陕西科技大学：线性代数（吴明鑫）：第一章 行列式

第一章 行列式行列式是为了求解线性方程组而引入的，但在线性代数和其它数学领域以及工程技术中，行列式是一个很重要的工具。
本章主要介绍行列式的定义、性质及其计算方法。
§ 1.1 二阶、三阶行列式，
全排列及其逆序数
§ 1.2 n 阶行列式的定义
§ 1.3 行列式的性质（ 1）
§ 1.4 行列式性质（ 2）
§ 1.5 克莱姆法则第一节 二、三阶行列式全排列及其逆序数一、二阶行列式与三阶行列式注：
该定义称之为对角线法则。
322311332112312213
322113312312332211
333231
232221
131211
21122211
2221
1211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
aaaa
aa
aa




1.全排列,把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列（简称排列）。
2.逆序,对于 n 个不同的元素，先规定各元素之间的一个标准次序（如 n 个不同的自然数，
可规定由小到大）于是在这 n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素构成了一个逆序。
二、全排列与逆序数
3.逆序数,一个排列中所有逆序的总和称之为这个排列的逆序数。
4.奇排列与偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
5.计算排列逆序数的方法：
不妨设 n 个元素为 1至 n 这 n 个自然数，并规定由小到大为标准次序。设 p1 p2 … pn为这 n 个自然数的一个排列，考虑元素 pi(i=1,2,… n)，如果比 pi大的且排在 pi 前面的元素有 τi个，就说
pi 这个元素的逆序数是?i，即：
( p1 p2 … pn)=? 1 +? 2 +…+? n
就是这个排列的逆序数。
例 1 求排列 13…(2 n? 1)24…(2 n)的逆序数。
解,在该排列中,1 ～ (2n?1)中每个奇数的逆序数全为 0,2的逆序数为 (n? 1),4的逆序数为 (n? 2),…,(2n? 2)的逆境序数为 1,2n的逆序数为 0，于是该排列的逆序数为 ( 1 )
( 1 ) ( 2 ),,,1 0 2nnnn
例 2 在 1~9构成的排列中,求 j,k，使排列 1
2 7 4 j 5 6 k 9为偶排列解,由题可知,j,k 的取值范围为 {3,8}
当 j = 3,k = 8时，经计算可知，排列
127435689的逆序数为 5，即为奇排列当 j= 8,k = 3时，经计算可知，排列
127485639的逆序数为 10，即为偶排列
∴ j = 8,k = 3
例 3 设排列 p1 p2 p3…pn的逆序数为 k，求 pn…p3 p2
p1的逆序数（ p1 p2 p3…pn是 1～ n的某一排列）
解,∵ 排列 p1 p2 p3…pn与排列 pn…p3 p2 p1的逆序数之和等于 1～ n 这 n 个数中任取两个数的组合数即,
2
1 2 1 1
11
( 1 )
(,.,) (,.,)
2
( 1 )
(,.,)
2
n n n n
nn
nn
p p p p p p C
nn
p p p k



2 1 ( 2 1 ) 2( 2 2),..( 1 )
,
2 2 1 1 0
( 2 1 ) 2 3 2
( 2 2) 2 5 3
,...........
( 1 ) 1
k k k k k
kk
kk
kk
kk



求 排 列 ()
的 逆 序 数 并 讨 论 奇 偶 性 。
的 逆 序 数 为 ； 的 逆 序 数 为的 逆 序 数 为 ； 的 逆 序 数 为 0
的 逆 序 数 为 ； 的 逆 序 数 为 0
的 逆 序 数 为 ； 的解,
逆 序 数 为 0
例 4
2
22
1 3,.,( 2 1 )
,,,
kk
k k k k

当 为 偶 数 时 为 偶 数 当 为 奇 数 时 为 奇 数 。
第二节 n阶行列式的定义设有 n2 个数，排成 n 行 n 列的数表作出表中位于不同行不同列的 n个元素的乘积，
并冠以符号 (-1)τ，得形如的项，其中 p1p2…pn为自然数 1,2,…,n的一个
11 12 1
21 22 2
12
...
...
...,..,..,..
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
1212( 1 ),,,( 1 )np p n pa a a

一、定义排列,τ为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有 n! 个，因而形如 (1)式的项共有 n! 项。
所有这 n! 项的代数和
12
12
12
12
12
...
11 12 1
21 22 2
12
...
12
( 1 ),..
...
...
( 1 ),..
...,..,..,..
...
n
n
n
n
p p np
p p p
n
n
p p np
p p p
n n nn
a a a
a a a
a a a
D a a a
aa
n
a

称 为 阶 行 列 式,记 作
d e t( ) d e t( )i j i j i ja a a简 记 为 。 数 称 为 行 列 式 的 元 素,
其中 p1 p2 … pn是 1～ n 的任一排列,? 是排列
p1 p2 … pn的逆序数，即? =? ( p1 p2 … pn )。
二、几个特殊的行列式
1
2
12
1
( 1 )
2 2
12
0,.,0
0,.,0
,..
...,..,..,..
0 0,..
)
0,.,0
0,.,0
( 1 ),..
...,..,..,..
..,0 0
n
n
nn
n
n



