第四章 向量空间本章主要讨论向量空间。它是线性代数的基本内容之一。这里的向量是一个集合里元素的名称，而空间在数学上的含义就是一个集合，在其中定义了运算，而且这些运算满足一组法则。我们可以通过这些运算的法则导出该集合的
“结构” 。
§ 4.1 n 维向量空间 Rn
§ 4.3 向量空间的概念与子空间
§ 4.2 向量的线性相关性
§ 4.4 线性方程组解的结构第一节 n维向量空 间 Rn
12
12
T
12
12
(,,...,)
( 1,2,...,)
(,,...,)
(,,...,)
(,,...,)
n
i
n
n
n
n x x x
n x i n
in
x x x
or x x x
n x x x
a
a
a
一 组 有 序 的 个 实 数 组 称 为 一个 维 向 量,其 中 称 为 该 向 量 的第 个 分 量,维 向 量 记 为行 向 量列 向 量如 果 两 个 维 向 量
12
(,,..,,)
( 1,2,...,)
n
ii
y y y
x y i n
b
a b a b
的 对 应 分 量 相 等,即,则 称向 量 与 相 等,记 为一,n维向量的定义
12
12
( 0,0,...,0 )
(,,...,)
(,,...,)
( )
(
)
n
n
n
x x x
x x x
n
m n m
mn
0
0
x
x
分 量 全 为 零 的 维 向 量 称 为 零 向 量,记 为,
即,
称 向 量 为 向 量的 负 向 量,记 为由 若 干 个 维 列 行 向 量 组 成 的 集 合 叫 做 向 量 组,
一 个 只 含 有 个 向 量 的 向 量 组 总 是 与 一 个 或阶 矩 阵 一 一
12
12
T T T
12
T
T T T
12
.
,,...,
(,,...,)
,,...,
,,...,
m
m
m
m
mn
A n m
mn
B m n
a a a
A a a a
b b b
B b b b
对 应 如 个 维 列 向 量 组 成 的 向 量组,构 成 了 一 个 阶 矩 阵； 个 维 行 向 量 所 组 成 的 向 量 组
,就 构 成 了 一 个 阶 矩 阵
1 2 1 2
11
12
(,,..,,) (,,..,,)
(,..,,)
(,,...,)
nn
nn
n
x x x y y y
x y x y
x x x
xy
xy
x
设规 定二,n维向量的运算一切 n 维向量所构成的集合，按上面规定的两种运算，可以验证它是符合下面八条运算法则，这样的 n 维向量的集合称为 n 维向量空间。记为 Rn。
三,n维向量空间
1,
2,( ) ( )
3,
4,( )
5,( ) ( )
6,( )
7,( )
8,1
a b b a
a b c a b c
a 0 a
a a 0
aa
a a a
a b a b
aa
第二节 向量的线性相关性一、线性组合与线性表示
1.定义,设有向量组 A,a1,a2,…,am及向量 a，
若存在 m 个实数 x1,x2,…,xm，使成立，则向量 a 称为向量组 a1,a2,…,am的一个线性组合，或称向量 a 可由向量组 a1,a2,…,am
线性表示。
若向量 a可由向量组 A,a1,a2,…,am线性表示，那么向量方程 有解,
1 1 2 2 mmx x xa a a aL
1 1 2 2,.,mmx x xa a a a
定理 1.向量 a能由向量组 a1,a2,…,am(m≥2)线性表示的充要条件矩阵 A=(a1,a2,…,am)的秩等于矩阵
B= (a1,a2,…,am,a)的秩 。
二、等价向量组
1.定义 2,如果向量组 A,a1,a2,…,ar 中的每个向量均可被向量组 B,b1,b2,…,bs 线性表示，则称向量组 A 可被向量组 B 线性表示，若向量组 A
与 B可以相互线性表示，则称向量组 A 与 B 等价,
2.等价关系的三条性质：
1)反身性,一个向量组与它本身是等价的；
2)对称性,如果向量组 A 与向量组 B 等价，那么向量组 B 与向量组 A 也等价；
3)传递性,若向量组 A与向量组 B等价，向量组 B与向量组 C等价，则向量组 A与向量组 C是等价的。
3.向量组等价与矩阵秩的关系：
(1)若向量组 A与 B所构成的矩阵依次记为 A,B，则向量组 B 能被向量组 A 表示的充要条件是,一定存在矩阵 C 使得 B = AC.
1 2 1 2
12
1
2
1 1 2 2 1 2
11 12 1
1 2 1 2
(,,...,) (,,...,)
( 1,2,...,)
,,...,
,.,(,,...,)
...
...
(,,...,) (,,...,)
mp
i
i i m i
i
i
i i i m i m m
mi
pm
B A i p
x x x
x
x
x x x
x
x x x
A a a a B b b b
b
b a a a a a a
b b b a a a
设,,由 于 向 量 组能 由 向 量 组 线 性 表 示,即 对 向 量存 在 实 数 使从 而
21 22 2
12
...
...,..,..,..
...
p
p
m m m p
x x x
x x x
B A C即
11 12 1
21 22 2
1 2 1 2
12
...
...
(,,...,) (,,...,)
...,..,..,..
...
p
p
pm
m m m p
x x x
x x x
x x x
C B AC
b b b a a a
BA
反 之 若 存 在 矩 阵,有,则所 以 的 列 向 量 可 被 的 列 向 量 线 性 表 示,
( 2) A B A
B B A
BA
B
A A B
设 矩 阵 与 是 行 等 价 的,即 矩 阵 经 过 行 的 初 等变 换 变 为 矩 阵,则 矩 阵 的 每 个 行 向 量 都 是 的 行向 量 的 线 性 组 合,即 的 行 向 量 可 由 的 行 向 量 线 表示 ； 由 于 初 等 变 换 是 可 逆 变 换,矩 阵 亦 可 经 初 等行 变 换 变 为 矩 阵,从 而 的 行 向 量 也 可 由 的 向 量
( 3 )
A
A
B
A B A B
AB
AB
B A B A
线 性 表 示,于 是 的 行 向 量 与 的 行 向 量 等 价,
同 理,若 矩 阵 与 列 等 价,则 与 的 列 向 量 也 等 价,
若 线 性 方 程 组 中 某 一 方 程 是 其 余 方 程 作 线 性 运 算而 得 到 的,称 该 方 程 为线 性 方 程 组 的 线其 余 方 程 的 线 性 组 合,同 时也 称 该 方 程 可 由 其 余 方 程 线 性 表 示 。 若 方 程 组 中 每一 方 程 均 可 被 方 程 组 中 的 方 程 线 性 表 示,称 方 程 组可 被 方 程 组 线 性 表 示 ； 若 方 程 组 与 可 相 互 线 性表 示,称 方 程 组性 组 合,线 性 表 示 与与 等 价 。
等 价显 然,等 价 方 程 组 有 相同 的 解,
1 2 1 2
1 2 1 2
...,..
( ) ( )
...,..
( ) ( ) ( | )
1
2
pm
pm
BA
RR
BA
RRR
b b b a a a
BA
b b b a a a
A B A B
向 量 组,,,,被 向 量 组,,,,线性 表 示,
向 量 组,,,,与 向 量 组,,,,等价 的 充 要 条 件推 论,
推 论,
1 2 1 2
12
1 2 1 2
...,..
(,.,)
(,.,|,.,)
( ( | )
2
)
pm
m
mp
BA
RR
BA
b b b a a a
A a a a
A B a a a b b b
A A B
C
B A C A X B
向 量 组,,,,能 由 向 量 组,,,,
线 性 表 示 的 充 要 条 件 是 矩 阵,,,的 秩 等 于矩 阵 ( | ),,,,,,的 秩,即向 量 组 被 向 量 组 线 性 表 示,即 存 在 矩 阵 使得,即 矩定 理,
阵 方 程 有 解,
证 明,
而 该 矩 阵
( ) ( | ),RR?A A B
方 程有 解 的 充 要 条 件 是
TT
12
TT
3
1 2 3
( 1 1 2 2) ( 1 2 1 3 )
( 1 1 4 0) ( 1 0
1
3 1 )
aa
a a a
a a a
设 向 量,
、,
例证 明 向 量 能 由向 量 组,,线 性 表 示,并 求
.
表 达 式,
4 3 3 2
2 1 4 2
3 1 1 2
1 2 3 1 2 3
1 2 3
2
2
(,,) (,,| )
( ) ( ),,
1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 3 2
1 2 1 0 0 1 2 1 0 1 2 1
~~
2 1 4 3 0 1 2 1 0 0 0 0
2 3 0 1 0 2 4 2 0 0 0 0
()
r r r r
r r r r
r r r r
RR
R
A a a a B a a a a
A B a a a a
B
B
A
设,,
当 时,可 被 线 性 表 示,为 此把 矩 阵 化 为 行 最 简 矩 阵所解以
.
12
( ) 2 2RB a a a,且
1 2 3 4
4 1 2 3
1 1 3 5
,0 1 1 3,
1 1 1 1
2
β β β β
β β β β
设 判断 可 否 由,,
例线 性 表 示？
3 1 3 2 12
1 2 3 4
2
1 2 3 4 1 2
3 4 1 2 3
1 1 3 5
(,,| ) 0 1 1 3
1 1 1 1
1 1 3 5 1 1 3 5 1 0 2 2
~ 0 1 1 3 ~ 0 1 1 3 ~ 0 1 1 3
0 2 2 6 0 0 0 0 0 0 0 0
(,,
:
) ( ) 2
2 3 0
r r r r rr
RR
B β β β β
β β β B β β β
β β β β β
设所 以,故 可 被,
线 性 表 示,且解
TT
12
T T T
1 2 3
1 2 1 2 3
( 1 1 1 1 ) ( 3 1 1 3 )
( 2 0 1 1 ) ( 1 1 0 2) ( 3 1 2
3
0)
aa
bbb
a a b b b
设 向 量,
、,,
证 明 向 量 组,与,,
例,
等 价,
43
32
21
42
32
1 2 1 2 3
1
2
(,) (,,)
( ) ( ) ( | )
1 3 2 1 3 1 3 2 1 3
1 1 0 1 1 0 4 2 2 2
( | ) ~
1 1 1 0 2 0 2 1 1 1
1 3 1 2 0 0 4 2 2 2
1 3 2 1 3
0 2 1 1 1
~ ( ) ( ) ( | )
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
rr
rr
rr
rr
rr
RRR
RRR
A a a B b b b
A B A B
AB
A B A B
设,
当 时,两 向 量 组 等 价,
而
,所 以证 明,
2?
12
12
12
,...,
,...,
,...,
()
m
n
n
n A n m
nn
nA
Rn
a a a
A e e e E
e e e
A
设 维 向 量 组,,构 成 了 阶 矩 阵
,阶 单 位 向 量,构 成 了 阶 单 位 矩 阵,
证 明,维 单 位 向 量,能 由 向 量 组 线 性 表示 的 充 要 条 件 是例 4.
.
12
,...,
( ) ( | )
( | ) ( )
( | ) m in{,}
( ) ( | ),
n
nA
RR
R R n
R n m n n
R R n
e e e
A A E
A E E
AE
A A E
维 单 位 向 量,能 由 向 量 组 线 性 表示 的 充 要 条 件 是而,
.
所证以
：
又明
()
( )
( )
n m n
n m m n n
n m m n m
Rn
Rn
Rm
mn
A X E A
A Q AQ E
A
A P P A E
A
P
本 例 用 方 程 的 语 言 可 描 述 为,
方 程 有 解 的 充 要 条 件 是用 矩 阵 的 语 言 可 描 述 为,
对 矩 阵 存 在 矩 阵,使 的 充 要 条 件 是；
对 矩 阵 存 在 矩 阵,使 的 充 要 条 件 是显 然,当 时,QA,便 是 的 逆 矩 阵,
1 1 2 2,.,mmx x xa a a 0
1.定义,给定向量组 A,a1,a2,…,am，若存在不全为零的实数 x1,x2,…,xm，使得关系式三、线性相关与线性无关恒成立，则称向量组 a1,a2,…,am线性相关，否则称该向量组线性无关，即若上述等式当且仅当
x1=x2=…=xm=0时成立，则 a1,a2,…,am线性无关,
由次可见，向量组 a1,a2,…,am是否线性相关就是看方程组 是否有非零解。
1 1 2 2,.,mmx x xa a a 0
定理 4,向量组 a1,a2,…,am(m≥2)线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合,
12
1 1 2 2
12
112
1 2 1
,,...,
,..
