2
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1
nn
n
n n n
n
n n n
n
n n n n?
A
L
L
L L L L
计 算,例 1,
2
2
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
1 1 1 1
n
n n n
n
n
n
n n n
n
n
n
n n n n
L
L
LL
L L L L
L L L L
L
解,
2
2
2
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
( 1 )
1 ( 1 )
( 1 )
1 1 1
1 1 1
1 1 1
n
n
n
n
n n n n
n n n n
n
n n n n
n
n n n
n
n n n
n
n n n
A
L
L
L L L L
L
L
L
L L L L
L
L
L
L L L L
L
1 2 0 8 2 6
4 3 5 5 3 4
22
11 6 6 6 2 2 2
( 2 )
3 3 6 1 1 233
2
AB
A X B X X
X B A
设,,
满 足,求例,
解,
1 0 1
0 2 0 ( 1,2,)
00
3
1
.
k
k
L例 求
2
1 1 2 2 2
11
1
1 0 1 1 0 0 0 0 1
0 2 0 0 2 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0 0
O
()
1 0 0 1 0 0 0 0 1
0 2 0 0 2 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0 0
k k k k k k
kk
kk
k
kk
CC
C
k
C A B
C A B AB BA B
C A B A A B A B B
A A B
L
设 =,,解,
则,由 于,
10
0 2 0
0 0 1
k
k
5 1 0 2 1
2 3 1 2 0
2 1 6 3 5
4
2.
AC
A X C X X
例 设,,且 满 足
,求
.
1
1
2 ( 2 )
3 1 0
2 2 1 1 | 2 | 5 0,2
2 1 4
3 1 0 2 1
( 2 ) 2 1 1 2 0
2 1 4 3 5
5 4 1 2 1 3 0
1
10 12 3 2 0 5 1
5 0 1 1 3 5 1 1
A X C X A E X C
A E A E A E
X A E C
由 于而 且 所 以可 逆,故解,
*1
111
5 1 1 1 2,
111
A A X A X X设,例 且 满 足,求.
*
* 1 * 1
* * 1
1 * 1 1
1 1 1 1 0 1
1 1 1 2 1 1 0 4
1 1 1 0 1 1
2 ( 2 )
0 0 1 0 1 0
1
2 2 1 0 0 2 ) 0 0 1
2
0 1 0 1 0 0
1 0 1 1 1 0
11
1 1 0 2 ) 0 1 1,
24
0 1 1 1 0 1
A A A
A X A X A E X A
A E A E
A X A E A
设,则,||
由而,(
,(
解,
,( )
( ) O,
ab f
cd
f
A E A
A
设 试 将 写 成的 多 项 式,并 验 证例 6,
2
2
2
2
()
( ),
( ) ( ) ( )
( )
1 0 0 0
( ) O
0 1 0 0
ab
f
cd
a d ad bc
f a d ad bc
bc ab bd a ba
ad
cdac c d bc d
ad bc
EA
A A A E由 此 得解,
,,
.
AX B XA B AXB C A
B
解 矩 阵 方 程,其 中,
均 为 可 逆 矩 阵例 7.
1
1 1 1
1
11
,(
)
X
A X B A
A
A
A A X A B X A B
A
A X B X A B X A B X B A
解 矩 阵 方 程 时,应 注 意 已 知 矩 阵 与 的 位 置 关系 例 如 解,要 先 考 察 是 否 可 逆 这 个 过 程可 以 不 写 出,只 有 可 逆 时 才 可 解 这 个 矩 阵 方 程,
这 时 将 方 程 两 边 同 时 左 乘,得
,即而 不 能 右 乘,因 为 矩 阵 的 乘 法 不 满 足 交 。
解换 律
：
11
A X B C X A C B
1
1
1
,,
,
O
,,.
O
( 1 ) ;
( 2),
nn
A,B,C,D A E
E AB E A B
X Y Z
CDC A E E
XYZ
AB
Α D CA B
CD
设 都 是 阶 方 阵 是 非 奇 异 的 是阶 单 位 阵 并 且求 乘 积证 明例 8.
