1
http://10.45.24.132/~jgche/固体物理学
1
第30讲、输运理论
1.概述
2,Boltzmann方程
*非平衡过程和非平衡分布函数
*非平衡分布函数的Boltzmann方程
3.电子—声子相互作用
4.弛豫时间与散射矩阵
5.金属电导率
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1、概述
非均匀体系：温度、密度、电势等不均匀
*将引起能量、粒子数、电荷的输运——输运现象
宏观唯象系数如热导系数、扩散系数、电导系数与微观性质的联系
*输运的原因是不均匀——宏观强度量的不均匀
*输运的核心是碰撞过程——否则，这些唯象系数将仅仅依赖于品两端相应的强度量差，而不是它们的梯度
EJ
J
J
σ?σ
κ
==
=
=
e
n
u
nD
T
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3
回到金属电导率问题
回顾
*不考虑具体结构，均匀正电背景——自由电子
*电子运动时原子核固定在平衡位置——能带理论
*考虑原子核运动时忽略电子的运动——晶格振动
周期性势场(能带理论)
*电子没有散射机制 ?电导率无限大 ?与实验不符
实验事实
*电导率随温度变化
*极低温下也有电阻（剩余电阻）
可能的解释
* Bloch定理的前提，周期性势场假定不成立？
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4
电阻机制——电子受晶体原子散射
问：电导率与温度有关意味着什么？
热运动！与晶格振动有关！
理想晶体中运动的电子没有被散射的机制
*电子是Bloch波，稳定态，无散射机制，永不衰减
电子受晶体中原子散射
*实际晶体总是不完整的：杂质、缺陷、表面，以及晶体中原子的热运动，会偏离周期性势场
*周期性势场的相干性被破坏，电子受散射 ?电阻
现在只考虑晶体原子热运动所引起的散射
*其他引起理想周期性破缺的描写比较复杂
*电子受晶格的散射 ?电子与声子相互作用
声子就是晶格热振动能量子，周期性隐含其中
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5
电子—声子相互作用图象
只考虑电子—声子相互作用，电子面对的不是静止晶格等，都在与声子相互作用中考虑
电阻就是声子与电子的相互作用的散射机制
*固体物理学典型处理问题方法相继传承、构成一幅完整的图象
电子散射：电子从外场中吸收能量，受声子散射——与声子（晶格）交换能量
*与晶格相互作用，激发晶格振动——声子
*电子通过这种形式，将能量传递给声子
*当然也可以反过来，电子从晶格中吸收能量
*这样，达到平衡时，形成非零的稳定电流
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6
处理问题框架
问：如何考虑散射导致的电阻？
*电子如受声子的散射，或在外场作用下，电子的状态会发生变化，注意，已经脱离原子的周期性排列
*这是一种非平衡过程，如何处理？
输运过程归结为对电子分布函数的影响
*考虑受晶格散射后电子分布函数的变化
*分布函数随时间的变化满足Boltzmann方程
* Boltzmann方程中碰撞项太复杂 ?弛豫时间近似 ?
