1
1
T
T
( )
( ),,1,2,,;
n
ik k j ij
k
n
k i jk ij
k
aa
a a i j n
A
A A E
证 明 矩 阵 的 各 列 或 行 元 素 满 足 正交 条 件或根 据 正 交 矩 阵 的 定 义,先 求 出,然后 计 算方 法 一,
方 法 二,
一、证明所给矩阵为正交矩阵
T
T
T
T
T T T T
TT
T T T
TT
,,
2
,
()
22
{ }
( ) ( )
22
[ ] [
))
]
((
nn
设 是 阶 列 向 量 是 阶 单 位 矩 阵证 明 是 正 交 矩 阵证 明,先 证 明,然 后 根 据 正 交 矩 阵的 定 义 证例 1.
明
a E
A E aa
aa
AA
A A E
A E aa E aa A
a a a a
A A A A E aa E aa
a a a a
TT
TT
TT
TT
T T T
T T 2
T T T T T
T T T
TT
22
( ) ( )
22
[ ] [ ]
( ) ( )
44
[ ( ) ]
( ) ( )
0 ( ) ( )
44
( ) ( )
E aa aa
a a a a
aa aa
a a a a
E aa a a a a
a a a a
a 0 a a a a a a a a aa
A A E aa aa E
a a a a
A
，
故 是 正 交 矩 阵 。
将线性无关向量组化为正交单位向量组，可以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与单位化。
1 2 3
1 1 1
1 0 0
,,
0 1 0
0 0 1
,
α α α已 知 向 量 是线 性 无 关 向 量 组 求 与 之 等 价 的 正 交 单例 2.
位 向 量 组 。
二、将线性无关向量组化为正交单位向量组
11
2 1 2 2 1
1 2 1 1 1 2
T12
11
222
11
3 1 1 2 2 3 3 2 1
13 22
12
1 1 2 2
( 1 )
( 2),,
[,] [,] [ ] 0,
[] 1
,( 1 0)
[ ] 2
( 3 ),,,
[,] [,]11
,,
[,] 2 [,] 3
k
k
k
kk
kk
先 正 交 化,再 单 位 化取令 使 得 与 正 交
,
,
故
,
令 且法 一,
与解正 交得
T
111
3333
1 2 3
T1
1
1
T2
2
2
T3
3
3
( 1 ),
( 4),,,
22
( 0 0 )
22
6 6 6
( 0)
6 6 3
3333
( ) ;
6 6 6 2
故将 单 位 化 得
T1
1 1 1
1
2 1 1 2 1
T
1 2 2
T2
2
2
22
( 1 ) ( 0 0)
22
( 2),
2 1 1
[,],( 1 0)
2 2 2
6 6 6
( 0)
6 6 3
k
k
同 时 进 行 正 交 化 与 单 位 化取令 使 得 与 正解 二,
交故法得
3 1 1 2 2 3 3 2 1
1 1 3 2 2 2
T
3
T3
3
3
( 3 ),
26
[,],[,]
26
111
( 1 )
333
3333
( )
6 6 6 2
kk
kk
令 且 与,正 交 得故第一步 计算 A 的特征多项式；
第二步 求出特征多项式的全部根，即得
A 的全部特征值；
第三步 将每一个特征值代入相应的线性方程组，求出基础解系，即得该特征值的特征向量。
三、特征值与特征向量的求法
2
324
3 2 0 2
423
.
3 2 4
( ) 2 2 ( 8 ),( 1 )
4 2 3
( ),
.
f
f
例 3,A
A
EA
A
计 算 阶 矩 阵 的 全 部 特 征 值和 特 征 向 量第 一 步,计 算 的 特 征 多 项 式第 二 步,求 出 特 征 多 项 式 的 全 部 根 即解的全 部 特 征 值
：
1 2 3
11
1 2 3
1 2 3
1 2 3
T
11
1 11
( ) 0,8,1,
.
8,( ) 0
5 2 4 0
2 8 2 0
4 2 5 0
( 2 1 2),8
( 0 )
f
x
x x x
x x x
x x x
kk
A
A
EA
令 解 之 得 求 的 全部 特 征 值第 三 步,求 出 的 全 部 特 征 向 量当 求 对 应 线 性 方 程 组的 一 组 基 础 解 系 。 即化 简 求 得 此 方 程 组 的 一 组 基 础 解 系所 以 对 于 的 全 部 特 征 向 量为 的 实 数
23
2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
TT
23
23
232 2 3 3
1,
( ),
4 2 4 0,
2 2 0,
4 2 4 0,
:
( 1 0 1 ) ( 1 2 0)
1
(,
x
x x x
x x x
x x x
kk kk
E A 0
A
同 理 对 求 相 应 线 性 方 程 组的 一 个 基 础 解 系求 解 得 此 方 程 组 的 一 个 基 础 解 系于 是 的 属 于 的 全 部 特 征 向 量为,是 不 全
1 1 2 2 3 3
.)
