2,力法解超静定 结构 举例例 1,求解图示两端固支梁。
解：取简支梁为基本体系力法典型方程为：
0
0
0
3333232131
2323222121
1313212111
P
P
P
XXX
XXX
XXX
FP
基本体系
FP
单位和荷载弯矩图 为：Pi MM,
EI
由于
0
0,0
NP2NN1
3Q3
FFF
FM
所以
0332233113 P
又由于
0
d
dd
2
3Q
2
3N
2
3
33
EA
l
GA
sF
k
EA
sF
EI
sM
于是有
03?XlabFP
PM 图
FP
两端固支梁在竖向荷载作用下没有水平反力典型方程改写为
0
0
2222121
1212111
P
P
XX
XX
EI l
alabF
EI l
blabF
EI
l
P
P
6
)(
6
)(
3
2
P
2
P
1
122211
2
2
P
2
2
2
P
1
l
baF
X
l
abF
X
图乘求得位移系数为 代入并求解可得
FPab
l FPa
2b
l2
FPab2
l2
EA lFFEA lF P NPN11
2
N1
11,
其中：
解得：
223
P
1
FX （拉）
解,基本体系
FP FP
力法典型方程为：
01111 PX
例 2,求超静定桁架的内力。
FP FP=P
FP=PFP
FNP 图
NF
EA为常数各杆最后内力由叠加法得到：
NP11NN FXFF
由计算知,在 荷载作用下，超静定桁架的内力与杆件的绝对刚度 EA无关，只与各杆刚度比值有关。
基本体系
FPFP问题,若 用拆除 上弦 杆的静定结构作为基本结构,本题应如何考虑？
FP=PFP
N1F
解,力法方程 的实质 为,,3,4两结点的相对位移 等于所拆除杆的拉（压
）变形,
34?
34l?
FPFP FP=PFP
FNP 图自乘求 δ
11
互乘求 Δ 1P
或互乘求 δ 11X1
]22
22
1
)22
2
1
2
1
42
2
2
2
2
[(
1
P
1
1P11134
a
F
Xa
a
EA
X
EA
Xal 1
34
2
令：
3434 l
有：
223
P
1
FX （拉）
基本体系解,典型方程：
kXX P /11111
最终解得：
)(32251 qlX
例 3,求作图示连续梁的弯矩图。
M图由 作出,PMXMM 11
(c)
)1( 11
1
1
k
X P
,310 lEIk?当
,k当 )(451 qlX
取基本体系，
？
EI
解：取基本体系如图 (b)
典型方程：
01111 PX
NP1NP1,,,FFMM 如图示：
例 4,求解图示加劲梁。
横梁 44 m101I
0NP?F
NPF
1N1?F
NF
EI
EAEI
P
3.5 3 3
,
2.1267.10
1
11
当 kN 9.44,m 101
123 XA
内力
PN11NNP11,FXFFMXMM
有无下部链杆时梁内最大弯矩之比,%3.191 9 2 5.080 4.15
9.44NF
)kN(NF
梁的受力与两跨连续梁相同。
（同例 3中 ）k
qlX
4
598.49
67.10
3.533
1
当,A
23 m107.1A
梁受力有利令梁内正、负弯矩值相等可得：
50NF
9.44NF
)kN(NF
如何求 A？
方程的物理意义是否明确？
例 5,求解图示刚架由于支座移动所产生的内力。
解：取图示基本结构力法典型方程为：
aXXX
XXX
XXX
3333232131
2323222121
1313212111
0
其中 为由于支座移动所产生的位移,
即
321,,
iii cF R
EI
常数
0,)(,)( 321 lblblblb
最后内力（ M图）,332211 XMXMXMM
这时结构中的位移以及位移条件的校核公式如何？
iikkkk cFEI sMMEI sMM Rdd
支座移动引起的内力与各杆的绝对刚度 EI有关 吗？
单位基本未知力引起的弯矩图和反力
Δ1Δ,Δ2Δ,Δ3Δ等于多少？δij与荷载作用时一样,由自乘、互乘求
EI
l
EI
h
32211
EI
l
612
EI
lh
EI
h 23
33 3
2
EI
hl
EI
h
22
2
2313?
问题,如何建立如下基本结构的典型方程？
1X
3X
2X
基本体系 2
1X
3X
2X
基本体系 3
1X
3X
2X
基本体系 2
3333232131
2323222121
1313212111
XXX
aXXX
bXXX
0i i?
