1
http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学
1
第6讲、整数和分数量子霍尔效应
1.多体（电子）问题？
2.整数量子霍尔效应(IQHE)
3,Landau能级和局域态
4.整数量子霍尔效应的解释
5.分数量子霍尔效应(FQHE)
6.换个图象看量子霍尔效应
7.分数量子霍尔效应的解释
专题2：究竟什么是电子关联？
* 11.1.3和 12.5
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2
1、多体（电子）问题？
金属自由电子气体模型与理想气体模型比较
* 理想气体模型：客体是气体分子，相互作用是指气体分子与气体分子之间的碰撞
* 自由电子气体：客体是电子，但是电子与电子的相互作用却被忽略 ?所谓的独立电子近似
独立电子近似质疑
* 电子作为带电体，它们之间至少有库仑相互作用
* 忽略这样的作用，近似能够好到什么程度？
固体物理、凝聚态物理最重要的问题
* 太复杂、太困难
%8个有关的诺贝尔物理奖！
%液氦(1962,1978,1996)，超导(1913,1972,1987)，
量子霍尔效应(1985,1998) ?有没有看法或猜想？
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3
将分四个专题来专门介绍这个问题
单电子近似：所有电子（包括被考虑的客体）
作为一个整体对单个电子（被考虑的客体）的平均作用
* 我认为，改变数学工具才能在多体问题上取得突破
Mott绝缘体：单电子近似，或者说忽略电子关联会导致什么荒唐的结果?
超导：电子关联又会引起什么奇异的结果?
量子霍尔效应：直观地给出物理图象——电子必须作为整体（关联在）一起被考虑，才能解释量子霍尔效应
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4
2、整数量子霍尔效应
K,von Klitzing：观察到整数量子霍尔效应，
PRL45,494 (1980)
* 极低温 1.5K、强磁场 18T、载流子浓度约 10
13
/cm
2
？
* 二维电子气的霍尔电阻与栅电压的关系呈现一个个量子化的平台年起定为电阻单位标准为整数。1990,
1
22
e
h
j
e
h
jI
V
x
H
H
==ρ
作用这个量来包装这个工常数称为,Klitzingvon,
2
1
0
1
2
c
e
h
μα
=
这个实验在1978年已经完成，但当时没有注意这个平台是有量子化的。平台平整度10
-8
因为这个发现的重要意义，1985年获Nobel奖
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5
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6
观测量子霍尔效应示意图：MOSFET样品。固定B，改变栅电压以改变载流子数目，观察霍尔电压V
H
和纵向电压V
L
的变化
霍尔电压呈现平台的地方，纵向电压V
L
为零 ?纵向电阻为零！
几种样品都有同样的结果（不同的外型尺寸、不同能带结构，…），这是一个普适现象
2
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7
也可控制栅电压保持电流密度不变，只改变磁场，也可看到霍尔电阻的平台和纵向电阻为零
我们只关心物理！那么，这现象背后的物理实质是什么？怎么解释这个实验现象？
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8
3、Landau能级和局域态
实验观测条件指出，这是一种强磁场下的二维约束的电子气体
三维自由电子气在均匀磁场(z方向)下如何运动
k
z
和绕磁场方向的角动量是好量子数
电子绕磁场方向作螺旋运动
* 其解为
m
eB
j
m
k
kE
cc
z
zj
=?
++= ωω
2
1
2
22
,)( h
h
即在平行于磁场方向，能量仍是连续的，但在垂直于磁场平面，原来无磁场时的连续能量，
量子化，简并到分立的Landau能级
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9
Landau环
对二维电子气体，在垂直于该平面加上均匀磁场后，k空间被等分成一个个面积为常数的
Landau环，每个环上的能量各自相等；三维时，则被等分成一个个横截面为常数Landau管
()
hh
h
h
eBm
Em
kkA
c
yx
πωπ
π
π
22
2
2
2
22
==
Δ
=+Δ=Δ
h
eB
L
h
eBLeB
Ap
面积单位
==?
=
Δ
Δ=
2
2
2
21
π
π
hk
原均匀分布的k点，重新分布，简并到Landau环
问：简并度,p=？
k
x
k
y
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10
能级简并度可从无磁场时态密度得到
也可从没有磁场时的二维电子气的电子能态密度(是常数，单位面积态密度为)得到简并度
22
2
)(
hπ
m
Eg
D
=
引入磁场后，连续分布的能态收缩为等能级间隔的分立能级，但总的能态数目并没有减少，
都简并到分立能级上
因此，单位面积Landau能级简并度为(注意：
强磁场下自旋简并已消除)
B
h
em
EEgp
cD
==Δ= ω
π
h
h
22
2
)(
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11
磁场下的二维电子气态密度
磁场垂直于二维面
如果是二维电子气，那么加磁场垂直于二维电子所在面，能量态密度也是量子化的
能量态密度是δ函数形式，δ函数乘以简并度
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12
比较磁场下的三维电子气态密度
三维时，由于z方向仍可自由运动，故总的能量状态密度仍是连续的
2/1
2
1
~)(
∑?