,k k k?A α α α
为 零 的 实 数从 而,的 全 部 特 征 向 量 为
1
12
1
1
1 1 1
1
,,,,
,
.
.
.
()
( )
n
ii
n
f
f
例 4.
P A P
A
A
APP
A P A P
E P A P P P P A P
E A P E AP
设 阶 方 阵 的 全 部 特 征 值 为属 于 的 特 征 向 量 为 求 的 特 征 值 与特 征 向 量首 先 证 明 与 有 相 同 的 特 征 值 只 需证 明 它 们 有 相 同 的 特 征 多 项 式解,
四、已知 A的特征值，求与 A相关矩阵的特征值
1
12
1
1 1 1
1
1 1 1 1
1
1 1 1
11
,,,
,( ) 0,
( ) ( )
( ),
( ) ( )
( ) 0,
( ) ( ) ( ),
n
i
i i i i i
i i i i
ii
i i i i
ii
i i i
i
APP
A E A
E AP P APP P P
E A PP
E AP E A PP P P P
EAP
APP P P
APPP
P AP就 是 的 全 部 特 征 值其 次 求 属 于 的 特 征 向 量即又即故 是 属,
i?
于 的 特 征 向 量
T
1
1 1 0
TT
T
,
()
( 1 )
( 2),
( 1 ) ( ) ( )
( )
.
nn
n
T
n
f E a a a
f
f
例 5.
A
A
A
A
A
A
AA
E A E A
EA
AA
-1
设 是 阶 方 阵 其 特 征 多 项 式 为求,求 的 特 征 多 项 式当 非 奇 异 时 求 的 特 征 多 项 式,
与 有 相 同 的 特 征 多 项 式五、求方阵 A的特征多项式
12
1 1 1
12
12
1 11
0 0 0
( 2),,,,
,,,,
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
1
.
n
n
n
nn n
A
f
aa
a a a
A
AA
EA
-1
-1 -1
-1
设 是 的 全 部 特 征 值 则是 的 全 部 特 征 值 故的 特 征 多 项 式 为
1
32
23
12
32
1 2 3
32
3 3 1,
1,2,5,; 5
( ) 5,,,
( ) ( 1 3
) ( ) 5
n
i
fx xx
f i f
1.
6,例 A
B A A B A E
A
A
A
A
A
A
A
A
A
设 是 阶 矩 阵,它 的 个 特 征 值 为设 求利 用 的 行 列 式 与 特 征用 特 征 根 计 算 方 阵 的 行 列 式解,值 的 重 要 关 系来 计 算 。
令 因 为 是 的 全 部 特征 值 ； 所 以 是 的全 部 特 征 值 。 故六、关于特征值的其它问题
1 2 3
1 2 3
1 2 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( 4) ( 6) ( 12) 288.
5
( ) 5,
1,1,2,
( ) ( ),( ),( )
5 ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2) 72
.
f f f f
g
g g g g
g g g g
A
AE
A A E A
A
A E A
下 面 求令 因 为 的 所 有 特 征值 为所 以 的 所 有 特 征 值 为方 法 一,
1 2 3
12
32
3
22
2
1,1,2,1 ( 1 ) 2 2.
5 ( 5 ),| | 5,
||
1,1,2,
( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2),
5 ( 5 ) ( 5 1 ) (
5
288,5 288 / 4 72.
||
1 ) (
A
A
A
EAf
EA f
A
A
B A A A A E B A A E
B
B A E
A
方 法 二,
方 法 三因因 为 的 所 有 特 征 值 为所 以为 的 所 有 特但
：
征 值 为故又
3
5 2) 72,
5 5 72.( 1 )A E E A
2
2
12
,0,;
,0,.
,
( 1 ) 8?
( 2),1,?
( 1 ) 1,1,
8
k k k
kk
k
k
n
k
2.
