1
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1
第7讲、晶格和基元
1.晶体特征
2.晶格、空间点阵(点阵)和Bravais格子(格子)
3.基元：原胞、Wigner-Seitz原胞和晶胞
4.实战
5.重要的晶格例子与晶体结构周期性数学描写有关的一些重要概念——晶格、基元、格点、格矢、基矢周期性结构
0
"
0
'
0
JJJ
RRR +=
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2
1、晶体的特征
晶体特征
* 物理：固定熔点，长程有序，解理性
* 几何：凸多面体，晶棱平行，晶面夹角守恒
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3
怎样描写原子排列？
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4
晶体的外形 ?对称性
晶体由全同的基本结构单元在空间有规则地重复排列而构成，这样的单元称为基元
外形与基本形状有一定的关系，形成一系列突多面体，比如可长成如下四个面
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5
晶体的不同外形
暴露在最外的面形状不同，即不同的晶面
也可长成另外的形状，但有规律
晶面夹角守恒设问：晶棱平行，晶面夹角守恒反映什么特征？
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6
基本重复单元（物理）几何结构（数学）晶体+=
比如金银铜，如果不细究右图中小块中的内容，即不管中间是金或银还是铜，它们是完全类似的。描写晶体结构的方式就是用几何点代表小块。这种几何点的结构就是晶体结构。金银铜的结构相同
2
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7
2、晶格、空间点阵(点阵)和Bravais格子(格子)
晶格：实际晶体结构的数学抽象(简化、理想化)
* 也称为空间点阵 (点阵 )和 Bravais格子 (格子 )
理想晶体：以完全相同的基本结构单元(基元)
规则地、重复地、以完全相同的方式排列而成
格点(结点)：代表基元的几何点
晶格(格子、点阵)：结点(格点)的总和基元格子晶体结构+=
数学物理
BasisLatticeStructure Crystal +=
该关系表示如果用几何点来代表基元，那么几何点在空间排列成阵列 ——格子(点阵、晶格)，基元加在晶格上形成晶体。晶格是晶体结构的数学表示，晶格中的每个格点代表基元 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学
8
晶格的数学表示
晶格(格子、点阵),无限(无边界)离散的阵列
* 无论从这个阵列中的哪一地方去观察，其周围环境，即点的分布和排列方位都是完全相同的
定义：如果选择一组不共面的基矢(a
1
、a
2
和
a
3
)，那么晶格中每个格点位置可由矢量(格矢)
R
l
=l
1
a
1
+ l
2
a
2
+ l
3
a
3
给出。所有格点的集合组成晶格 (点阵、格子 )
a
1
,a
2
,a
3
:基矢(可有多种选择，一般选最短)
l
1
,l
2
,l
3
,整数
#重要的特点：任何一个格矢可由另两个格矢的和来表示 ? R
l
=R
m
+R
n
#平移任一格矢，晶格保持不变，因此它必是无限伸展的
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9
基矢多重选择举例
P
Q
a
1
a
2
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10
3、基元：原胞、W-S原胞和晶胞
格点代表基元，或者说基元由格点来代表
* 每个格点所代表的内容完全相同，即基元
基元=完全相同的重复的基本结构单元
* 一个或多个原子组成以及它们之间互相位置排列
晶体=全同的基元平移(没有转动)地放在每个格点上，基元将填满所有空间
* 基元之间没有重叠
* 基元排列后也没有剩余空间
平移实际已意味着每个基元全同，有两层含义
* 组分全同：可以单个原子，也可多个、多种原子
* 形状结构全同：单个原子时只有形状，无所谓结构；多个原子时，结构指原子互相之间的位置关系
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11
原胞
原胞：最小的基元(内有且只有一个格点？)
——最小意味着不能再分。当然只包含一个格点，格点是基元的代表点 ?那为什么如此说？
——这是相对于晶胞来说的(以后不要用这种说法，见后)
用格矢平移原胞，将填满整个空间，没有空间遗漏，也没有重叠！
——因为原胞就是基元，最小的的基元
选取原胞的方法可以不只是一种，通常与基矢的选取有关(选表面积最小),但体积一定相同
——因为它将填满整个空间
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12
最小重复单元？
？
小球是格点，别把小球当作原子，虽然它可以是原子！
3
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13
原胞的多重选择？
设问：有没有一种原胞，它的选取是唯一的？
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14
Wigner-Seitz原胞
以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面，这些中垂面所包含最小体积的区域
对称性原胞，与基矢的选择无关，与相应的
Bravais格子有完全相同的对称性
