B
P Q P AQ A
A B A B A B
A B A B
AB A B
A B 0 A B
关 于 矩 阵 的 秩,有 如 下
(1)
若 则若,可 逆,则
，
，
若,则性 质,
) n?
第三节 矩阵的初等 变 换定义,由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
三种初等变换所对应的三个初等矩阵为
1
...
1
...
1
(,),..
1
...
1
...
1
1
10
0
ij
E
1
...
1
( ( ) )
1
...
1
11
...,..
11
( ( ) ) ( ( ) )...,..
...,
11
..
11
ik
i j k
k
o i j k
k
k
r
E
EE
设矩阵 Am× n,Em(i,j),En(i,j),Em(i(k))，
En(i(k)),Em(ij(k)),En(ij(k))，则可以验证：
~ ( )
~ ( ( ) )
~ ( ( ) )
ij
i
ij
rr
m n m n m m n m n
kr
m n m n m m n m n
r k r
m n m n m m n m n
ij
ik
ij k
A B E A B
A B E A B
A B E A B
~ ( )
~ ( ( ) )
~ ( ( ) )
ij
i
ij
cc
m n m n m n n m n
kc
m n m n m n n m n
c k c
m n m n m n n m n
ij
ik
ij k
A B A E B
A B A E B
A B A E B
定理 1.设 A是一个 m× n 阶矩阵，对 A 施行一次初等行变换，相当于对 A 左乘以相应的 m 阶初等阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于对 A
右乘以相应的 n 阶初等矩阵。
11
1
1
(,) (,) ( ( ) ) ( ( ) )
( ( ) ) ( ( ) )
i j i j i k i
k
i j k i j k
E E E E
EE
由 于 初 等 变 换 对 应 初 等 矩 阵,而 初 等 变 换 是可 逆 的,所 以 初 等 矩 阵 也 可 逆,且 此 初 等 变 换的 逆 变 换 也 就 对 应 此 初 等 矩 阵 的 逆 矩 阵 。
11 31 12 3211 12
21 22 21 22
31 32 31 32
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
31 32 3 31 32 3
10
( 1) 0 1 0
0 0 1
1 0 0
( 2) 0 0
00
(
1.
1
nn
nn
nn
a k a a k aaak
a a a a
a a a a
a a,.,a a a,.,a
k a a,.,a k a k a,.,k a
a a,.,a a a,.,a
例
11 12 13 11 13 12
21 22 23 21 23 22
31 32 33 31 33 32
1 0 0
3 ) 0 0 1
0 1 0
b b b b b b
b b b b b b
b b b b b b
初等变换 初等矩阵初等逆变换 初等逆矩阵
1 2 1 2
12
1 2 1
12
...,..
...
,..,..
,
2.
..
nn
n
r r n
n
A
P P P A P P P
A ~ E E
A P P P
P P P E P P A
A P P P
设 为 可 逆 矩 阵,则 存 在 有 限 个 初 等 矩阵,,,,使因,故 经 有 限 次 初 等 变 换 可 变 为
,也 就 是 存 在 有 限 初 等 个,,,
使即,
定 理证,
mn
mn
A ~ B
PQ
P AQ B
A ~ B
阶 矩 阵 的 充 分 必 要 条 件 是,存在 阶 可 逆 矩 阵 及 阶 可 逆 矩 阵,使证,因 有 相 同 的 标 准 形,设推 论,
它 们 的 标
12
12
1 2 1
1 2 1
1 2 1 1 2 1
1 1 1
1 1 1 2
,,...,
,,...,
,..,..
,..,.,
,..,..,..,..
...,.
n
m
r r n
k k m
r r n k k m
kk
r
r
r
E0
P P P
00
Q Q Q
E0
P P P A P P
00
E0
Q Q Q B Q Q
00
P P P A P P Q Q Q B Q Q
P Q Q Q P P
准 形 为,则 存 在 初 等 和 初 等矩 阵 使 得所 以令
11
11
.,...,..
r r n m k
P Q P P Q Q
PAQ B则
12
1 1 1 1
1 2 1
1 1 1 1 1
1 2 1
1
1
2
0,..
,..
,..
,
m
mm
mm
m
A A P P P
P P P P A E
P P P P E A
A
EE
A
PP
由 定 理,可 得 出 一 种 求 逆 矩 阵 的 方 法,
当 时,由有及上 面 的 式 子 说 明,经 过 一 系 列 初 等 行 变 换 可以 化 为,同 时 也 可 经 过 同 一 系 列 初 等 行 变换 可 以 化 为 用 分 块 矩 阵 形 式,上 面 两 式 可 合并 为,
1 1 1 1
1 2 1
1
..,( | ) ( | )
2 ( | )
,
m
nn
P P A E E A
A E A
E E A
即 把 阶 矩 阵 进 行 初 等 行 变 换,并 把化 为,则 原 来 的 就 成 为
1
1 2 3
2 2 1,
3 4 3
1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0
( | ) 2 2 1 0 1 0 ~ 0 2 5 2 1 0
3 4 3 0 0 1 0 2 6 3 0 1
1 2 3 1 0 0 1 0 0 1 3 2
~ 0 2 5 2 1 0 ~ 0 2 0 3 6 5
0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
1 0 0 1 3 2
35
~ 0 1 0 3
2
2
2
.
AA
AE
设,求例解,
1
1 3 2
35
3
22
0 0 1 1 1 1 1 1 1
A
利用初等变换求逆矩阵的方法，还可用于求 A?1B.
由 A?1(A|B)=(E|A?1B)
可知，若对矩阵 (A|B)施行初等行变换，当把 A变为 E时,B就变为 A?1B.
1
4 1 2 1 3
2 2 1 2 2
3 1 1 3 1
( | )
4 1 2 1 3 1 0 1 2 2 1 0 1 2 2
2 2 1 2 2 ~ 2 2 1 2 2 ~ 0 2 3 6 6
3 1 1 3 1 3 1 1 3 1 0 1 9 5
.
2
X AX B
AB
X A B A B
求 矩 阵,使,其 中
，
，
例 3
解,
11
1
1
TT
1 0 1 2 4 1 0 1 2 4 1 0 0 10 0
~ 0 0 1 12 4 ~ 0 1 2 9 5 ~ 0 1 0 15 3
0 1 2 9 5 0 0 1 12 4 0 0 1 12 4
~
A B C A
EAA
CC CA
CA
AC
用 初 等 行 变 换 的 方 法 可 求 得,同 理 如 果 要 求,
则 可 对 矩 阵 进 行 初 等 列 变 换,使,
即 可 得 。 不 过 通 常 都 习 惯 作 初 等 行 变 换,那 么 可 改写 为 对 作 初 等 行 变
T T T 1 1
1 T 1 T T
~ ( )
[ ( ) ]
A C E A C
C A A C
换,使
,即 可 得
1 2 3
1
1 2 3 1 2 3
( 1)
0 0 1 0 1 1
0 1 0 0 1
1 0 0 0 1 1
0 0 0 1 1 1
(
.