,,...,0
,..
m
mm
mm
m
mm
m m m
x x x
x x x x
xxx
x x x
a a a
a a a 0
a a a a
若 向 量 组 线 性 相 关,则 有且 不 全 为 零,无 设,
证妨
：
则明
12
...
(,.,)
)
.
(
3 m
m m
Rm
a a
A a a a
A
向 量 组,,,线 性 相 关 的 充 要 条 件 是 它构 成 的 矩 阵,,,的 秩 小 于 向 量 个 数 ；
向 量 组 线 性 无 关 的 充 要 条 件 是定 理
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 2 1 1
12
,..,..
,..,..
,,...,,1,,...,
,,...,
i i i i i m m
i i i i i m m
i i m
m
x x x x
x x x x
x x x x x
a a a a a
a a a a a 0
a a a
充 分 性,
而 是 不 全 为 零 的 数,所以 向 量 组 线 性 相 关 。
定理 5,如果 Rn中有一组线性无关的向量 b1,b2,…,bm
和一向量 a，而向量组 a,b1,b2,…,bm线性相关，则向量 a可由向量组 b1,b2,…,bm线性表示，且表示法唯一,
12
12
1 1 2 2
,,,...,
,,,...,
...
0
m
m
mm
x x x x
x x x x
x
a b b b
a b b b 0
线 性 相 关,有 不 全 为 零 的数,则 有且因证 明,为
。
1 1 2 2
1 2 1 2
12
12
0
,..
,,...,,,...,
0
,..
mm
mm
m
m
x
x x x
x x x
x
xxx
x x x
b b b 0
b b b
a b b b
如 果,则 有而 线 性 无 关,这 样 就 全 为 零了,因 此,,故 有
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 1
12
,..,..
( ),.,( )
,,...,( 1,2,...,),
m m m m
m m m
m i i
x x x y y y
x y x y
x y i m
a b b b b b b
b b 0
b b b
下 面 来 证 明 唯 一 性,如 果 有 两 种 表 示 法,
即将 上 面 两 式 相 减,得由 于 线 性 无 关,故 而 有
1 2 1 2
12
12
12
(,...,) (,,...,,)
,...,( )
,,...,,
( ) ( ) 1 ( )
,...,
2
mm
m
m
m
Rm
m R R m R m
B b,b b A b b b a
b,b b B
b b b a
B A A
a b,b b
证 法 设,
由 于 向 量 组 线 性 无 关,
又 向 量 组 线 性 相 关,
：
故 向 量 可 被 向 量 组 唯 一 线 性 表 示 。
2.如何判定 m 个 n 维向量的线性相关性
(1)利用定义
(2)利用矩阵的秩
n维列向量组 a1,a2,…,am与一个 m× n阶矩阵之间有一一对应的关系；同样 n维行向量组
b1,b2,…,bm也与一个 m× n阶矩阵之间有一一对应的关系，因此，判定向量组的线性相关性只要来求该向量组所对应矩阵的秩即可。 当矩阵的秩等于该向量组中向量的个数，则向量组线性无关，否则，线性相关 。
3.关于向量组的线性相关性，我们还有如下结论
1).如果向量组只有一个向量，它线性无关的充要条件是该向量不是零向量；
2).如果向量组是由两个向量组成，它们线性相关的充要条件是它们的分量对应成比例；
3).若一个向量组中含有零向量，则此向量组一定线性相关；
4).若一向量组中有部分向量线性相关，则此整个向量组线性相关；
5).如果一个向量组是线性无关的，则它的任何部分向量组必定线性无关；
6).若一组 n维向量线性无关，将它们在同一位置增加 p个分量，成为一组 n+p维的向量组，这样的向量组也线性无关；
7).如果一组向量线性相关，则去掉若干分量而得到的向量组也线性相关。
8).m个 n维向量组成的向量组当 m > n 时一定线性相关。
1 2 3,,
1 1 2 2 2 3 3 3 1、,
例 5,已知向量组 线性无关,证明向线性无关．
量组
1 1 2 2 3 3
1 3 1 1 2 2 2 3 3
1 2 3
13 1
1 2 2
2 3 3
1 2 3
( ) ( ) ( )
0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 1 0 0 1 1 0 2 0
0 1 1 0 0 1 10
k k k
k k k k k k
kk k
k k k
k k k
0
0
设,则由 于,,线 性 无 关,则证
,而,
所 以 方 程 组 只 有 零 解,故,,
明,
线 性 无 关,
1 2 3
1 2 3
2,3,5,
4 7 1
6.
α α α设 向 量 判 断 该 向量 组 是 否 线 性 相 关例
1 2 3
1 2 3
1 2 3 1 2 3
,,2 3 5 ~ 0 1 11
4 7 1 0 1 11
1 2 3
~ 0 1 11
0 0 0
( ) 2 3,,,.R
A α α α
A α α α所 以
：
线 性 相 关解
1 2 3 2 3 4
1 2 3
4 1 2 3
,,,,
7.
,
,,
α α α α α α
α α α
α α α α
设 向 量 组 线 性 相 关,而 向 量 组 线性 无 关,证 明,
(1) 向 量 可 被 向 量 组 线 性 表 示 ；
(2) 向 量 不 能 被 向 量 组例线 性 表 示,
2 3 4 2 3
1 2 3 1 2 3
4 1 2 3
4 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3
4 1 1 2 2 3 3 1 2 2 2 1 3 3 3
2 3 4
( 1 ),,,
,,,
( 2),,
( ) ( )
,,
x x x y y
x x x x y x x y x
α α α α α
α α α α α α
α α α α
α α α α α α α
α α α α α α
α α α
由 于 线 性 无 关,故 也 线 性 无 关 ；
又 线 性 相 关,所 以 可 被 线 性 表 示 ；
假 设 可 被 线 性 表 示,则
,又所 以这 与 线 性 无 关 矛 盾,
证,
故 命 题 得 证 。
1.极大线性无关组设有向量组 A,如果在 A中能选出 r 个向量 a1,
a2,…,ar，满足：
1)向量组 A0,a1,a2,…,ar线性无关；
2)向量组 A中的任一向量均可被向量组 A0线性表示；
或者满足：
1)向量组 A0,a1,a2,…,ar线性无关；
2)向量组 A中的任何 r+1个向量都线性相关；
那么称向量组 A0是向量组 A的一个极大线性无关组,
四、向量组的秩向量组的极大线性无关组一般是不唯一的。
一个向量组和它自己的极大线性无关组是等价的。
2.向量组的秩向量组 A 中的一个极大无关组中所含有的向量个数 r 称之为向量组 A 的秩，记为 RA。
定理,矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。
证,设 A=(a1,a2,…,ar),R(A)=k，并设 k阶子式 Dk
≠0，则 Dk所在的 k列线性无关，又由 A中所有 k+1阶子式均为零知,A中任意 k+1个列向量都线性相关，
因此 Dk所在的 k列是 A的列向量组的一个极大无关组，所以列向量组的秩等于 k。
同理可证明行向量组的秩也等于 k。 ▌
定理,设向量组 A,a1,a2,…,am可由向量组
B,b1,b2,…,bn线性表示，则,RA≤RB
证,设向量组 A的一个极大 无关组为
A0,a1,a2,…,ar，向量组 B 的一个极大无关组为 B0：
b1,b2,…,bs，由于 A与 A0等价,B与 B0等价，所
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
...,..
(,.,) (,..,...
2
)
p
m
m m p
BA
RR?
b b b a a
a
a a a a a a b b b
向 量 组,,,,能 由 向 量 组,,,,
线 性 表 示 的 充 要 条 件 是
,,,,,,
理
,,,
定,
推论 1,等价向量组的秩相等；
推论 2,设向量组 B是向量组 A的一个部分组，若向量组 B线性无关，且向量组 A能由向量组 B线性表示，则向量组 B是向量组 A的一个极大无关组。
以,A0可由 B0 线性表示，由前面的定理可知，
r≤s，故 RA≤RB ▌
2 1 1 1 2
1 1 2 1 4
4 6 2 2 4
3 9 7
8
9
.
6
AA设 矩 阵,求 矩 阵 的 列 向 量组 的 一 个 极 大 线 性 无 关 组,并 把 不 属 于 最 大 无 关 组的 向 量 用 最 大 无 关 组例线 性 表 示,
1 1 2 1 4 1 0 1 0 4
0 1 1 1 0 0 1 1 0 3
0 0 0 1 3 0 0 0 1 3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
( ) 3 3R
AA
A
A
::
对 施 行 初 等 行 变 换 化 为 行 最 简 矩 阵,即知,故 列 向 量 组 的 最 大 无 关 组 中解含 有
：
个
1 2 4
3 1 2 5 1 2 3
1,2 4
4 3 3
a a a
a a a a a a a
列 向 量,而 三 个 非 零 行 的 三 个 非 零 首 元 在,列,
故,,为 列 向 量 组 的 一 个 极 大 无 关 组,且
、
第三节 向量空间设 V 是一个非空集合,P 是一个数域，在集合 V的元素之间定义两种运算，一种叫做加法，一种叫做数乘；对于 V 中的任意两个元素
a,b 相加的和记为 a+b，任一元素 a与数域 P 中的任一数 λ的乘积记为 λa,a+b,λa 都仍为 V
中的元素，且上述两种运算满足下列法则一、定义
1,
2,( ) ( )
a b b a
a b c a b c
3,4,( )
5,( ) ( ) 6,( )
7,( ) 8,1
a 0 a a a 0
a a a a a
a b a b a a
则集合 V 叫做向量空间，也称为线性空间,V
中的元素称为向量。当 P 为实数域时，向量空间 V 称为实向量空间；当 P 为复数域时，向量空间 V 称为复向量空间,V 的零元素称为零向量；?a 称为 a 的负向量。
这里向量空间的概念有了很大的延拓，前面所介绍的 Rn只是我们常见的一种向量空间，它不是向量空间的全部。在这里，向量也不一定只是有序数组，向量空间中的运算只要满足八条运算规律，当然也就不一定是有序数组的加法和数乘。
1
1 1 0
1
1 1 0
1.
2
[ ]
[ ] {,.,| }
[ ]
[ ] {,.,|
.
n
nn
n n n i
n
nn
n n n
n P x
P x a x a x a x a a
n Q x
Q x a x a x a x a
R
次 数 不 超 过 的 多 项 式 的 全 体,记 作,
即,
对 通 常 的 多 项 式 加 法,数 乘 多 项 式 的 乘 法 构 成向 量 空 间 。
次 多 项 式 的 全 体,记 作,即例例
0 }
in
aaR 且对 于 通 常 的 多 项 式 加 法,数 乘 多 项 式 的 乘 法 也构 成 向 量 空 间 。
二、向量空间的性质
12
12
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2 2 1 2
1.,
,
2,
,
0 0 V
α V α 0 α α 0 α
0 0 V 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
α β γ
α β 0 α γ 0
γ γ 0 γ α β
零 元 素 是 唯 一 的假 设 是 向 量 空 间 中 的 两 个 零 元素,则 对 于,有,,
由 于,,
负 元 素 也 是 唯 一 的 。
设 有证 明,
证 明,两 个 负 元 素 与,则,
()γ α β 0 β β
3,0 ( 1 ),
0 ( 1 0) 1 0
( - 1) ( 1- 1) 0 ( - 1)
[ ( 1 ) ] ( )
[ ( ) ] 0
4,0,
11
0 ( )
1
( ) (
α 0 α α 00
α α α α α α 0
α α α α 0 α α
0 α α α α
α α 0
α 0 α 0
α 00
α
证 明,
证 明,； ；
因 为又 因如 果,则 或假 设,那 么又
1
) 1
0
α α α α 0
α 0
所 以同 理 可 证,若,则三、维数、基与坐标
1.定义,在向量空间 V 中，如果存在 n 个元素
a1,a2,…,an满足：
1)a1,a2,…,an线性无关；
2)V 中任一元素 a 总可由 a1,a2,…,an线性表示，
那么,a1,a2,…,an就称为向量空间 V 的一个基，
基中元素的个数 n 称为向量空间 V 的维数,
维数为 n 的向量空间称为 n 维向量空间，记作 Vn。
若 a1,a2,…,an为向量空间 Vn的一个基，则由基的定义,Vn可表示为
11{,.,| }n n n ix x x Ra a aV
1 2
1 2 1 1
1 2 1 2
T
12
,,...,
,,...,...
