1
http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学
1
第27讲、光子晶体
1,周期结构中波的传播
* 电子波
* 声波
* 光波
2,一维光子晶体总有禁带
3,电子晶体和光子晶体比较
4,光子晶体的应用专题 7：波在周期性结构中的传播
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2
1、周期结构中波的传播
电导之迷 (19世纪 )
+
+
+
+
导体
+
e
–
e
–
r
E
r
J =σ
r
E
电流电导率(测量)
电子平均自由程
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3
电子平均自由程之迷(19世纪)
+ + + + + + + +
+ + + + + + + +
+ + + + + + + +
+ + + + + + + +
晶体导体自由程是周期的 10
8
倍
e
–
e
–
r
E
r
J =σ
r
E
电流电导率(测量)
电子平均自由程
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4
Bloch定理给出了解释！
量子力学 ?电子是波
在周期性结构中传播的波没有散射
* Bloch定理！
* 解的形式为 Bloch波
而且这个极其重要的结论
* 并不依赖于与具体的波动方程！
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5
波在周期结构中
电子晶体
* de Broglie波 ?Scroedinger方程
* 原子排列 ?电子能隙：电绝缘体
声子晶体
* 格波、弹性波,Newton方程、弹性波波动方程
* 弹性常数材料周期排列 ?声波频隙,声,绝缘体,
光子晶体
* 电磁波,Maxwell方程
* 电磁介质材料排列 ?光子频隙：光,绝缘体,
XX晶体？
* XX波,XX方程？
* XX介质材料排列 ?XX,绝缘体,,,滤波器,？
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6
电子晶体
电子满足的不含时的 Schroedinger方程
周期性势场 V(r)= V(r+R)
Ψ (r)是电子波函数
de Broglie波长如果与 R相当，电子波在周期性结构传播并不自由，受约束形成 Bloch波
本征值性质
* 能量和波矢近似成二次抛物线关系，存在能隙
* 解为 Bloch波的形式 ——调幅平面波
( )[ ] () ()rrr ψψ EV =+
2
( )()
rk
kk
rr
=
i
euψ
2
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7
声子晶体
不含时弹性波波动方程
ρ 是质量密度,λ 和 μ 是 Lame系数,u是位移矢量
如果 ρ,λ 和 μ 也是空间位置 r的周期函数，
* 其解也满足 Bloch定理
ω有限制，形成频率隙，某些频率不能传播
()() uuu
2
2 ρωμμλ?=×?×+
() ( ) () ( )()( ),RrrRrrRrr +=+=+= μμλλρρ，，
() () () ( )Rrrrru
kk
rk
kk
+==
UUeU
i
，
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8
超声波禁带
PRL 80,1208 (1998)
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9
躁音禁带
Science 289,1734
(2000)
硅胶包裹着铅球
* SC,a=1.5cm
* 硬球软包裹层 ?
有效负弹性系数
* 晶格常数比带隙波长小两个量级
并不是 Bragg散射
* 而是局域共振结构产生的频隙
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10
光子晶体
不含时的 Maxwell方程,H也可以以 E替代
频率与介电常数有关，与波矢成线性关系
如介电常数 ε是位置的周期函数,ε(r)= ε(r+R)
受这个周期性介电常数的约束
* 方程为本征值方程
* 解也为 Bloch形式
ω有限制，形成频率隙，某些频率不能传播
HH
2
1
=×?×?
c
ω
ε
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11
散射电磁波传播、散射示意图
)(
~,
ti
e
ωrk
HE
λ
π
ω
2
/ == ck
k
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12
二维光子晶体示意图
对于多数 λ,入射束能没有散射地通过晶体
但对某些 λ ~2a，不能通过：光子禁带
)(
~,
ti
e
ωrk
HE
λ
π
ω
2
/ == ck
k
a
3
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13
1D、2D、3D光子晶体示意图
带有光子禁带的光,绝缘体,
1887 1987
2-D
periodic in
two directions
3-D
periodic in
three di rections
1-D
periodic in
one direction
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14
三维光子晶体：完全禁带
APL 77,3490 (2000)
ε = 12:1
I,rod layer II,hole layer
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15
制作过程示意图
http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学
16
自然界中的光子晶体蝴蝶翅膀
6.21μm
孔雀羽毛蛋白石
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17
Maxwell方程
如果介电函数是周期性函数，则解满足 Bloch定理
r
×
r
E =?
