第七章 线性空间与线性变换本章主要讨论线性空间及线性变换的的一些基本概念与基本定理，在此基础上使大家能利用这些基本概念与定理解决相关问题。
§ 7.1 线性空间的定义与性质
§ 7.2 线性空间的基、维数与坐标
§ 7.3 基变换与坐标变换
§ 7.4 线性变换
§ 7.5 线性变换的矩阵表示第一节 线性空间的定义与性质线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广．
线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题．
一、线性空间的定义定义 1.设 V 是一个非空集合,R 为实数域．如果对于任意两个元素 α,β∈ V，总有唯一的一个元素 γ ∈ V与之对应，称为 α与 β的和，记作：
γ =α+β
若对于任一数 λ ∈ R 与任一元素 α，总有唯一的一个元素 δ ∈ V与之对应，称为 λ 与 α
的积，记作 δ=λα
如果上述定义的两种运算满足以下八条运算规律，那么 V 就称为数域 R 上的向量空间（或线性空间）．
( 1 )
( 2) ( ) ( )
( 3 )
( 4)
( 5 ) 1
( 6) ( ) ( )
( 7 ) ( )
( 8 ) ( )
λ μ
α β γ VR
α β β α
α β γ α β γ
0V α V α 0 α
α V β V α β 0
α α
α α
α α α
α β α β
设,,,,
,对,都 有
，,都 有说明,
1.凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为线性运算．
2.向量空间中的向量不一定是有序数组．
3.判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间,
线性空间的判定方法,
(1)一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．
(2)一个集合，如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律．
.
,
1
.
mn
m n m n m n m n m n
mn
mn
R
A B C A D
R
Q
实 数 域 上 的 全 体 矩 阵,对 于矩 阵 的 加 法 和 数 乘 运 算 构 成 实 数 域 上的 线 性 空 间,记 作是 一 个例线 性 空 间
1
11
0 1 1 0
[ ]
[ ],..
|,,...,,
2.
n
nn
n n n
nn
n
Px
P x p a x a x a x
a a a a a
R
次 数 不 超 过 的 多 项 式 的 全 体 记 作
,即,
对 于 通 常 的 多 项 式 加 法,数 乘 多 项 式的 乘 法 构 成 实 数 域 上 的 线 性 空 间 。
通 常 的 多 项 式 加 法,数 乘 多 项 式 的 乘法 满 足 线 性例运 算 规 律 。
1
1 1 0
1
1 1 0
1
11
1 1 0 0
1
1 1 0
1
10
(,.,)
(,.,)
( ) ( )
,.,( ) ( )
(,.,)
...
[ ]
nn
nn
nn
nn
nn
n n n n
nn
nn
nn
nn
n
a x a x a x a
b x b x b x b
a b x a b x
a b x a b
a x a x a x a
a x a x a
Px
对 加 法 和 数 乘 都 封 闭 。
1
11
0 1 1 0
1
[ ],..
|,,...,,,0 }
0 0 0,.,0 0 [ ]
3.
[]
nn
n n n
n n n
nn
n
n
n
Q x p a x a x a x
a a a a a R a
p x x x Q x
Qx
Q
次 多 项 式 的 全 体且对 于 通 常 的 多 项 式 加 法 和 乘 数 运 算 不 构成 向 量 空 间 。
对 多 项 式 的 加 法 与 数例乘 运 算 不 封 闭 。
1 2 1 1 2 2
1 1 2 2
1 2 1 2
1 1 1 1 1
[ ] { sin( ),}
sin( ) sin( )
( sin c os ) ( sin c os )
( ) sin ( ) c os sin( ) [ ]
sin( ) ( ) sin
.
)
4
(
S x s A x B A B R
s s A x B A x B
a x b x a x b x
a a x b b x A x B S x
s A x B A x B
正 弦 函 数 的 集 合对 于 通 常 的 函 数 及 数 乘 函 数 的例乘 构 成 线性 空 间 。
[ ]
[ ]
Sx
Sx? 是 一 线 性 空 间 。
[,],5 ab在 区 间 上 个 体 实 连 续 函 数,
对 函 数 的 加 法 与 数 和 函 数 的 数 量 乘 法,
构 成 实 数 域 上例的 线 性 空 间 。
T
1 2 1 2
T
12
(,,...,) |,,...,
,,...,( 0,0,.,0)
6.
1
n
nn
n
n
n
n
S x x x x x x
x x x
S
S
XR
X0Q
个 有 序 实 数 组 成 的 数 组 的 全 体对 于 通 常 的 有 序 数 组 的 加 法 及 如 下 定 义 的乘 法,,,
不 构 成 线 性 空 间 。
虽 然 对 运 算 封 闭,但不 满 足 第 五 条 运 算 律 。 由 于 所 定 义 的 不是 线 性 运 算,所 以 不 是 线例性 空 间 。
,
7
(,,)
.
R
a b ab a a a b R R
R
a b R a b ab R
a R R a a R
正 实 数 的 全 体,记 作 在 其 中 定义 加 法 及 数 乘 运 算 为验 证,对 上 述 加 法 及 数 乘例运 算 构 成 线性 空 间 。
证 明,,
，
对 定 义 的 加 法 与 数 乘 运 算 封 闭 。
1 1 1
( 1 )
( 2) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( 3 ) 1
1 1
( 4) 1
a b ab ba b a
a b c ab c ab c a bc
a bc a a b
R a R
a a a
a R a R a a aa
下 面 来 证 明 上 述 两 种 运 算 满 足 八 条 运 算规 律,
中 存 在 零 元 素,对 于 任 意有有
1
( 5) 1
( 6)
( ) ( ) ( )
( )
( 7 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( 8 ) ( )
()
a a a
R a R
a a a a
a
a b a b ab a b
a b a b
a a a a
a a a
、,,
() a
二、线性空间的性质
12
12
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2 2 1 2
1.,
,
2,
,
( )
0 0 V
α V α 0 α α 0 α
0 0 V 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
α β γ
α β 0 α γ 0
γ γ 0 γ α β γ α β 0 β β
零 元 素 是 唯 一 的假 设 是 线 性 空 间 中 的 两 个 零 元 素,
则 对 于,有,,
由 于,,
负 元 素 也 是 唯 一 的 。
设 有 两 个 负 元 素证 明,
证 明 与,则,：
3,0 ( 1 ),
0 ( 1 0) 1
0
( 1) ( 1 1) 0
( 1)
[ ( 1 ) ] ( )
[ ( ) ] 0
Q
Q
α 0 α α 00
α α α α α
α 0
α α α α 0
α α
0 α α α α
α α 0
证； ；
明,
4,0,
11
0 ( )
11
( ) ( ) 1
0
α 0 α 0
α 00
α α α α
α 0
α 0
如 果,则 或假 设又所 以同 理 可 证,若,则证 明,
定义 2:设 V 是一个线性空间,L 是 V 的一个非空子集，如果 L 对于 V 中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间，则称 L 为 V 的子空间,
定理,线性空间 V的非空子集 L 构成子空间的充分必要条件是,L 对于 V 中的线性运算封闭．
三、线性空间的子空间
23
1
2
11
1
10
( 1 ),,
0
00
( 2)
0 0,,
( 1 )
1 0 0 2 0 0
,
0 0 0 0 0 0
R
b
W b c d R
cd
a b a b c
W
c a b c R
WW
W
A B A B
的 下 列 子 集 是 否 构 成 子 空 间？
为 什 么？
不 构 成 子 空 间 。 因 为 对有对 矩 阵 的 加 法解,
不 封 闭 。
例 8.
2 2 2
1 1 2 2
12
1 1 1 2 2 2
1 2 1 2
12
( 2)
000
000
00
0 0 0 0
0,0
0
00
W W W
a b a b
cc
a b c a b c
a a b b
cc
Q AB
AB
AB
构 成 子 空 间
,非 空,对 于,,
设且 有于 是
1 1 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2 2
11
1
1 1 1 1 1 1
2
22
0,0
0
0
00
( ) 0
a b c a b c
a a b b c c W
kR
k a k b
k
kc
k a k b k c k a b c
kW
WW
AB
A
A
又
，
另 一 方 面,对 于,
故 又 有即,对 矩 阵 的 加 法 与 数 乘 是 封 闭 的,是子 空 间 。
9,n
R
Ax B
R
实 数 域 上 的 元 非 齐 次 线 性 方 程 组的 所 有 解 向 量,对 于 通 常 的 向 量 加 法 和 数 量 乘法,是 否 构 成 上 的 一 个 线 性 空 间 为 什 么例第二节 线性空间的基、维数与坐标已知：在 R n 中，线性无关的向量组最多由 n
个向量组成，而任意 n +1 个向量都是线性相关的。
问题,线性空间的一个重要特征，在线性空间
V 中，最多能有多少线性无关的向量？
一、线性空间的基与维数
1 2
1 2
,,..,,:
( 1 ),,
3
,..,
n
n
nV
α α α
α α α
在 线 性 空 间 中,如 果 存 在 个 元定 素满 足线义,
性 无 关 ；
1 2
1 2
1 2
( 2),,...,
,,...,
,
,,...,
n
n
n
nn
n
nn
V α α α α
α α α V
V
V
V
α α α V
中 任 一 元 素 都 可 被 线 性 表示 ； 那 么 就 称 为 线 性 空 间 的 一 个基,称 为 线 性 的 维 数 。
维 数 为 的 线 性 空 间 称 为 维 线 性 空 间,记为当 一 个 线 性 空 间 中 存 在 任 意 多 个 线 性 无关 的 向 量 时,称 该 线 性 空 间 是 无 限 维 的 。
若 为 线 性 空 间 的 一 个 基,则
1 1 2 2 1 2
...,,...,
n n n n
x x x x x xV α α α α R
二、元素在给定基下的坐标
1 2
1
2
1 1 2 2
1 2 1 2
T
1 2
,,...,
,
,...,,
,..
,,...,,,...,
(,,)
4
...,
nn
n
n
nn
n
nn
x
xx
x x x
x x x
x x x
α α α V
α V
α α α α
α α α
α α
设 是 线 性 空 间 的 一 个 基,
对 于 任 一 元 素 总 有 且 仅 有 一 组 有 序 数,
使有 序 数 组 称 为 元 素 在这 个 基 下 的 坐 标,并 记 为定 义,
2
4 1 2 3
34
45
4 3 2
4 3 2 1 0
0 1 1 2 2 3 3 4 4 5
T
0 1 2 3 4
1
[ ],1,,,
,
4
(,,,,)
1
1
0
P x p p x p x
p x p x
p a x a x a x a x a
p a p a p a p a p a p
p
a a a a a
q
在 线 性 空 间 中就 是 它 的 一 个 基 。
任 何 一 个 不 超 过 次 的 多 项 式可 表 示 为因 此 在 这 个 基 下 的 坐 标 为,
若 取例另 一 基
.
