1
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1
第22讲、解读能带
1.空晶格模型能带结构
*书中图3.8讲解
*书中习题3.3解答
2.能带结构得到的信息
*典型能带：金属、惰性气体晶体、离子晶体、共价晶体
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2
1、空晶格模型能带结构
关键是将邻近高布里渊区移入第一布里渊区
由倒格子基矢得到倒格点，取最邻近的倒格点，移动到第一布里渊区
() 12,1,
2
0)(
2
22
====
=
m
m
E
V
h
h
k
k
k
r
( ) ( )
()()()
{}边界~0:,,
222
2
zyx
zzyyxx
kkk
KkKkKk
E
+++++=
+=+ KkKk
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3
面心立方结构第一布里渊区
面心立方的倒格子是体心立方，
最近邻倒格点有八个
原点到这八个最近邻的倒格点的中垂面围成八面体
但这还不是第一B区。而次近邻倒格点有六个，截去八面体的六个顶锥，成14面体，正好是倒格子原胞的体积，形成如图的第一B区
高对称点坐标(单位2π/a)
*Γ,(0,0,0),L,(.5,.5,.5),X,(1,0,0),
* K,(.75,.75,0),W,(1,.5,0)
()()
()2,0,0
2
0,2,0
2
,0,0,2
2
±
±±
a
aa
π
ππ
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()()
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()()1,1,1
2
,1,1,1
2
,1,1,1
2
,1,1,1
2
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2
,1,1,1
2
,1,1,1
2
,1,1,1
2
aa
aa
aa
aa
ππ
ππ
ππ
ππ
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4
沿Γ~X的空晶格能带
[100]方向，边界面在X:(1,0,0)2π/a上
电子在[100]方向上的能量为
()
a
kKKKkE
xzyxx
π2
~0:,
222
+++=
()
() ()
0
2
2
2
,0
2
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E
a
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a
kkkE
xxx
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==
π
π
，而时，上式为：当K
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5
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()()
()()
()()1,1,1
2
,1,1,1
2
,1,1,1
2
,1,1,1
2
1,1,1
2
,1,1,1
2
,1,1,1
2
,1,1,1
2
aa
aa
aa
aa
ππ
ππ
ππ
ππ
这八个最近邻倒格点都在第二布里渊区，移到第一布里渊区都是
Γ点
()
()
() ()都是四度简并的，故：
时，前式为当
,
6
2
3
2
2222
1,1,1
2
0
0
0
0
2222
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+?
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6
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()2,0,0
2
0,2,0
2
,0,0,2
2
±
±±
a
aa
π
ππ
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()
() ()
()() ()
() ()，四度简并
、
、
时，分两种情况为当
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0
2
2
2
0
0
0
2
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4
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22
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2
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+=
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±±±
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π
πππ
K
这六个次近邻的倒格点移到第一布里渊区也都是Γ点
2
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7
主要晶体结构高对称点
SC：简立方(单位π/a)
*Γ,(0,0,0),X,(1,0,0),M,(1,1,0),R,(1,1,1)
FCC：面心立方(单位2π/a)
* L,(.5,.5,.5),Γ,(0,0,0),X,(1,0,0),K,(.75,.75,0),
W,(1,.5,0),Γ,(0,0,0)
BCC：体心立方(单位2π/a)
* P,(1,1,1),Γ,(0,0,0),H,(1,0,0),N,(1,1,0),
Γ,(0,0,0)
HCP：六角密积2π(2/sqrt(3)a,1/a,1/c)
* A,(0,0,1),Γ,(0,0,0),H,(1,0,1),K,(1,0,0),
L,(0,1,1),M,(0,1,0)
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8
第一布里渊区(bcc)
体心立方的倒格子是面心立方，最近邻倒格点有十二个
它们的中垂面围成十二面体，正好是倒格子原胞的体积
()( )
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()()
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()()1,1,0
2
,1,1,0
2
1,1,0
2
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2
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2
,1,0,1
2
1,0,1
2
,1,0,1
2
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2
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0,1,1
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,0,1,1
2
aa
aa
aa
aa
aa
aa
ππ
ππ
ππ
ππ
ππ
ππ
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9
