12
1 1 2 2
12
,,,
,,
,
,
m
mm
m
k k k
k k k
L
L
L
线 性 相 关 与 线 性 无 关 的 概 念 都 是 针 对 一 个特 定 的 向 量 组 而 言 的,当 我 们 考虑 到 向 量 空 间 中 两 种 基 本 运 算 的 结 合 物 线 性组 合 时,其 结 果 为 向 量 空间 中 的 一 个 特 殊 向 量 — — 零 向 量,那 么,一 个自 然 的 问 题 是,是 否 存 在 一 组 不 全 为 零 的 数
,也 使 得 其 线 性 组 和 为 零 向 量？
答 案 只 有 两 种,存 在 或 不 存 在 这 样,也 就 自然 而 然 地 提 出 了 线 性 相 关 与 线 性 无 关 的 概 念,若存 在,则 称 该 向 量 组 线 性 相 关 ； 若 不 存 在,则 称一、向量组线性关系的判定
12
1 1 2 2
0
,
(
)
m
mm
k k k
k k k
O
L
L
该 向 量 组 线 性 无 关,所 谓 不 存 在,指 的 是 当 且 仅当时 才 有线 性 相 关 与 线 性 无 关 还 可 以 通 过 线 性 表 出 的概 念 来 体 现,即 看 其 中 有 无 某 个 向 量 不 是 任 意 一个 向 量,可 由 其 余 向 量 线 性 表 出？ 此 外,还 应 注意 到,线 性 相 关 与 线 性 无 关 是 一 对 排 中 对 立 的 概念,据 此,在 论 证 某 些 相关 性 问 题 时,我 们 往 往采 用 反 证 法 。
研 究 这 一 类 问 题,一 般 有 两 种 方 法 。
方 法 一,从 定 义 出 发
1 1 2 2
111 21
12 22 2
12
12
11 1 21 2 1
12 1 22 2 2
1 1 2 2
0
0
0
0
0
0
mm
m
m
m
nn mn
mm
mm
n n m n m
k k k
aaa
a a a
k k k
aa a
a k a k a k
a k a k a k
a k a k a k
α α α 0L
L
MM M M
L
L
LLLLL
L
令整 理 得 线 性 方 程 组
1 2
1 2
( * )
( * ),,,
( ),,,
,.
m
m
α α
α α α
α
L
L
若 线 性 方 程 组 只 有 唯 一 零 解,则线 性 无 关 ； 若 线 性 方 程 组 有 非 零 解 则线 性 相 关
1 2
1 2
1 2
1 2
,,,
(,,,) ( )
( ),,,( )
,,,
m
m
m
m
n
R
R m R m
α α α
A α α α A
A α α α A
α α α
L
L
L
L
方 法 二,利 用 矩 阵 秩 与 向 量 组 秩 之 间 的 关 系 判 定给 出 一 组 维 向 量,就 得 到 一 个相 应 的 矩 阵,首 先 求 出 ； 若
,则 线 性 无 关 ； 若,
则 线 性 相 关 。
1 2 3
1 0 1
2,2
1.
,0
3 5 2
α α α
研 究 下 列 向 量 组 的 线 性 性例 相 关
1 1 2 2 3 3
1 2 3
13
12
1 2 3
1 0 1 0
2 2 0 0
3 5 2 0
0
2 2 0 ( )
3 5 2 0
1 0 1
( ) 2 2 0 0
3 5 2
k k k
k k k
kk
kk
k k k
α α α O
Q
令即,
整 理 得,
线 性 方 程 组 的 系 数 行 列 式解,
1 2 3
1 2 3
1 2 3
( ),,
1 0 1
2,2,0
3 5 2
1 0 1
(,,) 2 2 0
3 5 2
1 0 1 1 0 1
2 2 0 0 2 2
3 5 2 0 0 0
( ) 2
~
R
α α α
α α α
A α α α
A
A
Q
初 等 行 变 换线 性 方 程 组 必 有 非 零 解,从 而线 性 相 关解 二,
。
矩 阵
1 2 3
3,,,α α α故 向 量 组 线 性 相 关,
1 2
12
12 1 2
1 2
12
12 1 2
,,,
,,,
,,( 2)
,,,,
,,,,
r
r
rr
r
r
r r
t t t
rt t t
k k k
k k k
α α α
β
α β α β α β
α α α
α α α
L
L
L
L
L
L
设 线 性 相 关,证 明,存 在 不全 为 零 的 数,使 对 任 何 向 量 都 有
，
线 性 相 关 。
因 为 线 性 相 关 所 以 存 在 不全 为 零 的例 2.
：
数 使证 明
1 1 2 2
12
0
2,,(,,,)
,,
rr
r
k x k x k x
r t t t
O
β
L
L
考 虑 线 性 方 程因 为 它 必 有 非 零 解 设 为 任 一 非零 解 则 对 任 意 向 量 都 有
12 1 2
1 1 2 2
1 1 2 2 1 2
12
12 1 2
( )
( ) ( )
( )
,,,:
,,.
r r
rr
rr r
r
rr
k k k
k t k t k t
k t k t
kt
k k k
t t t
α α α
β O
α β α β
α β O
α β α β α β
L
L
L
L
L
即由 不 全 为 零 得 知
,线 性 相 关
1 2 r
1 2 r
1 2 s 1
2 s
1 2 s
,,,,,
,,
.