,,...,,,...
(,,...,)
nn
n
n n n
n
n
n
x x x x x
x x x
x x x
a a a
a
a a a
a a a
a
a
V
V
设 是 向 量 空 间 的 一 个 基,
对 于 任 一 元 素,总 有 且 仅 有 一 组 有 序 数
,使这 组 有 序 数 就 称 为 元 素 在 基下 的 坐 标,并 记 为
：2,定 义由前面的定理可知，向量空间的基是不唯一的，但不同的两个基中含有的元素的个数是相同的。 n 维向量空间中，任意 n 个线性无关的向量都可充当该向量空间的一个基。
2
4 0 1 2
34
34
4 3 2 1
4 3 2 1 0
0 0 1 1 2 2 3 3 4 4
T
0 1 2 3 4
[ ] 1,,,
4
(,,,
3
,
)
,P x x x
xx
a x a x a x a x a
a a a a a
a a a a a
a a a
a,a
a a a a a
p
p
p
在 向 量 空 间 中,
就 是 的 一 组 基,任 何 一 个 次 数 不 超过 次 的 多 项 式都 可 表 示 为因 此,在 这 组 基 下 的 坐 为例标四、向量空间中向量的坐标运算
12
T
1 1 2 2 1 2
T
1 1 2 2 1 2
1 1 1 2 2 2
T
1 1 2 2
,,...,
,
,.,(,,...,)
,.,(,,...,)
( ) ( ),.,( )
(,,...,)
n
n
n n n
n n n
n n n
nn
n
x x x x x x
y y y y y y
x y x y x y
x y x y x y
a a a
ab
a a a a
b a a a
a b a a a
V
设 是 维 向 量 空 间 的 一 组 基,对 于任 意 的,且 有于 是
TT
1 2 1 2
1 1 2 2
TT
1 2 1 2
(,,...,) (,,...,)
( ) ( ),.,( )
(,,...,) (,,...,)
nn
nn
nn
x x x y y y
x x x
x x x x x x
a a a a
上述结果表明：在 n维向量空间 Vn中取定了一个基之后,Vn中的向量与 n维数组向量空间 Rn
中的向量之间就有了一一对应的关系，且这个对应关系具有如下性质：
TT
1 2 1 2
TT
1 2 1 2
T
12
(,,..,,) (,,..,,)
1 ) (,,..,,) (,,..,,)
2) (,,..,,)
nn
nn
n
x x x y y y
x x x y y y
x x x
a b
ab
a
设则也就是说，这种对应关系保持了线性组合的对应，所以可以说 Vn与 Rn 有相同的结构，我们称 Vn与 Rn同构。
1.定义：设 S 为向量空间 V 的一个非空子集，
如果 S 对于 V 中的加法运算与数乘运算也能构成向量空间，则 S 称为 V 的子空间。
定理,向量空间 V 的非空子集 S 是 V 的子空间的充要条件是 S 对 V 中的加法运算和数乘运算是封闭的。
定理,向量空间 V 的非空子集 S 是 V 的子空间的充要条件 是：对 于 任意的实数 x,y 和 S 中的任意两个向量 a,b 均有 x a + y b?S
五、子空间
2.生成子空间给定 V 中一组向量 a1,a2,…,am,那么它的一切可能的线性组合显然也构成子空间，把这样的子空间就称为由向量 a1,a2,…,am所生成的子空间，记作,L(a1,a2,…,am)
3.平凡子空间与非平凡子空间
V 中只有零向量的子集也构成子空间，该子空间称为零子空间； V 本身也是 V 的子空间，
这两种子空间称为平凡子空间，除此之外的任何子空间称为非平凡子空间。
3
1 2 3
12
2 2 1 1 4
2 1 2 0 3
1 2 2 4 2
,,
,
4.
a a a R
bb
A B A
B
设,,验 证 的三 个 列 向 量 是 的 一 个 基,并 求 的 列向 量 在 这 个 基 下例的 坐 标,
3
1 2 3 1
23
11
1 2 1 2 3 2 2
33
,,,
,~
,) (,,
a a a R a
aa
xy
b b a a a x y
xy
AE
B A X
A B A E
要 证 是 的 一 个 基,只 要 能 证线 性 无 关,即 只 要 证设 ( ),记对 矩 阵 ( | ) 进 行 初 等 行 变 换,若 能
：
变 成解
,
3
1 2 3
1
24
33
87 2
3 3 3
22
33
3
1 2 3 1 2
1 2 3
,,
.
2 2 1 1 4 1 2 2 4 2
( | ) 2 1 2 0 3 ~ 0 3 6 8 7
1 2 2 4 2 0 6 3 7 8
1 0 01 2 2 4 2
~ 0 1 2 ~ 0 1 0 1
0 0 1 1 0 0 1 1
~,,,
,,
a a a R
a a a R b b
a a a
A E B
X A B
AB
AE
则 为 的 一 个 基,且 当 变 为 时,
就 变 为因 有,故 为 的 一 个 基,且在 下 的
TT
42
1
坐 标 为,
22
(,,1),(,,)
3 3 3 3
3
1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
,,
,,(,,) (,,)
,,,
5
,
R
a a a
b b b A a a a B b b b
a a a b b b
在 中 取 定 一 组 基,再 取 一 个 新 基
,记,,求 用表 示 的 表 示 式 ( 基 变 换 公 式 ),并求 向 量 在 两 个 基 中 的 坐 标 之 间 的 关 系 式 ( 坐 标变 换例,
公 式 ).
1 2 3 1 2 3
1
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1
(,,) (,,)
(,,) (,,)
(,,) (,,)
(,,) (,,)
(,,) (,,)
a a a e e e A
e e e a a a A
b b b e e e B
b b b a a a A B
b b b a a a P
P A B
Q,
，
又即 基 变 换 公 式 为,
其 中解,
.
TT
1 2 3 1 2 3
11
1 2 3 2 1 2 3 2
33
1 1 1 1
1
2 2 2 2
3 3 3 3
11
22
33
,,),,)
(,,) (,,)
y y y x x x
yx
yx
yx
y x y x
y x y x
y x y x
yx
yx
yx
x
x a a a x b b b
A B A B
P
设 向 量 在 旧 基 和 新 基 中 的 坐 标 分 别 是,
(,(,即 有
，
故,
即
3
1 2 3 1 2
3 1 2 3 1 2 3
1 1 1 1 2
1 0 0 2 3
1 1 1 1 4
3
4,,,,
6
3
R
a a a b b
b a a a b b b
已 知 的 两 个 基 为,例
,,及,,
,求 由 基 到 基
.
的 过 渡 矩阵,
1
1 2 3 1 2 3
11
22
11
22
1 2 3 1 2 3
1
11
22
11
22
1 1 1 1 2 3
1 0 0 2 3 4
1 1 1 1 4 3
( ) ( )
1 0 0 0 1 01 1 1 1 0 0
| ) 1 0 0 0 1 0 ~ 0 1 0 0
1 1 1 0 0 1 0 0 1 1
,,,,
0 1 0 1 2 3
0 2 3 4
1
AB
b b b a a a P P A B
AE
a a a b b b
P A B
、
,,,,,且而 (
由 基 到 基 的 过 阵解渡 矩
：
234
0 1 0
1 4 3 1 0 1
.
第四节 线性方程组解的结构
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
11 12 1
21 22 2
12
12
..,0
..,0
( 1)
.....................
..,0
...
...
,..
...,..,..,..
...
nn
nn
m m m n n
n
n
m m m n
n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
a a a
a a a
xx
a a a
Ax
设 有 次 齐 性 方 程 组,
记
T
( 1) ( 2)
n
x
A x 0则 式 可 写 成 向 量 方 程一、方程组的解
1 1 1 2 2 1 1
TT
1 2 1 1 2 1 1
,,..,,( 1 )
,.,,.,
( 1 ) ( 2 )
nn
nn
x x x
x x x
x
若 为 的 解,
则称 方 程 组 的 解 向 量,它 也 是 的 解 。
二、解向量的性质
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1
1 1
,( 2)
( 2)
( )
( 2)
( 2)
( ) ( )
kk
kk
若 为 的 解,则也 是 的 解 。
若 为 的 解,为 实 数,则也证 明,
明,
是 解证的 。
▌
x ξ x ξ x ξ ξ
A x A ξ ξ A ξ A ξ 0
x ξ x ξ
A x A ξ A ξ 0
性 质 1.
性 质 2.
( 1 )
1 2
( 1 )
S
S
S
若 用 表 示 方 程 组 的 全 体 解 向 量 所 组 成 的集 合,由 性 质,可 知,集 合 对 向 量 的 线 性运 算 是 封 闭 的,所 以 集 合 就 构 成 了 一 个 向 量间,称 该 向 量 空 间 为 齐 次 线 性 方 程 组 的 解空 间 。
定理,n元齐次线性方程组 Am× nx = O
的全体解所构成的集合 S 是一向量空间，当系数矩阵的秩 R(Am× n) = r (≤n)
时，解空间 S 的维数为 n? r.
11 1,
1,
1 11 1 1,
11
...1,.,0
...,..,..,..,..,..
0,.,1,..
...
....................,
.
.
nr
r r n r
r n r n
r r r
r
r
bb
bb
x b x b x
x b x
AA
A
B
OO
设 系 数 矩 阵 的 秩 为,并 不 妨 设 的前 个 列 向 量 线 性 无 关,于 是 的 行 最 简 矩阵 为,
,即 有 组
：
方 程证
,
( 3)
.
r n r n
bx
1
1
1
( 1 )
( 3 ) ( 3 ),...,
,...,( 3)
( 1)
,...,
rn
r
rn
xx
xx
x x n r
AB由 于 与 的 行 向 量 组 等 价,故 方 程 组与 方 程 组 同 解,在 中,任 取 一组 值,即 唯 一 确 定 的 值,就 得 的 一组 解,也 就 是 的 解 。
即 令 取 下 列 组 值,1
2
1 0 0
0 1 0
,,...,
...,..,.....
0 0 1
r
r
n
x
x
x
11 11 12
22 21 22
12
11
1
1
( 3)
,,...,
...,..,..,..
( 3 ) [ ( 1 ) ]
...
1
0
...
0
nr
nr
r r r rn r
r
bx b b
bx b b
x b b b
nr
b
b
ξ
由 依 次 可 得从 而 求 得 也 就 是 的 个 解,即,
1,
12
2,
2
...,..
,,...,0 0
1 0
...,..
0 1
nr
r r n r
n - r
bb
bb
ξ ξ
12
1 2
12
1
12
1
,,...,
,,...,
,,...,
( 1)
...
,,...,
...
n - r
n - r
n - r
r
n-
r
n
n r n r
ξ ξ ξ S
ξ ξ ξ
ξ ξ ξ
x ξ ξ ξ ξ
下 面 证 明 就 是 解 空 间 的 一 组基 。 由 于 的 后 个 分 量 是个 单 位 向 量,是 线 性 无 关 的 ； 由 向 量 组 线 性相 关 的 性 质,向 量 组 也 是 线 性 无关 的 。
最 后 证 明 方 程 组 的 任 何 一 个 解,
都 可 由
r
线 性 表 示 。 因
1 1 2 2
12
1 1 2 2
1 2
,..