习题3.3解答对于单价原子构成的三维简单立方单原子晶格，
1.在空晶格近似下，用简约布里渊区图式，画出沿[100]方向的前4个能带，并标出能带的简并度。
2.如果晶体受到均匀流体压强，情况如何？
3.如仅在[100]方向受到单轴应力，情况又如何？
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10
解
它的倒格子基矢为b
1
,b
2
,b
3
[100]方向，边界面在(1,0,0)π/a上
电子在[100]方向上的能量为
()
()
()1,0,0
2
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2
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2
3
2
1
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a
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b
b
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2
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±
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π
K
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x
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k
z
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321
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2
lll
a
π
=K
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11
作图并讨论简并情况简并情况：Γ：4E
0
，6-fold；
X：E
0
，2-fold；5E
0
，4-fold
2.如果晶体受到均匀流体压强，情况如何？
答：这时，由于三个方向同时受压力，均匀变化，所以对能带形状和简并度都不变
3.如仅在[100]方向受到单轴应力，情况又如何？
*答：变形，由x与yz对称所导致的简并消除简并情况：Γ：4E
0
，2+4-fold；
X：E
0
，2-fold；5E
0
，4-fold
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12
2、能带理论计算能够得到的信息
能隙
能带跃迁
导电性质（金属、绝缘体、半导体）
费米面
基态结构
能量状态密度
晶体电子的速度
晶体电子的有效质量
空穴的概念
典型材料的能带结构
3
带间跃迁：直接跃迁和间接跃迁
k
E(k)
导带价带
k
E(k)
中间带导带价带
价带电子吸收一个光子，跃迁到导带，应满足能量动量守恒定律直接跃迁简接跃迁
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14
Si和Ge能带
价带顶在Γ点，三度简并，
sp
3
杂化轨道共价键的特征
Γ点导带Si是三度简并能级底比一度的低，而Ge的三度简并能级比一度的高。因为
Si中芯态只有2s和2p态，三度简并的是类p态，一度的是类s态，分别受芯态p和s排斥，对s的排斥强于对p的，
故三度简并的低
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15
而在Ge中芯态有3s3p3d，对类p态的排斥更强，所以导带中类p态的能级高
X~W轴上的简并是金刚石结构原胞内两个原子完全相同的对称性特征，类似的闪锌矿结构，原胞内两个原子不同，价带底会有“gap”
Si导带底靠近X点，而Ge的靠近L点，两者都不是直接能隙
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16
计算得到的结构与能量的关系
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17
其他能带
金属
惰性气体晶体
离子晶体
共价晶体
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18
Metallic crystal
费米能级位于能带中
Al (3s
2
3p
1
)
3个传导电子
最低带s带，非常接近自由电子
能量态密度也非常接近E
1/2
，类似于自由电子气
费米面穿越几个能带
*不完全在第一B区，
不是连续的球面
4
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19
虚线是自由电子的结果，可以看出，除了边界，基本重合
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20
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21
Cu (3d
10
4s
1
)
只一个4s
1
电子，费米能级远离d带，只穿越s带，
故费米面是近似球面
但在L—Γ区域不只穿越
s带，所以在L处有一能隙，费米面有一颈部，
与邻近B区的费米面互连
如果没有d态，应该也非常接近自由电子
现s带与d带作用，类自由电子能带被d带拦腰截断
*在有些k方向，可区分d带和s带，有些不能区分，与
k有关的轨道相互作用
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22
Cu的费米面
右上图（100）方向截图
右下图（110）方向截图
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23
fcc：Γ ?X；bcc：Γ ?H；hcp：Γ ?K
能量单位：Ryd
d
2
s
2
d
3
s
2
d
5
s
1
d
6
s
2
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24
位于sp带中间的3d带一点点降到费米能级以下，对于同晶格的更明显
d
7
s
2
d
8
s
2
d
10
s
1
d
10
s
2
5
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25
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26
第一族过渡金属的结构能
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27
由于都是满壳层，电子转移较少，因此，表现为占满的价带色散比较小
*最高占据态为p电子，最高占据态在Gamma点
*虚线Hartree-Fock
*实线考虑了关联效应
*两种不同关联效应能带几乎是平移
*能隙=14.6eV
#实验=14.2eV
# HF=17.9eV
惰性气体晶体：Ar
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28
Ionic crystal (localized features)
特征：满壳层，电子交叠少
直接能隙，大，绝缘体
电荷完全从电负性小的K原子转移到电负性大的Cl原子
价电子紧紧束缚在Cl上
禁带宽度~
K 的4s和3d态空，近自由
Cl的3p 色散（变化）很小，形成很窄的能带
Cl的3s,芯态,紧束缚
色散小，局域！
a
p
c
s
EE?
