第五章 相似矩阵本章通过矩阵的特征值、特征向量以及相似矩阵的概念，进而找出对称矩阵可对角化的条件。
§ 6.2 特征值与特征向量
§ 6.1 向量的内积
§ 6.4 对称矩阵的相似矩阵
§ 6.3 相似矩阵第一节 向量的内积一、内积的定义
11
22
1 1 2 2
...,..
[ ],..,[ ]
[ ]
nn
nn
xy
xy
n
xy
x y x y x y
xy
x,y x,y
xy
x,y x y y x
设 有 维 向 量,
令 称 为 向量 与 的 内 积 。
内 积 用 矩 阵 乘 法 可 表 示义 1.
为定二、内积的性质
2 2 2
12
( i ) [,] [,] ;
( i i ) [,] [,] ;
( i i i ) [ ] [,] [ ],
[ ],..2
.
( )
(1
n
n
x x x
n
x,y,z
x y y x
x y x y
x y,z x z y,z
x x,x
xx
设 为 维 向 量,为 实 数对 称 性齐 次 性可 加 性令,
称 是 维 向 量 的 长 度 或 范 数 。
向 量 的 长 度 具 有 下 述 性 质,
定 义
) 0
x x x
x y x y
非 负 性,(2) 齐 次 性,
(3) 三 角 不 等 式,
2
[,] [,] [,]
[,]
1 ( 0 )
0 0
[,]
a r c c os
n
x y x x y y
xy
xy
xy
xy
xy
xy
xy
向 量 的 内 积 满 足 施 瓦 茨 不 等 式由 此 可 得 当 时从 而 可 定 义,当,时,
称 为 维 向 量 与 的 夹 角 。
12
12
12
1 1 2 2
T
11
[ ] 0
,.,
,..
,..,
,..
1
r
r
r
rr
n
x,y x y
a,a,,a
a,a,,a
a a a 0
a
当 时,称 向 量 与 正 交 。 显 然,
零 向 量 与 任 何 向 量 正 交 。
正 交 向 量 组,把 一 组 两 两 正 交 的 非 零 向 量称 为 正 交 向 量 组 。
若 维 向 量 是 一 组 两 两 正 交的 非 零 向 量,则 线 性 无 关 。
设 有,,使以 左 乘 上 式 两 端,得证,
定 理,
T
1 1 1
0,0a a a因,
三、向量的正交性
2T
1 1 1 1
2
12
0 0
0,.,0
...
r
r
a a a
a,a,,a
故,从 而 必 有 。
类 似 可 得,,,
于 是 向 量 组 线 性 无 关 。
3
12
3 1 2 3
3
1 1
1 2
11
.
R
aa
a a,a,a
已 知 维 向 量 空 间 中,设 有 向 量
,正 交,试 求 一 非 零 向量,使 两 两 正 交 。
例 1
T
1
3T
2
1
2
3
13
2
3
1 1 1
1 2 1
O
1 1 1 0
1 2 1 0
1 1 1 1 0 1
~ ~
0 3 0 0 1 0 0
11
0 0
11
x
x
x
xx
x
a
Aa
a
Ax
A
a
记,则 满 足 齐次 线 性 方 程即由 得,
从 而 有 基 础 解 系 。 取解,
即 为 所 求 。
四、规范正交基
12
12
12
12
12
1 1 2 2
,,...,( )
,,...,
,,...,
,,...,
,,...,
,..
3.
n
r
r
r
r
r
rr
i
n
e e e V V R
e e e
e e e V
e e e V V
a e e e
a e e e
e
设 维 向 量 是 向 量 空 间的 一 组 基,如 果 两 两 正 交,且 都 是 单 位向 量,则 称 是 的 一 组 规 范 正 交 基 。
若 是 的 一 组 规 范 正 交 基,那 么 中任 一 向 量 可 由 线 性 表 示,设义表 示 式 为用定
T T T
T
1 1 2 2
( 1,...,)
[,]
[,] [,],.,[,]
i i i i
i i i
rr
ir
e a e e
e a a e
a a e e a e e a e e
左 乘 上 式 两 端 有即所 以
12
12
1 2 1 2 1 2
12
1 1 2 2 1
11
,,...,
,,
...,
,,...,,,,...,,,...,
[,]
[,]
r
r
r r r
a a a V
aa
aV
e e e e e e a a a
ba
b a b a b
bb
设 是 向 量 空 间 的 一 组 基,那 么可 以 通 过 施 密 特 正 交 化 方 法,把 向 量 组进 行 正 交 化,便 可 得 到 向 量 空 间 的 一组 规 范 正 交 基 。 即 也 就 是 要 找 一 组 两 两 正 交 的单 位 向 量 使 与等 价 。 具 体 方 法 如 下,取； ；
施 密 特 (Schimidt) 正 交 化
,.....,
1 2 1
1 2 1
1 1 2 2 1 1
1 2 1 2
12
1 1 2 2
12
[,] [,] [,]
,..
[,] [,] [,]
,,...,,,...,
,,...,
1 1 1
,,...,
r r r r
r r r
rr
rr
r
rr
r
b a b a b a
b a b b b
b b b b b b
b b b b b b
a a a
e b e b e b V
b b b
容 易 验 证 两 两 正 交,且 与等 价 。 然 后 只 要 把 它 们 单 位 化,即取,就 得 的一 组 规 范 正 交 基 。
12
12
1 2 1 2
12
12
,,...,
,,...,
,,...,,,...,
( 1 ),,,...,
,,...,
r
r
rr
k
k
k k r
a a a
e e e
b b b a a a
b b b
a a a
上 述 从 线 性 无 关 向 量 组 导 出 正 交向 量 组 的 过 程 称 为 施 密 特 正 交 化 过程 。 它 不 仅 满 足 与 等 价,
还 满 足,对 任 何 向 量 组与 等 价 。
1 2 3
11
2 1
2 2 12
1
3 1 3 2
3 3 1 222
12
1 1 4
2,3,1
1 1 0
1 1 1
[,] 4 5
3 2 1
63
1 1 1
[,] [
2.
