第四章 超静定结构的解法
Methods of Analysis of Statically Indeterminate Structures
§ 4-1 求解超静定问题的一般方法
§ 4-2 力法
§ 4-3 力法计算的简化
§ 4-4 位移法
§ 4-5 混合法和弯矩分配法
§ 4-6 超静定结构特性
§ 4-7 结论与讨论遵循材料力学中 同时考虑“变形、本构、平衡”分析超静定问题的思想,可有不同的出发点：
以力作为基本未知量,在自动满足平衡条件的基础上进行分析,这时主要应解决变形协调问题,这种分析方法称为 力法 （ force method） 。
以位移作为基本未知量,在自动满足变形协调条件的基础上来分析,当然这时主要需解决平衡问题,
这种分析方法称为 位移法 （ displacement method） 。
如果一个问题中 既有力的未知量,也有位移的未知量,力的部分考虑位移协调,位移的部分考虑力的平衡,这样一种分析方案称为 混合法
（ mixture method） 。
在本章中将主要介绍力法和位移法 (含弯矩分配法 )。 返回
1,力法的基本原理
(Fundamentals of the Force Method)
有一个多于约束的超静定结构，
有四个反力，只有三个方程。
只要满足
i
ByiiA
ByAy
lFaFM
FFFF
1
P
1
1
P2P1
1
ByF1 为任意值，均平衡。
因此必须设法补充方程力法的基本思路超静定计算简图 解除约束转化成静定的基本结构承受荷载和多余未知力基本体系受力、变形解法已知力法的基本思路用已掌握的方法，分析单个基本未知力作用下的受力和变形同样方法分析
“荷载”下的受力、变形位移包含基本未知力 Xi
为消除基本结构与原结构差别，建立位移协调条件
2 P2 22 21
1 P1 12 11
由此可解得基本未知力，从而解决受力变形分析问题基本原理举例例 1,求解图示单跨梁原结构待解的未知问题
A B 基本结构已掌握受力、变形
primary structure or fundamental structure
基本体系
fundamental system or primary ystem
转化变形协调条件力法典型方程
(The Compatibility Equation of Force Method )
未知力的位移,荷载”的位移
011 111 P
总位移等于已知位移以掌握的问题消除两者差别叠加作弯矩图或 0
1111 PXδ? 011 111 P
1X
系数求法单位弯矩图荷载弯矩图
— 位移系数ij?
自乘系数和未知力等于多少？
— 广义荷载位移互乘
Pi?
例 2,求解图示结构原结构
FP 基本体系一
FP
解法 1:
有两个多于约束 解除约束代以未知力基本未知力
PFP
0
0
222212
112111
p
p
或
0
0
2222121
1212111
p
p
XX
XX
基本未知力引起的位移 荷载引起的位移变形协调条件力法典型方程
0
166
5
4
0
96
5
46
P21
P21
FXX
FXX
88
3
11
4
P
2
P
1
F
X
F
X
FP
FPa
作单位和荷载弯矩图求系数、建立力法方程并求解仅与刚度相对值有关
88
3
11
4
P
2
P
1
F
X
F
X
FP
FPa
FP
（ × Fpa）
由叠加原理求得
PMXMXMM 2211
力法基本思路小结根据结构组成分析，正确判断多余约束个数 ——超静定次数 。
解除多余约束，转化为静定的 基本结构 。
多余约束代以多余未知力 ——基本未知力 。
分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立 位移协调条件 ——力法典型方程 。
从典型方程解得基本未知力，由 叠加原理获得结构内力。 超静定结构分析通过转化为静定结构获得了解决。
将未知问题转化为已知问题，通过消除已知问题和原问题的差别，
使未知问题得以解决。
这是科学研究的基本方法之一。
由于从超静定转化为静定，将什么约束看成多余约束不是唯一的，因此力法求解的基本结构也不是唯一的。
解法 2,原结构基本体系
FPFP
解法 3,原结构基本体系
FPFP
原结构
FP 基本体系
FP
M1图 M2图 FPaFP
MP图单位和荷载弯矩图
FPaF
P
由单位和荷载弯矩图可勾画出基本体系变形图
FP
FPaF
P
由单位和荷载 M 图可求得位移系数、建立方程
0
0
p222212
p112111
0
0
P2222121
P1212111
XX
XX
P2P1 11
4,
88
15 FXaFX
FP
（ × Fpa）
原结构
FP
基本体系
FP
FPaF
P
单位和荷载弯矩图
aFXaFX P2P1
88
3,
88
15
能否取基本体系为 F
P
小结,力法的解题步骤问题：
超静定次数 = 基本未知力的个数
= 多余约束数
= 变成基本结构所需解除的约束数
(?)
