1
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1
第20讲、金属费米面和能量态密度
1.费米面和布里渊区
2.自由电子费米面
3.布里渊边界处费米面畸变
4.从自由电子过渡到近自由电子费米面
5.近自由电子费米面
6.能量态密度
7.空格点模型态密度
8,van Hove奇点
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2
1、费米面和布里渊区
T=0时电子的最高的填充能级，为费米能级E
F
*费米能级(T=0)是电子最高占据能级，特别重要
随波矢k连续的变化的E(k)= E
F
在k空间构成一个等能面(曲面)，这样的曲面称为费米面
*费米面是基态时电子占据态与非占据态的分界面
*电子输运性质是由费米面附近的电子态决定的，因此，了解费米面的结构非常重要
从能带结构可以看出，由于周期性势场的作用，一般的费米面形状可能很复杂，
*自由电子气的费米面为球面
*金属电子，接近自由电子，费米面是一畸变球面
*半导体、绝缘体不用费米面，而用价带顶概念
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3
1
2
3
4
4
二维正方格子的布里渊区布里渊区
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4
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5
2、自由电子费米面
根据价电子数N决定费米圆的半径
导电电子面密度N/A
费米球半径，四价金属一维二维三维
2
2
3
21
31
2
=
=
=
L
N
k
A
N
k
V
N
k
F
F
F
π
π
π
/
/
aA
k
F
π
π
π
224
2
21
=?
=
/
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6
四价金属
以费米波矢k
F
为半径作圆，
与第二、三、
四布里渊区相交
第一能带，全部占满
第二、三、四能带部分
2
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7
围绕着邻近的倒格点作半径为k
F
的圆，可以看出每个B
区的碎片形状
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8
前面是费米面的广延图，第一布里渊区已被占满，第二、三、四布里渊区被部分占满
通常在简约布里渊区作费米面
移动各个分片，即第二、三、四布里渊的分片到第一布里渊区，按不同能带作费米面
1 2 3 4
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9
3、布里渊边界处费米面畸变？
边界处由于畸变引起的能量与k
的关系变化
*对第一能带，同样的能量，近自由电子的k比自由电子的大
*对第二能带正好相反
*靠近边界时，等能面向外凸
*离开边界是，等能面向内缩
k
E(k)
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10
因此，等能面在布里渊区边界是不连续的，不能连续穿越布里渊区边界
而且，等能面与布里渊区边界垂直相交，看布里渊区边界面(k=K/2,k=-K/2)处的斜率
所以费米面与布里渊区边界垂直相交
( ) ( )kk?= EE
( ) ( )Kkk += EE
0
2
=?
± /K
k
)k(E
kk
k
E
k
E
=
2/2/ KK?
=
k
E
k
E
Kkk +
=
k
E
k
E
2/2/ KK?
=
k
E
k
E
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11
等能面过布里渊区边界
P和Q是倒格点，
* K是倒格矢
*垂直于K的直线即B区边界
等能面S(实线)与边界相交
* S’是其等价等能面，周期性
*现不连续过界
S不能连续地通过边界
*修正，圆弧
*圆弧与边界垂直相交
等能面在B区边界发生突变
K
h
PQ
S S’
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12
Bragg反射面上的费米球
3
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13
二维正方格子一、二、三和四价金属的费米面
先作自由电子费米面，靠近边界处有畸变
上图自由电子；下图近自由电子
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14
费米面的畸变
过渡到近自由电子近似，费米面在靠近布里渊区边界发生畸变：
1.等能面在远离布里渊区边界处，与自由电子相近，
也是圆
2.等能面靠近布里渊区边界时，电子能量随波数k的增加比自由电子慢，因此，等能线偏离圆而向外凸出
3.等能面离开布里渊区边界时，电子能量随波数k的增加比自由电子快，因此，等能线偏离圆而向内收缩
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15
4、从自由电子过渡到近自由电子费米面
自由电子，费米球
靠近边界处，费米面有畸变
费米面与布里渊区边界垂直相交
费米面上的尖角钝化
费米面所包围的总体积仅仅依赖于电子浓度，
而不依赖于点阵相互作用细节
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16
步骤（Harrison方法）
倒格子——画布里渊区
自由电子：画半径与电子浓度有关的球
将处在第二、三、…布里渊区的费米面碎片分别移到第一布里渊区
变形费米面，使满足
1.与布里渊区边界垂直相交
2.尖角钝化
3.费米面包围的总体积不变
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17
等能面：二维正方格子等能面
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18
4
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19
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20
