1
http://10.45.24.132/~jgche/固体物理学
1
第4讲、自由电子气模型的其他性质
1,定量计算比热
2,Sommerfeld积分
3,费米能级
4,电子气总能量
5,金属电导率
6,Pauli顺磁性低温时自由电子气体的一些性质。
思考：高温时,T>>T
F
，自由电子气的性质？
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2
1、定量计算比热(k
B
T<<E
F
)
电子气在温度不为零时的性质
确定 Fermi能级
确定电子气能量
1
1
)(
/)(
+
=
TkEE
BF
e
Ef
≠
=
==
∫
∫
∫
∞
∞
0
0
0
0,)(
0,
)()(
0
F
TdEEEfC
TdEEC
dEEDEfN
E
≠
=
==
∫
∫
∫
∞
∞
0
2/3
0
2/3
0
0,)(
0,
)()(
0
F
TdEEEfC
TdEEC
EdEEDEfU
E
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3
Fermi 面以内被电子占满，形成所谓的费米球
K 0≠T
K 0=T
Fermi面
k
B
T的范围
Fermi 面附近 k
B
T 范围内的电子
http://10.45.24.132/~jgche/固体物理学
4
电子被热激发，看被积函数 0≠T
ECED =)(
F
E
0)()(
)()(
F
F
EE
EE
EDEf
ECEDEf
>
<
=
=
1
)()(
/)(
F
+
=
TkEE
B
e
EC
EDEf
Tk
B
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5
0≠T
E
f
0=T
FB
ETk <<
的偶函数且是函数类 )(,
F
EE
E
f
δ
数学性质低温时费米分布函数的
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6
低温性质
总能量
∫
∞
=
0
)()( EdEEfEDU
总电子数 ∫
∞
=
0
)()( dEEDEfN
对这两个式子求导，得
∫
∞
=
=
0
el
)(
T
f
EdEED
T
U
C
V
T
f
EDdEE
=
∫
∞
0
F
)(0
∫
∞
=
0
FF
)()( dEEDEfENE
相减后，得 ()
∫
∞
=
0
F
el
)(
T
f
EDEEdEC
V
根据费米分布函数对温度导数的类δ函数性质，可以近似得到
()
∫
∞
≈
0
FF
el
)(
T
f
EEdEEDC
V
2
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7
对费米分布求导
()
()
[]
2
/
/
2
B
F
1
BF
BF
+
=
TkEE
TkEE
e
e
Tk
EE
T
f
进行变量替换，
( ) TkEEx
BF
/?=
()
∫
∞
+
=
TkE x
x
V
e
e
dxxETDkC
BF
/
2
2
F
2
B
el
1
)(
低温时，可将积分下限推至负无穷大，得
()
3
1
2
2
2
π
=
+
∫
∞
∞? x
x
e
e
dxx
F
B
2
F
2
B
2
F
2
B
2
el
22
3
3
)(
3 T
T
NkN
E
TkETDkC
V
πππ
===
于是
与前面的估计比较
F
B
el
T
T
NkC
V
≈
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8
2、Sommerfeld积分
常遇这样的积分，引入函数
∫
∞
=
0
)()( εεε dfHI
∫
=
E
dHEQ
0
)()( εε
作分部积分
∫
∞
∞
+=
0
0
)()()( ε
ε
εεε d
f
QfQI
上式第一项为零。第二项中 -df/dE为中心在 E
F
处的类δ函数，宽度约 k
B
T，是 (E-E
F
)的偶函数，可作近似计算，将 Q(E)展开到二级近似，
得到
() () )(''
2
1
)(')()(
F
2
FFFF
EQEEQEEQQ?+?+= εεε
()
()
2
BF
2
F
2
2
2
)("
6
)(
3
1
TkEQEQI
e
e
dxx
x
x
ππ
+==
+
∫
∞
∞?