(1) 确定结构的超静定次数和基本结构 (体系 )
（ 3 次）
或
（ 14 次） 或
(1 次）
(6 次 )
(4 次 )
(b) 一个超静定结构可能有多种形式的基本结构，不同基本结构带来不同的计算工作量。
因此，要选取工作量较少的基本结构。
确定超静定次数时应注意：
(c) 可变体系不能作为基本结构
(a) 切断弯曲杆次数 3、链杆 1，刚结变单铰 1，
拆开单铰 2。总次数也可由 计算自由度 得到。
(2) 建立力法典型方程
nnPnnnn
Pnn
XX
XX
11
111111
P Xδ
或写作矩阵方程
(3) 作基本结构在单位未知力和荷载（如果有）作用下的弯矩（内力）图 Pi MM,
(4) 求基本结构的位移系数
ij?
(5) 求 基本结构的 广 义荷载 位移 iP?
注意,用图乘法求 和 时应注意图乘条件ij? iP?
(6) 解方程求未知力 iX
图乘来求
(7)根据叠加原理作超静定结构 的 内力图
(8) 任 取 一基本结构，求超静定结构 的位移
P
i
ii MXMM PNNN FXFF
i
ii
QPQQ FXFF
i
ii
例如求 K
截面竖向位移：
FP
（ × Fpa）
K
FP
（ × Fpa）
K
)(
1 4 0 8
3
]
162
)
88
15
88
3
(
2
1
[
2
1
88
3
6
5
8
1
1
3
P
3
P
2
PP
1
P
2
1
EI
aFaFa
aFaF
EI
aF
a
EI
Ky?
)(
1408
3
88
3
2
1
8
1
1
3
P
P
2
1
EI
aFaFa
EIKy
（ 9）对计算结果进行校核对结构上的任一部分，其力的平衡条件均能满足。
0 CM如：
问题：使结构上的任一部分都处于平 衡的解答是否就是问题的正确解？
FP
（ × Fpa）
原结构
FP 基本体系
FP假如：
由
0
0
2222121
1212111
P
P
XXδ
XXδ
可证：平衡条件均能满足。
0,0 21 PByPBx
求得,0,0
21 XX (× )
但：
FP
FPa
M 图结论,对计算结果除需进行力的校核外，
还必需进行位移的校核。
链举例
FP
（ × Fpa）
0]
16388
15
2
1
3
2
88
3
2
1
[
2
1
88
3
3
2
2
1
3
P2
P
2
P
1
P
2
1
aFa
aF
a
aF
EI
aF
a
EI
Ax?
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Methods of Analysis of Statically Indeterminate Structures
§ 4-1 求解超静定问题的一般方法
§ 4-2 力法
§ 4-3 力法计算的简化
§ 4-4 位移法
§ 4-5 混合法和弯矩分配法
§ 4-6 超静定结构特性
§ 4-7 结论与讨论遵循材料力学中 同时考虑“变形、本构、平衡”分析超静定问题的思想,可有不同的出发点：
以力作为基本未知量,在自动满足平衡条件的基础上进行分析,这时主要应解决变形协调问题,这种分析方法称为 力法 （ force method） 。
以位移作为基本未知量,在自动满足变形协调条件的基础上来分析,当然这时主要需解决平衡问题,
这种分析方法称为 位移法 （ displacement method） 。
如果一个问题中 既有力的未知量,也有位移的未知量,力的部分考虑位移协调,位移的部分考虑力的平衡,这样一种分析方案称为 混合法
（ mixture method） 。
在本章中将主要介绍力法和位移法 (含弯矩分配法 )。 返回
1,力法的基本原理
(Fundamentals of the Force Method)
有一个多于约束的超静定结构，
有四个反力，只有三个方程。
只要满足
i
ByiiA
ByAy
lFaFM
FFFF
1
P
1
1
P2P1
1
ByF1 为任意值，均平衡。
因此必须设法补充方程力法的基本思路超静定计算简图 解除约束转化成静定的基本结构承受荷载和多余未知力基本体系受力、变形解法已知力法的基本思路用已掌握的方法，分析单个基本未知力作用下的受力和变形同样方法分析
“荷载”下的受力、变形位移包含基本未知力 Xi
为消除基本结构与原结构差别，建立位移协调条件
2 P2 22 21
1 P1 12 11
由此可解得基本未知力，从而解决受力变形分析问题基本原理举例例 1,求解图示单跨梁原结构待解的未知问题
A B 基本结构已掌握受力、变形
primary structure or fundamental structure
基本体系
fundamental system or primary ystem
转化变形协调条件力法典型方程
(The Compatibility Equation of Force Method )
未知力的位移,荷载”的位移
011 111 P
总位移等于已知位移以掌握的问题消除两者差别叠加作弯矩图或 0
1111 PXδ? 011 111 P
1X
系数求法单位弯矩图荷载弯矩图
— 位移系数ij?