,,,,,,,
( 1,2,,),,,,
i i i
k i i i k
r
r
r
ks?
α α α α
α α
α α α α α α
α α α α α
L
L
LL
LL
已 知 向 量 组 的 秩 是 证 明,
中 任 意 个 线 性 无 关 的 向 量 均 构 成 它 的一 个 最 大 线 性 无 关 组 。
不 失 一 般 性 设 是中 的 任 意 个 线 性 无 关 的 向 量,于 是 对 于 任 意 的
,向 量 组 线 性 相 关否 则 这例 3.
证 明,
向 量 组 的 秩
1 2 r
1 2 r
1 2 r
1 2 s
,,,,
,,,
,,,,,,
i i i k
i i i
i i i
r
α α α α
α α α
α α α α α α
L
L
LL
大 于 。
又 向 量 组 线 性 无 关 所 以 可 以由 线 性 表 出 。 由 定 义,这 就 证 明 了是 的 一 个 极 大 线 性 无 关 组求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的秩来求，这个矩阵是由这组向量为行（列）向量所排成的．
若矩阵 A经过初等行（列）变换化为矩阵 B,则
A 和 B 中任何对应的列（行）向量组都有相同的线性相关性．
如果向量组的向量以列（行）向量的形式给出，把向量作为矩阵的列（行），对矩阵作初等行（列）变换，这样，不仅可以求出向量组的秩，
而且可以求出最大线性无关组．
二、求向量组的秩
21
TT
1 2
T T T
3 5 5
1 2 3 4 5
( 1,1,0,0),( 1,2,1,1 ),
( 0,1,1,1 ),( 1,3,2,1 ),( 2,6,4,1 )
1 1 0 1 2
1 2 1 3 6
( )
0 1 1 2 4
0 1 1 1 1
1 1 0 1 2
0
1 1 2 4
0 1 1
~
rr
α α
α α α
A α α α α α
A
A
求 向 量 组的 秩设对 进 行 初 等 行 变 换 化 为 行 阶 梯 矩 阵 得,
例 4.
解,
32
42
( 1 )
1 1 0 1 2
0 1 1 2 4
2 4 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 0 0 0 3 5
~
rr
rr
43
1
3
2
3
5
3
1
3 1 2 5 1 2 43
1 0 1 01 1 0 1 2
0 1 1 00 1 1 2 4
0 0 0 3 5 0 0 0 1
0 0 0 0 0 00000
( ) ( ) 3
( 2 5 )
~~
rr
RR
B
AB
α α α α α α α
所 以 向 量 组 的 秩且,
判断向量的集合是否构成向量空间，需看集合是否对于加法和数乘两种运算封 闭,若封闭，则构成向量空间；否则，不构成向量空间．
三、向量空间的判定
3
3
1 2 1 2
3
12
( 0,0,1 )
( 0,0,1 )
( 0,,0),( 0,,1 ) ( 0),,
( 0,0,1 ) ( 0,0,1 )
( 0 0,)
,1
R
R
k k k
R
α α α α
α α
Q
判 断 中 与 向 量 不 平 行 的 全 体 向 量所 组 成 的 集 合 是 否 构 成 向 量 空 间？
解,中 与 向 量 不 平 行 的 全 体 向 量 所 组 成的 集 合 不 构 成 向 量 空 间 。
对 向 量 均不 平 行 于,但 。 因 此 中 与向 量 不 平 行 的 全 体 向 量 所 组 成 的 集 合 对 加 法不 封 闭,故 所例 5.
给 向 量 集 合 不 构 成 向 量 空 间例 6,证明与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系．
分析 要证明某一向量组是方程组 的基础解系，需要证明三个结论,
(1)该组向量都是方程组的解；
(2)该组向量线性无关；
(3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示．
AX O
四、基础解系的证法
1 2
1 2 1 2
,,.,,,
,,.,,,,,.,,,
t
t t
η A X Oη η
a a a η η η
设 是 方 程证 明,组 的 一 个 基 础 解系,是 与 等 价 的 线 性 无 关 的 向 量
1 2
12
12
.
,,...,
( 1,2,...,)
,,...,
,,...,
i
t
t
t
tn
it
a η η
η
a a a A X O
a a a η
组,因 为 等 价 的 线 性 无 关 的 向 量 组 所 含 向 量 个 数 是相 同 的,所 以 这 两 个 向 量 组 所 含 向 量 个 数 相 等,即由 向 量 组 的 等 价 关 系 易 知,可 以 表 示 成的 线 性 组 合,而 解 的 线 性 组 合 仍 然 是 原方 程 组 的 解,故 都 是 的 解 ；
由 题 设 知,线 性 无 关 。 设 为 方 程 组
1 2
1 1 22
1 2 1 2
,,...,,
,,...,,,...,
,,...,,,...,
,
t
tt
tt
A X = O
η η η η
η a a a ηη η
a a a a a a
A X = O
的 任 一 解,则 可 由 线 性 表 示 由 向 量 组 的 等价 性,均 可 由 线 性 表 示,故 也 可由 线 性 表 示,故 由 定 义 知,也 是方 程 组 的 一 个 基 础 解 系
1
1
1
0
,
,,.,
( 1 ),,,;
( 2),,,
1.
