4,位移法的基本原理
(Fundamentals of Displacement Method)
已有的知识：
（ 2）静定结构的内力分析和位移计算；
（ 1）结构组成分析；
（ 3）超静定结构的内力分析和位移计算力法；已解得如下单跨梁结果。
A B
A B
位移法中的基本单跨梁表示要熟记！！！
超静定单跨梁的力法结果 (1)
形形载形 =形常数 载 =载常数超静定单跨梁的力法结果 (2)
载载载超静定单跨梁的力法结果 (3)
载载载
1
超静定单跨梁的力法结果 (4)
形载形载超静定单跨梁的力法结果 (5)
载载载超静定单跨梁的力法结果 (6)
载载载载超静定单跨梁的力法结果 (7)
载载载形超静定单跨梁的力法结果 (8)
载载载载超静定单跨梁的力法结果 (9)
载载载载
2
超静定单跨梁的力法结果 (10)
载载载回顾力法的思路：
（ 1）解除多余约束代以基本未知力，确定基本结构、基本体系；
（ 2）分析基本结构在未知力和“荷载”
共同作用下的变形，消除与原结构的差别，建立力法典型方程；
（ 3）求解未知力，将超静定结构化为静定结构。
核心是化未知为已知在线性小变形条件下，由叠加原理可得单跨超静定梁在荷载、温改和支座移动共同作用下
FP
x
y
F
BAABABBA
F
ABABBAAB
M
l
i
iiM
M
l
i
iiM
6
24
6
24
其中,lEIi? 称杆件的 线刚度 。
F
BA
F
AB MM,
为由荷载和温度变化引起的杆端弯矩，称为 固端弯矩 。
转角位移方程 (刚度方程 )
Slope-Deflection (Stiffness) Equation
F
ABABAAB Ml
iiM 33
同理，另两类杆的转角位移方程为
A端固定 B端铰支
F
BAABA
F
ABAAB
MiM
MiM
A端固定 B端定向位移法第一种基本思路图示各杆长度为 l,EI 等于常数,分布集度 q,
集中力 FP,力偶 M.如何求解?
q
FP
FP
M 力法未知数个数为 3,但独立位移未知数只有一 (A 点转角,设为
).
Δ FP
FP
位移法第一种基本思路在此基础上,由图示结点平衡得 0 M
MM AD
83
2ql
iM AC
84
P lFiM
AB
2
P lFiM
AE
利用转角位移方程可得,
第一种基本思路位移法思路 (平衡方程法 )
以某些结点的位移为基本未知量将结构拆成若干具有已知力 -位移 (转角 -位移 )
关系的单跨梁集合分析各单跨梁在外因和结点位移共同作用下的受力将单跨梁拼装成整体用平衡条件消除整体和原结构的差别,建立和位移个数相等的方程求出基本未知量后,由单跨梁力 -位移关系可得原结构受力第二种基本思路图示各杆长度为 l,EI 等于常数,分布集度 q,
集中力 FP,力偶 M.如何求解?
q
FP
FP
M
Δ FP
FP
以 A 点转角做基本未知量,设为?,在 A 施加限制转动的约束,以如图所示体系为基本体系 (基本结构的定义和力法相仿 ).
第二种基本思路利用“载常数”可作图示荷载弯矩图利用“形常数”可作图示单位弯矩图根据两图结点平衡可得附加约束反力第二种基本思路位移法思路 (典型方程法 )
以位移为基本未知量,先“固定”（不产生任何位移）
考虑外因作用，由“载常数”得各杆受力,作弯矩图。
令结点产生单位位移（无其他外因），
由“形常数” 得各杆受力,作弯矩图。
两者联合原结构无约束，应无附加约束反力（平衡）,
列方程可求位移。
基本思路典型方程法,仿力法，按确定基本未知量、
基本结构，研究基本体系在位移和外因下的
“反应”，通过消除基本体系和原结构差别来建立位移法基本方程（平衡）的上述方法。
平衡方程法,利用等直杆在外因和杆端位移下由迭加所建立杆端位移与杆端力关系（转角位移）方程由结点、隔离体的杆端力平衡建立求解位移未知量的方法。
FFKF
0 RK?
基本思路两种解法对比：
典型方程法和力法一样，直接对结构按统一格式处理。最终结果由迭加得到。
平衡方程法对每杆列转角位移方程，视具体问题建平衡方程。位移法方程概念清楚，
杆端力在求得位移后代转角位移方程直接可得。
位移法方程：
两法最终方程都是 平衡方程 。整理后形式均为：
0 RK?
典型方程法基本概念
位移未知量 (一些特殊情况以后结合例题讨论 )
结点位移包括角位移和线位移独立角位移 na =刚结点数；
独立线位移 nl =?