)
4
k
c
P P P
P P P P P P
设 初 等 矩 阵求例及
1 2 3
0 0 1 0 1 1
0 1 0 0 1
( 1 )
1 0 0 0 1 1
000
:
1 1 1
k
c
P P P
解
1 1 1 1
1 2 3 3 2 1
1
1
0 1 0
1
1 0 1 1 0
1 1 1
()
1 1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 1 0 0 01
1 0 0 0 11
1 0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 01
0 0 0 11
k
k
kk
cc
c
c
P P P P P P
1
1
1
1
k
c
12
12
( 2),,
1 0 0 0 0 1 1 2 3
2 1 0 0 1 0 2 3 4
0 0 1 1 0 0 3 4 5
A P BP A
P P B
已 知 求其 中
1 0 0 1 2 3 0 0 1
2 1 0 2 3 4 0 1 0
0 0 1 3 4 5 1 0 0
1 2 3 0 0 1 3 2 1
0 1 2 0 1 0 2 1 0
3 4 5 1 0 0 5 4 3
:
A解
,1
2 2 2,.,2
0 1 1,.,1
,0 0 1,.,1
...,..,..,..
0 0 0,.,1
5.
.
n
ij
ij
n
AA
A
已 知 阶 方 阵 求 中 所 有 元 素的 代 数 余 子 式 之 和例
* 1 1
| | 2,| | 2
2 2 2,.,2 1 0 0,.,0
0 1 1,.,1 0 1 0,.,0
| 0 0 1,.,1 0 0 1,.,0
...,..,..,..,..,..,..,..
0 0 0,.,1 0 0 0,.,1
:
A A A A A
AE
解
1
1
1 0 0,.,0 1 0,.,0
2
0 1 0,.,0 0 1 1,.,0
...,..,..,..,..,..,..,..,..
0 0,.,1 0 0 0,.,1 1
0 0,.,0 1 0 0,.,0 1
1
1 0,.,0
2
0 1 1,.,0
...,..,..,..,..
0 0,.,1 1
0 0,.,0 1
A
,1
12 [ ( 1 ) ( 1 ) ] 1
2
n
ij
ij
nn
A
1 0 0
2 0 1
1
.
6.
00
A将 矩 阵 表 示 成 初 等 矩 阵乘 积 的 形 式例
21
12
1 1 1
2 1 1 2
2
,,,
...,,...,..
1 0 0 1 0 0
2 0 1 0 0 1
0 1 0 0 1 0
:
k S k
rr
A P P
P P P P A E A P P P
A
因 为 矩 阵 可 逆 所 以 存 在 初 等 矩 阵使 得而解
2 3 32 ( 1 )( 1 )1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
r r rr
1 1 1 1
:
1 1 1 1
1 1 1 2 1 =
1 1 1 1
1 1 1 1
2 1 1 1 1
1 1 1 1
AE
A
即
1 1 1 1
2 1 1 1 1
1 1 1 1
第四节 线性方程组 的 解
()
( ) D
D
( )
( )
( )
1
mn
n
n
n
Rn
R n n
n
Rn
Rn
Rr
A x 0
A
AA
A
A
A
元 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解 的 充要 条 件 是 系 数 矩 阵 的 秩
先 证 必 要 性假 设,则 中 必 有 一 个 阶 非 零 子 式,
然 而 所 对 应 的 个 方 程 只 有 零 解,这 与 方 程 组有 非 零 解 矛 盾,因 此 不 能 成 立,即,
再 证 充定分 性,
当理,
证,
1
nr
nr
A,即 在 的 行 阶 梯 矩 阵 中 只 有个 非 零 行,进 而 知 其 有 个 自 由 未 知 量,任 取 一自 由 未 知 量 为,其 余 未 知 量 为 零,即 得 方 程 组 的非 零 解 。
( ) ( | )
( ) ( | ) ( | )
0 1
(
2
( )
mn
n
RR
RR
RR
A x b
A A b
A A b A b
A
元 非 齐 次 线 性 方 程 组 有 解 的 充 要条 件 是 系 数 矩 阵 和 增 广 矩 阵 的 秩 相 等 。 即先 证 必 要 性,
当,则 的 行 阶 梯 矩 阵 中 的 最后 一 行 非 零 行 是 一 个 矛 盾 的 方 程,这 与 方程 组 有 解 相 矛 盾,所 以 有定 理证,
,
|)
( ) ( | ) ( ) ( | )
R R r r n
rr
Ab
A A b A b再 证 充 分 性,当,则的 行 梯 矩 阵 中 有 个 非 零 行,把 前 个 非 零 行 的 第 一个 非 零 元 素 所 对 应 的 未 知 量 作 为 非 自 由 未 知 量,其 余
1 2
1 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
,,...,
,,...,
n r n r
n r n r
R R n
R R r r n
n r c c
c n r c c c
AB
AB
个 未 知 量 作 为 自 由 未 知 量,并 令 个 自由 未 知 量 全 为 零,即 可 得 方 程 组 的 一 个 解 。
当 时,方 程 组 没 有 自 由 未知 量,所 以 方 程 组 只 有 唯 一 解 ；
当 时,这 时 方 程 组 有个 自 由 未 知 量,令 它 们 分 别 等 于
,可 得 含 有 个 参 数 的 解,
这 些 参 数 可 取 任 意 的 值,因
nr?
此 这 时 方 程 组 有 无限 多 个 解 。 并 且 这 些 含 有 个 参 数 的 解 可 表示 方 程 组 的 任 一 解,因 此 这 些 解 称 为 方 程 组 的通 解 。
在解线性方程组时，对于齐次线性方程组，只需要把的系数矩阵化为行最简矩阵，
便能写出该方程组的通解；对于非齐次线性方程组，只需把它的增广矩阵化为行梯矩阵，
便能根据定理 2判断该方程组是否有解；在有解的前提下，再把增广矩阵进一步化为行最简矩阵，便能写出它的通解。
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 0
2 2 2 0
4 3 0
1 2 2 1
1 2 2 1 1 2 2 1
4
2 1 2 2 ~ 0 3 6 4 ~ 0 1 2
3
1 1 4 3 0 3 6 4
0 0 0 0
1 0 2 5 3
~ 0 1 2 4 3
00
1.