( 3 ),
1,1.
( 1
)
nr
nr
nr
nr
X
nr
k
A X = bξ
η η
η ηξ
A X = bη ηξ ξ ξ
A X = b
L
L
L
设 是 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 一 个 解是 其 导 出 组 的 一 个 基 础 解 系 证 明线 性 无 关是 方 程 组 的个 线 性 无 关 的 解方 程 组 的 任 一 解 都 可 以 表 示 为 这个 解 的 线 性 组 合 而 且 组 合 系 数 之 和 为证 明,令例 7.
1 1
0
,( )
0.
nr nrkk
k
0η ηξ L
其 中 必 有五、解向量的证法
1
1
00
12
00
12
12
12
,..
,,...,,
,,
,
,0,0 ( ),
,..,
,,...,,
nr
nr
nr
nr
nr
nr
kk
kk
kk
k k k
η ηξ
A X = 0η η η
A X = 0
A X = bξ
0η η η
A X = 0η η η
否 则,有由 于 是 齐 次 方 程 组 的 解故 等 式 右 边 为 其 线 性 组 合 必 是 的 解而 等 式 左 边 是 非 齐 次 方 程 组 的 解矛 盾 所 以 将 代 入 式 则 有因 为 是 的 基 础 解 系
12
12
12
,,...,,
,.,0
,,,...,.
nr
nr
nr
k k k
η η η
η η ηξ
所 以线 性 无 关 故 有于 是 线 性 无 关
01
1
0 1 1
1
12
0 1 2
1
( 2) ( 1,2,...,)
,.
( ),.,( ),
(,.,),
( 1 ),,,...,,
..,0
i
nr
nr
n r n r
nr
nr
nr
i n r
k k k
k k k k k
k k k k
k
ηξ
A X = b
0η ηξ ξ ξ
0η ηξ
η η ηξ
L
由 线 性 方 程 组 解 的 性 质 知都 是 的 解 再 证 它 们 线 性 无 关令则由 的 证 明 知 线 性 无 关 所 以
2
0 1 2
1
0
0
,..............
0
,..,0,
,,...,.
nr
nr
nr
k
k
k k k k
η ηξ ξ ξ
解 之 得故 线 性 无 关
12 12
1 1
11 1
1 0 0 1
( 3 ),
...
( ),.,( )
( 1,.,) ( ),.,( )
1,..,..,1,
nr nr
nr nr
n r n r nr
n r n r
X
t t t
tt
t t t t
t t t t t t
X A X = b
X η η ηξ
η ηξ ξ ξ ξ ξ
η ηξ ξ ξ
A X = b X
设 为 方 程 组 的 任 一 解 则 可 表 为令 则故 的 任 一 解 都
01 1
01
( ),.,( )
..,1.
nr nr
nr
t t t
t t t
X η ηξ ξ ξ
可 以 表 示 为且注意 (1)本例是对非齐次线性方程组 的解的结构作进一步的分析和讨论，即非齐次线性方程组一定存在着 个线性无关的解，题中
(2)的证明表明了它的存在性．
(2)对齐次线性方程组，当 时，有无穷多组解，其中任一解可由其基础解系线性表示．
(3)对非齐次线性方程组,有时也把如题中所给的 个解称为 的基础解系，
所不同的是它的线性组合只有当线性组合系数之和为 1时，才是方程组的解．
AX = b
1nr
()R r nA
AX = b
AX = b1nr
1．若 n 元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为 r,则当 r = n 时，方程组有唯一解；当 r< n
时，方程组有无穷多解．
2．齐次线性方程组
03
02
0
32
321
321
xkx
xxx
xkxx
只有零解，则 k 应满足的条件是,
55493
123
2362
3233
2
06865
035322
02463
1
54321
54321
4321
54321
54321
54321
54321
xxxxx
xxxxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
3．求解下列线性方程组
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4.,,
3
2 4
4
ab
x ax x
x ax x
x x bx
为 何 值 时 线 性 方 程 组有 唯 一 解,无 解 或 无 穷 多 解？ 在 有 无 穷 多解 时,求 其 通 解 。
的通解为则设 0,
111
111
111
,4
AXA
件是有解的充要条线性方程组
515
454
343
232
121
,5
axx
axx
axx
axx
axx
TT
1 2
TT
3 4
1 2 3 4
12
33
5 13
33
10 23
33
1,2,1,0,5,4,2,3,0
1,0,1,,1,0,2,1,
.