问：如何描写晶格散射与弛豫时间的关系
绝热近似加微扰
*弛豫时间与温度的关系，得到电阻与温度的关系
外场的作用仍用半经典处理
2
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7
2、Boltzmann方程
出发点：散射对电子分布的影响
?分布函数满足的Boltzmann方程
分布函数f：t时刻，在第n能带中，在(r,k)相空间附近单位体积内电子数
*已经假定系统可以用单粒子Bloch函数定态描写
热平衡状态下，体系均匀，分布与r无关，电子系统的分布是Fermi分布
()[]
()
1
1
0
+
=
TkEE
BF
e
Ef
/k
k
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8
若分布函数f不受外电场影响，电流为零
考虑能带结构和电子的分布函数，电导应为
()
()()
∫
=
3
3
2
2
kkkvJ df
e
e
π
()
()() 0
2
2
3
03
≡?=
∫
kkkvJ df
e
e
π
如果分布函数f不受外电场的影响，即仍是平衡态分布，f
0
，那么由能带的反演对称性，即
* E(k)=E(-k)，可得，f
0
(k,T)= f
0
(-k,T)
此外，由速度与能带关系，可得速度是关于k是反对称的，即v(k)=-v(-k)，因此，如果分布函数f
0
不受外电场影响，电流为零
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9
非平衡分布函数
显然对于非平衡分布，
( ) ( )TfTf,,kk?≠
()
()() 0
2
2
3
3
≠?=
∫
kkkvJ df
e
e
π
不再是k的对称函数，如果假定外电场不影响能带结构，则速度k的关系不变，仍是，v(k)=-v(-k)，
则
电子在外场下偏离平衡态，这时即使撤离电场，
也不会自动恢复平衡
散射 ?平衡态：电子受到散射，使电子失去外电场中获得的定向运动，重新获得平衡
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10
非平衡分布函数满足的关系
偏离平衡态时，非平衡分布函数f 随空间位置r
和时间t 的变化而变化
( ) ( )dttdtdtftf=,kk,rr,k,r
&
&
即t 时刻(r,k) 处的电子来自前一t-dt时刻，…
如考虑碰撞，则加上一项碰撞项，即在其他地方经碰撞后到(r,k)处
()()dt
t
f
dttdtdtftf
碰撞
+=,kk,rr,k,r
&
&
如果不考虑碰撞，则
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碰撞
=
+
+
t
fff
t
f
k
k
r
r
&
&
碰撞
=
+
t
fff
k
k
r
r
&
&
前式展开，只保留对t 一次导数项，得
对稳态，第一项为零，得
这就是Boltzmann方程
*左边是漂移项，即两次碰撞之间的动力学规律所确定的，是可逆的
*右边是碰撞项，即使系统从非平衡趋于平衡，是不可逆的
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12
近看Boltzmann方程
即电子波矢的时间变化率与外场和能带结构有关
评论：实际上是用半经典的理论框架来处理本质上是量子力学的多粒子问题，虽有局限，但还是有效的，比如在半导体中的输运问题
解Boltzmann方程的困难在于碰撞项碰撞
=
+
t
fff
k
k
r
r
&
&
( ) ( ) ()
k
kE
k
kF
k
k
k
=
=
feff
hh
&
而稳定电流时，df/dr为零；而
3
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13
弛豫时间近似
考虑偏离平衡不远时，分布的时间变化率与偏离的程度和单位时间里碰撞的次数，即弛豫时间有关，
τ
0
ff
t
f?
=?
碰撞
其解为( )
τ/
110
0
t
etffff
===?
显然，这里f
1
表示对平衡分布函数的偏离，也即假定分布函数对外场的线性响应
现在的问题是，如何确定弛豫时间？
*两次碰撞（被声子散射）的时间间隔？
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14
3、电子—声子相互作用
晶体中，电子主要与晶格碰撞
*电子不会受晶格上静止原子作用
*电子与声子(晶格振动)的碰撞，即受声子的散射
如何描写电子被声子散射？
绝热近似作为零级近似，任一时刻，原子运动破坏周期性势场，电子受到这种非周期性势场的散射，即原子振动偏离平衡位置，偏离周期性势场
*与声子联系起来
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15
现在实际的哈密顿量为
( ) ( )[]
∑
=
R
R)R(uR'H
rVrV
( ) ( )
∑
=
R
RRu rV
u是原子振动偏离平衡位置，将此作为微扰
( )
∑
+=
R
)R(uRT
H
rV
( ) ( ) ( )[]
∑∑
+?+=
RR
R)R(uRRT
H
rVrVrV
'H
H
+=
0
现在u可与振动联系起来
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16
微扰项
考虑简单情况，即原胞内只有一个原子，仅有声学支，位移为
( ) ( )
() ()titi
eAeA
tA
ωω
ω
+=
=
RqRq
n?n?
Rqcosn?Ru
2
1
2
1
微扰势成为
()
()
∑
=
+=
±
±
+
R
Rq
Rrn?
'H
VeAs
sese
ti
titi
ω
ωω
2
1
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微扰矩阵元
正负号分别对应吸收或放出一个声子
由于声子能量远比电子小，可以看成是弹性散射，即对吸收或释放声子矩阵元相同
() ()[
() () ]ωδψψ
ωδψψ
π
h
h
h
+?+
=Θ
+
'kk
k'k
k'k
k'k'k,k
EEs
EEs
2
2
2
求微扰矩阵元，其中
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18
散射矩阵元为
()
∑
=
±
±
R
k'k
Rq
k'k
Rrn? ψψψψ VeAs
i
2
1
( )()rRr
k
Rk
k
ψψ
=+
i
e
利用波函数满足Bloch定理
()
()
∑
=
±?
