1
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1
课堂练习
A原子构成体心立方结构，立方体边长为a，如右上图；在A原子构成的体心立方结构的面心上再加上B原子，如右下图。试：
*给出它的物理学原胞的基矢、原胞内原子位矢、倒格子基矢；
*对右下图所示的结构，设A和B原子的原子散射因子分别是f
A
和f
B
，试确定几何结构因子。
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2
解答
首先判断晶胞内有两个A原子，三个B原子。根据晶胞含整数个原胞，没有更小的公约原子数，所以原胞就是晶胞
()
() () ()
kcjbia
kiτkjτjiτ
kjiττ
kcjbia
2
,
2
,
2
,
2
,
2
,
2
2
,0
,
,
,
543
21
aaa
aaa
B
a
A
aaa
πππ
===
+=+=+=
++==
===
原子：
原子：
( )
( )
( )
() () ( )
( )
khilkikhi
B
lkhi
Ahkl
eeefefKS
+?+?+?++?
++++=
ππππ
1
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3
举例
A原子构成正方形结构，边长为a；在A原子构成的正方形结构的边的中心，再加上B原子，如右图。
a)给出物理学原胞基矢、原胞内原子位矢、倒格子基矢
b)设A和B原子的散射因子分别是f
A
和f
B
，求其几何结构因子
c)假定A和B原子的散射因子满足f
A
=f
B
，即A和B原子是同种原子，讨论消光条件。
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4
解答
A原子组成正方格子，晶胞内有一个A原子，两个B原子，
不可能再分，晶胞就是原胞
jτiττ
jbia
jbia
2;
2;0
2
,
2
,
321
aa
aa
aa
===
==
==
ππ
( ) ()
()()0?1 =++=
++==
∑
lihi
hl
lihi
BA
i
i
ihl
eefS
eeffefS
ihl
ππ
ππ
K
K
τK
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5
举例
对于闪锌矿结构。试
*确定它的物理学原胞基矢、原胞内原子位矢、倒格子基矢；
*不同原子的散射因子分别用合适的符号表示，求闪锌矿结构的几何结构因子；
*假定不同原子的散射因子相等，讨论所满足的消光条件。
有两种原子A和B。在结构上，A和B分别构成两个面心立方结构。
属于面心立方格子。
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6
解答
a)原胞为面心立方结构，有两种原子A和B。原点如定在A原子上，原胞基矢、原胞内原子位矢和倒格子基矢可以是
( ) ( ) ()
()
()() ()kjibkjibkjib
kjiτ
τ
ikakjajia
2
,
2
,
2
4
0
2
,
2
,
2
111
2
1
321
+=+?=++?=
++=
=
+=+=+=
aaa
a
B
A
aaa
πππ
倒格子基矢原子原子
。原胞基矢
2
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7
b)这时是指晶胞。共有8个原子在晶胞内，A和
B各4个。晶胞基矢和倒格子基矢很简单，都是立方的。用晶胞基矢先写出晶胞内原子位矢，它们分别是
* A：（0,0,0），（0,0.5,0.5），（0.5,0,0.5），
（0.5,0.5,0）
* B：（0.25,0.25,0.25），（0.25,0.75,0.75），
（0.75,0.75,0.25），（0.75,0.25,0.75）。
*倒格矢和结构因子分别是
++= cbaK lkh
()
( ) ( ) ( )
{ }
() () () ()
+++
++++=
++?++?++?++?
+?+?+?
lkhilkhilkhilkhi
B
khilhilki
A
eeeef
eeefS
33
2
33
2
33
22
1
ππππ
πππ
K
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c)消光条件
* f
A
=f
B
=f时，有
*当h+k+l=4n+2时；
*当h，k和l部分为偶数，部分为奇数时
()
() () ()
[]
()
++++=
++?
+?+?+?