1
1
1
11
O
( 1 )
O
O
O O O
E AB E A B
XY Z
CDC A E E
A B AEB A
D C B E D C BAA
解,
1
1
1
( 2)
O
O
1
A
XYZ A D CA B
D CA B
XYZ X Y Z X Z
AB
A D CA B
CD
由 于又 而所 以,
1
1
,,de t,
3
1
de t 15
4
n
A A A
AA
设 为 阶 方 阵 为 其 伴 随 矩 阵 则例 9.
* 1 1 1 1
1
11
11
11
( ) 4
34
1
de t 15 de t 4 5
4
de t( ) ( 1 ) de t( ) ( 1 ) 3
nn
A A A A A A
A A A A
AA
解 为,因 而所 以,
1 3 5
3,2 4,,
3 5 3
t
t
A O B AB O设 阶 方 阵 且则例 10.
T T T
TT
0
1 3 5
2 4 12 9 50 60 18 5
3 5 3
4 16 0 4
t t t
tt
AB O B A O A O A O
B X O B B
又所 以 方 程 有 非 零 解,故解,
31
3 2 1 2
,?
A E A
A E AA E A A
例 11.
解,
已 知 则
1
1
8
1 1
5
1
2
0 0 2
0 5 0
800
10 00
1
16 0 0
80 0040
AA
A
例 12,矩 阵 的 逆 矩 阵解,
1
2 1 0 0
1 1 0 0 4
1 2 2 5
2 1 1 3
A A A例 13,设 阶 矩 阵,则 的 逆 矩 阵
11
11
1
1
1 1 1
2 1 1 2 2 5
1 1 2 1 1 3
1 1 3 5
1 2 1 2
3 5 1 2 1 1 24 35
1 2 2 1 1 2 9 13
1 1 0 0
1 2 0 0
24 35 3 5
9 13 1 2
BO
A B C D
CD
BD
D CB
BO
A
D CB D
设,则解而
21 2 3 nA A A E O A若 阶 矩 阵 满 足 方 程,求例 14.
1*,1,2 3A A A A例 15,设 为 三 阶 矩 阵 且 求
22
1
2 3 2 3
1
( 2 ) 3 [ ( 2 ) ]
3
1
( 2 )
3
A A E O A A E
A A E E A A E E
A A E
即所 以解,
* 1 1 1
1 * 1 3 1
1
2 3 5 5 1 2 5
A A A A A A
A A A A
因 为,
所 以解,
3 0 0 3 0 0
0 1 0,0 1 0
0 0 4 0 0 4
n
n
n
AA例 16,设 则
*T,7,,nA O A A A例 1,设 阶 实 方 阵 且 证 明 可 逆
T
* T *
0
A O AA O
AA AA O AA A E
AA
因 为而 又所证故
：
以明可 逆 。
2,,
,.
