1
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1
第2讲、金属自由电子气的Drude模型
1,模型的建立 ——基本假定及其合理性
2,金属电导率
3,电子气的热传导
4,Wiedemann-Franz定律
5,Drude模型的局限
6,固体的微观描写专题 1：代替引论。完整的模型建立过程 ——如何根据已知的物理现象，可供使用的物理理论和数学工具，建立模型、对比实验、验证并修正模型 ——过程比结论更重要
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2
1、模型的建立——基本假定及其合理性
为什么研究固体从金属开始？
* 最基本物质状态之一，元素周期表中有 2/3属于金属，应用很广泛，当时对金属的了解比其他固体多
#比如，电导、热导、光泽、延展等性能很早开始就被广泛应用
* 区分非金属，实际上也是从理解金属开始
当时已经知道很多其他固体所没有的金属性质
* 这些性质很多已经有应用，亟需知道其之所以有这些性质的原因
?那么，当时对金属所知有多少？
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3
金属知多少？
良好的导电体、导热体
* 与温度有关
延展性、可塑性
* 金属光泽？
Wiedemann-Franz定律（ 1853）
* 当时热传导在应用上比电导更重要，但测量很困难
LT=
σ
κ
Ω K
-2
L:10
-8
Wcm
-1
K
-1
κ,W
3.350.083.530.09Bi
2.530.352.640.38Pb
2.384.172.314.18Ag
2.293.822.203.85Cu
2.880.732.610.80Fe
2.192.302.142.37Al
2.430.732.220.71Li
LκLκ
K373K273
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4
从这些现象得到的对金属的认识
?良好导电体、导热体？
* 组成金属的原子大多位于周期表左边 ?
#金属原子容易失去价电子 ?
#金属电导和热传导可能是价电子起作用？
?延展性、可塑性？
* 与组成金属的原子之间的相互结合的方式有关 ?
#结合没有方向性，区别于共价键，金属键(?) ?
金属键——形象地说，价电子形成负电背景，正电荷镶嵌其中，库仑作用的结合
#金属的结构几乎都有相对较高的配位数(?) ?
配位数——形象地说，就是原子周围最靠近该原子的原子的个数（晶体结构中将涉及）
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5
金属中电子行为的推测
金属特点
* 价电子可以活动的区域较大
?比如，Li原子间距3A，而原子半径0.5A（？）
?原子核小分布很稀
?因此，价电子活动空间大
价电子：束缚？自由？
分析 ?推测 ?图象（要能够自圆其说？）
* 芯电子行为：束缚在原子核周围形成离子实，不参与导电
* 价电子行为：核对它们的吸引力弱，可以离开核的束缚，可以自由地在整个金属中移动，这部分电子参与导电
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6
当时可供使用的物理工具？
1897年 Thomsom的电子论
* 一个转折点
* Paul Karl Ludwig Drude（ 1863——1906）意识到金属的导电（热）性质可能与电子有关
* 当然也可以质疑这种猜测
#电子对导热有贡献有何根据？
1900年物理学的状况？
* 量子力学还处于萌芽状态
* 只有经典物理，连原子结构的正确理论尚未建立
#但当时，理想气体的运动学理论已经非常成功！
2
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7
如何建立模型？
Drude的经典金属自由电子气模型（ 1900）
* 在微观层次上解释实验测量的第一个理论模型
* 首先用于解释电导、热传导问题
那么如何根据已知的金属性质，构造模型？
在这个层次上，根据上一讲有三点需考虑：
1,经典还是量子？
* 无可选择！当时只有经典可供使用
2,如何描写体系粒子间相互作用？
* 价电子之间？
3,如何处理 10
29
/m
3
个粒子？
* 价电子与离子实之间作用？也几乎无可选择！
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8
价电子运动图像传导电子 芯区 原子核
Na 1s
2
2s
2
2p
6
3s
1
：价电子数量少，空间大考虑金属中价电子的行为
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9
思考——假如你是Drude
根据已有线索，如何仿照理想气体建立模型？
* 与理想气体（电中性）还是有些不同！除了碰撞的瞬间，可以不考虑其他。但现有两种带电粒子
有库仑相互作用？那么
* 电子 -电子如何相互作用？
* 电子 -原子核如何相互作用？
还没有完 ——模型将用来研究电导和热导，输运过程，非平衡过程，所以
* 还需规定体系将通过什么方式建立热平衡？
#即，在没有电场（温度梯度）时、在有电场（温度梯度）时，电子如何达到热平衡？
#按理想气体做？
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10
金属中价电子势(与原子核相互作用)
金属中价电子真实势场的一维示意图：起伏的部分是价电子所遭受的有效势
Drude模型假定的金属中价电子的势场示意图——常数！？
因为真实的还不清楚！
既然搞不清？那么，
或者彻底简化；或者归到另一个也仍然不清楚的作用中去——腾挪！物理中常用手段
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11
讨论（看能不能自圆其说)
芯电子被原子核紧紧束缚，形成离子实，本声固定，不参与导电
价电子脱离原子核的束缚而在固体中自由运动
离子实对价电子的作用可忽略不计
* 离子实的作用仅维持固体结合，维持电中性
* 离子实在整个空间平均分布，包括核电荷
金属中的价电子就象无相互作用的理想气体
但模型与理想气体又有所不同：
* 电子气体的浓度比典型的理想气体大三个量级
* 有两种粒子：电子，离子
?加些限制 (基本假定 )，完成 Drude模型构造
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模型的三个基本假定
独立电子近似：电子与电子无相互作用
* 很糟糕的近似，但多体问题现在也还无解决之道
* 与其他相比，多数情况下最不重要 ?