不考虑轴向变形时：
nl =‘刚结点’变成铰，为使铰结体系几何不变所需加的支杆数。
考虑轴向变形时：
nl =结点数?2–约束数总未知量 n = na+ nl 。
手算时电算时位移未知数确定举例位移未知数确定举例位移未知数确定举例位移未知数确定举例位移未知数确定举例
2
2
l
a
n
n
2
5
l
a
n
n
位移未知数确定练习
1
0
l
a
n
n
4
3
l
a
n
n
位移未知数确定练习
0
3
l
a
n
n
1
3
l
a
n
n
位移未知数确定练习
32 la nn
位移未知数确定练习典型方程法基本概念
基本结构,加约束“无位移”,能拆成已知杆端力 -杆端位移关系“单跨梁”
的超静定结构。
基本体系,受外因和未知位移的基本结构。
①
②
③
④
⑤
典型方程法基本概念
基本方程：
外因和未知位移共同作用时,附加约束没有反力 ——实质为平衡方程。
0 RK?
外因 附加反力为零未知位移典型方程法步骤
确定独立位移未知量数目（隐含建立基本体系，支杆只限制线位移，限制转动的约束不能阻止线位移）
作基本未知量分别等于单位时的单位弯矩图
作外因（主要是荷载）下的弯矩图
由上述弯矩图取结点、隔离体求反力系数
iij Rk,
典型方程法步骤
建立位移法典型方程并且求解：
),,1(0 niRk ijij
PMMM jj?
按迭加法作最终弯矩图
取任意部分用平衡条件进行校核例一,用位移法计算图示刚架,并作弯矩图,
E=常数,
0
2
l
a
n
n
单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下,
熟记了“形、载常数”吗？
iPij Rk,如何求？
1M
图
4i
4i
8i
2i
11?Z
单位弯矩图为
2M
图
12?Z
8i
8i 4i
4i4i
2i
11k
4i
8i
21k
4i
ik 1211? ik 421?
12k
4i
ik 412?
22k
4i
8i8i
ik 2022?
取结点考虑平衡荷载弯矩图
P2R
12
2ql
P1R
0P1?R
12
2
P2
ql
R
12
2ql
PM
图取结点考虑平衡
0
0
P2222121
P1212111
Rkk
Rkk
位移法典型方程：
0
12
204
00412
2
21
21
ql
ii
ii
i
ql
i
ql
224
672
2
2
2
1
P2211 MMMM
最终内力：
请自行作出最终 M图例二,用位移法计算图示刚架,并作弯矩图,
E=常数,
1
1
l
a
n
n
单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下,
熟记了“形、载常数”吗？
iPij Rk,如何求？
4i
6i6i
k11
6i/l
k12 = k21 k21 = k12
6i/l k22
3i/l2 3i/l212i/l2R1P
由形、载常数可得单位和荷载弯矩图如下,
6i
6i4i
2i 3i/l 3i/l
6i/l
ql2/8
R2P
3ql/8
取结点和横梁为隔离体，即可求得全部系数请自行列方程、
求解并叠加作弯矩图例三,图示等截面连续梁,B支座下沉?,C支座下沉 0.6?.EI等于常数,作弯矩图,
0
2
l
a
n
n
单位弯矩和支座位移弯矩图的示意图如下,
熟记了“形常数”
吗？
iCij Rk,如何求？
单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下,
例四,用位移法计算图示刚架,并作弯矩图,
E=常数,
1
0
l
a
n
n
熟记了“形常数”
吗？
40
iPij Rk,如何求？
3EI/16
P
1 F
s j
特殊情况讨论（剪力分配法）
如何求解工作量最少?
例五,用位移法计算图示刚架,并作弯矩图,
E=常数,
3 m
3I 对称时
1 nn a
3 m
3I
反对称时
1
1
l
a
n
n
对称荷载组用位移法求解反对称荷载组用力法求解
1?n
1?n
联合法例六,用位移法计算图示刚架,并作弯矩图,E=常数,
利用对称性 C处什麽支座?怎样才能拆成有力 -位移关系的单跨梁? n等于多少?
利用对称性
1 nn l
BC杆属于哪类,单元,?
它的单位和荷载弯矩图怎麽作?