,]
a a a
ba
ab
b a b
b
a b a b
b a b b
bb
设 试 用 施 密特 正 交 化 法 把 上 述 向 量 组 范 正 交 化 。
解,取例
TT
12
12
12
T
3
3
3
4 1 1 1
15
1 2 1 2 0
33
0 1 1 1
11
1 2 1 1 1 1
63
1
1 0 1
2
bb
ee
bb
b
e
b
再 把 它 单 位 化,取即 合 所 求 。
T
1 2 3
1 2 3
T
2 3 1
1 2 2
TT
12
12
2 1 3 2 1 1 2
11
T
1 1 2
1 1 1,,
,,
,
0
1 0 1 0 1 1,
[,]
,[,] 1
[,
3
]
[,] 2 1 0
.
1
x x x
a a a
a a a
a a a x
aa ξ
a
已 知 求 一 组 非 零 向 量,使规 范 正 交 。
应 满 足 方 程,
即 它 的 基 础 解 系 为,
再 把 基 础 解 系 正 交 化,取其 中 ；
,于 是例解,0
T T T
3
11
0 1 1 1 0 1 1 2 1
22
a
五、正交矩阵与正交变换
1
T
1
T
2
12
T
T
(
)
,,...,
...
1,
[,] (,1
4.
,2,...,)
0,
n
n
i j ij
n
ij
i j n
ij
A A A E
A A A
A
a
a
a a a E
a
aa
如 果 阶 矩 阵 满 足 即
,那 么 称 为 正 交 矩 阵 。 上 式 用的 列 向 量 表 示,即是,
即定 义
.
( )
.
n
n
R
结 论 1
结 论 2.
由 此 得方 阵 为 正 交 矩 阵 的 充 要 条 件 是 的列 向 量 都 是 单 位 向 量,且 两 两 正 交对 于 的 行 向 量 也 有 相 同 的 结 论,即方 阵 为 正 交 矩 阵 的 充 要 条 件 是 的 行向 量 都 是 单 位 向 量,且 两 两 正 交 。
由 此 可 见,正 交 矩 阵 的 个 列 行 向 量 构成 向 量 空 间 的 一 个 规 范 正 交 基 。
AA
A
AA
A
5,
若 为 正 交 矩 阵,则 线 性 变 换 称为 正 交 变 换 。
设 为 正 交 变 换,则 有由 于 表 示 向 量 的 长 度,上 式 说 明 正 交 变 换保 持 向 量定 义的 长 度 不 变 。
P y Px
y Px
y y y x P Px x x x
x
第二节 特征值与特征向量
1
,
( 1 ) ( ) 2
6
.
nn
nn
A
x A x x
A
xA
A E x
AE
设 是 阶 矩 阵,如 果 有 和 维 非零 列 向 量 使 关 系 式 （ ）
成 立,那 么 称 实 数 为 方 阵 的 特 征 值,非 零向 量 称 为 的 对 应 于 特 征 值 的 特 征 向 量式 也 可 写 成 （ ）
即 是 个 未 知 量 个 方 程 的 齐 次 线 性 方 程 组,
它 有 非 零 解 的 充 分 必 要 条 件 是 系 数义行 列 式定
0
11 12 1
21 22 2
12
0 ( 3 )
...
...
0
...,..,..,..
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
即
1 2
1 2
( )
,
( ),,...,
( i ),.
ij n
n
n
f
n
n
na
A
AE
AA
A
A
上 式 是 以 为 未 知 量 的 一 元 次 方 程,称 为方 阵 的 特 征 方 程 。
其 左 端 是 的 次 多 项 式,记为,称 为 方 阵 的 特 征 多 项 式 。 显 然,
的 特 征 值 就 是 特 征 方 程 的 解 。 阶 矩 阵 在 复数 范 围 内 有 个 特 征 值设 阶 矩 阵 的 特 征 值 为,
由 多 项 式 根 与 系 数 的 关 系,易 得
11 22
1 2
.,..
( ii ),..
n nn
n
a a a?
A
( ) 0
,
(
,)
i
i
ii
i i i
ii
A
A E x
x p p A
p
p
设 是 方 阵 的 一 个 特 征 值,则 由 方 程可 求 得 非 零 解 那 么 便 是 的 对 应 于特 征 值 的 特 征 向 量 若 是 实 数,则 可 取实 向 量 ； 若 是 复 数,则 是 复 向 量 。
2 2
12
1
1
2
31
,
13
31
( 3 ) 1 8 6
13
( 4 ) ( 2 )
2 4
2
3 2 1
1 3 2
.
x
x
A
A
A
求 的 特 征 值 和 特 征 向 量解,的 特 征 多 项 式 为所 以 的 特 征 值 为当 时,对 应 的 特 征 向 量 应 满 足例 1
1 2
1 2
00
00
xx
xx
即
12
T
1
1
2
2
1
12
2
T
2
( 1,1 )
3 4 1 0
4
1 3 4 0
1 1 0
0 0 0
( 1,1 )
xx
x
x
x
xx
x
p
p
解 得,所 以 对 应 的 特 征 向 量 可 取 为当 时,由即,解 得所 以 对 应 的 特 征 向 量 可 取 为
( 0)
.
ii
iikk
pA
p
显 然,若 是 方 阵 的 对 应 于 特 征 值 的 特征 向 量,则 也 是 对 应 于 的 特 征向 量
2
1 2 3
1
1 1 0
4 3 0,
1 0 2
1 1 0
4 3 0 ( 2 ) ( 1 )
1 0 2
2 1
2 ( 2 ) 0
.