自由电子近似：除碰撞的瞬间外电子与离子无相互作用
* 即使以现代量子的观点来看也是很好的近似。
# 1916年的Tolman实验支持这个假定；
#其深刻的物理原因就是电子在周期结构中运动 ?
弛豫时间近似：一给定电子在单位时间内受一次碰撞的几率为 1/τ
* 不可能完全自由 ?电导率无穷大，无法取得热平衡
#对照上面所说的周期性结构中运动电子
3
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13
建立热平衡的方式——与离子实的碰撞
碰撞前后速度无关联；
* 对以前的速度没有记忆
#合理吗？
碰撞后获得速度的方向随机；
* 合理的假定
速率与碰撞处的温度相适应
* 很含糊？
* 但是没有关系，因为方向随机，平均没有贡献
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2、金属电导率
EF e?=
n是电子密度。根据牛顿定律，电子将被加速，飘移速度会随时间不断增加，趋于无穷
没有外电场时，电子各个运动方向等价，互相抵消，没有整体流动，无电流。当有电场存在时，电子受力
这个力使电子有了一个与电场相反方向的总体漂移，速度 v
漂移
，显示出电流，其电流密度漂移
vj ne?=
思考：电子的漂移速度与电子内在速度比较？
需要检查电子运动方程中被散射的机制！
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15
散射图象
弛豫时间近似：一给定的电子在单位时间经历一次碰撞的几率为 1/τ
弛豫机制：电子漂移速度从零开始增加（一旦与离子相碰撞，漂移速度即为零），在下一个弛豫时间里，在电场作用下，电子的漂移速度再从零开始增加。
* 思考：碰撞后平均漂移速度为零，合理吗？
电子碰撞后在电场力作用下加速，到下一次碰撞前（时间τ）可以获得的速度即漂移速度
m
ne τ
σ
2
=()τ/tme
漂移
vE =?
Ej σ=
漂移
vj ne?=
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16
估计(由实验电导率)
在无法知道碰撞的细节时,τ 是最重要的
* 电导可测，如果取 n~10
22
-10
23
cm
-3
，在室温下，弛豫时间大约在 10
-14
~10
-15
秒，低温时大一个量级
可估计平均自由程,l=vτ
v可由能均分定理得到，室温时,~10
7
cm/s
* 数量级的差别！思考：实际应该大还是小，比为什么？
于是,l~ 10A，基本与原子距离的量级相当
* 似乎很合理，与 Drude假定自洽
* 但实际电子平均自由程要大 10
3
倍
* 在极低温更大,l~cm，几乎是 10
8
倍的原子间隔 ?
#有深刻的物理原因
m
ne τ
σ
2
=
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17
评论
这里碰撞或者说被离子散射是电阻的根源，无碰撞，弛豫时间无穷大，电导率无穷大
观察这个公式，除了弛豫时间外，其他都是已知的。有一待定系数τ，因此总可以与实验符合，从而直接与实验比较就没有意义，除非这个系数独立，即对所有材料都相同！
已经知道，电导率与温度有关。但这个关系可以说已经包含，也可以说没有包含，因为有待定参数,τ与温度有关
Drude模型成功在 Wiedemann—Franz定律
?先看热传导系数
m
ne τ
σ
2
=
18
3、电子气的热传导
Tj
q
= κ
直觉：导体好于绝缘体 ?电子导热
()[]()[]{}τετε vxTvxTnvj
q
+=
2
1
热流密度与热导系数的关系
=
dx
dT
dT
d
nv
ε
τ
2
一维情况（热流是能量的输运）
高温低温电子在高温处以及在低温处经最后一次碰撞，到达 x
处，携带能量不同，导致热流。 x处的密度 n，高温、低温处各贡献一半，
1/2n
τvl =同一速度，与 T无关？
4
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能量均分定理←经典的M-B分布
利用能量均分定理和定容比热的定义
2222
3
1
vvvv
zyx
>=>=<>=<<
vlcvc
VV
3
1
3
1
2
== τκ
V
c
dT
dE
VdT
d
V
N
dT
d
n =?
