1
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1
第29讲、晶格振动谱的实验测量
1,声子态密度 ——频谱密度
2,确定振动谱的实验方法
3,例题
4,晶格振动总结
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2
1、声子态密度——频谱密度
定义：频率在 ω ~ω +dω 的振动模式 (格波 )数为
ρ (ω )dω,ρ (ω )即声子态密度
与电子态密度相似，奇点的性质也相似
()
()
()[]
() ()
∫∫
=?=
q
qq
l
ll
dSV
d
V
ωπ
ωωδ
π
ωρ
33
22
() ()
() ()
∑
∫
∑
==
l ll
l
dSV
qωπ
ωρωρ
3
2
k
x
k
y
k
z
dSdk
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3
Debye近似的声子态密度
Debye近似 () qvq
p
=ω
所以
()
>
<
=
D
D3
2
2
,0
,
2
3
ωω
ωω
ω
πωρ
p
v
V
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4
Einstein近似的声子态密度
Einstein近似的频率是常数，与波矢无关，所以
( )( )
EinsteinEinstein
3 ωωδωρ?= N
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5
2、确定振动谱的实验方法色散关系 ω(q)
中子非弹性散射 吸收或发射声 子为什么中子？
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6
中子性质
中子仅与核有相互作用，可以毫无困难地穿透晶体
使用中子能量,0.01eV数量级，与声子的能量相同数量级
这样能量的中子的德布洛依波长几个埃，与晶格常数同数量级
2
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7
Kqpp hh +±='
()q
pp
ωh±=
mm 22
'
22
中子和声子相互作用能量守恒
kk’
动量守恒
+吸收声子
-激发声子
)Kq()q( +?ωω
选择倒格矢 K使
q在第一布里渊区
±=
h
h
pppp '
22
'
22
ω
mm
守恒关系现为
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8
虽然不能发射声子，但可能吸收一个声子，对任何声子，至少有一个解
真实情况入射中子能量不为零
()'
2
'
22
p
p
ωh
h
=
m
如果入射中子能量为零，或很小可忽略（冷中子散射），则守恒关系为
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9
入射中子能量不为零
*改写守恒关系，将前图平移-k，再向下平移
交点即解，得到一些分裂的 k’值，得到频率
实验中，改变入射能量、角度，探测中子方向，就可以得到完整的频谱
()( )()kkkk Δ=?Δ+ ωhhhh EE
( )khE
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10
中子散射铅 (面心立方 )的振动谱。实心圆、
空心圆和叉分别是三次测量的结果，引自
Phys,Rev,128,
1099 (1962).
可以看到在
Gamm到 X轴上，两个横向模是简并的
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11
中子散射铝 (面心立方 )的声子谱，
引自 J,Yarnell,
Lattice Dynamics,
Pergamon,New York,
1965.
注意两个横向模在
Gamm到 X点简并
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12
光子受声子的非弹性散射
可见光吸收或发射声子而被散射，能量变化很小，但是现代技术还是可以测量的
频率和波矢分别为 ω,k的光子入射到晶体上，
参与散射的声子的频率和波矢分别为 ω
s
(q),
q,散射光子的频率和波矢分别为 ω ’,k’
*在晶体中，光的波矢是真空中的n倍，n是折射率
光子波矢改变很小，近似等腰三角形
*可确定q
动量和能量守衡给出：
Kqkk ±±= nn '( )q
s
ωωω hhh ±='
k
k’ q
3
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13
拉曼散射和布里渊散射
可见光波矢比第一 B区尺度小得多，所以只有声子波矢 q在第一 B区，动量守恒才能被满足，
确定 B区中心附近频谱：
*发射和吸收光学声子的散射称为拉曼散射
*发射和吸收声学声子的散射称为布里渊散射
光子频率改变确定声子频率
思考：能否用 X射线做散射实验？优缺点？
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14
3、例题这里 r为两离子间距,n和 b常数
1,确定晶格常数，力常数
2,若只考虑最近邻原子相互作用，在简谐近似下，求色散关系和频率分布函数
