1
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1
习题
1,试画出 j=3/7的电子 -磁通量子的箭头圆饼串图，再作 j=4/9。你能画出 j=5/9的箭头圆饼串图吗？
2,计算 j=3/7电子 -磁通量子的交换性质，是费米子还是玻色子？
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2
解答
1,如图
2,j=3/7,(-1)
7*3+3
，是玻色子
j=3/7
j=4/9
j=5/9
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3
习题
1,请画出上图结构的原胞并给出基矢
a)底心立方(简立方上下面中心各加一原子)
b)侧心立方(简立方四个侧面中心各加一原子)
c)棱心立方(简立方十二个棱中心各加一原子)
*附加的问题：有没有底心立方格子？侧心立方格子？棱心立方格子？
2,试证明，面心立方和体心立方结构的原胞基矢之间的夹角相等。并求夹角的数值
*原胞可以有多中取法，这里指习惯的取法
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4
侧心立方、棱心立方的原胞？
用标准步骤
*假定原子是格点，取基矢，看能不能得到所有格点位置;有没有遗漏？有没有多余？
*还可借助晶胞内含有整数个原胞原则来判断
侧心立方，立方内 3个原子
*原胞含1个或3个原子，尝试基矢尽可能取短
a
1
=(0.0,0.0,1.0)a
a
2
=(0.5,0.0,0.5)a
a
3
=(0.0,0.5,0.5)a
可得所有原子位置，但有多余，故不是基矢
*因此，原胞为立方，内含3个原子
类似可得棱心立方结构，立方内 4个原子
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5
1,附加问题的意思是每个原子是不是都可作为格点，其中：
a)原子位置可以当作格点，但属于底心正方格子；
b)原子位置不能当作格点，属立方格子，原胞即晶胞，原胞内3个原子；
c)原子位置不能当作格点，属立方格子，原胞即晶胞，原胞内4个原子。
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6
解答：面心立方
)
(
2
)
(
2
)
(
2
3
2
1
jia
ika
kja
+=
+=
+=
a
a
a
k
j
i
a
1
a
2
a
3
2
60
2
1
arcsin
2
0
==
α
2
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7
解答：体心立方
i
k
j
a
1
a
3
a
2
)
(
2
)
(
2
)
(
2
3
2
1
kjia
kjia
kjia
++=
+?+=
++?=
a
a
a
2
5.109
3
2
arcsin
2
0
==
α
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8
习题解答
1,用无限深势阱代替周期性边界条件，即在边界处有无限高势垒，试确定：
1)波矢k的取值和k空间状态密度
2)能量空间状态密度
3)零温度时的费米能级和电子气总能
4)电子出现在空间任何一点的几率
5)平均动量
6)由上面这些结果得出：无限深势阱边界条件与周期性边界条件的解有什么不同？两种边界条件的解的根本差别在那里？用哪个边界条件更符合实际情况？更合理？为什么？
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9
波函数
驻波：尝试解 (分离变量后的结果。 y,z类同 )
代入方程后得到
用驻波边界条件，得
用归一条件得
平面波：尝试解 (三维 )
用周期性边界条件，得
用归一条件得
( )
xikxik
xx
BeAex
+=
1
zkykxkA
zyx
sinsinsin=ψ
正整数===
i
i
i
nzyxi
L
n
k ;,,,
π
VL
A
88
3
==
( )
rk
r
=
i
Aeψ
整数===
iii
nzyxin
L
k ;,,,
2π
V
A
1
=
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10
状态数
驻波解,k空间，常数，
每个状态的体积为
驻波条件时,n只取正整数，所以只分布在 k空间的第一象限，因此，只有 1/8的球壳体积
所以,E~E+dE的状态数
平面波解,k空间，常数，每个状态的体积为
平面波条件时,n能取整数，所以能分布在整个 k
