1
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1
上讲要点：晶格、基元、格点、格矢
晶格 (点阵、格子 )，基元 (原胞、晶胞 )
格点，其位置由格矢 R
l
=l
1
a
1
+l
2
a
2
+l
3
a
3
表示
* a
1
,a
2
,a
3
是基矢，格矢满足,R
l
=R
m
+R
n
基元内可以只有一个原子，也可不止一个。
* 由位矢 τ
1
,τ
2
,τ
3
,…表示基元内每个原子相对于格点的位置
),(),(物理具体内容基元数学几何结构晶格晶体+=
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2
咬文嚼字 ?加深印象(括号内为第一版页码)
p.23(p.34)：平移任何一个格矢，晶体保持不变
*,晶体,疑为,晶格,之误。
p.24(p.35)：,对有限大的晶体，所含原胞数和格点数相等,。
* 晶体（简称）可以有两个含义：
#理想晶体 ?数学=晶格+基元 ?无限的
#实际晶体 ?物理=原子规则排列的材料 ?有限的
* 但格子和格点是唯一的：
#格子是晶体周期性的数学抽象，一定是无限的；
#原胞和格点都是对格子定义的
* 所以这句话不要误解成格子可以是有限的
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3
咬文嚼字(括号内为第一版页码)
p.34(p.51)：原胞只含一个格点，是体积最小的重复单元。单胞则不同，可含一个或数个格点
* 格点不是原子，是基元（原胞或单胞）的代表点。
一旦用单胞作基元，实际就有它对应的格子，而单胞由格点的代表。只有在代表原胞的格点这个意义上 (那是另一套格子 )，单胞才可含那套格子的一个或数个格点。因此，既然用单胞，就应视单胞为基元，就用代表格点基元。因此这时格子就不是原来与原胞对应的格点的格子。慎用这样的表述。
p.40(p.60)：简单晶格与复式晶格
* 不能说复式晶格说法错，因为作为一个概念它有自己的定义。但这种说法不好，容易引起对晶格的误解，我们总是把格子理解成布拉维格子的简称。
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易混淆概念：简单晶格、复式晶格
简单晶格：基元中只含有一个原子的晶格
=Bravias格子
复式晶格：基元中含有一个以上的原子的晶格
(相同或不同原子 )
带芯格子（ lattice with bases）
源自：复式晶格可以看成由几套简单晶格套构而成考题：复式格子的倒格子是不是复式格子？
比如，面心立方结构和金刚石结构，都是面心立方格子。按这个概念，就成简单面心立方晶格，复式面心立方晶格？
* 关键是绝对不要把基元里的原子当作格点
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上讲复习：如何确定原胞和基矢？
给定一个原子排列结构，如何确定原胞和基矢？三个步骤：
1,根据原胞是最小重复单元，分析、判断
2,选定原胞的代表点 ——格点
3,检验：是否选基矢使格矢可以表示每个格点，没有遗漏，也没有多余
举例：
* 蜂窝结构
* 六角密堆积结构
* 面心立方结构
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6
例：蜂窝结构，honeycomb
蜂窝结构的基元至少含两个原子，所以
1,选基元含两个原子，这时可先不考虑形状
* 比如选 a和 b对
a
bc
d
ef
gh
i
jk
l
2,该基元能否覆盖晶体？
* 平移椭圆，可以覆盖！
3,选基元中如 a原子作格点
* 基元中的等价点对应格点
5,其他检验程序如前
4,选基矢表达格点
* 比如 a-k和 a-e
6,还需给出基元内原子坐标
2
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例：蜂窝结构，honeycomb
a
bc
d
ef
gh
i
jk
l
基元可以有多种选择
* 比如选 b和 c对
也能覆盖晶体
同样，基矢也可有多种选择
* 比如可选为b-j和 b-d
与前面完全等价
注意这里的椭圆并不表示基元的形状，只是表示基元所包含的原子
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8
例：六角密积,hexagonal close-packed(hcp)
c
a
1
a
2
a
3
以基矢为单位以基矢为单位
),
2
1
,
3
1
,
3
2
(
),0,0,0(
)
3
(
2
)
3
(
2
2
1
3
2
1
=
=
=
+=
=
τ
τ
ka
jia
jia
c
a
a
i
j
k
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9
六角密堆积顶视图：ABABAB…
六角密积是 ABAB重复
先在 xy面内确定基矢，
即 a
1
和 a
2
，如何确定
a
3
？
原子可代表格点的条件
* 沿 a
3
平移后将第 1层原子移到第 2层原子位置！
* 沿 a
3
平移将第 2层原子移到第 3层原子位置！重复
两次平移后结构需重复
* z分量,a
3
是 c轴的一半，
两次平移后可以重复
* xy分量,a
3
在 xy方向平移后不能重复，见图。
所以，原子不代表格点绿色表 A层，黄色表 B层。 B
层和 A层二维周期一样，但有一错位,a
3
在 xy方向的分量即错位矢量。六角密堆积结构是
ABAB地重复。如原子可代表格点，那 a
