第二章 矩阵及其运算矩阵是线性代数的一个主要研究对象，
也是数学上的一个重要工具。矩阵的应用已经渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科学在内的各个领域。在矩阵理论中，矩阵的运算起着重要的作用，本章主要讨论有关矩阵运算的一些基本规则与技巧。
§ 2.2 逆矩阵
§ 2.1 矩阵的概念及运算
§ 2.3 矩阵的分块第一节 矩阵的概念
1.定义 由 m× n个数 aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的 m行 n列的数表
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
...
...
...,..,..,..
...
n
n
m m m n
a a a
a a a
a a a
称 m行 n列矩阵，简称 m× n矩阵。记作
11 12 1
21 22 2
12
...
...
...,..,..,..
...
n
n
m m m n
a a a
a a a
a a a
A
一、概念：
这 m× n 个数称为矩阵 A 的元素，简称为元，
数 aij 位于矩阵 A 的第 i 行第 j 列，称为矩阵
A的 ( i,j )元。以数 aij 为 (i,j)元的矩阵可简记作
(aij) 或 (aij)m× n,m× n 矩阵 A也记作 A m× n。
元素是实数的矩阵，称为实矩阵；元素是复数的矩阵称为复矩阵。
行数与列数都等于 n 的矩阵称之为 n 阶方阵，
记作 An。
2.行矩阵、列矩阵与方阵只有一行的矩阵称行矩阵，又称行向量。
只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量。
行数与列数都等于 n的矩阵叫方阵，记为 An。
3.同型矩阵与矩阵相等,如果两个矩阵的行数相等、列数也相等，就称它们是同型矩阵。
如果两个同型矩阵的对应元素相等，那么就称这两个矩阵相等。记作,A=B
4.零矩阵,元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作
O。不同型的零矩阵是不相等的。
5,对角矩阵、单位矩阵与数量矩阵如果 n 阶方阵除主对角线上的元素不全为零外，其余元素全为零，这样的 n 阶方阵称为对角矩阵。记作 A=diag(λ1,λ2,…,λ n)
如果 n 阶方阵如果满足主对角线上的元素全为 1，其余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为
n 阶单位矩阵。记作 En 或 E。
如果 n 阶方阵主对角线上的元素全为 k，其余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶数量矩阵。
二、矩阵的运算
1.矩阵的加法,设有两个同型的 m× n 阶矩阵
A= (aij),B= (bij)，则矩阵 A 与 B 的和记为
A+B，并规定
1 1 1 1 1 2 1 2 1 1
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...,..,..,..
...
nn
nn
m m m m m n m n
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
AB
注：矩阵的加法只能在两个 同型矩阵之间进行；
两个矩阵相加时，对应 元素进行相加。
矩阵加法的运算律：
(1) A+ B = B+ A
(2) ( A+B )+ C = A+ ( B+ C )
设矩阵 A= (aij),记?A= (? aij)，称? A为矩阵
A的负矩阵。
由矩阵加法的定义，显然有 A+ (? A) = O，
由此，矩阵的减法可定义为
Ａ? B =Ａ + (? B)
2.矩阵的数乘,数 λ与矩阵 Ａ 的乘积记为 λA或
Aλ，并规定：
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
...
...
...,..,..,..
...
n
n
m m m n
a a a
a a a
a a a
A
由此可见，矩阵的数乘仍然是一个与原矩阵同型的矩阵，并且，是用数 λ与矩阵的每一个元素相乘。
矩阵数乘的运算律：
矩阵的加法与数乘合起来通称为矩阵的线性运算。
3.矩阵的乘法,设矩阵 A为 m× n 阶矩阵、矩阵
B为 n× p 阶矩阵,A= (aij) m× n,B= (bij) n× p,
则矩阵 A与 B 的乘积为一 m× p 阶矩阵
C = (cij) m× p，记 C = AB,且
( 1 ) ( ) ( )
( 2) ( )
( 3 ) ( )
AA
A A A
A B A B
1
1
...,.....,..,..
...,..,..,..
...,.....,..,..
j
i in ij
nj
b
a a c
b
1 1 2 2
1
1,2,,()
1,2,,
ij i j i j in nj
n
ik k j
k
c a b a b a b
imab
jp
就是说，矩阵 C 的第 i 行第 j 列的元素等于矩阵 A 的第 i 行的所有元素与矩阵 B 的第 j 列的对应元素的乘积之和。
( 1 ) ( ) ( )
( 2) ( ) ( ) ( )
( 3 ) ( ) ( )
( 4) m m n m n m n n m n
A B C A B C
A B A B A B
A B C A B A C B C A B A C A
E A A A E A
矩阵 A 与矩阵 B 做乘法必须是左矩阵的列数与右矩阵的行数相等；?
矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，
AB是 A左乘 B的乘积,BA是 A右乘 B的乘积；
AB与 BA不一定同时会有意义；即是有意义，
也不一定相等；?
AB = O 不一定有 A= O或 B= O ；
A(X?Y ) = O 且 A≠ O 也不可能一定有 X=Y
1 1 1 1
1 1 1 1
22
22
.
AB
A B B A
A B A B B A
O
0
如,
显 然 有,
矩 阵 乘 法 不 满 足 交 换 律 与结,消 去 律总只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满足结合律，而不满足交换律，因而有下面的式子：
(1) An Am = An+m
(2) ( An )m= An m
(3) ( AB ) k ≠ Ak Bk
()n
n
n?A A A A 为 正 数
4.矩阵的乘幂,设 A 是 n 阶方阵，定义：
5.矩阵的转置,把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的一个新矩阵，叫做 A的转置矩阵，记作
AT。
如果 A是一个 m× n 阶矩阵，那么 AT 就是一个 n× m 阶矩阵。且 A 的行一定就是 AT中同序数的列 T14 1 2 3
25 456
36
AA
T T T T T
T T T T T
( 1 ) ( ) ( 2) ( )
( 3 ) ( ) ( 4) ( )
A A A B A B
A A AB B A
证明,设矩阵 A为 m× s 阶矩阵，矩阵 B为 s× n
阶矩阵，那么,( AB)T与 BTAT 是同型矩阵；
又设 C = A B，因为 CT的第 i 行第 j 列的元素正好是 C 的 cji,即
cji=aj1b1i+aj2b2i+…+ajsbsi =b1iaj1+b2iaj2+…+bsiajs
而 b1i,b2i,…,bsi 正好是 BT的第 i 行，
aj1,aj2,…,ajs 正好是 AT的第 j 列，因此 cji 是 BTAT
的第 i 行第 j 列的元素。故
( AB )T = AT BT
6.方阵的行列式由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式 (各元素的位置不变 )，称为方阵 A 的行列式，记为
| A| 或 det A。
注意：行列式与方阵是两个不同的概念，且它们的记号也是不同的。
方阵的行列式满足以下运算规律 (设 A,B为
n 阶方阵,λ为实数 )
T( 1 ) | | | | ( 2) | | | |
( 3 ) | | | || | ( 4) | | | |
nA A A A
AB A B AB BA
2.上 (下 )三角矩阵：
1 0,.,0 0,.,0
0 1,.,0 0,.,0
...,..,..,..,..,..,..,..