+?
j
c
jEED ωh
可以看出，态密度具有这种形式
3
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13
能量态密度
原来连续的E(k)由于磁场简并到Landau能级，成一条条一维的抛物线，Landau能级只是使之移动一个常数
这样的一维态密度就很容易得到，但需要乘上二维简并密度的因子，对一条抛物线，态密度为
k
z
E
n
(k
z
)
c
z
zn
n
m
k
BkE ωh
h
++=
2
1
2
),(
22
黄线表示没有磁场的
E(k)关系，当然是三维的 k
()
()
dEnEV
m
dk
L
pAdEEDEdN
c
c
znn
2/12/3
22
2
12
2
2
2
)(
+
=
==
ω
π
ω
π
h
h
h
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14
霍尔电阻j参数的物理意义：填充因子
电子密度为n对Landau能级密度p的填充，填充因子为
eB
nh
p
n
j ==
将n代入霍尔电阻公式(I
x
纵向电流V
H
霍尔电压)
2
1
/
/
e
h
jne
B
BRB
BJ
E
wI
wV
I
V
H
x
H
x
H
x
H
H
=?=====ρ
霍尔电阻中的j参数的物理意义就是填充因子，即电子填充到哪个Landau能级思考：能不能用金属观察量子霍尔效应？
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15
4、整数量子霍尔效应的解释
扩展态：原Landau能级态，可在整个平面内自由移动的电子态
局域态：由缺陷导致的态局域在缺陷附近，好比是芯电子局域在原子核周围
量子霍尔效应就是由这些局域态产生
如果材料有缺陷，会使Landau能级的简并度降低，Landau能级展宽成有限宽度的局域态
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16
整数量子霍尔效应解释
当电子态密度增加或磁场降低时，局域态被逐步填充，但扩展态占据数没有改变，因此，电流不变，霍尔电阻不变，形成一个台阶，只有电子密度在电压下增加到占据更高的Landau能级时，传导电子才增加，霍尔电阻突然变化
栅电压变化(E
F
变化)。E
F
在能隙(局域态)中时，对应霍尔电阻平台，E
F
在Landau能级(扩展态)时，对应霍尔电阻突然增加，
如保持栅电压不变(相当于E
F
不变)，只改变磁场，Landau能级及局域态整体压缩或伸展，也可以引起霍尔电阻发生类似的变化
设问：是否还遗留什么没有解释清楚的问题？
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17
尚有两个仍然没有解释的问题
1.对应霍尔电阻平台为什么纵向电阻会变成零？
2,Landau能级展宽后，
霍尔电阻平台数值是否还正好等于实验值？
不能用前面的图象解释，那是单粒子图象
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5、分数量子霍尔效应
R,B,Laughlin (T)
D,C,Tsui (E,崔琦)
H,L,Stoermer (E)
1982年，0.5K，20T强磁场，发现分数量子霍尔效应，
PRL48,1559 (1982)
为分数j
e
h
j
H
,
1
2
=ρ
同年由Laughlin对此进行理论解释，论文发表在PRL50,1395 (1983)
1998年上述三人共同分享诺贝尔物理奖
* 实验论文发表是三个人署名，还有 A,C,Gossard，
提供样品
4
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20
对于整数量子霍尔效应的单粒子图象不再适用：实验条件指明是强关联！
新稳定态好象在电子填充Landau能级到一个分数时产生！而且分母都是奇数！
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6、换个图象看量子霍尔效应
二维路径绕一圈必有一点交点，三维则不然
* 考虑到电子有波动性时这有很大不同
电子波在封闭路径上必须形成驻波才有稳定态，三维没有此条件
电子不受散射时必形成驻波三维路径二维路径交点
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磁通量子
由量子力学分析可以知道：一个被束缚在二维空间运动的电子包围整数倍磁通量子时才是稳定的，即绕磁通量子一圈位相变化必须正好是2π的整数倍形成的驻波才是稳定的，因为二维时路径一定是闭合的，不闭合就是发散的，而三维则不是
否则，分数的磁通不能使相位等于2
π的整数倍，因而是不稳定的
用磁通量子作磁场单位
e
h
=Φ
0
0
Φn
0
Φ
m
n
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为何引入磁通量子？
Landau能级的简并度等于磁场以磁通量子为单位的数目！
* 就是单位面积内有多少个磁通量子
这样，填充因子j就等于二维电子气的电子数目与磁通量子数目的比
* 即 j=电子密度 /磁通密度
* j就是每个磁通量子分配到的电子数目
* 电子气中电子数固定，磁场越大,j就越小；磁场固定，电子数越大,j就越大
0
Φ
==
B
B
h
e
p
heB
n
p
n
j
/
==