00
x x x x
x x x x
x x x x
A
A
求 解 齐 次 线 性 方 程 组对 矩 阵 进 行 行 的 初 等 变 换 化 为 行 最 简 矩 阵,
例解,
1 3 4
2 3 4
3 1 4 2
1 1 2
1
2
2 1 2
12
3
431
42
5
20
3
4
20
3
,
5
5
2
3 2
3
4
24
2
13
3
0 0
1
x x x
x x x
x c x c
x c c
x
x
x c c cc
x
xxc
xc
即 得 同 解 方 程 组令,则 有,
12
( )cc,为 任 意 常 数
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 1
3 5 3 2
2 2 2 3
1 2 3 1 1 1 2 3 1 1
3 1 5 3 2 ~ 0 5 4 0 1
2 1 2 2 3 0 5 4 0 1
1 2 3 1 1
~ 0 5 4 0 1 R (
0 0 0 0 2
2.
x x x x
x x x x
x x x x
B
B
A
求 解 非 齐 次 线 性 方 程 组对 增 广 矩 阵 施 行 初 等 行 变 换
可 得,
例解,
) 2 R ( ) 3B
故 方 程 组 无 解 。
1 2 3
41
2 3 1
| | 0
7 21 0
3.
3
t
t
tt
AB
A B O
A B O B O A x 0
A
A
方 阵,为 三 阶 非 零 矩 阵,且
,求由 且 知 齐 次 线 性 方 程 组有 非 零 解,故 方 程 组 的 的例系 数 行 列 式,
而设解,
1 2 3 4
1 2 3 4
1 3 4
1 2 4
- 2 1
2 - 2 3
2
3 - 3 5
1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1
2 1 1 2 3 0 1 3 0 1 0 1 3 0
~~
1 0 1 1 2 0 1 3 0 1
3 1 0 3 5 0 2 0
4
6
.
2
x x x x
x x x x
x x x
x x x
B
B
求 非 齐 次 线 性 方 程 组的 通 解 。
对 增 广 矩 阵 进 行 初 等 行 变 换 化 为 行 最例解,简 矩 阵,
1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 0 1 1 2
0 1 3 0 1
~
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 3 4 1 3 4
2 3 2 3
3 1 4 2
1 12
2 1
12
3 1
24
( ) ( ) 2 4
22
3 1 1 3
,
2 2 1 1
13 1 3 0
0 1 0
0 0 1
RR
x x x x x x
x x x x
x c x c
x cc
x c
cc
x c
cx
AB因,所 以 行 最 简 矩 阵 对 应 的 方程 为,
,即令,即 得,
1 2 3
1 2 3
1 2 3
( 2 ) 2 2 1
2 ( 5 ) 4 2
2 4 ( 5 ) 1
,
.
.
a x x x
x a x x
x x a x a
a
设问 为 何 值 时 此 方 程 组 有 唯 一 解,无 解 或 有 无 穷 多解？ 并 在 有 无 穷 多 解 时 求例其 通 解
5
23
13
31
1
2
22
2
( 1 )
2 2 2 1
( | ) 2 5 4 2
2 4 5 1
2 4 5 1
~ 0 1 1 1
66
0 2( 1 )
2
:
2
rr
rr
a
rr
r
a
a
aa
aa
a a a
a a a a
a
Ab
该 方 程 组 的 增 广 矩 阵 为解
32
3
2
2
1
2 4 5 1
~ 0 1 1 1
0 0 ( 10) ( 1 ) ( 4) ( 1 )
10,( | ) 3,( ) 2,;
10 1,( | ) ( ) 3,
1,( | ) ( ) 1,,
1 2 2 1
( | ) ~ 0 0 0 0
0 0 0 0
rr
r
aa
a a a
a a a a
a R R
a a R R
a R R
x
A b A
A b A
A b A
Ab
当 时 方 程 组 无 解当 且 时 方 程 组 有 唯 一解 ；
当 时 方 程 组 有 无 穷 多 组 解这 时 即
23
T
1 2 1 2
T T T
12
2 2 1
( 1 2 2,,)
( 1,0,0) ( 2,1,0) ( 2,0,1 )
xx
c c c c
cc
x
3.
( ) ( | )RR
A X B
A A B
定 理 矩 阵 方 程 有 解 的 充 分 必 要 条 件 是
1 2 1 2
,
,:
(,,...,),(,,...,)
1,2,...,
,( ) ( | ),
( ) ( | ) ( | )
( ) ( |
:
)
pp
ii
i
i
m n m p n p
ip
RR
R R R
RR
A B X X
B
X x x x B b b b
A X B A x b
A A B
A A b A B
A A b
设 为 阶 为 阶,则 为 阶,把和 按 列 分 块 记 为则 方 程 ( )
充 分故 有证性 设 由 于明
,
1,2,...,
,.
ii
p
ip
A x b
A X B
因 而 个 向 量 方 程
()
都 有 解 于 是 矩 阵 方 程 就 有 解
T
12
12
1 1 2 2
1 2 1
:,
1,2,...,,:
,,...,1,2,...,
(,,...,),
,.,1,2,...,
( | ) (,,...,|,
ii
i i i ni
n
i i ni n i
n
p
ip
ip
ip
A X B
A x b
x
A a a a
a a a b
A B a a a b
必 要 性 设 矩 阵 方 程 有 解 从 而 个 向 量 方 程
() 都 有 解 设 解 为
()
记 即 有
()
对 矩 阵
1 1 2 2
2
1 2 1 2
,..
( 1,2,...,)
12
,...,)
:
( | ) (,,...,|,,...,)
~ (,,...,|,,...,) ( | )
( ) ( | )
n i i i ni n
p
np
c c c c
ip
n
RR
bb
A B a a a b b b
a a a 0 0 0 A O
A A B
作 初 等 列 变换,即故
,( ) m i4,n { ( ),( ) }R R RA B C C A B设 矩 阵定 则理
T T T T T
TT
,
3,( ) ( | )
( ) ( | ) ( ) ( )
,( ) ( )
( ) ( ),( ) ( )
( ) m in{ (
.
),( ) }
RR
R R R R
RR
R R R R
R R R
A B C A X C X B
A A C
C A C C A
A B C B A C C B
C C B B
C A B
由 于 则 矩 阵 方 程 有 解于 是 由 定 理 有而又 由 所 以而故证 明
(
.