lkhi
khilhilki
eeeefS
2
11
π
πππ
K
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9
第15讲、Bloch定理和能带概念
1,Bloch定理所要解决的问题
*确定在周期性势场下单电子的运动性质
*由Bloch定理规定了它的波函数所必须具有的形式
2.平移算符的本征值
*非简并情况
*简并情况
3,Bloch定理的推论
*推论一
*推论二
4,Bloch定理带来的新概念——能带能带理论的基础
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10
1、Bloch定理所要解决的问题
Bloch定理——固体物理学的基础
* 1928年由年仅23岁的F,Bloch证明
Bloch思考的问题
*由自由电子气体知道，充满离子实的金属内部对电子运动来说，竟然好象是空的！难以想象！
*离子既然能够束缚住芯电子不得动弹，但为何惟独对价电子视而不见呢？谁动了我的离子实？
Sommerfeld也思考过类似的问题
*曾经因引入费米分布概念而成功解释了电子气的比热问题，还局限在这一思路上
#真是成也费米分布，败也费米分布
Bloch摘到了果子——周期性势场中电子运动
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周期性势场
Bloch定理的适用范围（三个近似）
1、绝热近似；2、单电子近似；3、周期性势场近似
*周期性为Bloch定理所必需，其他已在Schroedinger方程中，但如前两个中的任何一个不成立，周期性势场也不会成立
() ( )
∑
=
J
JNel
vV
0
Rrr
( )rRr VV
J
JNel
==
∑?
)(
0
晶体周期性结构
0
"
0
'
0
JJJ
RRR +=
)()( rRr VV =+
( ) ( )
∑
+?=+
J
JJNelJ
vV
00
'
0
'
RRrRr
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周期势场下单电子波函数性质的猜想
设问：既然周期性势场，我们自然要推测：
*周期性势场中的薛定谔方程的解是否也有同样的平移周期性？
这看上去是很自然的，因为既然
V(r+R)=V(r)，似乎应该有
)()()]([
2
rrr
r nnn
EV ψψ =+
)()()]([
2
RrRrRr
r
+=+++
nnn
EV ψψ
( )()rRr
nn
ψψ ==+?
两个哈密顿相等，它们的解是否也应该相等？
3
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错！
设问：量子力学怎么表述的？
除了一个相因子外，两者相同！
因此并非一无是处！差那么一点！换个对象看相因子
设问：对自由电子，是不是满足周期性势场？
*即，V(r+R)=V(r)是否成立？
当然成立，V=0！对任何平移变换都不变！
那么它的解即平面波经平移变换应为
( )
()
( )rRr
RkrkRkRrk
ψψ
+?
===+
iiii
eeee
很有意思！仅仅相差一个e
ik*Rl
的相因子！
就按这个思路，看F,Bloch如何演绎Bloch定理，Bloch定理只能得出这个结论
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Bloch定理
单电子受这样的周期性势场约束
*单电子同时意味着：它所受的离子势场和其他电子的平均势场同时具有同样的周期性
*单电子波函数的形式受到一定的限制 ?运动性质
Bloch定理
*周期性势场中运动的单电子，当平移一个格矢R
l
时，其同一能量本征值的波函数只增加一个相因子
e
ik.R
，即在每个格点上的波函数除了一个与格矢有关的相因子外都相同
),(),( rkRrk
Rk
n
i
ln
l
e ψψ
=+
Bloch定理就是：当对单电子波函数进行一个R
的平移变换，除了相因子e
ik.R
，其他不变
因此下面具体考察这个平移操作——平移算符
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15
}){,(}){,()
(
00
JJel-Nel
E RrRrHH Ψ=Ψ+
)()()]([
2
rrr
nnn
EV ψψ =+
12,1,1
2
=== me h
)()( rRr VV =+
Rrr
R
+?:
T
)(
)
(
nnn
ETT ψψ
RR
H =
)
()
(
nnn
TET ψψ
RR
H =
nnn
TE ψψ ),
(:
R
平移算符
H与T对易，有共同本征解
2、平移算符的本征值
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16
评论：
* 该方程是平移算符的本征值方程
* 本征值与格矢有关
nn
ll
T ψλψ
RR
=
既然如此，除了一个相因子外，两者应该相同
1
2
=
l
R
λ
非简并情况
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格矢满足pml
RRR +=
平移算符也满足
pml
TTT
RRR
=
)(
pm
l
i
i
ee
αα
α +
=
l
l
i
e
α
λ?
R
pml
RRR
λλλ =
作用在波函数上，就有
它们表示的是相因子，因此，可以写成
这样就有
pml
ααα +=?即
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18
注意：这里α必须是实数，所以k是实数！
*否则，模不等于1
注意：矢量k现在还只是一常矢量因子，还未与波矢相联系
*后面会看到，它就是波矢，一个描写状态的物理量
于是
ll
Rk?=α
l
l
i
e
Rk
R
=λ
ll
Rk?=α
这说明，只有当相位因子α与格矢R满足线性关系时，平移算符的本征值才满足这样的关系
因此，可将α
l
改写成对所有α相同的常矢量k
和R
l
的乘积(如果一维，很容易理解，三维 ?矢量)
( )
pm
RRk +?=
pm
αα +=
4
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19
简并情况
如果是f
n
度简并的，即有f
n
个相互正交的本征函数属于同一本征值，可以写成它们的线性组合
∑
=
=
n
l
l
f
nnn
T
1'
''
υ
υυυυ
ψλψ
R
R
平移算符可通过上式用一个λ的矩阵表示
=
nf
l
n
f
n
f
l
n
f
l
n
f
l
nf
ll
l
n
f
ll
nf
l
n
n
n
nnn
nnn
nnn
n
n
n
T
ψ
ψ
ψ
λλλ
λλλ
λλλ
ψ
ψ
ψ
...