0 0,.,1 0 0,..
k
k
kk
k
E
1 1 1 2 1 11
2 2 2 2 1 2 2
12
..,0,.,0
0,..,.,0
...,..,..,.....,..,..,..
...0 0,..
n
n
n n n nnn
a a a a
a a a a
a a aa
1.数量矩阵,矩阵 k E 称为数量矩阵。
三、几类特殊的矩阵
3.行阶梯矩阵与行最简矩阵,一个 m× n 阶矩阵 A= (aij)它的第 i 行的第一个非零元素记为
,如果当 i>k时,有 ji > jk 时，称 A为行阶梯矩阵。
若矩阵 B 满足以下条件
(1) B是行阶梯矩阵；
(2) B的每一非零行的第一 个非零元素为 1；
(3) 每一非零行的第一个非零元素所在的列除它自身外其余元素全为零。称矩阵 B 为行最简矩阵。
iija
2 3 0 0 1 5
0 0 7 8 2 0
0 0 0 1 0 9
000000
A
1 3 0 0 1 5
0 0 1 0 2 0
0 0 0 1 0 9
0 0 0 0 0 0
B
4.对称矩阵与反对称矩阵,设 A为 n 阶方阵，
若 AT = A，即 aij = aji (i,j=1,2,…,n)，称矩阵 A
为对称矩阵；
若 AT =?A，即 aij =? aji (i,j = 1,2,…,n)，称矩阵 A 为反对称矩阵。
5.正交矩阵,若 n 阶方阵 A 满足 AAT= ATA=E
称 A为正交矩阵。
6.幂等、幂零、幺幂矩阵,若 n 阶方阵 A满足：
A2 = A，称 A为幂等矩阵
Ak = O，称 A为幂零矩阵
Ak = E，称 A为幺幂矩阵
7.伴随矩阵,设 A=(aij)n× n，矩阵 A中元素 aij的代数余子式 Aij构成的如下矩阵
1 1 2 1 1
* 1 2 2 2 2
12
...
...
...,..,..,..
...
n
n
n n n n
A A A
A A A
A
A A A
称矩阵 A的伴随矩阵，记为 A＊
** ( de t )A A A A A E
伴 随 矩 阵 有 如 下 重 要 性 质,
T 11 1 2 3 1
23
n
A B C A B
C
设,,,
求例 1
11
23
11 2
3
3
2
..,( ) ( ),..( )
( ),..( )
1
11
1 2 3
23
3
11
11
2 3 1 3 2 1
23
3 31
n
n n n
C C C C A B A B A B
A B A B A B
BA
C
而所 以,
解,
T
T
T T T T T T T
T
( ) ( )
n
A B A
B AB
AA
B AB B A B B AB
B AB
设,为 阶 矩 阵,且 为 对 称 矩 阵,
证 明,仍 是 对 称 矩 阵 。
因 为,所 以证故 是 对 阵
：
。
明称 矩例 2.
T
T T T T T
T T T
( )
( )
( )
n
A B A B
A B B A
A B A B A B
A B B A A A B B
A B B A B A
A B B A A B
设,都 是 阶 对 称 矩 阵,证 明 是对 称 矩 阵 的 充 要 条 件 是是 对 称 矩 阵而,又,
所 以 有,
故 是 为 对 称 矩 阵证 明,
的 充 要 条 件,
例 3,
TT
12
T
T
T T T T T
T
T 2 T 2 T T 2
TT
(,,...,)
2
( 2 ) ( 2 )
2
( 2 ) 4 4( )
4 4( ) (
4
n
x x x
n
X X X
E H E X X H
HH E
H E X X E X X
E X X H
HH H E X X E X X X X
E X X X X
设 列 矩 阵 满 足 =1,
为 阶 单 位 矩 阵,,证 明 是 对称
：
矩证阵,且 =
明例,
T
T T T
TT
)
4 4 ( )
4 4
XX
E X X X X X X
E X X X X E
第二节 逆矩阵设对于 n 阶方阵 A，若存在 n 阶方阵 B 使得 A B = B A = E
恒成立，则称矩阵 A 可逆； B 称为 A 的逆矩阵，
记为 A－ 1 = B 。
1.若矩阵 A可逆，则 A的逆矩阵是唯一的。
证明,设 A有两个逆矩阵 B1,B2，则
B1= B1E = B1(AB2) = (B1A) B2 = EB2 = B2
一、可逆矩阵的定义二、可逆矩阵的判断
2.若 | A|≠0，则 A可逆，且
1*
11 21 1
11 12 1
* 12 22 2
21 22 2
12 12
1
......
......
...,..,..,..,..,..,..,..
...,..
n
n
nn
n n nn n n nn
ij ij
a a a
a a a
a a a
a
A A
A
A A A
A A A
A A
A A A
A A其 中 是 矩 阵 的 元 素 的 代 数 余 子 式 。
证明,由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘法的定义有,AA*=A*A=|A|E，又 |A| ≠0
* * 1 *1 1 1( ) ( ),
| | | | | |
A A A A E A A
A A A故
3.对于 n 阶方阵 A,B 若有 AB = E
则,A,B 均可逆，且它们互为可逆矩阵。
证明,∵ AB = E ∴ | A| | B | =1
故 | A| ≠0且 | B| ≠0,A,B均可逆，
且 A－ 1=B
1.若 A 可逆，则 | A| ≠0
证明,∵ A可逆 ∴ A A－ 1 = A－ 1 A = E
故 | A|| A－ 1 |=1,即 | A| ≠0 同时还有
1 1|| ||A A
三、可逆矩阵的性质奇异矩阵与非奇异矩阵：
若 n方阵 Ａ 的行列式 | A| ≠0，称矩阵 A为非奇异矩阵，否则矩阵 A称为奇异矩阵。
2.如果 A,B均可逆，那么 AT与 AB都可逆，且
(AT)－ 1＝ (A－ 1)T (AB)－ 1＝ B－ 1A－ 1
证明,∵ A,B均可逆 ∴ AA－ 1=A－ 1A＝ E
故 (AA－ 1)T=(A－ 1)TAT＝ ET=E
∴ (AT)－ 1=(A－ 1)T
同理 (AB)(B － 1 A－ 1)＝ (B － 1 A－ 1) (AB) ＝ E
∴ (AＢ )－ 1=Ｂ － 1 A－ 1
1
1
1
1
1
.,..,.,0
1
..,
1
1
n
n
n
n
a
aa
a
a
a
AA
B A B B A E
AB
设 且,求,
且
所 以
例有解,
1
*
1*
31
.
02
21
6
03
11
1
36
1
0
2.