空间因此，整个球壳体积。 (问：一维时如何？ )
所以,E~E+dE的状态数
V/
3
π=Δk
dkk
2
4
8
1
π
dkk
V
dN
2
3
4
8
12
π
π
=
( ) V/2
3
π=ΔkkΔ/1
dkk
2
4π
()
dkk
V
dN
2
3
4
2
2
π
π
=
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11
状态密度，费米能级，平均能量
驻波、平面波解，对 E(k)关系求导
于是
费米能级
平均能量
dk
m
k
dE
2
2
2
h
= dE
E
m
dk
12
2
1
2/1
2
=
h
dEE
mV
dN
2/3
22
2
2
=
hπ
0
5
3
F
E
N
U
=
()
3/2
2
0
3
2
n
m
E
F
π
h
=
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12
出现在空间任一点的几率，平均动量
驻波解
几率为
平均动量 (y,z类同 )
平面波解
几率为
平均动量
zkykxk
V
zyx
sinsinsin
8
=ψ
zkykxk
V
zyx
222
2
sinsinsin
8
=ψ
()
rk
r
=
i
e
V
1
ψ
V
12
=ψ
0
cossin
2
0
=
=
>=<
∫
∫
L
xxx
x
xdx
L
n
x
L
n
i
n
L
dxdydz
xi
p
πππ
ψ
ψ
h
h
kr
r
p h
h
=
>=<
∫
d
i
ψ
ψ
3
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13
讨论驻波解
驻波解不是动量算符的本征解。因此，尽管电子是运动的，但其平均动量为零
电子在势垒反射下，来回往复运动，波函数迭加形成驻波，空间分布不是常数，有起伏行波解
平面波解又称行波解，是动量算符的本征解。电子有确定的动量和速度
平面波解在空间各点出现的几率一样，空间分布是常数
平面波解符合自由电子气体性质
周期性边条件是无限体系的数学处理，与晶体周期性无关
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14
第11讲、倒格子
1,为什么倒空间？
2,晶格的 Fourier变换
3,倒格子
4,二维倒格子
5,重要的例子
6,Brillioun区
7,正、倒格子对应关系换个空间看晶体结构
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15
1、为什么倒空间(reciprocal space)？
一个物理问题，既可以在正 (坐标 )空间描写，
也可以在倒 (动量 )空间描写
*坐标表象r，动量表象k
适当地选取一个表象，可使问题简化容易处理
*比如电子在均匀空间运动，虽然坐标一直变化，但
k守衡，这时在坐标表象当然不如在动量表象简单
正空间的格矢 (R
l
)描写周期性；在动量空间？
这两个空间完全是等价的
*只是一个变换
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16
正(坐标)空间倒(动量)空间
数学,(正 )格子
观察：显微镜?
观察,X射线衍射
数学：倒格子
r
r
r
r
r
r
r
k？
周期性
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17
2、晶格的Fourier变换
势能、电荷密度等满足迭加原理的物理量
()
∑
=
l
l
VV Rrr
atom
)(
可对其作 Fourier展开
F
Kh
称为 Fourier系数，两边乘共轭因子后积分
如果晶体具有平移周期性
nml
RRR +=
则是 R
l
的周期函数
)()( rRr FF
l
=+
( )
∑
=
l
l
fF Rrr)(
∑
=
h
i
h
h
eFF
rK
K
r)(
()
∫
∑
∫
= rrr
rKrKK
K
deF
V
de
V
F
hhh
h
i
h
i
)(
11
'
'
'
( )
∑
=
l
l
Rrr
atom
)( ρρ
rr
rK
K
deF
V
F
h
h
i
∫
= )(
1
rK
h
i
e
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18
因为 F(r)= F(r+R
l
)，就有
rr
rK
K
deF
V
F
h
h
i
∫
= )(
1
')'(
1
)'(
rr
RKrK
K
deF
V
F
lhh
h
i
∫
=
作变量替换,r’=r+R
l
，就有
即 0)1( =?
