1
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1
第12讲、晶体衍射理论和实验方法
1,X射线晶体衍射实验
2,Bragg定律
3,von Laue方程
4,散射强度
5,例子
6,晶体衍射实验方法
7,其他晶体结构实验方法简介观察晶体结构的理论和实验
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2
1、X射线晶体衍射实验
X射线的产生：高速电子流轰击金属，
内层电子被击出
K
α1
K
α2
K
β1
高能级电子跃迁到低能级补充空位,能量以 X光的形式放出
n=1(K)
n=2(L)
n=3(M)
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3
入射束波长与能量关系
波长与能量关系
E
hc
=λ
ΑeVk 4.12?=hc
eVk 50~10eV →=E
+ —
V=10~50 kV
-e
A 3.040000V~
A 1V,12400
≈
≈≈
λ
λ
V
V
中子 1A)eV(/28.0eV 0784.0 ≈≈?≈ EE λ
电子
1A)eV(/12eV 144 ≈≈?≈ EE λ
A
12400
~
V
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4
晶体衍射实验
1912年 von Laue的实验，争议了很长时间：
观察到斑点，是否就是晶体的衍射？
1,移去样品，斑点消失；
2,以同样材料的粉末代替，斑点消失；
3,略微转动样品，斑点稍微有些位移。
入射
rk?i
e
出射
rk?'i
e
2
晶体
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5
2、Bragg定律
光的反射定律
*入射角等于反射角
Bragg定律：假设入射波从平行原子平面作镜面反射，每个平面只反射很小部分（另外部分穿透），当反射发生相长干涉时，就出现衍射极大
*只有入射的10
-3
~10
-5
部分被每个面反射
两个面间光程差？
光程差,2d sinθ
加强条件：层与层之间的光程差为波长的 n倍时，衍射极大 ?Bragg定律
dθθ
λ? nd =sin2
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6
讨论
设问：波长与面间距关系
*满足什么条件才发生Bragg反射？
不能用可见光
*只有波长小于2d才能发生Bragg反射
*对同一簇晶面，要求θ和λ相匹配，因此，反射受严格限制，只有θ和λ的特殊耦合才会有同相位相加效应，产生衍射斑点
思考,Bragg定律的物理图象是否清楚？
*镜面反射？原子平面能否当作X射线的反射平面？
* d是原子的面间距？原子面间距都相等吗？
*预言出现衍射极大的地方都会出现？
dθθ
λ? nd =sin2
2
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7
3、von Laue方程? 假定：入射的 X射线受原子核外电子的弹性散射
* R
l
是格矢
光程差,CO + OD
k
'k
l
R
O
C
D
A
'
'
'
k
k
k
k
k
k
=
=
单位矢量：
λ
π2
=k
'
kR
kR
=
=
l
l
OD
CO
加强条件：
πμ
μλ
2)'(
)
'
(
=
=
kkR
kkR
l
l
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8
von Laue条件
光程差满足加强条件 πμ2)'( = kkR
l
n
lh
2π=?RK
h
nKkk =?'
332211
aaaR lll
l
++=
332211
bbbK hhh
h
++=
')( '
22
kKkkKk ==?
hh
von Laue 条件：
波矢改变等于倒格矢的整数倍时，满足条件
2
2
1
hh
KKk =?弹性散射|k|=|k’|
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9
讨论：在B区边界
点是倒格点，改写 von Laue公式
1
k
2
C
K
2
k
2
D
K
2
22
=?