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24
磁通量子上的几个电子，能级是不连续的
磁通量子上串几个电子，就是被填充到哪个
Landau能级
磁场强度小的时候，电子数目大于磁场的磁通数目，电子平均分在每个磁通量子上，所以每个磁通量子总有几个电子与之配对，填充因子是整数
1=j
2=j 3=j
如果用箭头表示磁通量子，圆饼表示电子
5
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25
电子-磁通量子串形成量子超流体
j为整数的二维电子和磁通量子串，相互排斥
(关联)形成一种不可压缩的量子流体
量子超流体没有散射：量子超流体就好象是一挤满粒子的非常狭窄的通道，所有粒子只能一起行动，要么都往前，要么都往后走。因此就根本没有碰撞和散射——没有阻尼机制
没有同样配对的电子和磁通形成准粒子或缺陷，受其他超流体排斥，是局域的
这种准粒子或缺陷只有积累到一定程度，才会破坏超流体状态
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26
量子超流体对IQHE的解释
前面遗留的两个问题现在可以解释
基态和激发态之间存在能隙，Landau能级间隔
在极低温下，超流体粒子不能获足够的能量跃迁到激发态，但低能态又全被占满，无处可去，挤在一起，形成所谓的超流，不会受散射，所以沿电场方向电阻R
xx
=0，对应ρ
H
平台
磁场增加，开始破坏超流态，达到一定程度后，不再有超流态性质，霍尔电阻平台被破坏
j为整数时，这幅图象比较简单
* 纵向电阻为零得到了解释
* 平台的数值与 von Klitzing常数的关系也得到了解释
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27
7、分数量子霍尔效应的解释
当j为分数，怎么解释呢？
强磁场，低载流子浓度才能观察到！从磁通的观点这是由于电子密度小于磁通密度，如此，
填充因子是分数。Landau能级被占了比如
1/3，还有2/3空着
思考：分数霍尔电阻平台是否意味着同一
Landau能级里还有空隙？
先看j为分数时的磁通量子和电子串图
这时，可以看成几个磁通穿一个电子，这里j=1/3
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28
不可压缩量子超流体
这样的圆饼箭头串形成不可压缩量子流体，称为量子超流体
这种量子超流体的状态与填充因子j有关
压缩一个系统，等于改变电子密度，改变j。当面积和磁场都固定时，这样的改变都要改变能量，有空隙的存在
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29
量子超流体状态在外场下如何变化？
需要解释量子超流体如何变化。显然，填充因子j是一个表示超流体状态的量。因为，这时所有超流子都是j。如j改变，才使超流体发生变化，观察的霍尔电阻才会发生改变
但当磁场增加或减少，磁通量变而电子数不变时，不会立即改变整个量子超流体的状态。这时，会出现有些圆饼（电子）少一个箭头（磁通），或有些箭头（磁通）没有圆饼（电子）
这样的缺陷。这样的缺陷积累多了，达到一定程度，整个系统就不再是量子超流体，纵向电阻不为零，霍尔电阻发生改变
栅电压变化时，改变电子数，结果也一样
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30
为什么量子超流体中有缺陷？
并不总是正好所有的电子分配到同样的磁通
* 当正好都是三个磁通量子配一个电子，而有一个电子只分配到两个磁通量子，这就是一个 j=1/3态缺陷
* 当正好都是三个磁通量子配一个电子，可能只有一个磁通量子没有任何电子，这也是一个 j=1/3态缺陷
准粒子
* 由于缺陷的能量稍高，附近的超流体会排斥它使它孤立出来，其余部分仍保留超流体性质
* 孤立出来的缺陷也可以流动，有自己的动量，能量，称为准粒子，占据准粒子能级
* 准粒子带电量这样考虑：对少一个磁通量子而言，
相当于多了 -1/3e的电量，而对多一个磁通量子而言，则少了 1/3e的电量，这就是准粒子带有的电量
6
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31
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32
电荷的准粒子
3
e
电荷的准粒子
3
e
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33
电荷的准空穴
3
e
电荷的准空穴
3
e
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34
准粒子或缺陷如何运动？
准粒子不是超流体，准粒子之间会有相互作用，会受到散射
* 准粒子受散射，就会产生电阻
* 改变外场，一些正常粒子被激发成准粒子，有能隙
问：为何准粒子少时，觉察不出来电阻变化？
准粒子能级也有扩展态和局域态！
* 局域态不参与导电，而扩展态可以到处流动
* 准粒子数量少时，先占据局域态，但多了后，就填到扩展态，参与导电
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35
准粒子如何积累改变超流体状态？
准粒子被其他完整的圆饼箭头串(粒子)排斥
* 排斥势能起伏，准粒子局域在势能的洼地