A
A
AE
A
A E x
求 矩 阵 的 特 征 值 和 特 征 向 量的 特 征 多 项 式 为所 以 的 特 征 值 为当 时,解 方 程 即解,
：
例 2
11
1
3 1 0 1 0 0
2 4 1 0 ~ 0 1 0
1 0 0 0 0 0
0
0 ( 0)
1
2
kk
AE
pp得 基 础 解 系,所 以 是对 应 于 的 全 部 特 征 向 量 。
2 3
22
2 3
1 ( ) 0
2 1 0 1 0 1
4 2 0 ~ 0 1 2
1 0 1 0 0 0
1
2 ( 0)
1
1
kk
当 时,解 方 程 即,
得 基 础 解 系,所 以 是 对应 于 的 全 部 特 征 向 量 。
A E x
AE
pp
2
2
1 2 3
2 1 1
0 2 0,
4 1 3
2 1 1
0 2 0
4 1 3
21
( 2 ) ( 2 ) ( 2)
43
( 1 ) ( 2)
1
.
2
例 3 求 矩 阵 的 特 征 值 和 特 征 向 量所 以 的 特 征 值 为解,
A
AE
A
1
1 1
1
1 ( )
1 1 1 1 0 1
0 3 0 ~ 0 1 0
4 1 4 0 0 0
1
0 1
1
( 0)kk
0当 时,解 方 程 即,
得 基 础 解 系,所 以 对 应 于的 全 部 特 征 向 量 为
A E x
AE
p
p
2 3
23
23
2 2 3 3 2 3
2 ( 2 )
4 1 1 4 1 1
2 0 0 0 ~ 0 0 0
4 1 1 0 0 0
01
1,0
14
2
(,0)k k k k
0
对 应于当 时,解 方 程即,
得 基 础 解 系,所 以的 全 部 特 征 向 量 为不 同 时 为
A E x
AE
pp
pp
22
22
22
( ) ( ) (
.
)
.
AA
A p 0
A p p
A p A A p A p A p p
A
设 是 方 阵 的 特 征 值,证 明 是的 特 征 值 。
因 是 的 特 征 值,故 有 使于 是,
所 以 是 的 特
4
证,
征 值例
。
01
01
( ) ( )
( ),..
( ),..
kk
m
m
m
m
a a a
a a a
A
AA
A E A A
一 般 的 有 如 下 结 论,若 是 的 特 征 值,
则 也 是 的 特 征 值 ； 也 是 的 特 征值 。 其 中注,
12
12
1 2 1 2
1 2
1 1 2 2
1 1 2 2
,,...,
,,...,
,,...,,,...,
.
,,...,
2.
,..
(,.,)
m
m
mm
m
mm
mm
m
x x x
x x x
x x x
A
p p p
p p p
p p p 0
A p p p 0
设 是 方 阵 的 个 特 征 值,
依 次 是 与 之 对 应 的 特 征 向 量 。 如果 各 不 相 等,则 线 性无 关设 有 常 数 使则定
：
即理证
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
,.,
,..
( 1,2,...,1 )
m m m
k k k
m m m
x x x
x x x
km
p p p 0
p p p 0继 推 之,有,
1
1 1
1
2 2
1
1 1 2 2
2
1 1 2
1,..
1,..
( ) 0,0,...,0
...,..,..,..
1,..
0
(
,,...,
,,...,
m
m
m
i
mm
mm
x x x
x x x
p p p
pp
把 上 面 各 式 合 并 成 矩 阵 形 式,得上 式 等 号 左 端 第 二 个 矩 阵 的 行 列 式 是 范 德 蒙 行列 式,由 互 不 相 等,所 以 行 列 式 不 等 于,故而 该 矩 阵 可 逆 。 于 是 有
12
) 0,0,...,0
0 ( 1,2,...,)
,,...
0 ( 1,2,.,
)
,
.
mm
j
jj
j
m
jm
x
x
jm
0
p
p
p
p p p
即但,故所 以 向 量 组 线 性 无 关 。
第三节 相似矩阵
1
1
,
.
7,n
A,B
P P A P B
B A A B
A P A P A
P A B
设 都 是 阶 矩 阵,若 有 可 逆 矩 阵使则 称 是 的 相 似 矩 阵,或 称 矩 阵 与 相 似对 进 行 运 算 称 为 对 进 行 相 似 变 换,
可 逆 矩 阵 称 为 把 变 成 的 相 似 变定换 矩 阵义
1
3.
n
A B A B
AB
A B P
P AP B
若 阶 矩 阵 与 相 似,则 与 的 特 征多 项 式 相 同,从 而 与 特 征 值 亦 相 同 。
因 与 相 似,即 有 可 逆 矩 阵,使定 理证,
1 1 1
1
1
2
12
12
12
( ) ( )
...
..,
,,...,
3,,...,
.
n
n
n
n
n
n
n
n
B E P A P P E P P A E P
P A E P A E
A Λ
A
Λ
A
推 论证,
故,
若 阶 矩 阵 与 对 角 矩 阵相 似,则,,,是 的 个 特 征 。
因 是 的 个 特 征 值,由 定理 知 也 是 的 个 特 征 值 。
1
2
1 1
1
1
1 1
1
2
( ) ( )
( ) ( )
()
()
( )
...
...
()
( )
kk
kk
k
k
k
k
n
n
A P B P A P B P
A A P B P
P P A P Λ
AP Λ P A P Λ P
Λ Λ
AA
易 证 下 面 结 论,
若,则的 多 项 式若 有 可 逆 矩 阵 使 为 对 角 矩 阵,则由 此 可 方 便 的 计 算 的 多 项 式 。
特 别,
1
1
12
1
1 2 1
,.
(,,...,)
(,,...,) (,
n
n
n
AP
P A P Λ A
P,P A P Λ
P
P p p p
P A P Λ A P P Λ
A p p p p
对 阶 矩 阵 要 求 相 似 变 换 矩 阵,使为 对 角 矩 阵 也 就 是 把 方 阵 对 角 化假 设 已 经 找 到 可 逆 矩 阵 使 成 为对 角 矩 阵,把 用 其 列 向 量 表 示 为由,得,即下 面 要 讨 论 的 主 要 问 题 是,
1
2
2
1 1 2 2
,...,)
...