lh
h
i
eF
RK
K
lhh
ii
edeF
V
RKrK
rr
=
∫
')'(
1
' lh
h
i
eF
RK
K
=
rRr
rK
deF
V
h
i
l
∫
+= )(
1
0≠
h
F
K
1=
lh
i
e
RK
整数mm
lh
,2π=?RK
即如有平移周期性，那么就在 Fourier空间存在 K
h
矢量满足这个关系。要问 K
h
究竟是什么？
4
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19
看格点的Fourier变换？
数学上如何用一个函数来描写格点？
δ函数！ ( )
∑
=
l
l
R
Rrr δρ )(
对这个函数进行 Fourier变换
() ( )
∑∑
∫∫
=?==
l
l
l
ii
l
i
edede
R
Rk
R
rkrk
rRrrrk δρρ )(
格点满足平移周期性，则有 K
h
满足
m
lh
π2=?RK
那么乘上不变因子
()
∑∑
==
l
lh
l
l
ii
ee
R
RKk
R
Rk
k
ρ
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20
这告诉了我们什么信息,K
h
对应什么？
坐标空间里，δ (r-R
l
)函数表示在 R
l
的格点，当满足上述条件时，其 Fourier变换也是δ (k-K
h
)
函数，表示的是倒空间里的一个点！
后面会知道，这些点就是倒格点,K
h
即倒格矢
*或者说前面K
h
与R
l
的关系定义了倒格矢，满足上述条件矢量就是倒格矢 ? ?格矢
* K
h
的量纲为R
l
的倒数
利用 Poisson求和公式，即可得
( )
()
∑∑
==
hl
lh
h
i
e
KR
RKk
k
Kkδρ
即当矢量 K
h
与 R
l
乘积是 2π的整数倍时，在坐标空间 R
l
处的δ函数的 Fourier变换为在动量空间以 K
h
为中心的δ函数！
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21
3、倒格子(reciprocal lattice)
1=
lh
i
e
RK
为整数mm
lh
,2π=?RK
因此,Bravais格子也称为正格子( direct lattice)
等价关系：知道 K
h
，就知道 R
l；反过来也一样
它们满足 Fourier变换关系，因此，倒空间也称
Fourier空间
定义：对 Bravais格子中所有的格矢 R
l
，有一系列动量空间矢量 K
h
，满足的全部端点 K
h
的集合，构成该 Bravais格子的倒格子，这些点称为倒格点,K
h
称为倒格矢
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22
倒格子基矢
对正格子 332211
aaaR lll
l
++=
如果选择一组 b，使
332211
bbbK hhh
h
++=? 那么矢量 K就可由 b组成
ijji
πδ2=?ab
mlll
hhh
π2
332211
=?+?+? aKaKaK? 有
它满足上述关系，因此 K
h
具有平移特征
?可用基矢和整数表示的平移周期性
?K
h
定义倒空间的Bravais格子，b
i
就是倒格子基矢
K
h
为倒格矢 ——K
h
所有的端点即为倒格点
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23
倒空间中的Bravais格子
倒格矢
332211
bbbK hhh
h
++=
倒格子原胞体积，是正格子原胞体积的倒数
Ω
=×?=Ω
3
321
*
)2(
)(
π
bbb
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24
ijji
πδ2=?ab
表示什么含义？
是正交关系！即 b
1
与 a
2
和 a
3
正交！
看 a
2
和 a
3
确定的平面，即 a
2
× a
3
矢量垂直于该平面
3
a
2
a
32
aa ×
从正交关系，就有 b
1
与 a
2
× a
3
平行，可设
()
321
aab ×=η
用正交关系，就有
()πη 2
32111
=×?=? aaaba
()Ω
=
×?
=
ππ
η
22
321
aaa
()
321
2
aab ×
Ω
=
π
)(
321
aaa ×?=Ω
5
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25
有些教科书也将这个关系作为倒格子基矢定义，即由这三个矢量可以定义倒格矢，倒格矢给出的端点集合构成倒格子
互为倒正，即正格子也可看作倒格子的倒格子
就可以得到
)(
2
)(
2
)(
2
321
21
3
321
13
2
321
32
1
aaa
aa
b
aaa
aa
b
aaa
aa
b
×?
×
=
×?
×
=
×?
×
=
π
π
π
)(
2
)(
2
)(
2
321
21
3
321
13
2
321
32
1
bbb
bb
a
bbb
bb
a
bbb
bb
a
×?
×
=
×?
×
=
×?
×
=
π
π
π
4、二维倒格矢
)(
2
)(
2
21
1
2
21
2
1
aak
ak
b
aak
ka
b
×?
×
=
×?