KK
k
从原点出发到
Brillioun区边界面上的任何矢量都满足衍射条件！
？
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10
讨论：两种条件的等价关系
利用
hh
h
h
d
KK
Ka π2
1
1
=?=
从 von Laue条件就可以得到 Bragg反射公式,
( ) d/2sin/22 π?λπ =
k
'k
K
θ
θ (hkl)
k
θsin2' k
h
=?= kkK
λ
π2
=k
d
h
π2
=K
λ? nd =sin2
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11
讨论：衍射强度
非弹性散射
热振动：能量变化很小,~1eV，忽略
*设问：周期性被破坏，衍射条件还满足吗？
实验结果：温度升高，衍射强度减弱，但衍射束的宽度不受影响
*对微小的无规偏移作热平均，就可以知道热振动偏移只影响散射强度！
设问：为什么热振动偏移只影响散射强度？
*散射强度与什么有关？
满足衍射条件是不是一定看得到光斑？
* Bragg条件和von Laue条件只给出衍射极大的条件，要看强度
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12
4、散射强度
衍射束 (光斑 )的强度由什么来决定？
考察 X射线与晶体的相互作用，是由于晶体中每个原子中电子对 X射线的散射
Bravais格子的结构决定了衍射极大的条件
一个原子中所有电子对 X射线的散射总和可以归结为以这个原子为中心的散射
3
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13
晶胞内原子具体位置决定了散射的位相（热振动对此有影响） ——几何结构因子
每个原子中电子的数目和分布决定了该原子的散射能力 ——原子形成因子
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14
散射强度
rk?i
e
O
r
rk?'i
e
rr d)(ρ
rkk )'(i
e
位相差
散射振幅
rr
rkk
deF
i
∫
=
)'(
)( ρ
电子密度是周期分布函数 )()( Rrr += ρρ ( )
rK
Kr
∑
=
i
eρρ )(
散射振幅为
( )[]
∑
∫
= rK
rkkK
deF
i '
)( ρ
衍射极大条件
Kkk =?'
)(V Kρ=F
()
∫
= rrK
rK
deV
i
)(
1
ρρ
电子密度的傅立叶分量
( )
K
rK
rrK Sde
i 11
)(
Ω
Ω=Ω=
∫
ρρ
∫
Ω
= rr
rK
K
deS
i
)(ρ
几何结构因子
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15
几何结构因子
几何结构因子：原胞内所有原子的散射波，在所考虑的方向上的振幅与一个电子的散射波的振幅之比
几何结构因子反映原胞内原子的具体分布对散射的影响
∫
Ω
= rr
rK
K
deS
i
)( ρ
)()(
1
∑
=
=
s
j
jj
τrr ρρ
)(
∑
∫
Ω
=
j
i
jj
deS rτr
rK
K
ρ )(
∫∑
Ω
= rr
rKτK
dee
i
j
j
i
j
ρ
j
i
j
j
ef
τK
∑
=
)(
∫
Ω
= rr
rK
def
i
jj
ρ
j
i
j
j
efS
τK
K
∑
=
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16
原子形成因子atomic form factor
原子形成因子：原子 j的电荷分布对散射的影响
rr
rK
def
i
jj
∫
= )( ρ
jjj
Zdf ==
→
∫
rr
K
)(
0
ρ
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17
散射强度——消光条件
几何结构因子
jh
h
i
j
j
efS
τK
K
∑
=
)(2
jjjjh
jjjj
h
lzkyhx
zyx
lkh
++=?
++=
++=
πτK
cbaτ
wvuK
(hkl),Miller指数，用晶胞
x
j
,y
j
,z
j
：分数散射强度
*2
||
hklhklhklhkl
SSSI =∝
结构因子有可能使von Laue条件允许的某些衍射斑点消失！
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18
5、例：bcc结构因子
jh
h
i
j
j
efS
τK
K
∑
=
)(2
jjjjh
lzkyhx ++=? πτK
)5.0,5.0,5.0(
);0.0,0.0,0.0(:
j
τ
{
偶数奇数
=++
=++
=
+=
++?
lkhf
lkh
efS
lkhi
h
2
0
)1(
)(π
K
cbaτ
jjjj
zyx ++=
4
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19
bcc(001)面反射？
在体心立方的 (001)面，
(001) ?(hlk)，奇数，结构因子为零
思考,?
相继的原子平面产生的相位差都是π
所以两个相邻原子平面产生的反射振幅之和为零，
不产生衍射光斑
0111 =?=+
πi
e
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20
例：fcc结构因子
a
1
a
3
a
2
)5.0,0.0,5.0( );0.0,5.0,5.0(
);5.0,5.0,0.0(;)0.0,0.0,0.0(:
j
τ
全为奇数或偶数lkhS
eeefS
h
h
khilhilki
,,0
)1(
)()()(
≠
+++=
+?+?+?