)
m n n p m p
Rn
A X O
A
设 矩 阵 方 程 只 有 零 解 的 充 分必 要 条 件 是定 理 5
§ 3.1 矩阵的初等变换
§ 3.2 矩阵的秩
§ 3.3 初等矩阵
§ 3.4 线性方程组的解第一节 矩阵的初等 变 换矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到非常重要的作用。
引例,用消元法解下面的线性方程组
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 ( 1)
2 4 ( 2)
4 6 2 2 4 ( 3)
3 6 9 7 9 ( 4)
2 1 1 1 2
1 1 2 1 4
4 6 2 2 4
3 6 9 7 9
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
B
方 程 组 的 增 广 矩 阵
12
3
( 1) ( 2) 1 2 3 4
2( 3) 2
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 4 ( 1) 1 1 2 1 4
2 2 ( 2) 2 1 1 1 2
~~
2 3 2 ( 3) 2 3 1 1 2
3 6 9 7 93 6 9 7 9 ( 4)
rr
r
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
32
21
4
( 3) ( 2 )
2( 2 ) 2 ( 1 ) 1 2 3 4
3( 4 ) 3 ( 1 )
2 3 4
2 3 4
2 3 4
2 4 ( 1 ) 1 1 2 1 4
3 3 6 ( 2 ) 0 3 3 1 6
2 2 2 0 ( 3 ) 0 2 2 2 0
0 3 3 4 33 3 4 3 ( 4 )
rr
rr
rr
x x x x
x x x
x x x
x x x
3
32
43
( 2 )( 3) ( 2)
( 3 ) ( 2 ) 1 2 3 4
( 3 ) ( 4 )
2 3 4
2 3 4
4
2 4 ( 1) 1 1 2 1 4
0 ( 2) 0 1 1 1 0
~~
0 3 3 1 63 3 6 ( 3)
0 0 0 3 93 9 ( 4)
r
rr
rr
x x x x
x x x
x x x
x
32
4
3( 3 ) 3 ( 2 ) 1 2 3 4
3( 4 ) 3
2 3 4
4
4
2 4 ( 1 ) 1 1 2 1 4
0 ( 2 ) 0 1 1 1 0
~~
0 0 0 2 62 6 ( 3 )
0 0 0 1 33 ( 4 )
rr
r
x x x x
x x x
x
x
34
43
2( 3) 2 ( 4 ) 1 2 3 4
( 4 ) ( 3 )
2 3 4
4
2 4 ( 1 ) 1 1 2 1 4
0 ( 2 ) 0 1 1 1 0
0 0 0 1 33 ( 3 )
0 0 0 0 00 0 ( 4 )
rr
rr
x x x x
x x x
x
1 2 323
( 1) ( 2 ) ( 3 ) 13
( 2 ) ( 3 )
23
4
4 ( 1 ) 1 0 1 0 4
3 ( 2 ) 0 1 1 0 3
0 0 0 1 33 ( 3 )
0 0 0 0 00 0 ( 4 )
~~
r r r
rr
xx
xx
x
13
2 3 3
4
4
3
3
xx
x x x c
x
令,即 方 程 组 的 解 为,
在上述过程中，对线性方程组的消元操作实际上就是对整个线性方程组进行了三种操作,
(1)对某一方程两边同时乘以不为零的常数；
(2)交换方程组中两个方程的位置；
(3)给某一方程乘以常数 k加到另一个方程上去。
1
2
3
4
4 1 4
3 1 3
10
3 0 3
x c
x c
c
x c
x
x
上述的三种操作又都是可逆的，因而变换前的方程组与变换后的方程组是同解方程组。同时还看到，上述变换过程中实际上只对方程组的系数和常数进行运算，这就相当于是对该方程组所对应的增广矩阵进行了：
(1)给某一行所有元素都乘以一个非零常数；
(2)交换两行元素的位置；
(3)给某一行所有元素乘常数 k 加到 另一行的对应元素上去。
定义,下面三种变换称为矩阵的 初等行变换,
1)交换两行 (记为 ri? rj);
2)以数 k? 0乘某一行所有元素（记作 rj× k） ;
3)把某一行所有元素的 k倍加到另一行的对应元素上去（记作 ri+krj ）
把定义中和“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换 的定义（所用记号是把,r”换成
,c”）。
矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为 矩阵的初等变换 。
显然，三种初等变换都是可逆的，且其变换是同一类型的初等变换。变换 ri? rj的逆变换就是本身；变换 rj× k 的逆变换为 rj÷ k ；变换
ri+krj 的逆变换为 ri? k rj。
如果 A 经过有限次初等变换变为矩阵 B，
称矩阵 A与 B是等价的，记为 A～ B 。
矩阵的等价关系有如下性质：
反身性,A～ A
对称性,A～ B,则 B ～ A
传递性,A～ B,B ～ C，则 A ～ C
在数学上，我们把满足上述三条性质的关系称之为等价。
由前面的引例可以看出，同时也不难证明对矩阵进行行的初等变换，可以把矩阵化为行阶梯矩阵，进而可以化为行最简矩阵 。
对行最简矩阵再施以 列的初等变换,行最简矩阵可变成一种形状更简单的矩阵，称它为矩阵的标准形。矩阵标准形的特点是,其左上角是一单位矩阵，其余元素全是零 。可以证明，
任何一个 m× n阶矩阵 A，都可以经过初等
r
mn?
EF 0
00
此标准形由 m,n,r三个数完全确定，其中
r就是行阶梯矩阵中非零行的行数，所有与 A等价的矩阵组成了一个集合，这个集合称为一个等价类，标准形 F是这个等价类中形状最简单的矩阵。
2 3 1 3 7
1 2 0 2 4
3 2 8 3 0
2 3 7 4
.
3
1
A把 矩 阵 化 为 行 阶 梯 阵和 行 最 简 阵,并 求 它 的例标 准 形 。
变化化为标准形 F。
41
32
12
12
3
2
2 3 1 3 7 1 2 0 2 4
1 2 0 2 4 0 1 1 1 1
~
3 2 8 3 0 0 8 8 9 12
2 3 7 4 3 0 6 6 7 10
rr
rr
rr
rr
A解,
32
42
432
8
6
( 1 )
1 2 0 2 4 1 2 0 2 4
0 1 1 1 1 0 1 1 1 1
~~
0 0 0 1 4 0 0 0 1 4
0 0 0 1 4 0 0 0 0 0
rr
rr
rrr
1 0 2 0 2 1 0 0 0 0
0 1 1 0 3 0 1 0 0 0
~~
0 0 0 1 4 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
第二节 矩阵的秩在 m× n阶矩阵 A中，任取 k行与 k列 (k≤m，
k ≤n)，位于这些行列交叉点处的 k2个元素，不改变它们在 A中所处的位置次序而得的 k阶行列式，称为矩阵 A的 k阶子式。
m× n阶矩阵 A中的 k阶子式共有 个。
设在矩阵 A中有一个不等于 0的 r阶子式 D，
且所有 r＋ 1阶子式 (如果存在的话 )全等于 0，
那么 D称为矩阵 A的最高阶非零子式，数 r称为矩阵的秩。记作 R(A)。同时规定，零矩阵的秩等于 0。
knkm CC?