,,...,( 1 ) ( 1 )
( 3),
,.,
,,...,
r r n r n - r
n - r
r r n r n - r
n
nr
r
η ξ ξ ξ
ξ ξ ξ η
η ξ
η ξ ξ ξ ξ ξ
ξ ξ ξ
此,作 向 量由 于 是 的 解 故 也 是 的解,比 较 与 可 知,它 们 后 面 的 个 分 量对 应 相 等,又 由 于 它 们 都 满 足 方 程 因 而知 它 们 的 前 面 个 分 量 也 必 对 应 相 等,因 此
,即故,
,
-r
nr?
S是 解 空 间 的 一 组 基,因 而可 知 解 空 间 的 维 数 是 ▌
( 1 )S解 空 间 的 基 又 称 为 方 程 组 的 基 础 解 系,
12
1 1 2 2
12
( ) ( 1 )
0
( ) ( 1 )
,,...,
( 1 ) ( 1 )
,..
,,...,
nr
n r n - r
n
Rn
R r n n r
k k k
k k k
A
S
A
ξ ξ ξ
x ξ ξ ξ
当 时,方 程 组 只 有 零 解,因 而没 有 基 础 解 系,此 时 解 空 间 只 有 一 个 零 向 量,
即 维 向 量 空 间 ；
当 时,方 程 组 必 含 有个 向 量 的 基 础 解 系 。 设 求 得 是 方程 组 的 一 个 基 础 解 系,即 的 解 可 表 示 为,
其 中
1 1 2 2
12
( 1)
|,..,
,,...,
r
n r n - r
nr
k k k
k k k
S
S x x ξ ξ ξ
R
为 任 意 实 数 。 上 式 即 为 方 程 组的 通 解 。 此 时,解 空 间 可 表 示 为,
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
( 4)
............
...
nn
nn
m m m n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
A x b
由 于 向 量 空 间 的 基 是 不 唯 一 的,因 而,齐次 线 性 方 程 组 的 基 础 解 系 也 就 不 唯 一,所 以通 解 的 表 达 式 也 不 唯 一 。
设 有 非 齐 次 线 性 方 程 组,
它 也 可 写 成 向 量 方 程 ( 5 )
( 5) ( 4) 向 量 方 程 的 解 也 就 是 方 程 组 解,它 具有 如 下 性 质,
12
12
*
*
1
,( 5 )
( 2)
( 5 ) ( 2)
( 5 )
3 ( 5 )
( 5 )
( 2) ( 2)
k
x η x η
x η η A x 0
x η x ξ
x η ξ
η
x ξ η
x ξ
x ξ
若 都 是 的 解,则是 它 对 应 的 齐 次 方 程 组的 解 。
若 是 方 程 的 解,是的 解,则 仍 是 方 程 的 解 。
由 性 质 可 知,若 能 求 得 的 一 个 解,
则 的 任 一 解 均 可 以 表 示 为,
其 中 是 方 程 的 解,又 若 方 程 的 通 解为,
性 质 3.
性 质 4.
1 2 2
*
1 1 2 2
...
( 5 )
,..
n r n - r
n r n - r
kk
k k k
ξ ξ
x ξ ξ ξ η
则 方 程 的 任 一 解 即 可 表 示 为,
12
*
1 1 2 2
1 2 1 2
4,,...,
( 5 ) ( 5 )
,..
,,...,,,...,
( 2)
nr
n r n - r
n r n - r
k k k
k k k
k k k
x ξ ξ ξ η
ξ ξ ξ
而 由 性 质 可 知,对 任 何 实 数,上式 就 是 方 程 的 解 。 于 是 方 程 的 通 解 为,
其 中 为 任 何 实 数,是方 程 的 基 础 解 系 。
1 2 3 4
2 3 4 5
1 2 3 4
1 2 3 4 5
1 2 3 4
1 2 3 4 5
1 2 3 4
1 3 5
1 2 3
2 3 1
30
3 2 1
3 4 2 0
( 1) ( 2) 2 2 2 1
20
6
2 3 1
0
5 5 2 2
.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x
x x x
x x x
求 下 列 方 程 组 的 通 解例
14
21
31
2 3 3 4
3 2 4 3
42
3
( 1),
0 1 3 1 1 1 0 1 0 1
1 1 3 4 2 0 1 4 4 1
~
1 1 1 2 1 0 1 0 2 0
1 0 1 0 1 0 1 3 1 1
1 0 1 0 1 1 0 1 0 1
0 1 0 2 0 0 1 0 2 0
~ ~
0 0 4 2 1 0 0 1
0 0 3
:
11
rr
rr
rr
r r r r
r r r r
rr
A
齐 次 方 程 组 对 系 数 矩 阵 进 行 行 初 等 变 换 化 成行解最 简 矩 阵
4
34
24
13
2
2
12
0 0 0 2 7
1
1 0 0 0
1
2
140 1 0 0 7
~,,33
0 0 1 0
7
2
7 2
0 0 0 1
2
r
rr
rr
rr
ξ基 础 解 系 为
43
21
31
51
23
54
42
T
3
2
5
2
5
( 1,14,3,7,2),
( 2),
1 2 3 1 1 1 2 3 1 1
3 2 1 1 1 0 4 8 2 2
~2 2 2 1 1 0 2 4 1 1
2 3 1 1 1 0 1 1 2 0
5 5 2 0 2 0 5 13 5 3
~
rr
rr
rr
rr
rr
r
rr
rr
c
ξ x ξ
A
该 方 程 组 的 基 础 解 第 为 通 解 为非 齐 次 线 性 方 程 组 对 其 增 广 矩 阵 进 行 行 初 等 变 换化 为 行 最 简 矩 阵
3 4 5 3
3
23
( 6 )
1 2 3 1 1
1 2 3 1 1
0 1 1 2 0
0 1 1 2 0
51
~0 0 6 5 1 0 0 1
66
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 18 15 3
0 0 0 0 0
r r r
r
23
1 2 3
23
T
T
51
1 0 0
66
71
0 1 0
66
~
51
0 0 1
66
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
5,7,5,6,
111
,,,0
666
rr
r r r
c
ξ
x ξ
齐 次 方 程 组 的 基 础 解 系 非 齐 次 方 程 组的 特 解 为所 以 方 程 组 的 通 解 为
,
1 3 3 2 1 1
2 6 9 7 4 1
1 3 3 4 13 7
,?
AX B X
AB
已 知 求,其 中例
,
7
21
31
3
2
11
1 2 3 1 2 3
2
3
| | 0,,
,,
( 1,2,3)
1 3 3 2 1 1 1 3 3 2 1 1
2 6 9 7 4 1 ~ 0 0 3 3 6 3
1 3 3 4 13 7 0 0 6 6 12 6
:
~
ii
rr
rr
r
r
i
A A X A B X
B b b b X x x x A X B
A x b
AB
因 为 不 存 在 故 不 能 由 求 解,
设 由解可 得
2 3 2
2
22
3
1 3 3 2 1 1 1 3 0 1 7 4
0 0 1 1 2 1 ~ 0 0 1 1 2 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
r r r
r
312
1 1 2 2 1 3
1 2 3
1 2 3
( | ) ( ) 2 3
( 1,2,3),.
343 1 3 7
:
12 1
3 1 3 7 3 4
1 2 1
ii
RR
i
ccc
c c c
c c c
c c c
A B A
Ax b
x x x
X
故 线 性 方 程 组 有 解 且 均 有 无 穷 多 解即
2,
1 0 0
.
0 2 0
1 6 1
AX E A E X
A
求 解 矩 阵 方 程,求例 8,其 中
32
31
22
1
1
2
1 2 3 1 2 3
2
2
6
( )
000
| 0 1 0 0,( )
1 6 0
( ),
( ),( )
( ) ( ) ( 1,2,3 )
0 0 0 0 0 0
( | ) 0 1 0 0 3 0
1 6 0 2 18 0
1 0 0 2 0 0
~0
ii
rr
rr
i
A X E A X A E X A E
A E A E
AE
A E b b b X x x x
A E X A E A E x b
A E A E
由,
其 中 | 不 存 在,故 不 能解,
在 方 程 两 边 同 乘 来 求 解设则 由
2
1 0 0 3 0,( | ) ( ) 2
0 0 0 0 0 0
RR
A E A E A E
1 2 3
( ) ( 1,2,3 ),
2 0 0 2 0 0
0,3,0,0 3 0
ii i
p q r p q r
A E x b
x x x X
故 方 程 组 均 有 无 穷 多 解且 即
1 2 3
1 2 3
1 2 3
( 2 ) 2 2 1
2 ( 5 ) 4 2
2 4 ( 5 ) 1
,
.
.
a x x x
x a x x
x x a x a
a
设问 为 何 值 时 此 方 程 组 有 唯 一 解,无 解 或 有 无 穷 多解？ 并 在 有 无 穷 多 解 时 求例其 通 解
9
23
13
31
1
32
3
2
22
2
( 1 )
2
2
2 2 2 1
( | ) 2 5 4 2
2 4 5 1
2 4 5 1
~ 0 1 1 1
66
0 2( 1 )
22
2 4 5 1
~ 0 1 1 1
0 0 ( 10) ( 1 ) ( 4)
:
rr
rr
a
rr
r
rr
r
a
a
aa
aa
a a a
a a a a
a
aa
a a a
a a a
Ab
该 方 程 组 的 广 阵解 增 矩 为
( 1 )
10,( | ) 3,( ) 2,;
a
a R R
A b A当 时 方 程 组 无 解
TT
12
T
1 1 2 2
10 1,( | ) ( ) 3,
1,( | ) ( ) 1,,
1 2 2 1
( | ) ~ 0 0 0 0
0 0 0 0
2,1,0 2,0,1
1,0,0
a a R R
a R R
cc
A b A
A b A
Ab
ξ ξ
η
x ξ ξ η
当 且 时 方 程 组 有 唯 一解 ；
当 时 方 程 组 有 无 穷 多 组 解这 时所 以 齐 次 方 程 组 的 基 础 解 系 为非 齐 次 方 程 组 的 一 个 特 解 是故 方 程 组 的 通 解 为
TT
( ) 1
.
,R?
Aa
b A a b
证 明 的 充 要 条 件 是 存 在 非 零 列 向 量 及非 零 行 向 量,使例 10
T
T
T
1
( ) 1
( ) m i n{ ( ),( ) } 1,( ) 1.
( ) 1
1
1
11
1
1
mn
m n m n
m n m
n
R
R R R R
R m n
mn
ab
A ab A
A a b A
AA
PQ
EO
A P Q P O Q
OOO
P O Q a P
OO
b O Q
T
先 证 明 充 分 性,由 于 是 非 零 列 向 量,是非 零 行 向 量,故,一 定 不 是 零 矩 阵,
又 故再 证 必 要 性,若 且 设 为 阶 矩 阵,存 在阶 可 逆 矩 阵 和 阶 可 逆 矩 阵,使 得显 然 为 列 向 量,为 行证向 量,令明,
,故
T
A ab
( 1 ) ( )
( 2) ( )
.
m
n
mn
Rm
Rn
A
AX E A
Y A E A
设 为 阶 矩 阵,证 明方 程 有 解 的 充 要 条 件 是方 程 有 解 的 充 要 条 件 是例 11
T T T T
TT
( ) ( | )
( | ) ( | ) m in{,}
( | )
( 2)
( ) ( | )
m
m
mm
m
n
nn
n
RR
R m R m n m m
Rm
R R n
A X E
A A E
A E A E
AE
YA E
A Y E A Y E
A A E
(1) 方 程 有 解 的 充 要 条 件 是而 又所 以方 程 有 解 的 充 要 条 件 是 方 程有 解,而 方 程 有 解 的 充 要条 是明,
件证
()
.
