1
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1
上讲复习：晶面和Miller指数举例
假定某族晶面中的一个晶面在基矢轴上的截距是
1,1,4 === wvu
简约为互质的整数，则
4:4:1
1
1
:
1
1
:
4
11
:
1
:
1
==
wvu
该族晶面的密勒指数为
)144()( =lhk
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2
过原点晶面在晶轴上的截距
看某一族晶面在基矢轴上的截距
当 b轴上正好六倍基矢长度时，在 a和 c上是三倍和两倍基矢长度。这样,u,v,w
为 3,6,2，因此倒数为 1/3,
1/6,1/2。互质后为 (213)
如由最靠近原点的晶面看截距，则为 1/2,1,1/3 。它们的倒数已经互质，就是
Miller指数 (213)
a
bc
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3
如果与某基轴无交点？
如果某族晶面与某一基矢轴没有相交
截距是无限大
∞=== wvu,2,2
0:1:1
1
:
2
1
:
2
11
:
1
:
1
=
∞
=
wvu
)110()( =hkl
现在
密勒指数为
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4
立方结构常用的Miller指数
简立方
体心立方
面心立方
(100),(010),
(001) ?{100}
(110),(011),
(101) ?{110}
(111)
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5
六角结构的Miller指数表示
基矢 a
1
,a
2
,c
常用 khilihk += ),(
对应的基矢 a
1
,a
2
,a
3
,c，其中 a
3
=a
1
+ a
2
a
a
c
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6
六角密堆积结构
设问：如图垂直于 c轴有几个晶面？
中间层，也具有与底层和上层同样的二维周期性，是否也是一晶面
注意：是格点而不是原子在晶面上！
c
a
2
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7
第10讲、晶体对称性和晶体结构分类
1,复杂结构
2,化合物晶体结构举例
3,其他重要结构
4,晶体对称性
5,晶体分类和 Bravais格子复杂结构和晶体对称性，七大晶系，十四种
Bravais格子
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8
1、复杂结构
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9
复杂结构的任何原子位置 = 格矢 +原胞内位矢
m
l
,...3,2,1,=+ κ
κ
τR
为整数
321332211
,,,llllll
l
aaaR ++=
a
1
a
3
a
2
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10
2、化合物晶体结构举例
sc CsCl
fcc NaCl
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11
CsCl结构
这是什么晶格?
小球和大球分别形成简立方
(0,0,0)
a/2(1,1,1)
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12
氯化铯结构
注意不同原子，配位数？
球不相切时是不是稳定
求相切时的半径比
相切时,a=2R
Ra 323 ==对角线
( ) RRr 322 =+
如果 r>0.73R，稳定
如果 r<0.73R，不稳定
1>r/R>0.73：氯化铯结构
()RRRr 73.0232
2
1
≈?=
3
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13
NaCl结构
sc?
小球和大球分别形成面心立方结构
(0,0,0)
a/2(1,0,0)
V=a
3
/4
4
4
a
3
1
1
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14
氯化钠结构
配位数？
大球有可能不切！ 6
半径之比？
都相切时的半径比
( ) ( )
222
422 RRrR ==+
41.012 ≈?=
R
r
0.73>r/R>0.41：氯化钠结构
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15
一些属NaCl和CsCl结构的化合物
NaCl
LiF
KCl
AgF
MgO
MgS
CaO
CsCl
CsCl
CsBr
CsI
TlCl
TlBr
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16
3、其他重要的结构
闪锌矿结构
纤锌矿结构
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17
闪锌矿结构（立方ZnS）
晶格?
从结构上看
* 两个面心立方 !
