1
物理系车静光固体物理学
1
第21讲、Bloch电子动力学
1.准经典电子的动量、坐标和速度
2,Bloch电子的平均速度
3.准经典运动方程
4.能带中电子的运动
5.有效质量
6.空穴的概念物理系车静光固体物理学
2
1、准经典电子的动量、坐标和速度
试图解决：晶体电子在外场作用下如何运动？
*没有外场时，定态！
* Schroedinger方程中加外场？
?电子的状态的能量会随时间变化 ?含时S方程
设问：关于晶体中的电子我们已经知道了什么?
*晶体中电子运动基础：能带结构 ?E(k)、本征函数
*当然可以此展开晶体波函数，解含时S方程
?但特定条件下，也可将电子当作准粒子，这时
*具有静止质量的电子在周期势场中的运动 ?具有有效质量的准粒子在零势场下(但限制在能带中)的运动所替代，成准粒子在外场下运动(用牛顿力学)
*需要得到晶体电子的运动方程物理系车静光固体物理学
3
如何描写晶体电子在外场下的运动？
经典粒子和量子力学
*经典粒子同时具有确定的动量和坐标
*对电子，由于测不准原理，这是不可能的
电子的坐标 ?波包坐标
*晶体电子的本征态用具有确定波矢和能量的Bloch函数来描写，波矢完全确定，而坐标完全不确定
*如其状态可以看作是一些k附近的Δk范围内的本征态迭加而成，它将构成波包 ?r附近的Δr范围
实际是展宽动量，即Δk，换取坐标r的可知性
Bloch本征态可写为
*现含时，不同的k状态具有不同的能量
()
()
()rr
k
k
rk
k
n
t
E
i
n
uet
n
=
h
,ψ
物理系车静光固体物理学
4
假定电子在能带之间不能跃迁
*即在同一能带中运动，求与k
0
对应的波包中心位置
为简单起见，讨论一维情况，现略去能带指标
*波包就是将k
0
附近Δk范围内的本征函数迭加
()
( )
()
∫
Δ+
Δ?
Δ
=
2/
2/
0
0
1
,
kk
kk
k
t
kE
kxi
k
dkxue
k
tx
h
ψ
() ( )
()
k
dk
kdE
kEkEkkk
k
δδ
0
00
,+=+=
()
( )
∫
Δ+
Δ?
Δ
=
2/
2/
0
0
0
kk
kk
t
kE
kxi
k
dke
k
xu
h
()
( )
( ) ()
()kdee
k
xu
tx
kk
kk
t
kE
xkit
kE
xki
k
k
δψ
δ
∫
Δ+
Δ?
Δ
≈
2/
2/
'
0
0
0
0
0
,
hh
()
()( )
()()h
h
/'
2
/'
2
sin
,
0
0
0
tkEx
k
tkEx
k
tx
k
k
Δ
Δ
≈ψ
()
( )
dk
kdE
kE ='
物理系车静光固体物理学
5
波包与周期因子有关，也与A(x,t)的因子有关
如Δk=0，A=1，电子在全空间可以出现
如Δk不为零，|A|
2
的特点
*其中A的( )=0时，波包振幅最大，而( )>>0时，波包振幅为零，即波包局域在晶体中某一区域内
波包中心位置就是变量=0的位置，即
() ()
()()
()()
() ()
2
2
2
2
2
,
/'
2
/'
2
sin
,
0
0
0
0
txAxu
tkEx
k
tkEx
k
xutx
k
k
k
kk
=
Δ
Δ
≈
h
h
ψ
看这个波包的几率分布为
() 0/'
0
=? htkEx
k
()
t
dk
kdE
x
k
0
1
h
=
()tE
k
n
0
1
kr
k
=
h
物理系车静光固体物理学
6
讨论
可以证明，这就是波矢为k、能量为E
n
(k)的
Bloch电子的平均速度，与时间无关
准经典模型成立的条件：
*Δk范围应该远小于B区范围，即Δk<<2π/a， ?
