1
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1
第28讲、非简谐效应
1.简谐近似的局限
2.热膨胀
3,Grueneisen状态方程
4.热膨胀与Grueneisen常数
5.热传导
6.声子相互作用的图象
7.晶体热传导系数
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2
1、简谐近似的局限
修正绝热近似时，曾作两个假定以简化问题
1.微小振动：原子虽然不是固定在它们的平衡位置，但是偏离平衡位置的距离很小
2.简谐近似：离子之间的相互作用势能展开式只保留到二次项，即力常数与位移的一次项成正比
但是，固体中的很多重要的物理性质不能用简谐近似解释，如
*高温比热
*中子散射
*热膨胀
*热传导
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3
如果简谐近似
不发生热膨胀
在高温时，比热是常数
两个格波之间不发生相互作用，不交换能量，单个格波不会衰减
弹性常数与压力和温度无关实际情况并非如此非简谐效应
准简谐处理：非简谐项是个小量时：声子+微扰
热膨胀
热传导
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4
2、热膨胀
热胀冷缩
*温度升高，晶体体积膨胀
*什么含义？
温度升高？
——晶格振动能量增大
晶体体积膨胀？
——原子平均间距或晶格常数增加
严格的简谐振动为什么不会产生热膨胀？
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5
热膨胀定性分析
简谐近似，平衡位置与温度无关，始终是r
0
，即晶体体积不会变化
简谐近似不能说明膨胀现象
0
r
)(TE
r
)(rU
简谐非谐非谐平均位置?只有考虑非简谐效应才能说明热膨胀现象
简谐近似？平衡位置与温度关系？
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6
热膨胀定量计算
考虑一维原子链。如果两个原子的间距为r，根据玻尔兹曼统计，温度T时原子的能量分布为
TkrU
B
e
/)(?
那么两个原子之间的平均间距为
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
=
dre
drre
r
TkrU
TkrU
B
B
/)(
/)(
2
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7
如果用简谐近似()
2
0
2
2
1
2
1
rrrU?== ββδ)(
()
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
+
=
δ
δδ
δ
δ
de
der
r
TkU
TkU
B
B
/)(
/)(
0
0
/)(
/)(
0
r
de
der
TkU
TkU
B
B
==
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
δ
δ
δ
δ
这表明，简谐近似下，平均间距不随温度变化
δ+→
0
rr变换移动坐标零点：相当于
U是δ的偶函数
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8
如果用非简谐近似，加上三次项
32
δδ gfrU?=)(
()
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
+
=
δ
δδ
δ
δ
de
der
r
TkU
TkU
B
B
/)(
/)(
0
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
+=
δ
δδ
δ
δ
de
de
r
TkU
TkU
B
B
/)(
/)(
0
g
dr
Ud
f
dr
Ud
=?=
0
3
3
0
2
2
6
1
2
1;
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9
三次项展开，只保留一项
+≈=
Tk
g
eeee
B
Tk
f
Tk
g
Tk
f
TkU
BBBB
3
1
232
δ
δδδ
δ /)(
分母略去高次项后，可得
∫
∫
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
++=
δ
δδ
δ
δδ
δ
δ
δ
δ
de
de
Tk
g
de
de
rr
Tk
f
Tk
f
B
Tk
f
Tk
f
B
B
B
B
2
2
2
2
4
0
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10
线膨胀系数直接与非简谐系数有关
如果只计入势能的三次项时，线膨胀系数与温度无关，否则，还需计入势能的更高次项
上述讨论只适用偏离平衡位置较小时的情况
很高时，晶体已被融化而不复存在
2
00
2
1
β
ε
α
r
k
dT
rd
r
B
==?线膨胀系数为
于是得TkrTk
f
g
rr
BB 2020
2
1
4
3
β
ε
+=+=
0
3
3
0
2
2
dr
Ud
dr
Ud
== εβ
其中
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11
3、Grueneisen状态方程
压强、熵、比热等都可用自由能表示
晶格的自由能分为两部分，一部分与结构有关，另一部分与晶格振动有关(与温度有关)，
为
ZTkF
B
ln?=
根据统计力学，第i支格波的配分函数Z
i
()
Tk
Tk
n
Tkn
i
Bi
Bi
Bi
e
e
eZ
/
/
//
ω
ω
ω
h
h
h
∞
=
+?
==
∑
1
2
0
21
忽略格波相互作用，总的配分函数为
∏∏?