自乘系数和未知力等于多少？
— 广义荷载位移互乘
Pi?
例 2,求解图示结构原结构
FP 基本体系一
FP
解法 1:
有两个多于约束 解除约束代以未知力基本未知力
PFP
0
0
222212
112111
p
p
或
0
0
2222121
1212111
p
p
XX
XX
基本未知力引起的位移 荷载引起的位移变形协调条件力法典型方程
0
166
5
4
0
96
5
46
P21
P21
FXX
FXX
88
3
11
4
P
2
P
1
F
X
F
X
FP
FPa
作单位和荷载弯矩图求系数、建立力法方程并求解仅与刚度相对值有关
88
3
11
4
P
2
P
1
F
X
F
X
FP
FPa
FP
（ × Fpa）
由叠加原理求得
PMXMXMM 2211
力法基本思路小结根据结构组成分析，正确判断多余约束个数 ——超静定次数 。
解除多余约束，转化为静定的 基本结构 。
多余约束代以多余未知力 ——基本未知力 。
分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立 位移协调条件 ——力法典型方程 。
从典型方程解得基本未知力，由 叠加原理获得结构内力。 超静定结构分析通过转化为静定结构获得了解决。
将未知问题转化为已知问题，通过消除已知问题和原问题的差别，
使未知问题得以解决。
这是科学研究的基本方法之一。
由于从超静定转化为静定，将什么约束看成多余约束不是唯一的，因此力法求解的基本结构也不是唯一的。
解法 2,原结构基本体系
FPFP
解法 3,原结构基本体系
FPFP
原结构
FP 基本体系
FP
M1图 M2图 FPaFP
MP图单位和荷载弯矩图
FPaF
P
由单位和荷载弯矩图可勾画出基本体系变形图
FP
FPaF
P
由单位和荷载 M 图可求得位移系数、建立方程
0
0
p222212
p112111
0
0
P2222121
P1212111
XX
XX
P2P1 11
4,
88
15 FXaFX
FP
（ × Fpa）
原结构
FP
基本体系
FP
FPaF
P
单位和荷载弯矩图
aFXaFX P2P1
88
3,
88
15
能否取基本体系为 F
P
小结,力法的解题步骤问题：
超静定次数 = 基本未知力的个数
= 多余约束数
= 变成基本结构所需解除的约束数
(?)
(1) 确定结构的超静定次数和基本结构 (体系 )
（ 3 次）
或
（ 14 次） 或
(1 次）
(6 次 )
(4 次 )
(b) 一个超静定结构可能有多种形式的基本结构，不同基本结构带来不同的计算工作量。
因此，要选取工作量较少的基本结构。
确定超静定次数时应注意：
(c) 可变体系不能作为基本结构
(a) 切断弯曲杆次数 3、链杆 1，刚结变单铰 1，
拆开单铰 2。总次数也可由 计算自由度 得到。
(2) 建立力法典型方程
nnPnnnn
Pnn
XX
XX
11
111111
P Xδ
或写作矩阵方程
(3) 作基本结构在单位未知力和荷载（如果有）作用下的弯矩（内力）图 Pi MM,
(4) 求基本结构的位移系数
ij?
(5) 求 基本结构的 广 义荷载 位移 iP?
注意,用图乘法求 和 时应注意图乘条件ij? iP?
(6) 解方程求未知力 iX
图乘来求
(7)根据叠加原理作超静定结构 的 内力图
(8) 任 取 一基本结构，求超静定结构 的位移
P
i
ii MXMM PNNN FXFF
i
ii
QPQQ FXFF
i
ii
例如求 K
截面竖向位移：
FP
（ × Fpa）
K
FP
（ × Fpa）
K
)(
1 4 0 8
3
]
162
)
88
15
88
3
(
2
1
[
2
1
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1
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3
P
2
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P
2
1
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aFaFa
aFaF
EI
aF
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EI
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)(
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2
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1
1
3
P
P
2
1
EI
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EIKy
（ 9）对计算结果进行校核对结构上的任一部分，其力的平衡条件均能满足。
0 CM如：
问题：使结构上的任一部分都处于平 衡的解答是否就是问题的正确解？
FP
（ × Fpa）
原结构
FP 基本体系
FP假如：
由
0
0
2222121
1212111
P
P
XXδ
XXδ
可证：平衡条件均能满足。
0,0 21 PByPBx
求得,0,0
21 XX (× )
但：
FP
FPa
M 图结论,对计算结果除需进行力的校核外，
还必需进行位移的校核。
链举例
FP
（ × Fpa）
0]
16388
15
2
1
3
2
88
3
2
1
[
2
1
88
3
3
2
2
1
3
P2
P
2
P
1
P
2
1
aFa
aF
a
aF
EI
aF
a
EI
Ax?
返章首参看课程教材结束