由行列式性质可知，在 A中当所有 r＋ 1阶子式全等于零时，所有高于 r＋ 1阶的子式也全等于零，因此 A的秩 R(A)就是 A中不等于零的子式的最高阶数。
由矩阵秩的定义可知，矩阵与它的转置矩阵的秩是相等的。
定理,若 A～ B,则 R(A)= R(B)
证,先证明：若 A经过一次行的初等变换变为 B，
则 R(A)≤ R(B)
设 R(A) = r，且 A的某个 r 阶子式 Dr? 0.
( 1)
( 2)
( 3)
...,..,..,..,..,..
...,..,..,..,..,..
ij
r k r
r r r
r r r
r
r il r il jl
D i B D
D i j B D
D i j
D a B a k a
A ~ B当 时,分 三 种 情 况 来 讨 论,
不 含 第 行,；
既 含 第 行,也 含 第 行,这 时,；
只 含 第 行,不 含 第 行,这 时
，在 B中总能找到与 Dr相对应的子式 Br，由于 Dr= Br或 Dr= － Br或 Br= kDr，
因此 Br≠0，从而 R(B)≥r。
ij irr rkA ~ B A ~ B当 或 时
0 0
R( )
r r r r r r r
r
B D k D D B D D
D i i
rr
A
B
,若,则 ； 若,
则 因 中 不 含 第 行 可 知 中 有 不 含 第 行 的阶 非 零 子 式,由 (1) 可 知以上证明了 A经过一次行初等变换变为 B
时，有 R(A)≤R(B).由于 B也可经过一次行初等变换变为 A，那么同样有 R(A)≥R(B).所以有
R(A)＝ R(B).
经一次行初等变换矩阵的秩不变，即可知经有限次行的初等变换矩阵的秩也不变。
设 A 经过列的初等变换变这 B，那么,AT
经过行的初等变换变为 BT，由上面的讨论可知,R(AT)=R(BT)
又因为,R(A) = R(AT) = R(BT) = R(B)
所以，矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
上面的命题给出了求矩阵的秩的一种常用办法。即就是对待求秩的矩阵进行行的初等变换化为行阶梯矩阵，那么非零行的行数就是矩阵的秩。
12
24
34
14
24
3 4 3
2 4 4 3
2
3
3
2 14
16
2 1 8 3 7 1 0 3 2 0
2 3 0 7 5 0 3 6 3 5
~
3 2 5 8 0 0 2 4 2 0
1 0 3 2 0 0 1 2 1 7
1 0 3 2 0 1 0 3 2 0
0 1 2 1 7 0 1 2 1 7
~ ~
0 0 0 0 14 0
0 0 0 0 16
rr
rr
rr
rr
rr
r r r
r r r r
解,
0 0 0 1
0 0 0 0 0
R ( ) 3
A
2 1 8 3 7
2 3 0 7 5
A
3 2 5 8 0
1 0 3 2 0
1.
AA设 ＝,求 矩 阵 的 秩,并 求 的一 个 最 高 阶 的 非例零 子 式 。
33
45
1 2 3 4 5
1 2 5
( ) 3 3
C C 4 10 40,
40
(,,,,)
2 1 7
2 3 5
(,,),( ) 3
3 2 0
1 0 0
R
R
AA
A
A A a a a a a
B a a a B
B B
由 于,可 知 的 最 高 阶 的 非 零 子 式 为阶,而 的 三 阶 子 式 共 有 ＝ ＝ 个 要从 个 子 式 中 找 出 一 个 非 零 子 式 是 比 较 麻 烦 的,
但 考 察 的 行 梯 矩 阵,记,
则 由 矩 阵 知,
故 中 必 有 三 阶 非 零 子 式 。 中 的 三 阶 子 式 4
2 1 7
3 2 0 14 0
1 0 0
A
只 有 个显 然 ,所 以 该 子 式 便 是 的 最 高阶 的 一 个 非 零 子 式 。
1 2 2 1 1
2 4 8 0 2
2 4 2 3 3
3 6 0 6 4
( | ),
(,)
(,)
( ) ( ),
1 2 2 1 1
2 4 8 0 2
~
2 4 2 3 3
3 6 0 6
2.
4
r
RR
A b A
B A b
B B A b
A A B A b
AB
B
设,,求 矩 阵 及 矩阵 的 秩对 进 行 行 的 初 等 变 换 变 为 行 阶 梯 矩 阵则 就 是 的 行 阶 梯 矩 阵,故 可 从 中 同 时解求 出例
、
：
21
31
21
2
2
3
1 2 2 1 1
0 0 4 2 0
0 0 2 1 5
0 0 6 3 1
rr
rr
r
3 2 3 42
3 2 4 3
22
35
1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1
0 0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 0
~ ~ ~
0 0 2 1 5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 1
0 0 6 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
( ) 2 ( ) 3
r r r rr
r r r r
RR
AB因 此,
1 1 1 2
3 1 2 ( ) 2
53
3.
6
a R a b
b
AA设,已 知,求,例 的 值,
3221
3 1 3 1
3
55
1 1 1 2 1 1 1 2
~ 0 3 4 4 ~ 0 3 4 4
0 8 5 4 0 5 1 0
( ) 2 5 0 1 0 5,1
rrrr
r r r r
aa
b a b
R a b a b
A
A
解,
由 于,,
T
0 ( ) m in{,}
( 2) ( ) ( )
( 3 ) ~,( ) ( )
( 4) ( ) ( )
( 5 ) m a x{ ( ) ( ) } ( | ) ( ) ( )
( 6) ( ) ( ) ( )
( 7) ( ) m in{ ( ) ( ) }
( 8 ) ( ) (
m n n p
R m n
RR
RR
RR
R R R R R
R R R
R R R
RR
A
AA
A B A B
P Q P AQ A
A B A B A B
A B A B
AB A B
A B 0 A B
关 于 矩 阵 的 秩,有 如 下
(1)
若 则若,可 逆,则
，
，
若,则性 质,
) n?