(0,0,0)
a/4(1,1,1)
V=a
3
/4
4
4
a
3
1
1
配位数=？
属于面心立方格子
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18
立方ZnS结构
原子连接是四面体
* 一种原子处于四面体中心，另一种原子处于四面体顶角上
* 中心原子指向四面体四个顶角的方向之间的夹角是 109.8
0
为什么会形成这样的结构？
* 从轨道物理学观点看就是轨道杂化后，形成四个完全等价的轨道，占据着同样的电子数，
它们之间的排斥作用使成
* 注意四面体的排列方式
109.8
o
4
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19
属金刚石和闪锌矿结构化合物
Diamond
Diamond
Si
Ge
α-Sn
ZnS
III-V,GaAs
GaP
InAs
II-VI,ZnS
HgSe
CdTe
CuF
AgI
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20
纤锌矿结构（六角ZnS）
结构上看，四层都是简单六角
原胞？
原子连接也是四面体
* 但连接方式与闪锌矿不同
kτ
kjτ
kjτ
τ
)
2
(
3
2
3
0
4
3
2
1
c
uc
uc
a
ca
+=
+=
+=
=
3/8/,/
22
== accau理想：
配位数=？
属于简单六角格子
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21
属六角ZnS化合物
Crystals a (A) c (A)
ZnO 3.25 5.12
ZnS 3.81 6.23
ZnSe 3.98 6.53
ZnTe 4.27 6.99
Crystals a (A) c (A)
SiC 3.25 5.21
h diamond 2.52 4.12
CdS 4.13 6.75
CdSe 4.30 7.02
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22
4、晶体对称性
有了原胞，为何还要晶胞？
什么是晶体宏观对称性？
前面所讲原胞只涉及平移对称性
在一定的几何操作下，晶体保持不变的特性 ?晶体宏观对称性
* 绕固定轴转动 (2π /n,n重轴 )、镜面反映、中心反演 (可以组合 ) 等等非平移操作
* 当然也应包括平移操作 ?受平移操作制约
宏观对称反映在宏观物理性质上
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23
对称操作
数学上，有一变换矩阵 D使晶体中的某点满足：
()( ) ()
321
,
3
,
2
,
1321
,,,,',,xxxxxxxxx Drrr =?
其中变换矩阵 D为正交 (I为单位矩阵，除了对角线上元为 1，其余为零 )，行列式值等于正负
1 ( ) 1,,±=== DIDDD
T
ij
d
如果正交变换使晶体不变，则为晶体的对称操作。如反演对称操作的 D为
对称操作多表示晶体对称性高
=
10 0
0 10
0 0 1
D
满足一定运算规则的一组元素构成一个群
晶体所有的对称操作 (元素 )满足群的定义
晶体就是根据群的观点来分类的
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24
平移对称性对转动操作有限制
定理：晶体中允许的转动轴只能是 1,2,3，
4,6重轴。
θ?
证明,BA绕 A转,B到 B’； AB绕 B转,A到 A’
( )?2cos-1ABB'A' =
BA
θ
B’ A’
mm =→=?2cos-1ABB'A'
1
2
,
2
2
,
3
2
,
4
2
,
6
2
0,3,2,1,0,1
πππππ
=→?=m
AB//A’B’
A’B’也是格点，在同簇晶列上，同一周期，必是 AB倍数，即
5
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25
n度螺旋轴（转动加平移）
绕螺旋轴转 2π /n,A ?1
1
A
A
1
2
A
2
3
A
3
4
A
4
再沿该轴方向平移 T/n的整数倍,T为 u方向的周期矢量
n次后，重合
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26
滑移反映面（反演加平移）
镜象反映后，再沿平行于该面的方向平移 T/n的距离。 T是该方向上的周期矢量,n=2或 4，原子重合。
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27
5、晶体分类和Bravais格子
按对称性分类
晶系：七大晶系
Bravais格子,14种
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28
晶系分类,七大晶系
按对称轴之间的相互关系
a
b
c
γ
α
β
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29
七大晶系
cba ≠≠
≠≠≠ 90γβα
cba ==
=== 90γβα
cba ≠=
=== 90γβα
cba ==
≠== 90γβα
cba ≠=
=== 120,90 γβα
cba ≠≠
≠== βγα 90
cba ≠≠
=== 90γβα
单斜 正交正方 六角 三角立方三斜
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30
I,三斜
cba ≠≠
≠≠≠ 90γβα
6
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31
II,单斜
cba ≠≠
≠== βγα 90
a
c
b
β
简单单斜
a
c
b
β
底心单斜
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32
III,正交
cba ≠≠
=== 90γβα
a
c
b
简单正交
a
c
b
底心正交
a
c
b
体心正交
a
c
b
面心正交
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33
IV,正方
cba ≠=
=== 90γβα
a
c
a
简单正方体心正方
a
c
a
底心正方？
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34
V,六角
a
a
c
cba ≠=
=== 120,90 γβα
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35
VI,三角