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21
5、近自由电子费米面
简约图：将高布里渊区的费米面移到简约布里渊区表示
扩展图
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22
自由电子(fcc空晶格模型)费米面
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23
自由电子(bcc空晶格模型)费米面
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24
自由电子(hcp空晶格模型)费米面
5
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25
金属费米面
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26
6、能量态密度
孤立原子中，能级分裂，每个能级能填两个不同状态的电子；
而晶体中，能级准连续分布形成能带（能级间隔10
-21
eV）。电子能级非常密集，标明每个能级没有意义
但能级密集的程度直接反映有多少电子可以存在于这一能量区域！比如说，高温超导材料的一个特征就是费米面附近的能级密度非常高
如何表示这种情况下到底密集到什么程度呢？
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27
能量态密度就是表示这种密集程度的量
能态密度的定义：
能量在E~E+dE的状态数
如果dZ表示状态数目，则态密度为
dE
dZ
ED =)(
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28
能带与态密度的关系
自由电子气模型中，已知在k空间(也称状态空间)，
状态分布是均匀的，密度为V/(2π)
3
。
*对晶体电子也如此
因此，在k空间，如图两个
E和E+dE等能面之间的状态数为
()
∫
⊥
=Δ kSdd
V
Z
3
2
2
π
考虑自旋
k
x
k
y
k
z
dSdk
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29
仿照电子气⊥
=Δ kk
k
dEE )(
于是
()
∫ ⊥
=Δ kSdd
V
Z
3
2
2
π
所以()
() ()
∫
=
Δ
Δ
=
k
S
k
E
dV
E
Z
ED
3
2
2
π
如将积分区间限制在第一布里渊区，则E(k)是一多值函数，不止一条能带，则
()
() ()
∑
∫
=
j
j
E
dV
ED
k
S
k
3
2
2
π
() ()
E
E
dV
Δ
=
∫
k
S
k
3
2
2
π
)(k
k
k
E
E
d
Δ
=
⊥
思考：二维、一维的能量状态密度？
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30
7、空格点模型态密度
能带
()
m
k
E
2
22
h
=k
在k空间等能面是球面，半径为
h
mE
k
2
=
在球面上
()
m
k
dk
dE
E
2
h
==? k
k
6
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31
球面面积为
2
4 kdS π=
∫
所以
()
() () ()
ECk
k
mV
E
dV
ED ==
=
∫
2
233
4
2
2
2
2
π
ππ hk
S
k
对近自由电子，在远离B区边界，类似自由电子，可以看作自由电子态密度的迭加
*靠近B区边界时，不连续，从原点开始，靠近边界，向外凸出；过边界，向内凹缩，等能面不是闭合的
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32
E
D(E)
E
D(E)
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33
8、van Hove奇点
能态密度表达式里的被积函数发散，但可积
*这样能量态密度的一阶导数是不连续的
*这种发散点称为van Hove奇点
由于E(k)是k的周期函数，一定会出现：极大值、极小值、鞍点
*一般出现在k空间的高对称点
如果
() 0=? k
k
E
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34
例：简立方s带的van Hove奇点
对处于顶角位置的原子，有六个最近邻，即：
{}
{}),,(),,,(
),,(),,,(
),,(),,,(R
100100
010010
001001
=
=
=
a
a
a
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35
()akakak
ee
eeeee
zyx
aikaik
aikaikaikaik
i
zz
yyxx
coscoscos2
++=
++
+++=
∑
最近邻
R
Rk
() ( )akakakJCEE
zyx
coscoscos2 ++++=
原子
k
() ( )kjik
k
sin
sin
sin2 akakakaJE
zyx
++?=?
() akakakJaE
zyx
222
sinsinsin2 ++=? k
k
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36
出现奇点的能量位置
JCEE 2±+=
原子
JCEE 6±+=
原子
CEE
原子
J2J2?J6? J6
)(ED
7
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37
例：二价金属能带重叠问题
对于二维简单正方格子，证明第一布里渊区角上π/a(1,1)的自由电子动能是区边中心点
π/a(1,0)的二倍
对三维简单立方呢？
讨论费米面（线）穿越布里渊区边界情况
讨论二价金属能带重叠和导电情况
k
x
k
y
(11)
(10)
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38
解
在π/a(1,1)点
()
2
222
11
2
22
==
amm
k
E
πhh
在π/a(1,0)点
()
2
222
10
22
==
amm
k
E
πhh
() ()
2
2
/
2
2
/
2
2
2
2
1011
=?