23
2 3 4
4
5
,1,2,,
,
q x q x q x
qx
则
0 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5
T
0 1 1 2 3 4
1
()
2
1
(,,,,)
2
p a a q a q a q a q a q
p
a a a a a a
V
因 此 在 这 个 基 与 的 坐 标 为,
,线 性 空 间 的 任 一 元 素 在 不 同 基 下所 对 的 坐 标 一 般 不 同,一 个 元 素 在 一 个 基下 对 应 的 坐 标 是 唯 一 的 。
注 意
1
21
23
( 1 )
21
1 2 3
[ ] 1
( ) ( ),.,( )
T a y l or
( ) ( ) '( ) ( )
''( ) ( )
,.,( ) ( )
2 ! ( 1 ) !
( ),,,...,
n
n
n
n
n
n
Rx
x a x a x a
f x f a f a x a
f a af
x a x a
n
fx
ε
ε ε ε
ε ε ε ε
例 11,在 线 性 空 间 中,取 一 组 基,
、,,,由公 式 可 知,
因 此,在 基 下 的 坐 标 是,
( 1 )
''( ) ( )
( ( ),( ),,...,)
2 ! ( 1 ) !
n
f a af
f a f a
n
11 12
21 22
12
1 11 2 12 3 21 4 22
34
1 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
.
1 0 0 1
+
EE
EE
kk
k k k k
kk
V
R
V
E E E E
所 有 二 阶 实 矩 阵 组 成 的 集 合,对 于 矩 阵有 加 法 和 数 量 乘 法,构 成 实 数 域 上 的 一 个线 性 空 间,对 于 中 的 矩 阵有
12
例
1 11 2 12 3 21 4 22
1 2 3 4
11 12 21 22
11 12
21 22
11 11 12 12 21 21 22 22
11 12 21 22
11 12
00
O
00
0
(,
k k k k
k k k k
aa
aa
a a a a
aa
E E E E
E E E E
AV
A E E E E
E E E E V A
、,,线 性 无 关 。 对 于因 此,,,为 的 一 组 基 ； 在 该 组基 下 的 坐 标 为,
T
21 22
,,),aa
12
,,...,
,
,
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nα α α V
V
R
V R
RV
V
VR
R
设 是 维 线 性 空 间 的 一 组基 在 这 组 基 下 中 的 每 个 向 量 都 有 唯 一 确定 的 坐 标 而 向 量 的 坐 标 可 以 看 作 中 的 元 素,
因 此 向 量 与 它 的 坐 标 之 间 的 对 应 就 是 到的 一 个 映 射 。
由 于 中 的 每 个 元 素 都 有 中 的 向 量 与 之对 应,同 时 中 不 同 的 向 量 的 坐 标 不 同,因 而对 应 中 的 不 同 元 素 。 我 们 称 这 样 的 映 射 是与 的 一 个 一 一 对 应 的 映 射 。
三、线性空间的同构
1 1 2 2
1 1 2 2
1 2
TT
1 2 1 2
1 1 1 2 2 2
,..
,..
,,...,
(,,...,) (,,...,)
( ) + ( ),.,( )
nn
nn
n
nn
n n n
a a a
b b b
a a a b b b
a b a b a b
α α α α
β α α α
α β V α α α
α β α α α
这 个 对 应 的 重 要 性 表 现 在 它 与 运 算 的 关 系 上 。
设即 向 量,在 基 下 的 坐 标 分别 为 和,则
1 1 2 2
TT
1 1 2 2 1 2
,..
(,,...,) (,,...,)
nn
n n n
k k a k a k a
k
a b a b a b k a k a k a
α α α α
α β α于 是 和 的 坐 标 分 别 为和
,,
,
.
n
n
V
R
上 式 表 明 在 向 量 用 坐 标 表 示 后 它 们 的 运算 就 归 结 为 坐 标 的 运 算 因 而 线 性 空 间 的 讨论 就 归 结 为 的 讨 论 。
下 面 更 确 切 地 说 明 这 一 点定义 5.设 U,V 是两个线性空间，如果它们的元素之间有一一对应关系,且这个对应关系保持线性组合的对应，那末就称线性空间 U 与 V 同构。
1 1 2 2
1 2
T
1 2
1 2
|,..
,,,...,
( 1 )
(,,..
13.
.,)
( 2) (,,...,
n
n n n
n
n
n
n
n
V x x
x x x x R
nR
VR
x x x
xx
α α α α
α
α
x
α
维 线 性 空 间与 维 向 量 空 间 同 构 。
因 为,中 的 元 素 与 中 的 元 素成 一 一 对 应 的 关 系 ；
例
TT
1 2
TT
1 2 1 2
T
1 2
) (,,...,)
(,,...,) (,,...,)
(,,...,)
nn
nn
n
x y y y
x x x y y y
k k x x x
β
α β
α
，
则,
结论：
１．数域 P上任意两个 n 维线性空间都同构。
２．同构的线性空间之间具有反身性、对称性与传递性。
３．同维数的线性空间必同构。
同构的意义在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间的元素是什么，其中的运算是如何定义的，
我们所关心的只是这些运算的代数性质。从这个意义上可以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数。
3
3 2 3 2
12
3 3 2
34
1 1 2 2 3 3 4 4
3 2 3 2
12
33
34
( ) 2 4 1 ( ) 2 3 9 1
( ) 6 5 ( ) 2 5 7 5
( 2 4 1 ) ( 2 3 9 1 )
14
( 6 5 )
.
(2
Px
f x x x x f x x x x
f x x x f x x x x
k f k f k f k f
k x x x k x x x
k x x k x
0
求 由 中 元 素生 成 的 子 空 间 的例解 令：
维 数 。
则,
2
1
2
3
4
5 7 5 )
1 2 1 2 0
2 3 0 5 0
4 9 6 7 0
1 1 5 5 0
xx
k
k
k
k
0
因 此
1 2 1 2
34
3 1 2
41
1 0 3 4
0 1 2 1
~
0 0 0 0
0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 ( ) 3 ( ) 2 ( )
( ) 4 ( )
f x f x f x f x
f x f x
f x f x f x
f x f x
A
A
设 该 齐 次 方 程 组 的 系 数 矩 阵 为,则因 此,,线 性 无 关,是,,
,所 生 成 子 空 间 的 基,该 子 空 间 的 维数 为,且 有,
2
()fx?
第三节 基变换与坐 标 变 换问题,在 n 维线性空间 V 中，任意 n 个线性无关的向量都可以作为 V 的一组基。对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的。
那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何改变呢？
一、基变换公式与过渡矩阵
1 2 1 2
1 11 1 2 1 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 2
,,...,,,...,
...
...
..................
...
n n n
nn
nn
n n n nn n
p p p
p p p
p p p
α α α β β β V
β α α α
β α α α
β α α α
设 及 是 线 性 空 间 的 两个 基,且 有此 公 式 称 为 基 变 换 公 式 。
1 11 1 2 1 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 2
11 21 111
2 12 22 2 2
12
...
...
...............
...
...
...
...,.....,..,..,..
...
nn
nn
n n n nn n
n
n
nnn n nn
p p p
p p p
p p p
p p p
p p p
p p p
β α α α
β α α α
β α α α
β α
β α
β α
由 于
1 2 1 2
11 12 1
21 22 2
12
1 2 1 2
1 2 1 2
(,,...,) (,,...,)
...
...
...,..,..,..
...
(,,...,) (,,...,)
,,...,,,...,
nn
n
n
n n nn
nn
n
n
P
p p p
p p p
P
p p p
P
P
P
β β β α α α
β β β α α α
α α α β β
β
其 中,
在 基 变 换 公 式中,矩 阵 称 为 由 基 到 基的 过 渡 矩 阵 。 过 渡 矩 阵 是 可 逆 矩 阵 。
12
T
1 2 1 2
T
1 2
1 2 1 2
TT
1 2 1 2
,,...,
(,,...,),,,...,
(,,...,)
(,,...,) (,,...,)
(,,...,) (,,...,
2.
)
nn
nn
n
nn
nn
x x x
y y y
P
x x x P y y y
V α α α α
β β β
β β β α α α
设 中 的 元 素 在 基 下 的 坐标 为 在 基 下 的 坐标 为,若 两 个 基 满 足,
则,
定 理
T 1 T
1 2 1 2
T
1 2 1 2
T
1 2 1 2
(,,...,) (,,...,)
(,,...,) (,,...,)
(,,...,) (,,...,)
nn
nn
nn
or y y y P x x x
x x x
y y y
α α α α
β β β
证 明,
二、坐标变换公式
1 2 1 2
T
1 2 1 2
T
1 2 1 2
T
1 2 1 2
T
1 2 1
(,,...,) (,,...,)
(,,...,) (,,...,)
(,,...,) (,,...,)
(,,...,) (,,...,)
(,,...,) (,
nn
nn
nn
nn
n
y y y
y y y
x x x
x x x y
β β β α α α P
β β β
α α α P
α α α
P
又 因 为即,
T
2
T 1 T
1 2 1 2
,...,)
(,,...,) (,,...,)
n
nn
yy
P
y y y x x x
P
由 于 矩 阵 可 逆,所 以
3
3 2 3 2
12
3 2 3 2
34
3 2 2
12
3 2 3 2
34
1 2 3 4 1 2 3 4
32
1 2 3 4
[ ]
2 1
2 1 1
2 1 2 2
2 2 3
15
2
.
,,,,,,
(,,,) (,
.
,
Px
x x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x
α α
α α
β β
β β
β β β β α α α α
α α α α
在 中 取 两 个 基及求 坐 标 变 换 公 式解 示,将 用 表例
32
1 2 3 4
,1 )
(,,,) (,,,1 ) x x x?
A
β β β β B 其 中
1
1 2 3 4 1 2 3 4
T 1 T
1 2 3 4 1 2 3 4
1
1 1 1 1 2 0 2 1
2 1 2 1 1 1 1 3
,
1 1 1 0 0 2 1 1
0 1 1 1 1 2 2 2
(,,,) (,,,)
( ) ( )
2 0 2 1 1 1 1 1
1 1 1 3 2
0 2 1 1
1 2 2 2
y y y y x x x x
AB
β β β β α α α α AB
BA
BA
BA
得坐 标 变 换 公 式 为,
用 矩 阵 的 初 等 行 变 换 求
1 2 1
1 1 1 0
0 1 1 1
1
11
22
33
44
1 0 0 0 0 1 1 1
0 1 0 0 1 1 1 0
~
0 0 1 0 0 0 0 1
0 0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1
1 1 0 0
0 0 0 1
1 1 1 1
yx
yx
yx
yx
E B A
所 以
1 2 1 2
2
12
1
2
12
1
11
22
.