* 这时，系统仍然是超流体，因此 R
xx
=0，对应 ρ
H
平台
随外场变化，准粒子开始增加，正常粒子减少，直至洼地全被填平，洼地开始连通
* 超流态被破坏
* R
xx
开始变,ρ
H
平台消失图中的带箭头球都是准粒子，量子超流体内其他正常粒子形成起伏的势
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36
3
1
=j
5
2
=j
如果这样的准粒子多到正好每两个电子就有一个准粒子，即一个准粒子配一个正常粒子，两个电子就有五个磁通量子，这就形成新的 j=2/5态当磁场持续减少，小于 j=1/3很多时，就产生很多准粒子，准粒子是两个磁通量子穿一个电子
7
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37
如果外场继续减少，这样的准粒子越聚越多，
直到所有的电子和磁通再次达成新的配对，就会就发育成新的不可压缩量子超流体状态——
j=2/5态，又开始建立新的霍尔电阻平台，纵向电阻又为零
* j=2/5的态称为 j= 1/3的子态； j= 1/3的态称为 j=2/5的母态
如果外场继续小下去，j=2/5还会生出新的准粒子，电阻增加，电流变化。积累到一定程度，
再形成子态的子态的超流体，再建立霍尔电阻平台。但平台会越来越模糊，一代不如一代。
直到磁通量子数和电子数之比为整数，建立整数平台，然后循环——这样就解释了FQHE
问：对这样的解释还有什么疑问？
这幅图象有其他证据吗？？？？
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38
是一种量子超流体的凝聚现象
看实验，从中能发现什么？
整数1平台以前的分数平台出现在：1/3，2/5，
3/7，4/9，5/9，
4/7，3/5，2/3，
5/7，4/5，…，
为什么没有1/2?
这预示什么？能不能有所启发，从这里找证据？
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39
统计特性的转换证明图象的合理性！
看电子-磁通量子作为一整体的统计性质转换
* 磁通和电子串在一起是费米子或玻色子？
看j=1的两个电子-磁通量子，将它们交换位置
* 相当于一个电子 -磁通量子绕另一个固定的走半圈
%一个电子绕一个磁通量子走半圈有π相位差，-1
的相因子。加上电子交换本身一个-1，这两个电子-磁通量子交换不变号，是玻色子！
同样，看j=1/2的两个电子-磁通量子，
* 等于在 j=1上再加了一个磁通，即再增加一个 -1，这样三个 -1的相因子相乘，可知 j=1/2还是费米子！
这样j= 1/2的霍尔电阻平台不出现是很正常的
* 因为费米子不能占据同一状态 ——辅助的证据！
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40
量子约束导致另类统计性质
j=1/3又是玻色子，…
这样，这种约束产生了一个很有趣的现象
* 处于强磁场约束下的电子，结合磁通产生的电子 -磁通量子，可以改变电子的统计特性？！
* 电子 -磁通量子可以变成玻色子，也可再变回费米子
问：两带分数电荷的准粒子交换位置会怎样？
结果是相因子改变既不是1，也不是-1，而是一个复数=e
iu
！
* 因此它既不是玻色子，也不是费米子，而被称为任意子 (anyon)，它的统计可以称为分数统计
PRL63,199 (1989)，证明电子-磁通量子存在
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41
本讲要点
量子霍尔效应明显地显示电子关联相互作用
FQHE是电子的强关联现象的反映(IQHE的严格解释也需将它视作强关联)
* 什么是关联？ ?每个磁通量子平均分配到分数个电子 ——即当电子间存在关联时，几个电子关联着一起分配到一个或几个磁通量子
关联电子-磁通量子形成不可压缩量子超流体
* 显示霍尔电阻平台，粒子间无散射，纵向电阻为零
电子密度或磁通密度改变时，形成准粒子——
超流体的缺陷
* 准粒子积累直至完全破坏超流态，导致了整数和分数量子霍尔效应
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概念要点
电子关联
扩展态，局域态
填充因子
磁通量子
电子-磁通量子
量子超流体——准粒子，准空穴
8
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43
思考题
能不能用金属来观察量子霍尔效应？
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44
习题
1.试画出j=3/7的电子-磁通量子的箭头圆饼串图，再作j=4/9。你能画出j=5/9的箭头圆饼串图吗？
2.计算j=3/7电子-磁通量子的交换性质，是费米子还是玻色子？
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第6讲、整数和分数量子霍尔效应
1.多体（电子）问题？
2.整数量子霍尔效应(IQHE)
3,Landau能级和局域态
4.整数量子霍尔效应的解释
5.分数量子霍尔效应(FQHE)
6.换个图象看量子霍尔效应
7.分数量子霍尔效应的解释
专题2：究竟什么是电子关联？
* 11.1.3和 12.5
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2