K
K
πππ
jh
h
i
j
j
efS
τK
K
∑
=
)(2
jjjjh
lzkyhx ++=? πτK
cbaτ
jjjj
zyx ++=
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21
例：蜂窝结构的结构因子
确定基元内原子位置矢量
用基矢表达
a
bc
d
ef
gh
i
jk
l
210
00 aaτ +=
211
3
2
3
2
aaτ +=
结构因子为
()
+=
+khi
h
efS
π
3
4
1
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22
例：金刚石结构的几何结构因子
基矢,a=ai,b=aj,c=ak
晶胞含 8个原子,(用基矢表示 )
8个顶角由 8个晶胞共享，各
1/8，只计 1个
(0,0,0)
3对面心，每个面由 2个晶胞共享，各 1/2，计 3个
(0,0.5,0.5); (0.5,0,0.5); (0.5,0.5,0)
另外有 4个在完全在晶胞内，在
4条对角线上 (四面体中心 )
(0.25,0.25,0.25); (0.75,0.75,0.25);
(0.75,0.25,0.75); (0.25,0.75,0.75)
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23
立方晶系，基矢,a=ai,b=aj,c=ak，所以
()kjiK
2
klh
a
++=
π
结构因子为
∑
=
i
i
i
i
efS
τK
K
晶胞内位矢为
(0,0,0); (0,0.5,0.5); (0.5,0,0.5); (0.5,0.5,0);
(0.25,0.25,0.25); (0.75,0.75,0.25);
(0.75,0.25,0.75); (0.25,0.75,0.75)
几何结构因子
( ) ( ) ( ) ( )
() () ()
)
1(
2/332/332/33
2/
klhiklhiklhi
klhilkilhikhi
eee
eeeefS
++++++
+++++
+++
++++=
πππ
ππππ
K
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24
( )()()
)1(
khilkilhi
eee
+++
+++
πππ
金刚石的结构因子也可以写成两项的乘积，一项是面心立方的相因子
另一项可由面心立方结构沿对角线移动 1/4的对角线长度得到，这个因子是由这样两个原子，
即一个在原点，一个在对角线 1/4长度距离的相位差，相当于 (0,0,0)和 (0.25,0.25,0.25)的相因子
()
)1(
2/klhi
e
++
+
π
这两个相因子的乘积就是金刚石结构的几何结构因子，消光条件就容易判断
( )()()( )
)1)(1(
2/ khilkilhiklhi
eeeefS
+++++
++++=
ππππ
K
5
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25
例：KCl晶体的几何结构因子
基矢,a=ai,b=aj,c=ak
晶胞内含 4个 K,4个 Cl
原子（用基矢表示）
K构成一套面心立方,1
个顶角,3对面心原子
(0,0,0); (0,0.5,0.5);
(0.5,0,0.5); (0.5,0.5,0)
Cl可将 K的位置沿棱移
1/2a，可得
(0,0.5,0); (0.5,0,0);
(0,0,0.5); (0.5,0.5,0.5)
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26
立方晶系,a=ai,b=aj,c=ak，所以
( )kjiK
2
klh
a
++=
π
结构因子为
∑
=
i
i
i
i
efS
τK
K
K,(0,0,0); (0,0.5,0.5); (0.5,0,0.5); (0.5,0.5,0)
Cl,(0,0.5,0); (0.5,0,0); (0,0,0.5); (0.5,0.5,0.5)
( )()()
()
)(
)1(
Cl
K
klhikilihi
lkilhikhi
eeeef
eeefS
++
+++
++++
+++=
ππππ
πππ
K
思考：如果 f
K
=f
Cl
，会不会有衍射斑点消失的面？为什么？
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27
6、晶体衍射实验方法
Ewald球
von Laue方法
转动单晶法
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28
Ewald construction 反射球
衍射斑点与衍射条件
*可根据观察到的斑点与推断晶体结构的特征
*理解衍射方法原理
CO= 2π /λ,入射方向，在 C以 CO为半径作圆，球面上的倒格点 P满足衍射条件，将产生衍射，在 PC方向可得衍射极大