=?
=
1εε
比较前式，可得
根据电子平均能量，即可得
B
2
3
nkc
V
=
Tk
B
2
3
=ε
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评论
金属电子对比热的贡献完全失败！
比热与温度无关！被严重高估
* 实际上，室温时，金属与绝缘体几乎一样，所以比热并非电子贡献，而是原子振动的贡献
* 即使低温时，电子对比热贡献显著可以和原子振动比拟时，每个电子贡献 3k
B
/2，也还是高估两个量级
也就是说，电子实际上没有那么大的热容量！
* 或说，好象只有很小一部分电子对比热有贡献！
* 思考：为何如此？
思考：电子热传导会不会导致电子定向流动，
形成电流？
BV
nkc
2
3
=
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4、Wiedemann-Franz定律(1853)
Drude取
LTT
e
k
B
=?
=
2
2
3
σ
κ
Tkmv
nkc
B
BV
2
3
2
1
2
3
2
=
=
假定热导和电导的弛豫时间相同,L为 Lorentz
数，与实验值同数量级
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22
评论
L=1.11 10
-8
WΩ /K
2
，是实验值的约一半
Drude当时在推导电导率时出错，电导率小了一半，所以得到 L大了一倍，
* L=2.22 10
-8
WΩ /K
2
，与实验值相符
Drude模型最成功之处是解释 Wiedemann-
Franz定律，与很多更精致、更复杂的理论得出的值相差不多
稍微精确点的理论可以得到，只差一个常系数
LTT
e
k
B
=?
=
2
2
3
σ
κ
28
2
2
K/W1045.2
3
Ω×=?
==
e
k
T
L
B
π
σ
κ
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23
研究方法特点？
抓住要点，简化问题
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24
5、Drude模型的局限性
电子对比热的贡献与温度无关，过大（ 10
2
）
电子速度,v
2
，太小（ 10
2
）
什么决定传导电子的数目？价电子？
磁化率与温度成反比？实际无关
导体？绝缘体？半导体？
？
5
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25
研究方法特点？
实验鉴定，逐步修正
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26
如何修正？
放弃经典理论，改经典统计为量子统计（ 1）
放弃自由电子近似：考虑电子与离子实的相互作用。这时离子实固定 ?晶体的结构（ 2）
考虑电子与周期性排列的离子实的相互作用 ?
能带理论（ 3+4）
放弃离子实固定 ?晶格振动（ 5）
放弃弛豫时间近似 ?输运理论（ 6）
放弃独立电子近似（电子的关联问题，非常复杂 ——专题）
具体来看如何修正 ?
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27
6、固体的微观描写
}){},({}){},({H
JiJi
RrERr Ψ=Ψ
核电子核电子?
++= H
H
H
H
∑∑
+=
',
'
2
)(
2
1
2
p?
H
ii
ii
i
i
rrV
m
电子电子
∑∑
+=
',
'
2
)(
2
1
2
P
H
JJ
JJ
J J
J
RRV
M
核核
∑
=
Ji
Ji
RrV
,
)(
2
1
H
核电子核电子核坐标电子坐标
}{
}{
J
i
R
r
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28
近似步骤——绝热近似
基本事实：原子核比电子重得多
绝热近似：考虑电子运动时可不考虑原子核得运动。原子核固定在它的瞬间位置。
( ) }){},({)H
H
(}){},({H
H
H
0
JiJi
RrRr Ψ+?Ψ++
核电子电子核电子核电子
∑∑
+=
',
'
2
)(
2
1
2
P
H
JJ
JJ
J J
J
RRV
M
核核
J
R
0
J
R
}){},({}){},({)H
H
H
(
- JiJi
RrERr Ψ=Ψ++
核电子核电子
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29
进一步的近似和简化处理
同经典自由电子气，但用量子统计
?第一章的其余内容 —— Sommefeld模型
∑∑
+=
',
'
2
)(
2
1
2
p?