1、多体（电子）问题？
金属自由电子气体模型与理想气体模型比较
* 理想气体模型：客体是气体分子，相互作用是指气体分子与气体分子之间的碰撞
* 自由电子气体：客体是电子，但是电子与电子的相互作用却被忽略 ?所谓的独立电子近似
独立电子近似质疑
* 电子作为带电体，它们之间至少有库仑相互作用
* 忽略这样的作用，近似能够好到什么程度？
固体物理、凝聚态物理最重要的问题
* 太复杂、太困难
%8个有关的诺贝尔物理奖！
%液氦(1962,1978,1996)，超导(1913,1972,1987)，
量子霍尔效应(1985,1998) ?有没有看法或猜想？
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3
将分四个专题来专门介绍这个问题
单电子近似：所有电子（包括被考虑的客体）
作为一个整体对单个电子（被考虑的客体）的平均作用
* 我认为，改变数学工具才能在多体问题上取得突破
Mott绝缘体：单电子近似，或者说忽略电子关联会导致什么荒唐的结果?
超导：电子关联又会引起什么奇异的结果?
量子霍尔效应：直观地给出物理图象——电子必须作为整体（关联在）一起被考虑，才能解释量子霍尔效应
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4
2、整数量子霍尔效应
K,von Klitzing：观察到整数量子霍尔效应，
PRL45,494 (1980)
* 极低温 1.5K、强磁场 18T、载流子浓度约 10
13
/cm
2
？
* 二维电子气的霍尔电阻与栅电压的关系呈现一个个量子化的平台年起定为电阻单位标准为整数。1990,
1
22
e
h
j
e
h
jI
V
x
H
H
==ρ
作用这个量来包装这个工常数称为,Klitzingvon,
2
1
0
1
2
c
e
h
μα
=
这个实验在1978年已经完成，但当时没有注意这个平台是有量子化的。平台平整度10
-8
因为这个发现的重要意义，1985年获Nobel奖
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5
http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学
6
观测量子霍尔效应示意图：MOSFET样品。固定B，改变栅电压以改变载流子数目，观察霍尔电压V
H
和纵向电压V
L
的变化
霍尔电压呈现平台的地方，纵向电压V
L
为零 ?纵向电阻为零！
几种样品都有同样的结果（不同的外型尺寸、不同能带结构，…），这是一个普适现象
2
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7
也可控制栅电压保持电流密度不变，只改变磁场，也可看到霍尔电阻的平台和纵向电阻为零
我们只关心物理！那么，这现象背后的物理实质是什么？怎么解释这个实验现象？
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8
3、Landau能级和局域态
实验观测条件指出，这是一种强磁场下的二维约束的电子气体
三维自由电子气在均匀磁场(z方向)下如何运动
k
z
和绕磁场方向的角动量是好量子数
电子绕磁场方向作螺旋运动
* 其解为
m
eB
j
m
k
kE
cc
z
zj
=?
++= ωω
2
1
2
22
,)( h
h
即在平行于磁场方向，能量仍是连续的，但在垂直于磁场平面，原来无磁场时的连续能量，
量子化，简并到分立的Landau能级
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9
Landau环
对二维电子气体，在垂直于该平面加上均匀磁场后，k空间被等分成一个个面积为常数的
Landau环，每个环上的能量各自相等；三维时，则被等分成一个个横截面为常数Landau管
()
hh
h
h
eBm
Em
kkA
c
yx
πωπ
π
π
22
2
2
2
22
==
Δ
=+Δ=Δ
h
eB
L
h
eBLeB
Ap
面积单位
==?
=
Δ
Δ=
2
2
2
21
π
π
hk
原均匀分布的k点，重新分布，简并到Landau环
问：简并度,p=？
k
x
k
y
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能级简并度可从无磁场时态密度得到
也可从没有磁场时的二维电子气的电子能态密度(是常数，单位面积态密度为)得到简并度
22
2
)(
hπ
m
Eg
D
=
引入磁场后，连续分布的能态收缩为等能级间隔的分立能级，但总的能态数目并没有减少，
都简并到分立能级上
因此，单位面积Landau能级简并度为(注意：
强磁场下自旋简并已消除)
B
h
em
EEgp
cD
==Δ= ω
π
h
h
22
2
)(
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磁场下的二维电子气态密度
磁场垂直于二维面
如果是二维电子气，那么加磁场垂直于二维电子所在面，能量态密度也是量子化的
能量态密度是δ函数形式，δ函数乘以简并度
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比较磁场下的三维电子气态密度
三维时，由于z方向仍可自由运动，故总的能量状态密度仍是连续的
2/1
2
1
~)(
∑?