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15
在实际研究工作中Wigner-Seitz原胞的选取原胞方法很少用
* 因为很少有需要，同时也不方便
* 很多时候，我们不必关心原胞边界在什么位置
* 这时是将基矢确定的平行六面体当作边界
有时，会有特殊的解能带理论所确定薛定鄂方程时方法，需要边界具有一定的对称性
* 比如为边界上波函数衔接方便，需要取这样的原胞
* 比如有一种方法叫原胞法，就是取这样的原胞
而确定原胞和选择基矢才是最重要的
* 原胞大，处理的原子数就多
倒格子中(晶格可称为正格子)，与W-S原胞对应的称为布里渊区，构造方法与W-S原胞相同
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16
原胞体积
a
1
a
3
a
2
)(
321
aaa ×?=Ω
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17
原胞内组分和结构
原胞内可只有一个原子，当然至少有一个原子
原胞内也可以有多个原子：如两个原子的金刚石
原胞内还可以有十几个、上百个、成千个原子，如碳管、生物晶体，等等
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18
4
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19
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20
高温超导材料YBaCuO结构
简单钙钛矿晶胞结构，掺入一些其他元素
别把原子当格点
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21
4、实战问题：小球表示原子排列结构。选择基矢，画出原胞。
判断根据：能否用基矢表示所有的小球？并且只有这些小球？
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22
问题：小球表示原子排列结构。选择基矢，画出原胞。
判断根据：能否用基矢表示所有的小球？并且只有这些小球？
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23
问题：小球表示原子排列结构。选择基矢，画出原胞。
判断根据：能否用基矢表示所有的小球？并且只有这些小球？
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24
确定基矢、原胞的一般步骤
判断能否用格矢表示所有的小球，并且只有这些小球？
1.判断小球是否就可以表示格点
* 比如选 a-b和 a-f为基矢
2.看是否能表达所有点？
* 可以表达所有点！
3.是否只有这些点？
* 多出六边形中点！
4.所以小球不能表示格点
5.基元内一定含多个原子
a
bc
d
ef
gh
i
jk
l
5
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25
确定基矢、原胞的一般步骤
基元至少含两个原子
1.选基元含两个原子
* 比如 a和 b
a
bc
d
ef
gh
i
jk
l
2.该基元能否覆盖晶体？
* 可以！
3.选基元中一原子代表格点
* 如 a，所有基元对应点
5.检验程序如前
4.选基矢
* 比如 a-k和 a-e
6.还需给出基元内原子坐标
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26
晶胞(单胞)
结晶学上用的基元
反映晶体宏观对称性
* 如果用原胞，不管怎么选取基矢，都不能正确反映晶体的对称性 ——原胞基矢只反映格子的对称性
原胞体积的整数倍
晶胞的基矢常用a，b，c来表示
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5、重要的晶格例子
简单立方结构：sc
面心立方结构：fcc
体心立方结构：bcc
简单六角结构：sh
六角密积结构：hcp
注意晶胞和原胞的划分
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简单立方：Simple cubic (sc)
i
k
j
a
1
a
2
a
3
ka
ja
ia
3
2
1
a
a
a
=
=
=
小球是否代表格点
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29
体心立方：Body-centred cubic(bcc)
i
k
j
a
1
a
3
a
2
)
(
2
)
(
2
)
(
2
3
2
1
kjia
kjia
kjia
++=
+?+=
++?=
a
a
a
小球是否代表格点
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面心立方：Face-centred cubic(fcc)
小球是否代表格点
k
j
i
a
1
a
2
a
3
)
(
2
)
(
2
)
(
2
3
2
1
jia
ika
kja
+=
+=
+=
a
a
a
6
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31
简单六角,simple hexagon (sh)
i
j
k
a
1
a
2
a
3
c
a
ka
jia
jia
)
3
(
2
)
3
(
2
3
2
1
c
a
a
=
+=
=
小球是否代表格点
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32
六角密积,Hexagonal close-packed(hcp)
c
a
1
a
2
a
3