(,,...,)
n
n
nn
pp
p p p
12
( 1,2,...,),
.
,
,,...,
i i i i
ii
n
in
n
nn
A p p A
P p A
A
P
A P P Λ
P p p p
P
于 是 有 可 见 是 的 特 征值,而 的 列 向 量 就 是 的 对 应 于 特 征 值 的 特征 向 量反 之,由 上 节 知 恰 有 个 特 征 值,并 可 求得 个 特 征 向 量,该 个 特 征 向 量 即 可 构 成 矩 阵使余 下 的 问 题 是,是 否 可 逆？ 即 是 否线 性 无 关？ 如 果 可 逆,那 么 便 有,
1
P A P Λ
A即 与 对 角 矩 阵 相 似 。
4.
,
n
n
nn
n
阶 矩 阵 与 对 角 矩 阵 相 似 （ 即 能对 角 化 ） 的 充 分 必 要 条 件 是 有 个 线 性 无关 的 特 征 向 量 。
联 系 上 节 定 理,可 得,
如 果 阶 矩 阵 的 个 特 征 值 互 不 相 等,
则 与 对 角 矩 阵 相 似 。
注 意,当 的 特 征 方 程 有 重 根 时,就 不 一 定有 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量,从 而 不 一 定 能 对理论角推化定
。
AA
A
A
A
A
第四节 对称矩阵的相似矩阵
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
5,
实 对 称 矩 阵 的 特 征 值 为 实 数 。
设 复 数 为 实 对 称 矩 阵 的 特 征 值,复 向量 为 对 应 的 特 征 向 量,即用 表 示 的 共 轭 复 数,表 示 的 共 轭 复向 量,则于 是 有及定 理证,A
x
A x x x 0
xx
A x A x A x x x
x A x x A x x x x x
x A x x A x A x ( )
( ) 0
两 式 相 减,得
x x x x x
xx
2
11
1 2 1
2 1 2 1 2
1 1 1 2 2 2 1 2
T T T
1 1 1 1 1 1 1
,0
0,
,,
.
,
( ) ( )
6.
nn
i i i
ii
x x x
Q
但 因 所 以故,这 就 说 明 是 实 数设 是 对 称 矩 阵 的 两 个 特 征 值,
是 对 应 的 特 征 向 量,若,
定 理则 与 正交又 因 对 称,
证故于
：
x 0 x x
Ap
p p p
p A p p A p
A
p p A p p A p A
T T T T
1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2
( )是 p p p A p p p p p
T
1 2 1 2 1 2
T
1 2 1 2
7.
( ) 0
0
( )
,
.
n
rR
n r r
即 但故 即,与 正 交 ▌
设 为 阶 对 称 矩 阵,是 的 特 征 方程 的 重 根,则 矩 阵 的 秩 为从 而定 理对 应 特 征 值 恰 有 个 线 性 无 关 的特 征 向 量
pp
p p p p
AA
A E A E
1
1 2
1 2 1 2
.
,,...,
,,...,(,.,)
5 7
( 1,2,...,)
.
8
s
ss
i
i
n
n
r r r r r r n
i s r
A
P P A P Λ Λ A
A
设 为 阶 实 对 称 矩 阵,则 必 有 正 交矩 阵,使,其 中 是 以 的个 特 征 值 为 对 角 元 素 的 对 角 矩 阵设 的 互 不 相 等 的 特 征 值 为,
它 的定重 数 依 次 为根 据 定 理 及 定 理 知,对 应 于 特 征 值
,恰 有 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量,
把 它 们 正理证,
交 化 并 单
12
,..
i
s
r
r r r n
n
位 化,即 得 个 单 位 正 交的 特 征 向 量 。 由,知 这 样 的特 征 向 量 共 有 个 。
11
1 1
4
,
,..,
s
s
n
rr
n
P
P A P P P Λ Λ
Λ
A
由 定 理 知,对 应 于 不 同 特 征 值 的 特 征向 量 正 交,故 这 个 单 位 特 征 向 量 两 两 正 交于 是 以 它 们 为 列 向 量 构 成 正 交 矩 阵 并 有其 中 对 角 矩 阵 的 对 角 元 素 含 个,
个,恰 是 的 个 特 征 值 。
1
2
2
1 2 3
400
0 3 1,,
0 1 3
4 0 0
0 3 1 ( 4 ) ( 6 8 )
0 1 3
( 2 ) ( 4 )
2 4
.
例 1 设 求 一 个 正 交 矩 阵 使为 对 角 矩 阵 。
故 得 特解,
征 值,
AP
P A P Λ
AE
1
12
3
T T
1 2 3
T
1
1
2 3 2
3
2 0 0 0
2 0 1 1 0
0 1 1 0
0 1 1
11
0
22
0 0 0 0
4 0 1 1 0
0 1 1 0
x
x
x
x x x k
x
x
x
p
当 时,由解 得单 位 特 征 向 量 可 取 为当 时,由
T TT
1 2 3 1 2
T
2
T
3
11
1 2 3
22
11
22
1 0 0 0 1 1
1 0 0
11
0
22
0 1 0
(,,) 0
0
x x x k k
解 得基 础 解 系 中 两 个 向 量 恰 好 正 交,将 它 们 单 位 化即 得 两 个 单 位 正 交 向 量
,于 是 得 正 交 矩 阵
,从 而 有,
p
p
P p p p
1T
TT
1 2
12
2
4
4
4
( 4 )
1 1 1 1 1 1
在 此 例 中,对 应 于,若 求 得 方 程的 基 础 解 系 为如 果 与 不 正 交,则 首 先 需 把 它 们 规 范 正 交化,然 后 再 用 规 范 正 交 化 后 的 特 征 向 量 去 构 成矩 阵 。
注 意,
P A P P A P
A E x 0
P
§ 6.2 特征值与特征向量
§ 6.1 向量的内积
§ 6.4 对称矩阵的相似矩阵
§ 6.3 相似矩阵第一节 向量的内积一、内积的定义
11
22
1 1 2 2
...,..