1) 主 对 角 行 列 式
2 次 对 角 行 列 式
1,对 角 行 列 式
12(,.,) (,1,...,2,1 )
1 2,.,( 2) ( 1 )
( 1 )
2
np p p n n
nn
nn


11
21 22
11 22
12
11 12 1
22 2
11 22
0,.,0
..,0
...
...,..,..,..
...
...
0,..
...
...,..,..,..
0 0,..
nn
n n nn
n
n
nn
nn
a
aa
a a a
a a a
a a a
aa
a a a
a
1) 下 三 角 行 列 式
2) 上 三 角 行 列 式
2,三 角 行 列 式
1,1 1,1 1,
( 1 )
2,1 2,1 2
1,2,1,
,1
1,
( 1 )
2,1 2,2
1,2,1,
,1,1,
...
..,0
( 1 ),..
...,..,..,..
0 0 0
0,.,0
0,..
( 1 ),..
...,..,..,..
...
nn
nn
n
n n n n
n
n
nn
nn
n n n n
n n n n n
a a a
aa
a a a
a
a
aa
a a a
a a a


3) 次 上 三 角 行 列 式
4) 次 下 三 角 行 列 式
1.在排列中，将任意两个元素对调位置，其余元素不动，这种作出新排列的过程叫做对换。
将相邻两元素对换，称为相邻对换。
定理 1:对换一个排列中的任意两个元素，排列改变奇偶性。
证明,该定理的证明可分为两步来证。第一步来证明相邻对换的情况,第二步证明一般情况。
三、对换与排列奇偶性的关系由此可见，相邻对换将改变排列的奇偶性。 再证一般情况，设：
1 1 1 1
11
11
11
...,..,..,..
(,..,.,)
(,.,) 1
(,.,) 1
ab
l m l m
lm
lm
lm
ab ba
ab
a a b b a a b b
a a b b k
a b a a b b k
a
ba
bab a a b b k



设当
1 1 1
1 1 1
..,,.,,.,
,..,..,..
l n m
ab
l n m
a a c c b b
a a c c b
a
ba
b
b
1 1 1 1 1 1
1 1 1
( 1 ),..,..,.,( 2),..,..,..
( 3 ),..,..,..
l n m l n m
l n m
a a c c b b a a c c b bbb
ba a c c
a
b
a
ba
把 上 述 对 换 分 解 成 为,
把 (1)作 n+1次相邻对换得 (2)，把 (2)再作 n 次相邻对换可得 (3)，即共作了 2n+1 次相邻对换由 (1)
而得到 (3)。由前可知，作一次相邻对换，排列的奇偶性改变一次，故由 (1)到 (3)排列的奇偶性就改变了 2n+1次，即由原来的奇排列就变成了偶排列或由原来的偶排列变成了奇排列。 ▌
定理 2,n 元排列共有 n! 个，其中奇、偶排列的个数相等，各有 n!/2 个。
定理 3,任意一个 n 元排列都可以经过一些对换变成自然排列，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性。
四、行列式的等价定义 12
12
12
1 1 2 2
11 12 1
21 22 2
12
12
...
...
...
...,..,..,..
...
( 1 ),..
( 1 ),..
n
n
nn
n
n
n n nn
q q q n
q q q
l s l s l s
a a a
a a a
D
a a a
a aq a
a a a



12() nq q q L
2 1 2() ns s s L)( 211 nlll
1
1
1
1
1
( 1 ),..,..,.,( 1 )
1,..,..,.,
,..,..,.,( 1)
( 1 ),..,..,.,
i j n
i j
j i n
p ip jp np
i j n
ip jp
p jp ip np
a a a a
i j n
p p p p
aa
a a a a
对 于 行 列 式 中 的 任 一 项其 中 为 自 然 排 列,为 列 下 标 排列 的 逆 序 数 。 对 换 中 元素 与 成,
( 2)
r设 新 的 行 下 标 排 列 的 逆 序 数 为五、关于等价定义的说明
1
1
11
1
( 1...,..,.,)
(,..,..,.,)
( 2) ( 1)
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (
j i n
r i j n
p p p p
r




则新 的 列 下 标 排 列 的 逆 序 数 为,
则由 于 与 的 值 是 相 等 的,且 新 的 列 下 标 排列 的 逆 序 数 与 原 列 下 标 排 列 的 逆 序 数 的 奇偶 性 不 同,并 注 意 到 为 奇 数,则 有,
1
1
1
1
1
1
1)
( 1 ),..,..,..
( 1 ),..,..,..
i j n
j i n
r
p ip jp np
r
p jp ip np
a a a a
a a a a