* K的两端都是倒格点
o
c
p
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29
von Laue方法
晶体固定
改变波长，
Ewald球增大，球面扫过的倒格点，其延长线方向都会出现衍射极大
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30
转动单晶法固定k。转动晶体，
相当于改变入射角。倒格点扫过
Ewald
球，发生衍射极大
6
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31
7、其他晶体结构实验方法简介
倒空间 ?电子、中子衍射
实空间，晶体周期性结构用 Bravais格子描写
实空间观察原胞的位置
*最简单地，观察原子位置？
显微镜？
*晶格典型间隔 ?10
-10
米
*波长？
FIM
STM
表面？体内？
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32
电子衍射
X射线散射截面较小，电子较大
能量约为 100eV数量级的电子波长为 A数量级
*低能电子衍射（low energy electron diffraction,
LEED)
*电子与原子有强相互作用，易受散射，穿透深度小——适合作表面结构研究
高能电子（ 10
5
eV），波长更短，分辨率高
*高能易损伤材料
*掠射入表面，反射高能电子衍射（Reflect high
energy electron diffraction,RHEED）
1AeV 144,)eV(/12 ≈≈≈ λλ则若EE
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33
中子衍射
质量为电子的 1800倍，能量低,0.1eV量级 ~1A
波长
不带电，主要被原子核散射，常被用来测定原子在晶体中的位置
中子有磁矩，尤其适合于研究测定磁性物质的结构
1AeV 0784.0,)eV(/28.0 ≈≈≈ λλ则若EE
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34
场离子显微镜，FIM
样品针尖曲率半径 ~500A
容器中低压惰性气体
样品表面电场强度 ~10
10
伏 /米
气体原子被强电场极化，吸附在样品表面顶端突起部位，其电子隧穿产生电离
偏转磁场使电离物成象，放大
场电离容易产生在突起的表面原子上，这样便反映表面结构
（球壳模型）
*分辨率可达原子量级
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35
FIM实验的bcc结构W针尖
结构可由球壳模型模拟，与图象对照
不同材料同样晶体结构的图象是不是相同？
亮度装饰线不同，反映不同材料的不同面的功函数不相同
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36
扫描隧道显微镜，STM
1982年，发明了扫描隧道显微镜 (STM)
* G,Binnig与H,Rohrer
*人类第一次能够真实地“看见”单个原子在物质表面的排列情况,这是电子显微技术的一个重要里程碑
* 1986获诺贝尔物理奖
STM利用量子力学的隧道效应
*将原子线度的探针和被研究表面作为两个电极，
当针尖与样品距离非常接近时,在外加电场作用下，电子穿过两电极间势垒流向另一电极
* STM可以采取守恒电流扫描模式或守恒高度扫描模式
7
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37
扫描隧道显微镜，STM
探针与样品间距 ~1A
工作电压 ~1伏
原理：电子隧穿效应
工作方式及精度
*针尖作二维扫描
#改变针尖和样品距离使隧穿电流恒定
#固定针尖和样品距离，测隧穿电流
*垂直分辨率：0.01A
*横向分辨率：1A
)(xU
φ
)(xψ
d
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38
Ni(110)
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39
原子力显微镜，AFM
STM的局限
* STM只能用于导电材料，绝缘体也须在样品表面镀上导电层
*测量的是电子云分布
AFM (atomic force microscopy)
*结构原理同STM，也可用于绝缘体
*通过测量探针与样品之间的原子力来探测表面构型，通常保持原子力为一常数，记录探针位置
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40
本讲要点
晶体结构的实验观察，晶体周期性结构在倒空间的反映
晶体衍射理论
* Bragg定律
* von Laue公式
*结构因子(决定消光条件)
*原子形状因子
晶体衍射的实验方法
* X射线衍射
j
i
j
j