,
m n R n
A AX AY A
XY
设 为 阶 矩 阵,若 且,
证 明例 12
1 2 1 2
(,,...,),(,,...,)
( ) ( )
( 1,2,...,)
( )
pp
ii
ii
np
ip
A X A Y X Y
X x x x Y y y y
A X A Y A X Y O A x y 0
A x y 0
由 于,故 与 是 同 型 矩 阵,设 它 们 均为 阶 矩 阵 且而 对 于 方 程 组证 明,
,当 ()
( 1,2,...,)
,
ii
Rn
ip
A
x y 0
XY
时,该 方 程组 只 有 零 解,即故
“结构” 。
§ 4.1 n 维向量空间 Rn
§ 4.3 向量空间的概念与子空间
§ 4.2 向量的线性相关性
§ 4.4 线性方程组解的结构第一节 n维向量空 间 Rn
12
12
T
12
12
(,,...,)
( 1,2,...,)
(,,...,)
(,,...,)
(,,...,)
n
i
n
n
n
n x x x
n x i n
in
x x x
or x x x
n x x x
a
a
a
一 组 有 序 的 个 实 数 组 称 为 一个 维 向 量,其 中 称 为 该 向 量 的第 个 分 量,维 向 量 记 为行 向 量列 向 量如 果 两 个 维 向 量
12
(,,..,,)
( 1,2,...,)
n
ii
y y y
x y i n
b
a b a b
的 对 应 分 量 相 等,即,则 称向 量 与 相 等,记 为一,n维向量的定义
12
12
( 0,0,...,0 )
(,,...,)
(,,...,)
( )
(
)
n
n
n
x x x
x x x
n
m n m
mn
0
0
x
x
分 量 全 为 零 的 维 向 量 称 为 零 向 量,记 为,
即,
称 向 量 为 向 量的 负 向 量,记 为由 若 干 个 维 列 行 向 量 组 成 的 集 合 叫 做 向 量 组,
一 个 只 含 有 个 向 量 的 向 量 组 总 是 与 一 个 或阶 矩 阵 一 一
12
12
T T T
12
T
T T T
12
.
,,...,
(,,...,)
,,...,
,,...,
m
m
m
m
mn
A n m
mn
B m n
a a a
A a a a
b b b
B b b b
对 应 如 个 维 列 向 量 组 成 的 向 量组,构 成 了 一 个 阶 矩 阵； 个 维 行 向 量 所 组 成 的 向 量 组
,就 构 成 了 一 个 阶 矩 阵
1 2 1 2
11
12
(,,..,,) (,,..,,)
(,..,,)
(,,...,)
nn
nn
n
x x x y y y
x y x y
x x x
xy
xy
x
设规 定二,n维向量的运算一切 n 维向量所构成的集合，按上面规定的两种运算，可以验证它是符合下面八条运算法则，这样的 n 维向量的集合称为 n 维向量空间。记为 Rn。
三,n维向量空间
1,
2,( ) ( )
3,
4,( )
5,( ) ( )
6,( )
7,( )
8,1
a b b a
a b c a b c
a 0 a
a a 0
aa
a a a
a b a b
aa
第二节 向量的线性相关性一、线性组合与线性表示
1.定义,设有向量组 A,a1,a2,…,am及向量 a，
若存在 m 个实数 x1,x2,…,xm，使成立，则向量 a 称为向量组 a1,a2,…,am的一个线性组合，或称向量 a 可由向量组 a1,a2,…,am
线性表示。
若向量 a可由向量组 A,a1,a2,…,am线性表示，那么向量方程 有解,
1 1 2 2 mmx x xa a a aL
1 1 2 2,.,mmx x xa a a a
定理 1.向量 a能由向量组 a1,a2,…,am(m≥2)线性表示的充要条件矩阵 A=(a1,a2,…,am)的秩等于矩阵
B= (a1,a2,…,am,a)的秩 。
二、等价向量组
1.定义 2,如果向量组 A,a1,a2,…,ar 中的每个向量均可被向量组 B,b1,b2,…,bs 线性表示，则称向量组 A 可被向量组 B 线性表示，若向量组 A
与 B可以相互线性表示，则称向量组 A 与 B 等价,
2.等价关系的三条性质：
1)反身性,一个向量组与它本身是等价的；
2)对称性,如果向量组 A 与向量组 B 等价，那么向量组 B 与向量组 A 也等价；
3)传递性,若向量组 A与向量组 B等价，向量组 B与向量组 C等价，则向量组 A与向量组 C是等价的。
3.向量组等价与矩阵秩的关系：
(1)若向量组 A与 B所构成的矩阵依次记为 A,B，则向量组 B 能被向量组 A 表示的充要条件是,一定存在矩阵 C 使得 B = AC.
1 2 1 2
12
1
2
1 1 2 2 1 2
11 12 1
1 2 1 2
(,,...,) (,,...,)
( 1,2,...,)
,,...,
,.,(,,...,)
...
...
(,,...,) (,,...,)
mp
i
i i m i
i
i
i i i m i m m
mi
pm
B A i p
x x x
x
x
x x x
x
x x x
A a a a B b b b
b
b a a a a a a
b b b a a a
设,,由 于 向 量 组能 由 向 量 组 线 性 表 示,即 对 向 量存 在 实 数 使从 而
21 22 2
12
...
...,..,..,..
...
p
p
m m m p
x x x
x x x
B A C即
11 12 1
21 22 2
1 2 1 2
12
...
...
(,,...,) (,,...,)
...,..,..,..
...
p
p
pm
m m m p
x x x
x x x
x x x
C B AC
b b b a a a
BA
反 之 若 存 在 矩 阵,有,则所 以 的 列 向 量 可 被 的 列 向 量 线 性 表 示,
( 2) A B A
B B A
BA
B
A A B
设 矩 阵 与 是 行 等 价 的,即 矩 阵 经 过 行 的 初 等变 换 变 为 矩 阵,则 矩 阵 的 每 个 行 向 量 都 是 的 行向 量 的 线 性 组 合,即 的 行 向 量 可 由 的 行 向 量 线 表示 ； 由 于 初 等 变 换 是 可 逆 变 换,矩 阵 亦 可 经 初 等行 变 换 变 为 矩 阵,从 而 的 行 向 量 也 可 由 的 向 量
( 3 )
A
A
B
A B A B
AB
AB
B A B A
线 性 表 示,于 是 的 行 向 量 与 的 行 向 量 等 价,
同 理,若 矩 阵 与 列 等 价,则 与 的 列 向 量 也 等 价,
若 线 性 方 程 组 中 某 一 方 程 是 其 余 方 程 作 线 性 运 算而 得 到 的,称 该 方 程 为线 性 方 程 组 的 线其 余 方 程 的 线 性 组 合,同 时也 称 该 方 程 可 由 其 余 方 程 线 性 表 示 。 若 方 程 组 中 每一 方 程 均 可 被 方 程 组 中 的 方 程 线 性 表 示,称 方 程 组可 被 方 程 组 线 性 表 示 ； 若 方 程 组 与 可 相 互 线 性表 示,称 方 程 组性 组 合,线 性 表 示 与与 等 价 。
等 价显 然,等 价 方 程 组 有 相同 的 解,
1 2 1 2
1 2 1 2
...,..
( ) ( )
...,..
( ) ( ) ( | )
1
2
pm
pm
BA
RR
BA
RRR
b b b a a a
BA
b b b a a a
A B A B
向 量 组,,,,被 向 量 组,,,,线性 表 示,
向 量 组,,,,与 向 量 组,,,,等价 的 充 要 条 件推 论,
推 论,
1 2 1 2
12
1 2 1 2
...,..
(,.,)
(,.,|,.,)
( ( | )
2
)
pm
m
mp
BA
RR
BA
b b b a a a
A a a a
A B a a a b b b
A A B
C
B A C A X B
向 量 组,,,,能 由 向 量 组,,,,
线 性 表 示 的 充 要 条 件 是 矩 阵,,,的 秩 等 于矩 阵 ( | ),,,,,,的 秩,即向 量 组 被 向 量 组 线 性 表 示,即 存 在 矩 阵 使得,即 矩定 理,
阵 方 程 有 解,
证 明,
而 该 矩 阵
( ) ( | ),RR?A A B
方 程有 解 的 充 要 条 件 是
TT
12
TT
3
1 2 3
( 1 1 2 2) ( 1 2 1 3 )
( 1 1 4 0) ( 1 0
1
3 1 )
aa
a a a
a a a
设 向 量,
、,
例证 明 向 量 能 由向 量 组,,线 性 表 示,并 求
.
表 达 式,
4 3 3 2
2 1 4 2
3 1 1 2
1 2 3 1 2 3
1 2 3
2
2
(,,) (,,| )
( ) ( ),,
1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 3 2
1 2 1 0 0 1 2 1 0 1 2 1
~~
2 1 4 3 0 1 2 1 0 0 0 0
2 3 0 1 0 2 4 2 0 0 0 0
()
r r r r
r r r r
r r r r
RR
R
A a a a B a a a a
A B a a a a
B
B
A
设,,
当 时,可 被 线 性 表 示,为 此把 矩 阵 化 为 行 最 简 矩 阵所解以
.
12
( ) 2 2RB a a a,且
1 2 3 4
4 1 2 3
1 1 3 5
,0 1 1 3,
1 1 1 1
2
β β β β
β β β β
设 判断 可 否 由,,
例线 性 表 示？
3 1 3 2 12
1 2 3 4
2
1 2 3 4 1 2
3 4 1 2 3
1 1 3 5
(,,| ) 0 1 1 3
1 1 1 1
1 1 3 5 1 1 3 5 1 0 2 2
~ 0 1 1 3 ~ 0 1 1 3 ~ 0 1 1 3
0 2 2 6 0 0 0 0 0 0 0 0
(,,
:
) ( ) 2
2 3 0
r r r r rr
RR
B β β β β
β β β B β β β
β β β β β
设所 以,故 可 被,
线 性 表 示,且解
TT
12
T T T
1 2 3
1 2 1 2 3
( 1 1 1 1 ) ( 3 1 1 3 )
( 2 0 1 1 ) ( 1 1 0 2) ( 3 1 2
3
0)
aa
bbb
a a b b b
设 向 量,
、,,
证 明 向 量 组,与,,
例,
等 价,
43
32
21
42
32
1 2 1 2 3
1
2
(,) (,,)
( ) ( ) ( | )
1 3 2 1 3 1 3 2 1 3
1 1 0 1 1 0 4 2 2 2
( | ) ~
1 1 1 0 2 0 2 1 1 1
1 3 1 2 0 0 4 2 2 2
1 3 2 1 3
0 2 1 1 1
~ ( ) ( ) ( | )
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
rr
rr
rr
rr
rr
RRR
RRR
A a a B b b b
A B A B
AB
A B A B
设,
当 时,两 向 量 组 等 价,
而
,所 以证 明,
2?
12
12
12
,...,
,...,
,...,
()
m
n
n
n A n m
nn
nA
Rn
a a a
A e e e E
e e e
A
设 维 向 量 组,,构 成 了 阶 矩 阵
,阶 单 位 向 量,构 成 了 阶 单 位 矩 阵,
证 明,维 单 位 向 量,能 由 向 量 组 线 性 表示 的 充 要 条 件 是例 4.
.
12
,...,
( ) ( | )
( | ) ( )
( | ) m in{,}
( ) ( | ),
n
nA
RR
R R n
R n m n n
R R n
e e e
A A E
A E E
AE
A A E
维 单 位 向 量,能 由 向 量 组 线 性 表示 的 充 要 条 件 是而,
.
所证以
：
又明
()
( )
( )
n m n
n m m n n
n m m n m
Rn
Rn
Rm
mn
A X E A
A Q AQ E
A
A P P A E
A
P
本 例 用 方 程 的 语 言 可 描 述 为,
方 程 有 解 的 充 要 条 件 是用 矩 阵 的 语 言 可 描 述 为,
对 矩 阵 存 在 矩 阵,使 的 充 要 条 件 是；
对 矩 阵 存 在 矩 阵,使 的 充 要 条 件 是显 然,当 时,QA,便 是 的 逆 矩 阵,
1 1 2 2,.,mmx x xa a a 0
1.定义,给定向量组 A,a1,a2,…,am，若存在不全为零的实数 x1,x2,…,xm，使得关系式三、线性相关与线性无关恒成立，则称向量组 a1,a2,…,am线性相关，否则称该向量组线性无关，即若上述等式当且仅当
x1=x2=…=xm=0时成立，则 a1,a2,…,am线性无关,
由次可见，向量组 a1,a2,…,am是否线性相关就是看方程组 是否有非零解。
1 1 2 2,.,mmx x xa a a 0
定理 4,向量组 a1,a2,…,am(m≥2)线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合,
12
1 1 2 2
12
112
1 2 1
,,...,
,..
