7,线弹性结构的互等定理
（ Reciprocal Theory in Linear Structures)
一、线性杆系结构的变形能根据能量守恒，对线弹性、小变形结构，
外力所做的功恒等于储存于体内的应变能。
由第一节所复习的材料力学知识可知
s
GI
M
s
EI
M
s
GA
kF
s
EA
F
V
x
d
2
d
2
d
2
d
2
P
2
22
Q
2
N
ε
或者
)sGIsEI
s
k
GA
sEA(V
dd
dd
2
1
2
P
2
22
ε
Vε的性质：
(1) 总为正 ;
(3) 内力或位移的二次式 ;
(4) 叠加原理不适用 ;
(2) 与路径无关,是状态的函数。
二、线弹性结构的互等定理
1,功的互等定理,
方法一
11? 2P
12? 22?
2
2221211111 2
1
2
1 PPPW
11? 第 I 状态先加广义力 P1，后加广义力 P2。
12? 2P
11? 21?
2
22?
1112122222 2
1
2
1 PPPW
12?
2P
22?
2
由
21 WW? 212121 PP?
在线性变形体系中,I 状态的外力在 II 状态位移上所做虚功，恒等于 II 状态外力在 I 状态位移上所做虚功。
功的互等定理第 Ⅱ 状态先加广义力 P2，后加广义力 P1。
方法二由虚功原理
12?
2P 2
第 II 状态第 I 状态 21?
12112?PW?
s)GI MMEI MMGA FFkEA FF( xx d
P
21212Q1Q2N1N
21221?PW?
s)GI MMEI MMGA FFkEA FF( xx d
P
12121Q2Q1N2N
212121 PP?
2,位移互等定理,
2112
由功的互等定理，等式两边同除广义力乘积 P1 P2,则可得
1
21
2
12
PP
上式表明,第二个单位广义力引起，第一个单位广义力作用处沿第一广义力方向的位移，
恒等于第一个单位广义力引起，第二个单位广义力作用处沿第二广义力方向的位移 。
若记
2
12
12 P
1
21
21 P
则位移互等定理可见
1,单位广义力是量纲为一的量 ；
2,互等不仅是指 数值相等,且 量纲也相同 。
由 21
1
21
2
12
12?
PP
第 II 状态
12?PA C B
Cf
如图示长 l,EI 为常数的简支梁
EI
l
B 16
2
21 EI
lf
c 16
2
12
第 I 状态 B?
A C 11?P B跨中数值、量纲都相等互等定理中的数值和量纲问题是否已得到解决?
是否国家有关部门最近规定，对新近出版的教材,要求在对公式进行数值运算时，必须带物理量的单位。
EI
lP
B 16
2
1
21 EI
lPf
c 16
2
2
12
若上例简支梁受的是广义力，而不是单位广义力，则
P 1的量纲为 MLT-2,P 2的量纲为 ML2T-2
根据功的互等定理，有：
Bc PfP 21
两边同除以 P 1 · P 2得：
EI
l
P
P
P
P
EI
l
P
P
P
P
1616
2
1
1
2
2
2
2
2
1
1
或
1
1
P
P
2
2
P
P 称为 单位广义力 。
更确切，应称为 广义力系数,它有广义力的三要素（数值为一），但无单位和量纲。
因此，与其说施加单位广义力，倒不如说施加广义力系数。这样
21
22
12 16
11
16
11
EI
l
EI
l
数值、单位（量纲）都相同。
3,反力互等定理,
由功的互等定理有：
11 1221 rr 1221 rr?