例 7,
A E A E A
A E A E A
A
A E E A
A A E
A
A
E
AE
A
当 是 的 特 征 值 时 不 可 逆当 不 是 的 特 征 值 时 可 逆设 为 阶 方 阵若,是 否 可 逆设 是 的 特 征 值 且 是 否 可 逆用 方 阵 的 特 征 值,来 讨解,的 特 征 值 为故论 的 可 逆 性不,8
1,kk
A E A
EA
是 的 特 征 值 从 而 可 逆 。
一 般 地,对,均 可 逆
( 2) 1 1
1 0 ( 1 ) 0
( ) ( 1 )
0
( ) ( 1 )
0
,
n
n
A
E A E A
E A E A A E
AE
E A A E A E
AE
AE
因 为,所 以 不 是 的 特 征 值,
于 是又故 均 为 可 逆 矩 阵七、判断方阵 A可否对角化
nn
AA矩 阵 可 对 角 化 的 充 要 条 件 是 有个 互 异 的 特 征 值 或 有 个 线 性 无 关 的 特征 向 量 。
000
1 1 2 2
0
( 1 )?
( 2),
0 ( ),
nn
ij
n
a a a
aj i
例 8,A
A
A
设 是 阶 下 三 角 阵,
在 什 么 条 件 下 可 对 角 化如 果 且 至 少 有 一证 明 不 可 对 角 化 。
11
21 22
1 2
11 22
11 22
00
0
( 1)
( ) ( ) ( ) ( ),
( ) 0,( ) ( ) ( ) 0,
( 1 )
(,,1,2,,)
n n nn
nn
nn
i ii
ij
a
aa
a a a
a a af
a a af
a i n
i j i j n
A
A
A
EA
A
令 即得 的 所 有 特 征 值,
当解,
时,即 当
aa?
ii jj
A时,可 对 角 化 。
1
12
11
11
1
11
11
11
11
11 11 11
(,,,) ( 1 )
( 1 )
( )
( 2)
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i ii
i
diag i n
aa
a
a
a
a
a a a
a
AP
P A P A
P A P E
A P E P PP E
若 可 对 角 化,则 存 在 可用 反逆 矩 阵,使是的 特 征 值,由 可 知,所 以这 与 至 少 有 一 个证 法,
00
0
0
0 ( ),
j
ji A矛 盾 故 不可 对 角 化 。
*
*
32
1,2
,
2,1,1,2,2 3
1 1 0 1 4 1
3,4 3 0 1 3 0
1 0 2 0 0 2
2 1 ( ),
n?
A A A A
B AA
A B A A
A B A
设 是 阶 方 阵,是 的 伴 随 矩 阵,
则 方 阵 的 特 征 值 是 特 征 向 量 是三 阶 方 阵 的 特 征 值 为 则的 特 征 值 为设,,且 的 特征 值 为 和 二 重
2 0 0 2 0 0
4,0 0 1 0 0
0 0 101
y
x
xy
B
AB
那 么 的 特 征 值 为已 知 矩 阵 与 相 似,则八、综合练习
1
23
3 0 1
2 1 3,( 1 )
1 2 3
( 2) 2
6.,
1 2 2 00
0 1 0,0 1 0
0 0 0 0 1
( 1 ) ; ( 2),
7,1,2,1,
2 3,
(
tt
y
x
xy
A
5,A
AB
AB
P P A P B
B A A A
设 是 矩 阵 的 特 征 值 求 的 值对 应 于 的 所 有 特 征 向 量 。
设 矩 阵 与 相 似 其 中求 和 的 值 求 可 逆 阵 使 得已 知 三 阶 矩 阵 的 特 征 值 为 设矩 阵 试 求
2
1 ) ;
( 2) 3,?
B
B A E
矩 阵 的 特 征 值 及 其 相 似 对 角 矩 阵行 列 式 及 的 值
1
32
2 2 0
8,( 7 ) 2 1 2?
0 2 0
,.
9.,
3,.
10.,:
.
11.,:
( 1 ) 0,0,
( 2),.
k
k
A
A n A A A
EA
A B AB
AB
An
A A A
A E A
U U A U
分 判 断 矩 阵 可 否 对 角 化若 可 对 角 化 求 出 可 逆 矩 阵 使 为 对 角 矩 阵设 为 阶 实 对 称 矩 阵 且 满 足证 明 是 正 定 的 矩 阵设 与 是 正 定 矩 阵 证 明 是 正 定 矩 阵 的充 要 条 件 是 与 可 交 换设 为 阶 实 方 阵 证 明若 但 则 不 可 相 似 于 对 角 阵若 则 相 似 于 对 角 阵
1
T
T
( )
( ),,1,2,,;
n
ik k j ij
k
n
k i jk ij
k
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A
A A E
证 明 矩 阵 的 各 列 或 行 元 素 满 足 正交 条 件或根 据 正 交 矩 阵 的 定 义,先 求 出,然后 计 算方 法 一,
方 法 二,
一、证明所给矩阵为正交矩阵
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T
T
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设 是 阶 列 向 量 是 阶 单 位 矩 阵证 明 是 正 交 矩 阵证 明,先 证 明,然 后 根 据 正 交 矩 阵的 定 义 证例 1.