以基矢为单位以基矢为单位
),
2
1
,
3
1
,
3
2
(
),0,0,0(
)
3
(
2
)
3
(
2
2
1
3
2
1
=
=
=
+=
=
τ
τ
ka
jia
jia
c
a
a
小球是否代表格点
i
j
k
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33
六角密堆积顶视：ABABAB…
先在平面内确定基矢，
即a
1
和a
2
，如何确定a
3
？
如原子可代表格点
* a
3
必需从第 1层某原子指向中间层某原子！
* 同时 a
3
还必需从第 2层那个原子指向第 3层某原子
* 而各层二维周期性由 a
1
和
a
2
定，没有问题
* a
3
行不行？ 可看顶视图
六角密堆积是ABAB重复的，现在显然不能指向A格点绿色表 A层，黄色表 B层。 B
层和 A层二维周期一样，但有一错位,a
3
在 xy方向的分量即错位矢量。六角密堆积结构是
ABAB地重复。如原子可代表格点，那 a
1
,a
2
,a
3
整数组合 (格矢 )可把所有绿黄点表示出来 http://10.45.24.132/~jgche/
固体物理学
34
本讲要点
晶体周期性结构的数学抽象 ?晶格(格子，点阵)
晶体结构=基元+晶格
晶格中的格点的坐标用格矢R来表示，其中
(a
1
，a
2
，a
3
)表示基矢
R = l
1
a
1
+ l
2
a
2
+ l
3
a
3
任何一个格矢都可由另两个格矢的和来表示：
R
l
=R
m
+R
n
基元
* 原胞：最小的基元，形状与基矢的取法有关
* 晶胞：保持晶体宏观对称性的基元
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概念要点
晶格(格子=Bravais格子，点阵=空间点阵)=基元代表点的集合
基矢=构成格矢的不共面(线)的基本平移矢量
基元=基本结构重复单元
原胞=最小的基元(形状与基矢取法有关)
Weigner-Seitz原胞=保持晶格对称性原胞
晶胞(单胞)=保持晶格宏观对称性(晶系对称性)
的基元
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思考问题
对同一晶体，原胞的形状是不是唯一的？为什么？晶胞的形状是不是唯一的？为什么？
7
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37
习题
1.请画出上图结构的原胞并给出基矢
a) 底心立方 (简立方上下面中心各加一点 )
b) 侧心立方 (简立方四个侧面中心各加一点 )
c) 棱心立方 (简立方十二个棱中心各加一点 )
* 附加的问题：有没有底心立方格子？侧心立方格子？棱心立方格子？
2.试证明，面心立方和体心立方结构的原胞基矢之间的夹角相等。并求夹角的数值
* 原胞可以有多中取法，这里指习惯的取法
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1
第7讲、晶格和基元
1.晶体特征
2.晶格、空间点阵(点阵)和Bravais格子(格子)
3.基元：原胞、Wigner-Seitz原胞和晶胞
4.实战
5.重要的晶格例子与晶体结构周期性数学描写有关的一些重要概念——晶格、基元、格点、格矢、基矢周期性结构
0
"
0
'
0
JJJ
RRR +=
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1、晶体的特征
晶体特征
* 物理：固定熔点，长程有序，解理性
* 几何：凸多面体，晶棱平行，晶面夹角守恒
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3
怎样描写原子排列？
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4
晶体的外形 ?对称性
晶体由全同的基本结构单元在空间有规则地重复排列而构成，这样的单元称为基元
外形与基本形状有一定的关系，形成一系列突多面体，比如可长成如下四个面
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5
晶体的不同外形
暴露在最外的面形状不同，即不同的晶面
也可长成另外的形状，但有规律
晶面夹角守恒设问：晶棱平行，晶面夹角守恒反映什么特征？
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6
基本重复单元（物理）几何结构（数学）晶体+=
比如金银铜，如果不细究右图中小块中的内容，即不管中间是金或银还是铜，它们是完全类似的。描写晶体结构的方式就是用几何点代表小块。这种几何点的结构就是晶体结构。金银铜的结构相同
2
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2、晶格、空间点阵(点阵)和Bravais格子(格子)
晶格：实际晶体结构的数学抽象(简化、理想化)
* 也称为空间点阵 (点阵 )和 Bravais格子 (格子 )
理想晶体：以完全相同的基本结构单元(基元)
规则地、重复地、以完全相同的方式排列而成
格点(结点)：代表基元的几何点
晶格(格子、点阵)：结点(格点)的总和基元格子晶体结构+=
数学物理
BasisLatticeStructure Crystal +=
该关系表示如果用几何点来代表基元，那么几何点在空间排列成阵列 ——格子(点阵、晶格)，基元加在晶格上形成晶体。晶格是晶体结构的数学表示，晶格中的每个格点代表基元 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学
8
晶格的数学表示
晶格(格子、点阵),无限(无边界)离散的阵列
* 无论从这个阵列中的哪一地方去观察，其周围环境，即点的分布和排列方位都是完全相同的