H
ii
ii
i
i
rrV
m
电子电子
∑
=
Ji
Ji
RrV
,
0
)(
2
1
H
核电子核电子独立电子近似自由电子近似
∑
++
i
i
m2
p?
H
H
H
2
核电子核电子
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30
但需要对原子核位置的理想化，才能处理
10
29
/m
3
数量级的原子
* 静止（绝热近似）
* 周期性排列近似，即
0
J
R
0
"
0
'
0
JJJ
RRR +=
∑
=
Ji
Ji
RrV
,
0
)(
2
1
H
核电子核电子
如果要去掉自由电子近似，则仍需加上
* 这个关系就是结构的平移周期性的数学表示 ?
?第二章、晶体的结构
6
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31
考虑电子 -电子、电子 -周期性静止排列的原子核的相互作用
)()(
0
rVRrV
核电子核电子
=?
0
"
0
'
0
JJJ
RRR +=?在周期性结构中，因
+=
∑∑∑?
Ji
Ji
ii
ii
i
i
RrVrrV
m
H
,
0
',
'
2
)(
2
1
)(
2
1
2
p?
核电子电子
就有
且
)()(
0
rVRrV
核电子核电子
=?
?第三、四章、能带理论
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但假定原子仅在平衡位置附近运动，而这种平衡位置仍呈周期性排列，可用经典处理
?第五章、晶格振动（量子化 ——声子）
∑∑
+=
',
'
2
)(
2
1
2
P
H
JJ
JJ
J J
J
RRV
M
核核
"' JJJ
RRR =?
J
R
0
J
R
但这时不考虑电子的运动,H就一项
前面都是绝热近似，即在考虑电子运动时，不考虑原子核运动，现去掉绝热近似，
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考虑电子与晶格振动（声子）的相互作用
?第六章、输运现象
* 又回到金属电导，但已是另一层次
0
J
R
∑
=
Ji
Ji
RrV
,
)(
2
1
H
核电子核电子
J
R 声子
如果考虑原子核运动的同时也考虑电子运动，
需加上
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34
模型逐级修正的需要、根据及结果
金属自由电子气模型
* 量子统计自由电子气体 ——局限出自没有考虑结构
晶体的结构
* 原子固定在平衡位置,10
29
数量级的困难，抽象 —
—周期排列
能带理论
* 电子在周期性排列的结构中运动
晶格振动
* 周期性排列的原子的运动 ——声子，固体比热
电子输运理论
* 同时考虑电子、原子运动 ——电子与声子相互作用
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本讲要点
Drude用类似于理想气体的方法处理金属中电子的运动 ?自由电子气体，包含一些近似和假定
* 自由电子近似、独立电子近似、弛豫时间近似，经典统计
Drude模型得到的一些与实验符合较好的结果
* 电导率、热导率,Wiedemann-Franz定律
Drude模型碰到的困难、原因及在此框架下的解决之道
* 电导率，热导系数
#原因，没有那么多电子对电导有贡献
#解决方法：不用经典统计，用量子（费米）统计
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36
概念要点
自由电子近似
* 电子 —离子间除碰撞瞬间，无相互作用
独立电子近似
* 电子间无相互作用
弛豫时间近似
* 一给定电子前后两次与离子碰撞的平均时间
漂移速度
* 漂移速度即在弛豫时间内电场对电子加速的结果
#其前提为：碰撞后，电子漂移速度为零！
#电流即源于这个电子的漂移
7
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37
本讲存疑（以后讲解中还会涉及）
金属键 ?
配位数 ?
独立电子近似（电子与电子无相互作用）多数情况下可以作为整体来处理 ?
* 与其他相比，最不重要 ?单电子近似（作为整体效应） ——对大部分材料都是较好的近似
自由电子近似（电子与离子无相互作用）还算比较好的近似 ?
* 物理原因就是电子在周期结构中运动没有被散射的机制，因此，极低温时电子的平均自由程非常大
结构的平移周期性的数学表示 ?