3,若采用 Debye模型，求频率分布函数,Debye
温度设有一维离子晶体，正负离子的质量分别为 M
+
和 M
-
，它们之间的势能可表示成
n
n
nr
b
r
rU
1
1
+?=)(
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15
解
根据势能导数为零的点是平衡位置，即在平衡位置时,U(r)取极小值
0
11)(
1
1
21
1
2
=?=?=
+
=
+
n
n
ar
n
n
a
b
ar
b
rdr
rdU
ba =
3
2
1
32
2
)1(
)1(2)(
+
=
=
+
+?== bn
b
bn
bdr
rUd
n
n
br
β
可以得到晶格常数 2a。
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16
运动方程
)(
)(
221232
2
22
2
12222
2
12
2
+++
+
+
++
+
+=
+=
nnn
n
nnn
n
xxx
dt
xd
M
xxx
dt
xd
M
β
β
令解具有形式
[]
()[]taqni
n
taqni
n
Bex
Aex
ω
ω
+
+
+
+
=
=
22
22
)12(
12
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17
代入后可得
[]
++±+=
+?+?+
+
2
1
222
22 )cos()()( qaMMMMMM
MM
q
β
ω
=
21
22
4
11
/
)(sin)( qa
M
q
μ
μ
β
ω
声学
+=
21
22
4
11
/
)(sin)( qa
M
q
μ
μ
β
ω
光学
+
+
+== MMM
M
MM
μ
最大声学
M
β
ω
2
0 ≤≤
μ
β
ω
β 22
≤≤
光学最小
M
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18
一维时，频率分布函数为
()
()
∑∑
=
=
i
i
i i
dq
qdL
q
L
1
1 )(ω
πωπ
ωρ
共有两支格波。对声学支格波，可得
( ) ( )[ ]
()
2
21
2222
2
224
声学声学声学声学声学
μωβ
μωβωμωββω
=
M
Ma
dq
qd
/
)(
对光学支格波，可得
( )( )[ ]
()
2
21
2222
2
224
光学光学光学光学光学
μωβ
μωβωμωββω
=
M
Ma
dq
qd
/
)(
4
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19
若采用 Debye模型，则
qv
p
=ω
一维时
()
p
v
L
d
dqL 1
πωπ
ωρ ==
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20
在一维双原子的情况下，晶体的总自由度数
a
L
a
L
N ==
2
2
2
所以
()
∫
==
D
a
L
Nd
ω
ωωρ
0
2
于是
D
pp
v
L
d
v
L
d
a
L DD
ω
π
ω
π
ωωρ
ωω
===
∫∫
00
)(
ak
v
k
B
p
B
D
D
π
ω
h
h
==Θ
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21
例题
设三维晶体在 q~0附近的一支光学支的色散关系为求频率分布函数。
() ( )
222
0 zzyyxx
qAqAqA ++?=ωω q
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22
解
等频率面方程为( ) Ω≡? qωω
0
令
zyx
AcAbAa /// Ω=Ω=Ω=
222
有
1
2
2
2
2
2
2
=++
c
q
b
q
a
q
z
y
x
1
2
2
2
=
Ω
+
Ω
+
Ω
z
z
y
y
x
x
A
q
A
q
A
q
///
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23
在等频率面内的振动模数
()
()
()
()
21
23
0
23
63
4
2
/
/
zyx
AAA
V
abc
V
N
ωω
π
π
π
ω
==
于是，根据频谱密度的定义
()
() ()
()
21
21
0
2
4
11
/
/
zyx
AAAd
dN
V
ωω
πω
ω
ωρ
==
可以从频谱密度公式，也可从频谱密度的定义，即 ω ~ω +dω 之间的状态数，从 q空间状态密度是常数求频谱密度
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24
例题
对长度为 L的一维原子链如果只考虑最近邻相互作用，试证明格林爱森常数
Ld
d
ln
lnω
γ?=
与波矢 q无关。
5
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25
q的取值
2
sin
4
22
qa
M
β
ω =
,...3,2,1,0,
2
±±±== nn
L
q
π
n
N
na
Na
na
L
qa
πππ 222
===
N
n
M
πβ
ω
22
sin
4
=
对其取对数后
+?