2
AA
AA
AA
A
例解,
设,求
,
1
*
1*
1 2 3 4
0 1 2 3
0 0 1 2
0 0 0 1
1 2 1 0
0 1 2 1
1
0 0 1 2
0 0 0 1
12
3
10
1 0 1 2 1
0 0 1 2
01
.
00
AA
AA
AA
A
设,求,
，
例解,
所 以
1 2 1
21
21
21
2
( ),..
( ),..
(,.,( )
(,..
4
.
.
(,.
k
k
k
k
k
k
k
A
E A E A A A
E A E A A A
E A A A E A
E A A A
A A A
E A E
0如 果,那 么
（ ）
）
）
例证 明,
）
* * 1
**
* * *
*1
( ),
0
1
()
5.
A A A
AA
A A A A A E
AA
A A E A
AA
AA
A
Q
设 矩 阵 可 逆,求 证 也 可 逆,并 求可 逆,有 由 公 式有,可 逆且例证,
2 1 T T 1 1
1 T T 1 1
T 1 T T 1 1 1
1 T 1 1
T 1 1
1
( ) ( ) ( )
( ) ( )
[ ( ) ] ( )
[ ( ) ] [ ( ) ]
[ ( ) ] ( )
( ) ( )
( ) (
6
)
.
n
A B A
A B E E A B E B A
E A B E B A
E A B A A B A
E B A A B A
E B A A A B
E B A A A B
A B A B
已 知,为 阶 对 称 矩 阵,且 可 逆,
,化 简例解
：
：
22
[] AB
* * 1
1**
[]
( A ) ( B )
( C ) ( D
7.
)
nn
nD
A
A A A A
A A A A
设 为 阶 可 逆 矩 阵,则
例
1 1 1
[]
( A ) ( B )
8.
( C ) ( D ) ( )
nC
AB
A B A B A B B A
A B A B A B B A
设,为 阶 矩 阵,则例
1 2 3 1 321
2 2 1,,2 0,53
3 4 3 3
9.
1
.
A B C
X AXB C
已 知求 矩 阵 使 满 足例
11
1 2 3
21
2 2 1 2 0,1 0,,
53
3 4 3
1 3 2
31
3 2 3 5 2,,
52
1 1 1
AB
AB
AB
均 逆,且解可
：
11
1 3 2 1 3
31
3 2 3 5 2 2 0
52
1 1 1 3 1
1 1 2 1
31
0 2 10 4,
52
0 2 10 4
X A CB
故,
2 3 1 0,0 41,A A E O A A E已 知,证 明 和 都 可逆,并 求 出例它 们 的 逆 矩 阵
1
3
( 3 ) 10
10
1
( 3 )
10
AE
A A E E A E
A A A E所 以 可 逆 且证,
，
明
11
1
1
1
1
( ) ( )
( ) [ ( ) ]
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
11,
n
A B E A B E B A
E B A E B E A B A
E B A E B E A B A
E B A E B A B E A B A
E B A B B A B E A B A
E B A B E A B E A B A
E B A B A E
设,为 阶 方 阵,且 与 均 可 逆,
证
：
明,
例证
1
( 4 ) ( ) 6 ( 4 )
6
1
( 4 ) ( )
6
AE
A E A E E A E E
A A E E
又所 以 可 逆,且第三节 矩阵的分块本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的方法，即矩阵的分块。将矩阵 A用若干条横线与若干条纵线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵 A的子块。以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。特别在运算中，把这些小矩阵当做一个数来处理。
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
3 1 3 2 3 3 3 4
a a a a
a a a a
a a a a
AA例 如,设 矩 阵,将 矩 阵分 成 子 块 的 形 式 有 很 多 种,下 面 就 是 三 种 不 同
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
11 12 13 14 11 12 13 14
21 22 23 24 21 22 23 24
31 32 33 34 31 32 33 34
11 12
21 22
1 )
2) 3 )
1)
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a a a a a
a a a a a a a a
a a a a a a a a
AA
A
AA
的 分 块 形 式,
在 分 块 形 式 中,其 中
11 11 12 12 13 14
23 2421 22
21 22
31 32 33 34
,
a a a a
aaaa
aa aa
AA
AA
，,
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2
1 2 1 2
...,..
...,..
...,..,..,..,..,..,..,..
...,..
ss
r r rs r r rs
A A A B B B
A A A B B B
AB
A A A B B B
即 Aij与 Bij有相同的列数与行数，则,A与 B 的和就是以 Aij与 Bij为元素的形式矩阵相加。
一、分块矩阵的加法,设矩阵 A,B是同型矩阵，且 A 与 B 有相同的分块方法
1 1 1 1 1 2 1 2 1 1
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...,..,..,..
...
ss
ss
r r r r rs rs
A B A B A B
A B A B A B
A
A B A B A B
二、分块矩阵的乘法,设矩阵 Am× n,Bn× p
且矩阵 A 列的分法与矩阵 B 的行的分法相同。
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2
12 12
1
2
112
1
2
2
......
..,,.,
...,..
.....,,.,,.,,.,,.,,.,,.,,.,,.,
...
...
s
r
s
s
t
s t
r r rs s s st
t
m
m
m
pnn
n
n
pn
n
p
A A A B B B
A A AAB B B B
A A A B B B
11 12 1
21 22 2
12
1 1 2 2
12
1
1
2
...
...
,..
......,..,..,..
...
,..
( 1,2,...,1,2,...,)
t
t
r r rt
s
pq p q p q ps sq pk k q
k
t
r
p p p
m
rq
m
p
m
t
C C C
C AB C C C
C C C
C A B A B A B A B
于 是 有,其 中
，
11 1
12 22 2
12
11 12 1
21 22 2
12
T T T
21
T T T
T
T T T
...
...
...,..,..,..
...
...
...
...,..,..,..
...
r
r
s s rs
s
s
r r rs
A A A
A A A
AA
A A A
A A A
A A A
AA
A A A
设 矩 阵 的 分 块 矩 阵 为则 矩 阵 的 转 置 矩 阵 为三、分块矩阵的转置它的特点是不在主对角线上的子块全为零矩阵，
而在主对角线上的矩阵均为不全为零的方阵，则称 A为 准对角矩阵 （或 分块对角矩阵 ）。
对于准对角矩阵，有以下运算性质：
若 A与 B是具有相同分块的准对角矩阵，且设
1
2
0,.,0
0,.,0
...,..,..,..
0 0,.,s
A
A
A
A
四、准对角矩阵若矩阵 A的分块矩阵具有以下形式
11
22
0,.,0 0,.,0
0,.,0 0,.,0
...,..,..,..,..,..,..,..
0 0,.,0 0,..ss
AB
AB
AB
AB
则：
11
22
0,.,0
0,.,0
...,..,..,..
0 0,.,ss
AB
AB
AB
AB
11
22
0,.,0
0,.,0
...,..,..,..
0 0,.,ss
AB
AB
AB
AB
T
1
T
T 2
T
0,.,0
0,.,0
...,..,..,..