2 4 1 1
1 2 0 0
0 3 1 2
5 0 1
1 2 0 01 2 0 0
010 8 1 1
000 3 1 2
0 10 1 00
kk
k
k k
α α
α α
A α α α α
设则 时,
线 相 关解性
～
,设
～
15
39
3 10 23
5 13
39 130 115
k
kk
即六、综合练习
TT
1 2
TT
3 4
1 2 3 4
2,2,1,3,0,1,2,0,2
0,5,3,4,1,3,,0,
,
2 1 0 1
1 2 5 3
3 0 3
0 2 4 0
1 2 5 3 1 2 5 3
0 5 10 5 0 1 2 0
0 6 12 9
0 2 4 0
t
t
t
t
α α
α α
A α α α α
设则时,线 性 无 关解,设
～ ～
0 0 0 5
0 0 0 9
t
t
无 论 为 何 值,该 向 量 组 线 性 相 关 。
2
0000
0000
3210
4321
1111
1111
1111
4321
7654
6543
5432
4321
,7,6,5,4,6,5,4,3
,5,4,3,2,4,3,2,1,3
4 3 2 1
T
4
T
3
T
2
T
1
该向量组的秩是～
～解：设秩是则该向量组的已知向量组
ααααA
αα
αα
1 2 1 2
4.,,,,,
,
1 0 1 0 0
1 1 0 0 0
5,?0 1 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 1 1
1 0 1 0 0 1 0 1 0 0
1 1 0 0 0 0 1 1 0 0
()0 1 1 0 0 0 0 2 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0 1 0
0 1 0 1 1 0 0 0 0 1
n
s
n
sn
R
R
ε ε ε α α
α
AA
A
L
L
Q
维 单 位 向 量 组 均 可 由 向 量 组线 性 表 出,则 向 量 个 数已 知,则 秩解,～ 5
TT
1 2
T
1 2
6,0 1,0,2,0,1,1
( ) 1 (,,)
2 0 2
( 2,1,1 )
0
1
7,2,1,2,3,,1
3
8,1,2,3,4,2
R a b c
a c a c
b c b c
R
AX η η
AA
A
α β A α β A
α α
方 程 组 以 为 其基 础 解 系,则 该 方 程 的 系 数 矩 阵 为解,由 题 意 可 得,,故 设所 以 有,
设 则 秩向 量 组
TT
3
T
4 1 2
3 2 1 4 2 1
,3,4,5,3,4,5,6
4,5,6,7
2,3 2
α
α α α
α α α α α α
的 一 个 极 大 无 关 组 是,和且
1 2 3 1
2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
9,2 3 4,5,8,1,2,
2,1,4,3,3,2,5,4,.
11
( 2 3 ) ( 0 4,8,8 )
44
( 0,1,2,2)
10,,2,1,2,,0,1,1,1
,,,
tt
t
α α α β 0 α
α α β
β α α α
α α α
α α α
已 知 其 中求解,,
已 知 向 量 组试 问 当 为 何 值 时 向 量 组 线 性 相 关
TTT
1 1 1
,
2 1 1 0 1
(,,) 2 1 0 3
1 0 1 0 2 1
1 0 1
0 5
0 3
0 0 5
t
tt
tt
t or t
t
t
A α α α
线 性无 关解,设 ～
当 时,线 性 相 关
～
否 则 线 性 无 关
1 2
3 1 2
3
T T T T T T
1 2 3 1 2 3
11,,1,1,0,0,0,1,1,0
0,0,1,1 1,,,1,2,1,1,2,
0,1,2,1,
,,,,
1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0
1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1
0 1 1 1 2 0 0 1
0 0 1 1 2 1 0 0 0
ab
ab
aa
b b a
α α
α β β
β
β β β α α α X
求 实 数 和 使 向 量 组与 向 量 组等 价解 法 一,设
～ 0
1 2 1
00
1 2 0 1 2 0
1
1 1 1 1 1 1 0
2
1 2 1 1 2 1
1
2
ab
ab
a a a
ab
X则 且所 以 当 时,两 向 量 组 等 价 。
1
2
3
1
2
3
1 1 0 0 1 0 0 1
0 1 1 0 0 1 0 1
0 0 1 1 0 0 1 1
1 1 1 1
2 1 1 2 0 1 2 1 2 0
0 1 2 1 0 1 2 1
11
0 1 2 1
0 0 4 2 1 2 1
a b a b
ab
ab
a b a
α
A α
α
β
B β
β
解 法 二,～
～
～
所 以
1 0 0 1
4 2 1 1 1
0 1 0 1
2 1 1 1
0 0 1 1
a b a
ab
B当 时,～
12.,,
de t ( ) 0.
,
( ),( )
( ) m in{ ( ),( ) } ( )
0
13.,,
m n n m m n
m n n m
m n R n R n
R R R R n m
m
n n s
R n n
AB
AB
AB
AB
A B A B A B
A B A B
AB
B
设 为 矩 阵 为 矩 阵 且试 证 明证 明,因 为 为 矩 阵 为 矩 阵又,所 以,
又又 是 阶 方 阵,故设 为 阶 矩 阵 是 矩 阵 且
,
1,2,.
s?
A B O A O A B B A E
证 明,
若 则 ； 若 则
1 2 3 1 2 3 4
1 2 3 5
1 2 3 5 4
1 2 3
1 2 2 3
3 1
14.,,,,,
,,,
3,4,:
,,,4.