=
N
n
M
πβ
ω
2
sinln2
4
lnln2
da
da
ad
d
Ld
d β
β
βω
γ
2ln2
ln
ln
ln
=?=?=
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26
例题
η 和 ζ 均为常数。只考虑最近邻原子作用
求简谐近似下求色散关系和比热
考虑非简谐项，求 Grueneisen常数和它的线膨胀系数
322
0
6
1
2
1
2
1
rrraaUrU ζηζη ++?
+?=)(
一维单原子链，原子质量 M，在平衡位置附近两原子间的相互作用势能为
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27
解
晶格常数为 a，力常数
()
a
dr
rUd
ar
ζηβ +=
=
=
2
2
可得解为
()
2
2
qa
M
q sin
β
ω =
频率分布函数为
()
21
2
11
42
2
/
cos
=== ω
β
πβπ
ω
π
ωρ
Ma
LqaM
a
L
dq
dL
M
β
ω 2=
最大
Mkk
BB
D
βω hh 2
==Θ
最大
Debye温度为力常数与晶格常数有关
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28
如令
()()
∫
Θ
Θ?
=
T
D
x
x
BV
D
xTe
dxex
k
a
L
C
/
/
0 22
2
2
1
2
π
可得比热为
Tk
x
B
ωh
=
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29
由前一例题得到,Grueneisen常数在一维时为
da
da
Ld
d
Vd
d β
β
ωω
γ
2
1
ln
ln
ln
ln
=?=?=
所以
a
aa
da
da
ζη
ζ
β
β
β
γ
+
=?=
2
1
2
1
即 Grueneisen常数取决于非简谐项系数
0>+= aζηβ 0>η简谐项系数,ζη?>a/
()()()
3223
0
62
1
2
1
3
1
)( araraaaUrU?+?++=
ζ
ζηηζ
将势能按平衡位置写成
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30
热膨胀系数可写成
B
c
V
γ
α =
一维时，弹性模量为
()aa
r
U
ar
a
B ζη+=?
=
于是
()
2
2 aa
a
c
V
ζη
ζ
α
+
=
热膨胀系数与非简谐项系数有关
6
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31
例题：声子态密度当色散关系为 ω =v
p
q
2
时，求一、二、三维空间的声子态密度？
回忆：电子气能量态密度？
2
2
2
k
m
E
h
=
21/
)( EE
三维
ρ
CE
二维
)(ρ
21/
)(
EE
一维
ρ
预计：声子态密度？
21/
)( ωωρ
三维
C
二维
)(ωρ
21/
)(
ωωρ
一维
2
qv
p
=ω
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32
2
qv
p
=ω
对于三维情况，在 q空间，等频率面为球面，
半径为
p
v
q
ω
=
在球面上是常数，面积 4π q
2
qv
pq
2=? ω
由
()
() () ()
21
23
2
2
33
2
2
4
22
/
/
ω
π
π
πωπ
ωρ
p
pq
v
V
qv
qVdSV
==
=
∫
21/
)( ωωρ
三维
即
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33
二维时，等频率线实际上是一个圆环，半径为
p
v
q
ω
=
线长为 qπ2
所以
()
() ()
ppq
v
S
qv
qSdlS
π
π
πωπ
ωρ
42
2
22
22
==
=
∫
即
C
二维
)(ωρ
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34
一维时，等频率点为两个关于原点对称点，距离是
()
() ()
21
2
2
2
2
2
2
/?
==
= ω
π
πωπ
ωρ
p
pq
v
L
qv
LL
21/
)(
ωωρ
一维
即
p
v
q
ω
=
于是
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35
4、晶格振动总结：运动方程和解
简谐近似
平衡位置，力常数
2
2
2
0
2
1
δδβδ
arar
dr
Ud
dr
dU
UUF
==
+?
+=?=
arar
dr
Ud
dr
dU
==
==?