0 0,.,s
A
A
A
A
若准对角矩阵 A的主对角线上的每一个方阵均可逆，则矩阵 A也可逆，且
1
1
1
1 2
1
0,.,0
0,.,0
...,..,..,..
0 0,.,s
A
A
A
A
1
2
12
0,.,0
0,.,0
...
...,..,..,..
0 0,..
s
s
A
A
A A A A
A?
五、矩阵分块的应用 1
500
0 3 1
0 2 1
1,?
AA
AA
设 求根 据 矩 阵 的 特 点,对 进 行例解,如 下 分 块
1
1
2
11
1 2 2
1
1
5
1 1
1
2
500
0
0 3 1 5
0
0 2 1
1 3 1 1 1
2 1 2 35
00
0
0 1 1
0
0 2 3
A
AA
A
A A A
A
A
A
,其 中,
、,
1
11
11 12
21 22
11 12 1
21 22 2
12 11 1
22 21 2
12 1 11 22 21 2
11
11 12 21 22
2
,
.
,
0A
X A B X
B0
XX
X X X E
XX
X X E 00A
X X B 0 0 E
X B X A E 0
X B X A 0 E
X B E X A 0 X B 0 X A E
X 0 X B X A X 0
X
设 且 与 均 可 逆,求设例解,则 有即
，
1
1
1
0B
A0
1
2
3
1 2 3
1 2 0 0 0
3 7 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 9 5
0 0 0 7 4
1 2 0 0 0
3 7 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 9 5
0 0 0 7 4
1 2 9 5
| | 1
3 7 7
3.
4
AA
A
A
AA
A
A A A A
设,求对 进 行 分 块 如 下解,
例
：
1
11
11 12
21 22
11 12 1
21 22 2
11 12 1
11 21 12 22 2
,
.
4
A0
X A C
BC
X
XX
X X X E
XX
X X E 0A0
B C X X 0 E
A X A X E 0
B X C X B X C X 0 E
设,且 与 均 是 可 逆例解,
矩 阵,
求设 即,
1
1111 1
1212
11
11 21 21
1
12 22 2
22
1
1
1 1 1
0
XAAX E
XAX
BX CX X C BA
BX CX E XC
A
X
C BA C
故,
00
0
1
T
T
TT
T1
T1
T 1 T T 1 T 1
1T
1T
1 T T 1 T 1 T
1 1 1
1
1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
5
.
AB
X A C
0C
X
A0
X
BC
A0
X
C B A C
A0
X
C B A C
A A B C
X
0C
Q
-
例解,
设 且 与 均 是 可 逆 矩 阵,
求
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
故,
1
1
1 1 1
1
1 1 2 312
1
3
3
1 1 1 1
1 3 1 2 3
6.
2 1 3 4
0 2 1 3
0 0 2 1
0 0 0 2
5511
8 1624
1 1 5
0
2 4 8
AA
A A A AAA
A
A A
A A A A A
－
例解,
设,求
，
0 0
5511
2 4 8 16
511
1 2 4 8
11
24
1
2
0
00
0 0 0
A故,
六、矩阵按行、列分块
11 12 1
T
21 22 2 12
12
T
1
T
2
T
...
..,(,,...,)
...,..,..,.,1,2,...,
...
n
n i i i in
m m m n
m
a a a
a a a a a a
im
a a a
A
A
L
记
，
则,
11 12 1
21 22 2
12
1
2
12
...
...
...,..,..,..
...
( 1,2,..,) (,,...,)
...
n
n
m m m n
j
j
jn
mj
a a a
a a a
a a a
a
a
jn
a
A
α A α α α记 则
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
11 12 1 111
2 2 21 22 2 2
...
...
........................
...
()
...
...
...,..,..,.
nn
nn
m m mn n m
ij
n
n
nm
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a
a a a bxb
x b a a a b
xb
A
x b B
对 于 线 性 方 程 组记
12
.,..,..,..
...
m m mn m
a a a b
A x b则如果把系数矩阵 A按行分成 m块，则线性方程组 可记作bAx?
T
1
1
T
22
T
T
......
1,2,...,)
m
m
ii
b
b
b
b i m
α
α
A x x
α
α x即 （
1
2
12
1 1 2 2
(,,...,)
...
,..
n
n
nn
x
x
x
x x x
Ax α α α b
α α α b即如果把系数矩阵 A按列分成 n块，则线性方程组 可记作bAx?
对于矩阵 与矩阵 的乘积,若把矩阵 A 按行分成 m
块，把矩阵 B 按列分成 n 块，便有：
ij msaAij snbB
ij mncA B C
T T TT
1 1 1 2 11
T T T T
2 2 1 2 2 2
12
T T T T
12
...
...
...
...,..,..,..,..
...
n
n
n
m m m m n
α b α b α bα
α α b α b α b
AB b b b
α α b α b α b
七,方阵 A的 n次多项式
0 1 2
0 1 2
( )
()
()
( ) ( ) ( ) ( )
n
n
km
x a a x a a x n
m
a a a a
fm
gg
x
2n
2n
f x +,.,+ x
A
f A E A A +,.,+ A
AA
A A E
A
f A A A f A
A
设 为 的 次 多项 式,为 阶 方 阵,记称 为 矩 阵 的 次 多 项 式,
由 于 方 阵,,对 乘 法 是 可 交 换 的,所以 矩 阵 的 多 项 式 的 乘 法 也 是 可 交 换 的,即从 而 的 多 项 式 可 以 象 数 的 多 项 式 分
2
3 3 2
3 2 ( 2 ) ( )
( ) 3 3
A A E A E A E
A E A A A E
解 因 式,
如,
11
0 1 2
1 2 1 1
0 1 2
1
12
12
( 1)
()
( )
( 2) (,,...,)
(,,...,),
kk
n
n
n
n
k k k k
n
a a a a
a a a a
f
diag
diag
2n
AP Λ P A P Λ P
f A E A A +,.,+ A
EP Λ PP Λ P +,.,+ P Λ P
P Λ P
Λ
Λ
如 果,则,从 而如 果,
那 么 从 而我们经常用如下的方法来计算矩阵的多项式：
0 1 2
1
2
01
2
11
2
22
2
2
1
2
( ),..
1
1
...,..
1
,..
...,..
()
()
...
()
n
n
n
n
n
n
nn
n
a a a a
aa
aa
f
f
f
2n
f Λ E Λ Λ ++ Λ
++
82
1
1
5
( ) (
7
5)
.
6.?
AP P Λ P Λ
A A E A A
1 1 1
设,其 中 = 1 0 -2,
求例
1 -1 1
1
1
8 9 10
( ) ( )
( ) 5 6
12( 1 )
( 1 ) 0
(5 0
:
)
AP P Λ AP Λ P
AP Λ P
Λ Λ Λ Λ
解而
1
1
( ) ( )
1 1 1 12 1 1 1
1 0 2 0 1 0 2
1 1 1 0 1 1 1
1 0 0 2 2 2
1
12 1 0 0 3 0 3
6
1 0 0 1 2 1
111
4 1 1 1
111
AP Λ P
也是数学上的一个重要工具。矩阵的应用已经渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科学在内的各个领域。在矩阵理论中，矩阵的运算起着重要的作用，本章主要讨论有关矩阵运算的一些基本规则与技巧。
§ 2.2 逆矩阵
§ 2.1 矩阵的概念及运算
§ 2.3 矩阵的分块第一节 矩阵的概念
1.定义 由 m× n个数 aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的 m行 n列的数表
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
...