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29
AgCl，半导体
Ag 的4d与Cl的3p几乎处于同一能级 ?必须把4d当作类价态(赝势)
Ag 的4d与Cl的3p相互作用导致价带增宽
相互作用在整个B区不同
*这是因为d和p态间不同的对称性，在Γ
点，轨道的交叠抵消，或说混合最小；
而在有些点如±π/a
点，轨道混合最大
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30
Covalent crystal (delocalized)
典型的是Si和Ge
共价键，具有很强的混合，退局域化
——导致能带宽度比离子晶体大
绝缘体或半导体
6
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31
GaAs
*直接带隙
*价带中有“gap”，是由于闪锌矿结构引起的，所有这种结构的能带特征
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32
CdTe
*从Si到GaAs再到CdTe,
离子性增加
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33
ZnSe
* d态也作为价态
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34
InSb
*计算中In的赝势只取
s和p态作为价态
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35
InSb
* d-态也作为价态
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36
思考问题
试述能带与布里渊区的关系，一个布里渊区是否对应一个能带？
*什么时候是对的？
*什么时候不对？
7
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37
习题
1.同3.3，但沿着Γ ?R轴，R,π/a(1,1,1)。
2.平面正六角形晶体，六角形边长为a，如果每个原子有一个电子
*试画出费米圆
*计算它的结构因子，并讨论它对费米圆在布里渊区边界处形状的影响
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1
第22讲、解读能带
1.空晶格模型能带结构
*书中图3.8讲解
*书中习题3.3解答
2.能带结构得到的信息
*典型能带：金属、惰性气体晶体、离子晶体、共价晶体
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2
1、空晶格模型能带结构
关键是将邻近高布里渊区移入第一布里渊区
由倒格子基矢得到倒格点，取最邻近的倒格点，移动到第一布里渊区
() 12,1,
2
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2
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+++++=
+=+ KkKk
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3
面心立方结构第一布里渊区
面心立方的倒格子是体心立方，
最近邻倒格点有八个
原点到这八个最近邻的倒格点的中垂面围成八面体
但这还不是第一B区。而次近邻倒格点有六个，截去八面体的六个顶锥，成14面体，正好是倒格子原胞的体积，形成如图的第一B区
高对称点坐标(单位2π/a)
*Γ,(0,0,0),L,(.5,.5,.5),X,(1,0,0),
* K,(.75,.75,0),W,(1,.5,0)
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4
沿Γ~X的空晶格能带
[100]方向，边界面在X:(1,0,0)2π/a上
电子在[100]方向上的能量为
()
a
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这八个最近邻倒格点都在第二布里渊区，移到第一布里渊区都是
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6
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这六个次近邻的倒格点移到第一布里渊区也都是Γ点
2
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7
主要晶体结构高对称点
SC：简立方(单位π/a)
*Γ,(0,0,0),X,(1,0,0),M,(1,1,0),R,(1,1,1)
FCC：面心立方(单位2π/a)
* L,(.5,.5,.5),Γ,(0,0,0),X,(1,0,0),K,(.75,.75,0),
W,(1,.5,0),Γ,(0,0,0)
BCC：体心立方(单位2π/a)
* P,(1,1,1),Γ,(0,0,0),H,(1,0,0),N,(1,1,0),
Γ,(0,0,0)
HCP：六角密积2π(2/sqrt(3)a,1/a,1/c)
* A,(0,0,1),Γ,(0,0,0),H,(1,0,1),K,(1,0,0),
L,(0,1,1),M,(0,1,0)
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8
第一布里渊区(bcc)
体心立方的倒格子是面心立方，最近邻倒格点有十二个
它们的中垂面围成十二面体，正好是倒格子原胞的体积
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习题3.3解答对于单价原子构成的三维简单立方单原子晶格，
1.在空晶格近似下，用简约布里渊区图式，画出沿[100]方向的前4个能带，并标出能带的简并度。
2.如果晶体受到均匀流体压强，情况如何？
3.如仅在[100]方向受到单轴应力，情况又如何？
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解
它的倒格子基矢为b
1
,b
2
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3
[100]方向，边界面在(1,0,0)π/a上
电子在[100]方向上的能量为
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00
2
,4,
2
,0,0,1
2
EXEEE
a
kkE
a
xx
==Γ?