0
0
0
3333232131
2323222121
1313212111
XXX
XXX
XXX
1X
3X
2X
基本体系 3
b
a
3
2
1
a
bl
用几何法与公式法相对比。
FP
A BEI
试求图示两端固定单跨梁在下属情况下的 M图。
(a) A端逆时针转动单位转角。
(b) A端竖向向上移动了单位位移。
(c) A,B两端均逆时针转动单位转角。
(d) A,B两端相对转动单位转角。
(e) A端竖向向上,B端竖向向下移动了单位位移。
解：选取基本体系建立典型方程
01111 PX 基本体系二例 6,求作弯矩图 (同例 3)。
)( 310 lEIk? EI常数
(c)
EI llklEI lkFEI sM k 15 16)22(3 2d
22
1
11?
EIqlkqllEIqlkFFEI sMM kkPP
33
P1
1 60
72
12
d?
64
7 2
1
qlX? （下侧受拉）
弯矩图为：
进一步求 D点竖向位移
)(
3072
181
)
32
25
2
1
(
]
128
7
42
1
2
48
5
283
2
[
1
d
4
22
EI
ql
k
ql
qll
l
llql
EI
k
FF
EI
sMM
kkD
Dy
解：取基本体系如图
(b)典型方程为：
01111 tX
例 7,求图示刚架由于温度变化引起的内力与 K点的 。
Ky?
温度变化引起的结构位移与内力的计算公式为：
ii
iiit
XMM
sM
h
t
ltF d
0N
(a)
外侧 t1
内侧 t2
EI
常数
t1=250C
t2=350C
设刚架杆件截面对称于形心轴，其高 10/lh?
CtCt 0201 35,25
ll
l
h
l
sM
h
t
ltF
EI
l
t
2 3 0)
2
2(
10
30
d
3
5
2
2
101N1
3
11
21 1 3 8 l
EIX
温度改变引起的内力与各杆的绝对刚度 EI 有关。
10 300 tt?则 1NF
0N?F
NF
M图
lsM
h
t
ltF
EI
sMM
K
K
K
Ky
75.34d
d
0N
温度低的一侧受拉，此结论 同样 适用于温度引起的超静定单跨梁。
0N?KF
5.0NKF
KFN
简化返章首下侧正弯矩为设基本未知力为 X，则
2)05.04(5)05.04)(5.040( XXXX
跨中支座负弯矩为
80)5.040(4 X
根据题意正弯矩等于负弯矩，可得
8629 15.46?X
有了基本未知力，由典型方程可得
23 m 1072.1A
返回
解：取简支梁为基本体系力法典型方程为：
0
0
0
3333232131
2323222121
1313212111
P
P
P
XXX
XXX
XXX
FP
基本体系
FP
单位和荷载弯矩图 为：Pi MM,
EI
由于
0
0,0
NP2NN1
3Q3
FFF
FM
所以
0332233113 P
又由于
0
d
dd
2
3Q
2
3N
2
3
33
EA
l
GA
sF
k
EA
sF
EI
sM
于是有
03?XlabFP
PM 图
FP
两端固支梁在竖向荷载作用下没有水平反力典型方程改写为
0
0
2222121
1212111
P
P
XX
XX
EI l
alabF
EI l
blabF
EI
l
P
P
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)(
6
)(
3
2
P
2
P
1
122211
2
2
P
2
2
2
P
1
l
baF
X
l
abF
X
图乘求得位移系数为 代入并求解可得
FPab
l FPa
2b
l2
FPab2
l2
EA lFFEA lF P NPN11
2
N1
11,
其中：
解得：
223
P
1
FX （拉）
解,基本体系
FP FP
力法典型方程为：
01111 PX
例 2,求超静定桁架的内力。
FP FP=P
FP=PFP
FNP 图
NF
EA为常数各杆最后内力由叠加法得到：
NP11NN FXFF
由计算知,在 荷载作用下，超静定桁架的内力与杆件的绝对刚度 EA无关，只与各杆刚度比值有关。
基本体系
FPFP问题,若 用拆除 上弦 杆的静定结构作为基本结构,本题应如何考虑？
FP=PFP
N1F
解,力法方程 的实质 为,,3,4两结点的相对位移 等于所拆除杆的拉（压
）变形,
34?
34l?