取半计算简图
C
例七,刚架温度变化如图,试作其弯矩图,
EI =常数,截面为矩形,高为 h.
线胀系数?
400 ADAV lt
600 ABAH lt
B
利用对称性后,B点有没有位移?
A点线位移已知否?
取半结构位移未知数等于几?
请自行求解！
例八,试作图示结构弯矩图,
请自行列方程、
求解并叠加作弯矩图例九,试作图示结构弯矩图,
请自行列方程、
求解并叠加作弯矩图已知楼层第 j个柱子的抗侧移刚度为 12EIj/h3,
那么图示层侧移刚度 ki等于多少？
ki=Σ 12EIj/h3,kii,kii+1 =多少？
n层刚架结构刚度矩阵 [K]什么样？
例十,试作图示结构弯矩图,
135o
7.071i/l
5.657i/l ql
2/8
9i/l2 7.071i/l
请自行求系数、
列方程、求解并叠加作弯矩图从上述例子可以得到一些什麽结论?
力法、位移法对比
力法基本未知量：多余力基本结构：一般为静定结构，能求 M 的超静定结构也可。
作单位和外因内力图由内力图自乘、互乘求系数，主系数恒正。
建立力法方程（协调）
位移法基本未知量：结点独立位移基本结构：无位移超静定次数更高的结构作单位和外因内力图由内力图的结点、隔离体平衡求系数，主系数恒正。
建立位移法方程（平衡）
0 FK0X
解方程求独立结点位移迭加作内力图用变形条件进行校核解方程求独立结点位移迭加作内力图用平衡条件进行校核混合法
基本思路联合法 是一个计算简图用同一种方法，
联合应用力法、位移法。
混合法 则是同一个计算简图一部分用力法、另一部分用位移法。超静定次数少，独立位移多的部分取力为未知量。
超静定次数多，独立位移少的部分取位移作未知量。
用混合法计算图示刚架,并作弯矩图,EI=常数,
这样做系数如何计算？
系数间有什麽关系，
依据是什麽？
如何建立方程，
其物理意义是什麽？
请自行求系数、
列方程、求解并叠加作弯矩图原则上与未知力对应的系数用图乘求，与位移对应的系数用平衡求。
系数间有位移和反力互等的关系。 按典型方程法建立，力法部分协调方程，位移法部分平衡方程。
弯分
(Fundamentals of Displacement Method)
已有的知识：
（ 2）静定结构的内力分析和位移计算；
（ 1）结构组成分析；
（ 3）超静定结构的内力分析和位移计算力法；已解得如下单跨梁结果。
A B
A B
位移法中的基本单跨梁表示要熟记！！！
超静定单跨梁的力法结果 (1)
形形载形 =形常数 载 =载常数超静定单跨梁的力法结果 (2)
载载载超静定单跨梁的力法结果 (3)
载载载
1
超静定单跨梁的力法结果 (4)
形载形载超静定单跨梁的力法结果 (5)
载载载超静定单跨梁的力法结果 (6)
载载载载超静定单跨梁的力法结果 (7)
载载载形超静定单跨梁的力法结果 (8)
载载载载超静定单跨梁的力法结果 (9)
载载载载
2
超静定单跨梁的力法结果 (10)
载载载回顾力法的思路：
（ 1）解除多余约束代以基本未知力，确定基本结构、基本体系；
（ 2）分析基本结构在未知力和“荷载”
共同作用下的变形，消除与原结构的差别，建立力法典型方程；
（ 3）求解未知力，将超静定结构化为静定结构。
核心是化未知为已知在线性小变形条件下，由叠加原理可得单跨超静定梁在荷载、温改和支座移动共同作用下
FP
x
y
F
BAABABBA
F
ABABBAAB
M
l
i
iiM
M
l
i
iiM
6
24
6
24
其中,lEIi? 称杆件的 线刚度 。
F
BA
F
AB MM,
为由荷载和温度变化引起的杆端弯矩，称为 固端弯矩 。
转角位移方程 (刚度方程 )
Slope-Deflection (Stiffness) Equation
F
ABABAAB Ml
iiM 33
同理，另两类杆的转角位移方程为
A端固定 B端铰支
F
BAABA
F
ABAAB
MiM
MiM
A端固定 B端定向位移法第一种基本思路图示各杆长度为 l,EI 等于常数,分布集度 q,
集中力 FP,力偶 M.如何求解?
q
FP
FP
M 力法未知数个数为 3,但独立位移未知数只有一 (A 点转角,设为
).
