弯矩分配法基本思想弯矩分配法是基于位移法的逐步逼近精确解的近似方法。
从数学上说，是一种异步迭代法。
单独使用时只能用于无侧移（线位移）的结构。
M以图示具体例子加以说明
A B
1l 2l
1EI 2EIC按位移法求解时，可得下页所示结果弯矩分配法基本思想
P1R
C
M
2111 34 iir
MRP1
)34/( 211 iiMZ
)34/(4 211 iiiMM CA
)34/(3 212 iiiMM CB
由此可得到什么结论呢？
M
A
B
1l 2l
111 / lEIi? 222 / lEIi?
C
11?ZA B
1i 2iC
14i
23i12i
11r
C14i
23i
11 4/2 iiMM CAAC
23/0 iMM CBBC
弯矩分配法基本思想结点力偶可按如下系数分配、传递到杆端
)34/(4 211 iiiCA
CACA MM
CBCB MM
即
)34/(3 212 iiiCB
那么如果外荷载不是结点力偶，情况又如何呢？
M
A
B
1l 2l
111 / lEIi? 222 / lEIi?
C
11?ZA B
1i 2iC
14i
23i12i
0 ;2/1 CBCA CC
CBCBBCCACAAC CMMCMM ;
弯矩分配法基本思想
FCACACA MMM
FCBCBCB MMM
叠加得最终杆端弯矩为为进一步推广，先引进一些基本名词的定义。
P1R
C FCBMFCAM
位移法求解如图所示，
相当的 C点集中力偶 M为
)( FF CBCA MMM
11?ZA B
1i 2iC
14i
23i12i
11r
C14i
23i
A B
1l 2l
111 / lEIi? 222 / lEIi?C
1PF 2PF
FACCACAAC MCMM
FBCCBCBBC MCMM
基本名词定义
转动刚度,AB杆 仅当 A端产生单位转动 时，
A端所施加的杆端弯矩，称为 AB杆 A端的转动刚度，记作 SAB。
A B
iS AB 4?
i A B
iS AB 3?
i A B
iS AB?
i
A端一般称为近端（本端）,B端一般称为远端（它端）。
对等直杆，由形常数可知 SAB
只与 B端的支撑条件有关。 三种基本单跨梁的转动刚度分别为
不平衡力矩,结构无结点转角位移时，交汇于 A结点各杆固端弯矩的代数和，称为 A结点的不平衡力矩。
显然,A结点各杆的分配系数总和恒等于 1。
分配系数,结构交汇于 A结点各杆的转动刚度总和分子某杆该端的转动刚度，称为该杆 A
结点的分配系数。
n
j
Aj
Ai
Ai
S
S
1
它可由位移法三类杆件的载常数求得。
例如交汇于 A结点的 n杆中第 i
杆 A结点的分配系数为
A B
2/1?ABC
i A B
0?ABC
i A B
1ABC
i
分配力矩,将 A结点的不平衡力矩改变符号，
乘以交汇于该点各杆的分配系数，所得到的杆端弯矩称为该点各杆的分配力矩（分配弯矩）。
显然，传递系数也仅与远端约束有关。
传递系数,三类位移法基本杆件 AB,当仅其一端产生转角位移时，远端的杆端弯矩和近端的杆端弯矩的比值，称为该杆的传递系数，
记作 CAB。 例如对位移法三类等直杆
传递力矩,将 A结点的分配力矩乘以传递系数，所得到的杆端弯矩称为该点远端的传递力矩（传递弯矩）。
对于仅一个转动位移的结构，应用上述名词，
本质是位移法的求解也可看成是 先固定结点，由固端弯矩获得结点不平衡力矩；
最终杆端弯矩,杆端固端弯矩、全部分配弯矩和传递弯矩的代数和即为该杆端的最终杆端弯矩。
这种直接求杆端弯矩，区段叠加作 M图的方法即为 弯矩分配法 。
然后用分配系数求杆端分配弯矩； 接着用传递系数求传递弯矩； 最后计算杆端最终杆端弯矩。
弯矩分配法的物理概念
A B
1l 2l
111 / lEIi? 222 / lEIi?C
1PF 2PF单结点分配设有如图所示单结点 (位移 )结构。
首先锁定结点使无位移。
由载常数可获得 AC,CB杆的固端弯矩，此时附加刚臂上产生不平衡力矩 。 FF CBCA MM?
放松结点 (反向加不平衡力矩 )使产生实际结点位移，此时可分配和传递计算分配和传递弯矩。
A B
1l 2l
111 / lEIi? 222 / lEIi?C
FF CBCA MM?