|Δr|>>a，所以外场应该是时间和空间的缓变函数
1.外场变化的波长λ>>a
2.外场频率hω<<E
g
，禁止能带之间跃迁
问：晶体的周期性势场是否满足条件？
不满足，但已包含在E(k)中，条件对外场
()tE
k
n
0
1
kr
k
=
h
()
0
1
k
n
E
dt
d
k
r
v
k
==
h
很容易得到波包速度——Bloch电子的群速度
2
物理系车静光固体物理学
7
电流与速度相关，如平均速度与时间无关，这意味着电流将永不衰减！
*无电阻机制！电导率无穷大！电子不但与电子没有碰撞，与离子也没有碰撞——如果周期性势场成立
问：自由电子模型？
如果没有其他碰撞机制，自由电子在外电场下将被无限加速，所以要引入其他的碰撞机制，
否则电流会无限大
对晶体电子，电流无限大不会发生
*因为周期性势场，速度也是一个周期性函数，是一个有界函数，后面会看到将引起是振荡，但速度也不会衰减，理想导体
*可以看出隐含在E(k)里的周期性势场的影响物理系车静光固体物理学
8
2、Bloch电子的平均速度
处在量子数nk态的电子的平均速度为
( )()()
dx
d
iv
dxxvxkv
nknkn
=
=
∫
*
ψψ
将Bloch波函数代入，得
() () ()
∫
+?= dxxuk
dx
d
ixukv
nknkn
*
对积分，从Schroedinger方程
() () ()xukExuxVk
dx
d
i
nknnk
=
+?
+? )(
2
物理系车静光固体物理学
9
这是u的方程
() ( )()
)(
2
'
'
xVk
dx
d
iH
xukExuH
k
nknnkk
+?
+?=
=
对波矢很小的变化，有
)(
2
'
xVkk
dx
d
iH
kk
+?
++?=
+
δ
δ
kk
dx
d
ixVk
dx
d
iH
kk
δ
δ
+?++?
+?=
+
)(
2
'
用微扰论
()()() ()
∫
+?+=+ kdxxuk
dx
d
ixukEkkE
nknknn
δδ
*
另一方面，作展开
()()
()
k
dk
kdE
kEkkE
k
n
nn
δδ +=+
kk
dx
d
iH
k
δ?
+?+=
'
物理系车静光固体物理学
10
就有
( )
() ()
∫
+?= dxxuk
dx
d
ixu
dk
kdE
nknk
n *
比较前面平均速度，就有
() () ()
( )
dk
kdE
dxxuk
dx
d
ixukv
n
nknkn
h
1
*
=?
+?=
∫
略去能带标号
()
()
dk
kdE
kv
h
1
=
三维时
() ()kkv
k
E?=
h
1
物理系车静光固体物理学
11
3、准经典运动方程
看一维情况，外力F，则哈密顿FxHH?=
0
H
0
为无外场哈密顿，T是平移算符，本征值
[ ] 0
,
0
=TH [ ] TFaTH
,
=
ika
e
T不含时间，由量子力学，其期待值随时间的变化由倒易关系的期待值给出
[]()TFa
i
TH
i
dt
Td
,
hh
==
即平移算符期待值的时间变化率为
T
iFa
dt
Td
h
=
物理系车静光固体物理学
12
什么意义？
这是复平面内的圆的方程，它的实、虚部分别是平移算符本征值的实、虚部
如果是Bloch波，那这个期待值为1
2*
T
iFa
dt
Td
T
h
=
2
*
T
iFa
dt
Td
T
h
=
为得到<T>的随时间变化情况，对左乘<T>
0
2
=
dt
Td
两式相加，得
1
2
=?=
ikaika
eeT
即在外力F作用下，<T>将在复平面内的单位圆运动，因此，<T>可写为
()atik
eT =
所以，平移算符期待值的时间变化率现为
T
iFa
dt
Td
h
=
T
iFa
e
dt
dk
ia
dt
Td
ika
h
==
F
dt
dk
=h
3
物理系车静光固体物理学