=
amam
EE
ππ hh
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39
对简单立方呢？
对简单立方格子，点π/a(1,1,1)处的能量
()
2
222
111
3
22
==
amm
k
E
πhh
而点π/a(1,0,0)处的能量
()
2
222
100
22
==
amm
k
E
πhh
() ()
3
2
/
3
2
/
2
2
2
2
100111
=?
=
amam
EE
ππ hh
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40
二价金属费米面
首先看二价金属的费米面（线）可以填充到第几能带？
自由电子费米面（线）如果在第一布里渊区，
第一能带；第二布里渊区，第二能带
看费米半径
aa
k
Z
π
π
π
π
2/12/1
2
F
4
2
2
=?
=
=
所以第一B区没有全填满，部分填到第二B区。
对自由电子，费米能级跨越第一、第二能带
a
k
a
ππ
2
F
<<
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41
等能面在B区边界处突变
除了边界处，自由电子的抛物线
对第一能带，同样的能量，近自由电子的k比自由电子的大，对第二能带正好相反
等能面（线）不能连续穿越B区边界，有跃变
从第一B区靠近边界时，
k（圆）大，离开边界进入第二B区时，k（圆）
小
k
E(k)
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42
如果与自由电子相差不大的情况，这就表示在B区边界能级分裂很小
*因此可用自由电子能带判断[10] 上的第二能带底的能量比第一能带顶的能量要低，即
]11[ ]10[
F
E
)k(E
() ()
2/
1011
=EE
能带有交叠
*这种情况是性能差的导体
8
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43
能隙很大的情况：如果[10]方向上的第二能带底的能量比第一能带顶的能量要高，
这时能带没有交叠
电子全都填满第一能带——？
*二价金属
这种情况就是绝缘体
][111 ][100
F
E
)k(E
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44
本讲要点
布里渊区，费米波矢与费米面，最高填充能带
自由电子费米面及其在布里渊区边界处的畸变
*边界处畸变引起的能量与k的关系的变化
费米面构造法
能带与能量态密度的关系
()
() ()
∑
∫
=
j
j
E
dV
ED
k
S
k
3
2
2
π
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45
概念要点
费米面
费米面在布里渊区边界处的畸变
晶体电子的态密度
van Hove奇点
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46
思考问题
二维、一维的能量状态密度？
费米面畸变的物理原因是什么？
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47
习题
3.7
3.8
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1
第20讲、金属费米面和能量态密度
1.费米面和布里渊区
2.自由电子费米面
3.布里渊边界处费米面畸变
4.从自由电子过渡到近自由电子费米面
5.近自由电子费米面
6.能量态密度
7.空格点模型态密度
8,van Hove奇点
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2
1、费米面和布里渊区
T=0时电子的最高的填充能级，为费米能级E
F
*费米能级(T=0)是电子最高占据能级，特别重要
随波矢k连续的变化的E(k)= E
F
在k空间构成一个等能面(曲面)，这样的曲面称为费米面
*费米面是基态时电子占据态与非占据态的分界面
*电子输运性质是由费米面附近的电子态决定的，因此，了解费米面的结构非常重要
从能带结构可以看出，由于周期性势场的作用，一般的费米面形状可能很复杂，
*自由电子气的费米面为球面
*金属电子，接近自由电子，费米面是一畸变球面
*半导体、绝缘体不用费米面，而用价带顶概念
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3
1
2
3
4
4
二维正方格子的布里渊区布里渊区
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4
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5
2、自由电子费米面
根据价电子数N决定费米圆的半径
导电电子面密度N/A
费米球半径，四价金属一维二维三维
2
2
3
21
31
2
=
=
=
L
N
k
A
N
k
V
N
k
F
F
F
π
π
π
/
/
aA
k
F
π
π
π
224
2
21
=?
=
/
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6
四价金属
以费米波矢k
F
为半径作圆，
与第二、三、
四布里渊区相交
第一能带，全部占满
第二、三、四能带部分
2
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7
围绕着邻近的倒格点作半径为k
F
的圆，可以看出每个B
区的碎片形状
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8
前面是费米面的广延图，第一布里渊区已被占满，第二、三、四布里渊区被部分占满
通常在简约布里渊区作费米面
移动各个分片，即第二、三、四布里渊的分片到第一布里渊区，按不同能带作费米面
1 2 3 4
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9
3、布里渊边界处费米面畸变？
边界处由于畸变引起的能量与k
的关系变化
*对第一能带，同样的能量，近自由电子的k比自由电子的大
*对第二能带正好相反
*靠近边界时，等能面向外凸
*离开边界是，等能面向内缩
k
E(k)
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10
因此，等能面在布里渊区边界是不连续的，不能连续穿越布里渊区边界
而且，等能面与布里渊区边界垂直相交，看布里渊区边界面(k=K/2,k=-K/2)处的斜率
所以费米面与布里渊区边界垂直相交
( ) ( )kk?= EE
( ) ( )Kkk += EE
0
2
=?