这就表明，对换乘积项中两元素的位置，
从而行标排列与列标排列同时做了相应的对换，但行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性并不改变。
12
12
( 1 )
,.,( )
( 0 )
,.,
n
n
p p p
q q q s s
所 以 经 过 若 干 次 对 换 乘 积 项 中 两 元 素的 位 置,使 列 下 标 排 列 由 逆 序 数 为变 为 自 然 排 列 逆 序 数 为 ； 则 行 下 标 排 列 相应 地 从 自 然 排 列 就 变 为 某 个 新 的 排 列,设 此 新的 排 列 为,其 逆 序 数 为,则 与 的
1 2 1 21 2 1 2
1 2 1 2
( 1 ),..,.,( 1 ),..,..
( )
,..,..
i n j n
ij
s
p p ip n p q q q j q n
i j ip ij q j
nn
a a a a a a a a
p j q i a a a
q q q p p p


奇 偶 性 相 同,且 有又 若,则 即,由 此 可 见排 列 完 全 是 由 排 列 所 唯 一 确 定 。
12
12
12
1 1 2 2
11 12 1
21 22 2
12
...
12
...
...
( 1 ),..
...,..,..,..
...
( 1 ),..
n
n
nn
n
n
q q q n
q q q
n n nn
l s l s l s
a a a
a a a
D a a a
a a a
a a a



定理 4
例 5 写出四阶行列式中含有因子 的项。11 23aa
( 13 )
11 23 3 4
( 13 24 )
11 23 32 44 11 23 32 44
( 13 42 )
11 23 34 42 11 23 34 42
( 1 ),24
( 1 )
( 1 )
pq
pqa a a a pq
a a a a a a a a
a a a a a a a a


解,为 的 全 排 列所 以,
例 6 若为四阶行列式的项，试确定 i与 k，使前两项带正号，
后一项带负号。
1 3 2 3 2 4 1 1 2 2 3 4 2 3 1 4 3 4,,i k i k i ka a a a a a a a a a a a
13 2 32 4
11 22 3 4
2 31 43 4 31 2 43 4
32
1,4
3,4
,1,2
ik
ik
i k i k
a a a a i k
ik
a a a a i k
a a a a a a a a i k



由 于 前 面 取 正 号,所 以 排 列为 偶 排,故同 理,
：
对 于对 于解
0 0 0 1 0 0
0 0 2 0 0 0
( 1) ( 2)
0 3 0 0
7.
00
40
0 0 0 0
ab
cd
DD
ef
gh

计 算 行 列 式例
43
2
0 0 0 1
0 0 2 0
( 1) ( 1 ) 24 24
0 3 0 0
4 0 0 0
00
00
( 2)
00
0
0
D
ab
cd
D ac fh ade h be dg bc fh
ef
gh


解,
第三节 行列式的性质 (1)
11 12 1 11 21 1
T21 22 2 12 22 2
1 2 1 2
...,..
...,..
...,..,..,..,..,..,..,..
...,..
nn
nn
n n nn n n nn
a a a a a a
a a a a a a
DD
a a a a a a

个 转转 置 行 列 式称 上 面 的 两 个 行 列 式 互 为 对 方 的 转 置 行 列 式 。
它性 质 1,一 行 列 式 与 的 置 行 列 式 相 等,
12
12
11 12 1
T
21 22 2
12
T
12
12
de t ( )
...
...
...,..,..,..
...
1,2,...,
( )
1,2,...,
( 1 ),..
( 1 ),.,
n
n
ij
n
n
n n nn
ij ij
p p np
p p p n
Da
b b b
b b b
D
b b b
in
ba
jn
D b b b
a a a D


记 的 转 置 行 列 式明,为证即
▌
11 12 1 11 12 1
1
12
1
12
1
2
11
2
...,..
...,..,..,..,..,..,..,..
...,..
...,..,.....,..,..,.....
...,..
...,.....,..,..,..,..
...
nn
j j jn
j j j
i i in
ii
n
n n nn
a a aa a a
aa
a a a a a a
DD
aa
a
a
aa

互 换 行 列 式 两 行 ( 或 列 ) 的 位 置,行 列式 值 变 号 。
设质性 2.
11
1
...
...
n n nn
in
a a a
D
a
D则
1
1
11 12 1
12 12 1
1
1 1 1
11
1
...
...
,
...,..,..,..
...
,
,,
( 1 ),..,..,..
( 1 )
ni j
n
n
n n n
k p k p
ip jp jp ip
p np
p
pi jp
b b b
b b b
D D i j
b b b
k i j b a
k i j b a b
Db
a
b b
a
b




设 是 由 交 换两 行 而 得 到 的证
,当 时,
时,
于,
：
是明
...,..,..
i j n
i npjp p
aaa?
1
1
1
1
11
1
11
11
( 1 ),..,..,..
1...,..,..
(,..,..,.,)
(,..,..,..
( 1 ) ( 1 )
( 1 ),..,..,.,
n
j
i
i
j
n
ip jp
j
p np
i j n
j i n
ipp p np
D a a
i j n
p p p p
p p p p
D a a D
a
a
a
a






所 以其 中 为 自 然 排 列,
设 )
则
▌
11 12 1
11
12
12
...
...,..,..,..
...
...,..,....,0
...
......,..,..
...
n
i i in
i
n n nn
i in
a
a a a
aa
D
a
a
a
aa
a