±
R
k'k
Rq'kk
k'k
rn? ψψψψ VeAs
i
2
1
平移R后，得
4
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即电子受声子散射要保持能量、动量守恒
* K等于零的过程称为正常过程，即N过程
* K不等于零的过程称为倒逆过程，即U过程
声子的最大能量为k
B
Θ
D
量级
*所以声子散射引起的电子能量上的变化不大，即对电子发射或吸收声子在能量上变化不大，可以忽略
因此电子受声子散射主要是改变电子运动方向
总的微扰要考虑所有格波的贡献，因此还应对波矢q和振动各个方向n求和
Kq'kk =±?
求和还需满足动量守恒关系
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20
4、弛豫时间与散射矩阵
单位时间内，由于碰撞，电子从k态散射到k’态的几率是Θ
k,k’
，碰撞项可写成
[] []{}
∑
ΘΘ=
'k
'k,kk,'k
)'k()k()k()'k( ffff
t
f
11
碰撞
前一项表示，f(k’)分布的k’态电子，以散射矩阵Θ
k’,k
确定的几率散射到k态，但前提是这时k
态必须有空位，1-f(k)，才能散射到k态；
*后一项倒过来，从k到k’态
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21
在热平衡条件下，达到细致平衡
'k,kk,'k
ΘΘ =
[]
∑
Θ=
'k
k,'k
)k()'k( ff
t
f
碰撞
于是，
利用费米分布，在弹性散射的条件下，E=E’，
有
[] []
)'(1)()(1)'(
',',
kkkk
kkkk
ffff?Θ=?Θ
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22
因为假定偏离平衡态不远，f
1
是个小量
10
fff +=
则
[]
∑
Θ=
'k
k,'k
)k()'k(
11
ff
t
f
碰撞
与弛豫时间近似比较，得
∑
Θ=
'k
k,'k
)k(
)'k(
1
1
1
1
f
f
τ
∑
Θ?=
'k
k,'k
)k(
)'k(
)k(
1
1
1
1
f
f
f
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23
进一步简化
如果电子的费米面是球面，即各向同性的散射，
对于弹性散射，散射矩阵只依赖于k和k’的模与它们的夹角，取电场沿k
z
方向，则得
[]
∑∑
Θ=
Θ=
'k
k,'k
'k
,
k,'k
cos?
τ
11
1
z
z
k
k
表示电子沿电场方向因散射而损失的动量同原来动量之比，散射角大的电子对系统恢复到平衡贡献大
() ()
z
kEf?=k
1
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24
Θ
k,k’
与总的声子数变化相当
*已知低温时，声子比热与T
3
成正比，如声子平均能量为k
B
T，则总的声子数随T
3
变化
而
()
[]'kcos
k,'k
d
∫
Θ=?
π
τ
1
2
11
3?将求和改为积分
'k
k
q
2
DF
max
2
2
2
1
~
2
1
2
sin2cos1
Θ
==?
k
Tq
k
q
F
51
T≈
τ
所以
高温时声子数随T变化，而散射角与温度无关
T≈
τ
1
5
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25
5、金属电导率
由Boltzmann方程碰撞
=
+
t
fff
k
k
r
r
&
&
考虑金属处于恒定温度下，仅在外电场作用下
Ee
dt
d
=
k
h
如形成稳定的电流，这时第一项为零
第二项是外场作用改变状态，半经典处理外场作用。当外场是电场时，根据能带理论碰撞
=
t
ff
k
k
&
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26
碰撞项用弛豫时间近似，于是就有
τ
00
fffe?
=
kh
E
k?
=
0
1
fe
f
h
Eτ
即非平衡分布函数f
1
相当于平衡分布函数f沿电场相反方向刚性平移
)k()k(
h
Eτe
ff +=
0
即
等价于
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27
改写
E
fE
E
ff
=
=
000
)k(v
k
)k(
k
h
于是前式为()
τ
00
ff
E
fe?