[ ],..,[ ]
[ ]
nn
nn
xy
xy
n
xy
x y x y x y
xy
x,y x,y
xy
x,y x y y x
设 有 维 向 量,
令 称 为 向量 与 的 内 积 。
内 积 用 矩 阵 乘 法 可 表 示义 1.
为定二、内积的性质
2 2 2
12
( i ) [,] [,] ;
( i i ) [,] [,] ;
( i i i ) [ ] [,] [ ],
[ ],..2
.
( )
(1
n
n
x x x
n
x,y,z
x y y x
x y x y
x y,z x z y,z
x x,x
xx
设 为 维 向 量,为 实 数对 称 性齐 次 性可 加 性令,
称 是 维 向 量 的 长 度 或 范 数 。
向 量 的 长 度 具 有 下 述 性 质,
定 义
) 0
x x x
x y x y
非 负 性,(2) 齐 次 性,
(3) 三 角 不 等 式,
2
[,] [,] [,]
[,]
1 ( 0 )
0 0
[,]
a r c c os
n
x y x x y y
xy
xy
xy
xy
xy
xy
xy
向 量 的 内 积 满 足 施 瓦 茨 不 等 式由 此 可 得 当 时从 而 可 定 义,当,时,
称 为 维 向 量 与 的 夹 角 。
12
12
12
1 1 2 2
T
11
[ ] 0
,.,
,..
,..,
,..
1
r
r
r
rr
n
x,y x y
a,a,,a
a,a,,a
a a a 0
a
当 时,称 向 量 与 正 交 。 显 然,
零 向 量 与 任 何 向 量 正 交 。
正 交 向 量 组,把 一 组 两 两 正 交 的 非 零 向 量称 为 正 交 向 量 组 。
若 维 向 量 是 一 组 两 两 正 交的 非 零 向 量,则 线 性 无 关 。
设 有,,使以 左 乘 上 式 两 端,得证,
定 理,
T
1 1 1
0,0a a a因,
三、向量的正交性
2T
1 1 1 1
2
12
0 0
0,.,0
...
r
r
a a a
a,a,,a
故,从 而 必 有 。
类 似 可 得,,,
于 是 向 量 组 线 性 无 关 。
3
12
3 1 2 3
3
1 1
1 2
11
.
R
aa
a a,a,a
已 知 维 向 量 空 间 中,设 有 向 量
,正 交,试 求 一 非 零 向量,使 两 两 正 交 。
例 1
T
1
3T
2
1
2
3
13
2
3
1 1 1
1 2 1
O
1 1 1 0
1 2 1 0
1 1 1 1 0 1
~ ~
0 3 0 0 1 0 0
11
0 0
11
x
x
x
xx
x
a
Aa
a
Ax
A
a
记,则 满 足 齐次 线 性 方 程即由 得,
从 而 有 基 础 解 系 。 取解,
即 为 所 求 。
四、规范正交基
12
12
12
12
12
1 1 2 2
,,...,( )
,,...,
,,...,
,,...,
,,...,
,..
3.
n
r
r
r
r
r
rr
i
n
e e e V V R
e e e
e e e V
e e e V V
a e e e
a e e e
e
设 维 向 量 是 向 量 空 间的 一 组 基,如 果 两 两 正 交,且 都 是 单 位向 量,则 称 是 的 一 组 规 范 正 交 基 。
若 是 的 一 组 规 范 正 交 基,那 么 中任 一 向 量 可 由 线 性 表 示,设义表 示 式 为用定
T T T
T
1 1 2 2
( 1,...,)
[,]
[,] [,],.,[,]
i i i i
i i i
rr
ir
e a e e
e a a e
a a e e a e e a e e
左 乘 上 式 两 端 有即所 以
12
12
1 2 1 2 1 2
12
1 1 2 2 1
11
,,...,
,,
...,
,,...,,,,...,,,...,
[,]
[,]
r
r
r r r
a a a V
aa
aV
e e e e e e a a a
ba
b a b a b
bb
设 是 向 量 空 间 的 一 组 基,那 么可 以 通 过 施 密 特 正 交 化 方 法,把 向 量 组进 行 正 交 化,便 可 得 到 向 量 空 间 的 一组 规 范 正 交 基 。 即 也 就 是 要 找 一 组 两 两 正 交 的单 位 向 量 使 与等 价 。 具 体 方 法 如 下,取； ；
施 密 特 (Schimidt) 正 交 化
,.....,
1 2 1
1 2 1
1 1 2 2 1 1
1 2 1 2
12
1 1 2 2
12
[,] [,] [,]
,..
[,] [,] [,]
,,...,,,...,
,,...,
1 1 1
,,...,
r r r r
r r r
rr
rr
r
rr
r
b a b a b a
b a b b b
b b b b b b
b b b b b b
a a a
e b e b e b V
b b b
容 易 验 证 两 两 正 交,且 与等 价 。 然 后 只 要 把 它 们 单 位 化,即取,就 得 的一 组 规 范 正 交 基 。
12
12
1 2 1 2
12
12
,,...,
,,...,
,,...,,,...,
( 1 ),,,...,
,,...,
r
r
rr
k
k
k k r
a a a
e e e
b b b a a a
b b b
a a a
上 述 从 线 性 无 关 向 量 组 导 出 正 交向 量 组 的 过 程 称 为 施 密 特 正 交 化 过程 。 它 不 仅 满 足 与 等 价,
还 满 足,对 任 何 向 量 组与 等 价 。
1 2 3
11
2 1
2 2 12
1
3 1 3 2
3 3 1 222
12
1 1 4
2,3,1
1 1 0
1 1 1
[,] 4 5
3 2 1
63
1 1 1
[,] [
2.