如 果 行 列 式 中 有 两 行 ( 列 ) 完 全 相 同,则此 值推 论,
行 列 式 等 于 零,
11 12 1 11 12 1
1
12
2 1 2
12
...,..
...,..,..,..,..,..,..,..
...,.,
...,..,..,..,..,..,..,..
...,..
nn
nn
i i in i i i
nn n n
n
nn
a a a k a k a k ak
kk
a a a a a a
a a a a a a
行 列 式 中 某 一 行 ( 列 ) 中 所 有 元 素 同 乘以 同 一 数,等 于 用 数 乘 以 列 式行 。
即性 质 3,
1
1
11 12 1
1
12
1
12
...
...,..,..,..
..,( 1 ),.,( ),..
...,..,..,..
...
( 1 ),..,.,
ni
in
n
p np
n n nn
pi
i i in ip
p np
a a a
aa
a a a
k
aa
a k a k a
ka
ka
k D


证 明,
▌
12
11 12 1
12
11 12 1
1 2 1 2
11
...,..
...,..,..,..,..,..,..,..
...,..,..,..,..,.....,..
...,..
...,.....,..,..,..,..,..
,.,
nn
i i in i i in
n n nn n
j j jn j j jn
k
k a k a k a
a a a a a a
a a a a a a
aa
a
aa
aa
行 列 式 中 某 一 行 ( 列 ) 的 所 有 元 素 的 公因 数 可 以 提 到 行 列 式 的 外 面,
即,
推 论,
11
..,
n nn
aa
11 12 1
12
12
12
...
...,..,..,..
...
0...,..,..,..
...
...,..,..,..
...
n
n
i i in
i
n
ii
n
n
n
aa
a a a
D
a a a
a
k a k a k a

行 列 式 中 如 果 有 两 行 ( 列 ) 元 素 对 应成 比 例,则 行 列 式 等 于 零 。值即,
性 质 4.
11 12 1
12
11 12 1 11
1 1 2 2
1
1
1
2
2
12
...
...,..,..,..
,.,
...,..,..,..
...
...,..
...,..,..,..,..,..,..,..
...
...,..,..,..
...
n
n n n
i i i i in in
i
n
nn
n
in
n
i
nn
a
ab
aa
D
a a a
a a a a a a
D
a b a b
aa
a
a
a
b
a

若 行 列 的 某 一 行 ( 列 ) 的 元 素 都 是 两 数 之 和,
如,
则性 质 5.
12
12
...
...,..,..,..
...
n
i i i
n nn
n
a
b
a
b
a
1112
12
11 111 12 1
1
12
......
...,..,.....,..,..,..
......
...,..,..,..,..,..,..
...,..
......,..,..
...,..,..
...
nn
i j in jni i in
j j jn j jn
n n nn
a k a a k aa a a
aa
aaa a a
aa
a a a a
a

把 行 列 式 的 某 一 行 ( 列 ) 的 各 元 素 乘 以同 一 数 后 加 到 另 外 一 行 ( 列 ) 对 应 的 元 素 上 去行 列 式 不 变 。值即性 质 6.
1
...
n nn
a
3 1 1 2
5 1 3 4
2 0 1 1
1
1 5 3 3
D


计 算例在利用行列式性质 (1)进行行列式计算时，基本的思路是把行列式化成三角行列式，当然在化的过程中也要兼顾其它性质的应用。
21
1 2 4 1
rr
c c r 5 r
1 3 1 2 1 3 1 2
1 5 3 4 0 8 4 6
0 2 1 1 0 2 1 1
5 1 3 3 0 1 6 2 7
D






解
43
23
32
42
5
rr
rr 4
r 4 r
r 8 r
5
2
1 3 1 2 1 3 1 2
0 2 1 1 0 2 1 1
40
0 0 8 1 0 0 0 8 1 0
0 0 1 0 1 5 0 0 0



3 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
D?例 算2 计
21
1 2 3 4 3 1
41
rr
r + r r + r r r
rr
6 6 6 6 1 1 1 1 1 1 1 1
1 3 1 1 1 3 1 1 0 2 0 0
6 6 4 8
1 1 3 1 1 1 3 1 0 0 2 0
1 1 1 3 1 1 1 0
3 0 0 2
D

解
2 3 2 4 3 2
3 4 3 5 4 3
a b c d
a a b a b c a b c d
D
a a b a b c a b c d
a a b a b c a b c d



计 算例 3
43
32
21
rr
rr
rr
0
0
2 3 2
0
0
a b c d
a a b a b c
D
a a b a b c
a a b a b c




解
12
12
12
...
...
...,..,..,..
...
n
n
n
n
x m x x
x x m x
D
x x x m
例 4 计 算
1
2
1 2 2cc
1 2 2
1 2 2
2
2
1
2
...,..
...,..
...,..,..,..
...,..
1,..
1,..
( )
...,..,..,..
1,..
n
i
i
nn
nn
n
nn
n
n
n
i
i
n
x x x m x x
x x x m x m x
D
x x x m x x m
xx
x m x
xm
x x m




解
1
r r 2
( 2,3,...,)
1
1
1
11
1
1,..
0,.,0
()
...,..,..,..
0 0,..
( ) ( )
( ) ( )
i
n
nin
i
i
n
n
i
i
n
nn
i
i
xx
m
xm
m
x m m
m x m