×
=
π
π
ka
3
=
倒格子：二维
21
1
2
21
2
1
2
2
aa
ak
b
aa
ka
b
×
=
×
=
π
π
a
b
ja
ia
2
1
b
a
=
=
jb
ib
2
2
2
1
b
a
π
π
=
=
2π/a
2π/b
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28
5、重要的例子
简单立方结构,sc
面心立方结构,fcc
体心立方结构,bcc
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29
简单立方：Simple cubic (sc)
i
k
j
a
1
a
2
a
3
ka
ja
ia
3
2
1
a
a
a
=
=
=
kb
jb
ib
2
2
2
3
2
1
a
a
a
π
π
π
=
=
=
简立方格子的倒格子仍然是简立方格子
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30
体心立方
i
k
j
a
1
a
3
a
2
)
(
2
)
(
2
)
(
2
3
2
1
kjia
kjia
kjia
++=
+?+=
++?=
a
a
a
)
(
2
)
(
2
)
(
2
3
2
1
jib
kib
kjb
++=
++=
+=
a
a
a
π
π
π
体心立方格子的倒格子是面心立方格子
6
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31
面心立方
k
j
i
a
1
a
2
a
3
)
(
2
)
(
2
)
(
2
3
2
1
jia
ika
kja
+=
+=
+=
a
a
a
)
(
2
)
(
2
)
(
2
3
2
1
kjib
kjib
kjib
+=
+?=
++?=
a
a
a
π
π
π
面心立方格子的倒格子是体心立方格子
Real lattice Reciprocal lattice
fcc bcc
bcc fcc
思考：倒格子是否能保持正格子的宏观对称性？
sc sc
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33
6、Brillioun区——倒空间的原胞
倒空间中的 Wigner-Seitz原胞
为什么引入 Brillioun区？
*下一讲会知道，这样定义的Brillioun区，它的边界面满足Bragg反射条件
*第3章会知道，这样定义的Brillioun区，它的边界面有特别意义第一Brillioun区：1D
a
b
π2
=
第一Brillioun区：2D 1st Brillouin zone,2D
7
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37
7、正、倒格子对应关系
不同空间描写晶体的对称性
r空间 k空间
Bravais格子
W-S原胞倒格子
Brilliuon区
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38
K
h
=h
1
b
1
+h
2
b
2
+h
3
b
3
与晶面(h
1
h
2
h
3
)正交
面指数 (h
1
h
2
h
3
)，意即最靠近原点晶面的截距分别为 a
1
/h
1
,a
2
/h
2
,a
3
/h
3
O
C
A
B
K
h
3
3
1
1
hh
aa
OCOACA?=?=
3
3
2
2
hh
aa
OCOBCB?=?=
()0
3
3
1
1
332211
=
++=?
hh
hhh
h
aa
bbbCAK
()0
3
3
2
2
332211
=
++=?
hh
hhh
h
aa
bbbCBK
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39
倒格矢的长度与面间距
设晶面 (h
1
h
2
h
3
)的面间距为 d
则最靠近原点的晶面到原点的距离即 OA在面方向上的投影
O
C
A
B
K
h
h
h
h
d
K
Ka
=
1
1
()
3322111
3322111
bbb
bbba
hhhh
hhh
++
++?
=
h
K
π2
=
h
h
d
π2
=K
h
h
h
d
nK?
2π
=
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40
倒格子与Bravais格子的几何关系
倒格子与晶面的关系
自原点 O引晶面族法线 N，截取 P使 dOP /2π=
O
a
3
a
1
a
2
N
P
P点即倒格点，沿 N平移 OP，形成格子，即倒格子
*晶面 ? ?倒格点
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41
等价的周期性
如果 K
h
是倒格矢，那么物理量的 Fourier级数在晶体任何平移变换下具有所期待的不变性
∑
+?
=+
h
i
l
lh
h
eFF
)(
)(
RrK
K
Rr
)(r
rK
K
FeF
h
i
h
h
==
∑
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42
正、倒对应关系
互为正格子、倒格子
)(
2
)(
2
)(
2
321
21
3
321
13
2
321
32
1
aaa
aa
b
aaa
aa
b
aaa
aa
b
×?
×
=
×?
×
=
×?
×
=
π
π
π
)(
2
)(
2
)(
2
321
21
3
321
13
2
321
32
1
bbb
bb
a
bbb
bb
a
bbb
bb
a
×?
×
=
×?
×
=
×?
×
=
π
π
π
倒格矢与晶面 (h
1
,h
2
,h
3
)正交，不是 Miller指数！？
332211
bbbK hhh
h
++=
ijji
πδ2=?ab
Ω
=Ω
3
*
)2( π
8
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43
本讲要点
倒格子的意义
倒格子
*倒格子基矢
*倒格矢
* Brillioun区(倒空间原胞) ?
正格子和倒格子之间的关系
*互为正、倒
*与晶面正交
*几何关系：倒格点 ? ?晶面 ?