第三节 矩阵的初等 变 换定义,由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
三种初等变换所对应的三个初等矩阵为
1
...
1
...
1
(,),..
1
...
1
...
1
1
10
0
ij
E
1
...
1
( ( ) )
1
...
1
11
...,..
11
( ( ) ) ( ( ) )...,..
...,
11
..
11
ik
i j k
k
o i j k
k
k
r
E
EE
设矩阵 Am× n,Em(i,j),En(i,j),Em(i(k))，
En(i(k)),Em(ij(k)),En(ij(k))，则可以验证：
~ ( )
~ ( ( ) )
~ ( ( ) )
ij
i
ij
rr
m n m n m m n m n
kr
m n m n m m n m n
r k r
m n m n m m n m n
ij
ik
ij k
A B E A B
A B E A B
A B E A B
~ ( )
~ ( ( ) )
~ ( ( ) )
ij
i
ij
cc
m n m n m n n m n
kc
m n m n m n n m n
c k c
m n m n m n n m n
ij
ik
ij k
A B A E B
A B A E B
A B A E B
定理 1.设 A是一个 m× n 阶矩阵，对 A 施行一次初等行变换，相当于对 A 左乘以相应的 m 阶初等阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于对 A
右乘以相应的 n 阶初等矩阵。
11
1
1
(,) (,) ( ( ) ) ( ( ) )
( ( ) ) ( ( ) )
i j i j i k i
k
i j k i j k
E E E E
EE
由 于 初 等 变 换 对 应 初 等 矩 阵,而 初 等 变 换 是可 逆 的,所 以 初 等 矩 阵 也 可 逆,且 此 初 等 变 换的 逆 变 换 也 就 对 应 此 初 等 矩 阵 的 逆 矩 阵 。
11 31 12 3211 12
21 22 21 22
31 32 31 32
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
31 32 3 31 32 3
10
( 1) 0 1 0
0 0 1
1 0 0
( 2) 0 0
00
(
1.
1
nn
nn
nn
a k a a k aaak
a a a a
a a a a
a a,.,a a a,.,a
k a a,.,a k a k a,.,k a
a a,.,a a a,.,a
例
11 12 13 11 13 12
21 22 23 21 23 22
31 32 33 31 33 32
1 0 0
3 ) 0 0 1
0 1 0
b b b b b b
b b b b b b
b b b b b b
初等变换 初等矩阵初等逆变换 初等逆矩阵
1 2 1 2
12
1 2 1
12
...,..
...
,..,..
,
2.
..
nn
n
r r n
n
A
P P P A P P P
A ~ E E
A P P P
P P P E P P A
A P P P
设 为 可 逆 矩 阵,则 存 在 有 限 个 初 等 矩阵,,,,使因,故 经 有 限 次 初 等 变 换 可 变 为
,也 就 是 存 在 有 限 初 等 个,,,
使即,
定 理证,
mn
mn
A ~ B
PQ
P AQ B
A ~ B
阶 矩 阵 的 充 分 必 要 条 件 是,存在 阶 可 逆 矩 阵 及 阶 可 逆 矩 阵,使证,因 有 相 同 的 标 准 形,设推 论,
它 们 的 标
12
12
1 2 1
1 2 1
1 2 1 1 2 1
1 1 1
1 1 1 2
,,...,
,,...,
,..,..
,..,.,
,..,..,..,..
...,.
n
m
r r n
k k m
r r n k k m
kk
r
r
r
E0
P P P
00
Q Q Q
E0
P P P A P P
00
E0
Q Q Q B Q Q
00
P P P A P P Q Q Q B Q Q
P Q Q Q P P
准 形 为,则 存 在 初 等 和 初 等矩 阵 使 得所 以令
11
11
.,...,..
r r n m k
P Q P P Q Q
PAQ B则
12
1 1 1 1
1 2 1
1 1 1 1 1
1 2 1
1
1
2
0,..
,..
,..
,
m
mm
mm
m
A A P P P
P P P P A E
P P P P E A
A
EE
A
PP
由 定 理,可 得 出 一 种 求 逆 矩 阵 的 方 法,
当 时,由有及上 面 的 式 子 说 明,经 过 一 系 列 初 等 行 变 换 可以 化 为,同 时 也 可 经 过 同 一 系 列 初 等 行 变换 可 以 化 为 用 分 块 矩 阵 形 式,上 面 两 式 可 合并 为,
1 1 1 1
1 2 1
1
..,( | ) ( | )
2 ( | )
,
m
nn
P P A E E A
A E A
E E A
即 把 阶 矩 阵 进 行 初 等 行 变 换,并 把化 为,则 原 来 的 就 成 为
1
1 2 3
2 2 1,
3 4 3
1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0
( | ) 2 2 1 0 1 0 ~ 0 2 5 2 1 0
3 4 3 0 0 1 0 2 6 3 0 1
1 2 3 1 0 0 1 0 0 1 3 2
~ 0 2 5 2 1 0 ~ 0 2 0 3 6 5
0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
1 0 0 1 3 2
35
~ 0 1 0 3
2
2
2
.
AA
AE
设,求例解,
1
1 3 2
35
3
22
0 0 1 1 1 1 1 1 1
A
利用初等变换求逆矩阵的方法，还可用于求 A?1B.
由 A?1(A|B)=(E|A?1B)
可知，若对矩阵 (A|B)施行初等行变换，当把 A变为 E时,B就变为 A?1B.
1
4 1 2 1 3
2 2 1 2 2
3 1 1 3 1
( | )
4 1 2 1 3 1 0 1 2 2 1 0 1 2 2
2 2 1 2 2 ~ 2 2 1 2 2 ~ 0 2 3 6 6
3 1 1 3 1 3 1 1 3 1 0 1 9 5
.
2
X AX B
AB
X A B A B
求 矩 阵,使,其 中
，
，
例 3
解,
11
1
1
TT
1 0 1 2 4 1 0 1 2 4 1 0 0 10 0
~ 0 0 1 12 4 ~ 0 1 2 9 5 ~ 0 1 0 15 3
0 1 2 9 5 0 0 1 12 4 0 0 1 12 4
~
A B C A
EAA
CC CA
CA
AC
用 初 等 行 变 换 的 方 法 可 求 得,同 理 如 果 要 求,
则 可 对 矩 阵 进 行 初 等 列 变 换,使,
即 可 得 。 不 过 通 常 都 习 惯 作 初 等 行 变 换,那 么 可 改写 为 对 作 初 等 行 变
T T T 1 1
1 T 1 T T
~ ( )
[ ( ) ]
A C E A C
C A A C
换,使
,即 可 得
1 2 3
1
1 2 3 1 2 3
( 1)
0 0 1 0 1 1
0 1 0 0 1
1 0 0 0 1 1
0 0 0 1 1 1
(
.