0 1 2 1
11
1 2 122
11
...
0,.,0
(,.,0)0,.,0
...,..,..,..
0 0,..
n
nn
nn
x z z z
yx
D x x xyx
yx

例 计 算5
1
1
12
1
0 1 2 1
1cc
1
2
1
1
0 1 2 3 1
1
...
00,.,0
0 0,.,0
...,..,..,..,..
0 0 0,..
( ),..
n
i
i
ii
n
i
in
y
i i
x
n
n
n
i
in
i i
y
x z z z z
x
x
D
x
x
y
x z x x x x
x



解
12
12
12
12
...
...
,..
...,..,..,..
...
n
n
n n
n
x a a a
a x a a
D a a a
a a x a
例 6 计 算
1
2
1 2 2
cc
1 2 2
1 2 2
1 2 2
...,..
...,..
...,..
...,..,..,..
...,
..
n
i
i
nn
nn
n nn
nn
x a a a a a
x a a a x a a
D x a a a a a
x a a a a x a




＋
解
1
2
2
2
1
2
2
r r
( 2,3,..,,)
1
11
1,..
1,..
() 1,..
...,..,..,..
1,..
1,..
0,.,0
( ) ( )0 0,.,0
...,..,..,..
0 0,..
i
n
n n
i n
i
n
n
nnin
n
ii
ii
aa
x a a
xa aa
a x a
aa
x
x a x a x
x




0 1 1 2
1 1 0 2
1 2 1 0
2 1 1 0
D


例 7.
3 2 1 2
2342
32
4 2 4 2
r r r r
rrr 2 r
rr
r 3 r r 2 r
0 1 1 2 1 1 0 2
1 1 0 2 0 1 1 2
0 1 1 2 0 1 1 2
0 3 1 4 0 3 1 4
1 1 0 2 1 1 0 2
0 1 1 2 0 1 1 2
4
0 0 2 4 0 0 2 4
0 0 4 10 0 0 0 2
D













解,
1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10
1
8,
4 10 20
D?例
43
32
21
43
3 2 4 3
rr
rr
rr
rr
r r r r
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 0 1 2 3
1 3 6 10 0 1 3 6
1 4 10 20 0 1 4 10
1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 2 3 0 1 2 3
1
0 0 1 3 0 0 1 3
0 0 1 4 0 0 0 1
D



解,
11 1
11 1 11 1
1
11 1 11 1
11
11
..,0,.,0
...,..,..,..,..,..
...,..
..,0,.,0
,..,..,..,..,..,..
...,..
...,..
...,..,..,..,..,..
...,,
,
.
k
kn
k k k
kn
k k k n nn
n nk n nn
aa
a a b b
aa
D
c c b b
a a b b
c c b b
证9 明例
11 1 11 1
12
11
11
11
1 11
1
...,..
...,..,..,...,..,..
...,..
,
..,0
,..,..,..,..
...
kn
k k k n nn
ij
kk
k k k
a a b b
DD
a a b b
D r k r D
p
D p p
pp


设对 作 运 算 把 化 为 下 三 角 行 列证式,设 为明,
22
11
2 11
1
11
1
11 1 11
,
..,0
...,..,..,..
...
,
,
..,0 0,.,0
...,..,..,..,..,..
..,0,.,0
..,0
...,..,..,..,..,
ij
nn
n nn
ij
ij
k k k
k
D c l c D
q
D q q
qq
D k r k r D n
c l c D
p
ap
D
c c q

对 作 运 算 把 也 化 为 下 三 角 行 列 式,设 为
　 　 　 　 　
于 是 对 的 前 行 作 运 算 再 对 的 后 列 作 运 算把 化 成 下 三 角 行 列 式
11 11
11
...,..
..
...,..
k k nn
n nk n nn
p p q q
c c q q
第四节 行列式的性质 (2)
在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行第 j 列划去后，留下来的 n-1 阶行列式叫做元素 aij 余子式，记作 Mij；记 Aij = (-1)i+j Mij,Aij
叫做元素 aij 的代数余子式。
一、余子式与代数余子式
1,1 1,1 1,1,1 1,
1,1 1,1 1,1,1 1,
,1,1,,1,
1,1 1,1 1,1,1 1
,1,1,
...,..
...,..,..,..,..,..,..
...,..
...,..
...,..
...,..,..,..,..,..,..
...
j j j n
i i j i j i j i n
i i j i j i j i n
i i j i j i j i n
n n j n j
a a a a a
a a a a a
a a a a aD
a a a a a
a a a




,1,
...
n j n n
aa
1,1 1,1 1,1 1,
1,1 1,1 1,1 1,
1,1 1,1 1,1 1,
,1,1,1,
1,1 1,1 1,1
...,..
...,..,..,..,..,..
...
...,..
...,..,..,..,..,..
...,..
...,
( 1 ) ( 1 )
j j n
i i j i j i n
ij
i i j i j i n
n n j n j n n
jj
i j i j
ij ij
a a a a
a a a a
M
a a a a
a a a a
a a a
AM