nA B B B A E B
A
例 18,设 均 为 阶 方 阵 且,,
证 明 可 逆 并 求 其 逆
2
1
1 1 1
( ) ( )
2 2 2
11
22
1
( )
2
E B E B E B B B
E B B E
A A E B
因 为所 以 逆证 明,
可,且
11
1
0 1 0 1 4 3 1 0 0
1 0 0 2 0 1 0 0 1
0 0 1 1 2 0 0 1 0
2 0 1 1 0 0 2 1 0
1 4 3 0 0 1 1 3 4
1 2 0 0 1 0 1 0 2
X解,
0 1 0 1 0 0 1 4 3
1 0 0 0 0 1 2 0 1
0 0 1 0 1 0 1 2 0
X例 19,解 下 列 矩 阵 方 程
2
21
1 2 1 1,2
32
3
1 2 1 1 1 0 1
3 l im 0 1 3 1 4 0 1 0
0 0 1 5 0 0 1
n
nn
n
A
例 20,求 下 列 矩 阵
2 1 2 1 1 0
( 1 )
3 2 3 2 0 1
2 1 1 0
3 2 0 1
2 1 2 1
32
32
n
n
n
n
解,因 为所 以,当 为 偶 数 时,
当 为 奇 数 时,
4 2 3
1 1 0,2,
1 2 3
A AB A B B例 21,设 求
1
2 ( 2 )
2 2 3 2 2 3
2 1 1 0 1 1 0 1 0
1 2 1 1 2 1
3 8 6
( - 2 ) 2 9 6
2 12 9
A B A B A E B A
AE
B A E A
由 得解,
又,且所 以
*
1**
1 0,0 2 n
n
AA
A A A A
例 22,设 阶 矩 阵 的 伴 随 矩 阵 为,证 明若 则
*
**
*
*
-1
* * *
( 1)
0
0
( 2)
0
nn
A A A E O
A O A O A
A O A X O
A
A
AA
A A A E A A A A A
因 为所 以,当 时,有当 时,说 明 方 程 有 非 零 解则 一 定 有当 为 奇 异 矩 阵 时,结 论 显 然 成 立当 为 非 奇 异 矩 阵 时,即所 以 由证 明,
1 1 0 0 0 1 3 0 0 0
1 3 0 0 0 2 8 0 0 0
( 1) ( 2),0 0 2 0 0 1 0 1 0 1
0 0 0 1 2 0 1 2 3 2
0 0 0 0 1 2 3 3 1 1
AB
例 23,求 下 列 矩 阵 的 逆 矩 阵
3 4 1 4 0 0 0 4 3 2 0 0 0
1 4 1 4 0 0 0 1 1 2 0 0 0
1,; 2.0 0 1 2 0 0 2 7 12 1 6 1 6 1 2
0 0 0 1 2 3 7 6 2 3 1 3 0
0 0 0 0 1 2 11 12 7 6 1 6 1 2
1 1 1,.
1 4 1 0
1 1 0 2
P AP B A
PB
例 24,设 求其 中
1 1 11 11 1
14
1 1133
1111
33
11
10
02
273 1 273 2
683 684
P AP B A P BP A P B P
A
解而所 以
：
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1
nn
n
n n n
n
n n n
n
n n n n?
A
L
L
L L L L
计 算,例 1,
2
2
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
1 1 1 1
n
n n n
n
n
n
n n n
n
n
n
n n n n
L
L
LL
L L L L
L L L L
L
解,
2
2
2
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
( 1 )
1 ( 1 )
( 1 )
1 1 1
1 1 1
1 1 1
n
n
n
n
n n n n
n n n n
n
n n n n
n
n n n
n
n n n
n
n n n
A
L
L
L L L L
L
L
L
L L L L
L
L
L
L L L L
L
1 2 0 8 2 6
4 3 5 5 3 4
22
11 6 6 6 2 2 2
( 2 )
3 3 6 1 1 233
2
AB
A X B X X
X B A
设,,
满 足,求例,
解,
1 0 1
0 2 0 ( 1,2,)
00
3
1
.
k
k
L例 求
2
1 1 2 2 2
11
1
1 0 1 1 0 0 0 0 1
0 2 0 0 2 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0 0
O
()
1 0 0 1 0 0 0 0 1
0 2 0 0 2 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0 0
k k k k k k
kk
kk
k
kk
CC
C
k
C A B
C A B AB BA B
C A B A A B A B B
A A B
L
设 =,,解,
则,由 于,
10
0 2 0
0 0 1
k
k
5 1 0 2 1
2 3 1 2 0
2 1 6 3 5
4
2.
AC
A X C X X
例 设,,且 满 足
,求
.
1
1
2 ( 2 )
3 1 0
2 2 1 1 | 2 | 5 0,2
2 1 4
3 1 0 2 1
( 2 ) 2 1 1 2 0
2 1 4 3 5
5 4 1 2 1 3 0
1
10 12 3 2 0 5 1
5 0 1 1 3 5 1 1
A X C X A E X C
A E A E A E
X A E C
由 于而 且 所 以可 逆,故解,
*1
111
5 1 1 1 2,
111
A A X A X X设,例 且 满 足,求.