15.,,,
,,
R R R
lm
l
m
α α α α α α α
α α α α
α α α α α
α α α
α α α α
α α
已 知 向 量 组 ⅰ ； ⅱ ；
ⅲ,如 果 各 向 量 组 的 秩 分 别为 ⅰ ⅱ ⅲ 试 证 明 向 量 组的 秩 为向 量 组 线 性 无 关,问 常 数满 足 什 么 条 件 时,向 量 组线 性 无 关？
1 1 2 2
12
,,,
,,
,
,
m
mm
m
k k k
k k k
L
L
L
线 性 相 关 与 线 性 无 关 的 概 念 都 是 针 对 一 个特 定 的 向 量 组 而 言 的,当 我 们 考虑 到 向 量 空 间 中 两 种 基 本 运 算 的 结 合 物 线 性组 合 时,其 结 果 为 向 量 空间 中 的 一 个 特 殊 向 量 — — 零 向 量,那 么,一 个自 然 的 问 题 是,是 否 存 在 一 组 不 全 为 零 的 数
,也 使 得 其 线 性 组 和 为 零 向 量？
答 案 只 有 两 种,存 在 或 不 存 在 这 样,也 就 自然 而 然 地 提 出 了 线 性 相 关 与 线 性 无 关 的 概 念,若存 在,则 称 该 向 量 组 线 性 相 关 ； 若 不 存 在,则 称一、向量组线性关系的判定
12
1 1 2 2
0
,
(
)
m
mm
k k k
k k k
O
L
L
该 向 量 组 线 性 无 关,所 谓 不 存 在,指 的 是 当 且 仅当时 才 有线 性 相 关 与 线 性 无 关 还 可 以 通 过 线 性 表 出 的概 念 来 体 现,即 看 其 中 有 无 某 个 向 量 不 是 任 意 一个 向 量,可 由 其 余 向 量 线 性 表 出？ 此 外,还 应 注意 到,线 性 相 关 与 线 性 无 关 是 一 对 排 中 对 立 的 概念,据 此,在 论 证 某 些 相关 性 问 题 时,我 们 往 往采 用 反 证 法 。
研 究 这 一 类 问 题,一 般 有 两 种 方 法 。
方 法 一,从 定 义 出 发
1 1 2 2
111 21
12 22 2
12
12
11 1 21 2 1
12 1 22 2 2
1 1 2 2
0
0
0
0
0
0
mm
m
m
m
nn mn
mm
mm
n n m n m
k k k
aaa
a a a
k k k
aa a
a k a k a k
a k a k a k
a k a k a k
α α α 0L
L
MM M M
L
L
LLLLL
L
令整 理 得 线 性 方 程 组
1 2
1 2
( * )
( * ),,,
( ),,,
,.
m
m
α α
α α α
α
L
L
若 线 性 方 程 组 只 有 唯 一 零 解,则线 性 无 关 ； 若 线 性 方 程 组 有 非 零 解 则线 性 相 关
1 2
1 2
1 2
1 2
,,,
(,,,) ( )
( ),,,( )
,,,
m
m
m
m
n
R
R m R m
α α α
A α α α A
A α α α A
α α α
L
L
L
L
方 法 二,利 用 矩 阵 秩 与 向 量 组 秩 之 间 的 关 系 判 定给 出 一 组 维 向 量,就 得 到 一 个相 应 的 矩 阵,首 先 求 出 ； 若
,则 线 性 无 关 ； 若,
则 线 性 相 关 。
1 2 3
1 0 1
2,2
1.
,0
3 5 2
α α α
研 究 下 列 向 量 组 的 线 性 性例 相 关
1 1 2 2 3 3
1 2 3
13
12
1 2 3
1 0 1 0
2 2 0 0
3 5 2 0
0
2 2 0 ( )
3 5 2 0
1 0 1
( ) 2 2 0 0
3 5 2
k k k
k k k
kk
kk
k k k
α α α O
Q
令即,
整 理 得,
线 性 方 程 组 的 系 数 行 列 式解,
1 2 3
1 2 3
1 2 3
( ),,
1 0 1
2,2,0
3 5 2
1 0 1
(,,) 2 2 0
3 5 2
1 0 1 1 0 1
2 2 0 0 2 2
3 5 2 0 0 0
( ) 2
~
R
α α α
α α α
A α α α
A
A
Q
初 等 行 变 换线 性 方 程 组 必 有 非 零 解,从 而线 性 相 关解 二,
。
矩 阵
1 2 3
3,,,α α α故 向 量 组 线 性 相 关,
1 2
12
12 1 2
1 2
12
12 1 2
,,,
,,,
,,( 2)
,,,,
,,,,
r
r
rr
r
r
r r
t t t
rt t t
k k k
k k k
α α α
β
α β α β α β
α α α
α α α
L
L
L
L
L
L
设 线 性 相 关,证 明,存 在 不全 为 零 的 数,使 对 任 何 向 量 都 有
，
线 性 相 关 。
因 为 线 性 相 关 所 以 存 在 不全 为 零 的例 2.
：
数 使证 明
1 1 2 2
12
0
2,,(,,,)
,,
rr
r
k x k x k x
r t t t
O
β
L
L
考 虑 线 性 方 程因 为 它 必 有 非 零 解 设 为 任 一 非零 解 则 对 任 意 向 量 都 有
12 1 2
1 1 2 2
1 1 2 2 1 2
12
12 1 2
( )
( ) ( )
( )
,,,:
,,.
r r
rr
rr r
r
rr
k k k
k t k t k t
k t k t
kt
k k k
t t t
α α α
β O
α β α β
α β O
α β α β α β
L
L
L
L
L
即由 不 全 为 零 得 知
,线 性 相 关
1 2 r
1 2 r
1 2 s 1
2 s
1 2 s
,,,,,
,,
.