13
讨论
晶体中电子既受外力作用，也同时受晶体周期势场的作用
*外力将改变晶格电子的动量，而不仅仅是电子动量
外场对运动的影响包含在能量与状态的关系中
在dt时间内，外场E对晶体电子所作功
kh
F
dt
dk
=h
即牛顿力学中动量与外力的关系，三维也成立
dtedE vE?=EeF?=
这个关系与自由电子气的关系一样，现在看电子速度v，以及此电子空间坐标
在晶体中并不是动量算符的本征值
*也不是动量算符的平均值，称为准动量或晶体动量物理系车静光固体物理学
14
4、能带中电子的运动
准经典假定：外电场使电子沿能带运动，只涉及一条能带，或者说，电子在外电场作用下能量的变化不能使电子跃迁到其他能带
*外电场很弱，因此，波矢变化很小
*外电场波长远大于晶格常数，远小于B区线度
*可用经典方法处理电子在外电场、磁场下的运动
晶体周期性势场的影响都在能带结构中反映
*？
*电子速度
*电子质量？
物理系车静光固体物理学
15
外电场作用下的加速度
准经典：电子受外场作用状态变化，外场所作功转化为电子能量的增加
FvdtdE =
dt
dE
Fv =
加速度
dk
dE
dt
d
dt
dv
h
1
=
dt
dk
F h=
dt
dk
dk
Ed
2
2
1
h
=
dt
dk
dk
Ed
h
h
2
2
2
1
= F
dk
Ed
2
2
2
1
h
=
能量的变化由状态的变化决定
dt
dk
dk
dE
=
dt
dk
vh=
这样就有可能将能带结构归入有效质量物理系车静光固体物理学
16
5、有效质量
比较经典运动方程，如果
2
2
2*
11
dk
Ed
m h
=
周期性势场中电子在外电场中的运动，就好象质量为m*(称为有效质量)的经典的带电粒子在外电场中的运动，服从
三维时，为一张量
()zyx
dkdk
Ed
m
,,,,
11
2
2*
==?
βα
βααβ
h
dt
dv
mF
*
=
β
αβ
α
F
mdt
dv
=
*
1
物理系车静光固体物理学
17
晶体周期性势场对电子运动影响
能带结构
速度
*思考：自由电子速度变化？
* 弛豫时间近似！
有效质量
*带底，m
*
>0
*带顶，m
*
<0
*能带宽，m
*
小
*能带窄，m
*
大
k
k
k
E(k)
v(k)
m*(k)
物理系车静光固体物理学
18
负有效质量
在晶体中运动的电子就可以看作是质量相当于有效质量的电子的经典运动，服从经典定律
有效质量不是常数，而是k的函数
负的有效质量！有效质量与E(k)有关：能带顶附近的能带曲率是负的，有效质量也是负的！
*表示电子状态由k变化到k+dk时，由电子转移给晶格的动量大于外力转移给电子的动量，而正的有效质量则相反
如果d
2
E(k)/dk
2
~0，则有效质量很大，什么含义？
相当于没有色散的能带电子的有效质量很大
*基本上局域，很难隧穿到邻近原子上去
4
物理系车静光固体物理学
19
例：有效质量
用紧束缚近似写出二维正方晶格最近邻近似的
s电子能带，计算能带底电子和能带顶空穴的有效质量物理系车静光固体物理学
20
解：
对处于中心位置的原子，有四个最近邻，即：
),(
),(
),(
),(R
10
10
01
01
=
=
=
=
a
a
a
a
物理系车静光固体物理学
21
当
()akak
eeeee
yx
aikaik
aikaiki yy
xx
coscos2 +=
+++=
∑
最近邻
R
Rk
() ( )akakJCEE
yx
coscos2 +++=
原子
k
a
k
a
k
yx
ππ
==,
当
JCEE 4?+=
原子极大
0 0 ==
yx
kk,JCEE 4++=
原子极小带宽8J
物理系车静光固体物理学
22
计算能带底的有效质量。利用ka<<1，作展开，有
22
4 aJkJCEkE?++=
原子
)(
相应的有效质量
2
2
1
2
2
2