...
...,..,..,..
...
n
n
m m m n
a a a
a a a
a a a
称 m行 n列矩阵，简称 m× n矩阵。记作
11 12 1
21 22 2
12
...
...
...,..,..,..
...
n
n
m m m n
a a a
a a a
a a a
A
一、概念：
这 m× n 个数称为矩阵 A 的元素，简称为元，
数 aij 位于矩阵 A 的第 i 行第 j 列，称为矩阵
A的 ( i,j )元。以数 aij 为 (i,j)元的矩阵可简记作
(aij) 或 (aij)m× n,m× n 矩阵 A也记作 A m× n。
元素是实数的矩阵，称为实矩阵；元素是复数的矩阵称为复矩阵。
行数与列数都等于 n 的矩阵称之为 n 阶方阵，
记作 An。
2.行矩阵、列矩阵与方阵只有一行的矩阵称行矩阵，又称行向量。
只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量。
行数与列数都等于 n的矩阵叫方阵，记为 An。
3.同型矩阵与矩阵相等,如果两个矩阵的行数相等、列数也相等，就称它们是同型矩阵。
如果两个同型矩阵的对应元素相等，那么就称这两个矩阵相等。记作,A=B
4.零矩阵,元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作
O。不同型的零矩阵是不相等的。
5,对角矩阵、单位矩阵与数量矩阵如果 n 阶方阵除主对角线上的元素不全为零外，其余元素全为零，这样的 n 阶方阵称为对角矩阵。记作 A=diag(λ1,λ2,…,λ n)
如果 n 阶方阵如果满足主对角线上的元素全为 1，其余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为
n 阶单位矩阵。记作 En 或 E。
如果 n 阶方阵主对角线上的元素全为 k，其余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶数量矩阵。
二、矩阵的运算
1.矩阵的加法,设有两个同型的 m× n 阶矩阵
A= (aij),B= (bij)，则矩阵 A 与 B 的和记为
A+B，并规定
1 1 1 1 1 2 1 2 1 1
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...,..,..,..
...
nn
nn
m m m m m n m n
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
AB
注：矩阵的加法只能在两个 同型矩阵之间进行；
两个矩阵相加时，对应 元素进行相加。
矩阵加法的运算律：
(1) A+ B = B+ A
(2) ( A+B )+ C = A+ ( B+ C )
设矩阵 A= (aij),记?A= (? aij)，称? A为矩阵
A的负矩阵。
由矩阵加法的定义，显然有 A+ (? A) = O，
由此，矩阵的减法可定义为
Ａ? B =Ａ + (? B)
2.矩阵的数乘,数 λ与矩阵 Ａ 的乘积记为 λA或
Aλ，并规定：
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
...
...
...,..,..,..
...
n
n
m m m n
a a a
a a a
a a a
A
由此可见，矩阵的数乘仍然是一个与原矩阵同型的矩阵，并且，是用数 λ与矩阵的每一个元素相乘。
矩阵数乘的运算律：
矩阵的加法与数乘合起来通称为矩阵的线性运算。
3.矩阵的乘法,设矩阵 A为 m× n 阶矩阵、矩阵
B为 n× p 阶矩阵,A= (aij) m× n,B= (bij) n× p,
则矩阵 A与 B 的乘积为一 m× p 阶矩阵
C = (cij) m× p，记 C = AB,且
( 1 ) ( ) ( )
( 2) ( )
( 3 ) ( )
AA
A A A
A B A B
1
1
...,.....,..,..
...,..,..,..
...,.....,..,..
j
i in ij
nj
b
a a c
b
1 1 2 2
1
1,2,,()
1,2,,
ij i j i j in nj
n
ik k j
k
c a b a b a b
imab
jp
就是说，矩阵 C 的第 i 行第 j 列的元素等于矩阵 A 的第 i 行的所有元素与矩阵 B 的第 j 列的对应元素的乘积之和。
( 1 ) ( ) ( )
( 2) ( ) ( ) ( )
( 3 ) ( ) ( )
( 4) m m n m n m n n m n
A B C A B C
A B A B A B
A B C A B A C B C A B A C A
E A A A E A
矩阵 A 与矩阵 B 做乘法必须是左矩阵的列数与右矩阵的行数相等；?
矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，
AB是 A左乘 B的乘积,BA是 A右乘 B的乘积；
AB与 BA不一定同时会有意义；即是有意义，
也不一定相等；?
AB = O 不一定有 A= O或 B= O ；
A(X?Y ) = O 且 A≠ O 也不可能一定有 X=Y
1 1 1 1
1 1 1 1
22
22
.
AB
A B B A
A B A B B A
O
0
如,
显 然 有,
矩 阵 乘 法 不 满 足 交 换 律 与结,消 去 律总只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满足结合律，而不满足交换律，因而有下面的式子：
(1) An Am = An+m
(2) ( An )m= An m
(3) ( AB ) k ≠ Ak Bk
()n
n
n?A A A A 为 正 数
4.矩阵的乘幂,设 A 是 n 阶方阵，定义：
5.矩阵的转置,把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的一个新矩阵，叫做 A的转置矩阵，记作
AT。
如果 A是一个 m× n 阶矩阵，那么 AT 就是一个 n× m 阶矩阵。且 A 的行一定就是 AT中同序数的列 T14 1 2 3
25 456
36
AA
T T T T T
T T T T T
( 1 ) ( ) ( 2) ( )
( 3 ) ( ) ( 4) ( )
A A A B A B
A A AB B A
证明,设矩阵 A为 m× s 阶矩阵，矩阵 B为 s× n
阶矩阵，那么,( AB)T与 BTAT 是同型矩阵；
又设 C = A B，因为 CT的第 i 行第 j 列的元素正好是 C 的 cji,即
cji=aj1b1i+aj2b2i+…+ajsbsi =b1iaj1+b2iaj2+…+bsiajs
而 b1i,b2i,…,bsi 正好是 BT的第 i 行，
aj1,aj2,…,ajs 正好是 AT的第 j 列，因此 cji 是 BTAT
的第 i 行第 j 列的元素。故
( AB )T = AT BT
6.方阵的行列式由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式 (各元素的位置不变 )，称为方阵 A 的行列式，记为
| A| 或 det A。
注意：行列式与方阵是两个不同的概念，且它们的记号也是不同的。
方阵的行列式满足以下运算规律 (设 A,B为
n 阶方阵,λ为实数 )
T( 1 ) | | | | ( 2) | | | |
( 3 ) | | | || | ( 4) | | | |
nA A A A
AB A B AB BA
2.上 (下 )三角矩阵：
1 0,.,0 0,.,0
0 1,.,0 0,.,0
...,..,..,..,..,..,..,..