,,,,,,,
( 1,2,,),,,,
i i i
k i i i k
r
r
r
ks?
α α α α
α α
α α α α α α
α α α α α
L
L
LL
LL
已 知 向 量 组 的 秩 是 证 明,
中 任 意 个 线 性 无 关 的 向 量 均 构 成 它 的一 个 最 大 线 性 无 关 组 。
不 失 一 般 性 设 是中 的 任 意 个 线 性 无 关 的 向 量,于 是 对 于 任 意 的
,向 量 组 线 性 相 关否 则 这例 3.
证 明,
向 量 组 的 秩
1 2 r
1 2 r
1 2 r
1 2 s
,,,,
,,,
,,,,,,
i i i k
i i i
i i i
r
α α α α
α α α
α α α α α α
L
L
LL
大 于 。
又 向 量 组 线 性 无 关 所 以 可 以由 线 性 表 出 。 由 定 义,这 就 证 明 了是 的 一 个 极 大 线 性 无 关 组求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的秩来求，这个矩阵是由这组向量为行（列）向量所排成的．
若矩阵 A经过初等行（列）变换化为矩阵 B,则
A 和 B 中任何对应的列（行）向量组都有相同的线性相关性．
如果向量组的向量以列（行）向量的形式给出，把向量作为矩阵的列（行），对矩阵作初等行（列）变换，这样，不仅可以求出向量组的秩，
而且可以求出最大线性无关组．
二、求向量组的秩
21
TT
1 2
T T T
3 5 5
1 2 3 4 5
( 1,1,0,0),( 1,2,1,1 ),
( 0,1,1,1 ),( 1,3,2,1 ),( 2,6,4,1 )
1 1 0 1 2
1 2 1 3 6
( )
0 1 1 2 4
0 1 1 1 1
1 1 0 1 2
0
1 1 2 4
0 1 1
~
rr
α α
α α α
A α α α α α
A
A
求 向 量 组的 秩设对 进 行 初 等 行 变 换 化 为 行 阶 梯 矩 阵 得,
例 4.
解,
32
42
( 1 )
1 1 0 1 2
0 1 1 2 4
2 4 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 0 0 0 3 5
~
rr
rr
43
1
3
2
3
5
3
1
3 1 2 5 1 2 43
1 0 1 01 1 0 1 2
0 1 1 00 1 1 2 4
0 0 0 3 5 0 0 0 1
0 0 0 0 0 00000
( ) ( ) 3
( 2 5 )
~~
rr
RR
B
AB
α α α α α α α
所 以 向 量 组 的 秩且,
判断向量的集合是否构成向量空间，需看集合是否对于加法和数乘两种运算封 闭,若封闭，则构成向量空间；否则，不构成向量空间．
三、向量空间的判定
3
3
1 2 1 2
3
12
( 0,0,1 )
( 0,0,1 )
( 0,,0),( 0,,1 ) ( 0),,
( 0,0,1 ) ( 0,0,1 )
( 0 0,)
,1
R
R
k k k
R
α α α α
α α
Q
判 断 中 与 向 量 不 平 行 的 全 体 向 量所 组 成 的 集 合 是 否 构 成 向 量 空 间？
解,中 与 向 量 不 平 行 的 全 体 向 量 所 组 成的 集 合 不 构 成 向 量 空 间 。
对 向 量 均不 平 行 于,但 。 因 此 中 与向 量 不 平 行 的 全 体 向 量 所 组 成 的 集 合 对 加 法不 封 闭,故 所例 5.
给 向 量 集 合 不 构 成 向 量 空 间例 6,证明与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系．
分析 要证明某一向量组是方程组 的基础解系，需要证明三个结论,
(1)该组向量都是方程组的解；
(2)该组向量线性无关；
(3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示．
AX O
四、基础解系的证法
1 2
1 2 1 2
,,.,,,
,,.,,,,,.,,,
t
t t
η A X Oη η
a a a η η η
设 是 方 程证 明,组 的 一 个 基 础 解系,是 与 等 价 的 线 性 无 关 的 向 量
1 2
12
12
.
,,...,
( 1,2,...,)
,,...,
,,...,
i
t
t
t
tn
it
a η η
η
a a a A X O
a a a η
组,因 为 等 价 的 线 性 无 关 的 向 量 组 所 含 向 量 个 数 是相 同 的,所 以 这 两 个 向 量 组 所 含 向 量 个 数 相 等,即由 向 量 组 的 等 价 关 系 易 知,可 以 表 示 成的 线 性 组 合,而 解 的 线 性 组 合 仍 然 是 原方 程 组 的 解,故 都 是 的 解 ；
由 题 设 知,线 性 无 关 。 设 为 方 程 组
1 2
1 1 22
1 2 1 2
,,...,,
,,...,,,...,
,,...,,,...,
,
t
tt
tt
A X = O
η η η η
η a a a ηη η
a a a a a a
A X = O
的 任 一 解,则 可 由 线 性 表 示 由 向 量 组 的 等价 性,均 可 由 线 性 表 示,故 也 可由 线 性 表 示,故 由 定 义 知,也 是方 程 组 的 一 个 基 础 解 系
1
1
1
0
,
,,.,
( 1 ),,,;
( 2),,,
1.