==
i
Tk
Tk
i
i
Bi
Bi
e
e
ZZ
/
2/
1
ω
ω
h
h
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12
于是可得自由能为（第一项为平衡时的结构能）
()
∑
++=
i
Tk
Bi
Bi
eTkVUF
/
ln)(
ω
ω
h
h 1
2
1
由于非谐振动，体积改变时，频率变化，因此，
频率也是体积V的函数，可得状态方程，即
VeV
VU
V
F
p
i
i
Tk
T
Bi
+?
=?
=
∑
ω
ω
12
1)(
/h
h
h
V
V
eVV
VU
i
ii
Tk
i
i
Bi
+?
=
∑
ω
ω
ω
ω
ω
12
11)(
/h
h
h
Grueneisen常数
VeVV
VU
i
i
Tk
i
i
Bi
ln
ln
12
11)(
/
+?
=
∑
ωω
ω
ωh
h
h
3
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13
Grueneisen假定这是一个对所有的振动都相同的与温度无关的常数(Grueneisen常数)
于是压强为
V
i
ln
ln
=
ω
γ
∑
++
=
i
Tk
i
i
Bi
eVV
VU
p
12
1)(
/ω
ω
ω
γ
h
h
h
V
E
V
VU
p γ+
=
)(
求和号内的正是总能，于是得Grueneisen状态方程
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14
4、热膨胀与Grueneisen常数
热膨胀系数定义为
对各向同性的立方晶体，线膨胀系数是体膨胀系数的1/3，即
p
T
V
V
=
1
α
pp
l
T
V
VT
l
l
=?
=
3
11
α
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15
利用( )
()
T
V
p
Vp
Tp
T
V
=?
/
/
按定义，体积弹性模量为
T
V
p
VB?
=
于是
V
T
p
B
=
1
α
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16
这就是Grueneisen定律，表示，当温度变化是，
热膨胀系数与比热成正比
热膨胀系数与温度的关系与比热相似
*因为，弹性模量和Grueneisen常数基本与温度无关
=?
=
V
E
TBT
p
B
V
γα
11
B
c
BV
C
VV
γγ
==
利用Grueneisen状态方程和
V
E
V
VU
p γ+
=
)(
可得
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17
热膨胀与非简谐效应
热膨胀是无压力时体积随温度的变化，令压力为零，由Grueneisen方程得
0 0 =?=
= α
ω
γ
Vln
ln
在简谐近似下，频率与晶格常数无关，那么
V
E
V
VU
γ+
=
)(
0
0
)(
=
dV
VdU
0
)(
>=
V
E
dV
VdU
γ
0
r
)(TU
r
)(rU
非谐
)0( =TU
0=
dT
dU
0>
dT
dU
温度大于零体积必定增大
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18
例：一维单原子链
证明简谐近似下，Grueneisen常数为零，不能解释热膨胀。
解：这时，体积相当于
NaV →
而频谱
2
4
22
aq
M
sin
β
ω =
4
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19
n取整数
如果在简谐近似下，力常数与晶格常数无关
π
N
n
aq =
这里
0=
≈
=
)ln(
ln
ln
ln
NaV
βω
γ
因此，简谐近似不能说明热膨胀
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20
Grueneisen常数就不为零，热膨胀系数不为零
Grueneisen常数是一个与非简谐效应有关的量，
一般在1~2之间
0
2
2
≠
=
=ar
dr
Ud
da
d
da
dβ
如果存在非简谐项，则
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21
5、热传导
固体导热：电子导热+？
晶格热运动？
晶格振动！
*但是，原子仅仅是在平衡位置附近振动，
*而且晶格振动是一种集体的振动！
格波的传播？
*简谐近似 ?格波独立，格波之间不能交换能量
简直无从着手！
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22
考察理想气体热传导？
设问：什么在气体热传导中起决定性作用？
碰撞！温度高区域的分子运动到温度低的区域时，通过碰撞，把平均动能传给其他分子；反过来也一样，这样的能量传递宏观上就表现为热传导，热导率为
vc
V
λκ
3
1
=
理想气体：温差 ?能量输运 ?热传导
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23
与温度有关！
因此如果将晶格热运动系统看作是声子气，则晶格导热就是声子扩散的过程
看作从声子密度高的区域向低的区域扩散
声子是能量子，声子的“定向流动”就意味着能量输运，形成热传导
1
1
=
Tkq
B
e
n
/)(ωh
那么，晶格振动 ?热传导？
晶格振动 ?声子 ?声子数分布
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24
简谐振动 ?热传导?