Δ FP
FP
位移法第一种基本思路在此基础上,由图示结点平衡得 0 M
MM AD
83
2ql
iM AC
84
P lFiM
AB
2
P lFiM
AE
利用转角位移方程可得,
第一种基本思路位移法思路 (平衡方程法 )
以某些结点的位移为基本未知量将结构拆成若干具有已知力 -位移 (转角 -位移 )
关系的单跨梁集合分析各单跨梁在外因和结点位移共同作用下的受力将单跨梁拼装成整体用平衡条件消除整体和原结构的差别,建立和位移个数相等的方程求出基本未知量后,由单跨梁力 -位移关系可得原结构受力第二种基本思路图示各杆长度为 l,EI 等于常数,分布集度 q,
集中力 FP,力偶 M.如何求解?
q
FP
FP
M
Δ FP
FP
以 A 点转角做基本未知量,设为?,在 A 施加限制转动的约束,以如图所示体系为基本体系 (基本结构的定义和力法相仿 ).
第二种基本思路利用“载常数”可作图示荷载弯矩图利用“形常数”可作图示单位弯矩图根据两图结点平衡可得附加约束反力第二种基本思路位移法思路 (典型方程法 )
以位移为基本未知量,先“固定”（不产生任何位移）
考虑外因作用，由“载常数”得各杆受力,作弯矩图。
令结点产生单位位移（无其他外因），
由“形常数” 得各杆受力,作弯矩图。
两者联合原结构无约束，应无附加约束反力（平衡）,
列方程可求位移。
基本思路典型方程法,仿力法，按确定基本未知量、
基本结构，研究基本体系在位移和外因下的
“反应”，通过消除基本体系和原结构差别来建立位移法基本方程（平衡）的上述方法。
平衡方程法,利用等直杆在外因和杆端位移下由迭加所建立杆端位移与杆端力关系（转角位移）方程由结点、隔离体的杆端力平衡建立求解位移未知量的方法。
FFKF
0 RK?
基本思路两种解法对比：
典型方程法和力法一样，直接对结构按统一格式处理。最终结果由迭加得到。
平衡方程法对每杆列转角位移方程，视具体问题建平衡方程。位移法方程概念清楚，
杆端力在求得位移后代转角位移方程直接可得。
位移法方程：
两法最终方程都是 平衡方程 。整理后形式均为：
0 RK?
典型方程法基本概念
位移未知量 (一些特殊情况以后结合例题讨论 )
结点位移包括角位移和线位移独立角位移 na =刚结点数；
独立线位移 nl =?
不考虑轴向变形时：
nl =‘刚结点’变成铰，为使铰结体系几何不变所需加的支杆数。
考虑轴向变形时：
nl =结点数?2–约束数总未知量 n = na+ nl 。
手算时电算时位移未知数确定举例位移未知数确定举例位移未知数确定举例位移未知数确定举例位移未知数确定举例
2
2
l
a
n
n
2
5
l
a
n
n
位移未知数确定练习
1
0
l
a
n
n
4
3
l
a
n
n
位移未知数确定练习
0
3
l
a
n
n
1
3
l
a
n
n
位移未知数确定练习
32 la nn
位移未知数确定练习典型方程法基本概念
基本结构,加约束“无位移”,能拆成已知杆端力 -杆端位移关系“单跨梁”
的超静定结构。
基本体系,受外因和未知位移的基本结构。
①
②
③
④
⑤
典型方程法基本概念
基本方程：
外因和未知位移共同作用时,附加约束没有反力 ——实质为平衡方程。
0 RK?
外因 附加反力为零未知位移典型方程法步骤
确定独立位移未知量数目（隐含建立基本体系，支杆只限制线位移，限制转动的约束不能阻止线位移）
作基本未知量分别等于单位时的单位弯矩图
作外因（主要是荷载）下的弯矩图
由上述弯矩图取结点、隔离体求反力系数
iij Rk,
典型方程法步骤
建立位移法典型方程并且求解：
),,1(0 niRk ijij
PMMM jj?
按迭加法作最终弯矩图
取任意部分用平衡条件进行校核例一,用位移法计算图示刚架,并作弯矩图,
E=常数,
0
2
l
a
n
n
单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下,
熟记了“形、载常数”吗？
iPij Rk,如何求？
1M
图
4i
4i
8i
2i
11?Z
单位弯矩图为
2M
图
12?Z
8i
8i 4i
4i4i
2i
11k
4i
8i
21k
4i
ik 1211? ik 421?
12k
4i
ik 412?
22k
4i
8i8i
ik 2022?