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44
概念要点
倒格子
Brillioun区
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45
思考问题
1,倒格子是否保持其正格子的宏观对称性？
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46
习题
1,2.2
2,试确定二维蜂窝结构的倒格子基矢，并作它的第一布里渊区
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1
习题
1,试画出 j=3/7的电子 -磁通量子的箭头圆饼串图，再作 j=4/9。你能画出 j=5/9的箭头圆饼串图吗？
2,计算 j=3/7电子 -磁通量子的交换性质，是费米子还是玻色子？
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2
解答
1,如图
2,j=3/7,(-1)
7*3+3
，是玻色子
j=3/7
j=4/9
j=5/9
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3
习题
1,请画出上图结构的原胞并给出基矢
a)底心立方(简立方上下面中心各加一原子)
b)侧心立方(简立方四个侧面中心各加一原子)
c)棱心立方(简立方十二个棱中心各加一原子)
*附加的问题：有没有底心立方格子？侧心立方格子？棱心立方格子？
2,试证明，面心立方和体心立方结构的原胞基矢之间的夹角相等。并求夹角的数值
*原胞可以有多中取法，这里指习惯的取法
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4
侧心立方、棱心立方的原胞？
用标准步骤
*假定原子是格点，取基矢，看能不能得到所有格点位置;有没有遗漏？有没有多余？
*还可借助晶胞内含有整数个原胞原则来判断
侧心立方，立方内 3个原子
*原胞含1个或3个原子，尝试基矢尽可能取短
a
1
=(0.0,0.0,1.0)a
a
2
=(0.5,0.0,0.5)a
a
3
=(0.0,0.5,0.5)a
可得所有原子位置，但有多余，故不是基矢
*因此，原胞为立方，内含3个原子
类似可得棱心立方结构，立方内 4个原子
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5
1,附加问题的意思是每个原子是不是都可作为格点，其中：
a)原子位置可以当作格点，但属于底心正方格子；
b)原子位置不能当作格点，属立方格子，原胞即晶胞，原胞内3个原子；
c)原子位置不能当作格点，属立方格子，原胞即晶胞，原胞内4个原子。
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6
解答：面心立方
)
(
2
)
(
2
)
(
2
3
2
1
jia
ika
kja
+=
+=
+=
a
a
a
k
j
i
a
1
a
2
a
3
2
60
2
1
arcsin
2
0
==
α
2
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7
解答：体心立方
i
k
j
a
1
a
3
a
2
)
(
2
)
(
2
)
(
2
3
2
1
kjia
kjia
kjia
++=
+?+=
++?=
a
a
a
2
5.109
3
2
arcsin
2
0
==
α
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8
习题解答
1,用无限深势阱代替周期性边界条件，即在边界处有无限高势垒，试确定：
1)波矢k的取值和k空间状态密度
2)能量空间状态密度
3)零温度时的费米能级和电子气总能
4)电子出现在空间任何一点的几率
5)平均动量
6)由上面这些结果得出：无限深势阱边界条件与周期性边界条件的解有什么不同？两种边界条件的解的根本差别在那里？用哪个边界条件更符合实际情况？更合理？为什么？
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9
波函数
驻波：尝试解 (分离变量后的结果。 y,z类同 )
代入方程后得到
用驻波边界条件，得
用归一条件得
平面波：尝试解 (三维 )
用周期性边界条件，得
用归一条件得
( )
xikxik
xx
BeAex
+=
1
zkykxkA
zyx
sinsinsin=ψ
正整数===
i
i
i
nzyxi
L
n
k ;,,,
π
VL
A
88
3
==
( )
rk
r
=
i
Aeψ
整数===
iii
nzyxin
L
k ;,,,
2π
V
A
1
=
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10