，则得，利用
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9
3、费米能级(T<<T
F
)
() ( )εε DH =
() () ()
3/2
000
3
2
CEdCdDdHEQ
EEE
====
∫∫∫
εεεεεε
()
1/2-
2
1
" CEEQ =
()
2
BF
2
F
)("
6
)( TkEQEQI
π
+=
∫
∞
=
0
)()( dEEDEfN? 对于
()
+=
2
FB
2
3/2
F
/
8
1
3
2
ETkCEI
π
( )
2/3
0
F
3
2
ECN = () ()
+=
2
FB
2
2/3
F
2/3
0
F
/
8
1 ETkEE
π
()
≈
2
0
FB
2
0
FF
/
12
1 ETkEE
π
利用 k
B
T<<E
F
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10
化学势随温度的变化
化学势随温度变化
*因为T
F
=10
4
~10
5
，所以室温下，与绝对温度零度时的费米能级非常接近
∫
∞
=
0
)( dEEEfCN
FB
ETkT <<≠ 0K,
0K=T
+=
2
F
B
2
2/3
F
8
1
3
2
E
Tk
CEN
π
()
2/3
0
F
3
2
ECN =
≈
2
F
2
0
FF
12
1
T
T
EE
π
0
FF
EE <
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11
4、总能量(T<<T
F
)
被激发的电子能量与估计值比较
∫
∞
=
0
)()( EdEEDEfU
FB
ETkT <<≠ 0K,0K=T
+=
222/5
)/(
8
5
1
5
2
FBF
ETkCEU π
低温
FB
ETk <<
()
+≈
2
020
/
12
5
1
5
3
FBF
ETkE
N
U
π
0
5
3
F
E
N
U
=
()TkTTNU
F B
2
/
4
~
π
TkTT
N
U
BF
)/(
2
~
( )()εεε DH =
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12
F
B
F
B
B
V
V
T
T
Nk
E
Tk
Nk
T
U
C
22
2
0
2
el
ππ
==
=
与定性的结果仅差常数因子定性的解释是正确的，即只有Fermi面附近的电子被激发！
3
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13
低温时，电子气对热容的贡献很小
TC
V
∝
el
并不只适用于自由电子气。电子许可能级形成能带时也是正确的通过电子气比热测量，可以获得 Fermi
面附近能量态密度的信息！
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14
固体比热的实验结果
latel3
VVV
CCbTTC +=+=γ
因此，只有在极低温度下，电子对比热的贡献才重要！
思考：一维，二维电子气比热与温度的关系，与维数有没有关系？
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15
5、金属电导率——碰撞机制再讨论
一个给出了这样结果的理论，一定会包含许多真理！ ——洛伦茨？ ——物理原因？
F
kp h≈
()
s
r
nnk
1
3
3/1
3/1
2
F
≈≈= π
s
r
p
h
≈
实际情况是电子在金属中平均自由程很大
h>>
>>
xp
rx
s
量子 ——经典由于电子的平均自由程远大于原子间距，因此经典模型已是很好的近似
经典模型 ?
m
ne τ
σ
2
=
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16
实验事实 ?碰撞机制
纯净的铜晶体，液氦温度（ 4K）下的电导率接近室温（ 300K）的 10
5
倍！
据此，弛豫时间约 10
-9
秒量级
这样，平均自由程 l就是 0.1厘米量级
m
ne τ
σ
2
=
室温下，电导率小 10
5
倍，平均自由程比原子间距大 10
7
倍
外推至温度 T=0的电阻率 ——剩余电阻率，由缺陷（浓度不太大）引起的电阻率，基本与温度无关缺陷原子振动
ρρρ +=
与温度有关的电阻率对同一种金属的不同样品相同 ——原子振动引起的电阻率缺陷原子振动
ρρρ?=
scmvvl /10~,
8
FF
τ=
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17
电阻率常温：被原子振动散射低温：被缺陷散射
ττσ
ρ
11
2
∝==
ne
m
缺陷原子振动
τττ
111
+=
原子振动 杂质缺陷原子振动
ρρρ +=
电阻率被原子振动散射 被杂质或晶格缺陷散射
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18