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A E aa
aa
AA
A A E
A E aa E aa A
a a a a
A A A A E aa E aa
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，
故 是 正 交 矩 阵 。
将线性无关向量组化为正交单位向量组，可以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与单位化。
1 2 3
1 1 1
1 0 0
,,
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0 0 1
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α α α已 知 向 量 是线 性 无 关 向 量 组 求 与 之 等 价 的 正 交 单例 2.
位 向 量 组 。
二、将线性无关向量组化为正交单位向量组
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2 1 2 2 1
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T12
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k
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先 正 交 化,再 单 位 化取令 使 得 与 正 交
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故
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令 且法 一,
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故将 单 位 化 得
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k
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同 时 进 行 正 交 化 与 单 位 化取令 使 得 与 正解 二,
交故法得
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T
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( )
6 6 6 2
kk
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令 且 与,正 交 得故第一步 计算 A 的特征多项式；
第二步 求出特征多项式的全部根，即得
A 的全部特征值；
第三步 将每一个特征值代入相应的线性方程组，求出基础解系，即得该特征值的特征向量。
三、特征值与特征向量的求法
2
324
3 2 0 2
423
.
3 2 4
( ) 2 2 ( 8 ),( 1 )
4 2 3
( ),
.
f
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例 3,A
A
EA
A
计 算 阶 矩 阵 的 全 部 特 征 值和 特 征 向 量第 一 步,计 算 的 特 征 多 项 式第 二 步,求 出 特 征 多 项 式 的 全 部 根 即解的全 部 特 征 值
：
1 2 3
11
1 2 3
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1 11
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x x x
x x x
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A
A
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令 解 之 得 求 的 全部 特 征 值第 三 步,求 出 的 全 部 特 征 向 量当 求 对 应 线 性 方 程 组的 一 组 基 础 解 系 。 即化 简 求 得 此 方 程 组 的 一 组 基 础 解 系所 以 对 于 的 全 部 特 征 向 量为 的 实 数
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同 理 对 求 相 应 线 性 方 程 组的 一 个 基 础 解 系求 解 得 此 方 程 组 的 一 个 基 础 解 系于 是 的 属 于 的 全 部 特 征 向 量为,是 不 全
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为 零 的 实 数从 而,的 全 部 特 征 向 量 为
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例 4.
P A P
A
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设 阶 方 阵 的 全 部 特 征 值 为属 于 的 特 征 向 量 为 求 的 特 征 值 与特 征 向 量首 先 证 明 与 有 相 同 的 特 征 值 只 需证 明 它 们 有 相 同 的 特 征 多 项 式解,
四、已知 A的特征值，求与 A相关矩阵的特征值
1
12
1
1 1 1
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1 1 1 1
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例 5.
A
A
A
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设 是 阶 方 阵 其 特 征 多 项 式 为求,求 的 特 征 多 项 式当 非 奇 异 时 求 的 特 征 多 项 式,
与 有 相 同 的 特 征 多 项 式五、求方阵 A的特征多项式
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B A A B A E
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A
A
设 是 阶 矩 阵,它 的 个 特 征 值 为设 求利 用 的 行 列 式 与 特 征用 特 征 根 计 算 方 阵 的 行 列 式解,值 的 重 要 关 系来 计 算 。
令 因 为 是 的 全 部 特征 值 ； 所 以 是 的全 部 特 征 值 。 故六、关于特征值的其它问题
1 2 3
1 2 3
1 2 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( 4) ( 6) ( 12) 288.
5
( ) 5,
1,1,2,
( ) ( ),( ),( )
5 ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2) 72
.
f f f f
g
g g g g
g g g g
A
AE
A A E A
A
A E A
下 面 求令 因 为 的 所 有 特 征值 为所 以 的 所 有 特 征 值 为方 法 一,
1 2 3
12
32
3
22
2
1,1,2,1 ( 1 ) 2 2.
5 ( 5 ),| | 5,
||
1,1,2,
( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2),
5 ( 5 ) ( 5 1 ) (
5
288,5 288 / 4 72.
||
1 ) (
A
A
A
EAf
EA f
A
A
B A A A A E B A A E
B
B A E
A
方 法 二,
方 法 三因因 为 的 所 有 特 征 值 为所 以为 的 所 有 特但
：
征 值 为故又
3
5 2) 72,
5 5 72.( 1 )A E E A
2
2
12
,0,;
,0,.
,
( 1 ) 8?
( 2),1,?
( 1 ) 1,1,
8
k k k
kk
k
k
n
k
2.
