求矩阵的秩有下列基本方法
（ 1）用初等变换．即用矩阵的初等行（或列）
变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩．
（ 2）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩 (很少用 ).
一、求矩阵的秩
1 2 0 0 1
0 6 2 4 10
1 11 3 6 16
1 19 7 14 34
1 2 0 0 1 1 2 0 0 1
0 6 2 4 10 0 3 1 2 5
~~
0 9 3 6 15 0 0 0 0 0
0 21 7 14 35 0 0 0 0 0
1,
( ) ( ) 2RR
A
A
AB
AB
求例解矩 阵 的 秩对 施 行 初 等 行 变 换：
所 以注意,在求矩阵的秩时，初等行、列变换可以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形．
1
1
,
( ),,
,
,
A
A E A E
A
EA
E
A E E A
要 求 可 逆 矩 阵 的 逆 矩 阵 只 需 对 分 块 矩 阵施 行 初 等 行 变 换 当 把 变 成 时 原 来 的就 变 成 了 。 或 者 对 分 块 矩 阵 施 行 初 等列 变 换 当 把 变 成 时 原 来 的 就 变 成 了 。
二、求逆矩阵的初等变换法
0 2 1
1 1 2
111
|
2,
A
AE
求 矩 阵 的 逆 矩 阵,
解,作 分 块 矩 阵,对 该 矩 阵例施 行 初 等 行变 换
12
31
2
23
1 3 1 2
1
2
2
0 2 1 1 0 0 1 1 2 0 1 0
1 1 2 0 1 0 ~ 0 2 1 1 0 0
1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1
1 3 5
1 0 0
222
1 1 0 0 1 2
111
~ 0 2 0 1 1 1 ~ 0 1 0
222
0 0 1 0 1 1
0 0 1 0 1 1
rr
rr
r
rr
r r r r
1
1 2 3 2 5 2
1 2 1 2 1 2,
0 1 1
A
注意 用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换．同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换．
当方程的个数与未知数的个数不相同时，一般用初等行变换求方程的解．
当方程的个数与未知数的个数相同时，求线性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换法和克莱姆法则．
三、求解线性方程组
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3
2 3 1
3 2 1
2 3 1 ( 1 )
2 2 2 1
1
5 5 2 2
,
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
求 下 面 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 通 解例
21
31
41
51
24
43
53
3
2
2
5
2
2
5
1 2 3 1 1 1 2 3 1 1
3 2 1 1 1 0 4 8 2 2
2 3 1 1 1 0 1 5 3 1
2 2 2 1 1 0 2 4 1 1
5 5 2 0 2 0 5 13 5 3
1 2 3 1 1
0 0 0 0 0
0 1 5 3 1
0 0 6 5 1
0 0 12 10
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
B
B
解 对 方 程 组 的 增 广 矩 阵 进 行 行 的 初 等变 换,使 其 成 为 行 最 简 矩
：
阵 。
～
～
54
13
14
34
23
44
2
2
1 0 1 0 0
0 1 1 2 0
0 0 6 5 1
0 0 0 0 0
2 0 0 0 0 0
rr
rr
rr
rr
rr
rr
～
1
13 6
1
23 6
1
36
5 1
66
7 1
66
5 1
66
4
1
2
3
4
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
( ) ( ) 3
15
1 17
( 1 )
15
66
06
rr
rr
r
R
k
R
xk
x
kx
x
x
BA
x
由 此 可 知,小 于 末 知 量 的 个 数,故有 一 个 自 由 末 知 量,设 自 自 由 末 知 量 为 可 得方 程 组取的 通 解 是任 意 常 数
～
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
0
2 2 0
0
3 2 3 0
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 0 1 0 1
1 1 1 0 2 1 2
3 2 3 0 5 0 3
1 1 1 1
0 1 0 1
0 0 1 0
0
2,
0
a
x x x x
x x x x
x x ax x
x x x ax
aa
aa
a
A
当 为 何 值 时,下 面 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零解,并 求例解,
通 解,
一
( 1 ) ( 2)
02
aa
a
1
2
3
4
1 2 | | 0,
1
1 1 1 1 1 0 1 0
1 2 1 2 0 1 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0
3 2 3 1 0 0 0 1
1
0
( )
1
0
~
a or a
a
x
x
x k k
x
x
A
A
A
当 时,方 程 组 有 非零 解 。 当 时,把 系 数 矩 阵 化 为 行最 简 矩 阵 为
～
从 而 得 方 程 组 的 通 解 为为 任 意 常 数
1
2
3
4
2,
1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
1 2 1 2 0 1 0 1 0 1 0 1
1 1 2 1 0 0 3 0 0 0 1 0