2Jadk
kEd
m
h
h?=
=
)(
*
物理系车静光固体物理学
23
计算能带顶的有效质量可以引入
yyxx
k
a
kk
a
k?=?=
ππ ~~
利用
22
4 aJJCEE k
~
)k
~
( +?+≈
原子
作展开，可得
1 1 <<<< akak
yx
~~
能带顶的有效质量
**
空穴
m
Ja
m?==
2
2
2
h
物理系车静光固体物理学
24
6、空穴的概念价带导带
半导体中，费米能级以下为价带，以上为导带
如果被占满的价带中一个电子被激发至导带，在价带中留下一个空的状态
*在外电场作用下，导带中的电子和价带中空穴都可以运动
5
物理系车静光固体物理学
25
在电场作用下，边上的电子就会填充这个位置，而留下一个新的空的状态
这样空状态的移动(与电子移动的方向相反)，
就象正的电子移动产生电流一样
这样的空状态称为空穴，带有正电荷，具有波矢电子空穴
kk?=
物理系车静光固体物理学
26
空穴能带
*空穴能量是满带中失去电子后系统的能量变化
*如果价带顶位于能量零点，对应的空穴能带如图
( ) ( )
电子电子空穴空穴
kk EE?=
电子
k
空穴
k
E(k)
k
电子价带空穴能带物理系车静光固体物理学
27
与电子有效质量相反，在价带顶，空穴有效质量为正，在导带底为负
空穴的运动方程就是带正电的粒子的运动方程
() ()
电子电子空穴空穴电子空穴
kk
kk
EE?=?
电子空穴
vv =
所以空穴速度
空穴有效质量电子空穴
mm?=
由前图看到物理系车静光固体物理学
28
本讲要点
如何描写电子的坐标、速度和加速度
*准经典近似
能带中电子的运动
*有效质量
*空穴
* Bloch振荡物理系车静光固体物理学
29
概念要点
准经典近似条件
波包位置、速度和加速度
有效质量
空穴
Bloch振荡物理系车静光固体物理学
30
思考问题
晶体电子的准经典近似中，如何考虑周期性势场的作用？
6
物理系车静光固体物理学
31
习题
4.1
4.5
物理系车静光固体物理学
1
第21讲、Bloch电子动力学
1.准经典电子的动量、坐标和速度
2,Bloch电子的平均速度
3.准经典运动方程
4.能带中电子的运动
5.有效质量
6.空穴的概念物理系车静光固体物理学
2
1、准经典电子的动量、坐标和速度
试图解决：晶体电子在外场作用下如何运动？
*没有外场时，定态！
* Schroedinger方程中加外场？
?电子的状态的能量会随时间变化 ?含时S方程
设问：关于晶体中的电子我们已经知道了什么?
*晶体中电子运动基础：能带结构 ?E(k)、本征函数
*当然可以此展开晶体波函数，解含时S方程
?但特定条件下，也可将电子当作准粒子，这时
*具有静止质量的电子在周期势场中的运动 ?具有有效质量的准粒子在零势场下(但限制在能带中)的运动所替代，成准粒子在外场下运动(用牛顿力学)
*需要得到晶体电子的运动方程物理系车静光固体物理学
3
如何描写晶体电子在外场下的运动？
经典粒子和量子力学
*经典粒子同时具有确定的动量和坐标
*对电子，由于测不准原理，这是不可能的
电子的坐标 ?波包坐标
*晶体电子的本征态用具有确定波矢和能量的Bloch函数来描写，波矢完全确定，而坐标完全不确定
*如其状态可以看作是一些k附近的Δk范围内的本征态迭加而成，它将构成波包 ?r附近的Δr范围
实际是展宽动量，即Δk，换取坐标r的可知性
Bloch本征态可写为
*现含时，不同的k状态具有不同的能量
()
()
()rr
k
k
rk
k
n
t
E
i
n
uet
n
=
h
,ψ
物理系车静光固体物理学
4
假定电子在能带之间不能跃迁
*即在同一能带中运动，求与k
0
对应的波包中心位置
为简单起见，讨论一维情况，现略去能带指标
*波包就是将k
0
附近Δk范围内的本征函数迭加
()
( )
()
∫
Δ+
Δ?