因此杆端最终弯矩由固端弯矩和分配弯矩（或传递弯矩）相加得到，这时结果是精确解。
最后累加固端、分配和传递得结果。
多结点 (位移 )分配对多结点 (位移 )结构，弯矩分配法的思路是：
首先将全部结点锁定，然后从不平衡力矩最大的一结点开始，在锁定其他结点条件下放松该结点使其达到,平衡,(包括分配和传递 )。接着重新锁定该结点，放松不平衡力矩次大的结点，
如此一轮一轮逐点放松，直至不平衡力矩小到可忽略。
锁定结果和放松结果叠加，结点达到平衡、产生实际结点位移，这就是位移法的结果。
分配和传递可从任意一点开始，前述从不平衡力矩最大点开始，经验证明这样可加速收敛。
由弯矩分配法思路可知，对多结点问题它是一种逐渐逼近精确解的近似方法。
实际应用时，一般只进行二、三轮的分配和传递 (考试只进行二轮即可 )。
因为分配系数小于 1，传递系数也小于 1(因为定向支座处不分配 )，因此一轮分配、传递后，新的不平衡力矩一定比原来的小，理论上经过无限次分配、传递结构一定达到平衡，也即可以获得问题的精确解。
弯矩分配法举例例子：试求作图示连续梁的 M图。 EI等于常数，
l1=6m,l2=5m。（ 只计算二轮）
A B
1l 2l
3/1 EIi? 5/2 EIi?
C
P2F PF
D E
2l 1l
2i 1i
2/1l
P5.1 F P5.2 F
P5.2 F
P5.1 F
解：锁定 B,C,D三结点，由载常数可得图示固端弯矩。 对此锁定结构，由形常数可求得分配系数为：
。375.0,625.0 BCBA
。5.0,5.0 CDCB 。294.0,706.0 DEDC
返章首
A B5.0 C D E5.0 5.0 1?706.0 294.05.0 5.0625.0 375.0
883.0 735.0?469.0? 281.0?938.0? 562.0? 765.1 735.0
301.0? 301.0?
151.0? 151.0?
044.0?054.0 107.0 044.0094.0 057.0029.0 028.0
041.0? 041.0?656.0 656.0?94.1? 279.3?721.1?721.1
595.0? 595.0
将分配、传递系数如图标于结点和杆上，
A B
1l 2l
3/1 EIi? 5/2 EIi?
C
P2F PF
D E
2l 1l
2i 1i
2/1l
279.3
721.1
595.0
656.094.1 )( PFM?
5.1? 5.1 5.2? 5.2? )( PF?
将固端弯矩也标于图上。即可如图所示做弯矩分配
从数学上说，是一种异步迭代法。
单独使用时只能用于无侧移（线位移）的结构。
M以图示具体例子加以说明
A B
1l 2l
1EI 2EIC按位移法求解时，可得下页所示结果弯矩分配法基本思想
P1R
C
M
2111 34 iir
MRP1
)34/( 211 iiMZ
)34/(4 211 iiiMM CA
)34/(3 212 iiiMM CB
由此可得到什么结论呢？
M
A
B
1l 2l
111 / lEIi? 222 / lEIi?
C
11?ZA B
1i 2iC
14i
23i12i
11r
C14i
23i
11 4/2 iiMM CAAC
23/0 iMM CBBC
弯矩分配法基本思想结点力偶可按如下系数分配、传递到杆端
)34/(4 211 iiiCA
CACA MM
CBCB MM
即
)34/(3 212 iiiCB
那么如果外荷载不是结点力偶，情况又如何呢？
M
A
B
1l 2l
111 / lEIi? 222 / lEIi?
C
11?ZA B
1i 2iC
14i
23i12i
0 ;2/1 CBCA CC
CBCBBCCACAAC CMMCMM ;
弯矩分配法基本思想
FCACACA MMM
FCBCBCB MMM
叠加得最终杆端弯矩为为进一步推广，先引进一些基本名词的定义。
P1R
C FCBMFCAM
位移法求解如图所示，
相当的 C点集中力偶 M为
)( FF CBCA MMM
11?ZA B
1i 2iC
14i
23i12i
11r
C14i
23i
A B
1l 2l
111 / lEIi? 222 / lEIi?C
1PF 2PF
FACCACAAC MCMM
FBCCBCBBC MCMM
基本名词定义
转动刚度,AB杆 仅当 A端产生单位转动 时，
A端所施加的杆端弯矩，称为 AB杆 A端的转动刚度，记作 SAB。
A B
iS AB 4?
i A B
iS AB 3?
i A B
iS AB?