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思考题
电子气与理想气体的异同？
Drude模型电子碰撞后平均漂移速度为零的假定是否合理？
电子的漂移速度与电子内在速度比较？
从能量均分定理得到的电子速度比实际的大还是小，为什么？
为什么只有很小一部分电子对比热有贡献？
电子气存在温度梯度时，会不会导致电子定向流动？形成电流？
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39
习题
1,尝试用 Drude模型推导焦耳定律
2,尝试用 Drude模型推导 Hall系数
2
RIW =
nec
R
1
H
=
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1
第2讲、金属自由电子气的Drude模型
1,模型的建立 ——基本假定及其合理性
2,金属电导率
3,电子气的热传导
4,Wiedemann-Franz定律
5,Drude模型的局限
6,固体的微观描写专题 1：代替引论。完整的模型建立过程 ——如何根据已知的物理现象，可供使用的物理理论和数学工具，建立模型、对比实验、验证并修正模型 ——过程比结论更重要
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1、模型的建立——基本假定及其合理性
为什么研究固体从金属开始？
* 最基本物质状态之一，元素周期表中有 2/3属于金属，应用很广泛，当时对金属的了解比其他固体多
#比如，电导、热导、光泽、延展等性能很早开始就被广泛应用
* 区分非金属，实际上也是从理解金属开始
当时已经知道很多其他固体所没有的金属性质
* 这些性质很多已经有应用，亟需知道其之所以有这些性质的原因
?那么，当时对金属所知有多少？
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3
金属知多少？
良好的导电体、导热体
* 与温度有关
延展性、可塑性
* 金属光泽？
Wiedemann-Franz定律（ 1853）
* 当时热传导在应用上比电导更重要，但测量很困难
LT=
σ
κ
Ω K
-2
L:10
-8
Wcm
-1
K
-1
κ,W
3.350.083.530.09Bi
2.530.352.640.38Pb
2.384.172.314.18Ag
2.293.822.203.85Cu
2.880.732.610.80Fe
2.192.302.142.37Al
2.430.732.220.71Li
LκLκ
K373K273
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从这些现象得到的对金属的认识
?良好导电体、导热体？
* 组成金属的原子大多位于周期表左边 ?
#金属原子容易失去价电子 ?
#金属电导和热传导可能是价电子起作用？
?延展性、可塑性？
* 与组成金属的原子之间的相互结合的方式有关 ?
#结合没有方向性，区别于共价键，金属键(?) ?
金属键——形象地说，价电子形成负电背景，正电荷镶嵌其中，库仑作用的结合
#金属的结构几乎都有相对较高的配位数(?) ?
配位数——形象地说，就是原子周围最靠近该原子的原子的个数（晶体结构中将涉及）
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金属中电子行为的推测
金属特点
* 价电子可以活动的区域较大
?比如，Li原子间距3A，而原子半径0.5A（？）
?原子核小分布很稀
?因此，价电子活动空间大
价电子：束缚？自由？
分析 ?推测 ?图象（要能够自圆其说？）
* 芯电子行为：束缚在原子核周围形成离子实，不参与导电
* 价电子行为：核对它们的吸引力弱，可以离开核的束缚，可以自由地在整个金属中移动，这部分电子参与导电
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6
当时可供使用的物理工具？
1897年 Thomsom的电子论
* 一个转折点
* Paul Karl Ludwig Drude（ 1863——1906）意识到金属的导电（热）性质可能与电子有关
* 当然也可以质疑这种猜测
#电子对导热有贡献有何根据？
1900年物理学的状况？
* 量子力学还处于萌芽状态
* 只有经典物理，连原子结构的正确理论尚未建立
#但当时，理想气体的运动学理论已经非常成功！
2
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7
如何建立模型？
Drude的经典金属自由电子气模型（ 1900）
* 在微观层次上解释实验测量的第一个理论模型
* 首先用于解释电导、热传导问题
那么如何根据已知的金属性质，构造模型？
在这个层次上，根据上一讲有三点需考虑：
1,经典还是量子？
* 无可选择！当时只有经典可供使用
2,如何描写体系粒子间相互作用？
* 价电子之间？
3,如何处理 10
29
/m
3
个粒子？
* 价电子与离子实之间作用？也几乎无可选择！
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8
价电子运动图像传导电子 芯区 原子核
Na 1s
2
2s
2
2p
6
3s
1
：价电子数量少，空间大考虑金属中价电子的行为
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9
思考——假如你是Drude
根据已有线索，如何仿照理想气体建立模型？
* 与理想气体（电中性）还是有些不同！除了碰撞的瞬间，可以不考虑其他。但现有两种带电粒子
有库仑相互作用？那么
* 电子 -电子如何相互作用？
* 电子 -原子核如何相互作用？
还没有完 ——模型将用来研究电导和热导，输运过程，非平衡过程，所以
* 还需规定体系将通过什么方式建立热平衡？
#即，在没有电场（温度梯度）时、在有电场（温度梯度）时，电子如何达到热平衡？
#按理想气体做？
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10
金属中价电子势(与原子核相互作用)
金属中价电子真实势场的一维示意图：起伏的部分是价电子所遭受的有效势
Drude模型假定的金属中价电子的势场示意图——常数！？
因为真实的还不清楚！
既然搞不清？那么，
或者彻底简化；或者归到另一个也仍然不清楚的作用中去——腾挪！物理中常用手段
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11
讨论（看能不能自圆其说)
芯电子被原子核紧紧束缚，形成离子实，本声固定，不参与导电
价电子脱离原子核的束缚而在固体中自由运动
离子实对价电子的作用可忽略不计
* 离子实的作用仅维持固体结合，维持电中性
* 离子实在整个空间平均分布，包括核电荷
金属中的价电子就象无相互作用的理想气体
但模型与理想气体又有所不同：
* 电子气体的浓度比典型的理想气体大三个量级
* 有两种粒子：电子，离子
?加些限制 (基本假定 )，完成 Drude模型构造
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12
模型的三个基本假定
独立电子近似：电子与电子无相互作用
* 很糟糕的近似，但多体问题现在也还无解决之道
* 与其他相比，多数情况下最不重要 ?