3 2 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0
0
1
( )
0
1
~~
a
x
x
kk
x
x
A
A
x
当 时 把 系 数 矩 阵 化 为 行 最 简 矩 阵 为
～
从 而 得 到 方 程 组 的 通 解 为为 任 意 常 数
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 0 1 0 1
1 1 1 0 2 1 2
3 2 3 0 5 0 3
1 1 1 1
0 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 2
1 2 ( ) 4
~
~
aa
aa
a
a
a or a R
A
A
A
用 初 等 行 变 换 把 系 数 矩 阵 化为 行 阶 梯 矩 阵当 时,,此 时 方 程 组有 非 零 解,可 仿 照 解 法 一 求 出 它解 二,
的 通 解 。
11
1
1
T 1 TTT
T 1 T 1T
( 1 )
( ) ( )
( 2)
( ) ( ( ) )
( )
~
~
~
A X B
A B E A B X A B
X A B
AE
X B A
B B A
E A BAB
A B X B AX
初 等 行 变 换初 等 列 变 换初 等 行 变 换或 者四、解矩阵方程的初等变换法
322
234
225
)2-(
322100
234010
225001
410210
011011
103101
2
210
011
101
2 )2-(
)2-(2
.,2,
410
011
103
,3
1
1
AEAX
EAAEAX
AXEAXAAX
XXAAXA
所以：
～
由于又解：
求矩阵且设例
AEA
五、综合练习
1)( 1)(3)(
1)(
03
1,3,4,4
**
*
*
*
*
AAA
A
AOxA
OAAAA
AAA
RRR
R
R
RR
，故，又；所以就是该方程组的解向量的列向量有非零解，且说明方程组解：
则且秩阶方阵为设例
3422
31771
1104
4113
2
16101
512
211
1
.,.6
确定矩阵的秩值的范围讨论例
0000
0000
0110
0001
0111
0221
0111
0001
0011
1022
1011
1000
2
0011
1022
1011
1000
,5
～～解：
的秩是矩阵例 A
7,
1 1 1 1
1 1 1
1 1 1 1
1,2 1 0 2,
1 1 1 1
1 1 0
1 1 1 1
1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0
2 1 0 0 1 0 0 1 2 2 1 0
1 1 0 0 0 1 0 2 1 1 0 1
例 用 初 等 变 换 求 下 列 矩 阵 的 逆 矩 阵解 1.
～
11
33
12
33
21
33
1
11
33
12
33
21
33
01 1 1 1 0 0 1 0 0
0 1 2 2 1 0 0 1 0 0
0 0 3 3 2 1 0 0 1 1
01 1 1
2 1 0 0
1 1 0 1
～ ～
1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0
1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 2 2 1 1 0 0
1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 2 2 0 0 1 1
1 1 1 1 0 0 0 1 0 2 2 0 1 0 0 1
解 2,～
5 1 1 1
4 4 4 4
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0
1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 2 2 1 1 0 0
1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 2 2 0 0 1 1
1 1 1 1 0 0 0 1 0 2 2 0 1 0 0 1
1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0
0 2 0 2 1 0 1 0 0 2 0 0
0 0 2 2 0 0 1 1 0 0 2 0
0 0 0 4 1 1 1 1 0
0 0 4
解 2,～
～ ～
1 1 1
2 2 2
1771 1 1 1 1 1
4 4 4 4 4 4 4 4
1 1 1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 4 4 4 4
1 1 1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 4 4 4 4
1 1 1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 4 4 4 4
1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1
0 1 0 0 1 1 1 1
0 0 1 0 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1 1 1
～
n
nRR
RR
RnR
n
n
ABEABE
EABEABE
ABEABE
ABEABE
OABEABEOABE
EA B A BBA B A
ABEABE
BA B ABA
秩秩故又所以证：
秩秩证明：
且阶方阵为两个例
)()(
)()(
)()(
))(()(
,,8,
2
1
1
AAA
OAxOxAA
OAxOAxAx
OxAAxOxAA
OxAAAxAOAxx
x
AAAA
RR
n
nm
T
T
T
TTT
TT
T
)(
)(
)()(
)()(
,.9
相同的解，故有与方程组所以，方程组若满足若维列向量为证明：设秩证明：秩实矩阵为设例
（ 1）用初等变换．即用矩阵的初等行（或列）
变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩．
（ 2）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩 (很少用 ).
一、求矩阵的秩
1 2 0 0 1
0 6 2 4 10
1 11 3 6 16
1 19 7 14 34
1 2 0 0 1 1 2 0 0 1
0 6 2 4 10 0 3 1 2 5
~~
0 9 3 6 15 0 0 0 0 0
0 21 7 14 35 0 0 0 0 0
1,
( ) ( ) 2RR
A
A
AB
AB
求例解矩 阵 的 秩对 施 行 初 等 行 变 换：
所 以注意,在求矩阵的秩时，初等行、列变换可以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形．
1
1
,
( ),,
,
,
A
A E A E
A
EA
E
A E E A
要 求 可 逆 矩 阵 的 逆 矩 阵 只 需 对 分 块 矩 阵施 行 初 等 行 变 换 当 把 变 成 时 原 来 的就 变 成 了 。 或 者 对 分 块 矩 阵 施 行 初 等列 变 换 当 把 变 成 时 原 来 的 就 变 成 了 。
二、求逆矩阵的初等变换法
0 2 1
1 1 2
111
|
2,
A
AE
求 矩 阵 的 逆 矩 阵,
解,作 分 块 矩 阵,对 该 矩 阵例施 行 初 等 行变 换
12
31
2
23
1 3 1 2
1
2
2
0 2 1 1 0 0 1 1 2 0 1 0
1 1 2 0 1 0 ~ 0 2 1 1 0 0
1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1
1 3 5
1 0 0
222
1 1 0 0 1 2
111
~ 0 2 0 1 1 1 ~ 0 1 0
222
0 0 1 0 1 1
0 0 1 0 1 1
rr
rr
r
rr
r r r r
1
1 2 3 2 5 2
1 2 1 2 1 2,
0 1 1
A
注意 用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换．同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换．
当方程的个数与未知数的个数不相同时，一般用初等行变换求方程的解．
当方程的个数与未知数的个数相同时，求线性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换法和克莱姆法则．
三、求解线性方程组
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3
2 3 1
3 2 1
2 3 1 ( 1 )
2 2 2 1
1
5 5 2 2
,
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
求 下 面 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 通 解例
21
31
41
51
24
43
53
3
2
2
5
2
2
5
1 2 3 1 1 1 2 3 1 1
3 2 1 1 1 0 4 8 2 2
2 3 1 1 1 0 1 5 3 1
2 2 2 1 1 0 2 4 1 1
5 5 2 0 2 0 5 13 5 3
1 2 3 1 1
0 0 0 0 0
0 1 5 3 1
0 0 6 5 1
0 0 12 10
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
B
B
解 对 方 程 组 的 增 广 矩 阵 进 行 行 的 初 等变 换,使 其 成 为 行 最 简 矩
：
阵 。
～
～
54
13
14
34
23
44
2
2
1 0 1 0 0
0 1 1 2 0
0 0 6 5 1
0 0 0 0 0
2 0 0 0 0 0
rr
rr
rr
rr
rr
rr
～
1
13 6
1
23 6
1
36
5 1
66
7 1
66
5 1
66
4
1
2
3
4
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
( ) ( ) 3
15
1 17
( 1 )
15
66
06
rr
rr
r
R
k
R
xk
x
kx
x
x
BA
x
由 此 可 知,小 于 末 知 量 的 个 数,故有 一 个 自 由 末 知 量,设 自 自 由 末 知 量 为 可 得方 程 组取的 通 解 是任 意 常 数
～
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
0
2 2 0
0
3 2 3 0
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 0 1 0 1
1 1 1 0 2 1 2
3 2 3 0 5 0 3
1 1 1 1
0 1 0 1
0 0 1 0
0
2,
0
a
x x x x
x x x x
x x ax x
x x x ax
aa
aa
a
A
当 为 何 值 时,下 面 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零解,并 求例解,
通 解,
一
( 1 ) ( 2)
02
aa
a
1
2
3
4
1 2 | | 0,
1
1 1 1 1 1 0 1 0
1 2 1 2 0 1 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0
3 2 3 1 0 0 0 1
1
0
( )
1
0
~
a or a
a
x
x
x k k
x
x
A
A
A
当 时,方 程 组 有 非零 解 。 当 时,把 系 数 矩 阵 化 为 行最 简 矩 阵 为
～
从 而 得 方 程 组 的 通 解 为为 任 意 常 数
1
2
3
4
2,
1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
1 2 1 2 0 1 0 1 0 1 0 1
1 1 2 1 0 0 3 0 0 0 1 0