0 0,.,1 0 0,..
k
k
kk
k
E
1 1 1 2 1 11
2 2 2 2 1 2 2
12
..,0,.,0
0,..,.,0
...,..,..,.....,..,..,..
...0 0,..
n
n
n n n nnn
a a a a
a a a a
a a aa
1.数量矩阵,矩阵 k E 称为数量矩阵。
三、几类特殊的矩阵
3.行阶梯矩阵与行最简矩阵,一个 m× n 阶矩阵 A= (aij)它的第 i 行的第一个非零元素记为
,如果当 i>k时,有 ji > jk 时，称 A为行阶梯矩阵。
若矩阵 B 满足以下条件
(1) B是行阶梯矩阵；
(2) B的每一非零行的第一 个非零元素为 1；
(3) 每一非零行的第一个非零元素所在的列除它自身外其余元素全为零。称矩阵 B 为行最简矩阵。
iija
2 3 0 0 1 5
0 0 7 8 2 0
0 0 0 1 0 9
000000
A
1 3 0 0 1 5
0 0 1 0 2 0
0 0 0 1 0 9
0 0 0 0 0 0
B
4.对称矩阵与反对称矩阵,设 A为 n 阶方阵，
若 AT = A，即 aij = aji (i,j=1,2,…,n)，称矩阵 A
为对称矩阵；
若 AT =?A，即 aij =? aji (i,j = 1,2,…,n)，称矩阵 A 为反对称矩阵。
5.正交矩阵,若 n 阶方阵 A 满足 AAT= ATA=E
称 A为正交矩阵。
6.幂等、幂零、幺幂矩阵,若 n 阶方阵 A满足：
A2 = A，称 A为幂等矩阵
Ak = O，称 A为幂零矩阵
Ak = E，称 A为幺幂矩阵
7.伴随矩阵,设 A=(aij)n× n，矩阵 A中元素 aij的代数余子式 Aij构成的如下矩阵
1 1 2 1 1
* 1 2 2 2 2
12
...
...
...,..,..,..
...
n
n
n n n n
A A A
A A A
A
A A A
称矩阵 A的伴随矩阵，记为 A＊
** ( de t )A A A A A E
伴 随 矩 阵 有 如 下 重 要 性 质,
T 11 1 2 3 1
23
n
A B C A B
C
设,,,
求例 1
11
23
11 2
3
3
2
..,( ) ( ),..( )
( ),..( )
1
11
1 2 3
23
3
11
11
2 3 1 3 2 1
23
3 31
n
n n n
C C C C A B A B A B
A B A B A B
BA
C
而所 以,
解,
T
T
T T T T T T T
T
( ) ( )
n
A B A
B AB
AA
B AB B A B B AB
B AB
设,为 阶 矩 阵,且 为 对 称 矩 阵,
证 明,仍 是 对 称 矩 阵 。
因 为,所 以证故 是 对 阵
：
。
明称 矩例 2.
T
T T T T T
T T T
( )
( )
( )
n
A B A B
A B B A
A B A B A B
A B B A A A B B
A B B A B A
A B B A A B
设,都 是 阶 对 称 矩 阵,证 明 是对 称 矩 阵 的 充 要 条 件 是是 对 称 矩 阵而,又,
所 以 有,
故 是 为 对 称 矩 阵证 明,
的 充 要 条 件,
例 3,
TT
12
T
T
T T T T T
T
T 2 T 2 T T 2
TT
(,,...,)
2
( 2 ) ( 2 )
2
( 2 ) 4 4( )
4 4( ) (
4
n
x x x
n
X X X
E H E X X H
HH E
H E X X E X X
E X X H
HH H E X X E X X X X
E X X X X
设 列 矩 阵 满 足 =1,
为 阶 单 位 矩 阵,,证 明 是 对称
：
矩证阵,且 =
明例,
T
T T T
TT
)
4 4 ( )
4 4
XX
E X X X X X X
E X X X X E
第二节 逆矩阵设对于 n 阶方阵 A，若存在 n 阶方阵 B 使得 A B = B A = E
恒成立，则称矩阵 A 可逆； B 称为 A 的逆矩阵，
记为 A－ 1 = B 。
1.若矩阵 A可逆，则 A的逆矩阵是唯一的。
证明,设 A有两个逆矩阵 B1,B2，则
B1= B1E = B1(AB2) = (B1A) B2 = EB2 = B2
一、可逆矩阵的定义二、可逆矩阵的判断
2.若 | A|≠0，则 A可逆，且
1*
11 21 1
11 12 1
* 12 22 2
21 22 2
12 12
1
......
......
...,..,..,..,..,..,..,..
...,..
n
n
nn
n n nn n n nn
ij ij
a a a
a a a
a a a
a
A A
A
A A A
A A A
A A
A A A
A A其 中 是 矩 阵 的 元 素 的 代 数 余 子 式 。
证明,由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘法的定义有,AA*=A*A=|A|E，又 |A| ≠0
* * 1 *1 1 1( ) ( ),
| | | | | |
A A A A E A A
A A A故
3.对于 n 阶方阵 A,B 若有 AB = E
则,A,B 均可逆，且它们互为可逆矩阵。
证明,∵ AB = E ∴ | A| | B | =1
故 | A| ≠0且 | B| ≠0,A,B均可逆，
且 A－ 1=B
1.若 A 可逆，则 | A| ≠0
证明,∵ A可逆 ∴ A A－ 1 = A－ 1 A = E
故 | A|| A－ 1 |=1,即 | A| ≠0 同时还有
1 1|| ||A A
三、可逆矩阵的性质奇异矩阵与非奇异矩阵：
若 n方阵 Ａ 的行列式 | A| ≠0，称矩阵 A为非奇异矩阵，否则矩阵 A称为奇异矩阵。
2.如果 A,B均可逆，那么 AT与 AB都可逆，且
(AT)－ 1＝ (A－ 1)T (AB)－ 1＝ B－ 1A－ 1
证明,∵ A,B均可逆 ∴ AA－ 1=A－ 1A＝ E
故 (AA－ 1)T=(A－ 1)TAT＝ ET=E
∴ (AT)－ 1=(A－ 1)T
同理 (AB)(B － 1 A－ 1)＝ (B － 1 A－ 1) (AB) ＝ E
∴ (AＢ )－ 1=Ｂ － 1 A－ 1
1
1
1
1
1
.,..,.,0
1
..,
1
1
n
n
n
n
a
aa
a
a
a
AA
B A B B A E
AB
设 且,求,
且
所 以
例有解,
1
*
1*
31
.
02
21
6
03
11
1
36
1
0
2.
2
AA
AA
AA
A
例解,
设,求
,
1
*
1*
1 2 3 4
0 1 2 3
0 0 1 2
0 0 0 1
1 2 1 0
0 1 2 1
1
0 0 1 2
0 0 0 1
12
3
10
1 0 1 2 1
0 0 1 2
01
.