efS
τK
K
∑
=
rr
rK
def
i
jj
∫
= )( ρ
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41
概念要点
晶体衍射
*衍射极大条件：Bragg条件，von Laue条件
散射振幅
*几何结构因子
*原子形成因子
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42
思考问题
Bragg定律在物理图象上是否清楚？
8
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43
习题：
2.10
2.11
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1
第12讲、晶体衍射理论和实验方法
1,X射线晶体衍射实验
2,Bragg定律
3,von Laue方程
4,散射强度
5,例子
6,晶体衍射实验方法
7,其他晶体结构实验方法简介观察晶体结构的理论和实验
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2
1、X射线晶体衍射实验
X射线的产生：高速电子流轰击金属，
内层电子被击出
K
α1
K
α2
K
β1
高能级电子跃迁到低能级补充空位,能量以 X光的形式放出
n=1(K)
n=2(L)
n=3(M)
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3
入射束波长与能量关系
波长与能量关系
E
hc
=λ
ΑeVk 4.12?=hc
eVk 50~10eV →=E
+ —
V=10~50 kV
-e
A 3.040000V~
A 1V,12400
≈
≈≈
λ
λ
V
V
中子 1A)eV(/28.0eV 0784.0 ≈≈?≈ EE λ
电子
1A)eV(/12eV 144 ≈≈?≈ EE λ
A
12400
~
V
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4
晶体衍射实验
1912年 von Laue的实验，争议了很长时间：
观察到斑点，是否就是晶体的衍射？
1,移去样品，斑点消失；
2,以同样材料的粉末代替，斑点消失；
3,略微转动样品，斑点稍微有些位移。
入射
rk?i
e
出射
rk?'i
e
2
晶体
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5
2、Bragg定律
光的反射定律
*入射角等于反射角
Bragg定律：假设入射波从平行原子平面作镜面反射，每个平面只反射很小部分（另外部分穿透），当反射发生相长干涉时，就出现衍射极大
*只有入射的10
-3
~10
-5
部分被每个面反射
两个面间光程差？
光程差,2d sinθ
加强条件：层与层之间的光程差为波长的 n倍时，衍射极大 ?Bragg定律
dθθ
λ? nd =sin2
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6
讨论
设问：波长与面间距关系
*满足什么条件才发生Bragg反射？
不能用可见光
*只有波长小于2d才能发生Bragg反射
*对同一簇晶面，要求θ和λ相匹配，因此，反射受严格限制，只有θ和λ的特殊耦合才会有同相位相加效应，产生衍射斑点
思考,Bragg定律的物理图象是否清楚？
*镜面反射？原子平面能否当作X射线的反射平面？
* d是原子的面间距？原子面间距都相等吗？
*预言出现衍射极大的地方都会出现？
dθθ
λ? nd =sin2
2
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7
3、von Laue方程? 假定：入射的 X射线受原子核外电子的弹性散射
* R
l
是格矢
光程差,CO + OD
k
'k
l
R
O
C
D
A
'
'
'
k
k
k
k
k
k
=
=
单位矢量：
λ
π2
=k
'
kR
kR
=
=
l
l
OD
CO
加强条件：
πμ
μλ
2)'(
)
'
(
=
=
kkR
kkR
l
l
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8
von Laue条件
光程差满足加强条件 πμ2)'( = kkR
l
n
lh
2π=?RK
h
nKkk =?'
332211
aaaR lll
l
++=
332211
bbbK hhh
h
++=
')( '
22
kKkkKk ==?
hh
von Laue 条件：
波矢改变等于倒格矢的整数倍时，满足条件
2
2
1
hh
KKk =?弹性散射|k|=|k’|
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9
讨论：在B区边界
点是倒格点，改写 von Laue公式
1
k
2
C
K
2
k
2
D
K
2
22
=?