+?
j
c
jEED ωh
可以看出，态密度具有这种形式
3
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能量态密度
原来连续的E(k)由于磁场简并到Landau能级，成一条条一维的抛物线，Landau能级只是使之移动一个常数
这样的一维态密度就很容易得到，但需要乘上二维简并密度的因子，对一条抛物线，态密度为
k
z
E
n
(k
z
)
c
z
zn
n
m
k
BkE ωh
h
++=
2
1
2
),(
22
黄线表示没有磁场的
E(k)关系，当然是三维的 k
()
()
dEnEV
m
dk
L
pAdEEDEdN
c
c
znn
2/12/3
22
2
12
2
2
2
)(
+
=
==
ω
π
ω
π
h
h
h
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霍尔电阻j参数的物理意义：填充因子
电子密度为n对Landau能级密度p的填充，填充因子为
eB
nh
p
n
j ==
将n代入霍尔电阻公式(I
x
纵向电流V
H
霍尔电压)
2
1
/
/
e
h
jne
B
BRB
BJ
E
wI
wV
I
V
H
x
H
x
H
x
H
H
=?=====ρ
霍尔电阻中的j参数的物理意义就是填充因子，即电子填充到哪个Landau能级思考：能不能用金属观察量子霍尔效应？
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4、整数量子霍尔效应的解释
扩展态：原Landau能级态，可在整个平面内自由移动的电子态
局域态：由缺陷导致的态局域在缺陷附近，好比是芯电子局域在原子核周围
量子霍尔效应就是由这些局域态产生
如果材料有缺陷，会使Landau能级的简并度降低，Landau能级展宽成有限宽度的局域态
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整数量子霍尔效应解释
当电子态密度增加或磁场降低时，局域态被逐步填充，但扩展态占据数没有改变，因此，电流不变，霍尔电阻不变，形成一个台阶，只有电子密度在电压下增加到占据更高的Landau能级时，传导电子才增加，霍尔电阻突然变化
栅电压变化(E
F
变化)。E
F
在能隙(局域态)中时，对应霍尔电阻平台，E
F
在Landau能级(扩展态)时，对应霍尔电阻突然增加，
如保持栅电压不变(相当于E
F
不变)，只改变磁场，Landau能级及局域态整体压缩或伸展，也可以引起霍尔电阻发生类似的变化
设问：是否还遗留什么没有解释清楚的问题？
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尚有两个仍然没有解释的问题
1.对应霍尔电阻平台为什么纵向电阻会变成零？
2,Landau能级展宽后，
霍尔电阻平台数值是否还正好等于实验值？
不能用前面的图象解释，那是单粒子图象
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5、分数量子霍尔效应
R,B,Laughlin (T)
D,C,Tsui (E,崔琦)
H,L,Stoermer (E)
1982年，0.5K，20T强磁场，发现分数量子霍尔效应，
PRL48,1559 (1982)
为分数j
e
h
j
H
,
1
2
=ρ
同年由Laughlin对此进行理论解释，论文发表在PRL50,1395 (1983)
1998年上述三人共同分享诺贝尔物理奖
* 实验论文发表是三个人署名，还有 A,C,Gossard，
提供样品
4
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对于整数量子霍尔效应的单粒子图象不再适用：实验条件指明是强关联！
新稳定态好象在电子填充Landau能级到一个分数时产生！而且分母都是奇数！
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6、换个图象看量子霍尔效应
二维路径绕一圈必有一点交点，三维则不然
* 考虑到电子有波动性时这有很大不同
电子波在封闭路径上必须形成驻波才有稳定态，三维没有此条件
电子不受散射时必形成驻波三维路径二维路径交点
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磁通量子
由量子力学分析可以知道：一个被束缚在二维空间运动的电子包围整数倍磁通量子时才是稳定的，即绕磁通量子一圈位相变化必须正好是2π的整数倍形成的驻波才是稳定的，因为二维时路径一定是闭合的，不闭合就是发散的，而三维则不是
否则，分数的磁通不能使相位等于2
π的整数倍，因而是不稳定的
用磁通量子作磁场单位
e
h
=Φ
0
0
Φn
0
Φ
m
n
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为何引入磁通量子？
Landau能级的简并度等于磁场以磁通量子为单位的数目！
* 就是单位面积内有多少个磁通量子
这样，填充因子j就等于二维电子气的电子数目与磁通量子数目的比
* 即 j=电子密度 /磁通密度
* j就是每个磁通量子分配到的电子数目