定义：如果选择一组不共面的基矢(a
1
、a
2
和
a
3
)，那么晶格中每个格点位置可由矢量(格矢)
R
l
=l
1
a
1
+ l
2
a
2
+ l
3
a
3
给出。所有格点的集合组成晶格 (点阵、格子 )
a
1
,a
2
,a
3
:基矢(可有多种选择，一般选最短)
l
1
,l
2
,l
3
,整数
#重要的特点：任何一个格矢可由另两个格矢的和来表示 ? R
l
=R
m
+R
n
#平移任一格矢，晶格保持不变，因此它必是无限伸展的
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基矢多重选择举例
P
Q
a
1
a
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3、基元：原胞、W-S原胞和晶胞
格点代表基元，或者说基元由格点来代表
* 每个格点所代表的内容完全相同，即基元
基元=完全相同的重复的基本结构单元
* 一个或多个原子组成以及它们之间互相位置排列
晶体=全同的基元平移(没有转动)地放在每个格点上，基元将填满所有空间
* 基元之间没有重叠
* 基元排列后也没有剩余空间
平移实际已意味着每个基元全同，有两层含义
* 组分全同：可以单个原子，也可多个、多种原子
* 形状结构全同：单个原子时只有形状，无所谓结构；多个原子时，结构指原子互相之间的位置关系
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原胞
原胞：最小的基元(内有且只有一个格点？)
——最小意味着不能再分。当然只包含一个格点，格点是基元的代表点 ?那为什么如此说？
——这是相对于晶胞来说的(以后不要用这种说法，见后)
用格矢平移原胞，将填满整个空间，没有空间遗漏，也没有重叠！
——因为原胞就是基元，最小的的基元
选取原胞的方法可以不只是一种，通常与基矢的选取有关(选表面积最小),但体积一定相同
——因为它将填满整个空间
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最小重复单元？
？
小球是格点，别把小球当作原子，虽然它可以是原子！
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13
原胞的多重选择？
设问：有没有一种原胞，它的选取是唯一的？
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14
Wigner-Seitz原胞
以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面，这些中垂面所包含最小体积的区域
对称性原胞，与基矢的选择无关，与相应的
Bravais格子有完全相同的对称性
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15
在实际研究工作中Wigner-Seitz原胞的选取原胞方法很少用
* 因为很少有需要，同时也不方便
* 很多时候，我们不必关心原胞边界在什么位置
* 这时是将基矢确定的平行六面体当作边界
有时，会有特殊的解能带理论所确定薛定鄂方程时方法，需要边界具有一定的对称性
* 比如为边界上波函数衔接方便，需要取这样的原胞
* 比如有一种方法叫原胞法，就是取这样的原胞
而确定原胞和选择基矢才是最重要的
* 原胞大，处理的原子数就多
倒格子中(晶格可称为正格子)，与W-S原胞对应的称为布里渊区，构造方法与W-S原胞相同
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原胞体积
a
1
a
3
a
2
)(
321
aaa ×?=Ω
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17
原胞内组分和结构
原胞内可只有一个原子，当然至少有一个原子
原胞内也可以有多个原子：如两个原子的金刚石
原胞内还可以有十几个、上百个、成千个原子，如碳管、生物晶体，等等
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高温超导材料YBaCuO结构
简单钙钛矿晶胞结构，掺入一些其他元素
别把原子当格点
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4、实战问题：小球表示原子排列结构。选择基矢，画出原胞。
判断根据：能否用基矢表示所有的小球？并且只有这些小球？
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问题：小球表示原子排列结构。选择基矢，画出原胞。
判断根据：能否用基矢表示所有的小球？并且只有这些小球？
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问题：小球表示原子排列结构。选择基矢，画出原胞。
判断根据：能否用基矢表示所有的小球？并且只有这些小球？
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确定基矢、原胞的一般步骤
判断能否用格矢表示所有的小球，并且只有这些小球？
1.判断小球是否就可以表示格点
* 比如选 a-b和 a-f为基矢
2.看是否能表达所有点？
* 可以表达所有点！
3.是否只有这些点？
* 多出六边形中点！
4.所以小球不能表示格点
5.基元内一定含多个原子
a
bc
d
ef
gh
i
jk
l
5
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确定基矢、原胞的一般步骤
基元至少含两个原子
1.选基元含两个原子
* 比如 a和 b
a
bc
d
ef
gh
i
jk
l
2.该基元能否覆盖晶体？