碰撞机制的量子观点
电子与离子实没有碰撞！？
是指与固定在平衡点的离子实没有碰撞（周期性势场）
如果离子实振动（与温度有关），晶体中的这种振动是一种整体的振动，这种振动偏离平衡位置，使原子核的周期性势场发生偏移，这样电子就会与原子核发生碰撞
杂质，缺陷等当然也可以使周期性势场偏离，
使电子遭受碰撞（这基本与温度无关）
经典理论同样引入碰撞，但机制不同！弛豫时间的物理意义不同缺陷原子振动
τττ
111
+=
4
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19
准经典模型
温度大于费米温度 ——量子 ?经典
关于 Drude模型中金属因碰撞阻尼项导致电阻的机制解释仍可用，只需将那里的与原子的碰撞看作是与缺陷和周期性排列的原子集体振动的碰撞即可
mTkmEv
mTkv
/2/2
/
FBF
2
F
B
2
th
=≈
≈
考虑自由程时，经典模型,v取热运动速度，
准经典模型,v取 Fermi速度，比较
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20
电导率的量子模型解释
没有外场时，电流为零。在恒定外电场作用下，电子的状态变化
dt
d
e
k
EF h=?=
无外场时，平衡态，费米球
t
e
t
h
E
kk?=? )0()(
kδ
对上式积分，可得
在这个外场作用下，电子状态发生改变，这时是非平衡态。
通过与杂质、缺陷的碰撞，建立新的热平衡，使费米球移动并保持在稳态 ?电流
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21
状态改变 ?漂移速度
由此，建立平衡后，费米球的位移
弛豫时间的意义！
τδ Ekv em?==h
漂移
me /τEv?=
漂移
τδ
h
E
k
e
=
mnene /
2
Evj τ=?=
漂移
在恒定电场 E中，单位体积内含有 n个电荷 -e，
则电流密度
这就是 Ohm定律
m
ne τ
σ
2
=
状态改变对应的漂移速度增量
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22
电导图象：碰撞的作用 ?获得热平衡电子状态发生改变
Fermi球处于稳态建立热平衡的时间 ?弛豫时间状态改变 ?漂移速度
me /τEv?=
漂移
mnene /
2
Evj τ=?=
漂移电流密度
Ohm 定理
τ
外场
m
ne τ
σ
2
=
与杂质、原子振动发生碰撞碰撞
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23
6、Pauli顺磁性
Drude模型：无外磁场，由于电子本征磁矩的无规取向，热平衡时，电子气体总磁矩为零。
加磁场后，自旋取向沿磁场方向 ——顺磁性
用经典 M—B分布，
() ()()()TkBTkBTkBTkB
eeAAenAen
BBBBBBBB
////
,,
μμμμ+?+?
↓
↑
+===
总磁矩
()
( ) ( )
()()
()TkBn
ee
ee
nnnM
TkBTkB
TkBTkB
BBB//
//
BB
/tanh
BBBB
BBBB
μμμμ
μμ
μμ
=
+
=?=
+
+
↓↑
低温时
B
Tk
n
Tk
n
nM
B
2
B
B
B
B
33
μμ
μ =≈ T
Tk
n
B
M
/1~
3
B
2
B00
μμμ
χ ==
与实验不符。实际上，几乎与温度无关
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24
Sommerfeld模型
加磁场后，电子自旋顺着磁场方向平移
*与磁场方向相反的电子自旋能量高，磁矩反转，填到另一自旋方向的能级上，平衡时，两个自旋方向的费米能级一致
E
E
F
g
↑
(E)/2
g
↓
(E)/2
g
↑
(E)/2
g
↓
(E)/2
E
μ
B
B
g
↑
(E)/2
g
↓
(E)/2
E
E
F
2/)(
FB
EBgμ
BEgM )(
F
2
B
μ=
反转电子数约 总磁矩变化
磁化率 与温度无关 )(/
F
2
B00
EgBM μμμχ ==
5
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25
本讲要点
低温时的性质
*比热
*总能量
经典模型能够定性描述电导率的原因
*电子自由程远远大于原子间距
*位置与动量的乘积远远大于Planck常数
弛豫时间
*碰撞机制与经典理论的不同
*物理意义与经典理论的不同
Pauli顺磁性
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26
概念要点
Sommerfeld模型中的碰撞
费米球漂移
弛豫时间
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27
思考题
高温时,T>>T
F
，自由电子气的性质？