1
c
t
r
H = i
ω
c
r
H
r
×
r
H =ε
1
c
t
r
E +
r
J = i
ω
c
ε
r
E
×
1
ε
×
r
H =
ω
c
2
r
H
本征算符 本征值 本征态
r
H = 0
ε (r)：介电函数，有约束
r
H (
r
x,t)= e
i
r
k?
r
x?ωt
()
r
H
r
k
(
r
x )
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18
面心立方光子晶体结构
PRL 63,1950 (1989)
* 球 —空气组成的人工介电晶体被实验观察到光子能带结构
4
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19
没有贯通整个Brillouin区频隙
PRL 65,2646 (1990)
* 在 Brillouin区的大部分区域有赝频隙
* 在 U点和 W-K轴，
有简并，没有贯通整个 Brillouin区
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20
2、一维光子晶体都有禁带(1887)
对于均匀介质（与自由电子气好有一比）
* 频率与波矢成线性关系
ε
1
ω
k
0
ε
ω
ck
=
()
2
2
2
22
t
E
x
E
x
c
=
ε
() ()
( )tkxi
k
exUtxE
ω?
=,
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21
空晶格模型
假定有周期性
ε(x) = ε(x+a)
* 折叠
e
+
π
a
x
,e
π
a
x
→cos
π
a
x
,sin
π
a
x
k
ω
0
π/a-π/a
ε
1
ε
ω
ck
=
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22
微扰法看带隙
如有一微扰介电函数,ε(x) = 1+ Δ cos(2π x/a)
对 Δ > 0，则 cos(x)更靠近高介电常数中心，因此频率较低
对 Δ << 1,Δω/ ω～ Δ /2
禁带
ω
0
π/a
sin
π
a
x
cos
π
a
x
a
ε
1
ε
2
ε
1
ε
2
ε
1
ε
2
ε
1
ε
2
ε
1
ε
2
ε
1
ε
2
x = 0
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23
3、电子晶体和光子晶体比较原子按金刚石结构排列电子能量周期性介质
Bloc
h
波
,
能带结构介质球按金刚石结构排列光子频率强相互作用：困难问题无相互作用：简单问题
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24
电子晶体和光子晶体比较
电子
强相互作用
* 难以描写
* 各种近似
光子
无相互作用
* 容易描写
* 任何精度
1,数值实验 ——离散时间和空间
2,用对称性和守恒定律描绘可能的态和相互作用：能带结构
5
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25
电子和光子本征值问题
电子
非线性本征值问题
* V与电荷密度 |ψ|
2
有关，必须自洽迭代求解
光子
简单线性问题
* 线性矩阵
* 已有很多计算方法
h
2
2m
2
+V
ψ= Eψ
×
1
ε
×
r
H =
ω
c
2
r
H
厄密矩阵 = 实数本征能量和频率,… 周期性 = Bloch’s定理 …
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26
禁带原因电子
动能加势能取极小光子
动能除势能取极小
Hermitian本征值问题
* 解正交归一并满足变分原理
ω
2
= minr
E
×
r
E
2
∫
ε
r
E
2
∫
c
2
高能带与低能带正交，低能带全占据，高低能带分离
振荡(高动能)或低介电常数 ε (高势能 )
( )VTE += min
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27
4、光子晶体的应用
利用频隙
* 反射镜、过滤器
* 偏振器、开关、
* 放大器、棱镜,…
利用靠近频带边界的效应：群速为零或为负
* 光波导
* 光聚焦器
* 负群速、负有效质量
* 负折射：超棱镜，超透镜
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28
高性能反射镜
如用无吸收材料制成的光子晶体，几乎100%反射某种频率的入射光
* 可制作高性能天线
金属？
* 在很大的频率范围内反射，但红外和光学波段有很大的吸收
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29
高效分光器
J,Opt,Soc,Am,B 18,162 (2001)
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30
负折射光子晶体
PRB 62,10696 (2000)
负折射率 聚焦二维棒
6
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31
光子晶体超级透镜
PRB 68,045115 (2003)
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32
制造缺陷：微腔微腔 波导
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33
腔缺陷
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34
腔缺陷
http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学
35
腔缺陷频带
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Photonic Band Gap
Γ XM Γ
fre
que
ncy
(c/
a
)
L
http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学
36
缺陷频带向上移动(小ε)
L
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
JJJ
JJ
J
J
J
JJJJ
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
JJJJ
J
J
J
J
J
J
JJJ
J
JJJ
J
J
JJ
J J
J
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Photonic Band Gap
Γ XM Γ
k ~ π/ L
束缚模边界处,k变化，因此不能束缚在频隙外
fre
que
ncy
(c/
a
)
7
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37
点缺陷使单个模从频隙边缘向上移动
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Photonic Band Gap
Γ XM Γ
fre
que
n
cy
(c/
a
)
0
ω
ω
curvature
~
0
ωω?