与温度有关的声子分布的均匀过程如何建立？
靠相互作用，靠碰撞？
简谐近似：格波独立，声子间没有相互作用！
必须考虑非简谐效应——声子与声子之间的碰撞，各个格波之间有相互作用
5
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25
6、声子相互作用的图象
一个声子的存在会引起周期性弹性应变
这种弹性应变如果较大，则不能再用简谐近似来描写
这样，非简谐弹性应变对晶体的弹性常数产生空间和时间上的调制
第二个声子感受到这种弹性常数的调制，受到散射而产生第三个声子
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26
声子气图象
将有限温度下的晶体想象成包含声子气的容器
不同模式的声子具有不同的动量，能量
速度，按Debye近似，声速
声子间的相互作用就象气体间分子的碰撞一样，
交换动量、能量 ?简谐近似下不可能
虽然当作气体分子处理，但注意：声子是晶格振动的能量量子，是一种元激发，不具有质量，声子数也不守恒，可以产生和湮灭
声子描写的是整个晶格的振动！现局域！远大于晶格常数，仍可看成这个区域整体的振动
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27
7、晶体热传导系数
如果势能的非简谐项比简谐项小得多时，用微扰，这时声子仍可看作是理想气体，但声子之间有相互作用——碰撞
用与理想气体同样的方法可以得到同样的结果
该式中的比热已知，平均速度可用声子速度代替，问题是如何确定声子平均自由程？
pV
vc λκ
3
1
=
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28
平均自由程取决于声子碰撞
理论分析非常复杂：取决于声子与声子之间的碰撞，还有声子与杂质的碰撞，声子与样品边界的碰撞
声子与声子之间碰撞：三声子碰撞过程的动量、
能量守恒关系（K是倒格矢）
Kqqq +=+
=+
321
321
ωωω hhh
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29
1
q
2
q
213
qqq +=
x
k
y
k
N过程
321
qqq =+
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30
正常过程：K等于零
常称N过程(Normal process)，对应q
1
和q
2
较小
声子的动量没有发生变化，因此，N过程只改变声子的动量分布
如果声子的总动量为零，就没有热流
在热平衡下，由于
() ( )qq?=ωω
因此，N过程由于只改变声子的动量分布，而基本上不影响热流的方向
0==
∑
i
i
qQ
6
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31
1
q
2
q
3
q
x
k
y
k
U过程
Kqqq +=+
321
K
21
qq +
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32
翻转过程：K不等于零
对应q
1
和q
2
较大，与B区的尺度可比才能发生，能量大的格波参与才能发生
这种格波数随温度下降很快，因此，U过程可改变声子数的分布
这种过程对热导率的下降十分有效
如果只有N过程，热流一旦建立，不会衰减
常称U过程(Umklapp Process)
声子总的动量改变了一个非零的倒格矢的动量
0≠=
∑
i
i
qQ
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33
典型情况：高温
即在高温时，平均声子数正比于温度T
声子数随温度增加，碰撞几率增大，平均自由程减少，与温度成反比
D
T Θ>>
()
()
()q
Tk
e
qn
B
Tkq
B
ω
ω
h
h
≈
=
1
1
/
高温时，声子数为
T/~ 1λ
T/~ 1κ
高温时，比热与温度无关，则
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34
典型情况：低温
因为这时真正起作用的是U过程，自由程的增大是可以参与U过程的声子数急剧减少的结果
低温时，U过程至少有一个声子的波矢与Debye波矢相当，这时声子数为
D
T Θ<<
()
()
T
TTkq
D
DB
e
ee
qn
/
//
Θ?