* 可以！
3.选基元中一原子代表格点
* 如 a，所有基元对应点
5.检验程序如前
4.选基矢
* 比如 a-k和 a-e
6.还需给出基元内原子坐标
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晶胞(单胞)
结晶学上用的基元
反映晶体宏观对称性
* 如果用原胞，不管怎么选取基矢，都不能正确反映晶体的对称性 ——原胞基矢只反映格子的对称性
原胞体积的整数倍
晶胞的基矢常用a，b，c来表示
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5、重要的晶格例子
简单立方结构：sc
面心立方结构：fcc
体心立方结构：bcc
简单六角结构：sh
六角密积结构：hcp
注意晶胞和原胞的划分
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简单立方：Simple cubic (sc)
i
k
j
a
1
a
2
a
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ka
ja
ia
3
2
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a
a
a
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=
=
小球是否代表格点
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体心立方：Body-centred cubic(bcc)
i
k
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a
1
a
3
a
2
)
(
2
)
(
2
)
(
2
3
2
1
kjia
kjia
kjia
++=
+?+=
++?=
a
a
a
小球是否代表格点
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30
面心立方：Face-centred cubic(fcc)
小球是否代表格点
k
j
i
a
1
a
2
a
3
)
(
2
)
(
2
)
(
2
3
2
1
jia
ika
kja
+=
+=
+=
a
a
a
6
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31
简单六角,simple hexagon (sh)
i
j
k
a
1
a
2
a
3
c
a
ka
jia
jia
)
3
(
2
)
3
(
2
3
2
1
c
a
a
=
+=
=
小球是否代表格点
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六角密积,Hexagonal close-packed(hcp)
c
a
1
a
2
a
3
以基矢为单位以基矢为单位
),
2
1
,
3
1
,
3
2
(
),0,0,0(
)
3
(
2
)
3
(
2
2
1
3
2
1
=
=
=
+=
=
τ
τ
ka
jia
jia
c
a
a
小球是否代表格点
i
j
k
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六角密堆积顶视：ABABAB…
先在平面内确定基矢，
即a
1
和a
2
，如何确定a
3
？
如原子可代表格点
* a
3
必需从第 1层某原子指向中间层某原子！
* 同时 a
3
还必需从第 2层那个原子指向第 3层某原子
* 而各层二维周期性由 a
1
和
a
2
定，没有问题
* a
3
行不行？ 可看顶视图
六角密堆积是ABAB重复的，现在显然不能指向A格点绿色表 A层，黄色表 B层。 B
层和 A层二维周期一样，但有一错位,a
3
在 xy方向的分量即错位矢量。六角密堆积结构是
ABAB地重复。如原子可代表格点，那 a
1
,a
2
,a
3
整数组合 (格矢 )可把所有绿黄点表示出来 http://10.45.24.132/~jgche/
固体物理学
34
本讲要点
晶体周期性结构的数学抽象 ?晶格(格子，点阵)
晶体结构=基元+晶格
晶格中的格点的坐标用格矢R来表示，其中
(a
1
，a
2
，a
3
)表示基矢
R = l
1
a
1
+ l
2
a
2
+ l
3
a
3
任何一个格矢都可由另两个格矢的和来表示：
R
l
=R
m
+R
n
基元
* 原胞：最小的基元，形状与基矢的取法有关
* 晶胞：保持晶体宏观对称性的基元
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概念要点
晶格(格子=Bravais格子，点阵=空间点阵)=基元代表点的集合
基矢=构成格矢的不共面(线)的基本平移矢量
基元=基本结构重复单元
原胞=最小的基元(形状与基矢取法有关)
Weigner-Seitz原胞=保持晶格对称性原胞
晶胞(单胞)=保持晶格宏观对称性(晶系对称性)
的基元
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思考问题
对同一晶体，原胞的形状是不是唯一的？为什么？晶胞的形状是不是唯一的？为什么？
7
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习题
1.请画出上图结构的原胞并给出基矢
a) 底心立方 (简立方上下面中心各加一点 )
b) 侧心立方 (简立方四个侧面中心各加一点 )
c) 棱心立方 (简立方十二个棱中心各加一点 )
* 附加的问题：有没有底心立方格子？侧心立方格子？棱心立方格子？
2.试证明，面心立方和体心立方结构的原胞基矢之间的夹角相等。并求夹角的数值
* 原胞可以有多中取法，这里指习惯的取法