支座 1 发生单位广义位移时，引起的 2
支座中的反力，恒等于支座 2 发生单位广义位移时，引起的 1 支座中的反力。
反力互等定理请自行验证：数值、量纲都相同。
4,反力位移互等定理,
问题,如何建立方程，如何叙述定理？
0212112 Pr 2112r
单位广义力引起的结构中某支座的反力，等于该支座发生单位广义位移时引起的单位广义力作用点沿其方向的位移，但符号相反。
问题：以简支梁梁中受竖向单位集中力为例，说明反力位移互等定理。
1
P = 1
2
2
1
12?r
11 2
1
21
注意,与 P 力方向相反。
2
1
21
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（ Reciprocal Theory in Linear Structures)
一、线性杆系结构的变形能根据能量守恒，对线弹性、小变形结构，
外力所做的功恒等于储存于体内的应变能。
由第一节所复习的材料力学知识可知
s
GI
M
s
EI
M
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GA
kF
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d
2
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2
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22
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2
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或者
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dd
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2
1
2
P
2
22
ε
Vε的性质：
(1) 总为正 ;
(3) 内力或位移的二次式 ;
(4) 叠加原理不适用 ;
(2) 与路径无关,是状态的函数。
二、线弹性结构的互等定理
1,功的互等定理,
方法一
11? 2P
12? 22?
2
2221211111 2
1
2
1 PPPW
11? 第 I 状态先加广义力 P1，后加广义力 P2。
12? 2P
11? 21?
2
22?
1112122222 2
1
2
1 PPPW
12?
2P
22?
2
由
21 WW? 212121 PP?
在线性变形体系中,I 状态的外力在 II 状态位移上所做虚功，恒等于 II 状态外力在 I 状态位移上所做虚功。
功的互等定理第 Ⅱ 状态先加广义力 P2，后加广义力 P1。
方法二由虚功原理
12?
2P 2
第 II 状态第 I 状态 21?
12112?PW?
s)GI MMEI MMGA FFkEA FF( xx d
P
21212Q1Q2N1N
21221?PW?
s)GI MMEI MMGA FFkEA FF( xx d
P
12121Q2Q1N2N
212121 PP?
2,位移互等定理,
2112
由功的互等定理，等式两边同除广义力乘积 P1 P2,则可得
1
21
2
12
PP
上式表明,第二个单位广义力引起，第一个单位广义力作用处沿第一广义力方向的位移，
恒等于第一个单位广义力引起，第二个单位广义力作用处沿第二广义力方向的位移 。
若记
2
12
12 P
1
21
21 P
则位移互等定理可见
1,单位广义力是量纲为一的量 ；
2,互等不仅是指 数值相等,且 量纲也相同 。
由 21
1
21
2
12
12?
PP
第 II 状态
12?PA C B
Cf
如图示长 l,EI 为常数的简支梁
EI
l
B 16
2
21 EI
lf
c 16
2
12
第 I 状态 B?
A C 11?P B跨中数值、量纲都相等互等定理中的数值和量纲问题是否已得到解决?
是否国家有关部门最近规定，对新近出版的教材,要求在对公式进行数值运算时，必须带物理量的单位。
EI
lP
B 16
2
1
21 EI
lPf
c 16
2
2
12
若上例简支梁受的是广义力，而不是单位广义力，则
P 1的量纲为 MLT-2,P 2的量纲为 ML2T-2
根据功的互等定理，有：
Bc PfP 21
两边同除以 P 1 · P 2得：
EI
l
P
P
P
P
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l
P
P
P
P
1616
2
1
1
2
2
2
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1
1
或
1
1
P
P
2
2
P
P 称为 单位广义力 。
更确切，应称为 广义力系数,它有广义力的三要素（数值为一），但无单位和量纲。
因此，与其说施加单位广义力，倒不如说施加广义力系数。这样
21
22
12 16
11
16
11
EI
l
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l
数值、单位（量纲）都相同。
3,反力互等定理,
由功的互等定理有：
11 1221 rr 1221 rr?
支座 1 发生单位广义位移时，引起的 2
支座中的反力，恒等于支座 2 发生单位广义位移时，引起的 1 支座中的反力。
反力互等定理请自行验证：数值、量纲都相同。
4,反力位移互等定理,
问题,如何建立方程，如何叙述定理？
0212112 Pr 2112r
单位广义力引起的结构中某支座的反力，等于该支座发生单位广义位移时引起的单位广义力作用点沿其方向的位移，但符号相反。
问题：以简支梁梁中受竖向单位集中力为例，说明反力位移互等定理。
1
P = 1
2
2
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12?r
11 2
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注意,与 P 力方向相反。
2
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