cba ==
≠== 90γβα
α
α
α
a
a
a
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36
VII,立方
cba ==
=== 90γβα
a
a
简单立方
a
a
a
体心立方
a
a
a
面心立方
a
7
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37
十四种Bravais格子
三斜,1
单斜,2
正交,4
正方,2
六角,1
三角,1
立方,3
思考：有几种二维晶系、几种二维 Bravais格子？
Frankheim (1842),15
Bravais (1845),14
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38
本讲要点
晶体对称操作：平移、转动等
* 转动轴
#平移对称操作对转动操作的限制 ?只有1、2、
5、4、6度转动轴
* n度螺旋轴
#滑移反映面
晶系分类
* 七大晶系
* 十四种 Bravais格子
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39
概念要点
对称操作：使晶体保持不变的变换
* 点对称操作：平移对称对转动操作有限制
#没有5度和6度以上的转动轴
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1
上讲复习：晶面和Miller指数举例
假定某族晶面中的一个晶面在基矢轴上的截距是
1,1,4 === wvu
简约为互质的整数，则
4:4:1
1
1
:
1
1
:
4
11
:
1
:
1
==
wvu
该族晶面的密勒指数为
)144()( =lhk
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2
过原点晶面在晶轴上的截距
看某一族晶面在基矢轴上的截距
当 b轴上正好六倍基矢长度时，在 a和 c上是三倍和两倍基矢长度。这样,u,v,w
为 3,6,2，因此倒数为 1/3,
1/6,1/2。互质后为 (213)
如由最靠近原点的晶面看截距，则为 1/2,1,1/3 。它们的倒数已经互质，就是
Miller指数 (213)
a
bc
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3
如果与某基轴无交点？
如果某族晶面与某一基矢轴没有相交
截距是无限大
∞=== wvu,2,2
0:1:1
1
:
2
1
:
2
11
:
1
:
1
=
∞
=
wvu
)110()( =hkl
现在
密勒指数为
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4
立方结构常用的Miller指数
简立方
体心立方
面心立方
(100),(010),
(001) ?{100}
(110),(011),
(101) ?{110}
(111)
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5
六角结构的Miller指数表示
基矢 a
1
,a
2
,c
常用 khilihk += ),(
对应的基矢 a
1
,a
2
,a
3
,c，其中 a
3
=a
1
+ a
2
a
a
c
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6
六角密堆积结构
设问：如图垂直于 c轴有几个晶面？
中间层，也具有与底层和上层同样的二维周期性，是否也是一晶面
注意：是格点而不是原子在晶面上！
c
a
2
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7
第10讲、晶体对称性和晶体结构分类
1,复杂结构
2,化合物晶体结构举例
3,其他重要结构
4,晶体对称性
5,晶体分类和 Bravais格子复杂结构和晶体对称性，七大晶系，十四种
Bravais格子
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8
1、复杂结构
http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学
9
复杂结构的任何原子位置 = 格矢 +原胞内位矢
m
l
,...3,2,1,=+ κ
κ
τR
为整数
321332211
,,,llllll
l
aaaR ++=
a
1
a
3
a
2
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10
2、化合物晶体结构举例
sc CsCl
fcc NaCl
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11
CsCl结构
这是什么晶格?
小球和大球分别形成简立方
(0,0,0)
a/2(1,1,1)
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12
氯化铯结构
注意不同原子，配位数？
球不相切时是不是稳定
求相切时的半径比
相切时,a=2R
Ra 323 ==对角线
( ) RRr 322 =+
如果 r>0.73R，稳定
如果 r<0.73R，不稳定
1>r/R>0.73：氯化铯结构
()RRRr 73.0232
2
1
≈?=
3
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13
NaCl结构
sc?
小球和大球分别形成面心立方结构
(0,0,0)
a/2(1,0,0)
V=a
3
/4
4
4
a
3
1
1
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14
氯化钠结构
配位数？
大球有可能不切！ 6
半径之比？
都相切时的半径比
( ) ( )
222
422 RRrR ==+
41.012 ≈?=
R
r
0.73>r/R>0.41：氯化钠结构
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15
一些属NaCl和CsCl结构的化合物
NaCl
LiF
KCl
AgF
MgO
MgS
CaO
CsCl
CsCl
CsBr
CsI
TlCl
TlBr
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16
3、其他重要的结构
闪锌矿结构
纤锌矿结构
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17
闪锌矿结构（立方ZnS）
晶格?
从结构上看
* 两个面心立方 !