1
1 0 1
1
0 1 1
2
,
12
1
12
11
33
1
221
2
33
VR
x
x
yx
yx
α α β β
α α α
α β β
设,及,
为 线 性 空 间 的 两 个 基,又 设 在 基下 的 坐 标 为,由 坐 标 变 换 公 式 可 知在 基,下 的 坐 标 为,
坐 标 变 换 的 几 何 意 义例 16.
1
12
2
1
1
1
2
2
121
1
2?
x
y
o?
12
1?
3 3 2
3
2
1 2 3 4
3 3 2
1 2 3 4
32
1 2 3 4 2 3 4
12
24
3
43
,,1,1,
2 3,
,,,
( ) ( 1 ) ( 1 )
( ) ( ) ( ) 1
0
0
.
0
0
17 x x x x x P x
xx
k k k k
k x k x x k x k x
k k x k x k k x k k
kk
kk
k
kk
0
0
证 明 是 的 一 个 基 并 求 多项 式 在 这 个 基 下 的 坐 标设 有 使例证 明,
即,
则 有
1
2
3
4
3 3 2
3
0
0
0
0
,,1,1
k
k
k
k
x x x x x P x
所 以,线 性 无 关,是 的 一 个 基 。
2 3 3 2
1 2 3 4
12 1
3 2
324
34 4
2T
2 3 ( ) ( 1 ) ( 1 )
0 0
1 0
12
3 2
2 3 ( 0 0 1 2)
x x a x a x x a x a x
aa a
a a
aaa
aa a
xx
又 令则故 在 这 个 基 下 的 坐 标 为第四节 线性变换
()
( ),( ),
5
TT
A B A
α B
β
AB
β α β α α A
设 有 两 个 非 空 集 合,,如 果 对 于 中任 一 元 素 按 照 一 定 规 则,总 有 中 一 个 确 定的 元 素 和 它 对 应,那 么,这 个 对 应 规 则 称 为从 集 合 到 集 合 的 变 换 或 映 射,记 作,
或定 义,
１,映射线性空间中向量之间的联系，是通过线性空间到线性空间的映射来实现的．
一、线性变换的概念
( )
()
( ) ( ) |
( ),,
TT
TT
T
T
TT
T
α A α β α β
β α α β
A
A
A β α α A
AB
设,,就 说 变 换 把 元 素 变 为,
称 为 在 变 换 下 的 象,称 为 在 变 换 下的 原 象,称 为 变 换 的 原 集,象 的 全 体 所 构 成的 集 合 称 为 象 集,记 作,即显 然,变 换 的 概 念 是 函 数 概 念 的 推 广
1 2 1 2 1 2
( 1),( ) ( ) ( )
( 2) (
6.
) ( )
nm
nm
n
n
nm
nm
T
T
T T T
k T k k T
T
VU
VU
V
VR
VU
设,分 别 是 实 数 域 上 的 维 和 维线 性 空 间,是 一 个 从 到 的 变 换,如 果 变换 满 足,
,有
，,有那 么,就 称 为 从 到 的 线 性 变义换定
。
( 1)
( 2),,
( ),
,
m n n
n
n
T A B
T T T
T?U V V
V
V
说 明,
线 性 变 换 就 是 保 持 线 性 运 算 性 质 的 变 换 ；
一 般 用 大 写 字 母 表 示 线 性 变 换,
或 表 示 在 变 换 下 的 象如 果,那 么 是 一 个 从 线 性 空 间到 其 自 身 的 线 性 变 换,称 为 线 性 空 间 中 的 线性 变 换 。
下 面 主 要 讨 论 线 性 空 间 中 的 线 性 变 换
3
32
3 2 1 0 3
32
3 2 1 0 3
22
3 2 1 3 2 1
32
3 3 2 2
[]
( 1)
[ ]
[ ]
3 2 3 2
( ) [ ( ) ( )
18
.
x
D
a x a x a x a x
b x b x b x b x
D a x a x a D b x b x b
D D a b x a b x
P
pP
qP
pq
pq
Q
在 线 性 空 间 中微 分 运 算 是 一 线 性 变 换例
1 1 0 0
2
3 3 2 2 1 1
22
3 2 1 3 2 1
( ) ( ) ]
3 ( ) 2( ) ( )
( 3 2 ) ( 3 2 )
a b x a b
a b x a b x a b
a x a x a b x b x b D D
pq
32
3 2 1 0
2
3 2 1
0
00
0
( ) [ ]
3 2
( 2) ( ),.
( )
( )
( 3) ( ) 1,
.
( ) 1
D k D k a x k a x k a x k a
k a x k a x k a k D
T a T
T a b T T
T k k a k T
TT
TT
p
p
p
p q p q
pp
p
p q p
如 果 那 么 也 是 一 个 线 性 变 换如 果 那 么 是 一 个 变 换,但 不 是一 个 线 性 变 换这 是 因 为 1 1 2
( )
T
T T T
q
p q p q所 以
c os si n
si n c os
,.
c os
si n
c os si n c os si n
si n c os si n c os
c os c os si n si n
c
1.
o
9
xx
T
yy
x O y T T
xr
yr
x x x y
T
y y x y
rr
r
由 关 系 式 确 定了 平 面 上 的 一 个 变 换 说 明 的 几 何 意 义
：解,记 则例
c os( )
s si n si n c os si n( )
r
rr
T
上 式 表 明,变 换 把 任 一 向 量 按 逆 时 针方 向 旋 转 角 。
()
( ),
( )
( )
.
20.
EE
E E E
E k k k E
V
V
V
线 性 空 间 中 的 恒 等 变 换 或 称 单 位 变 换
：,是 线 性 变 换这 是 因 为,恒 有所 以 恒 等 变 换 是 线 性 变 换例
O O ( )
O ( ) O O,O ( ) Okk
0
V
00
线 性 空 间 中 的 零 变 换,
是 线 性 变 换 。
这 是 因 为,恒 有所 以 零 变 换 是 线 性 变 换 。
例 21,?
32
1 2 3 1 2 3
3
1 2 3 1 2 3
2
1 2 3 1 2 3
2
1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
2
1 1 2
2 (,,) (,,0)
(,,) (,,)
(,,) (,,0)
(,,) (,,0)
( ) (,,)
[ ( )
2
,
,T T x x x x x x
T
a a a b b b
T T a a a a a a
T T b b b b b b
T T a b a b a b
a b a
R
R
在 中 定 义 变 换,
则 不 是 一 个 线 性 变 换 。
这 是 因 为,
例
3 2 3
22
1 2 3 1 2 3
,0]
(,,0) (,,0)
.
a b b
a a a b b b T T
T
所 以,不 是 线 性 变 换
1 1 2 2
1 1 2 2
1 2 1 2
1 2 1
2
1,( ) ( ) ( )
2.,..,
,..
3.,,...,,,...,
,,...,,
,...,
4,( ) (
)
mm
mm
mm
m
m
nn
T T T
k k k
T k T k T k T
T T T
T
TT
TT
00
VV
，
若 则若 线 性 相 关,则也 线 性 相 关 。 但 若 线 性 无 关,
不 一 定 线 性 无 关 。
线 性 变 换 的 象 集 是 一 线 性 空 间 的子 空 间 。 该 空 间 称 为 线 性 变 换
T 的 象 空 间 。
二、线性变换的性质
1 2 1 2
1 1 2 2
1 2 1 2
12
1 1 1
,( ),,
( ) ( )
( ) ( )
()
()
nn
n
n
nn
n n n
T
TT
TT
TT
k k T T k T
T
T
VV
V
V
VV
V V V
这 是 因 为 存 在使所 以 有由 于,又 由 上 面 的 证 明 可 知,
它 对 中 的 线 性 运 算 封 闭,是的 子 空 间 。
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 1
1
5,
,
,
( )
( )
Tn
nT
T
T
T
T T n
T
T
T
T
TT
T T T
T k k T
k
0
S V 0
VS
S 0 0
0
S0
S
S S V
SV
使 的 的 全 体是 的 子 空 间,称 为 线 性 变 换 的 核若,,则,
即 ； 又即因 此,对 线 性 运 算 封 闭,又,
是明故证,
n
的 子 空 间 。
11 12 1
21 22 2
12
1 2
T
1
...
...
(,,...,)
...,..,..,..
...
..,( )
( ) ( ),
,
n
n
n
n n nn
n
i i n i
n
n
a a a
a a a
A
a a a
a a T
TT
R y x
x A x x R
设 有 阶 矩 阵其 中,定 义 中 的 变 换为,,,则 为 线 性 变 换例 23
1 2
1 1 2 2
12
T
( ) ( )
( ) ( ) ( )
,,...,
( ) {,..
|,,...,}
n
n
n
n n n
T T T
T k k k k T
T
T x x
x x x x
T
a b R
a b A a b A a A b a b
a A a A a a
Ry
R
S A x 0
设,,则又 的 象 空 间 就 是 由 所 生 成 的 向量 空 间,
的 核 就 是 齐 次 方 程 组证的明解 空
：
.间
3
1 1 1
3
2 2 2
3 3 3
3
( )
( )
()
24.
a a a
a a a
a a a
x Oy
R
R
R
设 是 的 一 个 变 换,对 任 意
,定 义,
试 证 明 是 的 一 个 线 性 变 换,并 分 析 其 几何 意 义 。
证 明,略该 变 换 的 几 何 意 义 是,将 平 面 作 为 一 面 镜子,就例是 对 于 这 面 镜 子 反 射 所 成 的 象 。
这 个 变 换 也 。称 为 镜 面 变 换 或 反 射 变 换
第五节 线性变换的矩阵表示
11 11 1
21 22 2
12
1 2
T
12
...
...
(,,...,)
...,..,..,..
...
(,,...,)
( ) ( ) ( )
n
n
n
n n nn
n
i i i ni
n
n
a a a
a a a
a a a
a a a
TT
T
A
R
y x x A x x R
设 阶 矩 阵其 中,定 义 中 的 变 换为,
则 为 线 性 变 换 。
一、线性变换的矩阵表示式
12
11 12 1
21 22 2
11
12
11 12 1
21 22 2
12
,,...,
..,1
..,0
......,..,..,..
0
......