,...,,
...
,...,,
,...,,
...
2
1
21
22221
11211
2
1
RRR
RRR
RRR
R
nnn
l
l
T ψλψ
~
~
~
R
R
=
用~符号放在字母上表示矩阵
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20
()
'
~~
υυ
δλ
υ
lll
nnn
RRR
Λ?Λ=
Λ
Λ
Λ
=
l
nf
l
l
l
nfnf
l
nf
l
nf
l
nf
ll
l
nf
ll
n
n
n
nnn
nnn
nnn
R
R
R
RRR
RRR
RRR
,...,0,0
...
0,...,,0
0,...,0,
,...,,
...
,...,,
,...,,
2
1
21
22221
11211
λλλ
λλλ
λλλ
λ矩阵也构成一个群，可由f
n
个相互正交的本征函数的线性组合产生新的基函数。在新的基中，λ矩阵为对角形式
即在新的基函数下，平移算符对本征函数作用后，有
∑
=
Λ==
n
ll
l
f
nnnnn
T
1'
''
υ
υ
υυυυυυ
ψλ?
RR
R
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21
ll
i
n
e
RkR?
=Λ
υ
就是新的基函数，而Λ是平移算符T在新的基函数下的本征值，它们的关系就与非简并的情况相同，Λ也应该只是个相因子，因此，可以写成
n
综合非简并和简并情况，我们都有
)()(
rr
Rk
R n
i
n
l
l
eT ψψ
=
就是平移算符的本征值是一个与k和格矢有关的相因子
这种矩阵满足与平移算符相同的乘法规则
pml
pml
nnn
TTT
RRR
RRR
λλλ
~~~
=?=
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22
4、Bloch定理的表述
我们知道，对每一个ψ，总是存在一个常数矢量k，使ψ是平移算符T
R
的本征值为e
ik.R
的本征函数
即平移算符的本征值也依赖于k，因此，k也是一个描写状态的量子数——后面再与波矢相联系
)()(
rr
Rk
R n
i
n
l
l
eT ψψ
=
由平移算符的本征值方程
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23
Bloch定理的数学形式
这样的ψ
n
(k,r)称为Bloch函数，其描写的电子称为Bloch电子
Bloch定理：周期性势场中运动的电子，其波函数平移格矢R
l
时，波函数增加一个e
ik.Rl
的相因子，即
),(),(
lnn
l
T Rrkrk
R
+=ψψ
),( rk
Rk
n
i
l
e ψ
=
),(),( rkRrk
Rk
n
i
ln
l
e ψψ
=+
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24
推论一
如果将波函数写成调幅平面波的形式，即
),(),( rkrk
rk
n
i
n
ue
=ψ
因为
所以其调幅波函数也具有同样的周期性（这是用得最多的一个推论，也有作为定理表述）
),(),( Rrkrk +=
nn
uu
),(),(
)(
RrkRrk
Rrk
+=+
+?
n
i
n
ueψ
),(
)(
rk
Rrk
n
i
ue
+?