状态数
驻波解,k空间，常数，
每个状态的体积为
驻波条件时,n只取正整数，所以只分布在 k空间的第一象限，因此，只有 1/8的球壳体积
所以,E~E+dE的状态数
平面波解,k空间，常数，每个状态的体积为
平面波条件时,n能取整数，所以能分布在整个 k
空间因此，整个球壳体积。 (问：一维时如何？ )
所以,E~E+dE的状态数
V/
3
π=Δk
dkk
2
4
8
1
π
dkk
V
dN
2
3
4
8
12
π
π
=
( ) V/2
3
π=ΔkkΔ/1
dkk
2
4π
()
dkk
V
dN
2
3
4
2
2
π
π
=
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11
状态密度，费米能级，平均能量
驻波、平面波解，对 E(k)关系求导
于是
费米能级
平均能量
dk
m
k
dE
2
2
2
h
= dE
E
m
dk
12
2
1
2/1
2
=
h
dEE
mV
dN
2/3
22
2
2
=
hπ
0
5
3
F
E
N
U
=
()
3/2
2
0
3
2
n
m
E
F
π
h
=
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12
出现在空间任一点的几率，平均动量
驻波解
几率为
平均动量 (y,z类同 )
平面波解
几率为
平均动量
zkykxk
V
zyx
sinsinsin
8
=ψ
zkykxk
V
zyx
222
2
sinsinsin
8
=ψ
()
rk
r
=
i
e
V
1
ψ
V
12
=ψ
0
cossin
2
0
=
=
>=<
∫
∫
L
xxx
x
xdx
L
n
x
L
n
i
n
L
dxdydz
xi
p
πππ
ψ
ψ
h
h
kr
r
p h
h
=
>=<
∫
d
i
ψ
ψ
3
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13
讨论驻波解
驻波解不是动量算符的本征解。因此，尽管电子是运动的，但其平均动量为零
电子在势垒反射下，来回往复运动，波函数迭加形成驻波，空间分布不是常数，有起伏行波解
平面波解又称行波解，是动量算符的本征解。电子有确定的动量和速度
平面波解在空间各点出现的几率一样，空间分布是常数
平面波解符合自由电子气体性质
周期性边条件是无限体系的数学处理，与晶体周期性无关
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14
第11讲、倒格子
1,为什么倒空间？
2,晶格的 Fourier变换
3,倒格子
4,二维倒格子
5,重要的例子
6,Brillioun区
7,正、倒格子对应关系换个空间看晶体结构
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15
1、为什么倒空间(reciprocal space)？
一个物理问题，既可以在正 (坐标 )空间描写，
也可以在倒 (动量 )空间描写
*坐标表象r，动量表象k
适当地选取一个表象，可使问题简化容易处理
*比如电子在均匀空间运动，虽然坐标一直变化，但
k守衡，这时在坐标表象当然不如在动量表象简单
正空间的格矢 (R
l
)描写周期性；在动量空间？
这两个空间完全是等价的
*只是一个变换
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16
正(坐标)空间倒(动量)空间
数学,(正 )格子
观察：显微镜?
观察,X射线衍射
数学：倒格子
r
r
r
r
r
r
r
k？
周期性
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17
2、晶格的Fourier变换
势能、电荷密度等满足迭加原理的物理量
()
∑
=
l
l
VV Rrr
atom
)(
可对其作 Fourier展开
F
Kh
称为 Fourier系数，两边乘共轭因子后积分
如果晶体具有平移周期性
nml
RRR +=
则是 R
l
的周期函数
)()( rRr FF
l
=+
( )
∑
=
l
l
fF Rrr)(
∑
=
h
i
h
h
eFF
rK
K
r)(
()
∫
∑
∫
= rrr
rKrKK
K
deF
V
de
V
F
hhh
h
i
h
i
)(
11
'
'
'
( )
∑
=
l
l
Rrr
atom
)( ρρ
rr
rK
K
deF
V
F
h
h
i
∫
= )(
1
rK
h
i
e
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18
因为 F(r)= F(r+R
l
)，就有
rr
rK
K
deF
V
F
h
h
i
∫
= )(
1
')'(
1
)'(
rr
RKrK
K
deF
V
F
lhh
h
i
∫
=
作变量替换,r’=r+R
l
，就有
即 0)1( =?