取结点考虑平衡荷载弯矩图
P2R
12
2ql
P1R
0P1?R
12
2
P2
ql
R
12
2ql
PM
图取结点考虑平衡
0
0
P2222121
P1212111
Rkk
Rkk
位移法典型方程：
0
12
204
00412
2
21
21
ql
ii
ii
i
ql
i
ql
224
672
2
2
2
1
P2211 MMMM
最终内力：
请自行作出最终 M图例二,用位移法计算图示刚架,并作弯矩图,
E=常数,
1
1
l
a
n
n
单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下,
熟记了“形、载常数”吗？
iPij Rk,如何求？
4i
6i6i
k11
6i/l
k12 = k21 k21 = k12
6i/l k22
3i/l2 3i/l212i/l2R1P
由形、载常数可得单位和荷载弯矩图如下,
6i
6i4i
2i 3i/l 3i/l
6i/l
ql2/8
R2P
3ql/8
取结点和横梁为隔离体，即可求得全部系数请自行列方程、
求解并叠加作弯矩图例三,图示等截面连续梁,B支座下沉?,C支座下沉 0.6?.EI等于常数,作弯矩图,
0
2
l
a
n
n
单位弯矩和支座位移弯矩图的示意图如下,
熟记了“形常数”
吗？
iCij Rk,如何求？
单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下,
例四,用位移法计算图示刚架,并作弯矩图,
E=常数,
1
0
l
a
n
n
熟记了“形常数”
吗？
40
iPij Rk,如何求？
3EI/16
P
1 F
s j
特殊情况讨论（剪力分配法）
如何求解工作量最少?
例五,用位移法计算图示刚架,并作弯矩图,
E=常数,
3 m
3I 对称时
1 nn a
3 m
3I
反对称时
1
1
l
a
n
n
对称荷载组用位移法求解反对称荷载组用力法求解
1?n
1?n
联合法例六,用位移法计算图示刚架,并作弯矩图,E=常数,
利用对称性 C处什麽支座?怎样才能拆成有力 -位移关系的单跨梁? n等于多少?
利用对称性
1 nn l
BC杆属于哪类,单元,?
它的单位和荷载弯矩图怎麽作?
取半计算简图
C
例七,刚架温度变化如图,试作其弯矩图,
EI =常数,截面为矩形,高为 h.
线胀系数?
400 ADAV lt
600 ABAH lt
B
利用对称性后,B点有没有位移?
A点线位移已知否?
取半结构位移未知数等于几?
请自行求解！
例八,试作图示结构弯矩图,
请自行列方程、
求解并叠加作弯矩图例九,试作图示结构弯矩图,
请自行列方程、
求解并叠加作弯矩图已知楼层第 j个柱子的抗侧移刚度为 12EIj/h3,
那么图示层侧移刚度 ki等于多少？
ki=Σ 12EIj/h3,kii,kii+1 =多少？
n层刚架结构刚度矩阵 [K]什么样？
例十,试作图示结构弯矩图,
135o
7.071i/l
5.657i/l ql
2/8
9i/l2 7.071i/l
请自行求系数、
列方程、求解并叠加作弯矩图从上述例子可以得到一些什麽结论?
力法、位移法对比
力法基本未知量：多余力基本结构：一般为静定结构，能求 M 的超静定结构也可。
作单位和外因内力图由内力图自乘、互乘求系数，主系数恒正。
建立力法方程（协调）
位移法基本未知量：结点独立位移基本结构：无位移超静定次数更高的结构作单位和外因内力图由内力图的结点、隔离体平衡求系数，主系数恒正。
建立位移法方程（平衡）
0 FK0X
解方程求独立结点位移迭加作内力图用变形条件进行校核解方程求独立结点位移迭加作内力图用平衡条件进行校核混合法
基本思路联合法 是一个计算简图用同一种方法，
联合应用力法、位移法。
混合法 则是同一个计算简图一部分用力法、另一部分用位移法。超静定次数少，独立位移多的部分取力为未知量。
超静定次数多，独立位移少的部分取位移作未知量。
用混合法计算图示刚架,并作弯矩图,EI=常数,
这样做系数如何计算？
系数间有什麽关系，
依据是什麽？
如何建立方程，
其物理意义是什麽？
请自行求系数、
列方程、求解并叠加作弯矩图原则上与未知力对应的系数用图乘求，与位移对应的系数用平衡求。
系数间有位移和反力互等的关系。 按典型方程法建立，力法部分协调方程，位移法部分平衡方程。
弯分