,,...,0
,..
m
mm
mm
m
mm
m m m
x x x
x x x x
xxx
x x x
a a a
a a a 0
a a a a
若 向 量 组 线 性 相 关,则 有且 不 全 为 零,无 设,
证妨
：
则明
12
...
(,.,)
)
.
(
3 m
m m
Rm
a a
A a a a
A
向 量 组,,,线 性 相 关 的 充 要 条 件 是 它构 成 的 矩 阵,,,的 秩 小 于 向 量 个 数 ；
向 量 组 线 性 无 关 的 充 要 条 件 是定 理
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 2 1 1
12
,..,..
,..,..
,,...,,1,,...,
,,...,
i i i i i m m
i i i i i m m
i i m
m
x x x x
x x x x
x x x x x
a a a a a
a a a a a 0
a a a
充 分 性,
而 是 不 全 为 零 的 数,所以 向 量 组 线 性 相 关 。
定理 5,如果 Rn中有一组线性无关的向量 b1,b2,…,bm
和一向量 a，而向量组 a,b1,b2,…,bm线性相关，则向量 a可由向量组 b1,b2,…,bm线性表示，且表示法唯一,
12
12
1 1 2 2
,,,...,
,,,...,
...
0
m
m
mm
x x x x
x x x x
x
a b b b
a b b b 0
线 性 相 关,有 不 全 为 零 的数,则 有且因证 明,为
。
1 1 2 2
1 2 1 2
12
12
0
,..
,,...,,,...,
0
,..
mm
mm
m
m
x
x x x
x x x
x
xxx
x x x
b b b 0
b b b
a b b b
如 果,则 有而 线 性 无 关,这 样 就 全 为 零了,因 此,,故 有
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 1
12
,..,..
( ),.,( )
,,...,( 1,2,...,),
m m m m
m m m
m i i
x x x y y y
x y x y
x y i m
a b b b b b b
b b 0
b b b
下 面 来 证 明 唯 一 性,如 果 有 两 种 表 示 法,
即将 上 面 两 式 相 减,得由 于 线 性 无 关,故 而 有
1 2 1 2
12
12
12
(,...,) (,,...,,)
,...,( )
,,...,,
( ) ( ) 1 ( )
,...,
2
mm
m
m
m
Rm
m R R m R m
B b,b b A b b b a
b,b b B
b b b a
B A A
a b,b b
证 法 设,
由 于 向 量 组 线 性 无 关,
又 向 量 组 线 性 相 关,
：
故 向 量 可 被 向 量 组 唯 一 线 性 表 示 。
2.如何判定 m 个 n 维向量的线性相关性
(1)利用定义
(2)利用矩阵的秩
n维列向量组 a1,a2,…,am与一个 m× n阶矩阵之间有一一对应的关系；同样 n维行向量组
b1,b2,…,bm也与一个 m× n阶矩阵之间有一一对应的关系，因此，判定向量组的线性相关性只要来求该向量组所对应矩阵的秩即可。 当矩阵的秩等于该向量组中向量的个数，则向量组线性无关，否则，线性相关 。
3.关于向量组的线性相关性，我们还有如下结论
1).如果向量组只有一个向量，它线性无关的充要条件是该向量不是零向量；
2).如果向量组是由两个向量组成，它们线性相关的充要条件是它们的分量对应成比例；
3).若一个向量组中含有零向量，则此向量组一定线性相关；
4).若一向量组中有部分向量线性相关，则此整个向量组线性相关；
5).如果一个向量组是线性无关的，则它的任何部分向量组必定线性无关；
6).若一组 n维向量线性无关，将它们在同一位置增加 p个分量，成为一组 n+p维的向量组，这样的向量组也线性无关；
7).如果一组向量线性相关，则去掉若干分量而得到的向量组也线性相关。
8).m个 n维向量组成的向量组当 m > n 时一定线性相关。
1 2 3,,
1 1 2 2 2 3 3 3 1、,
例 5,已知向量组 线性无关,证明向线性无关．
量组
1 1 2 2 3 3
1 3 1 1 2 2 2 3 3
1 2 3
13 1
1 2 2
2 3 3
1 2 3
( ) ( ) ( )
0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 1 0 0 1 1 0 2 0
0 1 1 0 0 1 10
k k k
k k k k k k
kk k
k k k
k k k
0
0
设,则由 于,,线 性 无 关,则证
,而,
所 以 方 程 组 只 有 零 解,故,,
明,
线 性 无 关,
1 2 3
1 2 3
2,3,5,
4 7 1
6.
α α α设 向 量 判 断 该 向量 组 是 否 线 性 相 关例
1 2 3
1 2 3
1 2 3 1 2 3
,,2 3 5 ~ 0 1 11
4 7 1 0 1 11
1 2 3
~ 0 1 11
0 0 0
( ) 2 3,,,.R
A α α α
A α α α所 以
：
线 性 相 关解
1 2 3 2 3 4
1 2 3
4 1 2 3
,,,,
7.
,
,,
α α α α α α
α α α
α α α α
设 向 量 组 线 性 相 关,而 向 量 组 线性 无 关,证 明,
(1) 向 量 可 被 向 量 组 线 性 表 示 ；
(2) 向 量 不 能 被 向 量 组例线 性 表 示,
2 3 4 2 3
1 2 3 1 2 3
4 1 2 3
4 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3
4 1 1 2 2 3 3 1 2 2 2 1 3 3 3
2 3 4
( 1 ),,,
,,,
( 2),,
( ) ( )
,,
x x x y y
x x x x y x x y x
α α α α α
α α α α α α
α α α α
α α α α α α α
α α α α α α
α α α
由 于 线 性 无 关,故 也 线 性 无 关 ；
又 线 性 相 关,所 以 可 被 线 性 表 示 ；
假 设 可 被 线 性 表 示,则
,又所 以这 与 线 性 无 关 矛 盾,
证,
故 命 题 得 证 。
1.极大线性无关组设有向量组 A,如果在 A中能选出 r 个向量 a1,
a2,…,ar，满足：
1)向量组 A0,a1,a2,…,ar线性无关；
2)向量组 A中的任一向量均可被向量组 A0线性表示；
或者满足：
1)向量组 A0,a1,a2,…,ar线性无关；
2)向量组 A中的任何 r+1个向量都线性相关；
那么称向量组 A0是向量组 A的一个极大线性无关组,
四、向量组的秩向量组的极大线性无关组一般是不唯一的。
一个向量组和它自己的极大线性无关组是等价的。
2.向量组的秩向量组 A 中的一个极大无关组中所含有的向量个数 r 称之为向量组 A 的秩，记为 RA。
定理,矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。
证,设 A=(a1,a2,…,ar),R(A)=k，并设 k阶子式 Dk
≠0，则 Dk所在的 k列线性无关，又由 A中所有 k+1阶子式均为零知,A中任意 k+1个列向量都线性相关，
因此 Dk所在的 k列是 A的列向量组的一个极大无关组，所以列向量组的秩等于 k。
同理可证明行向量组的秩也等于 k。 ▌
定理,设向量组 A,a1,a2,…,am可由向量组
B,b1,b2,…,bn线性表示，则,RA≤RB
证,设向量组 A的一个极大 无关组为
A0,a1,a2,…,ar，向量组 B 的一个极大无关组为 B0：
b1,b2,…,bs，由于 A与 A0等价,B与 B0等价，所
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
...,..
(,.,) (,..,...
2
)
p
m
m m p
BA
RR?
b b b a a
a
a a a a a a b b b
向 量 组,,,,能 由 向 量 组,,,,
线 性 表 示 的 充 要 条 件 是
,,,,,,
理
,,,
定,
推论 1,等价向量组的秩相等；
推论 2,设向量组 B是向量组 A的一个部分组，若向量组 B线性无关，且向量组 A能由向量组 B线性表示，则向量组 B是向量组 A的一个极大无关组。
以,A0可由 B0 线性表示，由前面的定理可知，
r≤s，故 RA≤RB ▌
2 1 1 1 2
1 1 2 1 4
4 6 2 2 4
3 9 7
8
9
.
6
AA设 矩 阵,求 矩 阵 的 列 向 量组 的 一 个 极 大 线 性 无 关 组,并 把 不 属 于 最 大 无 关 组的 向 量 用 最 大 无 关 组例线 性 表 示,
1 1 2 1 4 1 0 1 0 4
0 1 1 1 0 0 1 1 0 3
0 0 0 1 3 0 0 0 1 3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
( ) 3 3R
AA
A
A
::
对 施 行 初 等 行 变 换 化 为 行 最 简 矩 阵,即知,故 列 向 量 组 的 最 大 无 关 组 中解含 有
：
个
1 2 4
3 1 2 5 1 2 3
1,2 4
4 3 3
a a a
a a a a a a a
列 向 量,而 三 个 非 零 行 的 三 个 非 零 首 元 在,列,
故,,为 列 向 量 组 的 一 个 极 大 无 关 组,且
、
第三节 向量空间设 V 是一个非空集合,P 是一个数域，在集合 V的元素之间定义两种运算，一种叫做加法，一种叫做数乘；对于 V 中的任意两个元素
a,b 相加的和记为 a+b，任一元素 a与数域 P 中的任一数 λ的乘积记为 λa,a+b,λa 都仍为 V
中的元素，且上述两种运算满足下列法则一、定义
1,
2,( ) ( )
a b b a
a b c a b c
3,4,( )
5,( ) ( ) 6,( )
7,( ) 8,1
a 0 a a a 0
a a a a a
a b a b a a
则集合 V 叫做向量空间，也称为线性空间,V
中的元素称为向量。当 P 为实数域时，向量空间 V 称为实向量空间；当 P 为复数域时，向量空间 V 称为复向量空间,V 的零元素称为零向量；?a 称为 a 的负向量。
这里向量空间的概念有了很大的延拓，前面所介绍的 Rn只是我们常见的一种向量空间，它不是向量空间的全部。在这里，向量也不一定只是有序数组，向量空间中的运算只要满足八条运算规律，当然也就不一定是有序数组的加法和数乘。
1
1 1 0
1
1 1 0
1.
2
[ ]
[ ] {,.,| }
[ ]
[ ] {,.,|
.
n
nn
n n n i
n
nn
n n n
n P x
P x a x a x a x a a
n Q x
Q x a x a x a x a
R
次 数 不 超 过 的 多 项 式 的 全 体,记 作,
即,
对 通 常 的 多 项 式 加 法,数 乘 多 项 式 的 乘 法 构 成向 量 空 间 。
次 多 项 式 的 全 体,记 作,即例例
0 }
in
aaR 且对 于 通 常 的 多 项 式 加 法,数 乘 多 项 式 的 乘 法 也构 成 向 量 空 间 。
二、向量空间的性质
12
12
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2 2 1 2
1.,
,
2,
,
0 0 V
α V α 0 α α 0 α
0 0 V 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
α β γ
α β 0 α γ 0
γ γ 0 γ α β
零 元 素 是 唯 一 的假 设 是 向 量 空 间 中 的 两 个 零 元素,则 对 于,有,,
由 于,,
负 元 素 也 是 唯 一 的 。
设 有证 明,
证 明,两 个 负 元 素 与,则,
()γ α β 0 β β
3,0 ( 1 ),
0 ( 1 0) 1 0
( - 1) ( 1- 1) 0 ( - 1)
[ ( 1 ) ] ( )
[ ( ) ] 0
4,0,
11
0 ( )
1
( ) (
α 0 α α 00
α α α α α α 0
α α α α 0 α α
0 α α α α
α α 0
α 0 α 0
α 00
α
证 明,
证 明,； ；
因 为又 因如 果,则 或假 设,那 么又
1
) 1
0
α α α α 0
α 0
所 以同 理 可 证,若,则三、维数、基与坐标
1.定义,在向量空间 V 中，如果存在 n 个元素
a1,a2,…,an满足：
1)a1,a2,…,an线性无关；
2)V 中任一元素 a 总可由 a1,a2,…,an线性表示，
那么,a1,a2,…,an就称为向量空间 V 的一个基，
基中元素的个数 n 称为向量空间 V 的维数,
维数为 n 的向量空间称为 n 维向量空间，记作 Vn。
若 a1,a2,…,an为向量空间 Vn的一个基，则由基的定义,Vn可表示为
11{,.,| }n n n ix x x Ra a aV
1 2
1 2 1 1
1 2 1 2
T
12
,,...,
,,...,...