lh
h
i
eF
RK
K
lhh
ii
edeF
V
RKrK
rr
=
∫
')'(
1
' lh
h
i
eF
RK
K
=
rRr
rK
deF
V
h
i
l
∫
+= )(
1
0≠
h
F
K
1=
lh
i
e
RK
整数mm
lh
,2π=?RK
即如有平移周期性，那么就在 Fourier空间存在 K
h
矢量满足这个关系。要问 K
h
究竟是什么？
4
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19
看格点的Fourier变换？
数学上如何用一个函数来描写格点？
δ函数！ ( )
∑
=
l
l
R
Rrr δρ )(
对这个函数进行 Fourier变换
() ( )
∑∑
∫∫
=?==
l
l
l
ii
l
i
edede
R
Rk
R
rkrk
rRrrrk δρρ )(
格点满足平移周期性，则有 K
h
满足
m
lh
π2=?RK
那么乘上不变因子
()
∑∑
==
l
lh
l
l
ii
ee
R
RKk
R
Rk
k
ρ
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20
这告诉了我们什么信息,K
h
对应什么？
坐标空间里，δ (r-R
l
)函数表示在 R
l
的格点，当满足上述条件时，其 Fourier变换也是δ (k-K
h
)
函数，表示的是倒空间里的一个点！
后面会知道，这些点就是倒格点,K
h
即倒格矢
*或者说前面K
h
与R
l
的关系定义了倒格矢，满足上述条件矢量就是倒格矢 ? ?格矢
* K
h
的量纲为R
l
的倒数
利用 Poisson求和公式，即可得
( )
()
∑∑
==
hl
lh
h
i
e
KR
RKk
k
Kkδρ
即当矢量 K
h
与 R
l
乘积是 2π的整数倍时，在坐标空间 R
l
处的δ函数的 Fourier变换为在动量空间以 K
h
为中心的δ函数！
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21
3、倒格子(reciprocal lattice)
1=
lh
i
e
RK
为整数mm
lh
,2π=?RK
因此,Bravais格子也称为正格子( direct lattice)
等价关系：知道 K
h
，就知道 R
l；反过来也一样
它们满足 Fourier变换关系，因此，倒空间也称
Fourier空间
定义：对 Bravais格子中所有的格矢 R
l
，有一系列动量空间矢量 K
h
，满足的全部端点 K
h
的集合，构成该 Bravais格子的倒格子，这些点称为倒格点,K
h
称为倒格矢
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22
倒格子基矢
对正格子 332211
aaaR lll
l
++=
如果选择一组 b，使
332211
bbbK hhh
h
++=? 那么矢量 K就可由 b组成
ijji
πδ2=?ab
mlll
hhh
π2
332211
=?+?+? aKaKaK? 有
它满足上述关系，因此 K
h
具有平移特征
?可用基矢和整数表示的平移周期性
?K
h
定义倒空间的Bravais格子，b
i
就是倒格子基矢
K
h
为倒格矢 ——K
h
所有的端点即为倒格点
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23
倒空间中的Bravais格子
倒格矢
332211
bbbK hhh
h
++=
倒格子原胞体积，是正格子原胞体积的倒数
Ω
=×?=Ω
3
321
*
)2(
)(
π
bbb
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24
ijji
πδ2=?ab
表示什么含义？
是正交关系！即 b
1
与 a
2
和 a
3
正交！
看 a
2
和 a
3
确定的平面，即 a
2
× a
3
矢量垂直于该平面
3
a
2
a
32
aa ×
从正交关系，就有 b
1
与 a
2
× a
3
平行，可设
()
321
aab ×=η
用正交关系，就有
()πη 2
32111
=×?=? aaaba
()Ω
=
×?
=
ππ
η
22
321
aaa
()
321
2
aab ×
Ω
=
π
)(
321
aaa ×?=Ω
5
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25
有些教科书也将这个关系作为倒格子基矢定义，即由这三个矢量可以定义倒格矢，倒格矢给出的端点集合构成倒格子
互为倒正，即正格子也可看作倒格子的倒格子
就可以得到
)(
2
)(
2
)(
2
321
21
3
321
13
2
321
32
1
aaa
aa
b
aaa
aa
b
aaa
aa
b
×?
×
=
×?
×
=
×?
×
=
π
π
π
)(
2
)(
2
)(
2
321
21
3
321
13
2
321
32
1
bbb
bb
a
bbb
bb
a
bbb
bb
a
×?
×
=
×?
×
=
×?
×
=
π
π
π
4、二维倒格矢
)(
2
)(
2
21
1
2
21
2
1
aak
ak
b
aak
ka
b
×?
×
=
×?