..,0
..,0
......,..,..,..
n
n
n
n n nn
n
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
e e e
Ae
Ae
L
L
设 为 单 位 向 量
1
n
12
( ) ( 1,2,...,)
( )
()
( ) ( 1,2,...,)
( ) [ (,,...,) ]
i i i
i
ii
n
T i n
T
T
T
T
T i n
TT
A e e
x A x
Ae
e
x e e e x
即,
因 此,当 一 个 线 性 变 换 有 关 系 式时,那 么 应 以 为 列 向 量 。
反 之,如 果 一 个 线 性 变 换 使那 么
1 1 2 2
1 1 2 2
12
(,.,)
( ) ( ),.,( )
( ( ),( ),...,( ) )
nn
nn
n
T x x x
x T x T x T
T T T
e e e
e e e
e e e x A x
11 12 1
21 22 2
12
12
12
( ) ( )
...
...
( ),( ),...,( )
...,..,..,..
...
,,...,
n
n
n
n
n
n n nn
n
T
T
a a a
a a a
T T T
a a a
R
x A x x R
A e e e
e e e
中 任 何 线 性 变 换,可 用 关 系 式表 示,其 中为 单 位 向 量,
综 上 所 述,可 知,
12
1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 2
1 2 1 2
,,...,
( ),..
( ),..
..............
( ),..
(,,...,) ( ),( )
7.
nn
n
nn
nn
n n n nn n
n
T
T
T a a a
T a a a
T a a a
T T T
VV定 设 是 线 性 空 间 中 的 线 性 变 换,在中 取 定 一 个 基,如 果 这 个 基 在 变 换下 的 象 为义
：
记,
,...,( )
n
T?
二、线性变换在给定基下的矩阵
1 2 1 2
11 12 1
21 22 2
12
12
12
(,,...,) (,,...,)
...
...
...,..,..,..
...
,,...,
( ),( ),...,( )
nn
n
n
n n nn
n
n
T
a a a
a a a
a a a
T
T T T
A
AA
A
那 么 上 式 可 表 示 为,
其 中,那 么,就 称 为 线性 变 换 在 基 下 的 矩 阵,
显 然,矩 阵 由 基 的 象唯 一 确 定 的,
12
12
1 2 1 2
1
11
,,...,
,,...,
(,,...,) (,,...,)
( ) ( ) ( )
n
n
nn
n
n i i
i
nn
i i i i
ii
T
T
T
T
x
T T x x T
A
A
V
现 在,假 设 是 线 性 变 换 在 基下 的 矩 阵,也 就 是 说 基 在 变 换下 的 象 为,
那 么,变 换 需 要 满 足 什 么 条 件 呢？
对 于,设,有
T
1 2 1 2
T
1 2 1 2
T
1 2 1 2
T
1 2 1 2
( ( ),( ),...,( ) ) (,,...,)
(,,...,) (,,...,)
(,,...,) (
,,...,)
(,,...,) (,,...,
)
nn
nn
nn
nn
T T T x x x
x x x
xT xx
x x x?
A
A
即,
上 式 唯 一 的 确 定 了 一 个 线 性 变 换
T
A
A
,并 且 所确 定 的 线 性 变 换 是 以 为 矩 阵 的 线 性 变 换,
以 为 矩 阵 的 线 性 变 换 由 上 式 唯 一 确 定,
,
.
.
n
T
T
V
AA
由 此 可 见在 中 取 定 一 个 基 后 由 线 性 变 换 可 唯 一 地确 定 一 个 矩 阵,由 一 个 矩 阵 也 可 唯 一 地 确定 一 个 线 性 变 换在 给 定 一 个 基 的 条 件 下,线 性 变 换 与 矩 阵 是一 一 对 应 的
：
T
1 2 1 2
T
1 2 1 2
12
T
1 2
T
1 2
(,,...,) (,,...,)
(,,...,) (,,...,)
,,...,
(,,...,)
(,
( ) ( )
,...,)
nn
nn
n
n
n
x x x
x x x
x x x
T
TT x x x
A
A
从 关 系 式可 知,在 基 下,的 坐 标 为的 坐 标 为,
所 以 有,
( )T? A
32
3 1 2 3
4
2
1 1 2 3 4
2 1 2 3 4
3 1 2 3 4
4 1 2 3 4
[ ],,,,
1,
3 0 3 0 0
2 0 0 2 0
1 0 0 0
0 0 0 0 0
000
.
x x x x
D
Dx
Dx
D
D
D
P p p p
p
p p p p p
p p p p p
p p p p p
p p p p p
A
在 中 取 基求 微 分 运 算 的 矩 阵 。
所 以,在 这 组 基 下 的 矩 阵 为,
解,
例 25
0
3 0 0 0
0 2 0 0
0 0 1 0
[ ] [ ] (
) [ ]
[ ]
26.
( ( ) ) ( ) ( ) [ ]
[]
.
n
n
n
n
x x n
x
x
d
f x f x f x x
dx
x
R
RR
R
R
R
R
R
实 数 域 上 所 有 一 元 多 项 式 的 集 合,记 作
,中 次 数 小 于 的 所 有 一 元 多 项 式 包括 零 多 项 式 组 成 的 集 合 记 作,它 对 于 多项 式 的 加 法 和 数 与 多 项 式 的 乘 法,构 成 上 的一 个 线 性 空 间 。 在 线 性 空 间 中,定 义 变换,
则 由 导 数 性 质 可 以 证 明,是 上 的 一 个 线性 变 换,这 个 变 换 也 称 为 变 换微 分例
21
2
1 2 2
1
[ ] 1,..
( 1 ) 0 ( ) 1 ( ) 2,..
( ) ( 1 ),1,..
0 1 0,.,0
0 0 2,.,0
,..,..,..,..,..
0 0 0,.,1
0 0 0,.,0
n
n
nn
n
x x x x
x x x
x n x x x
x
n
R
A
现 在 中 取 一 组 基,,,,,
则,,,,
因 此,在 基,,,,
下 的 矩 阵 为,
3
o
( )
( 1)
( 2)
( ) 1 0 0
( 1) ( ) ( ) ( ) 0 1 0
( ) 0 0 0
,T x y
T x y z x y
T
T
T
TT
T
R
i j k i j
i j k
i j i j k
ii
j j i j k i j k
k0
Q
在 中,表 示 将 向 量 投 影 到 平 面 的线 性 变 换,即取 基 为,,,求 的 矩 阵 ；
取 基 为,,,
求 的 矩 阵 。
解,
例 27
()
( 2) ( )
()
1 0 1
( ) ( ) 0 1 1
000
T
T
T
T
i
j
ij
Q
所 以此 例 说 明,同 一 个 线 性 变 换 在 不 同 的 基 下的 矩 阵 一 般 是 不 相 同 的 。
12
1 2 1 2 1
2
1
,..
,..,.,
..,
nn
nn
nn
T
V α α α
β β β α α α β
β β PV
AB
B P A P
上 面 的 例 子 表 明,
那 么 这 些 矩 阵 之 间 有 什 么 关 系 呢？
线 性 空 间 取 两 个 基,,,；
、,,,由 基,,,到 基,
、,的 过 渡 矩 阵 为,中 的 线 性 变 换这 两 个 基 下 的 矩 阵 依 次 为 和,那 么,
定 理 3.
同 一 线 性 变 换 在 不 同 的 基 下 有 不 同 的 矩 阵,
三、线性变换在不同基下的矩阵
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
12
(,,...,) (,,...,)
(,,...,) (,,...,)
(,,...,) (,,...,)
(,,...,) (,,...,)
(,,
nn
nn
nn
nn
T
T
T
β β β α α α P
α α α α α α A
β β β β β β B
α α α PB β β β B
β β
Q
于 是 有,
证 明,
12
1 2 1 2
12
1
...,) [ (,,...,) ]
[ (,,...,) ] (,,...,)
,,...,
nn
nn
n
T
T
β α α α P
α α α P α α α AP
α α α
PB A P B P A P
由 于 线 性 无 关,所 以定理表明,B 与 A 相似，且两个基之间的过渡矩阵 P 就是相似变换矩阵。
2 12
11 12
21
2 1 22
2 1 1 2
1
21
1
11 12
2 1 22
,
,.
01
(,) (,)
10
0 1 0 1
1 0 1 0
,
0 1 0 1
10
01
T
aa
T
aa
T
aa
aa
V
A
PP
B P A P
设 中 的 线 性 变 换 在 基 下 的 矩 阵为,,求解,
在 基 下 的 矩 阵即于 是 在 基 下 的 矩 阵 为,
例 28,
22 21
12 11
aa
aa
1 2 3
2 3 1
( )
( )
,
3
1 2 3
,,
456
7 8 9
8,
,,
n
T
TT
T
TT
T r T n r
V
A R A
S
V
A
线 性 变 换 的 象 空 间 的 维 数,称为 线 性 变 换 的 秩 。
若 是 的 矩 阵,则 的 秩 就 是 。
若 的 秩 为,则 的 核 的 维 数 为已 知 维 线 性 空 间 的 线 性 变 换 在基 下 的 矩 阵 为,
求 在 基 的 矩 阵 。
定 义下例 29.
1 2 3 1 2 3
1 1 2 3 2 2 3 1
2 1 2 3 3 2 3 1
1 2 3 13 1 2 3
2 3 1
1 2 3
(,,) (,,) 4 5 6
7 8 9
( ) 4 7 ( ) 5 8 2
( ) 2 5 8 ( ) 6 9 3
( ) 4 7( ) 3 6 9
5 6 4
,,8 9 7
2
B
由 条 件 可 知,
于 是 在 基 下 的 矩 阵 为,
解,
31
1 2 3 1 2 3
2 3 1 1 2 3
1
2 3 1
1
1 2 3
(,,) (,,) 4 5 6
7 8 9
0 0 1
(,,) (,,) 1 0 0
0 1 0
0 0 1 0 1 0
1 0 0 0 0 1
0 1 0 1 0 0
,,
0 1 0 1 2 3
0 0 1
1 0 0
PP
B P A P
由 条 件 可 知,
于 是 在 基 下 的 矩 阵 为,
另 解,
0 0 1 5 6 4
4 5 6 1 0 0 8 9 7
7 8 9 0 1 0 2 3 1
22
22
11 12 21 22
11 11 11 11 11
( ),( )
1 0 1 1
2 0 1 1
,,,.
( ) ( ) ( ) ( )
1 0 1 1 1 0
30.