1,
1,1 1,1 1,1 1,
1,1 1,1 1,1 1,
,1,1,1,
..
...,..,..,..,..,..
...,..
...,..
...,..,..,..,..,..
...,..
n
i i j i j i n
i i j i j i n
n n j n j n n
a
a a a a
a a a a
a a a a



二,k阶子式及其余子式和代数余子式在 n阶行列式 D中任选 k行 k列，位于这 k行 k
列的交叉点处的 k2个元素按原来的位置组成的 k
阶行列式 M叫做 D的一个 k阶子式。在 D中划去 M
所在的行与列，剩下的元素按原来的位置组成的 n-k子式 N叫做 M的余子式。设 M所在的行数与列数依次为 i1<i2<…< ik,j1<j2<…< jk,M的余子式 N乘以 叫做 M的代数余子式。
)()( 2121)1( kk jjjiii
M 是 D 的一个 2阶子式,N是 M 的一个余子式，
A 是 M 的一个代数余子式
11 12 13 14 15
21 22 23 24 25
31 32 33 34 35
41 42 43 44 45
51 52 53 54 55
a a a a a
a a a a a
D a a a a a
a a a a a
a a a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
1 1 1 2 1 3
4 4 4 5
2 1 2 2 2 3
5 4 5 5
3 1 3 2 3 3
a a aaa
M N a a aaa
a a a

1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3
( 4 5 ) ( 4 5 )
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 3
( 1 )
a a a a a a
A a a a a a a
a a a a a a

ij
ij
ij ij
ni
a
a
D a A?
定 理 1,一 个 阶 行 列 式,如 果 其 中 第 行 所有 元 素 中 除 外 都 为 零,那 么 这 个 行 列 式 等于 与 它 的 代 数 余 子 式 的 乘 积 。
即,
23
1
23
11
11
21 22 2
11 2 3
12
11 2 3 11 11 11 11
2 3 1 2 3
0,.,0
...
( 1 ),..
...,..,..,..
...
( 1 ),..
( 1,.,),(,.,)
n
n
ij
n
p p np
n n nn
p p np
nn
aa
a
a a a
D a a a a
a a a
a a a a a M a A
p p p p p p




当 时,此 时其 中证 明,
11 12 1
12
1 1
2
2
...,..
...,..,..,..,..
0,..,.,0
...,..,..,..,..
...,..
1
1
2
n
ij
n n nn
ij
a a a
aD
a a a
D i i
D D j j
D i j
aD

再 证 一 般 情 形,
设把 的 第 行 分 别 与 它 前 面 的 行 进 行 对的 得,再 把 的 第 列 与 它 前 面 的列 进 行 对 换 得,这 样 总 共 经 过 了次 对 的 就 把 移 动 到 了 的 左 上 角,这 时
2
11
1 1 2
2
22
( 1 ) ( 1 )
( 1 ) ( 1 )
( 1 )
ij ij
ij
i j i j
ij
ij ij ij ij
D a M
D D D D
D D D
D a M a A





有
▌
1 1 2 2
1 1 2 2
,..
,..
i i i i in in
j j j j n j n j
a A a A a A D
a A a A a A D


行 列 式 等 于 任 一 行 ( 列 ) 的 各 元 素 与 其 对应 的 代 数 余 子 式 乘 积 之 和 。
即,
定 理 2,
证明：
11 12 1
12
12
11 12 1 11 12 1
12
1 2 1 2
...
...,..,..,..
0,.,0 0,.,0,.,0 0,..
...,..,..,..
...
...,..
...,..,..,..,..,..,..,..
0,.,0 0,.,0
...,..,..,..,..,..,..,..
...,..
n
i i in
n n nn
nn
ii
n n nn n n nn
a a a
D a a a
a a a
a a a a a a
aa
a a a a a a


11 12 1
12
1 1 2 2
...
...,..,..,..
0 0,..
...,..,..,..
...
..,( 1,2,...,)
n
in
n n nn
i i i i in in
a a a
a
a a a
a A a A a A i n

▌
1 1 2 2
1 1 2 2
,.,0
,.,0
i j i j in jn
j i j i n j n i
a A a A a A i j
a A a A a A i j


行 列 式 某 一 行 ( 列 ) 的 各 元 素 与 另 一 行
( 列 ) 的 对 应 元 素 的 代 数 余 子 式 乘 积 之 和 等 于 零即,
定 理 3,
11 12 1
12
1 1 2 2
12
12
...
...,..,..,..
...
..,0...,..,..,..
...
...,..,..,..
...
n
i i in
i j i j in jn
i i in
n n nn
a a a
a a a
a A a A a A
a a a
a a a

证明：
1 1 2 2
12
12
( L a pl a c e ) (
)
,..
!
,,...,
! ( ) !
,,...,
tt
k
nt
t
D k k
k n k k k
D
D M A M A M A
n
t C M M M
k n k
Dk
A A A