)
4
k
c
P P P
P P P P P P
设 初 等 矩 阵求例及
1 2 3
0 0 1 0 1 1
0 1 0 0 1
( 1 )
1 0 0 0 1 1
000
:
1 1 1
k
c
P P P
解
1 1 1 1
1 2 3 3 2 1
1
1
0 1 0
1
1 0 1 1 0
1 1 1
()
1 1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 1 0 0 01
1 0 0 0 11
1 0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 01
0 0 0 11
k
k
kk
cc
c
c
P P P P P P
1
1
1
1
k
c
12
12
( 2),,
1 0 0 0 0 1 1 2 3
2 1 0 0 1 0 2 3 4
0 0 1 1 0 0 3 4 5
A P BP A
P P B
已 知 求其 中
1 0 0 1 2 3 0 0 1
2 1 0 2 3 4 0 1 0
0 0 1 3 4 5 1 0 0
1 2 3 0 0 1 3 2 1
0 1 2 0 1 0 2 1 0
3 4 5 1 0 0 5 4 3
:
A解
,1
2 2 2,.,2
0 1 1,.,1
,0 0 1,.,1
...,..,..,..
0 0 0,.,1
5.
.
n
ij
ij
n
AA
A
已 知 阶 方 阵 求 中 所 有 元 素的 代 数 余 子 式 之 和例
* 1 1
| | 2,| | 2
2 2 2,.,2 1 0 0,.,0
0 1 1,.,1 0 1 0,.,0
| 0 0 1,.,1 0 0 1,.,0
...,..,..,..,..,..,..,..
0 0 0,.,1 0 0 0,.,1
:
A A A A A
AE
解
1
1
1 0 0,.,0 1 0,.,0
2
0 1 0,.,0 0 1 1,.,0
...,..,..,..,..,..,..,..,..
0 0,.,1 0 0 0,.,1 1
0 0,.,0 1 0 0,.,0 1
1
1 0,.,0
2
0 1 1,.,0
...,..,..,..,..
0 0,.,1 1
0 0,.,0 1
A
,1
12 [ ( 1 ) ( 1 ) ] 1
2
n
ij
ij
nn
A
1 0 0
2 0 1
1
.
6.
00
A将 矩 阵 表 示 成 初 等 矩 阵乘 积 的 形 式例
21
12
1 1 1
2 1 1 2
2
,,,
...,,...,..
1 0 0 1 0 0
2 0 1 0 0 1
0 1 0 0 1 0
:
k S k
rr
A P P
P P P P A E A P P P
A
因 为 矩 阵 可 逆 所 以 存 在 初 等 矩 阵使 得而解
2 3 32 ( 1 )( 1 )1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
r r rr
1 1 1 1
:
1 1 1 1
1 1 1 2 1 =
1 1 1 1
1 1 1 1
2 1 1 1 1
1 1 1 1
AE
A
即
1 1 1 1
2 1 1 1 1
1 1 1 1
第四节 线性方程组 的 解
()
( ) D
D
( )
( )
( )
1
mn
n
n
n
Rn
R n n
n
Rn
Rn
Rr
A x 0
A
AA
A
A
A
元 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解 的 充要 条 件 是 系 数 矩 阵 的 秩
先 证 必 要 性假 设,则 中 必 有 一 个 阶 非 零 子 式,
然 而 所 对 应 的 个 方 程 只 有 零 解,这 与 方 程 组有 非 零 解 矛 盾,因 此 不 能 成 立,即,
再 证 充定分 性,
当理,
证,
1
nr
nr
A,即 在 的 行 阶 梯 矩 阵 中 只 有个 非 零 行,进 而 知 其 有 个 自 由 未 知 量,任 取 一自 由 未 知 量 为,其 余 未 知 量 为 零,即 得 方 程 组 的非 零 解 。
( ) ( | )
( ) ( | ) ( | )
0 1
(
2
( )
mn
n
RR
RR
RR
A x b
A A b
A A b A b
A
元 非 齐 次 线 性 方 程 组 有 解 的 充 要条 件 是 系 数 矩 阵 和 增 广 矩 阵 的 秩 相 等 。 即先 证 必 要 性,
当,则 的 行 阶 梯 矩 阵 中 的 最后 一 行 非 零 行 是 一 个 矛 盾 的 方 程,这 与 方程 组 有 解 相 矛 盾,所 以 有定 理证,
,
|)
( ) ( | ) ( ) ( | )
R R r r n
rr
Ab
A A b A b再 证 充 分 性,当,则的 行 梯 矩 阵 中 有 个 非 零 行,把 前 个 非 零 行 的 第 一个 非 零 元 素 所 对 应 的 未 知 量 作 为 非 自 由 未 知 量,其 余
1 2
1 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
,,...,
,,...,
n r n r
n r n r
R R n
R R r r n
n r c c
c n r c c c
AB
AB
个 未 知 量 作 为 自 由 未 知 量,并 令 个 自由 未 知 量 全 为 零,即 可 得 方 程 组 的 一 个 解 。
当 时,方 程 组 没 有 自 由 未知 量,所 以 方 程 组 只 有 唯 一 解 ；
当 时,这 时 方 程 组 有个 自 由 未 知 量,令 它 们 分 别 等 于
,可 得 含 有 个 参 数 的 解,
这 些 参 数 可 取 任 意 的 值,因
nr?
此 这 时 方 程 组 有 无限 多 个 解 。 并 且 这 些 含 有 个 参 数 的 解 可 表示 方 程 组 的 任 一 解,因 此 这 些 解 称 为 方 程 组 的通 解 。
在解线性方程组时，对于齐次线性方程组，只需要把的系数矩阵化为行最简矩阵，
便能写出该方程组的通解；对于非齐次线性方程组，只需把它的增广矩阵化为行梯矩阵，
便能根据定理 2判断该方程组是否有解；在有解的前提下，再把增广矩阵进一步化为行最简矩阵，便能写出它的通解。
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 0
2 2 2 0
4 3 0
1 2 2 1
1 2 2 1 1 2 2 1
4
2 1 2 2 ~ 0 3 6 4 ~ 0 1 2
3
1 1 4 3 0 3 6 4
0 0 0 0
1 0 2 5 3
~ 0 1 2 4 3
00
1.