=
),(),( rkRrk
Rk
n
i
n
e ψψ
=+
根据Bloch定理，有
5
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25
常数因子k的物理意义
问：调幅函数设置为1是什么含义？
自由电子！
解就是平面波！
* k就是波矢！
* k就是描写不同状态的量子数
常数因子k的物理意义就与波矢联系起来
rk
rk
→
i
n
e),(ψ
如果将调幅函数置为1，即u
n
(k,r)=1，则
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26
为什么？T的本征值只与平移对称有关，与H
无关，任何方程只要具有平移对称，其解就具有这种形式
Bloch波是调幅的平面波e
ik.r
，调幅函数u
n
(k,r)
具有与晶体相同的周期性
),(),( rkrk
rk
n
i
n
ue
=ψ
),(),( Rrkrk +=
nn
uu
1,Bloch波是周期性调幅的平面波！周期性结构中的波，都具有Bloch波的形式讨论：
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27
2,Bloch波告诉我们什么？
如果求其模(即在空间出现的几率)会得到什么？
电子空间分布是一个周期性起伏的函数！
位相因子e
ik*r
使Bloch波与平面波类似，在整个空间出现
*并不局限于某个区域，而是扩展至整个空间！
*对所有原子是一样的，并没有限制在哪个原子上
* Bloch电子是整个空间共有的！
因此可以只限定在某个原胞内解薛定鄂方程
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28
3.设问：离子实的作用呢？
*与自由电子气体模型不同，现在这里的离子实并非作为均匀抹平的正电背景出现，而是V，已经考虑了电子受库仑势的散射，只不过V有周期性
*周期性调幅因子u看来与离子实有关，但它除了使电子分布有起伏外，并没有阻碍电子到处出现
*电子为什么可以到无穷远，即自由程无限大，好象离子实对它没有阻碍似的？
原子的周期性排列！电子在整个晶体中不再属于个别原子，属于全体原子共有！
*周期排列离子实对电子散射是相干散射，因此这样的散射不是产生电阻的机制
这一推论令人相当震惊！质疑？
得出这一推论时，将波函数写成调幅平面波
*质疑：能不能这样做？如果任何解都可以写成调幅平面波，那不是所有的解都可以在全空间不会衰减？
并不是所有解都能改写成调幅平面波的
Bloch电子无电阻机制的关键是：如果电子处于某一状态(n,k)，这时k必须是实数
*描写状态的物理量k是实数，这样相因子的模才等于1，才能永不衰减地传播
虽然推论令人震惊，但这是在一定条件下经严格证明得到的定理，不是必需有实验验证的定律！当、且仅当三个条件中的任何一条不再成立才能被推翻
*绝热近似(原子核静止)、单电子近似(电子关联)和周期势场近似(原子核热运动后偏离) http://10.45.24.132/~jgche/
固体物理学
30
推论二
k与k+K
m
都是描写状态的量子数
所以，k与k+K
m
是两个等价状态！
因此，只需将k限制在一个包括所有不等价的k
的区域——第一Brillouin区！
),(),(
)(
rKkrKk
RKk
R hn
i
hn
lh
l
eT +=+
+
ψψ
),( rKk
Rk
hn
i
l
e +=
ψ
l
i
mnn
e
Rk
rKkrk
+有共同的本征值与),(),( ψψ
既然k是波矢，那么，如果K
h
是倒格矢。则
6
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31
4、Bloch定理带来的新概念——能带
什么意思？
E
n
(k)是K
h
的周期函数！K
h
是倒格矢
由推论二，在倒空间可以把问题限制在第一
Brillouin区范围内，即
),(),( rKkrk
hnn
+=ψψ
由),()(),(
rkkrkH
nnn
E ψψ =
得到)()(
hnn
EE Kkk +=
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32
连续分布的能级形成能带
由于E
n
(k)是k的周期函数，必然有上、下界，
使得一个n的不同k的所有能级在一个能量范围内，形成连续的分布
即对每一个n，E
n
(k)是一个k连续的函数，称为能带——能带结构，也称色散关系
对每一个k，有一系列分裂的能级E
n
(k)，n=1,
2,3,…，就是一条条能带
)(k
n
E
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33
本讲要点
Bloch定理：描写周期性势场中单电子的性质
* Bloch波，Bloch电子
*周期性结构中的波都具有Bloch波的形式
电子共有化运动
*平面波部分描写整个晶体的共有运动
*调幅部分描写原胞内的运动——限制在原胞内
* K+k与k等价，K是倒格矢——限制在第一布里渊区
能带概念
*能量与波矢之间的关系
*一些能带性质
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34
概念要点
Bloch波
Bloch电子
能带
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35
思考问题
平移算符是否满足
pml
TTT
RRR
=
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36
习题
1.一维周期性势场中电子的波函数应当满足
Bloch定理。若晶格常数为a，电子的波函数为为试求电子在这些状态的波矢。
()
∑
∞
∞=
=
=
=
l
k
k
k
laxfx
x
a
ix
x
a
x
)(
3
cos)(
sin)(
ψ
π
ψ
π
ψ
7
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第二章补充习题
如右图的二维晶体结构，A
原子处于正六边形角上（边长为a），B原子处于正六边形中心。
a)确定它的物理学原胞基矢、
原胞内原子位矢、倒格子基矢
b)假定A和B原子的散射因子分别是f
A
和f
B
，求它的结构因子，讨论它所满足的消光条件
c)如果f
A
=f
B
，讨论它所满足的消光条件
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1
课堂练习
A原子构成体心立方结构，立方体边长为a，如右上图；在A原子构成的体心立方结构的面心上再加上B原子，如右下图。试：
*给出它的物理学原胞的基矢、原胞内原子位矢、倒格子基矢；
*对右下图所示的结构，设A和B原子的原子散射因子分别是f
A
和f
B
，试确定几何结构因子。
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2
解答
首先判断晶胞内有两个A原子，三个B原子。根据晶胞含整数个原胞，没有更小的公约原子数，所以原胞就是晶胞
()
() () ()
kcjbia
kiτkjτjiτ
kjiττ
kcjbia
2
,
2
,
2
,
2
,
2
,
2
2
,0
,
,
,
543
21
aaa
aaa
B
a
A
aaa
πππ
===
+=+=+=
++==
===
原子：
原子：
( )
( )
( )
() () ( )
( )
khilkikhi
B
lkhi
Ahkl
eeefefKS
+?+?+?++?