在 行 列 式 中 任 选 行 列 )
(,由 这 行 ( 列 ) 元 素 组 成 的 一 切 阶子 式 与 它 们 的 代 数 余 子 式 的 乘 积 之 和 等 于 行列 式即,
其 中 　,分 别为 的 所 有 阶 子 式,它 们 的 代 数 余 子 式 分 别为定 理 4,
1 5 3 3
2
1
0 1 1
3 1 1 2
4 1 3 1
D

例 计 算
13
43
12
32
r 5 r
32
r 5 r
r 2 r
22
r 4 r
1 5 3 3 16 0 2 7
16 2 7
2 0 1 1 2 0 1 1
( 1 ) 2 1 1
3 1 1 2 3 1 1 2
1 4 3
4 1 3 1 1 0 4 3
20 0 5
20 5
( 1 ) 2 1 1 ( 1 ) ( 1 ) 55
71
7 0 1
D






解
11 21 31 41 11 22 33 44
11
11 21 31 41
1 2 3 4
2 4 3 1
4 1 3 2
1 4 3 2
( 2)
1 2 3 4
1 4 3 1
( 1) 0
1 1 3 2
1 4 3 2
0
3
2
1
D
A A A A M M M M
D D D
A A A A
D



已 知,
求 (1)
：,又 与 的 第 一 列 元 素 的代 数 余 子 式 相 同,所 以由 于 的 第 列 元 素 与 第 列 对 应例解另 解,元 素 的 代
43
32
21
32
21
11 21 31 41 11 21 31 41
11 21 31 41 11 21 31 41
rr
rr
rr
rr
rr
3 3 3 3 0 0
( 2)
1 2 3 4 1 2 1 4 1 2 1 4
6 2 5
1 4 3 1 1 4 1 1 0 6 2 5
3 3 3 5 2 3
1 1 3 2 1 1 1 2 0 5 2 3
524
1 4 3 2 1 4 1 2 0 5 2 4
6 2 5
3 1
A A A A A A A A
M M M M A A A A






数 余 子 式 乘 积 之 和 等 于 零,所 以,
,即
12
0 2 6 6
01
0 0 1


11
1 0,.,0 0
0 1,.,0 0
0 0,.,0 0
...,..,..,..,..,..
0 0 0,.,1
.
3
.,0
n
n n n
x
x
x
D
x
a a a x a
算例 计
1 2 3 1
11
1 0,.,0 0
0 1,.,0 0
0 0,.,0 0
...,..,..,..,..,..
0 0 0,.,1
..,0
( 1 ) ( 1 )
n
n n n
nn
n
x
x
x
Dx
x
a a a x a
a



按 第 一 列 展 开解
1
1 2 1
2 3 2
2 1 2
21
11
12
1 2 1
.......
1
...
n n n
n n n
n n n
n n n
n n n
D x D a
D x D a
D x D a
x
D x D a
a x a
D x a
D x a x a x a x a









1
1 2 1
2 2 2 2
1 2 1
1
1 1 1 1
1 2 1
1 2 1
1 1 2 2 1 1
,...,2
1 1,.,1 1
...
,.,( )
...,..,..,..,..
...
1 1,.,1 1
( ) ( ),.,( ) 0
( ) ( ),.,( ) 0
...,..
4
i n i
nn
n n n i j
j i n
n n n n
nn
n n n n
r x r
n n n n n n
in
x x x x
D x x x x x x
x x x x
x x x x x x
D x x x x x x x x x






例证证 明
2 2 2
1 1 2 2 1 1
1
1 2 1 1
1 2 1 1
...,..,..
( ) ( ),.,( ) 0
( 1 ) ( ) ( ),..( )
( ) ( ),..( )
n n n
n n n n n
n
n n n n n
n n n n n n
x x x x x x x x x
x x x x x x D
x x x x x x D







1 2 1 1
2 2 1
12
1 2 2 1
1 2 1 2 1 1
( ) ( ),..( ) (,1,...,3 )
11
( ) ( ),..( ) ( )
( ),..( ) ( )
k k k k k k k
n n n n n n n
n n n n
D x x x x x x D k n n
D x x
xx
D x x x x x x x x
x x x x x x







3 2 3 1 2 1
,.....
( ) ( ) ( )x x x x x x
该 行 列 式 称 之 为 范 德 蒙 行 列 式第五节 克莱姆法则
12
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2
,,...,
...
...
...............
n
ij
i
nn
nn
nn
n x x x n
a
b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a


含 有 个 末 知 数 的 个 线 性 方程 的 方 程 组 称 为 线 性 方 程 组,称 为 方 程 组 的系 数,称 为 常 数 项 。 常 数 项 不 全 为 零 的 方 程 组称 为 非 齐 次 线 性 方 程 组,常 数 项 全 为 零 的 方 程组 称 为 齐 次 方 程 组 。
2
( 1)
...
nn n n
x a x b

一、线性方程组
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
..,0
..,0
( 2)
...............
..,0
nn
nn
n n nn n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x



二、克莱姆法则
11 12 1
21 22 2
12
( 1)
...
...
0
...,..,..,..
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
D
a a a