*
* 1 * 1
* * 1
1 * 1 1
1 1 1 1 0 1
1 1 1 2 1 1 0 4
1 1 1 0 1 1
2 ( 2 )
0 0 1 0 1 0
1
2 2 1 0 0 2 ) 0 0 1
2
0 1 0 1 0 0
1 0 1 1 1 0
11
1 1 0 2 ) 0 1 1,
24
0 1 1 1 0 1
A A A
A X A X A E X A
A E A E
A X A E A
设,则,||
由而,(
,(
解,
,( )
( ) O,
ab f
cd
f
A E A
A
设 试 将 写 成的 多 项 式,并 验 证例 6,
2
2
2
2
()
( ),
( ) ( ) ( )
( )
1 0 0 0
( ) O
0 1 0 0
ab
f
cd
a d ad bc
f a d ad bc
bc ab bd a ba
ad
cdac c d bc d
ad bc
EA
A A A E由 此 得解,
,,
.
AX B XA B AXB C A
B
解 矩 阵 方 程,其 中,
均 为 可 逆 矩 阵例 7.
1
1 1 1
1
11
,(
)
X
A X B A
A
A
A A X A B X A B
A
A X B X A B X A B X B A
解 矩 阵 方 程 时,应 注 意 已 知 矩 阵 与 的 位 置 关系 例 如 解,要 先 考 察 是 否 可 逆 这 个 过 程可 以 不 写 出,只 有 可 逆 时 才 可 解 这 个 矩 阵 方 程,
这 时 将 方 程 两 边 同 时 左 乘,得
,即而 不 能 右 乘,因 为 矩 阵 的 乘 法 不 满 足 交 。
解换 律
：
11
A X B C X A C B
1
1
1
,,
,
O
,,.
O
( 1 ) ;
( 2),
nn
A,B,C,D A E
E AB E A B
X Y Z
CDC A E E
XYZ
AB
Α D CA B
CD
设 都 是 阶 方 阵 是 非 奇 异 的 是阶 单 位 阵 并 且求 乘 积证 明例 8.
1
1
1
11
O
( 1 )
O
O
O O O
E AB E A B
XY Z
CDC A E E
A B AEB A
D C B E D C BAA
解,
1
1
1
( 2)
O
O
1
A
XYZ A D CA B
D CA B
XYZ X Y Z X Z
AB
A D CA B
CD
由 于又 而所 以,
1
1
,,de t,
3
1
de t 15
4
n
A A A
AA
设 为 阶 方 阵 为 其 伴 随 矩 阵 则例 9.
* 1 1 1 1
1
11
11
11
( ) 4
34
1
de t 15 de t 4 5
4
de t( ) ( 1 ) de t( ) ( 1 ) 3
nn
A A A A A A
A A A A
AA
解 为,因 而所 以,
1 3 5
3,2 4,,
3 5 3
t
t
A O B AB O设 阶 方 阵 且则例 10.
T T T
TT
0
1 3 5
2 4 12 9 50 60 18 5
3 5 3
4 16 0 4
t t t
tt
AB O B A O A O A O
B X O B B
又所 以 方 程 有 非 零 解,故解,
31
3 2 1 2
,?
A E A
A E AA E A A
例 11.
解,
已 知 则
1
1
8
1 1
5
1
2
0 0 2
0 5 0
800
10 00
1
16 0 0
80 0040
AA
A
例 12,矩 阵 的 逆 矩 阵解,
1
2 1 0 0
1 1 0 0 4
1 2 2 5
2 1 1 3
A A A例 13,设 阶 矩 阵,则 的 逆 矩 阵
11
11
1
1
1 1 1
2 1 1 2 2 5
1 1 2 1 1 3
1 1 3 5
1 2 1 2
3 5 1 2 1 1 24 35
1 2 2 1 1 2 9 13
1 1 0 0
1 2 0 0
24 35 3 5
9 13 1 2
BO
A B C D
CD
BD
D CB
BO
A
D CB D
设,则解而
21 2 3 nA A A E O A若 阶 矩 阵 满 足 方 程,求例 14.