KK
k
从原点出发到
Brillioun区边界面上的任何矢量都满足衍射条件！
？
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10
讨论：两种条件的等价关系
利用
hh
h
h
d
KK
Ka π2
1
1
=?=
从 von Laue条件就可以得到 Bragg反射公式,
( ) d/2sin/22 π?λπ =
k
'k
K
θ
θ (hkl)
k
θsin2' k
h
=?= kkK
λ
π2
=k
d
h
π2
=K
λ? nd =sin2
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11
讨论：衍射强度
非弹性散射
热振动：能量变化很小,~1eV，忽略
*设问：周期性被破坏，衍射条件还满足吗？
实验结果：温度升高，衍射强度减弱，但衍射束的宽度不受影响
*对微小的无规偏移作热平均，就可以知道热振动偏移只影响散射强度！
设问：为什么热振动偏移只影响散射强度？
*散射强度与什么有关？
满足衍射条件是不是一定看得到光斑？
* Bragg条件和von Laue条件只给出衍射极大的条件，要看强度
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12
4、散射强度
衍射束 (光斑 )的强度由什么来决定？
考察 X射线与晶体的相互作用，是由于晶体中每个原子中电子对 X射线的散射
Bravais格子的结构决定了衍射极大的条件
一个原子中所有电子对 X射线的散射总和可以归结为以这个原子为中心的散射
3
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13
晶胞内原子具体位置决定了散射的位相（热振动对此有影响） ——几何结构因子
每个原子中电子的数目和分布决定了该原子的散射能力 ——原子形成因子
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14
散射强度
rk?i
e
O
r
rk?'i
e
rr d)(ρ
rkk )'(i
e
位相差
散射振幅
rr
rkk
deF
i
∫
=
)'(
)( ρ
电子密度是周期分布函数 )()( Rrr += ρρ ( )
rK
Kr
∑
=
i
eρρ )(
散射振幅为
( )[]
∑
∫
= rK
rkkK
deF
i '
)( ρ
衍射极大条件
Kkk =?'
)(V Kρ=F
()
∫
= rrK
rK
deV
i
)(
1
ρρ
电子密度的傅立叶分量
( )
K
rK
rrK Sde
i 11
)(
Ω
Ω=Ω=
∫
ρρ
∫
Ω
= rr
rK
K
deS
i
)(ρ
几何结构因子
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15
几何结构因子
几何结构因子：原胞内所有原子的散射波，在所考虑的方向上的振幅与一个电子的散射波的振幅之比
几何结构因子反映原胞内原子的具体分布对散射的影响
∫
Ω
= rr
rK
K
deS
i
)( ρ
)()(
1
∑
=
=
s
j
jj
τrr ρρ
)(
∑
∫
Ω
=
j
i
jj
deS rτr
rK
K
ρ )(
∫∑
Ω
= rr
rKτK
dee
i
j
j
i
j
ρ
j
i
j
j
ef
τK
∑
=
)(
∫
Ω
= rr
rK
def
i
jj
ρ
j
i
j
j
efS
τK
K
∑
=
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16
原子形成因子atomic form factor
原子形成因子：原子 j的电荷分布对散射的影响
rr
rK
def
i
jj
∫
= )( ρ
jjj
Zdf ==
→
∫
rr
K
)(
0
ρ
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17
散射强度——消光条件
几何结构因子
jh
h
i
j
j
efS
τK
K
∑
=
)(2
jjjjh
jjjj
h
lzkyhx
zyx
lkh
++=?
++=
++=
πτK
cbaτ
wvuK
(hkl),Miller指数，用晶胞
x
j
,y
j
,z
j
：分数散射强度
*2
||
hklhklhklhkl
SSSI =∝
结构因子有可能使von Laue条件允许的某些衍射斑点消失！
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18
5、例：bcc结构因子
jh
h
i
j
j
efS
τK
K
∑
=
)(2
jjjjh
lzkyhx ++=? πτK
)5.0,5.0,5.0(
);0.0,0.0,0.0(:
j
τ
{
偶数奇数
=++
=++
=
+=
++?
lkhf
lkh
efS
lkhi
h
2
0
)1(
)(π
K
cbaτ
jjjj
zyx ++=
4
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19
bcc(001)面反射？
在体心立方的 (001)面，
(001) ?(hlk)，奇数，结构因子为零
思考,?
相继的原子平面产生的相位差都是π
所以两个相邻原子平面产生的反射振幅之和为零，
不产生衍射光斑
0111 =?=+
πi
e
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20
例：fcc结构因子
a
1
a
3
a
2
)5.0,0.0,5.0( );0.0,5.0,5.0(
);5.0,5.0,0.0(;)0.0,0.0,0.0(:
j
τ
全为奇数或偶数lkhS
eeefS
h
h
khilhilki
,,0
)1(
)()()(
≠
+++=
+?+?+?