(0,0,0)
a/4(1,1,1)
V=a
3
/4
4
4
a
3
1
1
配位数=？
属于面心立方格子
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18
立方ZnS结构
原子连接是四面体
* 一种原子处于四面体中心，另一种原子处于四面体顶角上
* 中心原子指向四面体四个顶角的方向之间的夹角是 109.8
0
为什么会形成这样的结构？
* 从轨道物理学观点看就是轨道杂化后，形成四个完全等价的轨道，占据着同样的电子数，
它们之间的排斥作用使成
* 注意四面体的排列方式
109.8
o
4
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19
属金刚石和闪锌矿结构化合物
Diamond
Diamond
Si
Ge
α-Sn
ZnS
III-V,GaAs
GaP
InAs
II-VI,ZnS
HgSe
CdTe
CuF
AgI
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20
纤锌矿结构（六角ZnS）
结构上看，四层都是简单六角
原胞？
原子连接也是四面体
* 但连接方式与闪锌矿不同
kτ
kjτ
kjτ
τ
)
2
(
3
2
3
0
4
3
2
1
c
uc
uc
a
ca
+=
+=
+=
=
3/8/,/
22
== accau理想：
配位数=？
属于简单六角格子
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21
属六角ZnS化合物
Crystals a (A) c (A)
ZnO 3.25 5.12
ZnS 3.81 6.23
ZnSe 3.98 6.53
ZnTe 4.27 6.99
Crystals a (A) c (A)
SiC 3.25 5.21
h diamond 2.52 4.12
CdS 4.13 6.75
CdSe 4.30 7.02
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22
4、晶体对称性
有了原胞，为何还要晶胞？
什么是晶体宏观对称性？
前面所讲原胞只涉及平移对称性
在一定的几何操作下，晶体保持不变的特性 ?晶体宏观对称性
* 绕固定轴转动 (2π /n,n重轴 )、镜面反映、中心反演 (可以组合 ) 等等非平移操作
* 当然也应包括平移操作 ?受平移操作制约
宏观对称反映在宏观物理性质上
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23
对称操作
数学上，有一变换矩阵 D使晶体中的某点满足：
()( ) ()
321
,
3
,
2
,
1321
,,,,',,xxxxxxxxx Drrr =?
其中变换矩阵 D为正交 (I为单位矩阵，除了对角线上元为 1，其余为零 )，行列式值等于正负
1 ( ) 1,,±=== DIDDD
T
ij
d
如果正交变换使晶体不变，则为晶体的对称操作。如反演对称操作的 D为
对称操作多表示晶体对称性高
=
10 0
0 10
0 0 1
D
满足一定运算规则的一组元素构成一个群
晶体所有的对称操作 (元素 )满足群的定义
晶体就是根据群的观点来分类的
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24
平移对称性对转动操作有限制
定理：晶体中允许的转动轴只能是 1,2,3，
4,6重轴。
θ?
证明,BA绕 A转,B到 B’； AB绕 B转,A到 A’
( )?2cos-1ABB'A' =
BA
θ
B’ A’
mm =→=?2cos-1ABB'A'
1
2
,
2
2
,
3
2
,
4
2
,
6
2
0,3,2,1,0,1
πππππ
=→?=m
AB//A’B’
A’B’也是格点，在同簇晶列上，同一周期，必是 AB倍数，即
5
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25
n度螺旋轴（转动加平移）
绕螺旋轴转 2π /n,A ?1
1
A
A
1
2
A
2
3
A
3
4
A
4
再沿该轴方向平移 T/n的整数倍,T为 u方向的周期矢量
n次后，重合
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26
滑移反映面（反演加平移）
镜象反映后，再沿平行于该面的方向平移 T/n的距离。 T是该方向上的周期矢量,n=2或 4，原子重合。
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5、晶体分类和Bravais格子
按对称性分类
晶系：七大晶系
Bravais格子,14种
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晶系分类,七大晶系
按对称轴之间的相互关系
a
b
c
γ
α
β
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七大晶系
cba ≠≠
≠≠≠ 90γβα
cba ==
=== 90γβα
cba ≠=
=== 90γβα
cba ==
≠== 90γβα
cba ≠=
=== 120,90 γβα
cba ≠≠
≠== βγα 90
cba ≠≠
=== 90γβα
单斜 正交正方 六角 三角立方三斜
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I,三斜
cba ≠≠
≠≠≠ 90γβα
6
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II,单斜
cba ≠≠
≠== βγα 90
a
c
b
β
简单单斜
a
c
b
β
底心单斜
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III,正交
cba ≠≠
=== 90γβα
a
c
b
简单正交
a
c
b
底心正交
a
c
b
体心正交
a
c
b
面心正交
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IV,正方
cba ≠=
=== 90γβα
a
c
a
简单正方体心正方
a
c
a
底心正方？
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V,六角
a
a
c
cba ≠=
=== 120,90 γβα
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VI,三角
cba ==
≠== 90γβα
α
α
α
a
a
a
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VII,立方
cba ==
=== 90γβα
a
a
简单立方
a
a
a
体心立方
a
a
a
面心立方
a
7
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十四种Bravais格子
三斜,1
单斜,2
正交,4
正方,2
六角,1
三角,1
立方,3
思考：有几种二维晶系、几种二维 Bravais格子？
Frankheim (1842),15
Bravais (1845),14
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本讲要点
晶体对称操作：平移、转动等
* 转动轴
#平移对称操作对转动操作的限制 ?只有1、2、
5、4、6度转动轴
* n度螺旋轴
#滑移反映面
晶系分类
* 七大晶系
* 十四种 Bravais格子
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概念要点
对称操作：使晶体保持不变的变换
* 点对称操作：平移对称对转动操作有限制
#没有5度和6度以上的转动轴