3 2 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0
0
1
( )
0
1
~~
a
x
x
kk
x
x
A
A
x
当 时 把 系 数 矩 阵 化 为 行 最 简 矩 阵 为
～
从 而 得 到 方 程 组 的 通 解 为为 任 意 常 数
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 0 1 0 1
1 1 1 0 2 1 2
3 2 3 0 5 0 3
1 1 1 1
0 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 2
1 2 ( ) 4
~
~
aa
aa
a
a
a or a R
A
A
A
用 初 等 行 变 换 把 系 数 矩 阵 化为 行 阶 梯 矩 阵当 时,,此 时 方 程 组有 非 零 解,可 仿 照 解 法 一 求 出 它解 二,
的 通 解 。
11
1
1
T 1 TTT
T 1 T 1T
( 1 )
( ) ( )
( 2)
( ) ( ( ) )
( )
~
~
~
A X B
A B E A B X A B
X A B
AE
X B A
B B A
E A BAB
A B X B AX
初 等 行 变 换初 等 列 变 换初 等 行 变 换或 者四、解矩阵方程的初等变换法
322
234
225
)2-(
322100
234010
225001
410210
011011
103101
2
210
011
101
2 )2-(
)2-(2
.,2,
410
011
103
,3
1
1
AEAX
EAAEAX
AXEAXAAX
XXAAXA
所以：
～
由于又解：
求矩阵且设例
AEA
五、综合练习
1)( 1)(3)(
1)(
03
1,3,4,4
**
*
*
*
*
AAA
A
AOxA
OAAAA
AAA
RRR
R
R
RR
，故，又；所以就是该方程组的解向量的列向量有非零解，且说明方程组解：
则且秩阶方阵为设例
3422
31771
1104
4113
2
16101
512
211
1
.,.6
确定矩阵的秩值的范围讨论例
0000
0000
0110
0001
0111
0221
0111
0001
0011
1022
1011
1000
2
0011
1022
1011
1000
,5
～～解：
的秩是矩阵例 A
7,
1 1 1 1
1 1 1
1 1 1 1
1,2 1 0 2,
1 1 1 1
1 1 0
1 1 1 1
1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0
2 1 0 0 1 0 0 1 2 2 1 0
1 1 0 0 0 1 0 2 1 1 0 1
例 用 初 等 变 换 求 下 列 矩 阵 的 逆 矩 阵解 1.
～
11
33
12
33
21
33
1
11
33
12
33
21
33
01 1 1 1 0 0 1 0 0
0 1 2 2 1 0 0 1 0 0
0 0 3 3 2 1 0 0 1 1
01 1 1
2 1 0 0
1 1 0 1
～ ～
1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0
1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 2 2 1 1 0 0
1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 2 2 0 0 1 1
1 1 1 1 0 0 0 1 0 2 2 0 1 0 0 1
解 2,～
5 1 1 1
4 4 4 4
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0
1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 2 2 1 1 0 0
1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 2 2 0 0 1 1
1 1 1 1 0 0 0 1 0 2 2 0 1 0 0 1
1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0
0 2 0 2 1 0 1 0 0 2 0 0
0 0 2 2 0 0 1 1 0 0 2 0
0 0 0 4 1 1 1 1 0
0 0 4
解 2,～
～ ～
1 1 1
2 2 2
1771 1 1 1 1 1
4 4 4 4 4 4 4 4
1 1 1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 4 4 4 4
1 1 1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 4 4 4 4
1 1 1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 4 4 4 4
1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1
0 1 0 0 1 1 1 1
0 0 1 0 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1 1 1
～
n
nRR
RR
RnR
n
n
ABEABE
EABEABE
ABEABE
ABEABE
OABEABEOABE
EA B A BBA B A
ABEABE
BA B ABA
秩秩故又所以证：
秩秩证明：
且阶方阵为两个例
)()(
)()(
)()(
))(()(
,,8,
2
1
1
AAA
OAxOxAA
OAxOAxAx
OxAAxOxAA
OxAAAxAOAxx
x
AAAA
RR
n
nm
T
T
T
TTT
TT
T
)(
)(
)()(
)()(
,.9
相同的解，故有与方程组所以，方程组若满足若维列向量为证明：设秩证明：秩实矩阵为设例