2
2
0 β
运动方程（一维双原子链）
()
()
+=
+=
+
++
+
nnn
n
nnn
n
xxx
dt
xd
M
xxx
dt
xd
m
212122
2
2
122222
12
2
2
2
β
β
尝试解
=
=
+
+
tinaiq
n
tianiq
n
Bex
Aex
ω
ω
2
2
12
12
)(
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36
振动特性：色散关系
声学支,q ?0,ω ?0
() () ()[ ]{ }
21222
22
/
cos qamMMmMm
mM
q ++?+=
β
ω
() Mm
M
q <=<<
2
0
22
最大
ω
β
ω
()
Mm
a
vqv
Mm
qa
q
pp
q
+
==
+
=
→
222
0
2
2
2 β
ω
β
ω
光学支,q ?0,ω ?常数
() () ()[ ]{ }
21222
22
/
cos qamMMmMm
mM
q ++++=
β
ω
()
222
2
2
最大最小
ω
μ
β
ω
β
ω =<<= q
m
7
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37
振幅比
对声学支
()
( )
2
2
2
2
2
2
ωβ
β
β
ωβ
m
qa
qa
M
B
A
=
=
cos
cos
()
0
2
2
2
>
=
qa
M
B
A
cosβ
ωβ
1
0→
=
q
B
A
对光学支
()
0
2
2
2
<
=
ωβ
β
m
qa
B
A cos
1
0
=
→q
B
A
色散关系满足（ K倒格矢）
() ( ) () ( )qqKqq?=+= ωωωω,
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38
声学支格波,q ?0
*色散关系：线性；
*所有原子有相同振幅；
*如原胞内只有一个原子，
则只有声学支格波。
光学支格波,q ?0
*色散关系：常数
*原胞内原子质心保持不动的振动
*原胞内原子数s>1时，才有光学支格波格。
三维时有 3支声学波，有 3s-3支光学波
q
ω
π/a?π/a
声学支光学支
LO
LA
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39
LA
0=q
LO
TA
TO
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40
LA
a
q
π
±=
LO
TA
TO
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41
声学支格波：质心运动光学支格波：原胞内原子的相对运动
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42
热学性质：格波与声子
晶格振动的简正模式：频率为 ω 和波矢为 q的平面波,q取分立值，共 N个
不同的 ω (q)，代表格波的不同模式
格波的能量是量子化的 ——其能量量子称为声子
)(
2
1
)( qq
lll
n ωε h?
+=
声子是准粒子，准动量为
qh
声子数分布
1
1
=
Tkl
Bl
e
n
/)q(
)q(
ωh
8
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43
比热
振动能量
( )
∑
∫
=
s
Tk
B
e
d
U
1
/ω
ωωωρ
h
h
比热
()
∑
∫
=
=
s
TkV
B
e
d
TT
U
C
1
/ω
ωωωρ
h
h
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44
声子态密度
频谱密度（声子状态密度）的定义：
ω ~ω +dω 间隔内简正振动的模式数
()
()
()[]
∑
∫
=
s
BZ
s
d
1
3
2
q
q
ωωδ
π
ωρ
()
() ()
∑
∫
=
s
S s
dS
qωπ
ωρ
3
2
1
() ( )
EE
n ωωδωρ?= 3
()
>
=<
=
D
D32
2
0
2
3
ωω
ωω
π
ω
ωρ
,
,
pD
pD
vq
v
爱因斯坦模型
德拜模型
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45
非谐效应：热传导
非简谐效应：各种格波可以相互作用
*声子相互作用 ?声子碰撞 ?有相互作用的声子气
声子气体的热导率
Kqqq +=+
=+
321
321
ωωω hhh
高温时
()
()
()q
Tk
e
qn
B
Tkq
B
ω
ω
h
h
≈
=
1
1
/
低温时 ()
()
T
TTkq
D
DB
e
ee
qn
/
//
Θ?