( 3 ),
1,1.
( 1
)
nr
nr
nr
nr
X
nr
k
A X = bξ
η η
η ηξ
A X = bη ηξ ξ ξ
A X = b
L
L
L
设 是 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 一 个 解是 其 导 出 组 的 一 个 基 础 解 系 证 明线 性 无 关是 方 程 组 的个 线 性 无 关 的 解方 程 组 的 任 一 解 都 可 以 表 示 为 这个 解 的 线 性 组 合 而 且 组 合 系 数 之 和 为证 明,令例 7.
1 1
0
,( )
0.
nr nrkk
k
0η ηξ L
其 中 必 有五、解向量的证法
1
1
00
12
00
12
12
12
,..
,,...,,
,,
,
,0,0 ( ),
,..,
,,...,,
nr
nr
nr
nr
nr
nr
kk
kk
kk
k k k
η ηξ
A X = 0η η η
A X = 0
A X = bξ
0η η η
A X = 0η η η
否 则,有由 于 是 齐 次 方 程 组 的 解故 等 式 右 边 为 其 线 性 组 合 必 是 的 解而 等 式 左 边 是 非 齐 次 方 程 组 的 解矛 盾 所 以 将 代 入 式 则 有因 为 是 的 基 础 解 系
12
12
12
,,...,,
,.,0
,,,...,.
nr
nr
nr
k k k
η η η
η η ηξ
所 以线 性 无 关 故 有于 是 线 性 无 关
01
1
0 1 1
1
12
0 1 2
1
( 2) ( 1,2,...,)
,.
( ),.,( ),
(,.,),
( 1 ),,,...,,
..,0
i
nr
nr
n r n r
nr
nr
nr
i n r
k k k
k k k k k
k k k k
k
ηξ
A X = b
0η ηξ ξ ξ
0η ηξ
η η ηξ
L
由 线 性 方 程 组 解 的 性 质 知都 是 的 解 再 证 它 们 线 性 无 关令则由 的 证 明 知 线 性 无 关 所 以
2
0 1 2
1
0
0
,..............
0
,..,0,
,,...,.
nr
nr
nr
k
k
k k k k
η ηξ ξ ξ
解 之 得故 线 性 无 关
12 12
1 1
11 1
1 0 0 1
( 3 ),
...
( ),.,( )
( 1,.,) ( ),.,( )
1,..,..,1,
nr nr
nr nr
n r n r nr
n r n r
X
t t t
tt
t t t t
t t t t t t
X A X = b
X η η ηξ
η ηξ ξ ξ ξ ξ
η ηξ ξ ξ
A X = b X
设 为 方 程 组 的 任 一 解 则 可 表 为令 则故 的 任 一 解 都
01 1
01
( ),.,( )
..,1.
nr nr
nr
t t t
t t t
X η ηξ ξ ξ
可 以 表 示 为且注意 (1)本例是对非齐次线性方程组 的解的结构作进一步的分析和讨论，即非齐次线性方程组一定存在着 个线性无关的解，题中
(2)的证明表明了它的存在性．
(2)对齐次线性方程组，当 时，有无穷多组解，其中任一解可由其基础解系线性表示．
(3)对非齐次线性方程组,有时也把如题中所给的 个解称为 的基础解系，
所不同的是它的线性组合只有当线性组合系数之和为 1时，才是方程组的解．
AX = b
1nr
()R r nA
AX = b
AX = b1nr
1．若 n 元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为 r,则当 r = n 时，方程组有唯一解；当 r< n
时，方程组有无穷多解．
2．齐次线性方程组
03
02
0
32
321
321
xkx
xxx
xkxx
只有零解，则 k 应满足的条件是,
55493
123
2362
3233
2
06865
035322
02463
1
54321
54321
4321
54321
54321
54321
54321
xxxxx
xxxxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
3．求解下列线性方程组
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4.,,
3
2 4
4
ab
x ax x
x ax x
x x bx
为 何 值 时 线 性 方 程 组有 唯 一 解,无 解 或 无 穷 多 解？ 在 有 无 穷 多解 时,求 其 通 解 。
的通解为则设 0,
111
111
111
,4
AXA
件是有解的充要条线性方程组
515
454
343
232
121
,5
axx
axx
axx
axx
axx
TT
1 2
TT
3 4
1 2 3 4
12
33
5 13
33
10 23
33
1,2,1,0,5,4,2,3,0
1,0,1,,1,0,2,1,
.