0 0 1 1
TS
TS
T S T S
R X X N X MX
XR
MN
E E E E
E E E E N ME
已 知 的 两 个 线 性 变 换,
，
试 求 在 基解,
下 的 矩 阵例
11 12 21
1 0 2 1
2 0 0 0 2 0
2 2
E E E
12 12 12 11 22
21 21 21 2 1 22
22 22 22 21 22
10
( ) ( ) 2
02
00
( ) ( )
11
00
( ) ( )
11
2 1 0 0
1 0 0 0
2 0 1 1
0 2 1 1
TS
TS
TS
TS
E E N ME E E
E E N ME E E
E E N ME E E
同 理 可 得,
所 以 在 这 组 基 下 的 矩 阵 为,
§ 7.1 线性空间的定义与性质
§ 7.2 线性空间的基、维数与坐标
§ 7.3 基变换与坐标变换
§ 7.4 线性变换
§ 7.5 线性变换的矩阵表示第一节 线性空间的定义与性质线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广．
线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题．
一、线性空间的定义定义 1.设 V 是一个非空集合,R 为实数域．如果对于任意两个元素 α,β∈ V，总有唯一的一个元素 γ ∈ V与之对应，称为 α与 β的和，记作：
γ =α+β
若对于任一数 λ ∈ R 与任一元素 α，总有唯一的一个元素 δ ∈ V与之对应，称为 λ 与 α
的积，记作 δ=λα
如果上述定义的两种运算满足以下八条运算规律，那么 V 就称为数域 R 上的向量空间（或线性空间）．
( 1 )
( 2) ( ) ( )
( 3 )
( 4)
( 5 ) 1
( 6) ( ) ( )
( 7 ) ( )
( 8 ) ( )
λ μ
α β γ VR
α β β α
α β γ α β γ
0V α V α 0 α
α V β V α β 0
α α
α α
α α α
α β α β
设,,,,
,对,都 有
，,都 有说明,
1.凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为线性运算．
2.向量空间中的向量不一定是有序数组．
3.判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间,
线性空间的判定方法,
(1)一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．
(2)一个集合，如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律．
.
,
1
.
mn
m n m n m n m n m n
mn
mn
R
A B C A D
R
Q
实 数 域 上 的 全 体 矩 阵,对 于矩 阵 的 加 法 和 数 乘 运 算 构 成 实 数 域 上的 线 性 空 间,记 作是 一 个例线 性 空 间
1
11
0 1 1 0
[ ]
[ ],..
|,,...,,
2.
n
nn
n n n
nn
n
Px
P x p a x a x a x
a a a a a
R
次 数 不 超 过 的 多 项 式 的 全 体 记 作
,即,
对 于 通 常 的 多 项 式 加 法,数 乘 多 项 式的 乘 法 构 成 实 数 域 上 的 线 性 空 间 。
通 常 的 多 项 式 加 法,数 乘 多 项 式 的 乘法 满 足 线 性例运 算 规 律 。
1
1 1 0
1
1 1 0
1
11
1 1 0 0
1
1 1 0
1
10
(,.,)
(,.,)
( ) ( )
,.,( ) ( )
(,.,)
...
[ ]
nn
nn
nn
nn
nn
n n n n
nn
nn
nn
nn
n
a x a x a x a
b x b x b x b
a b x a b x
a b x a b
a x a x a x a
a x a x a
Px
对 加 法 和 数 乘 都 封 闭 。
1
11
0 1 1 0
1
[ ],..
|,,...,,,0 }
0 0 0,.,0 0 [ ]
3.
[]
nn
n n n
n n n
nn
n
n
n
Q x p a x a x a x
a a a a a R a
p x x x Q x
Qx
Q
次 多 项 式 的 全 体且对 于 通 常 的 多 项 式 加 法 和 乘 数 运 算 不 构成 向 量 空 间 。
对 多 项 式 的 加 法 与 数例乘 运 算 不 封 闭 。
1 2 1 1 2 2
1 1 2 2
1 2 1 2
1 1 1 1 1
[ ] { sin( ),}
sin( ) sin( )
( sin c os ) ( sin c os )
( ) sin ( ) c os sin( ) [ ]
sin( ) ( ) sin
.
)
4
(
S x s A x B A B R
s s A x B A x B
a x b x a x b x
a a x b b x A x B S x
s A x B A x B
正 弦 函 数 的 集 合对 于 通 常 的 函 数 及 数 乘 函 数 的例乘 构 成 线性 空 间 。
[ ]
[ ]
Sx
Sx? 是 一 线 性 空 间 。
[,],5 ab在 区 间 上 个 体 实 连 续 函 数,
对 函 数 的 加 法 与 数 和 函 数 的 数 量 乘 法,
构 成 实 数 域 上例的 线 性 空 间 。
T
1 2 1 2
T
12
(,,...,) |,,...,
,,...,( 0,0,.,0)
6.
1
n
nn
n
n
n
n
S x x x x x x
x x x
S
S
XR
X0Q
个 有 序 实 数 组 成 的 数 组 的 全 体对 于 通 常 的 有 序 数 组 的 加 法 及 如 下 定 义 的乘 法,,,
不 构 成 线 性 空 间 。
虽 然 对 运 算 封 闭,但不 满 足 第 五 条 运 算 律 。 由 于 所 定 义 的 不是 线 性 运 算,所 以 不 是 线例性 空 间 。
,
7
(,,)
.
R
a b ab a a a b R R
R
a b R a b ab R
a R R a a R
正 实 数 的 全 体,记 作 在 其 中 定义 加 法 及 数 乘 运 算 为验 证,对 上 述 加 法 及 数 乘例运 算 构 成 线性 空 间 。
证 明,,
，
对 定 义 的 加 法 与 数 乘 运 算 封 闭 。
1 1 1
( 1 )
( 2) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( 3 ) 1
1 1
( 4) 1
a b ab ba b a
a b c ab c ab c a bc
a bc a a b
R a R
a a a
a R a R a a aa
下 面 来 证 明 上 述 两 种 运 算 满 足 八 条 运 算规 律,
中 存 在 零 元 素,对 于 任 意有有
1
( 5) 1
( 6)
( ) ( ) ( )
( )
( 7 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( 8 ) ( )
()
a a a
R a R
a a a a
a
a b a b ab a b
a b a b
a a a a
a a a
、,,
() a
二、线性空间的性质
12
12
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2 2 1 2
1.,
,
2,
,
( )
0 0 V
α V α 0 α α 0 α
0 0 V 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
α β γ
α β 0 α γ 0
γ γ 0 γ α β γ α β 0 β β
零 元 素 是 唯 一 的假 设 是 线 性 空 间 中 的 两 个 零 元 素,
则 对 于,有,,
由 于,,
负 元 素 也 是 唯 一 的 。
设 有 两 个 负 元 素证 明,
证 明 与,则,：
3,0 ( 1 ),
0 ( 1 0) 1
0
( 1) ( 1 1) 0
( 1)
[ ( 1 ) ] ( )
[ ( ) ] 0
Q
Q
α 0 α α 00
α α α α α
α 0
α α α α 0
α α
0 α α α α
α α 0
证； ；
明,
4,0,
11
0 ( )
11
( ) ( ) 1
0
α 0 α 0
α 00
α α α α
α 0
α 0
如 果,则 或假 设又所 以同 理 可 证,若,则证 明,
定义 2:设 V 是一个线性空间,L 是 V 的一个非空子集，如果 L 对于 V 中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间，则称 L 为 V 的子空间,
定理,线性空间 V的非空子集 L 构成子空间的充分必要条件是,L 对于 V 中的线性运算封闭．
三、线性空间的子空间
23
1
2
11
1
10
( 1 ),,
0
00
( 2)
0 0,,
( 1 )
1 0 0 2 0 0
,
0 0 0 0 0 0
R
b
W b c d R
cd
a b a b c
W
c a b c R
WW
W
A B A B
的 下 列 子 集 是 否 构 成 子 空 间？
为 什 么？
不 构 成 子 空 间 。 因 为 对有对 矩 阵 的 加 法解,
不 封 闭 。
例 8.
2 2 2
1 1 2 2
12
1 1 1 2 2 2
1 2 1 2
12
( 2)
000
000
00
0 0 0 0
0,0
0
00
W W W
a b a b
cc
a b c a b c
a a b b
cc
Q AB
AB
AB
构 成 子 空 间
,非 空,对 于,,
设且 有于 是
1 1 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2 2
11
1
1 1 1 1 1 1
2
22
0,0
0
0
00
( ) 0
a b c a b c
a a b b c c W
kR
k a k b
k
kc
k a k b k c k a b c
kW
WW
AB
A
A
又
，
另 一 方 面,对 于,
故 又 有即,对 矩 阵 的 加 法 与 数 乘 是 封 闭 的,是子 空 间 。
9,n
R
Ax B
R
实 数 域 上 的 元 非 齐 次 线 性 方 程 组的 所 有 解 向 量,对 于 通 常 的 向 量 加 法 和 数 量 乘法,是 否 构 成 上 的 一 个 线 性 空 间 为 什 么例第二节 线性空间的基、维数与坐标已知：在 R n 中，线性无关的向量组最多由 n
个向量组成，而任意 n +1 个向量都是线性相关的。
问题,线性空间的一个重要特征，在线性空间
V 中，最多能有多少线性无关的向量？
一、线性空间的基与维数
1 2
1 2
,,..,,:
( 1 ),,
3
,..,
n
n
nV
α α α
α α α
在 线 性 空 间 中,如 果 存 在 个 元定 素满 足线义,
性 无 关 ；
1 2
1 2
1 2
( 2),,...,
,,...,
,
,,...,
n
n
n
nn
n
nn
V α α α α
α α α V
V
V
V
α α α V
中 任 一 元 素 都 可 被 线 性 表示 ； 那 么 就 称 为 线 性 空 间 的 一 个基,称 为 线 性 的 维 数 。
维 数 为 的 线 性 空 间 称 为 维 线 性 空 间,记为当 一 个 线 性 空 间 中 存 在 任 意 多 个 线 性 无关 的 向 量 时,称 该 线 性 空 间 是 无 限 维 的 。
若 为 线 性 空 间 的 一 个 基,则
1 1 2 2 1 2
...,,...,
n n n n
x x x x x xV α α α α R
二、元素在给定基下的坐标
1 2
1
2
1 1 2 2
1 2 1 2
T
1 2
,,...,
,
,...,,
,..
,,...,,,...,
(,,)
4
...,
nn
n
n
nn
n
nn
x
xx
x x x
x x x
x x x
α α α V
α V
α α α α
α α α
α α
设 是 线 性 空 间 的 一 个 基,
对 于 任 一 元 素 总 有 且 仅 有 一 组 有 序 数,
使有 序 数 组 称 为 元 素 在这 个 基 下 的 坐 标,并 记 为定 义,
2
4 1 2 3
34
45
4 3 2
4 3 2 1 0
0 1 1 2 2 3 3 4 4 5
T
0 1 2 3 4
1
[ ],1,,,
,
4
(,,,,)
1
1
0
P x p p x p x
p x p x
p a x a x a x a x a
p a p a p a p a p a p
p
a a a a a
q
在 线 性 空 间 中就 是 它 的 一 个 基 。
任 何 一 个 不 超 过 次 的 多 项 式可 表 示 为因 此 在 这 个 基 下 的 坐 标 为,
若 取例另 一 基
.