Θ
≈
≈
=
1
1
1
1
ωh
pV
vc λκ
3
1
=
需要确定自由程。守恒关系
T/~ 1λ
T
D
e
α
λ
/
~
Θ
对热导有贡献的主要是 K不等于零的碰撞
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46
非谐效应：热膨胀
简谐近似不会引起热膨胀：解释？
自由能
B
c
V
γ
α =
Vln
ln
=
ω
γ
V
E
V
VU
p γ+
=
)(
格林爱森常数
热膨胀系数
( )
∑
++=
i
Tk
Bi
Bi
eTkVUF
/
ln)(
ω
ω
h
h 1
2
1
格林爱森状态方程
http://10.45.24.132/~jgche/固体物理学
47
思考问题
X射线能不能被用来测量振动谱？
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48
习题
1,5.3
2,应用 Debye模型，计算二维情况下晶格振动的
Debye温度，晶格比热。
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1
第29讲、晶格振动谱的实验测量
1,声子态密度 ——频谱密度
2,确定振动谱的实验方法
3,例题
4,晶格振动总结
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2
1、声子态密度——频谱密度
定义：频率在 ω ~ω +dω 的振动模式 (格波 )数为
ρ (ω )dω,ρ (ω )即声子态密度
与电子态密度相似，奇点的性质也相似
()
()
()[]
() ()
∫∫
=?=
q
l
ll
dSV
d
V
ωπ
ωωδ
π
ωρ
33
22
() ()
() ()
∑
∫
∑
==
l ll
l
dSV
qωπ
ωρωρ
3
2
k
x
k
y
k
z
dSdk
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3
Debye近似的声子态密度
Debye近似 () qvq
p
=ω
所以
()
>
<
=
D
D3
2
2
,0
,
2
3
ωω
ωω
ω
πωρ
p
v
V
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4
Einstein近似的声子态密度
Einstein近似的频率是常数，与波矢无关，所以
( )( )
EinsteinEinstein
3 ωωδωρ?= N
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5
2、确定振动谱的实验方法色散关系 ω(q)
中子非弹性散射 吸收或发射声 子为什么中子？
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6
中子性质
中子仅与核有相互作用，可以毫无困难地穿透晶体
使用中子能量,0.01eV数量级，与声子的能量相同数量级
这样能量的中子的德布洛依波长几个埃，与晶格常数同数量级
2
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7
Kqpp hh +±='
()q
pp
ωh±=
mm 22
'
22
中子和声子相互作用能量守恒
kk’
动量守恒
+吸收声子
-激发声子
)Kq()q( +?ωω
选择倒格矢 K使
q在第一布里渊区
±=
h
h
pppp '
22
'
22
ω
mm
守恒关系现为
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8
虽然不能发射声子，但可能吸收一个声子，对任何声子，至少有一个解
真实情况入射中子能量不为零
()'
2
'
22
p
p
ωh
h
=
m
如果入射中子能量为零，或很小可忽略（冷中子散射），则守恒关系为
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9
入射中子能量不为零
*改写守恒关系，将前图平移-k，再向下平移
交点即解，得到一些分裂的 k’值，得到频率
实验中，改变入射能量、角度，探测中子方向，就可以得到完整的频谱
()( )()kkkk Δ=?Δ+ ωhhhh EE
( )khE
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10
中子散射铅 (面心立方 )的振动谱。实心圆、
空心圆和叉分别是三次测量的结果，引自
Phys,Rev,128,
1099 (1962).
可以看到在
Gamm到 X轴上，两个横向模是简并的
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11
中子散射铝 (面心立方 )的声子谱，
引自 J,Yarnell,
Lattice Dynamics,
Pergamon,New York,
1965.
注意两个横向模在
Gamm到 X点简并
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12
光子受声子的非弹性散射
可见光吸收或发射声子而被散射，能量变化很小，但是现代技术还是可以测量的
频率和波矢分别为 ω,k的光子入射到晶体上，
参与散射的声子的频率和波矢分别为 ω
s
(q),
q,散射光子的频率和波矢分别为 ω ’,k’
*在晶体中，光的波矢是真空中的n倍，n是折射率
光子波矢改变很小，近似等腰三角形
*可确定q
动量和能量守衡给出：
Kqkk ±±= nn '( )q
s
ωωω hhh ±='
k
k’ q
3
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13
拉曼散射和布里渊散射
可见光波矢比第一 B区尺度小得多，所以只有声子波矢 q在第一 B区，动量守恒才能被满足，