++++=
ππππ
1
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3
举例
A原子构成正方形结构，边长为a；在A原子构成的正方形结构的边的中心，再加上B原子，如右图。
a)给出物理学原胞基矢、原胞内原子位矢、倒格子基矢
b)设A和B原子的散射因子分别是f
A
和f
B
，求其几何结构因子
c)假定A和B原子的散射因子满足f
A
=f
B
，即A和B原子是同种原子，讨论消光条件。
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4
解答
A原子组成正方格子，晶胞内有一个A原子，两个B原子，
不可能再分，晶胞就是原胞
jτiττ
jbia
jbia
2;
2;0
2
,
2
,
321
aa
aa
aa
===
==
==
ππ
( ) ()
()()0?1 =++=
++==
∑
lihi
hl
lihi
BA
i
i
ihl
eefS
eeffefS
ihl
ππ
ππ
K
K
τK
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5
举例
对于闪锌矿结构。试
*确定它的物理学原胞基矢、原胞内原子位矢、倒格子基矢；
*不同原子的散射因子分别用合适的符号表示，求闪锌矿结构的几何结构因子；
*假定不同原子的散射因子相等，讨论所满足的消光条件。
有两种原子A和B。在结构上，A和B分别构成两个面心立方结构。
属于面心立方格子。
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6
解答
a)原胞为面心立方结构，有两种原子A和B。原点如定在A原子上，原胞基矢、原胞内原子位矢和倒格子基矢可以是
( ) ( ) ()
()
()() ()kjibkjibkjib
kjiτ
τ
ikakjajia
2
,
2
,
2
4
0
2
,
2
,
2
111
2
1
321
+=+?=++?=
++=
=
+=+=+=
aaa
a
B
A
aaa
πππ
倒格子基矢原子原子
。原胞基矢
2
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7
b)这时是指晶胞。共有8个原子在晶胞内，A和
B各4个。晶胞基矢和倒格子基矢很简单，都是立方的。用晶胞基矢先写出晶胞内原子位矢，它们分别是
* A：（0,0,0），（0,0.5,0.5），（0.5,0,0.5），
（0.5,0.5,0）
* B：（0.25,0.25,0.25），（0.25,0.75,0.75），
（0.75,0.75,0.25），（0.75,0.25,0.75）。
*倒格矢和结构因子分别是
++= cbaK lkh
()
( ) ( ) ( )
{ }
() () () ()
+++
++++=
++?++?++?++?
+?+?+?
lkhilkhilkhilkhi
B
khilhilki
A
eeeef
eeefS
33
2
33
2
33
22
1
ππππ
πππ
K
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c)消光条件
* f
A
=f
B
=f时，有
*当h+k+l=4n+2时；
*当h，k和l部分为偶数，部分为奇数时
()
() () ()
[]
()
++++=
++?
+?+?+?
lkhi
khilhilki
eeeefS
2
11
π
πππ
K
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9
第15讲、Bloch定理和能带概念
1,Bloch定理所要解决的问题
*确定在周期性势场下单电子的运动性质
*由Bloch定理规定了它的波函数所必须具有的形式
2.平移算符的本征值
*非简并情况
*简并情况
3,Bloch定理的推论
*推论一
*推论二
4,Bloch定理带来的新概念——能带能带理论的基础
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10
1、Bloch定理所要解决的问题
Bloch定理——固体物理学的基础
* 1928年由年仅23岁的F,Bloch证明
Bloch思考的问题
*由自由电子气体知道，充满离子实的金属内部对电子运动来说，竟然好象是空的！难以想象！
*离子既然能够束缚住芯电子不得动弹，但为何惟独对价电子视而不见呢？谁动了我的离子实？
Sommerfeld也思考过类似的问题
*曾经因引入费米分布概念而成功解释了电子气的比热问题，还局限在这一思路上
#真是成也费米分布，败也费米分布
Bloch摘到了果子——周期性势场中电子运动
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11
周期性势场
Bloch定理的适用范围（三个近似）
1、绝热近似；2、单电子近似；3、周期性势场近似
*周期性为Bloch定理所必需，其他已在Schroedinger方程中，但如前两个中的任何一个不成立，周期性势场也不会成立
() ( )
∑
=
J
JNel
vV
0
Rrr
( )rRr VV
J
JNel
==
∑?