23
2 3 4
4
5
,1,2,,
,
q x q x q x
qx
则
0 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5
T
0 1 1 2 3 4
1
()
2
1
(,,,,)
2
p a a q a q a q a q a q
p
a a a a a a
V
因 此 在 这 个 基 与 的 坐 标 为,
,线 性 空 间 的 任 一 元 素 在 不 同 基 下所 对 的 坐 标 一 般 不 同,一 个 元 素 在 一 个 基下 对 应 的 坐 标 是 唯 一 的 。
注 意
1
21
23
( 1 )
21
1 2 3
[ ] 1
( ) ( ),.,( )
T a y l or
( ) ( ) '( ) ( )
''( ) ( )
,.,( ) ( )
2 ! ( 1 ) !
( ),,,...,
n
n
n
n
n
n
Rx
x a x a x a
f x f a f a x a
f a af
x a x a
n
fx
ε
ε ε ε
ε ε ε ε
例 11,在 线 性 空 间 中,取 一 组 基,
、,,,由公 式 可 知,
因 此,在 基 下 的 坐 标 是,
( 1 )
''( ) ( )
( ( ),( ),,...,)
2 ! ( 1 ) !
n
f a af
f a f a
n
11 12
21 22
12
1 11 2 12 3 21 4 22
34
1 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
.
1 0 0 1
+
EE
EE
kk
k k k k
kk
V
R
V
E E E E
所 有 二 阶 实 矩 阵 组 成 的 集 合,对 于 矩 阵有 加 法 和 数 量 乘 法,构 成 实 数 域 上 的 一 个线 性 空 间,对 于 中 的 矩 阵有
12
例
1 11 2 12 3 21 4 22
1 2 3 4
11 12 21 22
11 12
21 22
11 11 12 12 21 21 22 22
11 12 21 22
11 12
00
O
00
0
(,
k k k k
k k k k
aa
aa
a a a a
aa
E E E E
E E E E
AV
A E E E E
E E E E V A
、,,线 性 无 关 。 对 于因 此,,,为 的 一 组 基 ； 在 该 组基 下 的 坐 标 为,
T
21 22
,,),aa
12
,,...,
,
,
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nα α α V
V
R
V R
RV
V
VR
R
设 是 维 线 性 空 间 的 一 组基 在 这 组 基 下 中 的 每 个 向 量 都 有 唯 一 确定 的 坐 标 而 向 量 的 坐 标 可 以 看 作 中 的 元 素,
因 此 向 量 与 它 的 坐 标 之 间 的 对 应 就 是 到的 一 个 映 射 。
由 于 中 的 每 个 元 素 都 有 中 的 向 量 与 之对 应,同 时 中 不 同 的 向 量 的 坐 标 不 同,因 而对 应 中 的 不 同 元 素 。 我 们 称 这 样 的 映 射 是与 的 一 个 一 一 对 应 的 映 射 。
三、线性空间的同构
1 1 2 2
1 1 2 2
1 2
TT
1 2 1 2
1 1 1 2 2 2
,..
,..
,,...,
(,,...,) (,,...,)
( ) + ( ),.,( )
nn
nn
n
nn
n n n
a a a
b b b
a a a b b b
a b a b a b
α α α α
β α α α
α β V α α α
α β α α α
这 个 对 应 的 重 要 性 表 现 在 它 与 运 算 的 关 系 上 。
设即 向 量,在 基 下 的 坐 标 分别 为 和,则
1 1 2 2
TT
1 1 2 2 1 2
,..
(,,...,) (,,...,)
nn
n n n
k k a k a k a
k
a b a b a b k a k a k a
α α α α
α β α于 是 和 的 坐 标 分 别 为和
,,
,
.
n
n
V
R
上 式 表 明 在 向 量 用 坐 标 表 示 后 它 们 的 运算 就 归 结 为 坐 标 的 运 算 因 而 线 性 空 间 的 讨论 就 归 结 为 的 讨 论 。
下 面 更 确 切 地 说 明 这 一 点定义 5.设 U,V 是两个线性空间，如果它们的元素之间有一一对应关系,且这个对应关系保持线性组合的对应，那末就称线性空间 U 与 V 同构。
1 1 2 2
1 2
T
1 2
1 2
|,..
,,,...,
( 1 )
(,,..
13.
.,)
( 2) (,,...,
n
n n n
n
n
n
n
n
V x x
x x x x R
nR
VR
x x x
xx
α α α α
α
α
x
α
维 线 性 空 间与 维 向 量 空 间 同 构 。
因 为,中 的 元 素 与 中 的 元 素成 一 一 对 应 的 关 系 ；
例
TT
1 2
TT
1 2 1 2
T
1 2
) (,,...,)
(,,...,) (,,...,)
(,,...,)
nn
nn
n
x y y y
x x x y y y
k k x x x
β
α β
α
，
则,
结论：
１．数域 P上任意两个 n 维线性空间都同构。
２．同构的线性空间之间具有反身性、对称性与传递性。
３．同维数的线性空间必同构。
同构的意义在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间的元素是什么，其中的运算是如何定义的，
我们所关心的只是这些运算的代数性质。从这个意义上可以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数。
3
3 2 3 2
12
3 3 2
34
1 1 2 2 3 3 4 4
3 2 3 2
12
33
34
( ) 2 4 1 ( ) 2 3 9 1
( ) 6 5 ( ) 2 5 7 5
( 2 4 1 ) ( 2 3 9 1 )
14
( 6 5 )
.
(2
Px
f x x x x f x x x x
f x x x f x x x x
k f k f k f k f
k x x x k x x x
k x x k x
0
求 由 中 元 素生 成 的 子 空 间 的例解 令：
维 数 。
则,
2
1
2
3
4
5 7 5 )
1 2 1 2 0
2 3 0 5 0
4 9 6 7 0
1 1 5 5 0
xx
k
k
k
k
0
因 此
1 2 1 2
34
3 1 2
41
1 0 3 4
0 1 2 1
~
0 0 0 0
0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 ( ) 3 ( ) 2 ( )
( ) 4 ( )
f x f x f x f x
f x f x
f x f x f x
f x f x
A
A
设 该 齐 次 方 程 组 的 系 数 矩 阵 为,则因 此,,线 性 无 关,是,,
,所 生 成 子 空 间 的 基,该 子 空 间 的 维数 为,且 有,
2
()fx?
第三节 基变换与坐 标 变 换问题,在 n 维线性空间 V 中，任意 n 个线性无关的向量都可以作为 V 的一组基。对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的。
那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何改变呢？
一、基变换公式与过渡矩阵
1 2 1 2
1 11 1 2 1 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 2
,,...,,,...,
...
...
..................
...
n n n
nn
nn
n n n nn n
p p p
p p p
p p p
α α α β β β V
β α α α
β α α α
β α α α
设 及 是 线 性 空 间 的 两个 基,且 有此 公 式 称 为 基 变 换 公 式 。
1 11 1 2 1 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 2
11 21 111
2 12 22 2 2
12
...
...
...............
...
...
...
...,.....,..,..,..
...
nn
nn
n n n nn n
n
n
nnn n nn
p p p
p p p
p p p
p p p
p p p
p p p
β α α α
β α α α
β α α α
β α
β α
β α
由 于
1 2 1 2
11 12 1
21 22 2
12
1 2 1 2
1 2 1 2
(,,...,) (,,...,)
...
...
...,..,..,..
...
(,,...,) (,,...,)
,,...,,,...,
nn
n
n
n n nn
nn
n
n
P
p p p
p p p
P
p p p
P
P
P
β β β α α α
β β β α α α
α α α β β
β
其 中,
在 基 变 换 公 式中,矩 阵 称 为 由 基 到 基的 过 渡 矩 阵 。 过 渡 矩 阵 是 可 逆 矩 阵 。
12
T
1 2 1 2
T
1 2
1 2 1 2
TT
1 2 1 2
,,...,
(,,...,),,,...,
(,,...,)
(,,...,) (,,...,)
(,,...,) (,,...,
2.
)
nn
nn
n
nn
nn
x x x
y y y
P
x x x P y y y
V α α α α
β β β
β β β α α α
设 中 的 元 素 在 基 下 的 坐标 为 在 基 下 的 坐标 为,若 两 个 基 满 足,
则,
定 理
T 1 T
1 2 1 2
T
1 2 1 2
T
1 2 1 2
(,,...,) (,,...,)
(,,...,) (,,...,)
(,,...,) (,,...,)
nn
nn
nn
or y y y P x x x
x x x
y y y
α α α α
β β β
证 明,
二、坐标变换公式
1 2 1 2
T
1 2 1 2
T
1 2 1 2
T
1 2 1 2
T
1 2 1
(,,...,) (,,...,)
(,,...,) (,,...,)
(,,...,) (,,...,)
(,,...,) (,,...,)
(,,...,) (,
nn
nn
nn
nn
n
y y y
y y y
x x x
x x x y
β β β α α α P
β β β
α α α P
α α α
P
又 因 为即,
T
2
T 1 T
1 2 1 2
,...,)
(,,...,) (,,...,)
n
nn
yy
P
y y y x x x
P
由 于 矩 阵 可 逆,所 以
3
3 2 3 2
12
3 2 3 2
34
3 2 2
12
3 2 3 2
34
1 2 3 4 1 2 3 4
32
1 2 3 4
[ ]
2 1
2 1 1
2 1 2 2
2 2 3
15
2
.
,,,,,,
(,,,) (,
.
,
Px
x x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x
α α
α α
β β
β β
β β β β α α α α
α α α α
在 中 取 两 个 基及求 坐 标 变 换 公 式解 示,将 用 表例
32
1 2 3 4
,1 )
(,,,) (,,,1 ) x x x?
A
β β β β B 其 中
1
1 2 3 4 1 2 3 4
T 1 T
1 2 3 4 1 2 3 4
1
1 1 1 1 2 0 2 1
2 1 2 1 1 1 1 3
,
1 1 1 0 0 2 1 1
0 1 1 1 1 2 2 2
(,,,) (,,,)
( ) ( )
2 0 2 1 1 1 1 1
1 1 1 3 2
0 2 1 1
1 2 2 2
y y y y x x x x
AB
β β β β α α α α AB
BA
BA
BA
得坐 标 变 换 公 式 为,
用 矩 阵 的 初 等 行 变 换 求
1 2 1
1 1 1 0
0 1 1 1
1
11
22
33
44
1 0 0 0 0 1 1 1
0 1 0 0 1 1 1 0
~
0 0 1 0 0 0 0 1
0 0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1
1 1 0 0
0 0 0 1
1 1 1 1
yx
yx
yx
yx
E B A
所 以
1 2 1 2
2
12
1
2
12
1
11
22
.