确定 B区中心附近频谱：
*发射和吸收光学声子的散射称为拉曼散射
*发射和吸收声学声子的散射称为布里渊散射
光子频率改变确定声子频率
思考：能否用 X射线做散射实验？优缺点？
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14
3、例题这里 r为两离子间距,n和 b常数
1,确定晶格常数，力常数
2,若只考虑最近邻原子相互作用，在简谐近似下，求色散关系和频率分布函数
3,若采用 Debye模型，求频率分布函数,Debye
温度设有一维离子晶体，正负离子的质量分别为 M
+
和 M
-
，它们之间的势能可表示成
n
n
nr
b
r
rU
1
1
+?=)(
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15
解
根据势能导数为零的点是平衡位置，即在平衡位置时,U(r)取极小值
0
11)(
1
1
21
1
2
=?=?=
+
=
+
n
n
ar
n
n
a
b
ar
b
rdr
rdU
ba =
3
2
1
32
2
)1(
)1(2)(
+
=
=
+
+?== bn
b
bn
bdr
rUd
n
n
br
β
可以得到晶格常数 2a。
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16
运动方程
)(
)(
221232
2
22
2
12222
2
12
2
+++
+
+
++
+
+=
+=
nnn
n
nnn
n
xxx
dt
xd
M
xxx
dt
xd
M
β
β
令解具有形式
[]
()[]taqni
n
taqni
n
Bex
Aex
ω
ω
+
+
+
+
=
=
22
22
)12(
12
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17
代入后可得
[]
++±+=
+?+?+
+
2
1
222
22 )cos()()( qaMMMMMM
MM
q
β
ω
=
21
22
4
11
/
)(sin)( qa
M
q
μ
μ
β
ω
声学
+=
21
22
4
11
/
)(sin)( qa
M
q
μ
μ
β
ω
光学
+
+
+== MMM
M
MM
μ
最大声学
M
β
ω
2
0 ≤≤
μ
β
ω
β 22
≤≤
光学最小
M
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18
一维时，频率分布函数为
()
()
∑∑
=
=
i
i
i i
dq
qdL
q
L
1
1 )(ω
πωπ
ωρ
共有两支格波。对声学支格波，可得
( ) ( )[ ]
()
2
21
2222
2
224
声学声学声学声学声学
μωβ
μωβωμωββω
=
M
Ma
dq
qd
/
)(
对光学支格波，可得
( )( )[ ]
()
2
21
2222
2
224
光学光学光学光学光学
μωβ
μωβωμωββω
=
M
Ma
dq
qd
/
)(
4
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19
若采用 Debye模型，则
qv
p
=ω
一维时
()
p
v
L
d
dqL 1
πωπ
ωρ ==
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20
在一维双原子的情况下，晶体的总自由度数
a
L
a
L
N ==
2
2
2
所以
()
∫
==
D
a
L
Nd
ω
ωωρ
0
2
于是
D
pp
v
L
d
v
L
d
a
L DD
ω
π
ω
π
ωωρ
ωω
===
∫∫
00
)(
ak
v
k
B
p
B
D
D
π
ω
h
h
==Θ
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21
例题
设三维晶体在 q~0附近的一支光学支的色散关系为求频率分布函数。
() ( )
222
0 zzyyxx
qAqAqA ++?=ωω q
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22
解
等频率面方程为( ) Ω≡? qωω
0
令
zyx
AcAbAa /// Ω=Ω=Ω=
222
有
1
2
2
2
2
2
2
=++
c
q
b
q
a
q
z
y
x
1
2
2
2
=
Ω
+
Ω
+
Ω
z
z
y
y
x
x
A
q
A
q
A
q
///
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23
在等频率面内的振动模数
()
()
()
()
21
23
0
23
63
4
2
/
/
zyx
AAA
V
abc
V
N
ωω
π
π
π
ω
==
于是，根据频谱密度的定义
()
() ()
()
21
21
0
2
4
11
/
/
zyx
AAAd
dN
V
ωω
πω
ω
ωρ
==
可以从频谱密度公式，也可从频谱密度的定义，即 ω ~ω +dω 之间的状态数，从 q空间状态密度是常数求频谱密度
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24
例题
对长度为 L的一维原子链如果只考虑最近邻相互作用，试证明格林爱森常数
Ld
d
ln
lnω
γ?=
与波矢 q无关。
5
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25
q的取值
2
sin
4
22
qa
M
β
ω =
,...3,2,1,0,
2
±±±== nn
L
q
π
n
N
na
Na
na
L
qa
πππ 222
===
N
n
M
πβ
ω
22
sin
4
=
对其取对数后
+?