2 4 1 1
1 2 0 0
0 3 1 2
5 0 1
1 2 0 01 2 0 0
010 8 1 1
000 3 1 2
0 10 1 00
kk
k
k k
α α
α α
A α α α α
设则 时,
线 相 关解性
～
,设
～
15
39
3 10 23
5 13
39 130 115
k
kk
即六、综合练习
TT
1 2
TT
3 4
1 2 3 4
2,2,1,3,0,1,2,0,2
0,5,3,4,1,3,,0,
,
2 1 0 1
1 2 5 3
3 0 3
0 2 4 0
1 2 5 3 1 2 5 3
0 5 10 5 0 1 2 0
0 6 12 9
0 2 4 0
t
t
t
t
α α
α α
A α α α α
设则时,线 性 无 关解,设
～ ～
0 0 0 5
0 0 0 9
t
t
无 论 为 何 值,该 向 量 组 线 性 相 关 。
2
0000
0000
3210
4321
1111
1111
1111
4321
7654
6543
5432
4321
,7,6,5,4,6,5,4,3
,5,4,3,2,4,3,2,1,3
4 3 2 1
T
4
T
3
T
2
T
1
该向量组的秩是～
～解：设秩是则该向量组的已知向量组
ααααA
αα
αα
1 2 1 2
4.,,,,,
,
1 0 1 0 0
1 1 0 0 0
5,?0 1 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 1 1
1 0 1 0 0 1 0 1 0 0
1 1 0 0 0 0 1 1 0 0
()0 1 1 0 0 0 0 2 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0 1 0
0 1 0 1 1 0 0 0 0 1
n
s
n
sn
R
R
ε ε ε α α
α
AA
A
L
L
Q
维 单 位 向 量 组 均 可 由 向 量 组线 性 表 出,则 向 量 个 数已 知,则 秩解,～ 5
TT
1 2
T
1 2
6,0 1,0,2,0,1,1
( ) 1 (,,)
2 0 2
( 2,1,1 )
0
1
7,2,1,2,3,,1
3
8,1,2,3,4,2
R a b c
a c a c
b c b c
R
AX η η
AA
A
α β A α β A
α α
方 程 组 以 为 其基 础 解 系,则 该 方 程 的 系 数 矩 阵 为解,由 题 意 可 得,,故 设所 以 有,
设 则 秩向 量 组
TT
3
T
4 1 2
3 2 1 4 2 1
,3,4,5,3,4,5,6
4,5,6,7
2,3 2
α
α α α
α α α α α α
的 一 个 极 大 无 关 组 是,和且
1 2 3 1
2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
9,2 3 4,5,8,1,2,
2,1,4,3,3,2,5,4,.
11
( 2 3 ) ( 0 4,8,8 )
44
( 0,1,2,2)
10,,2,1,2,,0,1,1,1
,,,
tt
t
α α α β 0 α
α α β
β α α α
α α α
α α α
已 知 其 中求解,,
已 知 向 量 组试 问 当 为 何 值 时 向 量 组 线 性 相 关
TTT
1 1 1
,
2 1 1 0 1
(,,) 2 1 0 3
1 0 1 0 2 1
1 0 1
0 5
0 3
0 0 5
t
tt
tt
t or t
t
t
A α α α
线 性无 关解,设 ～
当 时,线 性 相 关
～
否 则 线 性 无 关
1 2
3 1 2
3
T T T T T T
1 2 3 1 2 3
11,,1,1,0,0,0,1,1,0
0,0,1,1 1,,,1,2,1,1,2,
0,1,2,1,
,,,,
1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0
1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1
0 1 1 1 2 0 0 1
0 0 1 1 2 1 0 0 0
ab
ab
aa
b b a
α α
α β β
β
β β β α α α X
求 实 数 和 使 向 量 组与 向 量 组等 价解 法 一,设
～ 0
1 2 1
00
1 2 0 1 2 0
1
1 1 1 1 1 1 0
2
1 2 1 1 2 1
1
2
ab
ab
a a a
ab
X则 且所 以 当 时,两 向 量 组 等 价 。
1
2
3
1
2
3
1 1 0 0 1 0 0 1
0 1 1 0 0 1 0 1
0 0 1 1 0 0 1 1
1 1 1 1
2 1 1 2 0 1 2 1 2 0
0 1 2 1 0 1 2 1
11
0 1 2 1
0 0 4 2 1 2 1
a b a b
ab
ab
a b a
α
A α
α
β
B β
β
解 法 二,～
～
～
所 以
1 0 0 1
4 2 1 1 1
0 1 0 1
2 1 1 1
0 0 1 1
a b a
ab
B当 时,～
12.,,
de t ( ) 0.
,
( ),( )
( ) m in{ ( ),( ) } ( )
0
13.,,
m n n m m n
m n n m
m n R n R n
R R R R n m
m
n n s
R n n
AB
AB
AB
AB
A B A B A B
A B A B
AB
B
设 为 矩 阵 为 矩 阵 且试 证 明证 明,因 为 为 矩 阵 为 矩 阵又,所 以,
又又 是 阶 方 阵,故设 为 阶 矩 阵 是 矩 阵 且
,
1,2,.
s?
A B O A O A B B A E
证 明,
若 则 ； 若 则
1 2 3 1 2 3 4
1 2 3 5
1 2 3 5 4
1 2 3
1 2 2 3
3 1
14.,,,,,
,,,
3,4,:
,,,4.
15.,,,
,,
R R R
lm
l
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α α α α α α α
α α α α
α α α α α
α α α
α α α α
α α
已 知 向 量 组 ⅰ ； ⅱ ；
ⅲ,如 果 各 向 量 组 的 秩 分 别为 ⅰ ⅱ ⅲ 试 证 明 向 量 组的 秩 为向 量 组 线 性 无 关,问 常 数满 足 什 么 条 件 时,向 量 组线 性 无 关？