=
kvh
h
E
即
()
E
f
ef
=
0
1
kvEτ
每个电子对电流密度的贡献为-ev，于是电流密度为(f
0
对电流的贡献为零)
kvJ df
e
∫
=
3
4π
kvdf
e
∫
=
13
4π
()kvv d
E
fe
∫
=
0
3
2
4
Eτ
π
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28
改为等能面（并假定是球面）上积分
()
∫
= dE
v
dS
E
fe
h
0
3
2
4
vvJ Eτ
π
E
=
∫
F
dS
v
e vv
J τ
π h
3
2
4
利用f在Fermi面处的分布的δ函数性质
电导率就是
∫
=
F
dS
v
e vv
τ
π
σ
h
3
2
4
( )k
k
E?
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29
电导率是个张量
∫
=
F
dS
v
vv
e
βα
αβ
τ
π
σ
h
3
2
4
对于立方晶体，电导率简化为标量
∫
=
F
x
xx
dS
v
ve
2
3
2
4
τ
π
σ
h
由于对称性
∫
=
Fxx
vdS
e
τ
π
σ
h
3
2
12
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30
假定导电电子可用有效质量描述，则弛豫时间与k无关，
*
m
k
v
F
k
F
h
=
()
*
m
Ene
F
τ
σ
2
=
根据前面弛豫时间与温度的关系，得到低温时
5
T~ρ
高温时T~ρ
形式上同经典，但用有效质量，弛豫时间的意义！
6
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31
本讲要点
电阻起因：电子受晶格振动、杂质的散射
晶格散射描写：绝热近似，偏离平衡位置视作微扰
分布函数变化：满足Boltzmann方程
解Boltzmann方程：采用弛豫时间近似
电导率形式上同经典方法，但用有效质量，弛豫时间与温度有关
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32
概念要点
非平衡分布函数及Boltzmann方程
漂移和碰撞
散射矩阵
弛豫时间
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33
思考问题
为什么过渡金属比简单金属有更大的电阻率？
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34
习题
1.有两块金属A和B，它们的能带结构分别是
E(k)=Ak
2
和E(k)=Bk
2
，已知A>B，如果它们的电子密度相等，受声子散射矩阵元也相等，试比较两块金属的电导率大小。
2.设f
0
(r,v)代表平衡时相空间的分布函数，f(E)为费米分布函数，试证明：
() ()Ef
m
f
3
3
0
2
,
h
=vr
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1
第30讲、输运理论
1.概述
2,Boltzmann方程
*非平衡过程和非平衡分布函数
*非平衡分布函数的Boltzmann方程
3.电子—声子相互作用
4.弛豫时间与散射矩阵
5.金属电导率
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2
1、概述
非均匀体系：温度、密度、电势等不均匀
*将引起能量、粒子数、电荷的输运——输运现象
宏观唯象系数如热导系数、扩散系数、电导系数与微观性质的联系
*输运的原因是不均匀——宏观强度量的不均匀
*输运的核心是碰撞过程——否则，这些唯象系数将仅仅依赖于品两端相应的强度量差，而不是它们的梯度
EJ
J
J
σ?σ
κ
==
=
=
e
n
u
nD
T
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3
回到金属电导率问题
回顾
*不考虑具体结构，均匀正电背景——自由电子
*电子运动时原子核固定在平衡位置——能带理论
*考虑原子核运动时忽略电子的运动——晶格振动
周期性势场(能带理论)
*电子没有散射机制 ?电导率无限大 ?与实验不符
实验事实
*电导率随温度变化
*极低温下也有电阻（剩余电阻）
可能的解释
* Bloch定理的前提，周期性势场假定不成立？
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电阻机制——电子受晶体原子散射
问：电导率与温度有关意味着什么？
热运动！与晶格振动有关！
理想晶体中运动的电子没有被散射的机制
*电子是Bloch波，稳定态，无散射机制，永不衰减
电子受晶体中原子散射
*实际晶体总是不完整的：杂质、缺陷、表面，以及晶体中原子的热运动，会偏离周期性势场
*周期性势场的相干性被破坏，电子受散射 ?电阻
现在只考虑晶体原子热运动所引起的散射
*其他引起理想周期性破缺的描写比较复杂
*电子受晶格的散射 ?电子与声子相互作用
声子就是晶格热振动能量子，周期性隐含其中
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5
电子—声子相互作用图象
只考虑电子—声子相互作用，电子面对的不是静止晶格等，都在与声子相互作用中考虑
电阻就是声子与电子的相互作用的散射机制
*固体物理学典型处理问题方法相继传承、构成一幅完整的图象
电子散射：电子从外场中吸收能量，受声子散射——与声子（晶格）交换能量
*与晶格相互作用，激发晶格振动——声子
*电子通过这种形式，将能量传递给声子
*当然也可以反过来，电子从晶格中吸收能量
*这样，达到平衡时，形成非零的稳定电流
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6
处理问题框架
问：如何考虑散射导致的电阻？
*电子如受声子的散射，或在外场作用下，电子的状态会发生变化，注意，已经脱离原子的周期性排列
*这是一种非平衡过程，如何处理？
输运过程归结为对电子分布函数的影响
*考虑受晶格散射后电子分布函数的变化
*分布函数随时间的变化满足Boltzmann方程
* Boltzmann方程中碰撞项太复杂 ?弛豫时间近似 ?