一维，二维电子气比热与温度有没有关系？
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28
习题
用无限深势阱代替周期性边界条件，即在边界处有无限高势垒，试确定：
1)波矢k的取值和k空间状态密度
2)能量空间状态密度
3)零温度时的费米能级和电子气总能
4)电子出现在空间任何一点的几率
5)平均动量
6)由上面这些结果得出：无限深势阱边界条件与周期性边界条件的解有什么不同？两种边界条件的解的根本差别在那里？用哪个边界条件更符合实际情况？更合理？为什么？
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1
第4讲、自由电子气模型的其他性质
1,定量计算比热
2,Sommerfeld积分
3,费米能级
4,电子气总能量
5,金属电导率
6,Pauli顺磁性低温时自由电子气体的一些性质。
思考：高温时,T>>T
F
，自由电子气的性质？
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2
1、定量计算比热(k
B
T<<E
F
)
电子气在温度不为零时的性质
确定 Fermi能级
确定电子气能量
1
1
)(
/)(
+
=
TkEE
BF
e
Ef
≠
=
==
∫
∫
∫
∞
∞
0
0
0
0,)(
0,
)()(
0
F
TdEEEfC
TdEEC
dEEDEfN
E
≠
=
==
∫
∫
∫
∞
∞
0
2/3
0
2/3
0
0,)(
0,
)()(
0
F
TdEEEfC
TdEEC
EdEEDEfU
E
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3
Fermi 面以内被电子占满，形成所谓的费米球
K 0≠T
K 0=T
Fermi面
k
B
T的范围
Fermi 面附近 k
B
T 范围内的电子
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4
电子被热激发，看被积函数 0≠T
ECED =)(
F
E
0)()(
)()(
F
F
EE
EE
EDEf
ECEDEf
>
<
=
=
1
)()(
/)(
F
+
=
TkEE
B
e
EC
EDEf
Tk
B
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5
0≠T
E
f
0=T
FB
ETk <<
的偶函数且是函数类 )(,
F
EE
E
f
δ
数学性质低温时费米分布函数的
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6
低温性质
总能量
∫
∞
=
0
)()( EdEEfEDU
总电子数 ∫
∞
=
0
)()( dEEDEfN
对这两个式子求导，得
∫
∞
=
=
0
el
)(
T
f
EdEED
T
U
C
V
T
f
EDdEE
=
∫
∞
0
F
)(0
∫
∞
=
0
FF
)()( dEEDEfENE
相减后，得 ()
∫
∞
=
0
F
el
)(
T
f
EDEEdEC
V
根据费米分布函数对温度导数的类δ函数性质，可以近似得到
()
∫
∞
≈
0
FF
el
)(
T
f
EEdEEDC
V
2
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7
对费米分布求导
()
()
[]
2
/
/
2
B
F
1
BF
BF
+
=
TkEE
TkEE
e
e
Tk
EE
T
f
进行变量替换，
( ) TkEEx
BF
/?=
()
∫
∞
+
=
TkE x
x
V
e
e
dxxETDkC
BF
/
2
2
F
2
B
el
1
)(
低温时，可将积分下限推至负无穷大，得
()
3
1
2
2
2
π
=
+
∫
∞
∞? x
x
e
e
dxx
F
B
2
F
2
B
2
F
2
B
2
el
22
3
3
)(
3 T
T
NkN
E
TkETDkC
V
πππ
===
于是
与前面的估计比较
F
B
el
T
T
NkC
V
≈
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8
2、Sommerfeld积分
常遇这样的积分，引入函数
∫
∞
=
0
)()( εεε dfHI
∫
=
E
dHEQ
0
)()( εε
作分部积分
∫
∞
∞
+=
0
0
)()()( ε
ε
εεε d
f
QfQI
上式第一项为零。第二项中 -df/dE为中心在 E
F
处的类δ函数，宽度约 k
B
T，是 (E-E
F
)的偶函数，可作近似计算，将 Q(E)展开到二级近似，
得到
() () )(''
2
1
)(')()(
F
2
FFFF
EQEEQEEQQ?+?+= εεε
()
()
2
BF
2
F
2
2
2
)("
6
)(
3
1
TkEQEQI
e
e
dxx
x
x
ππ
+==
+
∫
∞
∞?