± /K
k
)k(E
kk
k
E
k
E
=
2/2/ KK?
=
k
E
k
E
Kkk +
=
k
E
k
E
2/2/ KK?
=
k
E
k
E
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11
等能面过布里渊区边界
P和Q是倒格点，
* K是倒格矢
*垂直于K的直线即B区边界
等能面S(实线)与边界相交
* S’是其等价等能面，周期性
*现不连续过界
S不能连续地通过边界
*修正，圆弧
*圆弧与边界垂直相交
等能面在B区边界发生突变
K
h
PQ
S S’
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12
Bragg反射面上的费米球
3
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13
二维正方格子一、二、三和四价金属的费米面
先作自由电子费米面，靠近边界处有畸变
上图自由电子；下图近自由电子
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14
费米面的畸变
过渡到近自由电子近似，费米面在靠近布里渊区边界发生畸变：
1.等能面在远离布里渊区边界处，与自由电子相近，
也是圆
2.等能面靠近布里渊区边界时，电子能量随波数k的增加比自由电子慢，因此，等能线偏离圆而向外凸出
3.等能面离开布里渊区边界时，电子能量随波数k的增加比自由电子快，因此，等能线偏离圆而向内收缩
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15
4、从自由电子过渡到近自由电子费米面
自由电子，费米球
靠近边界处，费米面有畸变
费米面与布里渊区边界垂直相交
费米面上的尖角钝化
费米面所包围的总体积仅仅依赖于电子浓度，
而不依赖于点阵相互作用细节
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16
步骤（Harrison方法）
倒格子——画布里渊区
自由电子：画半径与电子浓度有关的球
将处在第二、三、…布里渊区的费米面碎片分别移到第一布里渊区
变形费米面，使满足
1.与布里渊区边界垂直相交
2.尖角钝化
3.费米面包围的总体积不变
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17
等能面：二维正方格子等能面
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18
4
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19
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20
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21
5、近自由电子费米面
简约图：将高布里渊区的费米面移到简约布里渊区表示
扩展图
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22
自由电子(fcc空晶格模型)费米面
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23
自由电子(bcc空晶格模型)费米面
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24
自由电子(hcp空晶格模型)费米面
5
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25
金属费米面
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6、能量态密度
孤立原子中，能级分裂，每个能级能填两个不同状态的电子；
而晶体中，能级准连续分布形成能带（能级间隔10
-21
eV）。电子能级非常密集，标明每个能级没有意义
但能级密集的程度直接反映有多少电子可以存在于这一能量区域！比如说，高温超导材料的一个特征就是费米面附近的能级密度非常高
如何表示这种情况下到底密集到什么程度呢？
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能量态密度就是表示这种密集程度的量
能态密度的定义：
能量在E~E+dE的状态数
如果dZ表示状态数目，则态密度为
dE
dZ
ED =)(
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能带与态密度的关系
自由电子气模型中，已知在k空间(也称状态空间)，
状态分布是均匀的，密度为V/(2π)
3
。
*对晶体电子也如此
因此，在k空间，如图两个
E和E+dE等能面之间的状态数为
()
∫
⊥
=Δ kSdd
V
Z
3
2
2
π
考虑自旋
k
x
k
y
k
z
dSdk
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仿照电子气⊥
=Δ kk
k
dEE )(
于是
()
∫ ⊥
=Δ kSdd
V
Z
3
2
2
π
所以()
() ()
∫
=
Δ
Δ
=
k
S
k
E
dV
E
Z
ED
3
2
2
π
如将积分区间限制在第一布里渊区，则E(k)是一多值函数，不止一条能带，则
()
() ()
∑
∫
=
j
j
E
dV
ED
k
S
k
3
2
2
π
() ()
E
E
dV
Δ
=
∫
k
S
k
3
2
2
π
)(k
k
k
E
E
d
Δ
=
⊥
思考：二维、一维的能量状态密度？
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7、空格点模型态密度
能带
()
m
k
E
2
22
h
=k
在k空间等能面是球面，半径为
h
mE
k
2
=
在球面上
()
m
k
dk
dE
E
2
h
==? k
k
6
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球面面积为
2
4 kdS π=
∫
所以
()
() () ()
ECk
k
mV
E
dV
ED ==
=
∫
2
233
4
2
2
2
2
π
ππ hk
S
k
对近自由电子，在远离B区边界，类似自由电子，可以看作自由电子态密度的迭加
*靠近B区边界时，不连续，从原点开始，靠近边界，向外凸出；过边界，向内凹缩，等能面不是闭合的
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E
D(E)
E
D(E)
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8、van Hove奇点
能态密度表达式里的被积函数发散，但可积
*这样能量态密度的一阶导数是不连续的
*这种发散点称为van Hove奇点
由于E(k)是k的周期函数，一定会出现：极大值、极小值、鞍点
*一般出现在k空间的高对称点
如果
() 0=? k
k
E
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例：简立方s带的van Hove奇点
对处于顶角位置的原子，有六个最近邻，即：
{}
{}),,(),,,(
),,(),,,(
),,(),,,(R
100100
010010
001001
=
=
=
a
a
a
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()akakak
ee
eeeee
zyx
aikaik
aikaikaikaik
i
zz
yyxx
coscoscos2
++=
++
+++=
∑
最近邻
R
Rk
() ( )akakakJCEE
zyx
coscoscos2 ++++=
原子
k
() ( )kjik
k
sin
sin
sin2 akakakaJE
zyx
++?=?