Θ
≈
≈
=
1
1
1
1
ωh
3~2,~
/
αλ
αT
D
e
Θ
即在低温时，平均声子数随温度T迅速下降，
碰撞几率减少，平均自由程迅速增加
基本上由线度决定
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35
本讲要点
非简谐效应
热膨胀
*平衡位置与温度的关系与势能曲线形式有关
热传导
*简谐效应，声子之间无相互作用，热能不能传递
*声子气体相互作用图象
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36
概念要点
非简谐效应
热膨胀
热传导
*声子气体
7
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37
思考问题
为什么说简谐近似没有热传导？
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38
习题：
1,5.6
2.对于原子间距为a，由N个原子组成的一维单原子链，在Debye近似下
*计算晶格振动频谱
*证明在极低温下，比热正比于温度T
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1
第28讲、非简谐效应
1.简谐近似的局限
2.热膨胀
3,Grueneisen状态方程
4.热膨胀与Grueneisen常数
5.热传导
6.声子相互作用的图象
7.晶体热传导系数
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2
1、简谐近似的局限
修正绝热近似时，曾作两个假定以简化问题
1.微小振动：原子虽然不是固定在它们的平衡位置，但是偏离平衡位置的距离很小
2.简谐近似：离子之间的相互作用势能展开式只保留到二次项，即力常数与位移的一次项成正比
但是，固体中的很多重要的物理性质不能用简谐近似解释，如
*高温比热
*中子散射
*热膨胀
*热传导
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3
如果简谐近似
不发生热膨胀
在高温时，比热是常数
两个格波之间不发生相互作用，不交换能量，单个格波不会衰减
弹性常数与压力和温度无关实际情况并非如此非简谐效应
准简谐处理：非简谐项是个小量时：声子+微扰
热膨胀
热传导
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4
2、热膨胀
热胀冷缩
*温度升高，晶体体积膨胀
*什么含义？
温度升高？
——晶格振动能量增大
晶体体积膨胀？
——原子平均间距或晶格常数增加
严格的简谐振动为什么不会产生热膨胀？
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5
热膨胀定性分析
简谐近似，平衡位置与温度无关，始终是r
0
，即晶体体积不会变化
简谐近似不能说明膨胀现象
0
r
)(TE
r
)(rU
简谐非谐非谐平均位置?只有考虑非简谐效应才能说明热膨胀现象
简谐近似？平衡位置与温度关系？
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6
热膨胀定量计算
考虑一维原子链。如果两个原子的间距为r，根据玻尔兹曼统计，温度T时原子的能量分布为
TkrU
B
e
/)(?
那么两个原子之间的平均间距为
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
=
dre
drre
r
TkrU
TkrU
B
B
/)(
/)(
2
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7
如果用简谐近似()
2
0
2
2
1
2
1
rrrU?== ββδ)(
()
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
+
=
δ
δδ
δ
δ
de
der
r
TkU
TkU
B
B
/)(
/)(
0
0
/)(
/)(
0
r
de
der
TkU
TkU
B
B
==
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
δ
δ
δ
δ
这表明，简谐近似下，平均间距不随温度变化
δ+→
0
rr变换移动坐标零点：相当于
U是δ的偶函数
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8
如果用非简谐近似，加上三次项
32
δδ gfrU?=)(
()
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
+
=
δ
δδ
δ
δ
de
der
r
TkU
TkU
B
B
/)(
/)(
0
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
+=
δ
δδ
δ
δ
de
de
r
TkU
TkU
B
B
/)(
/)(
0
g
dr
Ud
f
dr
Ud
=?=
0
3
3
0
2
2
6
1
2
1;
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9
三次项展开，只保留一项
+≈=
Tk
g
eeee
B
Tk
f
Tk
g
Tk
f
TkU
BBBB
3
1
232
δ
δδδ
δ /)(
分母略去高次项后，可得
∫
∫
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
++=
δ
δδ
δ
δδ
δ
δ
δ
δ
de
de
Tk
g
de
de
rr
Tk
f
Tk
f
B
Tk
f
Tk
f
B
B
B
B
2
2
2
2
4
0
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10
线膨胀系数直接与非简谐系数有关
如果只计入势能的三次项时，线膨胀系数与温度无关，否则，还需计入势能的更高次项
上述讨论只适用偏离平衡位置较小时的情况
很高时，晶体已被融化而不复存在
2
00
2
1
β
ε
α
r
k
dT
rd
r
B
==?线膨胀系数为
于是得TkrTk
f
g
rr
BB 2020
2
1
4
3
β
ε
+=+=
0
3
3
0
2
2
dr
Ud
dr
Ud
== εβ
其中
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11
3、Grueneisen状态方程
压强、熵、比热等都可用自由能表示
晶格的自由能分为两部分，一部分与结构有关，另一部分与晶格振动有关(与温度有关)，
为
ZTkF
B
ln?=
根据统计力学，第i支格波的配分函数Z
i
()
Tk
Tk
n
Tkn
i
Bi
Bi
Bi
e
e
eZ
/
/
//
ω
ω
ω
h
h
h
∞
=
+?
==
∑
1
2
0
21
忽略格波相互作用，总的配分函数为
∏∏?