)(
0
晶体周期性结构
0
"
0
'
0
JJJ
RRR +=
)()( rRr VV =+
( ) ( )
∑
+?=+
J
JJNelJ
vV
00
'
0
'
RRrRr
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周期势场下单电子波函数性质的猜想
设问：既然周期性势场，我们自然要推测：
*周期性势场中的薛定谔方程的解是否也有同样的平移周期性？
这看上去是很自然的，因为既然
V(r+R)=V(r)，似乎应该有
)()()]([
2
rrr
r nnn
EV ψψ =+
)()()]([
2
RrRrRr
r
+=+++
nnn
EV ψψ
( )()rRr
nn
ψψ ==+?
两个哈密顿相等，它们的解是否也应该相等？
3
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13
错！
设问：量子力学怎么表述的？
除了一个相因子外，两者相同！
因此并非一无是处！差那么一点！换个对象看相因子
设问：对自由电子，是不是满足周期性势场？
*即，V(r+R)=V(r)是否成立？
当然成立，V=0！对任何平移变换都不变！
那么它的解即平面波经平移变换应为
( )
()
( )rRr
RkrkRkRrk
ψψ
+?
===+
iiii
eeee
很有意思！仅仅相差一个e
ik*Rl
的相因子！
就按这个思路，看F,Bloch如何演绎Bloch定理，Bloch定理只能得出这个结论
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14
Bloch定理
单电子受这样的周期性势场约束
*单电子同时意味着：它所受的离子势场和其他电子的平均势场同时具有同样的周期性
*单电子波函数的形式受到一定的限制 ?运动性质
Bloch定理
*周期性势场中运动的单电子，当平移一个格矢R
l
时，其同一能量本征值的波函数只增加一个相因子
e
ik.R
，即在每个格点上的波函数除了一个与格矢有关的相因子外都相同
),(),( rkRrk
Rk
n
i
ln
l
e ψψ
=+
Bloch定理就是：当对单电子波函数进行一个R
的平移变换，除了相因子e
ik.R
，其他不变
因此下面具体考察这个平移操作——平移算符
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15
}){,(}){,()
(
00
JJel-Nel
E RrRrHH Ψ=Ψ+
)()()]([
2
rrr
nnn
EV ψψ =+
12,1,1
2
=== me h
)()( rRr VV =+
Rrr
R
+?:
T
)(
)
(
nnn
ETT ψψ
RR
H =
)
()
(
nnn
TET ψψ
RR
H =
nnn
TE ψψ ),
(:
R
平移算符
H与T对易，有共同本征解
2、平移算符的本征值
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16
评论：
* 该方程是平移算符的本征值方程
* 本征值与格矢有关
nn
ll
T ψλψ
RR
=
既然如此，除了一个相因子外，两者应该相同
1
2
=
l
R
λ
非简并情况
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格矢满足pml
RRR +=
平移算符也满足
pml
TTT
RRR
=
)(
pm
l
i
i
ee
αα
α +
=
l
l
i
e
α
λ?
R
pml
RRR
λλλ =
作用在波函数上，就有
它们表示的是相因子，因此，可以写成
这样就有
pml
ααα +=?即
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18
注意：这里α必须是实数，所以k是实数！
*否则，模不等于1
注意：矢量k现在还只是一常矢量因子，还未与波矢相联系
*后面会看到，它就是波矢，一个描写状态的物理量
于是
ll
Rk?=α
l
l
i
e
Rk
R
=λ
ll
Rk?=α
这说明，只有当相位因子α与格矢R满足线性关系时，平移算符的本征值才满足这样的关系
因此，可将α
l
改写成对所有α相同的常矢量k
和R
l
的乘积(如果一维，很容易理解，三维 ?矢量)
( )
pm
RRk +?=
pm
αα +=
4
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19
简并情况
如果是f
n
度简并的，即有f
n
个相互正交的本征函数属于同一本征值，可以写成它们的线性组合
∑
=
=
n
l
l
f
nnn
T
1'
''
υ
υυυυ
ψλψ
R
R
平移算符可通过上式用一个λ的矩阵表示
=
nf
l
n
f
n
f
l
n
f
l
n
f
l
nf
ll
l
n
f
ll
nf
l
n
n
n
nnn
nnn
nnn
n
n
n
T
ψ
ψ
ψ
λλλ
λλλ
λλλ
ψ
ψ
ψ
...