=
N
n
M
πβ
ω
2
sinln2
4
lnln2
da
da
ad
d
Ld
d β
β
βω
γ
2ln2
ln
ln
ln
=?=?=
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26
例题
η 和 ζ 均为常数。只考虑最近邻原子作用
求简谐近似下求色散关系和比热
考虑非简谐项，求 Grueneisen常数和它的线膨胀系数
322
0
6
1
2
1
2
1
rrraaUrU ζηζη ++?
+?=)(
一维单原子链，原子质量 M，在平衡位置附近两原子间的相互作用势能为
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27
解
晶格常数为 a，力常数
()
a
dr
rUd
ar
ζηβ +=
=
=
2
2
可得解为
()
2
2
qa
M
q sin
β
ω =
频率分布函数为
()
21
2
11
42
2
/
cos
=== ω
β
πβπ
ω
π
ωρ
Ma
LqaM
a
L
dq
dL
M
β
ω 2=
最大
Mkk
BB
D
βω hh 2
==Θ
最大
Debye温度为力常数与晶格常数有关
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28
如令
()()
∫
Θ
Θ?
=
T
D
x
x
BV
D
xTe
dxex
k
a
L
C
/
/
0 22
2
2
1
2
π
可得比热为
Tk
x
B
ωh
=
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29
由前一例题得到,Grueneisen常数在一维时为
da
da
Ld
d
Vd
d β
β
ωω
γ
2
1
ln
ln
ln
ln
=?=?=
所以
a
aa
da
da
ζη
ζ
β
β
β
γ
+
=?=
2
1
2
1
即 Grueneisen常数取决于非简谐项系数
0>+= aζηβ 0>η简谐项系数,ζη?>a/
()()()
3223
0
62
1
2
1
3
1
)( araraaaUrU?+?++=
ζ
ζηηζ
将势能按平衡位置写成
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30
热膨胀系数可写成
B
c
V
γ
α =
一维时，弹性模量为
()aa
r
U
ar
a
B ζη+=?
=
于是
()
2
2 aa
a
c
V
ζη
ζ
α
+
=
热膨胀系数与非简谐项系数有关
6
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31
例题：声子态密度当色散关系为 ω =v
p
q
2
时，求一、二、三维空间的声子态密度？
回忆：电子气能量态密度？
2
2
2
k
m
E
h
=
21/
)( EE
三维
ρ
CE
二维
)(ρ
21/
)(
EE
一维
ρ
预计：声子态密度？
21/
)( ωωρ
三维
C
二维
)(ωρ
21/
)(
ωωρ
一维
2
qv
p
=ω
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32
2
qv
p
=ω
对于三维情况，在 q空间，等频率面为球面，
半径为
p
v
q
ω
=
在球面上是常数，面积 4π q
2
qv
pq
2=? ω
由
()
() () ()
21
23
2
2
33
2
2
4
22
/
/
ω
π
π
πωπ
ωρ
p
pq
v
V
qv
qVdSV
==
=
∫
21/
)( ωωρ
三维
即
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33
二维时，等频率线实际上是一个圆环，半径为
p
v
q
ω
=
线长为 qπ2
所以
()
() ()
ppq
v
S
qv
qSdlS
π
π
πωπ
ωρ
42
2
22
22
==
=
∫
即
C
二维
)(ωρ
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34
一维时，等频率点为两个关于原点对称点，距离是
()
() ()
21
2
2
2
2
2
2
/?
==
= ω
π
πωπ
ωρ
p
pq
v
L
qv
LL
21/
)(
ωωρ
一维
即
p
v
q
ω
=
于是
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35
4、晶格振动总结：运动方程和解
简谐近似
平衡位置，力常数
2
2
2
0
2
1
δδβδ
arar
dr
Ud
dr
dU
UUF
==
+?
+=?=
arar
dr
Ud
dr
dU
==
==?