1*,1,2 3A A A A例 15,设 为 三 阶 矩 阵 且 求
22
1
2 3 2 3
1
( 2 ) 3 [ ( 2 ) ]
3
1
( 2 )
3
A A E O A A E
A A E E A A E E
A A E
即所 以解,
* 1 1 1
1 * 1 3 1
1
2 3 5 5 1 2 5
A A A A A A
A A A A
因 为,
所 以解,
3 0 0 3 0 0
0 1 0,0 1 0
0 0 4 0 0 4
n
n
n
AA例 16,设 则
*T,7,,nA O A A A例 1,设 阶 实 方 阵 且 证 明 可 逆
T
* T *
0
A O AA O
AA AA O AA A E
AA
因 为而 又所证故
：
以明可 逆 。
2,,
,.
nA B B B A E B
A
例 18,设 均 为 阶 方 阵 且,,
证 明 可 逆 并 求 其 逆
2
1
1 1 1
( ) ( )
2 2 2
11
22
1
( )
2
E B E B E B B B
E B B E
A A E B
因 为所 以 逆证 明,
可,且
11
1
0 1 0 1 4 3 1 0 0
1 0 0 2 0 1 0 0 1
0 0 1 1 2 0 0 1 0
2 0 1 1 0 0 2 1 0
1 4 3 0 0 1 1 3 4
1 2 0 0 1 0 1 0 2
X解,
0 1 0 1 0 0 1 4 3
1 0 0 0 0 1 2 0 1
0 0 1 0 1 0 1 2 0
X例 19,解 下 列 矩 阵 方 程
2
21
1 2 1 1,2
32
3
1 2 1 1 1 0 1
3 l im 0 1 3 1 4 0 1 0
0 0 1 5 0 0 1
n
nn
n
A
例 20,求 下 列 矩 阵
2 1 2 1 1 0
( 1 )
3 2 3 2 0 1
2 1 1 0
3 2 0 1
2 1 2 1
32
32
n
n
n
n
解,因 为所 以,当 为 偶 数 时,
当 为 奇 数 时,
4 2 3
1 1 0,2,
1 2 3
A AB A B B例 21,设 求
1
2 ( 2 )
2 2 3 2 2 3
2 1 1 0 1 1 0 1 0
1 2 1 1 2 1
3 8 6
( - 2 ) 2 9 6
2 12 9
A B A B A E B A
AE
B A E A
由 得解,
又,且所 以
*
1**
1 0,0 2 n
n
AA
A A A A
例 22,设 阶 矩 阵 的 伴 随 矩 阵 为,证 明若 则
*
**
*
*
-1
* * *
( 1)
0
0
( 2)
0
nn
A A A E O
A O A O A
A O A X O
A
A
AA
A A A E A A A A A
因 为所 以,当 时,有当 时,说 明 方 程 有 非 零 解则 一 定 有当 为 奇 异 矩 阵 时,结 论 显 然 成 立当 为 非 奇 异 矩 阵 时,即所 以 由证 明,
1 1 0 0 0 1 3 0 0 0
1 3 0 0 0 2 8 0 0 0
( 1) ( 2),0 0 2 0 0 1 0 1 0 1
0 0 0 1 2 0 1 2 3 2
0 0 0 0 1 2 3 3 1 1
AB
例 23,求 下 列 矩 阵 的 逆 矩 阵
3 4 1 4 0 0 0 4 3 2 0 0 0
1 4 1 4 0 0 0 1 1 2 0 0 0
1,; 2.0 0 1 2 0 0 2 7 12 1 6 1 6 1 2
0 0 0 1 2 3 7 6 2 3 1 3 0
0 0 0 0 1 2 11 12 7 6 1 6 1 2
1 1 1,.
1 4 1 0
1 1 0 2
P AP B A
PB
例 24,设 求其 中
1 1 11 11 1
14
1 1133
1111
33
11
10
02
273 1 273 2
683 684
P AP B A P BP A P B P
A
解而所 以
：