自由电子近似：除碰撞的瞬间外电子与离子无相互作用
* 即使以现代量子的观点来看也是很好的近似。
# 1916年的Tolman实验支持这个假定；
#其深刻的物理原因就是电子在周期结构中运动 ?
弛豫时间近似：一给定电子在单位时间内受一次碰撞的几率为 1/τ
* 不可能完全自由 ?电导率无穷大，无法取得热平衡
#对照上面所说的周期性结构中运动电子
3
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13
建立热平衡的方式——与离子实的碰撞
碰撞前后速度无关联；
* 对以前的速度没有记忆
#合理吗？
碰撞后获得速度的方向随机；
* 合理的假定
速率与碰撞处的温度相适应
* 很含糊？
* 但是没有关系，因为方向随机，平均没有贡献
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14
2、金属电导率
EF e?=
n是电子密度。根据牛顿定律，电子将被加速，飘移速度会随时间不断增加，趋于无穷
没有外电场时，电子各个运动方向等价，互相抵消，没有整体流动，无电流。当有电场存在时，电子受力
这个力使电子有了一个与电场相反方向的总体漂移，速度 v
漂移
，显示出电流，其电流密度漂移
vj ne?=
思考：电子的漂移速度与电子内在速度比较？
需要检查电子运动方程中被散射的机制！
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15
散射图象
弛豫时间近似：一给定的电子在单位时间经历一次碰撞的几率为 1/τ
弛豫机制：电子漂移速度从零开始增加（一旦与离子相碰撞，漂移速度即为零），在下一个弛豫时间里，在电场作用下，电子的漂移速度再从零开始增加。
* 思考：碰撞后平均漂移速度为零，合理吗？
电子碰撞后在电场力作用下加速，到下一次碰撞前（时间τ）可以获得的速度即漂移速度
m
ne τ
σ
2
=()τ/tme
漂移
vE =?
Ej σ=
漂移
vj ne?=
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16
估计(由实验电导率)
在无法知道碰撞的细节时,τ 是最重要的
* 电导可测，如果取 n~10
22
-10
23
cm
-3
，在室温下，弛豫时间大约在 10
-14
~10
-15
秒，低温时大一个量级
可估计平均自由程,l=vτ
v可由能均分定理得到，室温时,~10
7
cm/s
* 数量级的差别！思考：实际应该大还是小，比为什么？
于是,l~ 10A，基本与原子距离的量级相当
* 似乎很合理，与 Drude假定自洽
* 但实际电子平均自由程要大 10
3
倍
* 在极低温更大,l~cm，几乎是 10
8
倍的原子间隔 ?
#有深刻的物理原因
m
ne τ
σ
2
=
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17
评论
这里碰撞或者说被离子散射是电阻的根源，无碰撞，弛豫时间无穷大，电导率无穷大
观察这个公式，除了弛豫时间外，其他都是已知的。有一待定系数τ，因此总可以与实验符合，从而直接与实验比较就没有意义，除非这个系数独立，即对所有材料都相同！
已经知道，电导率与温度有关。但这个关系可以说已经包含，也可以说没有包含，因为有待定参数,τ与温度有关
Drude模型成功在 Wiedemann—Franz定律
?先看热传导系数
m
ne τ
σ
2
=
18
3、电子气的热传导
Tj
q
= κ
直觉：导体好于绝缘体 ?电子导热
()[]()[]{}τετε vxTvxTnvj
q
+=
2
1
热流密度与热导系数的关系
=
dx
dT
dT
d
nv
ε
τ
2
一维情况（热流是能量的输运）
高温低温电子在高温处以及在低温处经最后一次碰撞，到达 x
处，携带能量不同，导致热流。 x处的密度 n，高温、低温处各贡献一半，
1/2n
τvl =同一速度，与 T无关？
4
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19
能量均分定理←经典的M-B分布
利用能量均分定理和定容比热的定义
2222
3
1
vvvv
zyx
>=>=<>=<<
vlcvc
VV
3
1
3
1
2
== τκ
V
c
dT
dE
VdT
d
V
N
dT
d
n =?