2
2
0 β
运动方程（一维双原子链）
()
()
+=
+=
+
++
+
nnn
n
nnn
n
xxx
dt
xd
M
xxx
dt
xd
m
212122
2
2
122222
12
2
2
2
β
β
尝试解
=
=
+
+
tinaiq
n
tianiq
n
Bex
Aex
ω
ω
2
2
12
12
)(
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36
振动特性：色散关系
声学支,q ?0,ω ?0
() () ()[ ]{ }
21222
22
/
cos qamMMmMm
mM
q ++?+=
β
ω
() Mm
M
q <=<<
2
0
22
最大
ω
β
ω
()
Mm
a
vqv
Mm
qa
q
pp
q
+
==
+
=
→
222
0
2
2
2 β
ω
β
ω
光学支,q ?0,ω ?常数
() () ()[ ]{ }
21222
22
/
cos qamMMmMm
mM
q ++++=
β
ω
()
222
2
2
最大最小
ω
μ
β
ω
β
ω =<<= q
m
7
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37
振幅比
对声学支
()
( )
2
2
2
2
2
2
ωβ
β
β
ωβ
m
qa
qa
M
B
A
=
=
cos
cos
()
0
2
2
2
>
=
qa
M
B
A
cosβ
ωβ
1
0→
=
q
B
A
对光学支
()
0
2
2
2
<
=
ωβ
β
m
qa
B
A cos
1
0
=
→q
B
A
色散关系满足（ K倒格矢）
() ( ) () ( )qqKqq?=+= ωωωω,
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38
声学支格波,q ?0
*色散关系：线性；
*所有原子有相同振幅；
*如原胞内只有一个原子，
则只有声学支格波。
光学支格波,q ?0
*色散关系：常数
*原胞内原子质心保持不动的振动
*原胞内原子数s>1时，才有光学支格波格。
三维时有 3支声学波，有 3s-3支光学波
q
ω
π/a?π/a
声学支光学支
LO
LA
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39
LA
0=q
LO
TA
TO
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40
LA
a
q
π
±=
LO
TA
TO
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41
声学支格波：质心运动光学支格波：原胞内原子的相对运动
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42
热学性质：格波与声子
晶格振动的简正模式：频率为 ω 和波矢为 q的平面波,q取分立值，共 N个
不同的 ω (q)，代表格波的不同模式
格波的能量是量子化的 ——其能量量子称为声子
)(
2
1
lll
n ωε h?
+=
声子是准粒子，准动量为
qh
声子数分布
1
1
=
Tkl
Bl
e
n
/)q(
)q(
ωh
8
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43
比热
振动能量
( )
∑
∫
=
s
Tk
B
e
d
U
1
/ω
ωωωρ
h
h
比热
()
∑
∫
=
=
s
TkV
B
e
d
TT
U
C
1
/ω
ωωωρ
h
h
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44
声子态密度
频谱密度（声子状态密度）的定义：
ω ~ω +dω 间隔内简正振动的模式数
()
()
()[]
∑
∫
=
s
BZ
s
d
1
3
2
q
q
ωωδ
π
ωρ
()
() ()
∑
∫
=
s
S s
dS
qωπ
ωρ
3
2
1
() ( )
EE
n ωωδωρ?= 3
()
>
=<
=
D
D32
2
0
2
3
ωω
ωω
π
ω
ωρ
,
,
pD
pD
vq
v
爱因斯坦模型
德拜模型
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45
非谐效应：热传导
非简谐效应：各种格波可以相互作用
*声子相互作用 ?声子碰撞 ?有相互作用的声子气
声子气体的热导率
Kqqq +=+
=+
321
321
ωωω hhh
高温时
()
()
()q
Tk
e
qn
B
Tkq
B
ω
ω
h
h
≈
=
1
1
/
低温时 ()
()
T
TTkq
D
DB
e
ee
qn
/
//
Θ?
Θ
≈
≈
=
1
1
1
1
ωh
pV
vc λκ
3
1
=
需要确定自由程。守恒关系
T/~ 1λ
T
D
e
α
λ
/
~
Θ
对热导有贡献的主要是 K不等于零的碰撞
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46
非谐效应：热膨胀
简谐近似不会引起热膨胀：解释？
自由能
B
c
V
γ
α =
Vln
ln
=
ω
γ
V
E
V
VU
p γ+
=
)(
格林爱森常数
热膨胀系数
( )
∑
++=
i
Tk
Bi
Bi
eTkVUF
/
ln)(
ω
ω
h
h 1
2
1
格林爱森状态方程
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47
思考问题
X射线能不能被用来测量振动谱？
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48
习题
1,5.3
2,应用 Debye模型，计算二维情况下晶格振动的
Debye温度，晶格比热。