K
K
πππ
jh
h
i
j
j
efS
τK
K
∑
=
)(2
jjjjh
lzkyhx ++=? πτK
cbaτ
jjjj
zyx ++=
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21
例：蜂窝结构的结构因子
确定基元内原子位置矢量
用基矢表达
a
bc
d
ef
gh
i
jk
l
210
00 aaτ +=
211
3
2
3
2
aaτ +=
结构因子为
()
+=
+khi
h
efS
π
3
4
1
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22
例：金刚石结构的几何结构因子
基矢,a=ai,b=aj,c=ak
晶胞含 8个原子,(用基矢表示 )
8个顶角由 8个晶胞共享，各
1/8，只计 1个
(0,0,0)
3对面心，每个面由 2个晶胞共享，各 1/2，计 3个
(0,0.5,0.5); (0.5,0,0.5); (0.5,0.5,0)
另外有 4个在完全在晶胞内，在
4条对角线上 (四面体中心 )
(0.25,0.25,0.25); (0.75,0.75,0.25);
(0.75,0.25,0.75); (0.25,0.75,0.75)
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23
立方晶系，基矢,a=ai,b=aj,c=ak，所以
()kjiK
2
klh
a
++=
π
结构因子为
∑
=
i
i
i
i
efS
τK
K
晶胞内位矢为
(0,0,0); (0,0.5,0.5); (0.5,0,0.5); (0.5,0.5,0);
(0.25,0.25,0.25); (0.75,0.75,0.25);
(0.75,0.25,0.75); (0.25,0.75,0.75)
几何结构因子
( ) ( ) ( ) ( )
() () ()
)
1(
2/332/332/33
2/
klhiklhiklhi
klhilkilhikhi
eee
eeeefS
++++++
+++++
+++
++++=
πππ
ππππ
K
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24
( )()()
)1(
khilkilhi
eee
+++
+++
πππ
金刚石的结构因子也可以写成两项的乘积，一项是面心立方的相因子
另一项可由面心立方结构沿对角线移动 1/4的对角线长度得到，这个因子是由这样两个原子，
即一个在原点，一个在对角线 1/4长度距离的相位差，相当于 (0,0,0)和 (0.25,0.25,0.25)的相因子
()
)1(
2/klhi
e
++
+
π
这两个相因子的乘积就是金刚石结构的几何结构因子，消光条件就容易判断
( )()()( )
)1)(1(
2/ khilkilhiklhi
eeeefS
+++++
++++=
ππππ
K
5
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25
例：KCl晶体的几何结构因子
基矢,a=ai,b=aj,c=ak
晶胞内含 4个 K,4个 Cl
原子（用基矢表示）
K构成一套面心立方,1
个顶角,3对面心原子
(0,0,0); (0,0.5,0.5);
(0.5,0,0.5); (0.5,0.5,0)
Cl可将 K的位置沿棱移
1/2a，可得
(0,0.5,0); (0.5,0,0);
(0,0,0.5); (0.5,0.5,0.5)
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26
立方晶系,a=ai,b=aj,c=ak，所以
( )kjiK
2
klh
a
++=
π
结构因子为
∑
=
i
i
i
i
efS
τK
K
K,(0,0,0); (0,0.5,0.5); (0.5,0,0.5); (0.5,0.5,0)
Cl,(0,0.5,0); (0.5,0,0); (0,0,0.5); (0.5,0.5,0.5)
( )()()
()
)(
)1(
Cl
K
klhikilihi
lkilhikhi
eeeef
eeefS
++
+++
++++
+++=
ππππ
πππ
K
思考：如果 f
K
=f
Cl
，会不会有衍射斑点消失的面？为什么？
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27
6、晶体衍射实验方法
Ewald球
von Laue方法
转动单晶法
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28
Ewald construction 反射球
衍射斑点与衍射条件
*可根据观察到的斑点与推断晶体结构的特征
*理解衍射方法原理
CO= 2π /λ,入射方向，在 C以 CO为半径作圆，球面上的倒格点 P满足衍射条件，将产生衍射，在 PC方向可得衍射极大
* K的两端都是倒格点
o
c
p
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29
von Laue方法
晶体固定
改变波长，
Ewald球增大，球面扫过的倒格点，其延长线方向都会出现衍射极大