* 电子气中电子数固定，磁场越大,j就越小；磁场固定，电子数越大,j就越大
0
Φ
==
B
B
h
e
p
heB
n
p
n
j
/
==
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24
磁通量子上的几个电子，能级是不连续的
磁通量子上串几个电子，就是被填充到哪个
Landau能级
磁场强度小的时候，电子数目大于磁场的磁通数目，电子平均分在每个磁通量子上，所以每个磁通量子总有几个电子与之配对，填充因子是整数
1=j
2=j 3=j
如果用箭头表示磁通量子，圆饼表示电子
5
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电子-磁通量子串形成量子超流体
j为整数的二维电子和磁通量子串，相互排斥
(关联)形成一种不可压缩的量子流体
量子超流体没有散射：量子超流体就好象是一挤满粒子的非常狭窄的通道，所有粒子只能一起行动，要么都往前，要么都往后走。因此就根本没有碰撞和散射——没有阻尼机制
没有同样配对的电子和磁通形成准粒子或缺陷，受其他超流体排斥，是局域的
这种准粒子或缺陷只有积累到一定程度，才会破坏超流体状态
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量子超流体对IQHE的解释
前面遗留的两个问题现在可以解释
基态和激发态之间存在能隙，Landau能级间隔
在极低温下，超流体粒子不能获足够的能量跃迁到激发态，但低能态又全被占满，无处可去，挤在一起，形成所谓的超流，不会受散射，所以沿电场方向电阻R
xx
=0，对应ρ
H
平台
磁场增加，开始破坏超流态，达到一定程度后，不再有超流态性质，霍尔电阻平台被破坏
j为整数时，这幅图象比较简单
* 纵向电阻为零得到了解释
* 平台的数值与 von Klitzing常数的关系也得到了解释
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7、分数量子霍尔效应的解释
当j为分数，怎么解释呢？
强磁场，低载流子浓度才能观察到！从磁通的观点这是由于电子密度小于磁通密度，如此，
填充因子是分数。Landau能级被占了比如
1/3，还有2/3空着
思考：分数霍尔电阻平台是否意味着同一
Landau能级里还有空隙？
先看j为分数时的磁通量子和电子串图
这时，可以看成几个磁通穿一个电子，这里j=1/3
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不可压缩量子超流体
这样的圆饼箭头串形成不可压缩量子流体，称为量子超流体
这种量子超流体的状态与填充因子j有关
压缩一个系统，等于改变电子密度，改变j。当面积和磁场都固定时，这样的改变都要改变能量，有空隙的存在
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量子超流体状态在外场下如何变化？
需要解释量子超流体如何变化。显然，填充因子j是一个表示超流体状态的量。因为，这时所有超流子都是j。如j改变，才使超流体发生变化，观察的霍尔电阻才会发生改变
但当磁场增加或减少，磁通量变而电子数不变时，不会立即改变整个量子超流体的状态。这时，会出现有些圆饼（电子）少一个箭头（磁通），或有些箭头（磁通）没有圆饼（电子）
这样的缺陷。这样的缺陷积累多了，达到一定程度，整个系统就不再是量子超流体，纵向电阻不为零，霍尔电阻发生改变
栅电压变化时，改变电子数，结果也一样
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为什么量子超流体中有缺陷？
并不总是正好所有的电子分配到同样的磁通
* 当正好都是三个磁通量子配一个电子，而有一个电子只分配到两个磁通量子，这就是一个 j=1/3态缺陷
* 当正好都是三个磁通量子配一个电子，可能只有一个磁通量子没有任何电子，这也是一个 j=1/3态缺陷
准粒子
* 由于缺陷的能量稍高，附近的超流体会排斥它使它孤立出来，其余部分仍保留超流体性质
* 孤立出来的缺陷也可以流动，有自己的动量，能量，称为准粒子，占据准粒子能级
* 准粒子带电量这样考虑：对少一个磁通量子而言，
相当于多了 -1/3e的电量，而对多一个磁通量子而言，则少了 1/3e的电量，这就是准粒子带有的电量
6
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31
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32
电荷的准粒子
3
e
电荷的准粒子
3
e
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电荷的准空穴
3
e
电荷的准空穴
3
e
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准粒子或缺陷如何运动？
准粒子不是超流体，准粒子之间会有相互作用，会受到散射
* 准粒子受散射，就会产生电阻
* 改变外场，一些正常粒子被激发成准粒子，有能隙
问：为何准粒子少时，觉察不出来电阻变化？
准粒子能级也有扩展态和局域态！