，则得，利用
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9
3、费米能级(T<<T
F
)
() ( )εε DH =
() () ()
3/2
000
3
2
CEdCdDdHEQ
EEE
====
∫∫∫
εεεεεε
()
1/2-
2
1
" CEEQ =
()
2
BF
2
F
)("
6
)( TkEQEQI
π
+=
∫
∞
=
0
)()( dEEDEfN? 对于
()
+=
2
FB
2
3/2
F
/
8
1
3
2
ETkCEI
π
( )
2/3
0
F
3
2
ECN = () ()
+=
2
FB
2
2/3
F
2/3
0
F
/
8
1 ETkEE
π
()
≈
2
0
FB
2
0
FF
/
12
1 ETkEE
π
利用 k
B
T<<E
F
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10
化学势随温度的变化
化学势随温度变化
*因为T
F
=10
4
~10
5
，所以室温下，与绝对温度零度时的费米能级非常接近
∫
∞
=
0
)( dEEEfCN
FB
ETkT <<≠ 0K,
0K=T
+=
2
F
B
2
2/3
F
8
1
3
2
E
Tk
CEN
π
()
2/3
0
F
3
2
ECN =
≈
2
F
2
0
FF
12
1
T
T
EE
π
0
FF
EE <
http://10.45.24.132/~jgche/固体物理学
11
4、总能量(T<<T
F
)
被激发的电子能量与估计值比较
∫
∞
=
0
)()( EdEEDEfU
FB
ETkT <<≠ 0K,0K=T
+=
222/5
)/(
8
5
1
5
2
FBF
ETkCEU π
低温
FB
ETk <<
()
+≈
2
020
/
12
5
1
5
3
FBF
ETkE
N
U
π
0
5
3
F
E
N
U
=
()TkTTNU
F B
2
/
4
~
π
TkTT
N
U
BF
)/(
2
~
( )()εεε DH =
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12
F
B
F
B
B
V
V
T
T
Nk
E
Tk
Nk
T
U
C
22
2
0
2
el
ππ
==
=
与定性的结果仅差常数因子定性的解释是正确的，即只有Fermi面附近的电子被激发！
3
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13
低温时，电子气对热容的贡献很小
TC
V
∝
el
并不只适用于自由电子气。电子许可能级形成能带时也是正确的通过电子气比热测量，可以获得 Fermi
面附近能量态密度的信息！
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14
固体比热的实验结果
latel3
VVV
CCbTTC +=+=γ
因此，只有在极低温度下，电子对比热的贡献才重要！
思考：一维，二维电子气比热与温度的关系，与维数有没有关系？
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15
5、金属电导率——碰撞机制再讨论
一个给出了这样结果的理论，一定会包含许多真理！ ——洛伦茨？ ——物理原因？
F
kp h≈
()
s
r
nnk
1
3
3/1
3/1
2
F
≈≈= π
s
r
p
h
≈
实际情况是电子在金属中平均自由程很大
h>>
>>
xp
rx
s
量子 ——经典由于电子的平均自由程远大于原子间距，因此经典模型已是很好的近似
经典模型 ?
m
ne τ
σ
2
=
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16
实验事实 ?碰撞机制
纯净的铜晶体，液氦温度（ 4K）下的电导率接近室温（ 300K）的 10
5
倍！
据此，弛豫时间约 10
-9
秒量级
这样，平均自由程 l就是 0.1厘米量级
m
ne τ
σ
2
=
室温下，电导率小 10
5
倍，平均自由程比原子间距大 10
7
倍
外推至温度 T=0的电阻率 ——剩余电阻率，由缺陷（浓度不太大）引起的电阻率，基本与温度无关缺陷原子振动
ρρρ +=
与温度有关的电阻率对同一种金属的不同样品相同 ——原子振动引起的电阻率缺陷原子振动
ρρρ?=
scmvvl /10~,
8
FF
τ=
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17
电阻率常温：被原子振动散射低温：被缺陷散射
ττσ
ρ
11
2
∝==
ne
m
缺陷原子振动
τττ
111
+=
原子振动 杂质缺陷原子振动
ρρρ +=
电阻率被原子振动散射 被杂质或晶格缺陷散射
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18
碰撞机制的量子观点
电子与离子实没有碰撞！？
是指与固定在平衡点的离子实没有碰撞（周期性势场）
如果离子实振动（与温度有关），晶体中的这种振动是一种整体的振动，这种振动偏离平衡位置，使原子核的周期性势场发生偏移，这样电子就会与原子核发生碰撞