FPFP FP=PFP
FNP 图自乘求 δ
11
互乘求 Δ 1P
或互乘求 δ 11X1
]22
22
1
)22
2
1
2
1
42
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2
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[(
1
P
1
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a
F
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Xal 1
34
2
令：
3434 l
有：
223
P
1
FX （拉）
基本体系解,典型方程：
kXX P /11111
最终解得：
)(32251 qlX
例 3,求作图示连续梁的弯矩图。
M图由 作出,PMXMM 11
(c)
)1( 11
1
1
k
X P
,310 lEIk?当
,k当 )(451 qlX
取基本体系，
？
EI
解：取基本体系如图 (b)
典型方程：
01111 PX
NP1NP1,,,FFMM 如图示：
例 4,求解图示加劲梁。
横梁 44 m101I
0NP?F
NPF
1N1?F
NF
EI
EAEI
P
3.5 3 3
,
2.1267.10
1
11
当 kN 9.44,m 101
123 XA
内力
PN11NNP11,FXFFMXMM
有无下部链杆时梁内最大弯矩之比,%3.191 9 2 5.080 4.15
9.44NF
)kN(NF
梁的受力与两跨连续梁相同。
（同例 3中 ）k
qlX
4
598.49
67.10
3.533
1
当,A
23 m107.1A
梁受力有利令梁内正、负弯矩值相等可得：
50NF
9.44NF
)kN(NF
如何求 A？
方程的物理意义是否明确？
例 5,求解图示刚架由于支座移动所产生的内力。
解：取图示基本结构力法典型方程为：
aXXX
XXX
XXX
3333232131
2323222121
1313212111
0
其中 为由于支座移动所产生的位移,
即
321,,
iii cF R
EI
常数
0,)(,)( 321 lblblblb
最后内力（ M图）,332211 XMXMXMM
这时结构中的位移以及位移条件的校核公式如何？
iikkkk cFEI sMMEI sMM Rdd
支座移动引起的内力与各杆的绝对刚度 EI有关 吗？
单位基本未知力引起的弯矩图和反力
Δ1Δ,Δ2Δ,Δ3Δ等于多少？δij与荷载作用时一样,由自乘、互乘求
EI
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22
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2313?
问题,如何建立如下基本结构的典型方程？
1X
3X
2X
基本体系 2
1X
3X
2X
基本体系 3
1X
3X
2X
基本体系 2
3333232131
2323222121
1313212111
XXX
aXXX
bXXX
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0
0
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3333232131
2323222121
1313212111
XXX
XXX
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1X
3X
2X
基本体系 3
b
a
3
2
1
a
bl
用几何法与公式法相对比。
FP
A BEI
试求图示两端固定单跨梁在下属情况下的 M图。
(a) A端逆时针转动单位转角。
(b) A端竖向向上移动了单位位移。
(c) A,B两端均逆时针转动单位转角。
(d) A,B两端相对转动单位转角。
(e) A端竖向向上,B端竖向向下移动了单位位移。
解：选取基本体系建立典型方程
01111 PX 基本体系二例 6,求作弯矩图 (同例 3)。
)( 310 lEIk? EI常数
(c)
EI llklEI lkFEI sM k 15 16)22(3 2d
22
1
11?
EIqlkqllEIqlkFFEI sMM kkPP
33
P1
1 60
72
12
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64
7 2
1
qlX? （下侧受拉）
弯矩图为：
进一步求 D点竖向位移
)(
3072
181
)
32
25
2
1
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]
128
7
42
1
2
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1
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EI
ql
k
ql
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l
llql
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k
FF
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sMM
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解：取基本体系如图
(b)典型方程为：
01111 tX
例 7,求图示刚架由于温度变化引起的内力与 K点的 。
Ky?
温度变化引起的结构位移与内力的计算公式为：
ii
iiit
XMM
sM
h
t
ltF d
0N
(a)
外侧 t1
内侧 t2
EI
常数
t1=250C
t2=350C
设刚架杆件截面对称于形心轴，其高 10/lh?
CtCt 0201 35,25
ll
l
h
l
sM
h
t
ltF
EI
l
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2 3 0)
2
2(
10
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3
5
2
2
101N1
3
11
21 1 3 8 l
EIX
温度改变引起的内力与各杆的绝对刚度 EI 有关。
10 300 tt?则 1NF
0N?F
NF
M图
lsM
h
t
ltF
EI
sMM
K
K
K
Ky
75.34d
d
0N
温度低的一侧受拉，此结论 同样 适用于温度引起的超静定单跨梁。
0N?KF
5.0NKF
KFN
简化返章首下侧正弯矩为设基本未知力为 X，则
2)05.04(5)05.04)(5.040( XXXX
跨中支座负弯矩为
80)5.040(4 X
根据题意正弯矩等于负弯矩，可得
8629 15.46?X
有了基本未知力，由典型方程可得
23 m 1072.1A
返回