1
1 0 1
1
0 1 1
2
,
12
1
12
11
33
1
221
2
33
VR
x
x
yx
yx
α α β β
α α α
α β β
设,及,
为 线 性 空 间 的 两 个 基,又 设 在 基下 的 坐 标 为,由 坐 标 变 换 公 式 可 知在 基,下 的 坐 标 为,
坐 标 变 换 的 几 何 意 义例 16.
1
12
2
1
1
1
2
2
121
1
2?
x
y
o?
12
1?
3 3 2
3
2
1 2 3 4
3 3 2
1 2 3 4
32
1 2 3 4 2 3 4
12
24
3
43
,,1,1,
2 3,
,,,
( ) ( 1 ) ( 1 )
( ) ( ) ( ) 1
0
0
.
0
0
17 x x x x x P x
xx
k k k k
k x k x x k x k x
k k x k x k k x k k
kk
kk
k
kk
0
0
证 明 是 的 一 个 基 并 求 多项 式 在 这 个 基 下 的 坐 标设 有 使例证 明,
即,
则 有
1
2
3
4
3 3 2
3
0
0
0
0
,,1,1
k
k
k
k
x x x x x P x
所 以,线 性 无 关,是 的 一 个 基 。
2 3 3 2
1 2 3 4
12 1
3 2
324
34 4
2T
2 3 ( ) ( 1 ) ( 1 )
0 0
1 0
12
3 2
2 3 ( 0 0 1 2)
x x a x a x x a x a x
aa a
a a
aaa
aa a
xx
又 令则故 在 这 个 基 下 的 坐 标 为第四节 线性变换
()
( ),( ),
5
TT
A B A
α B
β
AB
β α β α α A
设 有 两 个 非 空 集 合,,如 果 对 于 中任 一 元 素 按 照 一 定 规 则,总 有 中 一 个 确 定的 元 素 和 它 对 应,那 么,这 个 对 应 规 则 称 为从 集 合 到 集 合 的 变 换 或 映 射,记 作,
或定 义,
１,映射线性空间中向量之间的联系，是通过线性空间到线性空间的映射来实现的．
一、线性变换的概念
( )
()
( ) ( ) |
( ),,
TT
TT
T
T
TT
T
α A α β α β
β α α β
A
A
A β α α A
AB
设,,就 说 变 换 把 元 素 变 为,
称 为 在 变 换 下 的 象,称 为 在 变 换 下的 原 象,称 为 变 换 的 原 集,象 的 全 体 所 构 成的 集 合 称 为 象 集,记 作,即显 然,变 换 的 概 念 是 函 数 概 念 的 推 广
1 2 1 2 1 2
( 1),( ) ( ) ( )
( 2) (
6.
) ( )
nm
nm
n
n
nm
nm
T
T
T T T
k T k k T
T
VU
VU
V
VR
VU
设,分 别 是 实 数 域 上 的 维 和 维线 性 空 间,是 一 个 从 到 的 变 换,如 果 变换 满 足,
,有
，,有那 么,就 称 为 从 到 的 线 性 变义换定
。
( 1)
( 2),,
( ),
,
m n n
n
n
T A B
T T T
T?U V V
V
V
说 明,
线 性 变 换 就 是 保 持 线 性 运 算 性 质 的 变 换 ；
一 般 用 大 写 字 母 表 示 线 性 变 换,
或 表 示 在 变 换 下 的 象如 果,那 么 是 一 个 从 线 性 空 间到 其 自 身 的 线 性 变 换,称 为 线 性 空 间 中 的 线性 变 换 。
下 面 主 要 讨 论 线 性 空 间 中 的 线 性 变 换
3
32
3 2 1 0 3
32
3 2 1 0 3
22
3 2 1 3 2 1
32
3 3 2 2
[]
( 1)
[ ]
[ ]
3 2 3 2
( ) [ ( ) ( )
18
.
x
D
a x a x a x a x
b x b x b x b x
D a x a x a D b x b x b
D D a b x a b x
P
pP
qP
pq
pq
Q
在 线 性 空 间 中微 分 运 算 是 一 线 性 变 换例
1 1 0 0
2
3 3 2 2 1 1
22
3 2 1 3 2 1
( ) ( ) ]
3 ( ) 2( ) ( )
( 3 2 ) ( 3 2 )
a b x a b
a b x a b x a b
a x a x a b x b x b D D
pq
32
3 2 1 0
2
3 2 1
0
00
0
( ) [ ]
3 2
( 2) ( ),.
( )
( )
( 3) ( ) 1,
.
( ) 1
D k D k a x k a x k a x k a
k a x k a x k a k D
T a T
T a b T T
T k k a k T
TT
TT
p
p
p
p q p q
pp
p
p q p
如 果 那 么 也 是 一 个 线 性 变 换如 果 那 么 是 一 个 变 换,但 不 是一 个 线 性 变 换这 是 因 为 1 1 2
( )
T
T T T
q
p q p q所 以
c os si n
si n c os
,.
c os
si n
c os si n c os si n
si n c os si n c os
c os c os si n si n
c
1.
o
9
xx
T
yy
x O y T T
xr
yr
x x x y
T
y y x y
rr
r
由 关 系 式 确 定了 平 面 上 的 一 个 变 换 说 明 的 几 何 意 义
：解,记 则例
c os( )
s si n si n c os si n( )
r
rr
T
上 式 表 明,变 换 把 任 一 向 量 按 逆 时 针方 向 旋 转 角 。
()
( ),
( )
( )
.
20.
EE
E E E
E k k k E
V
V
V
线 性 空 间 中 的 恒 等 变 换 或 称 单 位 变 换
：,是 线 性 变 换这 是 因 为,恒 有所 以 恒 等 变 换 是 线 性 变 换例
O O ( )
O ( ) O O,O ( ) Okk
0
V
00
线 性 空 间 中 的 零 变 换,
是 线 性 变 换 。
这 是 因 为,恒 有所 以 零 变 换 是 线 性 变 换 。
例 21,?
32
1 2 3 1 2 3
3
1 2 3 1 2 3
2
1 2 3 1 2 3
2
1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
2
1 1 2
2 (,,) (,,0)
(,,) (,,)
(,,) (,,0)
(,,) (,,0)
( ) (,,)
[ ( )
2
,
,T T x x x x x x
T
a a a b b b
T T a a a a a a
T T b b b b b b
T T a b a b a b
a b a
R
R
在 中 定 义 变 换,
则 不 是 一 个 线 性 变 换 。
这 是 因 为,
例
3 2 3
22
1 2 3 1 2 3
,0]
(,,0) (,,0)
.
a b b
a a a b b b T T
T
所 以,不 是 线 性 变 换
1 1 2 2
1 1 2 2
1 2 1 2
1 2 1
2
1,( ) ( ) ( )
2.,..,
,..
3.,,...,,,...,
,,...,,
,...,
4,( ) (
)
mm
mm
mm
m
m
nn
T T T
k k k
T k T k T k T
T T T
T
TT
TT
00
VV
，
若 则若 线 性 相 关,则也 线 性 相 关 。 但 若 线 性 无 关,
不 一 定 线 性 无 关 。
线 性 变 换 的 象 集 是 一 线 性 空 间 的子 空 间 。 该 空 间 称 为 线 性 变 换
T 的 象 空 间 。
二、线性变换的性质
1 2 1 2
1 1 2 2
1 2 1 2
12
1 1 1
,( ),,
( ) ( )
( ) ( )
()
()
nn
n
n
nn
n n n
T
TT
TT
TT
k k T T k T
T
T
VV
V
V
VV
V V V
这 是 因 为 存 在使所 以 有由 于,又 由 上 面 的 证 明 可 知,
它 对 中 的 线 性 运 算 封 闭,是的 子 空 间 。
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 1
1
5,
,
,
( )
( )
Tn
nT
T
T
T
T T n
T
T
T
T
TT
T T T
T k k T
k
0
S V 0
VS
S 0 0
0
S0
S
S S V
SV
使 的 的 全 体是 的 子 空 间,称 为 线 性 变 换 的 核若,,则,
即 ； 又即因 此,对 线 性 运 算 封 闭,又,
是明故证,
n
的 子 空 间 。
11 12 1
21 22 2
12
1 2
T
1
...
...
(,,...,)
...,..,..,..
...
..,( )
( ) ( ),
,
n
n
n
n n nn
n
i i n i
n
n
a a a
a a a
A
a a a
a a T
TT
R y x
x A x x R
设 有 阶 矩 阵其 中,定 义 中 的 变 换为,,,则 为 线 性 变 换例 23
1 2
1 1 2 2
12
T
( ) ( )
( ) ( ) ( )
,,...,
( ) {,..
|,,...,}
n
n
n
n n n
T T T
T k k k k T
T
T x x
x x x x
T
a b R
a b A a b A a A b a b
a A a A a a
Ry
R
S A x 0
设,,则又 的 象 空 间 就 是 由 所 生 成 的 向量 空 间,
的 核 就 是 齐 次 方 程 组证的明解 空
：
.间
3
1 1 1
3
2 2 2
3 3 3
3
( )
( )
()
24.
a a a
a a a
a a a
x Oy
R
R
R
设 是 的 一 个 变 换,对 任 意
,定 义,
试 证 明 是 的 一 个 线 性 变 换,并 分 析 其 几何 意 义 。
证 明,略该 变 换 的 几 何 意 义 是,将 平 面 作 为 一 面 镜子,就例是 对 于 这 面 镜 子 反 射 所 成 的 象 。
这 个 变 换 也 。称 为 镜 面 变 换 或 反 射 变 换
第五节 线性变换的矩阵表示
11 11 1
21 22 2
12
1 2
T
12
...
...
(,,...,)
...,..,..,..
...
(,,...,)
( ) ( ) ( )
n
n
n
n n nn
n
i i i ni
n
n
a a a
a a a
a a a
a a a
TT
T
A
R
y x x A x x R
设 阶 矩 阵其 中,定 义 中 的 变 换为,
则 为 线 性 变 换 。
一、线性变换的矩阵表示式
12
11 12 1
21 22 2
11
12
11 12 1
21 22 2
12
,,...,
..,1
..,0
......,..,..,..
0
......
..,0
..,0
......,..,..,..
n
n
n
n n nn
n
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
e e e
Ae
Ae
L
L
设 为 单 位 向 量
1
n
12
( ) ( 1,2,...,)
( )
()
( ) ( 1,2,...,)
( ) [ (,,...,) ]
i i i
i
ii
n
T i n
T
T
T
T
T i n
TT
A e e
x A x
Ae
e
x e e e x
即,
因 此,当 一 个 线 性 变 换 有 关 系 式时,那 么 应 以 为 列 向 量 。
反 之,如 果 一 个 线 性 变 换 使那 么
1 1 2 2
1 1 2 2
12
(,.,)
( ) ( ),.,( )
( ( ),( ),...,( ) )
nn
nn
n
T x x x
x T x T x T
T T T
e e e
e e e
e e e x A x
11 12 1
21 22 2
12
12
12
( ) ( )
...
