1,弹性杆件的变形与变形能计算
2,变形体虚功原理
3,单位荷载法
4,图乘法
5,其他外因引起的位移计算
6,互等定理
7,结论与讨论第三章 静定结构的位移计算
Displacement of Statically Determinate Structures
1 结构位移计算概述一、结构的位移 (Displacement of Structures)
x?
y?
A
A?
FP
线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称 广义位移线位移角位移
DC
相对线位移
C D
D?C?
FP?
相对角位移
制造误差? 等铁路工程技术规范规定,
二,计算位移的目的引起结构位移的原因
(1) 刚度要求 如：
荷载,温度 改变?T,支座移动?c、
在工程上,吊车梁允许的挠度 < 1/600 跨度；
桥梁在竖向活载下，
钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 < 1/700 和 1/900跨度高层建筑的最大位移 < 1/1000 高度。
最大层间位移 < 1/800 层高。
（ 3）理想联结 (Ideal Constraint)。
三,本章位移计算的假定
(2) 超静定、动力和稳定计算
(3）施工要求叠加原理适用 （ principle of superposition)
(1) 线弹性 (Linear Elastic),
(2) 小变形 (Small Deformation),
返首
2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work)
一、功 (Work)、实功 (Real Work)和虚功
(Virtual Work)
两种状态力状态位移状态
FP
FP /2 FP /2
（虚） 力状态
（虚力状态）
（虚位移状态）
无关
（虚） 位移状态
q
注意：
（ 3）位移状态与力状态 完全无关 ；
（ 2）均为可能状态。即位移应满足 变形协调条件 ；力状态应满足 平衡条件 。
（ 1）属 同一 体系；
一些基本概念：
实功,广义力在自身所产生的位移上所作的功功,力 × 力方向位移之总和广义力,功的表达式中，与广义位移对应的项功,广义力 × 广义位移之总和虚功,广义力与广义位移无关时所作的功
W=FP× Δ/2
W=FP1× Δ11 /2
or
W=FP2× Δ22 /2
W=FP1× Δ12
W=FP2× Δ21
变力功
（ 1）质点系的虚位移原理具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和充分条件是：
1PF
2NF
1NF
2PF
1m
2m
二、变形杆件的虚功原理
Σfi δri=0→ →.
对于任何 可能 的虚位移，
作用于质点系的主动力所做虚功之和为零。也即
（ 2）刚体系的虚功原理去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：
对于任何 可能 的虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。
FP
AxF
BF
AyF
ΔP
ΔB
-FP ΔP +FB ΔB=0
原理的表述：
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移时所作的总虚功 δ We，恒等于变形体所接受的总虚变形功 δ Wi。也即恒有如下虚功方程成立
δ We =δ Wi
（ 3）变形体的虚功原理变形体虚功原理的证明虚位移是光滑、连续的，相邻分割面虚位移相同。
将变形体分割成若干 (有限或无限 )部分，
计算各部分外力总虚功有两种方案方案一：
各部分上的外力区分为：外荷载和分割面内力两类，相邻分割面内力互为作用与反作用关系。
各部分外力总虚功 =外荷载总虚功
δ W=δ We
变形体虚功原理的证明变形体是平衡的，其各部分也必然平衡。
因此，各部分上的外力是平衡力系。
方案二：
各部分的虚位移区分为：刚体虚位移和变形虚位移两类。但 必须注意,虚位移是光滑连续的，可刚体和变形虚位移在分割面处一般是不光滑、连续的。
δ W=δ Wi
根据刚体虚位移原理，外力在刚体虚位移上的总虚功等于零。因此 各部分外力总虚功 =
外力在变形虚位移上的总虚功两方案计算同一内容，因此 δ We =δ Wi
需要强调的几个问题原理的证明表明，原理适用于 任何力学行为 (线性和非线性 )的变形体,适用于 任何结构 。
虚功原理里存在两个状态：
力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。因此原理仅是 必要性命题 。
由于外力在变形虚位移上所作的功相对分割面内力的虚变形功为高阶小量，因此许多文献上 称 δ Wi为内力总虚功 。
原理可有两种应用：
实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，将 平衡问题化为几何问题来求解 。
需要强调的几个问题实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，将 位移分析化为平衡问题来求解 。
第一种应用一些文献称为,虚位移原理”,
而将第二种应用称为,虚力原理” 。更确切的说法为,两种应用的依据是上述两原理的必要性命题 。上述两原理都是充分、必要性命题,它们和虚功原理是有区别的 。
质点系是一个离散化体系，变形体是一个连续体。我们认为，所谓将质点系虚位移原理 ( )“应用于变形体”是不妥当的。
Σfi δri=0→ →.