Δ
=
2/
2/
0
0
1
,
kk
kk
k
t
kE
kxi
k
dkxue
k
tx
h
ψ
() ( )
()
k
dk
kdE
kEkEkkk
k
δδ
0
00
,+=+=
()
( )
∫
Δ+
Δ?
Δ
=
2/
2/
0
0
0
kk
kk
t
kE
kxi
k
dke
k
xu
h
()
( )
( ) ()
()kdee
k
xu
tx
kk
kk
t
kE
xkit
kE
xki
k
k
δψ
δ
∫
Δ+
Δ?
Δ
≈
2/
2/
'
0
0
0
0
0
,
hh
()
()( )
()()h
h
/'
2
/'
2
sin
,
0
0
0
tkEx
k
tkEx
k
tx
k
k
Δ
Δ
≈ψ
()
( )
dk
kdE
kE ='
物理系车静光固体物理学
5
波包与周期因子有关，也与A(x,t)的因子有关
如Δk=0，A=1，电子在全空间可以出现
如Δk不为零，|A|
2
的特点
*其中A的( )=0时，波包振幅最大，而( )>>0时，波包振幅为零，即波包局域在晶体中某一区域内
波包中心位置就是变量=0的位置，即
() ()
()()
()()
() ()
2
2
2
2
2
,
/'
2
/'
2
sin
,
0
0
0
0
txAxu
tkEx
k
tkEx
k
xutx
k
k
k
kk
=
Δ
Δ
≈
h
h
ψ
看这个波包的几率分布为
() 0/'
0
=? htkEx
k
()
t
dk
kdE
x
k
0
1
h
=
()tE
k
n
0
1
kr
k
=
h
物理系车静光固体物理学
6
讨论
可以证明，这就是波矢为k、能量为E
n
(k)的
Bloch电子的平均速度，与时间无关
准经典模型成立的条件：
*Δk范围应该远小于B区范围，即Δk<<2π/a， ?
|Δr|>>a，所以外场应该是时间和空间的缓变函数
1.外场变化的波长λ>>a
2.外场频率hω<<E
g
，禁止能带之间跃迁
问：晶体的周期性势场是否满足条件？
不满足，但已包含在E(k)中，条件对外场
()tE
k
n
0
1
kr
k
=
h
()
0
1
k
n
E
dt
d
k
r
v
k
==
h
很容易得到波包速度——Bloch电子的群速度
2
物理系车静光固体物理学
7
电流与速度相关，如平均速度与时间无关，这意味着电流将永不衰减！
*无电阻机制！电导率无穷大！电子不但与电子没有碰撞，与离子也没有碰撞——如果周期性势场成立
问：自由电子模型？
如果没有其他碰撞机制，自由电子在外电场下将被无限加速，所以要引入其他的碰撞机制，
否则电流会无限大
对晶体电子，电流无限大不会发生
*因为周期性势场，速度也是一个周期性函数，是一个有界函数，后面会看到将引起是振荡，但速度也不会衰减，理想导体
*可以看出隐含在E(k)里的周期性势场的影响物理系车静光固体物理学
8
2、Bloch电子的平均速度
处在量子数nk态的电子的平均速度为
( )()()
dx
d
iv
dxxvxkv
nknkn
=
=
∫
*
ψψ
将Bloch波函数代入，得
() () ()
∫
+?= dxxuk
dx
d
ixukv
nknkn
*
对积分，从Schroedinger方程
() () ()xukExuxVk
dx
d
i
nknnk
=
+?
+? )(
2
物理系车静光固体物理学
9
这是u的方程
() ( )()
)(
2
'
'
xVk
dx
d
iH
xukExuH
k
nknnkk
+?
+?=
=
对波矢很小的变化，有
)(
2
'
xVkk
dx
d
iH
kk
+?
++?=
+
δ
δ
kk
dx
d
ixVk
dx
d
iH
kk
δ
δ
+?++?
+?=
+
)(
2
'
用微扰论
()()() ()
∫
+?+=+ kdxxuk
dx
d
ixukEkkE
nknknn
δδ
*
另一方面，作展开
()()
()
k
dk
kdE
kEkkE
k
n
nn
δδ +=+
kk
dx
d
iH
k
δ?