,]
a a a
ba
ab
b a b
b
a b a b
b a b b
bb
设 试 用 施 密特 正 交 化 法 把 上 述 向 量 组 范 正 交 化 。
解,取例
TT
12
12
12
T
3
3
3
4 1 1 1
15
1 2 1 2 0
33
0 1 1 1
11
1 2 1 1 1 1
63
1
1 0 1
2
bb
ee
bb
b
e
b
再 把 它 单 位 化,取即 合 所 求 。
T
1 2 3
1 2 3
T
2 3 1
1 2 2
TT
12
12
2 1 3 2 1 1 2
11
T
1 1 2
1 1 1,,
,,
,
0
1 0 1 0 1 1,
[,]
,[,] 1
[,
3
]
[,] 2 1 0
.
1
x x x
a a a
a a a
a a a x
aa ξ
a
已 知 求 一 组 非 零 向 量,使规 范 正 交 。
应 满 足 方 程,
即 它 的 基 础 解 系 为,
再 把 基 础 解 系 正 交 化,取其 中 ；
,于 是例解,0
T T T
3
11
0 1 1 1 0 1 1 2 1
22
a
五、正交矩阵与正交变换
1
T
1
T
2
12
T
T
(
)
,,...,
...
1,
[,] (,1
4.
,2,...,)
0,
n
n
i j ij
n
ij
i j n
ij
A A A E
A A A
A
a
a
a a a E
a
aa
如 果 阶 矩 阵 满 足 即
,那 么 称 为 正 交 矩 阵 。 上 式 用的 列 向 量 表 示,即是,
即定 义
.
( )
.
n
n
R
结 论 1
结 论 2.
由 此 得方 阵 为 正 交 矩 阵 的 充 要 条 件 是 的列 向 量 都 是 单 位 向 量,且 两 两 正 交对 于 的 行 向 量 也 有 相 同 的 结 论,即方 阵 为 正 交 矩 阵 的 充 要 条 件 是 的 行向 量 都 是 单 位 向 量,且 两 两 正 交 。
由 此 可 见,正 交 矩 阵 的 个 列 行 向 量 构成 向 量 空 间 的 一 个 规 范 正 交 基 。
AA
A
AA
A
5,
若 为 正 交 矩 阵,则 线 性 变 换 称为 正 交 变 换 。
设 为 正 交 变 换,则 有由 于 表 示 向 量 的 长 度,上 式 说 明 正 交 变 换保 持 向 量定 义的 长 度 不 变 。
P y Px
y Px
y y y x P Px x x x
x
第二节 特征值与特征向量
1
,
( 1 ) ( ) 2
6
.
nn
nn
A
x A x x
A
xA
A E x
AE
设 是 阶 矩 阵,如 果 有 和 维 非零 列 向 量 使 关 系 式 （ ）
成 立,那 么 称 实 数 为 方 阵 的 特 征 值,非 零向 量 称 为 的 对 应 于 特 征 值 的 特 征 向 量式 也 可 写 成 （ ）
即 是 个 未 知 量 个 方 程 的 齐 次 线 性 方 程 组,
它 有 非 零 解 的 充 分 必 要 条 件 是 系 数义行 列 式定
0
11 12 1
21 22 2
12
0 ( 3 )
...
...
0
...,..,..,..
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
即
1 2
1 2
( )
,
( ),,...,
( i ),.
ij n
n
n
f
n
n
na
A
AE
AA
A
A
上 式 是 以 为 未 知 量 的 一 元 次 方 程,称 为方 阵 的 特 征 方 程 。
其 左 端 是 的 次 多 项 式,记为,称 为 方 阵 的 特 征 多 项 式 。 显 然,
的 特 征 值 就 是 特 征 方 程 的 解 。 阶 矩 阵 在 复数 范 围 内 有 个 特 征 值设 阶 矩 阵 的 特 征 值 为,
由 多 项 式 根 与 系 数 的 关 系,易 得
11 22
1 2
.,..
( ii ),..
n nn
n
a a a?
A
( ) 0
,
(
,)
i
i
ii
i i i
ii
A
A E x
x p p A
p
p
设 是 方 阵 的 一 个 特 征 值,则 由 方 程可 求 得 非 零 解 那 么 便 是 的 对 应 于特 征 值 的 特 征 向 量 若 是 实 数,则 可 取实 向 量 ； 若 是 复 数,则 是 复 向 量 。
2 2
12
1
1
2
31
,
13
31
( 3 ) 1 8 6
13
( 4 ) ( 2 )
2 4
2
3 2 1
1 3 2
.
x
x
A
A
A
求 的 特 征 值 和 特 征 向 量解,的 特 征 多 项 式 为所 以 的 特 征 值 为当 时,对 应 的 特 征 向 量 应 满 足例 1
1 2
1 2
00
00
xx
xx
即
12
T
1
1
2
2
1
12
2
T
2
( 1,1 )
3 4 1 0
4
1 3 4 0
1 1 0
0 0 0
( 1,1 )
xx
x
x
x
xx
x
p
p
解 得,所 以 对 应 的 特 征 向 量 可 取 为当 时,由即,解 得所 以 对 应 的 特 征 向 量 可 取 为
( 0)
.
ii
iikk
pA
p
显 然,若 是 方 阵 的 对 应 于 特 征 值 的 特征 向 量,则 也 是 对 应 于 的 特 征向 量
2
1 2 3
1
1 1 0
4 3 0,
1 0 2
1 1 0
4 3 0 ( 2 ) ( 1 )
1 0 2
2 1
2 ( 2 ) 0
.