当变形体为杆件体系时，如：
A
B
C D q(s)
i j
p(s)
m(s) *
jM
*QjF
取任一单元
*NjF
*QiF
*iM
*NiF
δWe 的计算,
当无结点荷载时,δWe =Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds
当有结点荷载时
δWe =Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds
+Σ [FPxδu+FPyδv+Mδθ] i
结点荷载结点位移
δWi 的计算,
微段拉伸微段剪切 微段扭转 微段弯曲
δWi =Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds
取微段,其受力如下对于直杆体系，由于变形互不耦连，所以变形可看成有如下几部分微段受力杆系结构虚功方程根据上述推证，可得杆系结构虚功方程如下
δWe =Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds
+Σ [FPxδu+FPyδv+Mδθ] i
=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ
+Mδθ]ds = δWi
以上结论与材料物理性质及具体结构无关，
因此，虚功原理虚功方程既适用于一切线性结构，也适用于一切非线性结构 。
希望能很好理解，尽可能达到掌握！
三、虚功原理的两种应用
1）虚功原理用于 虚设的 协调位移状态 与实际的 平衡力状态 之间。
例,求 A 端的支座反力 (Reaction at Support)。
FP
A B
a
C(a)
b
解：去掉 A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态如图 (b),(c)
0P CX FX
0 XX
a
bPX
P
a
bX
待分析平衡的力状态
X
(b) FP
由外力虚功总和为零，即：
X?
C?
(c) 直线虚设协调的位移状态通常取 xX 1
单位位移法 (Unit-Displacement Method)
(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是 实际受力状态的平衡方程,即 0
BM
几点说明：
(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。
(2)虚位移与实际力状态无关,故可设 1?x?
特点,用几何法来解静力平衡问题 。
例,求 A 端支座发生竖向位移 c 时引起 C点的竖向位移?.
(a)
A
B
a
C
b
A?
C
c
2）虚功原理用于 虚设的 平衡力状态 与 实际的 协调位移状态 之间。
解：首先构造出相应的虚设力状态。即，
在拟求位移之点（ C点）沿拟求位移方向
（竖向）设置 单位荷载 。
1
A B
C(b)
AF
由 求得： 0BM
a
bF
A虚功方程为：
01 cF A?
c
a
b
这便是 单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method)
它是 Maxwell,1864和 Mohr,1874提出，
故也称为 Maxwell-Mohr Method
几点说明：
(1)所建立的 虚功方程,实质上是 几何方程 。
(3)求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。
(2)虚设的力状态与实际位移状态无关，故可设单位广义力 P=1
总的来讲，必须非常清楚的是：
单位位移法 的虚功方程 平衡方程特点,是用静力平衡法来解几何问题。
单位荷载法 的虚功方程 几何方程返回首页
2,变形体虚功原理
3,单位荷载法
4,图乘法
5,其他外因引起的位移计算
6,互等定理
7,结论与讨论第三章 静定结构的位移计算
Displacement of Statically Determinate Structures
1 结构位移计算概述一、结构的位移 (Displacement of Structures)
x?
y?
A
A?
FP
线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称 广义位移线位移角位移
DC
相对线位移
C D
D?C?
FP?
相对角位移
制造误差? 等铁路工程技术规范规定,
二,计算位移的目的引起结构位移的原因
(1) 刚度要求 如：
荷载,温度 改变?T,支座移动?c、
在工程上,吊车梁允许的挠度 < 1/600 跨度；
桥梁在竖向活载下，
钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 < 1/700 和 1/900跨度高层建筑的最大位移 < 1/1000 高度。
最大层间位移 < 1/800 层高。
（ 3）理想联结 (Ideal Constraint)。
三,本章位移计算的假定
(2) 超静定、动力和稳定计算
(3）施工要求叠加原理适用 （ principle of superposition)
(1) 线弹性 (Linear Elastic),
(2) 小变形 (Small Deformation),
返首
2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work)
一、功 (Work)、实功 (Real Work)和虚功
(Virtual Work)
两种状态力状态位移状态
FP
FP /2 FP /2
（虚） 力状态
（虚力状态）
（虚位移状态）
无关
（虚） 位移状态
q
注意：
（ 3）位移状态与力状态 完全无关 ；
（ 2）均为可能状态。即位移应满足 变形协调条件 ；力状态应满足 平衡条件 。
（ 1）属 同一 体系；
一些基本概念：
实功,广义力在自身所产生的位移上所作的功功,力 × 力方向位移之总和广义力,功的表达式中，与广义位移对应的项功,广义力 × 广义位移之总和虚功,广义力与广义位移无关时所作的功
W=FP× Δ/2
W=FP1× Δ11 /2
or
W=FP2× Δ22 /2
W=FP1× Δ12
W=FP2× Δ21
变力功
（ 1）质点系的虚位移原理具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和充分条件是：
1PF
2NF
1NF
2PF
1m
2m
二、变形杆件的虚功原理
Σfi δri=0→ →.