,...,,
...
,...,,
,...,,
...
2
1
21
22221
11211
2
1
RRR
RRR
RRR
R
nnn
l
l
T ψλψ
~
~
~
R
R
=
用~符号放在字母上表示矩阵
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20
()
'
~~
υυ
δλ
υ
lll
nnn
RRR
Λ?Λ=
Λ
Λ
Λ
=
l
nf
l
l
l
nfnf
l
nf
l
nf
l
nf
ll
l
nf
ll
n
n
n
nnn
nnn
nnn
R
R
R
RRR
RRR
RRR
,...,0,0
...
0,...,,0
0,...,0,
,...,,
...
,...,,
,...,,
2
1
21
22221
11211
λλλ
λλλ
λλλ
λ矩阵也构成一个群，可由f
n
个相互正交的本征函数的线性组合产生新的基函数。在新的基中，λ矩阵为对角形式
即在新的基函数下，平移算符对本征函数作用后，有
∑
=
Λ==
n
ll
l
f
nnnnn
T
1'
''
υ
υ
υυυυυυ
ψλ?
RR
R
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21
ll
i
n
e
RkR?
=Λ
υ
就是新的基函数，而Λ是平移算符T在新的基函数下的本征值，它们的关系就与非简并的情况相同，Λ也应该只是个相因子，因此，可以写成
n
综合非简并和简并情况，我们都有
)()(
rr
Rk
R n
i
n
l
l
eT ψψ
=
就是平移算符的本征值是一个与k和格矢有关的相因子
这种矩阵满足与平移算符相同的乘法规则
pml
pml
nnn
TTT
RRR
RRR
λλλ
~~~
=?=
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22
4、Bloch定理的表述
我们知道，对每一个ψ，总是存在一个常数矢量k，使ψ是平移算符T
R
的本征值为e
ik.R
的本征函数
即平移算符的本征值也依赖于k，因此，k也是一个描写状态的量子数——后面再与波矢相联系
)()(
rr
Rk
R n
i
n
l
l
eT ψψ
=
由平移算符的本征值方程
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23
Bloch定理的数学形式
这样的ψ
n
(k,r)称为Bloch函数，其描写的电子称为Bloch电子
Bloch定理：周期性势场中运动的电子，其波函数平移格矢R
l
时，波函数增加一个e
ik.Rl
的相因子，即
),(),(
lnn
l
T Rrkrk
R
+=ψψ
),( rk
Rk
n
i
l
e ψ
=
),(),( rkRrk
Rk
n
i
ln
l
e ψψ
=+
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24
推论一
如果将波函数写成调幅平面波的形式，即
),(),( rkrk
rk
n
i
n
ue
=ψ
因为
所以其调幅波函数也具有同样的周期性（这是用得最多的一个推论，也有作为定理表述）
),(),( Rrkrk +=
nn
uu
),(),(
)(
RrkRrk
Rrk
+=+
+?
n
i
n
ueψ
),(
)(
rk
Rrk
n
i
ue
+?