=?
=
1εε
比较前式，可得
根据电子平均能量，即可得
B
2
3
nkc
V
=
Tk
B
2
3
=ε
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20
评论
金属电子对比热的贡献完全失败！
比热与温度无关！被严重高估
* 实际上，室温时，金属与绝缘体几乎一样，所以比热并非电子贡献，而是原子振动的贡献
* 即使低温时，电子对比热贡献显著可以和原子振动比拟时，每个电子贡献 3k
B
/2，也还是高估两个量级
也就是说，电子实际上没有那么大的热容量！
* 或说，好象只有很小一部分电子对比热有贡献！
* 思考：为何如此？
思考：电子热传导会不会导致电子定向流动，
形成电流？
BV
nkc
2
3
=
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21
4、Wiedemann-Franz定律(1853)
Drude取
LTT
e
k
B
=?
=
2
2
3
σ
κ
Tkmv
nkc
B
BV
2
3
2
1
2
3
2
=
=
假定热导和电导的弛豫时间相同,L为 Lorentz
数，与实验值同数量级
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22
评论
L=1.11 10
-8
WΩ /K
2
，是实验值的约一半
Drude当时在推导电导率时出错，电导率小了一半，所以得到 L大了一倍，
* L=2.22 10
-8
WΩ /K
2
，与实验值相符
Drude模型最成功之处是解释 Wiedemann-
Franz定律，与很多更精致、更复杂的理论得出的值相差不多
稍微精确点的理论可以得到，只差一个常系数
LTT
e
k
B
=?
=
2
2
3
σ
κ
28
2
2
K/W1045.2
3
Ω×=?
==
e
k
T
L
B
π
σ
κ
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23
研究方法特点？
抓住要点，简化问题
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24
5、Drude模型的局限性
电子对比热的贡献与温度无关，过大（ 10
2
）
电子速度,v
2
，太小（ 10
2
）
什么决定传导电子的数目？价电子？
磁化率与温度成反比？实际无关
导体？绝缘体？半导体？
？
5
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25
研究方法特点？
实验鉴定，逐步修正
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26
如何修正？
放弃经典理论，改经典统计为量子统计（ 1）
放弃自由电子近似：考虑电子与离子实的相互作用。这时离子实固定 ?晶体的结构（ 2）
考虑电子与周期性排列的离子实的相互作用 ?
能带理论（ 3+4）
放弃离子实固定 ?晶格振动（ 5）
放弃弛豫时间近似 ?输运理论（ 6）
放弃独立电子近似（电子的关联问题，非常复杂 ——专题）
具体来看如何修正 ?
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27
6、固体的微观描写
}){},({}){},({H
JiJi
RrERr Ψ=Ψ
核电子核电子?
++= H
H
H
H
∑∑
+=
',
'
2
)(
2
1
2
p?
H
ii
ii
i
i
rrV
m
电子电子
∑∑
+=
',
'
2
)(
2
1
2
P
H
JJ
JJ
J J
J
RRV
M
核核
∑
=
Ji
Ji
RrV
,
)(
2
1
H
核电子核电子核坐标电子坐标
}{
}{
J
i
R
r
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28
近似步骤——绝热近似
基本事实：原子核比电子重得多
绝热近似：考虑电子运动时可不考虑原子核得运动。原子核固定在它的瞬间位置。
( ) }){},({)H
H
(}){},({H
H
H
0
JiJi
RrRr Ψ+?Ψ++
核电子电子核电子核电子
∑∑
+=
',
'
2
)(
2
1
2
P
H
JJ
JJ
J J
J
RRV
M
核核
J
R
0
J
R
}){},({}){},({)H
H
H
(
- JiJi
RrERr Ψ=Ψ++
核电子核电子
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29
进一步的近似和简化处理
同经典自由电子气，但用量子统计
?第一章的其余内容 —— Sommefeld模型
∑∑
+=
',
'
2
)(
2
1
2
p?