例 7,
A E A E A
A E A E A
A
A E E A
A A E
A
A
E
AE
A
当 是 的 特 征 值 时 不 可 逆当 不 是 的 特 征 值 时 可 逆设 为 阶 方 阵若,是 否 可 逆设 是 的 特 征 值 且 是 否 可 逆用 方 阵 的 特 征 值,来 讨解,的 特 征 值 为故论 的 可 逆 性不,8
1,kk
A E A
EA
是 的 特 征 值 从 而 可 逆 。
一 般 地,对,均 可 逆
( 2) 1 1
1 0 ( 1 ) 0
( ) ( 1 )
0
( ) ( 1 )
0
,
n
n
A
E A E A
E A E A A E
AE
E A A E A E
AE
AE
因 为,所 以 不 是 的 特 征 值,
于 是又故 均 为 可 逆 矩 阵七、判断方阵 A可否对角化
nn
AA矩 阵 可 对 角 化 的 充 要 条 件 是 有个 互 异 的 特 征 值 或 有 个 线 性 无 关 的 特征 向 量 。
000
1 1 2 2
0
( 1 )?
( 2),
0 ( ),
nn
ij
n
a a a
aj i
例 8,A
A
A
设 是 阶 下 三 角 阵,
在 什 么 条 件 下 可 对 角 化如 果 且 至 少 有 一证 明 不 可 对 角 化 。
11
21 22
1 2
11 22
11 22
00
0
( 1)
( ) ( ) ( ) ( ),
( ) 0,( ) ( ) ( ) 0,
( 1 )
(,,1,2,,)
n n nn
nn
nn
i ii
ij
a
aa
a a a
a a af
a a af
a i n
i j i j n
A
A
A
EA
A
令 即得 的 所 有 特 征 值,
当解,
时,即 当
aa?
ii jj
A时,可 对 角 化 。
1
12
11
11
1
11
11
11
11
11 11 11
(,,,) ( 1 )
( 1 )
( )
( 2)
ni
i ii
i
diag i n
aa
a
a
a
a
a a a
a
AP
P A P A
P A P E
A P E P PP E
若 可 对 角 化,则 存 在 可用 反逆 矩 阵,使是的 特 征 值,由 可 知,所 以这 与 至 少 有 一 个证 法,
00
0
0
0 ( ),
j
ji A矛 盾 故 不可 对 角 化 。
*
*
32
1,2
,
2,1,1,2,2 3
1 1 0 1 4 1
3,4 3 0 1 3 0
1 0 2 0 0 2
2 1 ( ),
n?
A A A A
B AA
A B A A
A B A
设 是 阶 方 阵,是 的 伴 随 矩 阵,
则 方 阵 的 特 征 值 是 特 征 向 量 是三 阶 方 阵 的 特 征 值 为 则的 特 征 值 为设,,且 的 特征 值 为 和 二 重
2 0 0 2 0 0
4,0 0 1 0 0
0 0 101
y
x
xy
B
AB
那 么 的 特 征 值 为已 知 矩 阵 与 相 似,则八、综合练习
1
23
3 0 1
2 1 3,( 1 )
1 2 3
( 2) 2
6.,
1 2 2 00
0 1 0,0 1 0
0 0 0 0 1
( 1 ) ; ( 2),
7,1,2,1,
2 3,
(
tt
y
x
xy
A
5,A
AB
AB
P P A P B
B A A A
设 是 矩 阵 的 特 征 值 求 的 值对 应 于 的 所 有 特 征 向 量 。
设 矩 阵 与 相 似 其 中求 和 的 值 求 可 逆 阵 使 得已 知 三 阶 矩 阵 的 特 征 值 为 设矩 阵 试 求
2
1 ) ;
( 2) 3,?
B
B A E
矩 阵 的 特 征 值 及 其 相 似 对 角 矩 阵行 列 式 及 的 值
1
32
2 2 0
8,( 7 ) 2 1 2?
0 2 0
,.
9.,
3,.
10.,:
.
11.,:
( 1 ) 0,0,
( 2),.
k
k
A
A n A A A
EA
A B AB
AB
An
A A A
A E A
U U A U
分 判 断 矩 阵 可 否 对 角 化若 可 对 角 化 求 出 可 逆 矩 阵 使 为 对 角 矩 阵设 为 阶 实 对 称 矩 阵 且 满 足证 明 是 正 定 的 矩 阵设 与 是 正 定 矩 阵 证 明 是 正 定 矩 阵 的充 要 条 件 是 与 可 交 换设 为 阶 实 方 阵 证 明若 但 则 不 可 相 似 于 对 角 阵若 则 相 似 于 对 角 阵