衰减
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38
点缺陷使单个模从频隙边缘向下移动
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Photonic Band Gap
Γ XM Γ
fre
que
ncy
(c/
a
)
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39
制造缺陷：波导微腔 波导
http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学
40
光子晶体波导
传统的介电波导可以支持直线传播的光，但在拐角处会损失能量
光子晶体波导不仅对直线路径而且对转角都有很高的效率
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41
投影频带
k不变一维周期
k
不守恒
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42
波导不需要完全频隙
8
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43
无散射由频隙禁止由频隙禁止
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44
完全频隙的好处
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45
波导+ 腔= 器件隧穿
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46
展望
自组织光学波段光子晶体；
光子晶体中的物理效应；
二维半导体光子晶体；
新型电磁晶体概念；
二维等离子体能带结构；
光子和声子能带结构；
二维光子晶体中的受激辐射；
三维光学禁带结构的制作；
非传统 PGB
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47
本讲要点
周期结构中波的传播
* 电子晶体
* 声子晶体
* 光子晶体
禁带原因
* 周期性散射
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48
概念要点
光子禁带
9
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49
思考问题
周期性结构结构中 XX波的传播？
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50
选做习题
一维光子晶体,ε(x) = ε(x+a)
ε
1
(x) = 1+ Δ cos(2π x/a)
且 Δ << 1，试用微扰法求频隙
http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学
1
第27讲、光子晶体
1,周期结构中波的传播
* 电子波
* 声波
* 光波
2,一维光子晶体总有禁带
3,电子晶体和光子晶体比较
4,光子晶体的应用专题 7：波在周期性结构中的传播
http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学
2
1、周期结构中波的传播
电导之迷 (19世纪 )
+
+
+
+
导体
+
e
–
e
–
r
E
r
J =σ
r
E
电流电导率(测量)
电子平均自由程
http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学
3
电子平均自由程之迷(19世纪)
+ + + + + + + +
+ + + + + + + +
+ + + + + + + +
+ + + + + + + +
晶体导体自由程是周期的 10
8
倍
e
–
e
–
r
E
r
J =σ
r
E
电流电导率(测量)
电子平均自由程
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4
Bloch定理给出了解释！
量子力学 ?电子是波
在周期性结构中传播的波没有散射
* Bloch定理！
* 解的形式为 Bloch波
而且这个极其重要的结论
* 并不依赖于与具体的波动方程！
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5
波在周期结构中
电子晶体
* de Broglie波 ?Scroedinger方程
* 原子排列 ?电子能隙：电绝缘体
声子晶体
* 格波、弹性波,Newton方程、弹性波波动方程
* 弹性常数材料周期排列 ?声波频隙,声,绝缘体,
光子晶体
* 电磁波,Maxwell方程
* 电磁介质材料排列 ?光子频隙：光,绝缘体,
XX晶体？
* XX波,XX方程？
* XX介质材料排列 ?XX,绝缘体,,,滤波器,？
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6
电子晶体
电子满足的不含时的 Schroedinger方程
周期性势场 V(r)= V(r+R)
Ψ (r)是电子波函数
de Broglie波长如果与 R相当，电子波在周期性结构传播并不自由，受约束形成 Bloch波
本征值性质
* 能量和波矢近似成二次抛物线关系，存在能隙
* 解为 Bloch波的形式 ——调幅平面波
( )[ ] () ()rrr ψψ EV =+
2
( )()
rk
kk
rr
=
i
euψ
2
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7
声子晶体
不含时弹性波波动方程
ρ 是质量密度,λ 和 μ 是 Lame系数,u是位移矢量
如果 ρ,λ 和 μ 也是空间位置 r的周期函数，
* 其解也满足 Bloch定理
ω有限制，形成频率隙，某些频率不能传播
()() uuu
2
2 ρωμμλ?=×?×+
() ( ) () ( )()( ),RrrRrrRrr +=+=+= μμλλρρ，，
() () () ( )Rrrrru
kk
rk
kk
+==
UUeU
i
，
http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学
8
超声波禁带
PRL 80,1208 (1998)
http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学
9
躁音禁带
Science 289,1734
(2000)
硅胶包裹着铅球
* SC,a=1.5cm
* 硬球软包裹层 ?