,,...,,,...
(,,...,)
nn
n
n n n
n
n
n
x x x x x
x x x
x x x
a a a
a
a a a
a a a
a
a
V
V
设 是 向 量 空 间 的 一 个 基,
对 于 任 一 元 素,总 有 且 仅 有 一 组 有 序 数
,使这 组 有 序 数 就 称 为 元 素 在 基下 的 坐 标,并 记 为
：2,定 义由前面的定理可知，向量空间的基是不唯一的，但不同的两个基中含有的元素的个数是相同的。 n 维向量空间中，任意 n 个线性无关的向量都可充当该向量空间的一个基。
2
4 0 1 2
34
34
4 3 2 1
4 3 2 1 0
0 0 1 1 2 2 3 3 4 4
T
0 1 2 3 4
[ ] 1,,,
4
(,,,
3
,
)
,P x x x
xx
a x a x a x a x a
a a a a a
a a a a a
a a a
a,a
a a a a a
p
p
p
在 向 量 空 间 中,
就 是 的 一 组 基,任 何 一 个 次 数 不 超过 次 的 多 项 式都 可 表 示 为因 此,在 这 组 基 下 的 坐 为例标四、向量空间中向量的坐标运算
12
T
1 1 2 2 1 2
T
1 1 2 2 1 2
1 1 1 2 2 2
T
1 1 2 2
,,...,
,
,.,(,,...,)
,.,(,,...,)
( ) ( ),.,( )
(,,...,)
n
n
n n n
n n n
n n n
nn
n
x x x x x x
y y y y y y
x y x y x y
x y x y x y
a a a
ab
a a a a
b a a a
a b a a a
V
设 是 维 向 量 空 间 的 一 组 基,对 于任 意 的,且 有于 是
TT
1 2 1 2
1 1 2 2
TT
1 2 1 2
(,,...,) (,,...,)
( ) ( ),.,( )
(,,...,) (,,...,)
nn
nn
nn
x x x y y y
x x x
x x x x x x
a a a a
上述结果表明：在 n维向量空间 Vn中取定了一个基之后,Vn中的向量与 n维数组向量空间 Rn
中的向量之间就有了一一对应的关系，且这个对应关系具有如下性质：
TT
1 2 1 2
TT
1 2 1 2
T
12
(,,..,,) (,,..,,)
1 ) (,,..,,) (,,..,,)
2) (,,..,,)
nn
nn
n
x x x y y y
x x x y y y
x x x
a b
ab
a
设则也就是说，这种对应关系保持了线性组合的对应，所以可以说 Vn与 Rn 有相同的结构，我们称 Vn与 Rn同构。
1.定义：设 S 为向量空间 V 的一个非空子集，
如果 S 对于 V 中的加法运算与数乘运算也能构成向量空间，则 S 称为 V 的子空间。
定理,向量空间 V 的非空子集 S 是 V 的子空间的充要条件是 S 对 V 中的加法运算和数乘运算是封闭的。
定理,向量空间 V 的非空子集 S 是 V 的子空间的充要条件 是：对 于 任意的实数 x,y 和 S 中的任意两个向量 a,b 均有 x a + y b?S
五、子空间
2.生成子空间给定 V 中一组向量 a1,a2,…,am,那么它的一切可能的线性组合显然也构成子空间，把这样的子空间就称为由向量 a1,a2,…,am所生成的子空间，记作,L(a1,a2,…,am)
3.平凡子空间与非平凡子空间
V 中只有零向量的子集也构成子空间，该子空间称为零子空间； V 本身也是 V 的子空间，
这两种子空间称为平凡子空间，除此之外的任何子空间称为非平凡子空间。
3
1 2 3
12
2 2 1 1 4
2 1 2 0 3
1 2 2 4 2
,,
,
4.
a a a R
bb
A B A
B
设,,验 证 的三 个 列 向 量 是 的 一 个 基,并 求 的 列向 量 在 这 个 基 下例的 坐 标,
3
1 2 3 1
23
11
1 2 1 2 3 2 2
33
,,,
,~
,) (,,
a a a R a
aa
xy
b b a a a x y
xy
AE
B A X
A B A E
要 证 是 的 一 个 基,只 要 能 证线 性 无 关,即 只 要 证设 ( ),记对 矩 阵 ( | ) 进 行 初 等 行 变 换,若 能
：
变 成解
,
3
1 2 3
1
24
33
87 2
3 3 3
22
33
3
1 2 3 1 2
1 2 3
,,
.
2 2 1 1 4 1 2 2 4 2
( | ) 2 1 2 0 3 ~ 0 3 6 8 7
1 2 2 4 2 0 6 3 7 8
1 0 01 2 2 4 2
~ 0 1 2 ~ 0 1 0 1
0 0 1 1 0 0 1 1
~,,,
,,
a a a R
a a a R b b
a a a
A E B
X A B
AB
AE
则 为 的 一 个 基,且 当 变 为 时,
就 变 为因 有,故 为 的 一 个 基,且在 下 的
TT
42
1
坐 标 为,
22
(,,1),(,,)
3 3 3 3
3
1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
,,
,,(,,) (,,)
,,,
5
,
R
a a a
b b b A a a a B b b b
a a a b b b
在 中 取 定 一 组 基,再 取 一 个 新 基
,记,,求 用表 示 的 表 示 式 ( 基 变 换 公 式 ),并求 向 量 在 两 个 基 中 的 坐 标 之 间 的 关 系 式 ( 坐 标变 换例,
公 式 ).
1 2 3 1 2 3
1
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1
(,,) (,,)
(,,) (,,)
(,,) (,,)
(,,) (,,)
(,,) (,,)
a a a e e e A
e e e a a a A
b b b e e e B
b b b a a a A B
b b b a a a P
P A B
Q,
，
又即 基 变 换 公 式 为,
其 中解,
.
TT
1 2 3 1 2 3
11
1 2 3 2 1 2 3 2
33
1 1 1 1
1
2 2 2 2
3 3 3 3
11
22
33
,,),,)
(,,) (,,)
y y y x x x
yx
yx
yx
y x y x
y x y x
y x y x
yx
yx
yx
x
x a a a x b b b
A B A B
P
设 向 量 在 旧 基 和 新 基 中 的 坐 标 分 别 是,
(,(,即 有
，
故,
即
3
1 2 3 1 2
3 1 2 3 1 2 3
1 1 1 1 2
1 0 0 2 3
1 1 1 1 4
3
4,,,,
6
3
R
a a a b b
b a a a b b b
已 知 的 两 个 基 为,例
,,及,,
,求 由 基 到 基
.
的 过 渡 矩阵,
1
1 2 3 1 2 3
11
22
11
22
1 2 3 1 2 3
1
11
22
11
22
1 1 1 1 2 3
1 0 0 2 3 4
1 1 1 1 4 3
( ) ( )
1 0 0 0 1 01 1 1 1 0 0
| ) 1 0 0 0 1 0 ~ 0 1 0 0
1 1 1 0 0 1 0 0 1 1
,,,,
0 1 0 1 2 3
0 2 3 4
1
AB
b b b a a a P P A B
AE
a a a b b b
P A B
、
,,,,,且而 (
由 基 到 基 的 过 阵解渡 矩
：
234
0 1 0
1 4 3 1 0 1
.
第四节 线性方程组解的结构
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
11 12 1
21 22 2
12
12
..,0
..,0
( 1)
.....................
..,0
...
...
,..
...,..,..,..
...
nn
nn
m m m n n
n
n
m m m n
n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
a a a
a a a
xx
a a a
Ax
设 有 次 齐 性 方 程 组,
记
T
( 1) ( 2)
n
x
A x 0则 式 可 写 成 向 量 方 程一、方程组的解
1 1 1 2 2 1 1
TT
1 2 1 1 2 1 1
,,..,,( 1 )
,.,,.,
( 1 ) ( 2 )
nn
nn
x x x
x x x
x
若 为 的 解,
则称 方 程 组 的 解 向 量,它 也 是 的 解 。
二、解向量的性质
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1
1 1
,( 2)
( 2)
( )
( 2)
( 2)
( ) ( )
kk
kk
若 为 的 解,则也 是 的 解 。
若 为 的 解,为 实 数,则也证 明,
明,
是 解证的 。
▌
x ξ x ξ x ξ ξ
A x A ξ ξ A ξ A ξ 0
x ξ x ξ
A x A ξ A ξ 0
性 质 1.
性 质 2.
( 1 )
1 2
( 1 )
S
S
S
若 用 表 示 方 程 组 的 全 体 解 向 量 所 组 成 的集 合,由 性 质,可 知,集 合 对 向 量 的 线 性运 算 是 封 闭 的,所 以 集 合 就 构 成 了 一 个 向 量间,称 该 向 量 空 间 为 齐 次 线 性 方 程 组 的 解空 间 。
定理,n元齐次线性方程组 Am× nx = O
的全体解所构成的集合 S 是一向量空间，当系数矩阵的秩 R(Am× n) = r (≤n)
时，解空间 S 的维数为 n? r.
11 1,
1,
1 11 1 1,
11
...1,.,0
...,..,..,..,..,..
0,.,1,..
...
....................,
.
.
nr
r r n r
r n r n
r r r
r
r
bb
bb
x b x b x
x b x
AA
A
B
OO
设 系 数 矩 阵 的 秩 为,并 不 妨 设 的前 个 列 向 量 线 性 无 关,于 是 的 行 最 简 矩阵 为,
,即 有 组
：
方 程证
,
( 3)
.
r n r n
bx
1
1
1
( 1 )
( 3 ) ( 3 ),...,
,...,( 3)
( 1)
,...,
rn
r
rn
xx
xx
x x n r
AB由 于 与 的 行 向 量 组 等 价,故 方 程 组与 方 程 组 同 解,在 中,任 取 一组 值,即 唯 一 确 定 的 值,就 得 的 一组 解,也 就 是 的 解 。
即 令 取 下 列 组 值,1
2
1 0 0
0 1 0
,,...,
...,..,.....
0 0 1
r
r
n
x
x
x
11 11 12
22 21 22
12
11
1
1
( 3)
,,...,
...,..,..,..
( 3 ) [ ( 1 ) ]
...
1
0
...
0
nr
nr
r r r rn r
r
bx b b
bx b b
x b b b
nr
b
b
ξ
由 依 次 可 得从 而 求 得 也 就 是 的 个 解,即,
1,
12
2,
2
...,..
,,...,0 0
1 0
...,..
0 1
nr
r r n r
n - r
bb
bb
ξ ξ
12
1 2
12
1
12
1
,,...,
,,...,
,,...,
( 1)
...
,,...,
...
n - r
n - r
n - r
r
n-
r
n
n r n r
ξ ξ ξ S
ξ ξ ξ
ξ ξ ξ
x ξ ξ ξ ξ
下 面 证 明 就 是 解 空 间 的 一 组基 。 由 于 的 后 个 分 量 是个 单 位 向 量,是 线 性 无 关 的 ； 由 向 量 组 线 性相 关 的 性 质,向 量 组 也 是 线 性 无关 的 。
最 后 证 明 方 程 组 的 任 何 一 个 解,
都 可 由
r
线 性 表 示 。 因
1 1 2 2
12
1 1 2 2
1 2
,..