=
),(),( rkRrk
Rk
n
i
n
e ψψ
=+
根据Bloch定理，有
5
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25
常数因子k的物理意义
问：调幅函数设置为1是什么含义？
自由电子！
解就是平面波！
* k就是波矢！
* k就是描写不同状态的量子数
常数因子k的物理意义就与波矢联系起来
rk
rk
→
i
n
e),(ψ
如果将调幅函数置为1，即u
n
(k,r)=1，则
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26
为什么？T的本征值只与平移对称有关，与H
无关，任何方程只要具有平移对称，其解就具有这种形式
Bloch波是调幅的平面波e
ik.r
，调幅函数u
n
(k,r)
具有与晶体相同的周期性
),(),( rkrk
rk
n
i
n
ue
=ψ
),(),( Rrkrk +=
nn
uu
1,Bloch波是周期性调幅的平面波！周期性结构中的波，都具有Bloch波的形式讨论：
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27
2,Bloch波告诉我们什么？
如果求其模(即在空间出现的几率)会得到什么？
电子空间分布是一个周期性起伏的函数！
位相因子e
ik*r
使Bloch波与平面波类似，在整个空间出现
*并不局限于某个区域，而是扩展至整个空间！
*对所有原子是一样的，并没有限制在哪个原子上
* Bloch电子是整个空间共有的！
因此可以只限定在某个原胞内解薛定鄂方程
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28
3.设问：离子实的作用呢？
*与自由电子气体模型不同，现在这里的离子实并非作为均匀抹平的正电背景出现，而是V，已经考虑了电子受库仑势的散射，只不过V有周期性
*周期性调幅因子u看来与离子实有关，但它除了使电子分布有起伏外，并没有阻碍电子到处出现
*电子为什么可以到无穷远，即自由程无限大，好象离子实对它没有阻碍似的？
原子的周期性排列！电子在整个晶体中不再属于个别原子，属于全体原子共有！
*周期排列离子实对电子散射是相干散射，因此这样的散射不是产生电阻的机制
这一推论令人相当震惊！质疑？
得出这一推论时，将波函数写成调幅平面波
*质疑：能不能这样做？如果任何解都可以写成调幅平面波，那不是所有的解都可以在全空间不会衰减？
并不是所有解都能改写成调幅平面波的
Bloch电子无电阻机制的关键是：如果电子处于某一状态(n,k)，这时k必须是实数
*描写状态的物理量k是实数，这样相因子的模才等于1，才能永不衰减地传播
虽然推论令人震惊，但这是在一定条件下经严格证明得到的定理，不是必需有实验验证的定律！当、且仅当三个条件中的任何一条不再成立才能被推翻
*绝热近似(原子核静止)、单电子近似(电子关联)和周期势场近似(原子核热运动后偏离) http://10.45.24.132/~jgche/
固体物理学
30
推论二
k与k+K
m
都是描写状态的量子数
所以，k与k+K
m
是两个等价状态！
因此，只需将k限制在一个包括所有不等价的k
的区域——第一Brillouin区！
),(),(
)(
rKkrKk
RKk
R hn
i
hn
lh
l
eT +=+
+
ψψ
),( rKk
Rk
hn
i
l
e +=
ψ
l
i
mnn
e
Rk
rKkrk
+有共同的本征值与),(),( ψψ
既然k是波矢，那么，如果K
h
是倒格矢。则
6
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31
4、Bloch定理带来的新概念——能带
什么意思？
E
n
(k)是K
h
的周期函数！K
h
是倒格矢
由推论二，在倒空间可以把问题限制在第一
Brillouin区范围内，即
),(),( rKkrk
hnn
+=ψψ
由),()(),(
rkkrkH
nnn
E ψψ =
得到)()(
hnn
EE Kkk +=
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32
连续分布的能级形成能带
由于E
n
(k)是k的周期函数，必然有上、下界，
使得一个n的不同k的所有能级在一个能量范围内，形成连续的分布
即对每一个n，E
n
(k)是一个k连续的函数，称为能带——能带结构，也称色散关系
对每一个k，有一系列分裂的能级E
n
(k)，n=1,
2,3,…，就是一条条能带
)(k
n
E
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33
本讲要点
Bloch定理：描写周期性势场中单电子的性质
* Bloch波，Bloch电子
*周期性结构中的波都具有Bloch波的形式
电子共有化运动
*平面波部分描写整个晶体的共有运动
*调幅部分描写原胞内的运动——限制在原胞内
* K+k与k等价，K是倒格矢——限制在第一布里渊区
能带概念
*能量与波矢之间的关系
*一些能带性质
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34
概念要点
Bloch波
Bloch电子
能带
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35
思考问题
平移算符是否满足
pml
TTT
RRR
=
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习题
1.一维周期性势场中电子的波函数应当满足
Bloch定理。若晶格常数为a，电子的波函数为为试求电子在这些状态的波矢。
()
∑
∞
∞=
=
=
=
l
k
k
k
laxfx
x
a
ix
x
a
x
)(
3
cos)(
sin)(
ψ
π
ψ
π
ψ
7
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37
第二章补充习题
如右图的二维晶体结构，A
原子处于正六边形角上（边长为a），B原子处于正六边形中心。
a)确定它的物理学原胞基矢、
原胞内原子位矢、倒格子基矢
b)假定A和B原子的散射因子分别是f
A
和f
B
，求它的结构因子，讨论它所满足的消光条件
c)如果f
A
=f
B
，讨论它所满足的消光条件