杂质，缺陷等当然也可以使周期性势场偏离，
使电子遭受碰撞（这基本与温度无关）
经典理论同样引入碰撞，但机制不同！弛豫时间的物理意义不同缺陷原子振动
τττ
111
+=
4
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19
准经典模型
温度大于费米温度 ——量子 ?经典
关于 Drude模型中金属因碰撞阻尼项导致电阻的机制解释仍可用，只需将那里的与原子的碰撞看作是与缺陷和周期性排列的原子集体振动的碰撞即可
mTkmEv
mTkv
/2/2
/
FBF
2
F
B
2
th
=≈
≈
考虑自由程时，经典模型,v取热运动速度，
准经典模型,v取 Fermi速度，比较
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20
电导率的量子模型解释
没有外场时，电流为零。在恒定外电场作用下，电子的状态变化
dt
d
e
k
EF h=?=
无外场时，平衡态，费米球
t
e
t
h
E
kk?=? )0()(
kδ
对上式积分，可得
在这个外场作用下，电子状态发生改变，这时是非平衡态。
通过与杂质、缺陷的碰撞，建立新的热平衡，使费米球移动并保持在稳态 ?电流
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21
状态改变 ?漂移速度
由此，建立平衡后，费米球的位移
弛豫时间的意义！
τδ Ekv em?==h
漂移
me /τEv?=
漂移
τδ
h
E
k
e
=
mnene /
2
Evj τ=?=
漂移
在恒定电场 E中，单位体积内含有 n个电荷 -e，
则电流密度
这就是 Ohm定律
m
ne τ
σ
2
=
状态改变对应的漂移速度增量
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22
电导图象：碰撞的作用 ?获得热平衡电子状态发生改变
Fermi球处于稳态建立热平衡的时间 ?弛豫时间状态改变 ?漂移速度
me /τEv?=
漂移
mnene /
2
Evj τ=?=
漂移电流密度
Ohm 定理
τ
外场
m
ne τ
σ
2
=
与杂质、原子振动发生碰撞碰撞
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23
6、Pauli顺磁性
Drude模型：无外磁场，由于电子本征磁矩的无规取向，热平衡时，电子气体总磁矩为零。
加磁场后，自旋取向沿磁场方向 ——顺磁性
用经典 M—B分布，
() ()()()TkBTkBTkBTkB
eeAAenAen
BBBBBBBB
////
,,
μμμμ+?+?
↓
↑
+===
总磁矩
()
( ) ( )
()()
()TkBn
ee
ee
nnnM
TkBTkB
TkBTkB
BBB//
//
BB
/tanh
BBBB
BBBB
μμμμ
μμ
μμ
=
+
=?=
+
+
↓↑
低温时
B
Tk
n
Tk
n
nM
B
2
B
B
B
B
33
μμ
μ =≈ T
Tk
n
B
M
/1~
3
B
2
B00
μμμ
χ ==
与实验不符。实际上，几乎与温度无关
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Sommerfeld模型
加磁场后，电子自旋顺着磁场方向平移
*与磁场方向相反的电子自旋能量高，磁矩反转，填到另一自旋方向的能级上，平衡时，两个自旋方向的费米能级一致
E
E
F
g
↑
(E)/2
g
↓
(E)/2
g
↑
(E)/2
g
↓
(E)/2
E
μ
B
B
g
↑
(E)/2
g
↓
(E)/2
E
E
F
2/)(
FB
EBgμ
BEgM )(
F
2
B
μ=
反转电子数约 总磁矩变化
磁化率 与温度无关 )(/
F
2
B00
EgBM μμμχ ==
5
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25
本讲要点
低温时的性质
*比热
*总能量
经典模型能够定性描述电导率的原因
*电子自由程远远大于原子间距
*位置与动量的乘积远远大于Planck常数
弛豫时间
*碰撞机制与经典理论的不同
*物理意义与经典理论的不同
Pauli顺磁性
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概念要点
Sommerfeld模型中的碰撞
费米球漂移
弛豫时间
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思考题
高温时,T>>T
F
，自由电子气的性质？
一维，二维电子气比热与温度有没有关系？
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习题
用无限深势阱代替周期性边界条件，即在边界处有无限高势垒，试确定：
1)波矢k的取值和k空间状态密度
2)能量空间状态密度
3)零温度时的费米能级和电子气总能
4)电子出现在空间任何一点的几率
5)平均动量
6)由上面这些结果得出：无限深势阱边界条件与周期性边界条件的解有什么不同？两种边界条件的解的根本差别在那里？用哪个边界条件更符合实际情况？更合理？为什么？