问：如何描写晶格散射与弛豫时间的关系
绝热近似加微扰
*弛豫时间与温度的关系，得到电阻与温度的关系
外场的作用仍用半经典处理
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2、Boltzmann方程
出发点：散射对电子分布的影响
?分布函数满足的Boltzmann方程
分布函数f：t时刻，在第n能带中，在(r,k)相空间附近单位体积内电子数
*已经假定系统可以用单粒子Bloch函数定态描写
热平衡状态下，体系均匀，分布与r无关，电子系统的分布是Fermi分布
()[]
()
1
1
0
+
=
TkEE
BF
e
Ef
/k
k
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若分布函数f不受外电场影响，电流为零
考虑能带结构和电子的分布函数，电导应为
()
()()
∫
=
3
3
2
2
kkkvJ df
e
e
π
()
()() 0
2
2
3
03
≡?=
∫
kkkvJ df
e
e
π
如果分布函数f不受外电场的影响，即仍是平衡态分布，f
0
，那么由能带的反演对称性，即
* E(k)=E(-k)，可得，f
0
(k,T)= f
0
(-k,T)
此外，由速度与能带关系，可得速度是关于k是反对称的，即v(k)=-v(-k)，因此，如果分布函数f
0
不受外电场影响，电流为零
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非平衡分布函数
显然对于非平衡分布，
( ) ( )TfTf,,kk?≠
()
()() 0
2
2
3
3
≠?=
∫
kkkvJ df
e
e
π
不再是k的对称函数，如果假定外电场不影响能带结构，则速度k的关系不变，仍是，v(k)=-v(-k)，
则
电子在外场下偏离平衡态，这时即使撤离电场，
也不会自动恢复平衡
散射 ?平衡态：电子受到散射，使电子失去外电场中获得的定向运动，重新获得平衡
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10
非平衡分布函数满足的关系
偏离平衡态时，非平衡分布函数f 随空间位置r
和时间t 的变化而变化
( ) ( )dttdtdtftf=,kk,rr,k,r
&
&
即t 时刻(r,k) 处的电子来自前一t-dt时刻，…
如考虑碰撞，则加上一项碰撞项，即在其他地方经碰撞后到(r,k)处
()()dt
t
f
dttdtdtftf
碰撞
+=,kk,rr,k,r
&
&
如果不考虑碰撞，则
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11
碰撞
=
+
+
t
fff
t
f
k
k
r
r
&
&
碰撞
=
+
t
fff
k
k
r
r
&
&
前式展开，只保留对t 一次导数项，得
对稳态，第一项为零，得
这就是Boltzmann方程
*左边是漂移项，即两次碰撞之间的动力学规律所确定的，是可逆的
*右边是碰撞项，即使系统从非平衡趋于平衡，是不可逆的
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12
近看Boltzmann方程
即电子波矢的时间变化率与外场和能带结构有关
评论：实际上是用半经典的理论框架来处理本质上是量子力学的多粒子问题，虽有局限，但还是有效的，比如在半导体中的输运问题
解Boltzmann方程的困难在于碰撞项碰撞
=
+
t
fff
k
k
r
r
&
&
( ) ( ) ()
k
kE
k
kF
k
k
k
=
=
feff
hh
&
而稳定电流时，df/dr为零；而
3
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13
弛豫时间近似
考虑偏离平衡不远时，分布的时间变化率与偏离的程度和单位时间里碰撞的次数，即弛豫时间有关，
τ
0
ff
t
f?
