3 单位荷载法一、位移计算的一般公式
(General Formula of Displacements)
将虚功原理用于 实际协调位移 和 虚设平衡力状态间 已介绍过 —— 单位荷载法。
下面从虚功方程入手，讨论杆系结构位移计算的一般公式。杆系结构虚功方程为
δWe =Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds
+Σ [FPxδu+FPyδv+Mδθ] i
=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ
+Mδθ]ds = δWi
设待求的实际广义 位移为 Δ
设仅在广义力 P作用下，与之平衡的轴力、剪力、扭矩和弯矩分别为 FN,FQ、
Mx和 M。
实际位移状态 FP
Bx?
A
B C
虚设的力状态
P
A
B C
FN,FQ、
Mx和 M
，与 Δ对应的 广义力为 P。
又设与内力 FN,FQ,Mx和 M对应的微段实际变形分别为 δε,δγ,δφ和 δθ。
若结构有已知支座位移为 ci
实际位移状态 FP
Bx?
A
B C
虚设的力状态
P
A
B C
FN,FQ、
Mx和 Mδε,δγ,δφ和δθ
FRc
,与其对应的由广义力 P 引起的支座反力为 FRi
则杆系结构虚功方程为
δWe =ΣFRi ci+PΔ
=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ
+Mδθ]ds = δWi
虚功方程等式两边同除广义力 P,并记单位广义力 (P/P=1)作用下，与之平衡的轴力、剪力、扭矩和弯矩分别为 FN,FQ、
Mx和 M。 单位广义力 引起的，与已知位移对应的反力为 FRi 。
则杆系结构虚功方程改写为
Δ =-ΣFRi ci+Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ
+Mδθ]ds
位移计算的一般公式一般公式的普遍性表现在：
2,结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；静定和超静定结构；
1,位移原因：荷载、温度改变、支座移动等；
3,材料性质：线性、非线性；
4,变形类型：弯曲变形、拉 (压 )变形、剪切变形；
5,位移种类：线位移、角位移；相对线位移和相对角位移。
B
A
AB
(b)
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
A
A?
(a)P=1
P=1
P=1
A B
C
d
BC?
(c)
dP
1?
dP
1?
A B
C
2d
1d
(d)
ACAB?1
1
d
1
1
d
2
1
d2
1
d
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
A
B AB
(e)
P=1
P=1
C
(f)
C? 左右 =？
P=1 P=1
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1
A?
(g)A
AB?
(h)
A
B P=1
P=1
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
二,荷载作用下位移计算的一般公式
iix cFsM
sMFF
R
QN
d
d
在仅荷载作用时的位移计算一般公式对于由 线弹性 直杆 组成的结构，有：
P
P
QN,,,
EI
M
EI
M
GA
kF
EA
F xPP
P
P
P
P
P
sM
sMFF
x d
d
P
PPQPNP
扭转项式中：
E 弹性模量； G 剪切模量；
A 横截面积； I 截面惯性矩；
k 截面形状系数。如：对矩形截面 k=6/5;圆形截面 k=10/9。
s
GI
MM
s
EI
MM
GA
FFk
EA
FF
xPx
PPP
d
d
P
QQNN
P
IP 截面极惯性矩；
轴向剪切 弯曲扭转例 1：求刚架 A点的竖向位移。
解：构造虚设状态
（实际状态）
分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程（或画出内力图），如：
（虚拟状态）
qx x
PFQ
ql
ql
PFN
x2
2
1qx
PM
2
2
1ql
荷载内力图
xx
l
M
x
1
PFQ
1
PFN
单位内力图内力的正负号规定如下：
轴力 以拉力为正；NN,FF P
剪力 使微段顺时针转动者为正；
QQ,FF P
弯矩 只规定乘积的正负号。使杆件同侧纤维受拉时，
其乘积取为正。
MM P,
将内力方程代入公式讨论：
22 5
4~)(,
5
8~)(,1~)(
G A l
k E I
Al
I
QAyNAyMAy
轴向 剪切弯曲
GA sFFkEA sFFEI sMM PPPAy ddd QQNN?