有效负弹性系数
* 晶格常数比带隙波长小两个量级
并不是 Bragg散射
* 而是局域共振结构产生的频隙
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10
光子晶体
不含时的 Maxwell方程,H也可以以 E替代
频率与介电常数有关，与波矢成线性关系
如介电常数 ε是位置的周期函数,ε(r)= ε(r+R)
受这个周期性介电常数的约束
* 方程为本征值方程
* 解也为 Bloch形式
ω有限制，形成频率隙，某些频率不能传播
HH
2
1
=×?×?
c
ω
ε
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11
散射电磁波传播、散射示意图
)(
~,
ti
e
ωrk
HE
λ
π
ω
2
/ == ck
k
http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学
12
二维光子晶体示意图
对于多数 λ,入射束能没有散射地通过晶体
但对某些 λ ~2a，不能通过：光子禁带
)(
~,
ti
e
ωrk
HE
λ
π
ω
2
/ == ck
k
a
3
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13
1D、2D、3D光子晶体示意图
带有光子禁带的光,绝缘体,
1887 1987
2-D
periodic in
two directions
3-D
periodic in
three di rections
1-D
periodic in
one direction
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14
三维光子晶体：完全禁带
APL 77,3490 (2000)
ε = 12:1
I,rod layer II,hole layer
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15
制作过程示意图
http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学
16
自然界中的光子晶体蝴蝶翅膀
6.21μm
孔雀羽毛蛋白石
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17
Maxwell方程
如果介电函数是周期性函数，则解满足 Bloch定理
r
×
r
E =?
1
c
t
r
H = i
ω
c
r
H
r
×
r
H =ε
1
c
t
r
E +
r
J = i
ω
c
ε
r
E
×
1
ε
×
r
H =
ω
c
2
r
H
本征算符 本征值 本征态
r
H = 0
ε (r)：介电函数，有约束
r
H (
r
x,t)= e
i
r
k?
r
x?ωt
()
r
H
r
k
(
r
x )
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18
面心立方光子晶体结构
PRL 63,1950 (1989)
* 球 —空气组成的人工介电晶体被实验观察到光子能带结构
4
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19
没有贯通整个Brillouin区频隙
PRL 65,2646 (1990)
* 在 Brillouin区的大部分区域有赝频隙
* 在 U点和 W-K轴，
有简并，没有贯通整个 Brillouin区
http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学
20
2、一维光子晶体都有禁带(1887)
对于均匀介质（与自由电子气好有一比）
* 频率与波矢成线性关系
ε
1
ω
k
0
ε
ω
ck
=
()
2
2
2
22
t
E
x
E
x
c
=
ε
() ()
( )tkxi
k
exUtxE
ω?