=?=
ππ
K
( )
()
() () ()
000
2
5,4,4,
1,0,0
0,1,02
EXEEEEkkE
a
xx
==Γ+=
±
±
=
π
K
k
x
k
y
k
z
()
321
,,
2
lll
a
π
=K
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11
作图并讨论简并情况简并情况：Γ：4E
0
，6-fold；
X：E
0
，2-fold；5E
0
，4-fold
2.如果晶体受到均匀流体压强，情况如何？
答：这时，由于三个方向同时受压力，均匀变化，所以对能带形状和简并度都不变
3.如仅在[100]方向受到单轴应力，情况又如何？
*答：变形，由x与yz对称所导致的简并消除简并情况：Γ：4E
0
，2+4-fold；
X：E
0
，2-fold；5E
0
，4-fold
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2、能带理论计算能够得到的信息
能隙
能带跃迁
导电性质（金属、绝缘体、半导体）
费米面
基态结构
能量状态密度
晶体电子的速度
晶体电子的有效质量
空穴的概念
典型材料的能带结构
3
带间跃迁：直接跃迁和间接跃迁
k
E(k)
导带价带
k
E(k)
中间带导带价带
价带电子吸收一个光子，跃迁到导带，应满足能量动量守恒定律直接跃迁简接跃迁
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Si和Ge能带
价带顶在Γ点，三度简并，
sp
3
杂化轨道共价键的特征
Γ点导带Si是三度简并能级底比一度的低，而Ge的三度简并能级比一度的高。因为
Si中芯态只有2s和2p态，三度简并的是类p态，一度的是类s态，分别受芯态p和s排斥，对s的排斥强于对p的，
故三度简并的低
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而在Ge中芯态有3s3p3d，对类p态的排斥更强，所以导带中类p态的能级高
X~W轴上的简并是金刚石结构原胞内两个原子完全相同的对称性特征，类似的闪锌矿结构，原胞内两个原子不同，价带底会有“gap”
Si导带底靠近X点，而Ge的靠近L点，两者都不是直接能隙
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计算得到的结构与能量的关系
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其他能带
金属
惰性气体晶体
离子晶体
共价晶体
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Metallic crystal
费米能级位于能带中
Al (3s
2
3p
1
)
3个传导电子
最低带s带，非常接近自由电子
能量态密度也非常接近E
1/2
，类似于自由电子气
费米面穿越几个能带
*不完全在第一B区，
不是连续的球面
4
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虚线是自由电子的结果，可以看出，除了边界，基本重合
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Cu (3d
10
4s
1
)
只一个4s
1
电子，费米能级远离d带，只穿越s带，
故费米面是近似球面
但在L—Γ区域不只穿越
s带，所以在L处有一能隙，费米面有一颈部，
与邻近B区的费米面互连
如果没有d态，应该也非常接近自由电子
现s带与d带作用，类自由电子能带被d带拦腰截断
*在有些k方向，可区分d带和s带，有些不能区分，与
k有关的轨道相互作用
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Cu的费米面
右上图（100）方向截图
右下图（110）方向截图
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fcc：Γ ?X；bcc：Γ ?H；hcp：Γ ?K
能量单位：Ryd
d
2
s
2
d
3
s
2
d
5
s
1
d
6
s
2
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位于sp带中间的3d带一点点降到费米能级以下，对于同晶格的更明显
d
7
s
2
d
8
s
2
d
10
s
1
d
10
s
2
5
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第一族过渡金属的结构能
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由于都是满壳层，电子转移较少，因此，表现为占满的价带色散比较小
*最高占据态为p电子，最高占据态在Gamma点
*虚线Hartree-Fock
*实线考虑了关联效应
*两种不同关联效应能带几乎是平移
*能隙=14.6eV
#实验=14.2eV
# HF=17.9eV
惰性气体晶体：Ar
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Ionic crystal (localized features)
特征：满壳层，电子交叠少
直接能隙，大，绝缘体
电荷完全从电负性小的K原子转移到电负性大的Cl原子
价电子紧紧束缚在Cl上
禁带宽度~
K 的4s和3d态空，近自由
Cl的3p 色散（变化）很小，形成很窄的能带
Cl的3s,芯态,紧束缚
色散小，局域！
a
p
c
s
EE?
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AgCl，半导体
Ag 的4d与Cl的3p几乎处于同一能级 ?必须把4d当作类价态(赝势)
Ag 的4d与Cl的3p相互作用导致价带增宽
相互作用在整个B区不同
*这是因为d和p态间不同的对称性，在Γ
点，轨道的交叠抵消，或说混合最小；
而在有些点如±π/a
点，轨道混合最大
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Covalent crystal (delocalized)
典型的是Si和Ge
共价键，具有很强的混合，退局域化
——导致能带宽度比离子晶体大
绝缘体或半导体
6
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GaAs
*直接带隙
*价带中有“gap”，是由于闪锌矿结构引起的，所有这种结构的能带特征
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CdTe
*从Si到GaAs再到CdTe,
离子性增加
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ZnSe
* d态也作为价态
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InSb
*计算中In的赝势只取
s和p态作为价态
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InSb
* d-态也作为价态
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思考问题
试述能带与布里渊区的关系，一个布里渊区是否对应一个能带？
*什么时候是对的？
*什么时候不对？
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习题
1.同3.3，但沿着Γ ?R轴，R,π/a(1,1,1)。
2.平面正六角形晶体，六角形边长为a，如果每个原子有一个电子
*试画出费米圆
*计算它的结构因子，并讨论它对费米圆在布里渊区边界处形状的影响