00
AA
AA
AA
A
设,求,
，
例解,
所 以
1 2 1
21
21
21
2
( ),..
( ),..
(,.,( )
(,..
4
.
.
(,.
k
k
k
k
k
k
k
A
E A E A A A
E A E A A A
E A A A E A
E A A A
A A A
E A E
0如 果,那 么
（ ）
）
）
例证 明,
）
* * 1
**
* * *
*1
( ),
0
1
()
5.
A A A
AA
A A A A A E
AA
A A E A
AA
AA
A
Q
设 矩 阵 可 逆,求 证 也 可 逆,并 求可 逆,有 由 公 式有,可 逆且例证,
2 1 T T 1 1
1 T T 1 1
T 1 T T 1 1 1
1 T 1 1
T 1 1
1
( ) ( ) ( )
( ) ( )
[ ( ) ] ( )
[ ( ) ] [ ( ) ]
[ ( ) ] ( )
( ) ( )
( ) (
6
)
.
n
A B A
A B E E A B E B A
E A B E B A
E A B A A B A
E B A A B A
E B A A A B
E B A A A B
A B A B
已 知,为 阶 对 称 矩 阵,且 可 逆,
,化 简例解
：
：
22
[] AB
* * 1
1**
[]
( A ) ( B )
( C ) ( D
7.
)
nn
nD
A
A A A A
A A A A
设 为 阶 可 逆 矩 阵,则
例
1 1 1
[]
( A ) ( B )
8.
( C ) ( D ) ( )
nC
AB
A B A B A B B A
A B A B A B B A
设,为 阶 矩 阵,则例
1 2 3 1 321
2 2 1,,2 0,53
3 4 3 3
9.
1
.
A B C
X AXB C
已 知求 矩 阵 使 满 足例
11
1 2 3
21
2 2 1 2 0,1 0,,
53
3 4 3
1 3 2
31
3 2 3 5 2,,
52
1 1 1
AB
AB
AB
均 逆,且解可
：
11
1 3 2 1 3
31
3 2 3 5 2 2 0
52
1 1 1 3 1
1 1 2 1
31
0 2 10 4,
52
0 2 10 4
X A CB
故,
2 3 1 0,0 41,A A E O A A E已 知,证 明 和 都 可逆,并 求 出例它 们 的 逆 矩 阵
1
3
( 3 ) 10
10
1
( 3 )
10
AE
A A E E A E
A A A E所 以 可 逆 且证,
，
明
11
1
1
1
1
( ) ( )
( ) [ ( ) ]
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
11,
n
A B E A B E B A
E B A E B E A B A
E B A E B E A B A
E B A E B A B E A B A
E B A B B A B E A B A
E B A B E A B E A B A
E B A B A E
设,为 阶 方 阵,且 与 均 可 逆,
证
：
明,
例证
1
( 4 ) ( ) 6 ( 4 )
6
1
( 4 ) ( )
6
AE
A E A E E A E E
A A E E
又所 以 可 逆,且第三节 矩阵的分块本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的方法，即矩阵的分块。将矩阵 A用若干条横线与若干条纵线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵 A的子块。以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。特别在运算中，把这些小矩阵当做一个数来处理。
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
3 1 3 2 3 3 3 4
a a a a
a a a a
a a a a
AA例 如,设 矩 阵,将 矩 阵分 成 子 块 的 形 式 有 很 多 种,下 面 就 是 三 种 不 同
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
11 12 13 14 11 12 13 14
21 22 23 24 21 22 23 24
31 32 33 34 31 32 33 34
11 12
21 22
1 )
2) 3 )
1)
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a a a a a
a a a a a a a a
a a a a a a a a
AA
A
AA
的 分 块 形 式,
在 分 块 形 式 中,其 中
11 11 12 12 13 14
23 2421 22
21 22
31 32 33 34
,
a a a a
aaaa
aa aa
AA
AA
，,
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2
1 2 1 2
...,..
...,..
...,..,..,..,..,..,..,..
...,..
ss
r r rs r r rs
A A A B B B
A A A B B B
AB
A A A B B B
即 Aij与 Bij有相同的列数与行数，则,A与 B 的和就是以 Aij与 Bij为元素的形式矩阵相加。
一、分块矩阵的加法,设矩阵 A,B是同型矩阵，且 A 与 B 有相同的分块方法
1 1 1 1 1 2 1 2 1 1
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...,..,..,..
...
ss
ss
r r r r rs rs
A B A B A B
A B A B A B
A
A B A B A B
二、分块矩阵的乘法,设矩阵 Am× n,Bn× p
且矩阵 A 列的分法与矩阵 B 的行的分法相同。
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2
12 12
1
2
112
1
2
2
......
..,,.,
...,..
.....,,.,,.,,.,,.,,.,,.,,.,,.,
...
...
s
r
s
s
t
s t
r r rs s s st
t
m
m
m
pnn
n
n
pn
n
p
A A A B B B
A A AAB B B B
A A A B B B
11 12 1
21 22 2
12
1 1 2 2
12
1
1
2
...
...
,..
......,..,..,..
...
,..
( 1,2,...,1,2,...,)
t
t
r r rt
s
pq p q p q ps sq pk k q
k
t
r
p p p
m
rq
m
p
m
t
C C C
C AB C C C
C C C
C A B A B A B A B
于 是 有,其 中
，
11 1
12 22 2
12
11 12 1
21 22 2
12
T T T
21
T T T
T
T T T
...
...
...,..,..,..
...
...
...
...,..,..,..
...
r
r
s s rs
s
s
r r rs
A A A
A A A
AA
A A A
A A A
A A A
AA
A A A
设 矩 阵 的 分 块 矩 阵 为则 矩 阵 的 转 置 矩 阵 为三、分块矩阵的转置它的特点是不在主对角线上的子块全为零矩阵，
而在主对角线上的矩阵均为不全为零的方阵，则称 A为 准对角矩阵 （或 分块对角矩阵 ）。
对于准对角矩阵，有以下运算性质：
若 A与 B是具有相同分块的准对角矩阵，且设
1
2
0,.,0
0,.,0
...,..,..,..
0 0,.,s
A
A
A
A
四、准对角矩阵若矩阵 A的分块矩阵具有以下形式
11
22
0,.,0 0,.,0
0,.,0 0,.,0
...,..,..,..,..,..,..,..
0 0,.,0 0,..ss
AB
AB
AB
AB
则：
11
22
0,.,0
0,.,0
...,..,..,..
0 0,.,ss
AB
AB
AB
AB
11
22
0,.,0
0,.,0
...,..,..,..
0 0,.,ss
AB
AB
AB
AB
T
1
T
T 2
T
0,.,0
0,.,0
...,..,..,..
0 0,.,s
A
A
A
A
若准对角矩阵 A的主对角线上的每一个方阵均可逆，则矩阵 A也可逆，且
1
1
1
1 2
1
0,.,0
0,.,0
...,..,..,..