=?
碰撞
其解为( )
τ/
110
0
t
etffff
===?
显然，这里f
1
表示对平衡分布函数的偏离，也即假定分布函数对外场的线性响应
现在的问题是，如何确定弛豫时间？
*两次碰撞（被声子散射）的时间间隔？
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14
3、电子—声子相互作用
晶体中，电子主要与晶格碰撞
*电子不会受晶格上静止原子作用
*电子与声子(晶格振动)的碰撞，即受声子的散射
如何描写电子被声子散射？
绝热近似作为零级近似，任一时刻，原子运动破坏周期性势场，电子受到这种非周期性势场的散射，即原子振动偏离平衡位置，偏离周期性势场
*与声子联系起来
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15
现在实际的哈密顿量为
( ) ( )[]
∑
=
R
R)R(uR'H
rVrV
( ) ( )
∑
=
R
RRu rV
u是原子振动偏离平衡位置，将此作为微扰
( )
∑
+=
R
)R(uRT
H
rV
( ) ( ) ( )[]
∑∑
+?+=
RR
R)R(uRRT
H
rVrVrV
'H
H
+=
0
现在u可与振动联系起来
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16
微扰项
考虑简单情况，即原胞内只有一个原子，仅有声学支，位移为
( ) ( )
() ()titi
eAeA
tA
ωω
ω
+=
=
RqRq
n?n?
Rqcosn?Ru
2
1
2
1
微扰势成为
()
()
∑
=
+=
±
±
+
R
Rq
Rrn?
'H
VeAs
sese
ti
titi
ω
ωω
2
1
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微扰矩阵元
正负号分别对应吸收或放出一个声子
由于声子能量远比电子小，可以看成是弹性散射，即对吸收或释放声子矩阵元相同
() ()[
() () ]ωδψψ
ωδψψ
π
h
h
h
+?+
=Θ
+
'kk
k'k
k'k
k'k'k,k
EEs
EEs
2
2
2
求微扰矩阵元，其中
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18
散射矩阵元为
()
∑
=
±
±
R
k'k
Rq
k'k
Rrn? ψψψψ VeAs
i
2
1
( )()rRr
k
Rk
k
ψψ
=+
i
e
利用波函数满足Bloch定理
()
()
∑
=
±?
±
R
k'k
Rq'kk
k'k
rn? ψψψψ VeAs
i
2
1
平移R后，得
4
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19
即电子受声子散射要保持能量、动量守恒
* K等于零的过程称为正常过程，即N过程
* K不等于零的过程称为倒逆过程，即U过程
声子的最大能量为k
B
Θ
D
量级
*所以声子散射引起的电子能量上的变化不大，即对电子发射或吸收声子在能量上变化不大，可以忽略
因此电子受声子散射主要是改变电子运动方向
总的微扰要考虑所有格波的贡献，因此还应对波矢q和振动各个方向n求和
Kq'kk =±?
求和还需满足动量守恒关系
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20
4、弛豫时间与散射矩阵
单位时间内，由于碰撞，电子从k态散射到k’态的几率是Θ
k,k’
，碰撞项可写成
[] []{}
∑
ΘΘ=
'k
'k,kk,'k
)'k()k()k()'k( ffff
t
f
11
碰撞
前一项表示，f(k’)分布的k’态电子，以散射矩阵Θ
k’,k
确定的几率散射到k态，但前提是这时k
态必须有空位，1-f(k)，才能散射到k态；
*后一项倒过来，从k到k’态
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21
在热平衡条件下，达到细致平衡
'k,kk,'k
ΘΘ =
[]
∑
Θ=
'k
k,'k
)k()'k( ff
t
f
碰撞
于是，
利用费米分布，在弹性散射的条件下，E=E’，
有
[] []
)'(1)()(1)'(
',',
kkkk
kkkk
ffff?Θ=?Θ
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22
因为假定偏离平衡态不远，f
1
是个小量
10
fff +=
则
[]
∑
Θ=
'k
k,'k
)k()'k(
11
ff
t
f
碰撞
与弛豫时间近似比较，得
∑
Θ=
'k
k,'k
)k(
)'k(
1
1
1
1
f
f
τ
∑
Θ?=
'k
k,'k
)k(
)'k(
)k(
1
1
1
1
f
f
f
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23
进一步简化
如果电子的费米面是球面，即各向同性的散射，
对于弹性散射，散射矩阵只依赖于k和k’的模与它们的夹角，取电场沿k
z
方向，则得
[]
∑∑
Θ=
Θ=
'k
k,'k
'k
,
k,'k
cos?