==
i
Tk
Tk
i
i
Bi
Bi
e
e
ZZ
/
2/
1
ω
ω
h
h
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12
于是可得自由能为（第一项为平衡时的结构能）
()
∑
++=
i
Tk
Bi
Bi
eTkVUF
/
ln)(
ω
ω
h
h 1
2
1
由于非谐振动，体积改变时，频率变化，因此，
频率也是体积V的函数，可得状态方程，即
VeV
VU
V
F
p
i
i
Tk
T
Bi
+?
=?
=
∑
ω
ω
12
1)(
/h
h
h
V
V
eVV
VU
i
ii
Tk
i
i
Bi
+?
=
∑
ω
ω
ω
ω
ω
12
11)(
/h
h
h
Grueneisen常数
VeVV
VU
i
i
Tk
i
i
Bi
ln
ln
12
11)(
/
+?
=
∑
ωω
ω
ωh
h
h
3
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13
Grueneisen假定这是一个对所有的振动都相同的与温度无关的常数(Grueneisen常数)
于是压强为
V
i
ln
ln
=
ω
γ
∑
++
=
i
Tk
i
i
Bi
eVV
VU
p
12
1)(
/ω
ω
ω
γ
h
h
h
V
E
V
VU
p γ+
=
)(
求和号内的正是总能，于是得Grueneisen状态方程
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14
4、热膨胀与Grueneisen常数
热膨胀系数定义为
对各向同性的立方晶体，线膨胀系数是体膨胀系数的1/3，即
p
T
V
V
=
1
α
pp
l
T
V
VT
l
l
=?
=
3
11
α
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15
利用( )
()
T
V
p
Vp
Tp
T
V
=?
/
/
按定义，体积弹性模量为
T
V
p
VB?
=
于是
V
T
p
B
=
1
α
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16
这就是Grueneisen定律，表示，当温度变化是，
热膨胀系数与比热成正比
热膨胀系数与温度的关系与比热相似
*因为，弹性模量和Grueneisen常数基本与温度无关
=?
=
V
E
TBT
p
B
V
γα
11
B
c
BV
C
VV
γγ
==
利用Grueneisen状态方程和
V
E
V
VU
p γ+
=
)(
可得
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17
热膨胀与非简谐效应
热膨胀是无压力时体积随温度的变化，令压力为零，由Grueneisen方程得
0 0 =?=
= α
ω
γ
Vln
ln
在简谐近似下，频率与晶格常数无关，那么
V
E
V
VU
γ+
=
)(
0
0
)(
=
dV
VdU
0
)(
>=
V
E
dV
VdU
γ
0
r
)(TU
r
)(rU
非谐
)0( =TU
0=
dT
dU
0>
dT
dU
温度大于零体积必定增大
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18
例：一维单原子链
证明简谐近似下，Grueneisen常数为零，不能解释热膨胀。
解：这时，体积相当于
NaV →
而频谱
2
4
22
aq
M
sin
β
ω =
4
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19
n取整数
如果在简谐近似下，力常数与晶格常数无关
π
N
n
aq =
这里
0=
≈
=
)ln(
ln
ln
ln
NaV
βω
γ
因此，简谐近似不能说明热膨胀
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20
Grueneisen常数就不为零，热膨胀系数不为零
Grueneisen常数是一个与非简谐效应有关的量，
一般在1~2之间
0
2
2
≠
=
=ar
dr
Ud
da
d
da
dβ
如果存在非简谐项，则
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21
5、热传导
固体导热：电子导热+？
晶格热运动？
晶格振动！
*但是，原子仅仅是在平衡位置附近振动，
*而且晶格振动是一种集体的振动！
格波的传播？
*简谐近似 ?格波独立，格波之间不能交换能量
简直无从着手！
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22
考察理想气体热传导？
设问：什么在气体热传导中起决定性作用？
碰撞！温度高区域的分子运动到温度低的区域时，通过碰撞，把平均动能传给其他分子；反过来也一样，这样的能量传递宏观上就表现为热传导，热导率为
vc
V
λκ
3
1
=
理想气体：温差 ?能量输运 ?热传导
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23
与温度有关！
因此如果将晶格热运动系统看作是声子气，则晶格导热就是声子扩散的过程
看作从声子密度高的区域向低的区域扩散
声子是能量子，声子的“定向流动”就意味着能量输运，形成热传导
1
1
=
Tkq
B
e
n
/)(ωh
那么，晶格振动 ?热传导？
晶格振动 ?声子 ?声子数分布
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24
简谐振动 ?热传导?