...
( ),( ),...,( )
...,..,..,..
...
,,...,
n
n
n
n
n
n n nn
n
T
T
a a a
a a a
T T T
a a a
R
x A x x R
A e e e
e e e
中 任 何 线 性 变 换,可 用 关 系 式表 示,其 中为 单 位 向 量,
综 上 所 述,可 知,
12
1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 2
1 2 1 2
,,...,
( ),..
( ),..
..............
( ),..
(,,...,) ( ),( )
7.
nn
n
nn
nn
n n n nn n
n
T
T
T a a a
T a a a
T a a a
T T T
VV定 设 是 线 性 空 间 中 的 线 性 变 换,在中 取 定 一 个 基,如 果 这 个 基 在 变 换下 的 象 为义
：
记,
,...,( )
n
T?
二、线性变换在给定基下的矩阵
1 2 1 2
11 12 1
21 22 2
12
12
12
(,,...,) (,,...,)
...
...
...,..,..,..
...
,,...,
( ),( ),...,( )
nn
n
n
n n nn
n
n
T
a a a
a a a
a a a
T
T T T
A
AA
A
那 么 上 式 可 表 示 为,
其 中,那 么,就 称 为 线性 变 换 在 基 下 的 矩 阵,
显 然,矩 阵 由 基 的 象唯 一 确 定 的,
12
12
1 2 1 2
1
11
,,...,
,,...,
(,,...,) (,,...,)
( ) ( ) ( )
n
n
nn
n
n i i
i
nn
i i i i
ii
T
T
T
T
x
T T x x T
A
A
V
现 在,假 设 是 线 性 变 换 在 基下 的 矩 阵,也 就 是 说 基 在 变 换下 的 象 为,
那 么,变 换 需 要 满 足 什 么 条 件 呢？
对 于,设,有
T
1 2 1 2
T
1 2 1 2
T
1 2 1 2
T
1 2 1 2
( ( ),( ),...,( ) ) (,,...,)
(,,...,) (,,...,)
(,,...,) (
,,...,)
(,,...,) (,,...,
)
nn
nn
nn
nn
T T T x x x
x x x
xT xx
x x x?
A
A
即,
上 式 唯 一 的 确 定 了 一 个 线 性 变 换
T
A
A
,并 且 所确 定 的 线 性 变 换 是 以 为 矩 阵 的 线 性 变 换,
以 为 矩 阵 的 线 性 变 换 由 上 式 唯 一 确 定,
,
.
.
n
T
T
V
AA
由 此 可 见在 中 取 定 一 个 基 后 由 线 性 变 换 可 唯 一 地确 定 一 个 矩 阵,由 一 个 矩 阵 也 可 唯 一 地 确定 一 个 线 性 变 换在 给 定 一 个 基 的 条 件 下,线 性 变 换 与 矩 阵 是一 一 对 应 的
：
T
1 2 1 2
T
1 2 1 2
12
T
1 2
T
1 2
(,,...,) (,,...,)
(,,...,) (,,...,)
,,...,
(,,...,)
(,
( ) ( )
,...,)
nn
nn
n
n
n
x x x
x x x
x x x
T
TT x x x
A
A
从 关 系 式可 知,在 基 下,的 坐 标 为的 坐 标 为,
所 以 有,
( )T? A
32
3 1 2 3
4
2
1 1 2 3 4
2 1 2 3 4
3 1 2 3 4
4 1 2 3 4
[ ],,,,
1,
3 0 3 0 0
2 0 0 2 0
1 0 0 0
0 0 0 0 0
000
.
x x x x
D
Dx
Dx
D
D
D
P p p p
p
p p p p p
p p p p p
p p p p p
p p p p p
A
在 中 取 基求 微 分 运 算 的 矩 阵 。
所 以,在 这 组 基 下 的 矩 阵 为,
解,
例 25
0
3 0 0 0
0 2 0 0
0 0 1 0
[ ] [ ] (
) [ ]
[ ]
26.
( ( ) ) ( ) ( ) [ ]
[]
.
n
n
n
n
x x n
x
x
d
f x f x f x x
dx
x
R
RR
R
R
R
R
R
实 数 域 上 所 有 一 元 多 项 式 的 集 合,记 作
,中 次 数 小 于 的 所 有 一 元 多 项 式 包括 零 多 项 式 组 成 的 集 合 记 作,它 对 于 多项 式 的 加 法 和 数 与 多 项 式 的 乘 法,构 成 上 的一 个 线 性 空 间 。 在 线 性 空 间 中,定 义 变换,
则 由 导 数 性 质 可 以 证 明,是 上 的 一 个 线性 变 换,这 个 变 换 也 称 为 变 换微 分例
21
2
1 2 2
1
[ ] 1,..
( 1 ) 0 ( ) 1 ( ) 2,..
( ) ( 1 ),1,..
0 1 0,.,0
0 0 2,.,0
,..,..,..,..,..
0 0 0,.,1
0 0 0,.,0
n
n
nn
n
x x x x
x x x
x n x x x
x
n
R
A
现 在 中 取 一 组 基,,,,,
则,,,,
因 此,在 基,,,,
下 的 矩 阵 为,
3
o
( )
( 1)
( 2)
( ) 1 0 0
( 1) ( ) ( ) ( ) 0 1 0
( ) 0 0 0
,T x y
T x y z x y
T
T
T
TT
T
R
i j k i j
i j k
i j i j k
ii
j j i j k i j k
k0
Q
在 中,表 示 将 向 量 投 影 到 平 面 的线 性 变 换,即取 基 为,,,求 的 矩 阵 ；
取 基 为,,,
求 的 矩 阵 。
解,
例 27
()
( 2) ( )
()
1 0 1
( ) ( ) 0 1 1
000
T
T
T
T
i
j
ij
Q
所 以此 例 说 明,同 一 个 线 性 变 换 在 不 同 的 基 下的 矩 阵 一 般 是 不 相 同 的 。
12
1 2 1 2 1
2
1
,..
,..,.,
..,
nn
nn
nn
T
V α α α
β β β α α α β
β β PV
AB
B P A P
上 面 的 例 子 表 明,
那 么 这 些 矩 阵 之 间 有 什 么 关 系 呢？
线 性 空 间 取 两 个 基,,,；
、,,,由 基,,,到 基,
、,的 过 渡 矩 阵 为,中 的 线 性 变 换这 两 个 基 下 的 矩 阵 依 次 为 和,那 么,
定 理 3.
同 一 线 性 变 换 在 不 同 的 基 下 有 不 同 的 矩 阵,
三、线性变换在不同基下的矩阵
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
12
(,,...,) (,,...,)
(,,...,) (,,...,)
(,,...,) (,,...,)
(,,...,) (,,...,)
(,,
nn
nn
nn
nn
T
T
T
β β β α α α P
α α α α α α A
β β β β β β B
α α α PB β β β B
β β
Q
于 是 有,
证 明,
12
1 2 1 2
12
1
...,) [ (,,...,) ]
[ (,,...,) ] (,,...,)
,,...,
nn
nn
n
T
T
β α α α P
α α α P α α α AP
α α α
PB A P B P A P
由 于 线 性 无 关,所 以定理表明,B 与 A 相似，且两个基之间的过渡矩阵 P 就是相似变换矩阵。
2 12
11 12
21
2 1 22
2 1 1 2
1
21
1
11 12
2 1 22
,
,.
01
(,) (,)
10
0 1 0 1
1 0 1 0
,
0 1 0 1
10
01
T
aa
T
aa
T
aa
aa
V
A
PP
B P A P
设 中 的 线 性 变 换 在 基 下 的 矩 阵为,,求解,
在 基 下 的 矩 阵即于 是 在 基 下 的 矩 阵 为,
例 28,
22 21
12 11
aa
aa
1 2 3
2 3 1
( )
( )
,
3
1 2 3
,,
456
7 8 9
8,
,,
n
T
TT
T
TT
T r T n r
V
A R A
S
V
A
线 性 变 换 的 象 空 间 的 维 数,称为 线 性 变 换 的 秩 。
若 是 的 矩 阵,则 的 秩 就 是 。
若 的 秩 为,则 的 核 的 维 数 为已 知 维 线 性 空 间 的 线 性 变 换 在基 下 的 矩 阵 为,
求 在 基 的 矩 阵 。
定 义下例 29.
1 2 3 1 2 3
1 1 2 3 2 2 3 1
2 1 2 3 3 2 3 1
1 2 3 13 1 2 3
2 3 1
1 2 3
(,,) (,,) 4 5 6
7 8 9
( ) 4 7 ( ) 5 8 2
( ) 2 5 8 ( ) 6 9 3
( ) 4 7( ) 3 6 9
5 6 4
,,8 9 7
2
B
由 条 件 可 知,
于 是 在 基 下 的 矩 阵 为,
解,
31
1 2 3 1 2 3
2 3 1 1 2 3
1
2 3 1
1
1 2 3
(,,) (,,) 4 5 6
7 8 9
0 0 1
(,,) (,,) 1 0 0
0 1 0
0 0 1 0 1 0
1 0 0 0 0 1
0 1 0 1 0 0
,,
0 1 0 1 2 3
0 0 1
1 0 0
PP
B P A P
由 条 件 可 知,
于 是 在 基 下 的 矩 阵 为,
另 解,
0 0 1 5 6 4
4 5 6 1 0 0 8 9 7
7 8 9 0 1 0 2 3 1
22
22
11 12 21 22
11 11 11 11 11
( ),( )
1 0 1 1
2 0 1 1
,,,.
( ) ( ) ( ) ( )
1 0 1 1 1 0
30.
0 0 1 1
TS
TS
T S T S
R X X N X MX
XR
MN
E E E E
E E E E N ME
已 知 的 两 个 线 性 变 换,
，
试 求 在 基解,
下 的 矩 阵例
11 12 21
1 0 2 1
2 0 0 0 2 0
2 2
E E E
12 12 12 11 22
21 21 21 2 1 22
22 22 22 21 22
10
( ) ( ) 2
02
00
( ) ( )
11
00
( ) ( )
11
2 1 0 0
1 0 0 0
2 0 1 1
0 2 1 1
TS
TS
TS
TS
E E N ME E E
E E N ME E E
E E N ME E E
同 理 可 得,
所 以 在 这 组 基 下 的 矩 阵 为,