+?+=
'
物理系车静光固体物理学
10
就有
( )
() ()
∫
+?= dxxuk
dx
d
ixu
dk
kdE
nknk
n *
比较前面平均速度，就有
() () ()
( )
dk
kdE
dxxuk
dx
d
ixukv
n
nknkn
h
1
*
=?
+?=
∫
略去能带标号
()
()
dk
kdE
kv
h
1
=
三维时
() ()kkv
k
E?=
h
1
物理系车静光固体物理学
11
3、准经典运动方程
看一维情况，外力F，则哈密顿FxHH?=
0
H
0
为无外场哈密顿，T是平移算符，本征值
[ ] 0
,
0
=TH [ ] TFaTH
,
=
ika
e
T不含时间，由量子力学，其期待值随时间的变化由倒易关系的期待值给出
[]()TFa
i
TH
i
dt
Td
,
hh
==
即平移算符期待值的时间变化率为
T
iFa
dt
Td
h
=
物理系车静光固体物理学
12
什么意义？
这是复平面内的圆的方程，它的实、虚部分别是平移算符本征值的实、虚部
如果是Bloch波，那这个期待值为1
2*
T
iFa
dt
Td
T
h
=
2
*
T
iFa
dt
Td
T
h
=
为得到<T>的随时间变化情况，对左乘<T>
0
2
=
dt
Td
两式相加，得
1
2
=?=
ikaika
eeT
即在外力F作用下，<T>将在复平面内的单位圆运动，因此，<T>可写为
()atik
eT =
所以，平移算符期待值的时间变化率现为
T
iFa
dt
Td
h
=
T
iFa
e
dt
dk
ia
dt
Td
ika
h
==
F
dt
dk
=h
3
物理系车静光固体物理学
13
讨论
晶体中电子既受外力作用，也同时受晶体周期势场的作用
*外力将改变晶格电子的动量，而不仅仅是电子动量
外场对运动的影响包含在能量与状态的关系中
在dt时间内，外场E对晶体电子所作功
kh
F
dt
dk
=h
即牛顿力学中动量与外力的关系，三维也成立
dtedE vE?=EeF?=
这个关系与自由电子气的关系一样，现在看电子速度v，以及此电子空间坐标
在晶体中并不是动量算符的本征值
*也不是动量算符的平均值，称为准动量或晶体动量物理系车静光固体物理学
14
4、能带中电子的运动
准经典假定：外电场使电子沿能带运动，只涉及一条能带，或者说，电子在外电场作用下能量的变化不能使电子跃迁到其他能带
*外电场很弱，因此，波矢变化很小
*外电场波长远大于晶格常数，远小于B区线度
*可用经典方法处理电子在外电场、磁场下的运动
晶体周期性势场的影响都在能带结构中反映
*？
*电子速度
*电子质量？
物理系车静光固体物理学
15
外电场作用下的加速度
准经典：电子受外场作用状态变化，外场所作功转化为电子能量的增加
FvdtdE =
dt
dE
Fv =
加速度
dk
dE
dt
d
dt
dv
h
1
=
dt
dk
F h=
dt
dk
dk
Ed
2
2
1
h
=
dt
dk
dk
Ed
h
h
2
2
2
1
= F
dk
Ed
2
2
2
1
h
=
能量的变化由状态的变化决定
dt
dk
dk
dE
=
dt
dk
vh=
这样就有可能将能带结构归入有效质量物理系车静光固体物理学
16
5、有效质量
比较经典运动方程，如果
2
2
2*
11
dk
Ed
m h
=
周期性势场中电子在外电场中的运动，就好象质量为m*(称为有效质量)的经典的带电粒子在外电场中的运动，服从
三维时，为一张量
()zyx
dkdk
Ed
m
,,,,
11
2
2*
==?