A
A
AE
A
A E x
求 矩 阵 的 特 征 值 和 特 征 向 量的 特 征 多 项 式 为所 以 的 特 征 值 为当 时,解 方 程 即解,
：
例 2
11
1
3 1 0 1 0 0
2 4 1 0 ~ 0 1 0
1 0 0 0 0 0
0
0 ( 0)
1
2
kk
AE
pp得 基 础 解 系,所 以 是对 应 于 的 全 部 特 征 向 量 。
2 3
22
2 3
1 ( ) 0
2 1 0 1 0 1
4 2 0 ~ 0 1 2
1 0 1 0 0 0
1
2 ( 0)
1
1
kk
当 时,解 方 程 即,
得 基 础 解 系,所 以 是 对应 于 的 全 部 特 征 向 量 。
A E x
AE
pp
2
2
1 2 3
2 1 1
0 2 0,
4 1 3
2 1 1
0 2 0
4 1 3
21
( 2 ) ( 2 ) ( 2)
43
( 1 ) ( 2)
1
.
2
例 3 求 矩 阵 的 特 征 值 和 特 征 向 量所 以 的 特 征 值 为解,
A
AE
A
1
1 1
1
1 ( )
1 1 1 1 0 1
0 3 0 ~ 0 1 0
4 1 4 0 0 0
1
0 1
1
( 0)kk
0当 时,解 方 程 即,
得 基 础 解 系,所 以 对 应 于的 全 部 特 征 向 量 为
A E x
AE
p
p
2 3
23
23
2 2 3 3 2 3
2 ( 2 )
4 1 1 4 1 1
2 0 0 0 ~ 0 0 0
4 1 1 0 0 0
01
1,0
14
2
(,0)k k k k
0
对 应于当 时,解 方 程即,
得 基 础 解 系,所 以的 全 部 特 征 向 量 为不 同 时 为
A E x
AE
pp
pp
22
22
22
( ) ( ) (
.
)
.
AA
A p 0
A p p
A p A A p A p A p p
A
设 是 方 阵 的 特 征 值,证 明 是的 特 征 值 。
因 是 的 特 征 值,故 有 使于 是,
所 以 是 的 特
4
证,
征 值例
。
01
01
( ) ( )
( ),..
( ),..
kk
m
m
m
m
a a a
a a a
A
AA
A E A A
一 般 的 有 如 下 结 论,若 是 的 特 征 值,
则 也 是 的 特 征 值 ； 也 是 的 特 征值 。 其 中注,
12
12
1 2 1 2
1 2
1 1 2 2
1 1 2 2
,,...,
,,...,
,,...,,,...,
.
,,...,
2.
,..
(,.,)
m
m
mm
m
mm
mm
m
x x x
x x x
x x x
A
p p p
p p p
p p p 0
A p p p 0
设 是 方 阵 的 个 特 征 值,
依 次 是 与 之 对 应 的 特 征 向 量 。 如果 各 不 相 等,则 线 性无 关设 有 常 数 使则定
：
即理证
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
,.,
,..
( 1,2,...,1 )
m m m
k k k
m m m
x x x
x x x
km
p p p 0
p p p 0继 推 之,有,
1
1 1
1
2 2
1
1 1 2 2
2
1 1 2
1,..
1,..
( ) 0,0,...,0
...,..,..,..
1,..
0
(
,,...,
,,...,
m
m
m
i
mm
mm
x x x
x x x
p p p
pp
把 上 面 各 式 合 并 成 矩 阵 形 式,得上 式 等 号 左 端 第 二 个 矩 阵 的 行 列 式 是 范 德 蒙 行列 式,由 互 不 相 等,所 以 行 列 式 不 等 于,故而 该 矩 阵 可 逆 。 于 是 有
12
) 0,0,...,0
0 ( 1,2,...,)
,,...
0 ( 1,2,.,
)
,
.
mm
j
jj
j
m
jm
x
x
jm
0
p
p
p
p p p
即但,故所 以 向 量 组 线 性 无 关 。
第三节 相似矩阵
1
1
,
.
7,n
A,B
P P A P B
B A A B
A P A P A
P A B
设 都 是 阶 矩 阵,若 有 可 逆 矩 阵使则 称 是 的 相 似 矩 阵,或 称 矩 阵 与 相 似对 进 行 运 算 称 为 对 进 行 相 似 变 换,
可 逆 矩 阵 称 为 把 变 成 的 相 似 变定换 矩 阵义
1
3.
n
A B A B
AB
A B P
P AP B
若 阶 矩 阵 与 相 似,则 与 的 特 征多 项 式 相 同,从 而 与 特 征 值 亦 相 同 。
因 与 相 似,即 有 可 逆 矩 阵,使定 理证,
1 1 1
1
1
2
12
12
12
( ) ( )
...
..,
,,...,
3,,...,
.
n
n
n
n
n
n
n
n
B E P A P P E P P A E P
P A E P A E
A Λ
A
Λ
A
推 论证,
故,
若 阶 矩 阵 与 对 角 矩 阵相 似,则,,,是 的 个 特 征 。
因 是 的 个 特 征 值,由 定理 知 也 是 的 个 特 征 值 。
1
2
1 1
1
1
1 1
1
2
( ) ( )
( ) ( )
()
()
( )
...
...
()
( )
kk
kk
k
k
k
k
n
n
A P B P A P B P
A A P B P
P P A P Λ
AP Λ P A P Λ P
Λ Λ
AA
易 证 下 面 结 论,
若,则的 多 项 式若 有 可 逆 矩 阵 使 为 对 角 矩 阵,则由 此 可 方 便 的 计 算 的 多 项 式 。
特 别,
1
1
12
1
1 2 1
,.
(,,...,)
(,,...,) (,
n
n
n
AP
P A P Λ A
P,P A P Λ
P
P p p p
P A P Λ A P P Λ
A p p p p
对 阶 矩 阵 要 求 相 似 变 换 矩 阵,使为 对 角 矩 阵 也 就 是 把 方 阵 对 角 化假 设 已 经 找 到 可 逆 矩 阵 使 成 为对 角 矩 阵,把 用 其 列 向 量 表 示 为由,得,即下 面 要 讨 论 的 主 要 问 题 是,
1
2
2
1 1 2 2
,...,)
...