H
ii
ii
i
i
rrV
m
电子电子
∑
=
Ji
Ji
RrV
,
0
)(
2
1
H
核电子核电子独立电子近似自由电子近似
∑
++
i
i
m2
p?
H
H
H
2
核电子核电子
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30
但需要对原子核位置的理想化，才能处理
10
29
/m
3
数量级的原子
* 静止（绝热近似）
* 周期性排列近似，即
0
J
R
0
"
0
'
0
JJJ
RRR +=
∑
=
Ji
Ji
RrV
,
0
)(
2
1
H
核电子核电子
如果要去掉自由电子近似，则仍需加上
* 这个关系就是结构的平移周期性的数学表示 ?
?第二章、晶体的结构
6
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31
考虑电子 -电子、电子 -周期性静止排列的原子核的相互作用
)()(
0
rVRrV
核电子核电子
=?
0
"
0
'
0
JJJ
RRR +=?在周期性结构中，因
+=
∑∑∑?
Ji
Ji
ii
ii
i
i
RrVrrV
m
H
,
0
',
'
2
)(
2
1
)(
2
1
2
p?
核电子电子
就有
且
)()(
0
rVRrV
核电子核电子
=?
?第三、四章、能带理论
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32
但假定原子仅在平衡位置附近运动，而这种平衡位置仍呈周期性排列，可用经典处理
?第五章、晶格振动（量子化 ——声子）
∑∑
+=
',
'
2
)(
2
1
2
P
H
JJ
JJ
J J
J
RRV
M
核核
"' JJJ
RRR =?
J
R
0
J
R
但这时不考虑电子的运动,H就一项
前面都是绝热近似，即在考虑电子运动时，不考虑原子核运动，现去掉绝热近似，
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考虑电子与晶格振动（声子）的相互作用
?第六章、输运现象
* 又回到金属电导，但已是另一层次
0
J
R
∑
=
Ji
Ji
RrV
,
)(
2
1
H
核电子核电子
J
R 声子
如果考虑原子核运动的同时也考虑电子运动，
需加上
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模型逐级修正的需要、根据及结果
金属自由电子气模型
* 量子统计自由电子气体 ——局限出自没有考虑结构
晶体的结构
* 原子固定在平衡位置,10
29
数量级的困难，抽象 —
—周期排列
能带理论
* 电子在周期性排列的结构中运动
晶格振动
* 周期性排列的原子的运动 ——声子，固体比热
电子输运理论
* 同时考虑电子、原子运动 ——电子与声子相互作用
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35
本讲要点
Drude用类似于理想气体的方法处理金属中电子的运动 ?自由电子气体，包含一些近似和假定
* 自由电子近似、独立电子近似、弛豫时间近似，经典统计
Drude模型得到的一些与实验符合较好的结果
* 电导率、热导率,Wiedemann-Franz定律
Drude模型碰到的困难、原因及在此框架下的解决之道
* 电导率，热导系数
#原因，没有那么多电子对电导有贡献
#解决方法：不用经典统计，用量子（费米）统计
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36
概念要点
自由电子近似
* 电子 —离子间除碰撞瞬间，无相互作用
独立电子近似
* 电子间无相互作用
弛豫时间近似
* 一给定电子前后两次与离子碰撞的平均时间
漂移速度
* 漂移速度即在弛豫时间内电场对电子加速的结果
#其前提为：碰撞后，电子漂移速度为零！
#电流即源于这个电子的漂移
7
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本讲存疑（以后讲解中还会涉及）
金属键 ?
配位数 ?
独立电子近似（电子与电子无相互作用）多数情况下可以作为整体来处理 ?
* 与其他相比，最不重要 ?单电子近似（作为整体效应） ——对大部分材料都是较好的近似
自由电子近似（电子与离子无相互作用）还算比较好的近似 ?
* 物理原因就是电子在周期结构中运动没有被散射的机制，因此，极低温时电子的平均自由程非常大
结构的平移周期性的数学表示 ?
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思考题
电子气与理想气体的异同？
Drude模型电子碰撞后平均漂移速度为零的假定是否合理？
电子的漂移速度与电子内在速度比较？
从能量均分定理得到的电子速度比实际的大还是小，为什么？
为什么只有很小一部分电子对比热有贡献？
电子气存在温度梯度时，会不会导致电子定向流动？形成电流？
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习题
1,尝试用 Drude模型推导焦耳定律
2,尝试用 Drude模型推导 Hall系数
2
RIW =
nec
R
1
H
=