βα
βααβ
h
dt
dv
mF
*
=
β
αβ
α
F
mdt
dv
=
*
1
物理系车静光固体物理学
17
晶体周期性势场对电子运动影响
能带结构
速度
*思考：自由电子速度变化？
* 弛豫时间近似！
有效质量
*带底，m
*
>0
*带顶，m
*
<0
*能带宽，m
*
小
*能带窄，m
*
大
k
k
k
E(k)
v(k)
m*(k)
物理系车静光固体物理学
18
负有效质量
在晶体中运动的电子就可以看作是质量相当于有效质量的电子的经典运动，服从经典定律
有效质量不是常数，而是k的函数
负的有效质量！有效质量与E(k)有关：能带顶附近的能带曲率是负的，有效质量也是负的！
*表示电子状态由k变化到k+dk时，由电子转移给晶格的动量大于外力转移给电子的动量，而正的有效质量则相反
如果d
2
E(k)/dk
2
~0，则有效质量很大，什么含义？
相当于没有色散的能带电子的有效质量很大
*基本上局域，很难隧穿到邻近原子上去
4
物理系车静光固体物理学
19
例：有效质量
用紧束缚近似写出二维正方晶格最近邻近似的
s电子能带，计算能带底电子和能带顶空穴的有效质量物理系车静光固体物理学
20
解：
对处于中心位置的原子，有四个最近邻，即：
),(
),(
),(
),(R
10
10
01
01
=
=
=
=
a
a
a
a
物理系车静光固体物理学
21
当
()akak
eeeee
yx
aikaik
aikaiki yy
xx
coscos2 +=
+++=
∑
最近邻
R
Rk
() ( )akakJCEE
yx
coscos2 +++=
原子
k
a
k
a
k
yx
ππ
==,
当
JCEE 4?+=
原子极大
0 0 ==
yx
kk,JCEE 4++=
原子极小带宽8J
物理系车静光固体物理学
22
计算能带底的有效质量。利用ka<<1，作展开，有
22
4 aJkJCEkE?++=
原子
)(
相应的有效质量
2
2
1
2
2
2
2Jadk
kEd
m
h
h?=
=
)(
*
物理系车静光固体物理学
23
计算能带顶的有效质量可以引入
yyxx
k
a
kk
a
k?=?=
ππ ~~
利用
22
4 aJJCEE k
~
)k
~
( +?+≈
原子
作展开，可得
1 1 <<<< akak
yx
~~
能带顶的有效质量
**
空穴
m
Ja
m?==
2
2
2
h
物理系车静光固体物理学
24
6、空穴的概念价带导带
半导体中，费米能级以下为价带，以上为导带
如果被占满的价带中一个电子被激发至导带，在价带中留下一个空的状态
*在外电场作用下，导带中的电子和价带中空穴都可以运动
5
物理系车静光固体物理学
25
在电场作用下，边上的电子就会填充这个位置，而留下一个新的空的状态
这样空状态的移动(与电子移动的方向相反)，
就象正的电子移动产生电流一样
这样的空状态称为空穴，带有正电荷，具有波矢电子空穴
kk?=
物理系车静光固体物理学
26
空穴能带
*空穴能量是满带中失去电子后系统的能量变化
*如果价带顶位于能量零点，对应的空穴能带如图
( ) ( )
电子电子空穴空穴
kk EE?=
电子
k
空穴
k
E(k)
k
电子价带空穴能带物理系车静光固体物理学
27
与电子有效质量相反，在价带顶，空穴有效质量为正，在导带底为负
空穴的运动方程就是带正电的粒子的运动方程
() ()
电子电子空穴空穴电子空穴
kk
kk
EE?=?
电子空穴
vv =
所以空穴速度
空穴有效质量电子空穴
mm?=
由前图看到物理系车静光固体物理学
28
本讲要点
如何描写电子的坐标、速度和加速度
*准经典近似
能带中电子的运动
*有效质量
*空穴
* Bloch振荡物理系车静光固体物理学
29
概念要点
准经典近似条件
波包位置、速度和加速度
有效质量
空穴
Bloch振荡物理系车静光固体物理学
30
思考问题
晶体电子的准经典近似中，如何考虑周期性势场的作用？
6
物理系车静光固体物理学
31
习题
4.1
4.5