对于任何 可能 的虚位移，
作用于质点系的主动力所做虚功之和为零。也即
（ 2）刚体系的虚功原理去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：
对于任何 可能 的虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。
FP
AxF
BF
AyF
ΔP
ΔB
-FP ΔP +FB ΔB=0
原理的表述：
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移时所作的总虚功 δ We，恒等于变形体所接受的总虚变形功 δ Wi。也即恒有如下虚功方程成立
δ We =δ Wi
（ 3）变形体的虚功原理变形体虚功原理的证明虚位移是光滑、连续的，相邻分割面虚位移相同。
将变形体分割成若干 (有限或无限 )部分，
计算各部分外力总虚功有两种方案方案一：
各部分上的外力区分为：外荷载和分割面内力两类，相邻分割面内力互为作用与反作用关系。
各部分外力总虚功 =外荷载总虚功
δ W=δ We
变形体虚功原理的证明变形体是平衡的，其各部分也必然平衡。
因此，各部分上的外力是平衡力系。
方案二：
各部分的虚位移区分为：刚体虚位移和变形虚位移两类。但 必须注意,虚位移是光滑连续的，可刚体和变形虚位移在分割面处一般是不光滑、连续的。
δ W=δ Wi
根据刚体虚位移原理，外力在刚体虚位移上的总虚功等于零。因此 各部分外力总虚功 =
外力在变形虚位移上的总虚功两方案计算同一内容，因此 δ We =δ Wi
需要强调的几个问题原理的证明表明，原理适用于 任何力学行为 (线性和非线性 )的变形体,适用于 任何结构 。
虚功原理里存在两个状态：
力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。因此原理仅是 必要性命题 。
由于外力在变形虚位移上所作的功相对分割面内力的虚变形功为高阶小量，因此许多文献上 称 δ Wi为内力总虚功 。
原理可有两种应用：
实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，将 平衡问题化为几何问题来求解 。
需要强调的几个问题实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，将 位移分析化为平衡问题来求解 。
第一种应用一些文献称为,虚位移原理”,
而将第二种应用称为,虚力原理” 。更确切的说法为,两种应用的依据是上述两原理的必要性命题 。上述两原理都是充分、必要性命题,它们和虚功原理是有区别的 。
质点系是一个离散化体系，变形体是一个连续体。我们认为，所谓将质点系虚位移原理 ( )“应用于变形体”是不妥当的。
Σfi δri=0→ →.
当变形体为杆件体系时，如：
A
B
C D q(s)
i j
p(s)
m(s) *
jM
*QjF
取任一单元
*NjF
*QiF
*iM
*NiF
δWe 的计算,
当无结点荷载时,δWe =Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds
当有结点荷载时
δWe =Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds
+Σ [FPxδu+FPyδv+Mδθ] i
结点荷载结点位移
δWi 的计算,
微段拉伸微段剪切 微段扭转 微段弯曲
δWi =Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds
取微段,其受力如下对于直杆体系，由于变形互不耦连，所以变形可看成有如下几部分微段受力杆系结构虚功方程根据上述推证，可得杆系结构虚功方程如下
δWe =Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds
+Σ [FPxδu+FPyδv+Mδθ] i
=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ
+Mδθ]ds = δWi
以上结论与材料物理性质及具体结构无关，
因此，虚功原理虚功方程既适用于一切线性结构，也适用于一切非线性结构 。
希望能很好理解，尽可能达到掌握！
三、虚功原理的两种应用
1）虚功原理用于 虚设的 协调位移状态 与实际的 平衡力状态 之间。
例,求 A 端的支座反力 (Reaction at Support)。
FP
A B
a
C(a)
b
解：去掉 A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态如图 (b),(c)
0P CX FX
0 XX
a
bPX
P
a
bX
待分析平衡的力状态
X
(b) FP
由外力虚功总和为零，即：
X?
C?
(c) 直线虚设协调的位移状态通常取 xX 1
单位位移法 (Unit-Displacement Method)
(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是 实际受力状态的平衡方程,即 0
BM
几点说明：
(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。
(2)虚位移与实际力状态无关,故可设 1?x?
特点,用几何法来解静力平衡问题 。
例,求 A 端支座发生竖向位移 c 时引起 C点的竖向位移?.
(a)
A
B
a
C
b
A?
C
c
2）虚功原理用于 虚设的 平衡力状态 与 实际的 协调位移状态 之间。
解：首先构造出相应的虚设力状态。即，
在拟求位移之点（ C点）沿拟求位移方向
（竖向）设置 单位荷载 。
1
A B
C(b)
AF
由 求得： 0BM
a
bF
A虚功方程为：
01 cF A?
c
a
b
这便是 单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method)
它是 Maxwell,1864和 Mohr,1874提出，
故也称为 Maxwell-Mohr Method
几点说明：
(1)所建立的 虚功方程,实质上是 几何方程 。
(3)求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。
(2)虚设的力状态与实际位移状态无关，故可设单位广义力 P=1
总的来讲，必须非常清楚的是：
单位位移法 的虚功方程 平衡方程特点,是用静力平衡法来解几何问题。
单位荷载法 的虚功方程 几何方程返回首页