(,,...,)
n
n
nn
pp
p p p
12
( 1,2,...,),
.
,
,,...,
i i i i
ii
n
in
n
nn
A p p A
P p A
A
P
A P P Λ
P p p p
P
于 是 有 可 见 是 的 特 征值,而 的 列 向 量 就 是 的 对 应 于 特 征 值 的 特征 向 量反 之,由 上 节 知 恰 有 个 特 征 值,并 可 求得 个 特 征 向 量,该 个 特 征 向 量 即 可 构 成 矩 阵使余 下 的 问 题 是,是 否 可 逆？ 即 是 否线 性 无 关？ 如 果 可 逆,那 么 便 有,
1
P A P Λ
A即 与 对 角 矩 阵 相 似 。
4.
,
n
n
nn
n
阶 矩 阵 与 对 角 矩 阵 相 似 （ 即 能对 角 化 ） 的 充 分 必 要 条 件 是 有 个 线 性 无关 的 特 征 向 量 。
联 系 上 节 定 理,可 得,
如 果 阶 矩 阵 的 个 特 征 值 互 不 相 等,
则 与 对 角 矩 阵 相 似 。
注 意,当 的 特 征 方 程 有 重 根 时,就 不 一 定有 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量,从 而 不 一 定 能 对理论角推化定
。
AA
A
A
A
A
第四节 对称矩阵的相似矩阵
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
5,
实 对 称 矩 阵 的 特 征 值 为 实 数 。
设 复 数 为 实 对 称 矩 阵 的 特 征 值,复 向量 为 对 应 的 特 征 向 量,即用 表 示 的 共 轭 复 数,表 示 的 共 轭 复向 量,则于 是 有及定 理证,A
x
A x x x 0
xx
A x A x A x x x
x A x x A x x x x x
x A x x A x A x ( )
( ) 0
两 式 相 减,得
x x x x x
xx
2
11
1 2 1
2 1 2 1 2
1 1 1 2 2 2 1 2
T T T
1 1 1 1 1 1 1
,0
0,
,,
.
,
( ) ( )
6.
nn
i i i
ii
x x x
Q
但 因 所 以故,这 就 说 明 是 实 数设 是 对 称 矩 阵 的 两 个 特 征 值,
是 对 应 的 特 征 向 量,若,
定 理则 与 正交又 因 对 称,
证故于
：
x 0 x x
Ap
p p p
p A p p A p
A
p p A p p A p A
T T T T
1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2
( )是 p p p A p p p p p
T
1 2 1 2 1 2
T
1 2 1 2
7.
( ) 0
0
( )
,
.
n
rR
n r r
即 但故 即,与 正 交 ▌
设 为 阶 对 称 矩 阵,是 的 特 征 方程 的 重 根,则 矩 阵 的 秩 为从 而定 理对 应 特 征 值 恰 有 个 线 性 无 关 的特 征 向 量
pp
p p p p
AA
A E A E
1
1 2
1 2 1 2
.
,,...,
,,...,(,.,)
5 7
( 1,2,...,)
.
8
s
ss
i
i
n
n
r r r r r r n
i s r
A
P P A P Λ Λ A
A
设 为 阶 实 对 称 矩 阵,则 必 有 正 交矩 阵,使,其 中 是 以 的个 特 征 值 为 对 角 元 素 的 对 角 矩 阵设 的 互 不 相 等 的 特 征 值 为,
它 的定重 数 依 次 为根 据 定 理 及 定 理 知,对 应 于 特 征 值
,恰 有 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量,
把 它 们 正理证,
交 化 并 单
12
,..
i
s
r
r r r n
n
位 化,即 得 个 单 位 正 交的 特 征 向 量 。 由,知 这 样 的特 征 向 量 共 有 个 。
11
1 1
4
,
,..,
s
s
n
rr
n
P
P A P P P Λ Λ
Λ
A
由 定 理 知,对 应 于 不 同 特 征 值 的 特 征向 量 正 交,故 这 个 单 位 特 征 向 量 两 两 正 交于 是 以 它 们 为 列 向 量 构 成 正 交 矩 阵 并 有其 中 对 角 矩 阵 的 对 角 元 素 含 个,
个,恰 是 的 个 特 征 值 。
1
2
2
1 2 3
400
0 3 1,,
0 1 3
4 0 0
0 3 1 ( 4 ) ( 6 8 )
0 1 3
( 2 ) ( 4 )
2 4
.
例 1 设 求 一 个 正 交 矩 阵 使为 对 角 矩 阵 。
故 得 特解,
征 值,
AP
P A P Λ
AE
1
12
3
T T
1 2 3
T
1
1
2 3 2
3
2 0 0 0
2 0 1 1 0
0 1 1 0
0 1 1
11
0
22
0 0 0 0
4 0 1 1 0
0 1 1 0
x
x
x
x x x k
x
x
x
p
当 时,由解 得单 位 特 征 向 量 可 取 为当 时,由
T TT
1 2 3 1 2
T
2
T
3
11
1 2 3
22
11
22
1 0 0 0 1 1
1 0 0
11
0
22
0 1 0
(,,) 0
0
x x x k k
解 得基 础 解 系 中 两 个 向 量 恰 好 正 交,将 它 们 单 位 化即 得 两 个 单 位 正 交 向 量
,于 是 得 正 交 矩 阵
,从 而 有,
p
p
P p p p
1T
TT
1 2
12
2
4
4
4
( 4 )
1 1 1 1 1 1
在 此 例 中,对 应 于,若 求 得 方 程的 基 础 解 系 为如 果 与 不 正 交,则 首 先 需 把 它 们 规 范 正 交化,然 后 再 用 规 范 正 交 化 后 的 特 征 向 量 去 构 成矩 阵 。
注 意,
P A P P A P
A E x 0
P