() akakakJaE
zyx
222
sinsinsin2 ++=? k
k
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出现奇点的能量位置
JCEE 2±+=
原子
JCEE 6±+=
原子
CEE
原子
J2J2?J6? J6
)(ED
7
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例：二价金属能带重叠问题
对于二维简单正方格子，证明第一布里渊区角上π/a(1,1)的自由电子动能是区边中心点
π/a(1,0)的二倍
对三维简单立方呢？
讨论费米面（线）穿越布里渊区边界情况
讨论二价金属能带重叠和导电情况
k
x
k
y
(11)
(10)
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解
在π/a(1,1)点
()
2
222
11
2
22
==
amm
k
E
πhh
在π/a(1,0)点
()
2
222
10
22
==
amm
k
E
πhh
() ()
2
2
/
2
2
/
2
2
2
2
1011
=?
=
amam
EE
ππ hh
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对简单立方呢？
对简单立方格子，点π/a(1,1,1)处的能量
()
2
222
111
3
22
==
amm
k
E
πhh
而点π/a(1,0,0)处的能量
()
2
222
100
22
==
amm
k
E
πhh
() ()
3
2
/
3
2
/
2
2
2
2
100111
=?
=
amam
EE
ππ hh
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二价金属费米面
首先看二价金属的费米面（线）可以填充到第几能带？
自由电子费米面（线）如果在第一布里渊区，
第一能带；第二布里渊区，第二能带
看费米半径
aa
k
Z
π
π
π
π
2/12/1
2
F
4
2
2
=?
=
=
所以第一B区没有全填满，部分填到第二B区。
对自由电子，费米能级跨越第一、第二能带
a
k
a
ππ
2
F
<<
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等能面在B区边界处突变
除了边界处，自由电子的抛物线
对第一能带，同样的能量，近自由电子的k比自由电子的大，对第二能带正好相反
等能面（线）不能连续穿越B区边界，有跃变
从第一B区靠近边界时，
k（圆）大，离开边界进入第二B区时，k（圆）
小
k
E(k)
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如果与自由电子相差不大的情况，这就表示在B区边界能级分裂很小
*因此可用自由电子能带判断[10] 上的第二能带底的能量比第一能带顶的能量要低，即
]11[ ]10[
F
E
)k(E
() ()
2/
1011
=EE
能带有交叠
*这种情况是性能差的导体
8
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能隙很大的情况：如果[10]方向上的第二能带底的能量比第一能带顶的能量要高，
这时能带没有交叠
电子全都填满第一能带——？
*二价金属
这种情况就是绝缘体
][111 ][100
F
E
)k(E
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本讲要点
布里渊区，费米波矢与费米面，最高填充能带
自由电子费米面及其在布里渊区边界处的畸变
*边界处畸变引起的能量与k的关系的变化
费米面构造法
能带与能量态密度的关系
()
() ()
∑
∫
=
j
j
E
dV
ED
k
S
k
3
2
2
π
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概念要点
费米面
费米面在布里渊区边界处的畸变
晶体电子的态密度
van Hove奇点
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思考问题
二维、一维的能量状态密度？
费米面畸变的物理原因是什么？
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习题
3.7
3.8