* 局域态不参与导电，而扩展态可以到处流动
* 准粒子数量少时，先占据局域态，但多了后，就填到扩展态，参与导电
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准粒子如何积累改变超流体状态？
准粒子被其他完整的圆饼箭头串(粒子)排斥
* 排斥势能起伏，准粒子局域在势能的洼地
* 这时，系统仍然是超流体，因此 R
xx
=0，对应 ρ
H
平台
随外场变化，准粒子开始增加，正常粒子减少，直至洼地全被填平，洼地开始连通
* 超流态被破坏
* R
xx
开始变,ρ
H
平台消失图中的带箭头球都是准粒子，量子超流体内其他正常粒子形成起伏的势
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3
1
=j
5
2
=j
如果这样的准粒子多到正好每两个电子就有一个准粒子，即一个准粒子配一个正常粒子，两个电子就有五个磁通量子，这就形成新的 j=2/5态当磁场持续减少，小于 j=1/3很多时，就产生很多准粒子，准粒子是两个磁通量子穿一个电子
7
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如果外场继续减少，这样的准粒子越聚越多，
直到所有的电子和磁通再次达成新的配对，就会就发育成新的不可压缩量子超流体状态——
j=2/5态，又开始建立新的霍尔电阻平台，纵向电阻又为零
* j=2/5的态称为 j= 1/3的子态； j= 1/3的态称为 j=2/5的母态
如果外场继续小下去，j=2/5还会生出新的准粒子，电阻增加，电流变化。积累到一定程度，
再形成子态的子态的超流体，再建立霍尔电阻平台。但平台会越来越模糊，一代不如一代。
直到磁通量子数和电子数之比为整数，建立整数平台，然后循环——这样就解释了FQHE
问：对这样的解释还有什么疑问？
这幅图象有其他证据吗？？？？
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是一种量子超流体的凝聚现象
看实验，从中能发现什么？
整数1平台以前的分数平台出现在：1/3，2/5，
3/7，4/9，5/9，
4/7，3/5，2/3，
5/7，4/5，…，
为什么没有1/2?
这预示什么？能不能有所启发，从这里找证据？
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统计特性的转换证明图象的合理性！
看电子-磁通量子作为一整体的统计性质转换
* 磁通和电子串在一起是费米子或玻色子？
看j=1的两个电子-磁通量子，将它们交换位置
* 相当于一个电子 -磁通量子绕另一个固定的走半圈
%一个电子绕一个磁通量子走半圈有π相位差，-1
的相因子。加上电子交换本身一个-1，这两个电子-磁通量子交换不变号，是玻色子！
同样，看j=1/2的两个电子-磁通量子，
* 等于在 j=1上再加了一个磁通，即再增加一个 -1，这样三个 -1的相因子相乘，可知 j=1/2还是费米子！
这样j= 1/2的霍尔电阻平台不出现是很正常的
* 因为费米子不能占据同一状态 ——辅助的证据！
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量子约束导致另类统计性质
j=1/3又是玻色子，…
这样，这种约束产生了一个很有趣的现象
* 处于强磁场约束下的电子，结合磁通产生的电子 -磁通量子，可以改变电子的统计特性？！
* 电子 -磁通量子可以变成玻色子，也可再变回费米子
问：两带分数电荷的准粒子交换位置会怎样？
结果是相因子改变既不是1，也不是-1，而是一个复数=e
iu
！
* 因此它既不是玻色子，也不是费米子，而被称为任意子 (anyon)，它的统计可以称为分数统计
PRL63,199 (1989)，证明电子-磁通量子存在
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本讲要点
量子霍尔效应明显地显示电子关联相互作用
FQHE是电子的强关联现象的反映(IQHE的严格解释也需将它视作强关联)
* 什么是关联？ ?每个磁通量子平均分配到分数个电子 ——即当电子间存在关联时，几个电子关联着一起分配到一个或几个磁通量子
关联电子-磁通量子形成不可压缩量子超流体
* 显示霍尔电阻平台，粒子间无散射，纵向电阻为零
电子密度或磁通密度改变时，形成准粒子——
超流体的缺陷
* 准粒子积累直至完全破坏超流态，导致了整数和分数量子霍尔效应
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概念要点
电子关联
扩展态，局域态
填充因子
磁通量子
电子-磁通量子
量子超流体——准粒子，准空穴
8
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思考题
能不能用金属来观察量子霍尔效应？
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习题
1.试画出j=3/7的电子-磁通量子的箭头圆饼串图，再作j=4/9。你能画出j=5/9的箭头圆饼串图吗？
2.计算j=3/7电子-磁通量子的交换性质，是费米子还是玻色子？