i
A端一般称为近端（本端）,B端一般称为远端（它端）。
对等直杆，由形常数可知 SAB
只与 B端的支撑条件有关。 三种基本单跨梁的转动刚度分别为
不平衡力矩,结构无结点转角位移时，交汇于 A结点各杆固端弯矩的代数和，称为 A结点的不平衡力矩。
显然,A结点各杆的分配系数总和恒等于 1。
分配系数,结构交汇于 A结点各杆的转动刚度总和分子某杆该端的转动刚度，称为该杆 A
结点的分配系数。
n
j
Aj
Ai
Ai
S
S
1
它可由位移法三类杆件的载常数求得。
例如交汇于 A结点的 n杆中第 i
杆 A结点的分配系数为
A B
2/1?ABC
i A B
0?ABC
i A B
1ABC
i
分配力矩,将 A结点的不平衡力矩改变符号，
乘以交汇于该点各杆的分配系数，所得到的杆端弯矩称为该点各杆的分配力矩（分配弯矩）。
显然，传递系数也仅与远端约束有关。
传递系数,三类位移法基本杆件 AB,当仅其一端产生转角位移时，远端的杆端弯矩和近端的杆端弯矩的比值，称为该杆的传递系数，
记作 CAB。 例如对位移法三类等直杆
传递力矩,将 A结点的分配力矩乘以传递系数，所得到的杆端弯矩称为该点远端的传递力矩（传递弯矩）。
对于仅一个转动位移的结构，应用上述名词，
本质是位移法的求解也可看成是 先固定结点，由固端弯矩获得结点不平衡力矩；
最终杆端弯矩,杆端固端弯矩、全部分配弯矩和传递弯矩的代数和即为该杆端的最终杆端弯矩。
这种直接求杆端弯矩，区段叠加作 M图的方法即为 弯矩分配法 。
然后用分配系数求杆端分配弯矩； 接着用传递系数求传递弯矩； 最后计算杆端最终杆端弯矩。
弯矩分配法的物理概念
A B
1l 2l
111 / lEIi? 222 / lEIi?C
1PF 2PF单结点分配设有如图所示单结点 (位移 )结构。
首先锁定结点使无位移。
由载常数可获得 AC,CB杆的固端弯矩，此时附加刚臂上产生不平衡力矩 。 FF CBCA MM?
放松结点 (反向加不平衡力矩 )使产生实际结点位移，此时可分配和传递计算分配和传递弯矩。
A B
1l 2l
111 / lEIi? 222 / lEIi?C
FF CBCA MM?
因此杆端最终弯矩由固端弯矩和分配弯矩（或传递弯矩）相加得到，这时结果是精确解。
最后累加固端、分配和传递得结果。
多结点 (位移 )分配对多结点 (位移 )结构，弯矩分配法的思路是：
首先将全部结点锁定，然后从不平衡力矩最大的一结点开始，在锁定其他结点条件下放松该结点使其达到,平衡,(包括分配和传递 )。接着重新锁定该结点，放松不平衡力矩次大的结点，
如此一轮一轮逐点放松，直至不平衡力矩小到可忽略。
锁定结果和放松结果叠加，结点达到平衡、产生实际结点位移，这就是位移法的结果。
分配和传递可从任意一点开始，前述从不平衡力矩最大点开始，经验证明这样可加速收敛。
由弯矩分配法思路可知，对多结点问题它是一种逐渐逼近精确解的近似方法。
实际应用时，一般只进行二、三轮的分配和传递 (考试只进行二轮即可 )。
因为分配系数小于 1，传递系数也小于 1(因为定向支座处不分配 )，因此一轮分配、传递后，新的不平衡力矩一定比原来的小，理论上经过无限次分配、传递结构一定达到平衡，也即可以获得问题的精确解。
弯矩分配法举例例子：试求作图示连续梁的 M图。 EI等于常数，
l1=6m,l2=5m。（ 只计算二轮）
A B
1l 2l
3/1 EIi? 5/2 EIi?
C
P2F PF
D E
2l 1l
2i 1i
2/1l
P5.1 F P5.2 F
P5.2 F
P5.1 F
解：锁定 B,C,D三结点，由载常数可得图示固端弯矩。 对此锁定结构，由形常数可求得分配系数为：
。375.0,625.0 BCBA
。5.0,5.0 CDCB 。294.0,706.0 DEDC
返章首
A B5.0 C D E5.0 5.0 1?706.0 294.05.0 5.0625.0 375.0
883.0 735.0?469.0? 281.0?938.0? 562.0? 765.1 735.0
301.0? 301.0?
151.0? 151.0?
044.0?054.0 107.0 044.0094.0 057.0029.0 028.0
041.0? 041.0?656.0 656.0?94.1? 279.3?721.1?721.1
595.0? 595.0
将分配、传递系数如图标于结点和杆上，
A B
1l 2l
3/1 EIi? 5/2 EIi?
C
P2F PF
D E
2l 1l
2i 1i
2/1l
279.3
721.1
595.0
656.094.1 )( PFM?
5.1? 5.1 5.2? 5.2? )( PF?
将固端弯矩也标于图上。即可如图所示做弯矩分配