00
x x x x
x x x x
x x x x
A
A
求 解 齐 次 线 性 方 程 组对 矩 阵 进 行 行 的 初 等 变 换 化 为 行 最 简 矩 阵,
例解,
1 3 4
2 3 4
3 1 4 2
1 1 2
1
2
2 1 2
12
3
431
42
5
20
3
4
20
3
,
5
5
2
3 2
3
4
24
2
13
3
0 0
1
x x x
x x x
x c x c
x c c
x
x
x c c cc
x
xxc
xc
即 得 同 解 方 程 组令,则 有,
12
( )cc,为 任 意 常 数
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 1
3 5 3 2
2 2 2 3
1 2 3 1 1 1 2 3 1 1
3 1 5 3 2 ~ 0 5 4 0 1
2 1 2 2 3 0 5 4 0 1
1 2 3 1 1
~ 0 5 4 0 1 R (
0 0 0 0 2
2.
x x x x
x x x x
x x x x
B
B
A
求 解 非 齐 次 线 性 方 程 组对 增 广 矩 阵 施 行 初 等 行 变 换
可 得,
例解,
) 2 R ( ) 3B
故 方 程 组 无 解 。
1 2 3
41
2 3 1
| | 0
7 21 0
3.
3
t
t
tt
AB
A B O
A B O B O A x 0
A
A
方 阵,为 三 阶 非 零 矩 阵,且
,求由 且 知 齐 次 线 性 方 程 组有 非 零 解,故 方 程 组 的 的例系 数 行 列 式,
而设解,
1 2 3 4
1 2 3 4
1 3 4
1 2 4
- 2 1
2 - 2 3
2
3 - 3 5
1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1
2 1 1 2 3 0 1 3 0 1 0 1 3 0
~~
1 0 1 1 2 0 1 3 0 1
3 1 0 3 5 0 2 0
4
6
.
2
x x x x
x x x x
x x x
x x x
B
B
求 非 齐 次 线 性 方 程 组的 通 解 。
对 增 广 矩 阵 进 行 初 等 行 变 换 化 为 行 最例解,简 矩 阵,
1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 0 1 1 2
0 1 3 0 1
~
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 3 4 1 3 4
2 3 2 3
3 1 4 2
1 12
2 1
12
3 1
24
( ) ( ) 2 4
22
3 1 1 3
,
2 2 1 1
13 1 3 0
0 1 0
0 0 1
RR
x x x x x x
x x x x
x c x c
x cc
x c
cc
x c
cx
AB因,所 以 行 最 简 矩 阵 对 应 的 方程 为,
,即令,即 得,
1 2 3
1 2 3
1 2 3
( 2 ) 2 2 1
2 ( 5 ) 4 2
2 4 ( 5 ) 1
,
.
.
a x x x
x a x x
x x a x a
a
设问 为 何 值 时 此 方 程 组 有 唯 一 解,无 解 或 有 无 穷 多解？ 并 在 有 无 穷 多 解 时 求例其 通 解
5
23
13
31
1
2
22
2
( 1 )
2 2 2 1
( | ) 2 5 4 2
2 4 5 1
2 4 5 1
~ 0 1 1 1
66
0 2( 1 )
2
:
2
rr
rr
a
rr
r
a
a
aa
aa
a a a
a a a a
a
Ab
该 方 程 组 的 增 广 矩 阵 为解
32
3
2
2
1
2 4 5 1
~ 0 1 1 1
0 0 ( 10) ( 1 ) ( 4) ( 1 )
10,( | ) 3,( ) 2,;
10 1,( | ) ( ) 3,
1,( | ) ( ) 1,,
1 2 2 1
( | ) ~ 0 0 0 0
0 0 0 0
rr
r
aa
a a a
a a a a
a R R
a a R R
a R R
x
A b A
A b A
A b A
Ab
当 时 方 程 组 无 解当 且 时 方 程 组 有 唯 一解 ；
当 时 方 程 组 有 无 穷 多 组 解这 时 即
23
T
1 2 1 2
T T T
12
2 2 1
( 1 2 2,,)
( 1,0,0) ( 2,1,0) ( 2,0,1 )
xx
c c c c
cc
x
3.
( ) ( | )RR
A X B
A A B
定 理 矩 阵 方 程 有 解 的 充 分 必 要 条 件 是
1 2 1 2
,
,:
(,,...,),(,,...,)
1,2,...,
,( ) ( | ),
( ) ( | ) ( | )
( ) ( |
:
)
pp
ii
i
i
m n m p n p
ip
RR
R R R
RR
A B X X
B
X x x x B b b b
A X B A x b
A A B
A A b A B
A A b
设 为 阶 为 阶,则 为 阶,把和 按 列 分 块 记 为则 方 程 ( )
充 分故 有证性 设 由 于明
,
1,2,...,
,.
ii
p
ip
A x b
A X B
因 而 个 向 量 方 程
()
都 有 解 于 是 矩 阵 方 程 就 有 解
T
12
12
1 1 2 2
1 2 1
:,
1,2,...,,:
,,...,1,2,...,
(,,...,),
,.,1,2,...,
( | ) (,,...,|,
ii
i i i ni
n
i i ni n i
n
p
ip
ip
ip
A X B
A x b
x
A a a a
a a a b
A B a a a b
必 要 性 设 矩 阵 方 程 有 解 从 而 个 向 量 方 程
() 都 有 解 设 解 为
()
记 即 有
()
对 矩 阵
1 1 2 2
2
1 2 1 2
,..
( 1,2,...,)
12
,...,)
:
( | ) (,,...,|,,...,)
~ (,,...,|,,...,) ( | )
( ) ( | )
n i i i ni n
p
np
c c c c
ip
n
RR
bb
A B a a a b b b
a a a 0 0 0 A O
A A B
作 初 等 列 变换,即故
,( ) m i4,n { ( ),( ) }R R RA B C C A B设 矩 阵定 则理
T T T T T
TT
,
3,( ) ( | )
( ) ( | ) ( ) ( )
,( ) ( )
( ) ( ),( ) ( )
( ) m in{ (
.
),( ) }
RR
R R R R
RR
R R R R
R R R
A B C A X C X B
A A C
C A C C A
A B C B A C C B
C C B B
C A B
由 于 则 矩 阵 方 程 有 解于 是 由 定 理 有而又 由 所 以而故证 明
(
.
)
m n n p m p
Rn
A X O
A
设 矩 阵 方 程 只 有 零 解 的 充 分必 要 条 件 是定 理 5