与温度有关的声子分布的均匀过程如何建立？
靠相互作用，靠碰撞？
简谐近似：格波独立，声子间没有相互作用！
必须考虑非简谐效应——声子与声子之间的碰撞，各个格波之间有相互作用
5
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25
6、声子相互作用的图象
一个声子的存在会引起周期性弹性应变
这种弹性应变如果较大，则不能再用简谐近似来描写
这样，非简谐弹性应变对晶体的弹性常数产生空间和时间上的调制
第二个声子感受到这种弹性常数的调制，受到散射而产生第三个声子
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26
声子气图象
将有限温度下的晶体想象成包含声子气的容器
不同模式的声子具有不同的动量，能量
速度，按Debye近似，声速
声子间的相互作用就象气体间分子的碰撞一样，
交换动量、能量 ?简谐近似下不可能
虽然当作气体分子处理，但注意：声子是晶格振动的能量量子，是一种元激发，不具有质量，声子数也不守恒，可以产生和湮灭
声子描写的是整个晶格的振动！现局域！远大于晶格常数，仍可看成这个区域整体的振动
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27
7、晶体热传导系数
如果势能的非简谐项比简谐项小得多时，用微扰，这时声子仍可看作是理想气体，但声子之间有相互作用——碰撞
用与理想气体同样的方法可以得到同样的结果
该式中的比热已知，平均速度可用声子速度代替，问题是如何确定声子平均自由程？
pV
vc λκ
3
1
=
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28
平均自由程取决于声子碰撞
理论分析非常复杂：取决于声子与声子之间的碰撞，还有声子与杂质的碰撞，声子与样品边界的碰撞
声子与声子之间碰撞：三声子碰撞过程的动量、
能量守恒关系（K是倒格矢）
Kqqq +=+
=+
321
321
ωωω hhh
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29
1
q
2
q
213
qqq +=
x
k
y
k
N过程
321
qqq =+
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30
正常过程：K等于零
常称N过程(Normal process)，对应q
1
和q
2
较小
声子的动量没有发生变化，因此，N过程只改变声子的动量分布
如果声子的总动量为零，就没有热流
在热平衡下，由于
() ( )qq?=ωω
因此，N过程由于只改变声子的动量分布，而基本上不影响热流的方向
0==
∑
i
i
6
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31
1
q
2
q
3
q
x
k
y
k
U过程
Kqqq +=+
321
K
21
qq +
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32
翻转过程：K不等于零
对应q
1
和q
2
较大，与B区的尺度可比才能发生，能量大的格波参与才能发生
这种格波数随温度下降很快，因此，U过程可改变声子数的分布
这种过程对热导率的下降十分有效
如果只有N过程，热流一旦建立，不会衰减
常称U过程(Umklapp Process)
声子总的动量改变了一个非零的倒格矢的动量
0≠=
∑
i
i
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33
典型情况：高温
即在高温时，平均声子数正比于温度T
声子数随温度增加，碰撞几率增大，平均自由程减少，与温度成反比
D
T Θ>>
()
()
()q
Tk
e
qn
B
Tkq
B
ω
ω
h
h
≈
=
1
1
/
高温时，声子数为
T/~ 1λ
T/~ 1κ
高温时，比热与温度无关，则
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34
典型情况：低温
因为这时真正起作用的是U过程，自由程的增大是可以参与U过程的声子数急剧减少的结果
低温时，U过程至少有一个声子的波矢与Debye波矢相当，这时声子数为
D
T Θ<<
()
()
T
TTkq
D
DB
e
ee
qn
/
//
Θ?
Θ
≈
≈
=
1
1
1
1
ωh
3~2,~
/
αλ
αT
D
e
Θ
即在低温时，平均声子数随温度T迅速下降，
碰撞几率减少，平均自由程迅速增加
基本上由线度决定
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35
本讲要点
非简谐效应
热膨胀
*平衡位置与温度的关系与势能曲线形式有关
热传导
*简谐效应，声子之间无相互作用，热能不能传递
*声子气体相互作用图象
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36
概念要点
非简谐效应
热膨胀
热传导
*声子气体
7
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37
思考问题
为什么说简谐近似没有热传导？
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38
习题：
1,5.6
2.对于原子间距为a，由N个原子组成的一维单原子链，在Debye近似下
*计算晶格振动频谱
*证明在极低温下，比热正比于温度T