×
=
π
π
ka
3
=
倒格子：二维
21
1
2
21
2
1
2
2
aa
ak
b
aa
ka
b
×
=
×
=
π
π
a
b
ja
ia
2
1
b
a
=
=
jb
ib
2
2
2
1
b
a
π
π
=
=
2π/a
2π/b
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28
5、重要的例子
简单立方结构,sc
面心立方结构,fcc
体心立方结构,bcc
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29
简单立方：Simple cubic (sc)
i
k
j
a
1
a
2
a
3
ka
ja
ia
3
2
1
a
a
a
=
=
=
kb
jb
ib
2
2
2
3
2
1
a
a
a
π
π
π
=
=
=
简立方格子的倒格子仍然是简立方格子
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30
体心立方
i
k
j
a
1
a
3
a
2
)
(
2
)
(
2
)
(
2
3
2
1
kjia
kjia
kjia
++=
+?+=
++?=
a
a
a
)
(
2
)
(
2
)
(
2
3
2
1
jib
kib
kjb
++=
++=
+=
a
a
a
π
π
π
体心立方格子的倒格子是面心立方格子
6
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31
面心立方
k
j
i
a
1
a
2
a
3
)
(
2
)
(
2
)
(
2
3
2
1
jia
ika
kja
+=
+=
+=
a
a
a
)
(
2
)
(
2
)
(
2
3
2
1
kjib
kjib
kjib
+=
+?=
++?=
a
a
a
π
π
π
面心立方格子的倒格子是体心立方格子
Real lattice Reciprocal lattice
fcc bcc
bcc fcc
思考：倒格子是否能保持正格子的宏观对称性？
sc sc
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33
6、Brillioun区——倒空间的原胞
倒空间中的 Wigner-Seitz原胞
为什么引入 Brillioun区？
*下一讲会知道，这样定义的Brillioun区，它的边界面满足Bragg反射条件
*第3章会知道，这样定义的Brillioun区，它的边界面有特别意义第一Brillioun区：1D
a
b
π2
=
第一Brillioun区：2D 1st Brillouin zone,2D
7
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37
7、正、倒格子对应关系
不同空间描写晶体的对称性
r空间 k空间
Bravais格子
W-S原胞倒格子
Brilliuon区
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38
K
h
=h
1
b
1
+h
2
b
2
+h
3
b
3
与晶面(h
1
h
2
h
3
)正交
面指数 (h
1
h
2
h
3
)，意即最靠近原点晶面的截距分别为 a
1
/h
1
,a
2
/h
2
,a
3
/h
3
O
C
A
B
K
h
3
3
1
1
hh
aa
OCOACA?=?=
3
3
2
2
hh
aa
OCOBCB?=?=
()0
3
3
1
1
332211
=
++=?
hh
hhh
h
aa
bbbCAK
()0
3
3
2
2
332211
=
++=?
hh
hhh
h
aa
bbbCBK
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39
倒格矢的长度与面间距
设晶面 (h
1
h
2
h
3
)的面间距为 d
则最靠近原点的晶面到原点的距离即 OA在面方向上的投影
O
C
A
B
K
h
h
h
h
d
K
Ka
=
1
1
()
3322111
3322111
bbb
bbba
hhhh
hhh
++
++?
=
h
K
π2
=
h
h
d
π2
=K
h
h
h
d
nK?
2π
=
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40
倒格子与Bravais格子的几何关系
倒格子与晶面的关系
自原点 O引晶面族法线 N，截取 P使 dOP /2π=
O
a
3
a
1
a
2
N
P
P点即倒格点，沿 N平移 OP，形成格子，即倒格子
*晶面 ? ?倒格点
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41
等价的周期性
如果 K
h
是倒格矢，那么物理量的 Fourier级数在晶体任何平移变换下具有所期待的不变性
∑
+?
=+
h
i
l
lh
h
eFF
)(
)(
RrK
K
Rr
)(r
rK
K
FeF
h
i
h
h
==
∑
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42
正、倒对应关系
互为正格子、倒格子
)(
2
)(
2
)(
2
321
21
3
321
13
2
321
32
1
aaa
aa
b
aaa
aa
b
aaa
aa
b
×?
×
=
×?
×
=
×?
×
=
π
π
π
)(
2
)(
2
)(
2
321
21
3
321
13
2
321
32
1
bbb
bb
a
bbb
bb
a
bbb
bb
a
×?
×
=
×?
×
=
×?
×
=
π
π
π
倒格矢与晶面 (h
1
,h
2
,h
3
)正交，不是 Miller指数！？
332211
bbbK hhh
h
++=
ijji
πδ2=?ab
Ω
=Ω
3
*
)2( π
8
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本讲要点
倒格子的意义
倒格子
*倒格子基矢
*倒格矢
* Brillioun区(倒空间原胞) ?
正格子和倒格子之间的关系
*互为正、倒
*与晶面正交
*几何关系：倒格点 ? ?晶面 ?
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概念要点
倒格子
Brillioun区
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思考问题
1,倒格子是否保持其正格子的宏观对称性？
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习题
1,2.2
2,试确定二维蜂窝结构的倒格子基矢，并作它的第一布里渊区