τ
11
1
z
z
k
k
表示电子沿电场方向因散射而损失的动量同原来动量之比，散射角大的电子对系统恢复到平衡贡献大
() ()
z
kEf?=k
1
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24
Θ
k,k’
与总的声子数变化相当
*已知低温时，声子比热与T
3
成正比，如声子平均能量为k
B
T，则总的声子数随T
3
变化
而
()
[]'kcos
k,'k
d
∫
Θ=?
π
τ
1
2
11
3?将求和改为积分
'k
k
q
2
DF
max
2
2
2
1
~
2
1
2
sin2cos1
Θ
==?
k
Tq
k
q
F
51
T≈
τ
所以
高温时声子数随T变化，而散射角与温度无关
T≈
τ
1
5
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25
5、金属电导率
由Boltzmann方程碰撞
=
+
t
fff
k
k
r
r
&
&
考虑金属处于恒定温度下，仅在外电场作用下
Ee
dt
d
=
k
h
如形成稳定的电流，这时第一项为零
第二项是外场作用改变状态，半经典处理外场作用。当外场是电场时，根据能带理论碰撞
=
t
ff
k
k
&
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26
碰撞项用弛豫时间近似，于是就有
τ
00
fffe?
=
kh
E
k?
=
0
1
fe
f
h
Eτ
即非平衡分布函数f
1
相当于平衡分布函数f沿电场相反方向刚性平移
)k()k(
h
Eτe
ff +=
0
即
等价于
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27
改写
E
fE
E
ff
=
=
000
)k(v
k
)k(
k
h
于是前式为()
τ
00
ff
E
fe?
=
kvh
h
E
即
()
E
f
ef
=
0
1
kvEτ
每个电子对电流密度的贡献为-ev，于是电流密度为(f
0
对电流的贡献为零)
kvJ df
e
∫
=
3
4π
kvdf
e
∫
=
13
4π
()kvv d
E
fe
∫
=
0
3
2
4
Eτ
π
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改为等能面（并假定是球面）上积分
()
∫
= dE
v
dS
E
fe
h
0
3
2
4
vvJ Eτ
π
E
=
∫
F
dS
v
e vv
J τ
π h
3
2
4
利用f在Fermi面处的分布的δ函数性质
电导率就是
∫
=
F
dS
v
e vv
τ
π
σ
h
3
2
4
( )k
k
E?
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电导率是个张量
∫
=
F
dS
v
vv
e
βα
αβ
τ
π
σ
h
3
2
4
对于立方晶体，电导率简化为标量
∫
=
F
x
xx
dS
v
ve
2
3
2
4
τ
π
σ
h
由于对称性
∫
=
Fxx
vdS
e
τ
π
σ
h
3
2
12
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30
假定导电电子可用有效质量描述，则弛豫时间与k无关，
*
m
k
v
F
k
F
h
=
()
*
m
Ene
F
τ
σ
2
=
根据前面弛豫时间与温度的关系，得到低温时
5
T~ρ
高温时T~ρ
形式上同经典，但用有效质量，弛豫时间的意义！
6
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本讲要点
电阻起因：电子受晶格振动、杂质的散射
晶格散射描写：绝热近似，偏离平衡位置视作微扰
分布函数变化：满足Boltzmann方程
解Boltzmann方程：采用弛豫时间近似
电导率形式上同经典方法，但用有效质量，弛豫时间与温度有关
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概念要点
非平衡分布函数及Boltzmann方程
漂移和碰撞
散射矩阵
弛豫时间
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思考问题
为什么过渡金属比简单金属有更大的电阻率？
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习题
1.有两块金属A和B，它们的能带结构分别是
E(k)=Ak
2
和E(k)=Bk
2
，已知A>B，如果它们的电子密度相等，受声子散射矩阵元也相等，试比较两块金属的电导率大小。
2.设f
0
(r,v)代表平衡时相空间的分布函数，f(E)为费米分布函数，试证明：
() ()Ef
m
f
3
3
0
2
,
h
=vr