,,...,( 1 ) ( 1 )
( 3),
,.,
,,...,
r r n r n - r
n - r
r r n r n - r
n
nr
r
η ξ ξ ξ
ξ ξ ξ η
η ξ
η ξ ξ ξ ξ ξ
ξ ξ ξ
此,作 向 量由 于 是 的 解 故 也 是 的解,比 较 与 可 知,它 们 后 面 的 个 分 量对 应 相 等,又 由 于 它 们 都 满 足 方 程 因 而知 它 们 的 前 面 个 分 量 也 必 对 应 相 等,因 此
,即故,
,
-r
nr?
S是 解 空 间 的 一 组 基,因 而可 知 解 空 间 的 维 数 是 ▌
( 1 )S解 空 间 的 基 又 称 为 方 程 组 的 基 础 解 系,
12
1 1 2 2
12
( ) ( 1 )
0
( ) ( 1 )
,,...,
( 1 ) ( 1 )
,..
,,...,
nr
n r n - r
n
Rn
R r n n r
k k k
k k k
A
S
A
ξ ξ ξ
x ξ ξ ξ
当 时,方 程 组 只 有 零 解,因 而没 有 基 础 解 系,此 时 解 空 间 只 有 一 个 零 向 量,
即 维 向 量 空 间 ；
当 时,方 程 组 必 含 有个 向 量 的 基 础 解 系 。 设 求 得 是 方程 组 的 一 个 基 础 解 系,即 的 解 可 表 示 为,
其 中
1 1 2 2
12
( 1)
|,..,
,,...,
r
n r n - r
nr
k k k
k k k
S
S x x ξ ξ ξ
R
为 任 意 实 数 。 上 式 即 为 方 程 组的 通 解 。 此 时,解 空 间 可 表 示 为,
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
( 4)
............
...
nn
nn
m m m n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
A x b
由 于 向 量 空 间 的 基 是 不 唯 一 的,因 而,齐次 线 性 方 程 组 的 基 础 解 系 也 就 不 唯 一,所 以通 解 的 表 达 式 也 不 唯 一 。
设 有 非 齐 次 线 性 方 程 组,
它 也 可 写 成 向 量 方 程 ( 5 )
( 5) ( 4) 向 量 方 程 的 解 也 就 是 方 程 组 解,它 具有 如 下 性 质,
12
12
*
*
1
,( 5 )
( 2)
( 5 ) ( 2)
( 5 )
3 ( 5 )
( 5 )
( 2) ( 2)
k
x η x η
x η η A x 0
x η x ξ
x η ξ
η
x ξ η
x ξ
x ξ
若 都 是 的 解,则是 它 对 应 的 齐 次 方 程 组的 解 。
若 是 方 程 的 解,是的 解,则 仍 是 方 程 的 解 。
由 性 质 可 知,若 能 求 得 的 一 个 解,
则 的 任 一 解 均 可 以 表 示 为,
其 中 是 方 程 的 解,又 若 方 程 的 通 解为,
性 质 3.
性 质 4.
1 2 2
*
1 1 2 2
...
( 5 )
,..
n r n - r
n r n - r
kk
k k k
ξ ξ
x ξ ξ ξ η
则 方 程 的 任 一 解 即 可 表 示 为,
12
*
1 1 2 2
1 2 1 2
4,,...,
( 5 ) ( 5 )
,..
,,...,,,...,
( 2)
nr
n r n - r
n r n - r
k k k
k k k
k k k
x ξ ξ ξ η
ξ ξ ξ
而 由 性 质 可 知,对 任 何 实 数,上式 就 是 方 程 的 解 。 于 是 方 程 的 通 解 为,
其 中 为 任 何 实 数,是方 程 的 基 础 解 系 。
1 2 3 4
2 3 4 5
1 2 3 4
1 2 3 4 5
1 2 3 4
1 2 3 4 5
1 2 3 4
1 3 5
1 2 3
2 3 1
30
3 2 1
3 4 2 0
( 1) ( 2) 2 2 2 1
20
6
2 3 1
0
5 5 2 2
.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x
x x x
x x x
求 下 列 方 程 组 的 通 解例
14
21
31
2 3 3 4
3 2 4 3
42
3
( 1),
0 1 3 1 1 1 0 1 0 1
1 1 3 4 2 0 1 4 4 1
~
1 1 1 2 1 0 1 0 2 0
1 0 1 0 1 0 1 3 1 1
1 0 1 0 1 1 0 1 0 1
0 1 0 2 0 0 1 0 2 0
~ ~
0 0 4 2 1 0 0 1
0 0 3
:
11
rr
rr
rr
r r r r
r r r r
rr
A
齐 次 方 程 组 对 系 数 矩 阵 进 行 行 初 等 变 换 化 成行解最 简 矩 阵
4
34
24
13
2
2
12
0 0 0 2 7
1
1 0 0 0
1
2
140 1 0 0 7
~,,33
0 0 1 0
7
2
7 2
0 0 0 1
2
r
rr
rr
rr
ξ基 础 解 系 为
43
21
31
51
23
54
42
T
3
2
5
2
5
( 1,14,3,7,2),
( 2),
1 2 3 1 1 1 2 3 1 1
3 2 1 1 1 0 4 8 2 2
~2 2 2 1 1 0 2 4 1 1
2 3 1 1 1 0 1 1 2 0
5 5 2 0 2 0 5 13 5 3
~
rr
rr
rr
rr
rr
r
rr
rr
c
ξ x ξ
A
该 方 程 组 的 基 础 解 第 为 通 解 为非 齐 次 线 性 方 程 组 对 其 增 广 矩 阵 进 行 行 初 等 变 换化 为 行 最 简 矩 阵
3 4 5 3
3
23
( 6 )
1 2 3 1 1
1 2 3 1 1
0 1 1 2 0
0 1 1 2 0
51
~0 0 6 5 1 0 0 1
66
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 18 15 3
0 0 0 0 0
r r r
r
23
1 2 3
23
T
T
51
1 0 0
66
71
0 1 0
66
~
51
0 0 1
66
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
5,7,5,6,
111
,,,0
666
rr
r r r
c
ξ
x ξ
齐 次 方 程 组 的 基 础 解 系 非 齐 次 方 程 组的 特 解 为所 以 方 程 组 的 通 解 为
,
1 3 3 2 1 1
2 6 9 7 4 1
1 3 3 4 13 7
,?
AX B X
AB
已 知 求,其 中例
,
7
21
31
3
2
11
1 2 3 1 2 3
2
3
| | 0,,
,,
( 1,2,3)
1 3 3 2 1 1 1 3 3 2 1 1
2 6 9 7 4 1 ~ 0 0 3 3 6 3
1 3 3 4 13 7 0 0 6 6 12 6
:
~
ii
rr
rr
r
r
i
A A X A B X
B b b b X x x x A X B
A x b
AB
因 为 不 存 在 故 不 能 由 求 解,
设 由解可 得
2 3 2
2
22
3
1 3 3 2 1 1 1 3 0 1 7 4
0 0 1 1 2 1 ~ 0 0 1 1 2 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
r r r
r
312
1 1 2 2 1 3
1 2 3
1 2 3
( | ) ( ) 2 3
( 1,2,3),.
343 1 3 7
:
12 1
3 1 3 7 3 4
1 2 1
ii
RR
i
ccc
c c c
c c c
c c c
A B A
Ax b
x x x
X
故 线 性 方 程 组 有 解 且 均 有 无 穷 多 解即
2,
1 0 0
.
0 2 0
1 6 1
AX E A E X
A
求 解 矩 阵 方 程,求例 8,其 中
32
31
22
1
1
2
1 2 3 1 2 3
2
2
6
( )
000
| 0 1 0 0,( )
1 6 0
( ),
( ),( )
( ) ( ) ( 1,2,3 )
0 0 0 0 0 0
( | ) 0 1 0 0 3 0
1 6 0 2 18 0
1 0 0 2 0 0
~0
ii
rr
rr
i
A X E A X A E X A E
A E A E
AE
A E b b b X x x x
A E X A E A E x b
A E A E
由,
其 中 | 不 存 在,故 不 能解,
在 方 程 两 边 同 乘 来 求 解设则 由
2
1 0 0 3 0,( | ) ( ) 2
0 0 0 0 0 0
RR
A E A E A E
1 2 3
( ) ( 1,2,3 ),
2 0 0 2 0 0
0,3,0,0 3 0
ii i
p q r p q r
A E x b
x x x X
故 方 程 组 均 有 无 穷 多 解且 即
1 2 3
1 2 3
1 2 3
( 2 ) 2 2 1
2 ( 5 ) 4 2
2 4 ( 5 ) 1
,
.
.
a x x x
x a x x
x x a x a
a
设问 为 何 值 时 此 方 程 组 有 唯 一 解,无 解 或 有 无 穷 多解？ 并 在 有 无 穷 多 解 时 求例其 通 解
9
23
13
31
1
32
3
2
22
2
( 1 )
2
2
2 2 2 1
( | ) 2 5 4 2
2 4 5 1
2 4 5 1
~ 0 1 1 1
66
0 2( 1 )
22
2 4 5 1
~ 0 1 1 1
0 0 ( 10) ( 1 ) ( 4)
:
rr
rr
a
rr
r
rr
r
a
a
aa
aa
a a a
a a a a
a
aa
a a a
a a a
Ab
该 方 程 组 的 广 阵解 增 矩 为
( 1 )
10,( | ) 3,( ) 2,;
a
a R R
A b A当 时 方 程 组 无 解
TT
12
T
1 1 2 2
10 1,( | ) ( ) 3,
1,( | ) ( ) 1,,
1 2 2 1
( | ) ~ 0 0 0 0
0 0 0 0
2,1,0 2,0,1
1,0,0
a a R R
a R R
cc
A b A
A b A
Ab
ξ ξ
η
x ξ ξ η
当 且 时 方 程 组 有 唯 一解 ；
当 时 方 程 组 有 无 穷 多 组 解这 时所 以 齐 次 方 程 组 的 基 础 解 系 为非 齐 次 方 程 组 的 一 个 特 解 是故 方 程 组 的 通 解 为
TT
( ) 1
.
,R?
Aa
b A a b
证 明 的 充 要 条 件 是 存 在 非 零 列 向 量 及非 零 行 向 量,使例 10
T
T
T
1
( ) 1
( ) m i n{ ( ),( ) } 1,( ) 1.
( ) 1
1
1
11
1
1
mn
m n m n
m n m
n
R
R R R R
R m n
mn
ab
A ab A
A a b A
AA
PQ
EO
A P Q P O Q
OOO
P O Q a P
OO
b O Q
T
先 证 明 充 分 性,由 于 是 非 零 列 向 量,是非 零 行 向 量,故,一 定 不 是 零 矩 阵,
又 故再 证 必 要 性,若 且 设 为 阶 矩 阵,存 在阶 可 逆 矩 阵 和 阶 可 逆 矩 阵,使 得显 然 为 列 向 量,为 行证向 量,令明,
,故
T
A ab
( 1 ) ( )
( 2) ( )
.
m
n
mn
Rm
Rn
A
AX E A
Y A E A
设 为 阶 矩 阵,证 明方 程 有 解 的 充 要 条 件 是方 程 有 解 的 充 要 条 件 是例 11
T T T T
TT
( ) ( | )
( | ) ( | ) m in{,}
( | )
( 2)
( ) ( | )
m
m
mm
m
n
nn
n
RR
R m R m n m m
Rm
R R n
A X E
A A E
A E A E
AE
YA E
A Y E A Y E
A A E
(1) 方 程 有 解 的 充 要 条 件 是而 又所 以方 程 有 解 的 充 要 条 件 是 方 程有 解,而 方 程 有 解 的 充 要条 是明,
件证
()
.
,
m n R n
A AX AY A
XY
设 为 阶 矩 阵,若 且,
证 明例 12
1 2 1 2
(,,...,),(,,...,)
( ) ( )
( 1,2,...,)
( )
pp
ii
ii
np
ip
A X A Y X Y
X x x x Y y y y
A X A Y A X Y O A x y 0
A x y 0
由 于,故 与 是 同 型 矩 阵,设 它 们 均为 阶 矩 阵 且而 对 于 方 程 组证 明,
,当 ()
( 1,2,...,)
,
ii
Rn
ip
A
x y 0
XY
时,该 方 程组 只 有 零 解,即故