)5 45 81(85 22
4
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k E I
Al
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，有：
引入符号
5
6,
12
,
3
kbhIbhA
22 )(
25
2~)(,)(
15
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l
h
G
E
l
h
QAyNAy
问题,的取值范围是什么？GE
)1(2
EG
5.00
32 GE
设杆件 截面 为 b?h 的矩形截面杆，有：
%13.0
)(
)(
,%2.0
)(
)(
MAy
NAy
MAy
QAy
因此,对受弯细长杆件,通常略去 FN,FQ的影响 。
取：,,有：101?lh 5.2?GE
5 0 0
1~)(,
7 5 0
1~)(
QAyNAy
)
5 0 0
1
7 5 0
11(
8
5 4
EI
ql
Ay?即：
三、几点讨论（只有荷载作用）：
GA sFFkEA sFFEI sMM PPPP ddd QQNN?
一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。
1,对梁和刚架,
EI
sMM P
P
d
2,对桁架, EA lFFEA sFF PPP NNNN d?
3,对组合结构, EA lFFEI sMM PPP NNd?
例 2：求曲梁 B点的竖向位移 和水平位移 。 (EI,EA,GA已知 )Bx?
By?
R
O
B
A
FP
解：构造虚设的力状态如图示
FP=1
R
θ
s i nRM y?
FP =1
R
θ
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θPM
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Bx?
同理有：
将内力方程代入位移计算公式,可得三铰拱的分析 同此类似，但一般 要考虑轴力对位移的贡献,也即
EA sFFEI sMM PPP dd NN?
例 3：求对称桁架 D点的竖向位移 。图中右半部各括号内数值为杆件的截面积 A
，设 E=210GPa。)m10( 21?
Dy?
FN
解,构造虚拟状态并求出实际和虚拟状态中各杆的内力代入公式得,)(mm 8NN EA lFFDy?
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FN
(General Formula of Displacements)
将虚功原理用于 实际协调位移 和 虚设平衡力状态间 已介绍过 —— 单位荷载法。
下面从虚功方程入手，讨论杆系结构位移计算的一般公式。杆系结构虚功方程为
δWe =Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds
+Σ [FPxδu+FPyδv+Mδθ] i
=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ
+Mδθ]ds = δWi
设待求的实际广义 位移为 Δ
设仅在广义力 P作用下，与之平衡的轴力、剪力、扭矩和弯矩分别为 FN,FQ、
Mx和 M。
实际位移状态 FP
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又设与内力 FN,FQ,Mx和 M对应的微段实际变形分别为 δε,δγ,δφ和 δθ。
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则杆系结构虚功方程为
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虚功方程等式两边同除广义力 P,并记单位广义力 (P/P=1)作用下，与之平衡的轴力、剪力、扭矩和弯矩分别为 FN,FQ、
Mx和 M。 单位广义力 引起的，与已知位移对应的反力为 FRi 。
则杆系结构虚功方程改写为
Δ =-ΣFRi ci+Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ
+Mδθ]ds
位移计算的一般公式一般公式的普遍性表现在：
2,结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；静定和超静定结构；
1,位移原因：荷载、温度改变、支座移动等；
3,材料性质：线性、非线性；
4,变形类型：弯曲变形、拉 (压 )变形、剪切变形；
5,位移种类：线位移、角位移；相对线位移和相对角位移。
B
A
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试确定指定广义位移对应的单位广义力。
A
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A
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试确定指定广义位移对应的单位广义力。
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试确定指定广义位移对应的单位广义力。
二,荷载作用下位移计算的一般公式
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扭转项式中：
E 弹性模量； G 剪切模量；
A 横截面积； I 截面惯性矩；
k 截面形状系数。如：对矩形截面 k=6/5;圆形截面 k=10/9。
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轴向剪切 弯曲扭转例 1：求刚架 A点的竖向位移。
解：构造虚设状态
（实际状态）
分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程（或画出内力图），如：
（虚拟状态）
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单位内力图内力的正负号规定如下：
轴力 以拉力为正；NN,FF P
剪力 使微段顺时针转动者为正；
QQ,FF P
弯矩 只规定乘积的正负号。使杆件同侧纤维受拉时，
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三、几点讨论（只有荷载作用）：
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1,对梁和刚架,
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3,对组合结构, EA lFFEI sMM PPP NNd?
例 2：求曲梁 B点的竖向位移 和水平位移 。 (EI,EA,GA已知 )Bx?
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解：构造虚设的力状态如图示
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例 3：求对称桁架 D点的竖向位移 。图中右半部各括号内数值为杆件的截面积 A
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