0 0,.,s
A
A
A
A
1
2
12
0,.,0
0,.,0
...
...,..,..,..
0 0,..
s
s
A
A
A A A A
A?
五、矩阵分块的应用 1
500
0 3 1
0 2 1
1,?
AA
AA
设 求根 据 矩 阵 的 特 点,对 进 行例解,如 下 分 块
1
1
2
11
1 2 2
1
1
5
1 1
1
2
500
0
0 3 1 5
0
0 2 1
1 3 1 1 1
2 1 2 35
00
0
0 1 1
0
0 2 3
A
AA
A
A A A
A
A
A
,其 中,
、,
1
11
11 12
21 22
11 12 1
21 22 2
12 11 1
22 21 2
12 1 11 22 21 2
11
11 12 21 22
2
,
.
,
0A
X A B X
B0
XX
X X X E
XX
X X E 00A
X X B 0 0 E
X B X A E 0
X B X A 0 E
X B E X A 0 X B 0 X A E
X 0 X B X A X 0
X
设 且 与 均 可 逆,求设例解,则 有即
，
1
1
1
0B
A0
1
2
3
1 2 3
1 2 0 0 0
3 7 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 9 5
0 0 0 7 4
1 2 0 0 0
3 7 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 9 5
0 0 0 7 4
1 2 9 5
| | 1
3 7 7
3.
4
AA
A
A
AA
A
A A A A
设,求对 进 行 分 块 如 下解,
例
：
1
11
11 12
21 22
11 12 1
21 22 2
11 12 1
11 21 12 22 2
,
.
4
A0
X A C
BC
X
XX
X X X E
XX
X X E 0A0
B C X X 0 E
A X A X E 0
B X C X B X C X 0 E
设,且 与 均 是 可 逆例解,
矩 阵,
求设 即,
1
1111 1
1212
11
11 21 21
1
12 22 2
22
1
1
1 1 1
0
XAAX E
XAX
BX CX X C BA
BX CX E XC
A
X
C BA C
故,
00
0
1
T
T
TT
T1
T1
T 1 T T 1 T 1
1T
1T
1 T T 1 T 1 T
1 1 1
1
1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
5
.
AB
X A C
0C
X
A0
X
BC
A0
X
C B A C
A0
X
C B A C
A A B C
X
0C
Q
-
例解,
设 且 与 均 是 可 逆 矩 阵,
求
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
故,
1
1
1 1 1
1
1 1 2 312
1
3
3
1 1 1 1
1 3 1 2 3
6.
2 1 3 4
0 2 1 3
0 0 2 1
0 0 0 2
5511
8 1624
1 1 5
0
2 4 8
AA
A A A AAA
A
A A
A A A A A
－
例解,
设,求
，
0 0
5511
2 4 8 16
511
1 2 4 8
11
24
1
2
0
00
0 0 0
A故,
六、矩阵按行、列分块
11 12 1
T
21 22 2 12
12
T
1
T
2
T
...
..,(,,...,)
...,..,..,.,1,2,...,
...
n
n i i i in
m m m n
m
a a a
a a a a a a
im
a a a
A
A
L
记
，
则,
11 12 1
21 22 2
12
1
2
12
...
...
...,..,..,..
...
( 1,2,..,) (,,...,)
...
n
n
m m m n
j
j
jn
mj
a a a
a a a
a a a
a
a
jn
a
A
α A α α α记 则
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
11 12 1 111
2 2 21 22 2 2
...
...
........................
...
()
...
...
...,..,..,.
nn
nn
m m mn n m
ij
n
n
nm
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a
a a a bxb
x b a a a b
xb
A
x b B
对 于 线 性 方 程 组记
12
.,..,..,..
...
m m mn m
a a a b
A x b则如果把系数矩阵 A按行分成 m块，则线性方程组 可记作bAx?
T
1
1
T
22
T
T
......
1,2,...,)
m
m
ii
b
b
b
b i m
α
α
A x x
α
α x即 （
1
2
12
1 1 2 2
(,,...,)
...
,..
n
n
nn
x
x
x
x x x
Ax α α α b
α α α b即如果把系数矩阵 A按列分成 n块，则线性方程组 可记作bAx?
对于矩阵 与矩阵 的乘积,若把矩阵 A 按行分成 m
块，把矩阵 B 按列分成 n 块，便有：
ij msaAij snbB
ij mncA B C
T T TT
1 1 1 2 11
T T T T
2 2 1 2 2 2
12
T T T T
12
...
...
...
...,..,..,..,..
...
n
n
n
m m m m n
α b α b α bα
α α b α b α b
AB b b b
α α b α b α b
七,方阵 A的 n次多项式
0 1 2
0 1 2
( )
()
()
( ) ( ) ( ) ( )
n
n
km
x a a x a a x n
m
a a a a
fm
gg
x
2n
2n
f x +,.,+ x
A
f A E A A +,.,+ A
AA
A A E
A
f A A A f A
A
设 为 的 次 多项 式,为 阶 方 阵,记称 为 矩 阵 的 次 多 项 式,
由 于 方 阵,,对 乘 法 是 可 交 换 的,所以 矩 阵 的 多 项 式 的 乘 法 也 是 可 交 换 的,即从 而 的 多 项 式 可 以 象 数 的 多 项 式 分
2
3 3 2
3 2 ( 2 ) ( )
( ) 3 3
A A E A E A E
A E A A A E
解 因 式,
如,
11
0 1 2
1 2 1 1
0 1 2
1
12
12
( 1)
()
( )
( 2) (,,...,)
(,,...,),
kk
n
n
n
n
k k k k
n
a a a a
a a a a
f
diag
diag
2n
AP Λ P A P Λ P
f A E A A +,.,+ A
EP Λ PP Λ P +,.,+ P Λ P
P Λ P
Λ
Λ
如 果,则,从 而如 果,
那 么 从 而我们经常用如下的方法来计算矩阵的多项式：
0 1 2
1
2
01
2
11
2
22
2
2
1
2
( ),..
1
1
...,..
1
,..
...,..
()
()
...
()
n
n
n
n
n
n
nn
n
a a a a
aa
aa
f
f
f
2n
f Λ E Λ Λ ++ Λ
++
82
1
1
5
( ) (
7
5)
.
6.?
AP P Λ P Λ
A A E A A
1 1 1
设,其 中 = 1 0 -2,
求例
1 -1 1
1
1
8 9 10
( ) ( )
( ) 5 6
12( 1 )
( 1 ) 0
(5 0
:
)
AP P Λ AP Λ P
AP Λ P
Λ Λ Λ Λ
解而
1
1
( ) ( )
1 1 1 12 1 1 1
1 0 2 0 1 0 2
1 1 1 0 1 1 1
1 0 0 2 2 2
1
12 1 0 0 3 0 3
6
1 0 0 1 2 1
111
4 1 1 1
111
AP Λ P