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30
转动单晶法固定k。转动晶体，
相当于改变入射角。倒格点扫过
Ewald
球，发生衍射极大
6
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31
7、其他晶体结构实验方法简介
倒空间 ?电子、中子衍射
实空间，晶体周期性结构用 Bravais格子描写
实空间观察原胞的位置
*最简单地，观察原子位置？
显微镜？
*晶格典型间隔 ?10
-10
米
*波长？
FIM
STM
表面？体内？
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32
电子衍射
X射线散射截面较小，电子较大
能量约为 100eV数量级的电子波长为 A数量级
*低能电子衍射（low energy electron diffraction,
LEED)
*电子与原子有强相互作用，易受散射，穿透深度小——适合作表面结构研究
高能电子（ 10
5
eV），波长更短，分辨率高
*高能易损伤材料
*掠射入表面，反射高能电子衍射（Reflect high
energy electron diffraction,RHEED）
1AeV 144,)eV(/12 ≈≈≈ λλ则若EE
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33
中子衍射
质量为电子的 1800倍，能量低,0.1eV量级 ~1A
波长
不带电，主要被原子核散射，常被用来测定原子在晶体中的位置
中子有磁矩，尤其适合于研究测定磁性物质的结构
1AeV 0784.0,)eV(/28.0 ≈≈≈ λλ则若EE
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34
场离子显微镜，FIM
样品针尖曲率半径 ~500A
容器中低压惰性气体
样品表面电场强度 ~10
10
伏 /米
气体原子被强电场极化，吸附在样品表面顶端突起部位，其电子隧穿产生电离
偏转磁场使电离物成象，放大
场电离容易产生在突起的表面原子上，这样便反映表面结构
（球壳模型）
*分辨率可达原子量级
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35
FIM实验的bcc结构W针尖
结构可由球壳模型模拟，与图象对照
不同材料同样晶体结构的图象是不是相同？
亮度装饰线不同，反映不同材料的不同面的功函数不相同
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36
扫描隧道显微镜，STM
1982年，发明了扫描隧道显微镜 (STM)
* G,Binnig与H,Rohrer
*人类第一次能够真实地“看见”单个原子在物质表面的排列情况,这是电子显微技术的一个重要里程碑
* 1986获诺贝尔物理奖
STM利用量子力学的隧道效应
*将原子线度的探针和被研究表面作为两个电极，
当针尖与样品距离非常接近时,在外加电场作用下，电子穿过两电极间势垒流向另一电极
* STM可以采取守恒电流扫描模式或守恒高度扫描模式
7
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37
扫描隧道显微镜，STM
探针与样品间距 ~1A
工作电压 ~1伏
原理：电子隧穿效应
工作方式及精度
*针尖作二维扫描
#改变针尖和样品距离使隧穿电流恒定
#固定针尖和样品距离，测隧穿电流
*垂直分辨率：0.01A
*横向分辨率：1A
)(xU
φ
)(xψ
d
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38
Ni(110)
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原子力显微镜，AFM
STM的局限
* STM只能用于导电材料，绝缘体也须在样品表面镀上导电层
*测量的是电子云分布
AFM (atomic force microscopy)
*结构原理同STM，也可用于绝缘体
*通过测量探针与样品之间的原子力来探测表面构型，通常保持原子力为一常数，记录探针位置
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40
本讲要点
晶体结构的实验观察，晶体周期性结构在倒空间的反映
晶体衍射理论
* Bragg定律
* von Laue公式
*结构因子(决定消光条件)
*原子形状因子
晶体衍射的实验方法
* X射线衍射
j
i
j
j
efS
τK
K
∑
=
rr
rK
def
i
jj
∫
= )( ρ
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概念要点
晶体衍射
*衍射极大条件：Bragg条件，von Laue条件
散射振幅
*几何结构因子
*原子形成因子
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42
思考问题
Bragg定律在物理图象上是否清楚？
8
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43
习题：
2.10
2.11