如 果 线 性 方 程 组 的 系 数 行 列 式 不 等 于 零,
即
12
12
11 1 1 1 1 1 1
21 2 1 2 2 1 2
1 1 1
( 1)
,.,
...,..
...,..
...,..,..,..,..,..,..
...,..
( 1,2,...,)
n
n
j j n
j j n
j
n nj n nj nn
D D D
x x x
D D D
a a b a a
a a b a a
D
a a b a a
jn




那 么 方 程 组 有 唯 一 组 解其 中
1 2
11
11
11
( 1),,...,
( ),.,( ),..
( )
j j n j
nn
k k j k j k j j
kk
nn
k n k j n k k j
kk
j
A A A
a A x a A x
a A x b A
x
D






将 方 程 组 依 次 乘 以,然后 相 加 得由 代 数 余 子 式 的 性 质 可 知,上 式 中 除 的 系 数为 外,其 余 全 为 零,于 是 有证 明,
( 1,2,...,) ( 3)
jj
Dx D j n
12
12
0 ( 3)
,.,( 4)
( 3) ( 1)
( 1) ( 3)
( 3) ( 4) ( 1)
( 4) ( 4) ( 1)
( 4
n
n
D
D D D
x x x
D D D

当 时,方 程 组 有 唯 一 解,且 解 为由 于 方 程 组 是 由 方 程 组 运 算 而 来,所 以,
方 程 组 的 解 一 定 是 方 程 组 的 解 。 现 方 程组 只 有 一 组 唯 一 解,故 方 程 组 如 果 有解,就 一 定 是 。 要 证 明 是 方 程 组 的 唯一 解,只 要 验 证
12
12
) ( 1)
,.,( 1,2,...,)
n
i i in i
D D D
a a a b i n
D D D

就 是 方 程 组 的 解,即
1 11 1
1
1 11 1 1 1 1 1
11
1 1
1
1
...
...
0 ( 1,2,...,)
...,..,..,..
...
...,..
( 1 ),..,..,..,..,..,..,..
...,..
n
n n nn
j j n
j
n n n j
i i in
n j n n
b a a
in
b a a
b a a a a
b a a
ba
a
a
a




由 于所 以 有,
11 1 1 1 1 1 1
21
1 1 1
1 1 2 2
1 1 2 2
...,..
( 1 ) ( 1 ),..,..,..,..,..,..,..
...,..
,.,0
,..
j j n
jj
n n j n n j n n
j
i i i i n n
i i i i n n
a a b a a
a a b a a
D
b D a D a D a D
b D a D a D a D







即所 以
1 2
1 2
,.,
n
i i i n i
D D D
a a a b
D D D
▌
定理 1,方程组 (1)一定有解，且解是唯一的充要条件是线性方程组 (1)的系数行列式 D≠0。
定理 2,如果线性方程组 (1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必等于零，即 D =0。
定理 3,齐次方程组 (2)只有零解，而没有非零解的充要条件是齐次线性方程组 (2)的系数行列式
D≠0。
定理 4,齐次方程组 (2)有非零解的充要条件是齐次线性方程组 (2)的系数行列式 D =0。
三、几个相关定理
12
1 2 3
2 3 4
3 4 5
45
5 6 1,
5 6 0,
5 6 0,
5 6 0,
1
5 1.
.
xx
x x x
x x x
x x x
xx





求 解 方 程 组例
1 2 3 4
5
1 2 3
44
66 5 0,
1057,1145,703,395,
212,
15 07 11 45 70 3; ; ;
66 5 66 5 66 5
39 5 21 2;
66 5 66 5
D
D D D D
D
x x x
xx




由 于 所 以 方 程 组 有 唯 一 解,而解所 以
：
1 2 3
1 2 3
1 2 3
,
( 1 ) 2 4 0
2
2.
(3 ) 0?
( 1 ) 0
x x x
x x x
x x x



问 取 何 值 时 齐 次 线 性 方 程 组有 非 零 解例
3
32
1 2 4 1 3 4
2 3 1 2 1 1
1 1 1 1 0 1
( 1 ) ( 3 ) 4( 1 ) 2( 1 ) ( 3 )
( 1 ) 2( 1 ) 3 (3 ) ( 2
,
)
0
3 2 0,
D
D
or or












齐 次 方 程 组 要 有 非 零 解,必 有,
故 时 方 程 组 有 非 零 解解
1 1 2
1 2 2
12
...
..,( 0)
...,..,..,..
...
3.
n
n
ni
nn
a b a a
a a b aDb
a a a b

例 12
1 1 2
1 2 2
12
1,..
0,..
0,..
...,..,..,..,..
0,..
n
n
n n
nn
a a a
a b a a
D a a b a
a a a b

解,采 用 加 边 法
11
1
11 2 1 2
11
22
12
1 2 1 2
12
12
12
1,..,..
1 0,.,0 0 0,.,0
1 0,.,0 0 0,.,0
...,..,..,..,..,..,..,..,..,..
1 0 0,.,0 0 0,..
...,.,1,..
1,..
n
i
i
nn
cc
b
nn
n
nn
n
n
n
a a a t a a a
bb
bb
bb
a a a
t b b b b b b
b b b
a a a
t
b b b






其 中