=,
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21
空晶格模型
假定有周期性
ε(x) = ε(x+a)
* 折叠
e
+
π
a
x
,e
π
a
x
→cos
π
a
x
,sin
π
a
x
k
ω
0
π/a-π/a
ε
1
ε
ω
ck
=
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22
微扰法看带隙
如有一微扰介电函数,ε(x) = 1+ Δ cos(2π x/a)
对 Δ > 0，则 cos(x)更靠近高介电常数中心，因此频率较低
对 Δ << 1,Δω/ ω～ Δ /2
禁带
ω
0
π/a
sin
π
a
x
cos
π
a
x
a
ε
1
ε
2
ε
1
ε
2
ε
1
ε
2
ε
1
ε
2
ε
1
ε
2
ε
1
ε
2
x = 0
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3、电子晶体和光子晶体比较原子按金刚石结构排列电子能量周期性介质
Bloc
h
波
,
能带结构介质球按金刚石结构排列光子频率强相互作用：困难问题无相互作用：简单问题
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电子晶体和光子晶体比较
电子
强相互作用
* 难以描写
* 各种近似
光子
无相互作用
* 容易描写
* 任何精度
1,数值实验 ——离散时间和空间
2,用对称性和守恒定律描绘可能的态和相互作用：能带结构
5
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电子和光子本征值问题
电子
非线性本征值问题
* V与电荷密度 |ψ|
2
有关，必须自洽迭代求解
光子
简单线性问题
* 线性矩阵
* 已有很多计算方法
h
2
2m
2
+V
ψ= Eψ
×
1
ε
×
r
H =
ω
c
2
r
H
厄密矩阵 = 实数本征能量和频率,… 周期性 = Bloch’s定理 …
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禁带原因电子
动能加势能取极小光子
动能除势能取极小
Hermitian本征值问题
* 解正交归一并满足变分原理
ω
2
= minr
E
×
r
E
2
∫
ε
r
E
2
∫
c
2
高能带与低能带正交，低能带全占据，高低能带分离
振荡(高动能)或低介电常数 ε (高势能 )
( )VTE += min
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4、光子晶体的应用
利用频隙
* 反射镜、过滤器
* 偏振器、开关、
* 放大器、棱镜,…
利用靠近频带边界的效应：群速为零或为负
* 光波导
* 光聚焦器
* 负群速、负有效质量
* 负折射：超棱镜，超透镜
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高性能反射镜
如用无吸收材料制成的光子晶体，几乎100%反射某种频率的入射光
* 可制作高性能天线
金属？
* 在很大的频率范围内反射，但红外和光学波段有很大的吸收
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高效分光器
J,Opt,Soc,Am,B 18,162 (2001)
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负折射光子晶体
PRB 62,10696 (2000)
负折射率 聚焦二维棒
6
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光子晶体超级透镜
PRB 68,045115 (2003)
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制造缺陷：微腔微腔 波导
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腔缺陷
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34
腔缺陷
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腔缺陷频带
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Photonic Band Gap
Γ XM Γ
fre
que
ncy
(c/
a
)
L
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缺陷频带向上移动(小ε)
L
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
JJJ
JJ
J
J
J
JJJJ
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
JJJJ
J
J
J
J
J
J
JJJ
J
JJJ
J
J
JJ
J J
J
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Photonic Band Gap
Γ XM Γ
k ~ π/ L
束缚模边界处,k变化，因此不能束缚在频隙外
fre
que
ncy
(c/
a
)
7
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点缺陷使单个模从频隙边缘向上移动
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Photonic Band Gap
Γ XM Γ
fre
que
n
cy
(c/
a
)
0
ω
ω
curvature
~
0
ωω?
衰减
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点缺陷使单个模从频隙边缘向下移动
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Photonic Band Gap
Γ XM Γ
fre
que
ncy
(c/
a
)
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制造缺陷：波导微腔 波导
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光子晶体波导
传统的介电波导可以支持直线传播的光，但在拐角处会损失能量
光子晶体波导不仅对直线路径而且对转角都有很高的效率
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投影频带
k不变一维周期
k
不守恒
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波导不需要完全频隙
8
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无散射由频隙禁止由频隙禁止
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完全频隙的好处
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波导+ 腔= 器件隧穿
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展望
自组织光学波段光子晶体；
光子晶体中的物理效应；
二维半导体光子晶体；
新型电磁晶体概念；
二维等离子体能带结构；
光子和声子能带结构；
二维光子晶体中的受激辐射；
三维光学禁带结构的制作；
非传统 PGB
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本讲要点
周期结构中波的传播
* 电子晶体
* 声子晶体
* 光子晶体
禁带原因
* 周期性散射
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概念要点
光子禁带
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思考问题
周期性结构结构中 XX波的传播？
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选做习题
一维光子晶体,ε(x) = ε(x+a)
ε
1
(x) = 1+ Δ cos(2π x/a)
且 Δ << 1，试用微扰法求频隙