1
,a
2
,a
3
整数组合 (格矢 )可把所有绿黄点表示出来 10
立方密堆积顶视图：ABCABC…
六角密积第 3层不能重复
有没有第 3层满足重复条件的晶体结构？
绿色表 A层，黄色表 B层，白色表 C层。 B,C层和 A层二维周期一样，但 BA之间有错位，而 CB有同样的错位,a
3
在 xy方向的分量即错位矢量。
立方密堆积结构是 ABCABC
地重复，原子可代表格点
原子可代表格点的条件
* 沿 a
3
平移后将第 1层原子移到第 2层原子位置！
* 沿 a
3
平移后将第 2层原子移到第 3层原子位置！
* 沿 a
3
平移将第 3层原子移到第
4层原子位置！以后重复
三次平移后结构重复
* z分量,a
3
可取为 c轴的 1/3，
三次平移后可以重复
* xy分量,a
3
在 xy方向平移后可重复，见图。
因此，这种结构中每个原子可以是格点 ?面心立方
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例：面心立方：face-centred cubic(fcc)
)
(
2
)
(
2
)
(
2
3
2
1
jia
ika
kja
+=
+=
+=
a
a
a
k
j
i
a
1
a
2
a
3
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例：面心立方：face-centred cubic(fcc)
沿对角线方向看，面心立方就是 ABCABC的六角堆积而成
黄、白色的六角容易看出，在后面加一个晶胞可看出绿色的六角
移出单独看就很清楚
3
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例：面心立方：face-centred cubic(fcc)
a
1
和 a
2
确定的平面，
看 a
3
平移
1,a1+a3和 a2+a3，在
(1,1/2,1/2)和 (1/2,1,1/2)
是格点
2,a3+a3在顶角上，也是格点
3,可证没有多余的点
前面是将面心立方看作与六角密堆积类似结构分析，但面心立方习惯的基矢选取如图，我们来看看这样的基矢是否满足前面提到过的要素，即平移后能不能重复
a
1
a
2
a
3
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第8讲、密堆积、晶列和晶面
1,密堆积
2,配位数
3,密堆积和配位数举例
4,晶列和晶向指数
5,晶面和晶面 (Miller)指数
6,咬文嚼字与晶体周期性结构有关的概念 ——晶列、晶向、
晶面、晶面指数；以及其他一些概念 ——密堆积、堆积比，最近邻和配位数等
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1、密堆积（与周期性无关）
原子在晶体中的平衡位置，相应于体系能量最低的位置，因此总是尽可能地紧密排列
那么，如何排列同样大小的球，使空隙最小？
——这是一个古老的 Kepler堆积问题 (1611)
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16
Kepler堆积问题
二维问题 1892年被挪威数学家 Axel Thue
证明
三维问题的证明？
* 堆积比上限
#77.97%(1958)
#77.84%(1988)
密堆积,74.04%
绝大多数数学家都相信而所有物理学家都知道
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密堆积：只有两种，六角和立方
注意：原子平均占有的体积！
上层下层六角密积
ABABAB
立方密积
ABCABC
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堆积比(fcc结构)
fcc：每个晶胞共 4个原子
顶角原子：共 8个原子，每个顶角原子 8个晶胞共享，
相当于每个晶胞 1个顶角原子
面上原子：共 6个原子，每个面上原子 2个晶胞共享，
相当于每个晶胞 3个原子
堆积比：相切的硬球体积与整个体积之比
a
2
4
2
max
a
r =
6
2
3
4
4
3
3
max
π
π
=
×
=
a
r
堆积比
4
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堆积比
34.0
16
3
:diamond
52.0
6
1
:sc
68.0
8
3
:bcc
74.0
6
2
:fcc
=
=
=
=
π
π
π
π
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20
2、配位数（与周期性无关）
最近邻：离某一原子最近的原子，称为该原子的最近邻
* 不必是同种原子，但距离相同
配位数：最近邻的原子数
* 描写原子排列紧密的程度
* 最大配位数 =12(密堆积 )：每个原子与同层六个原子相切；上下两层各与三个原子相切
* 由于对称关系，没有 11,10,9,7,5的配位数
* 因此，可能的配位数依次是 12； 8； 6； 4； 3； 2
* 计算时需要将原胞沿基矢正负方向各延伸一个周期
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21
3、举例(体积和配位数)
简立方
体心立方
面心立方
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22
简立方
V= a
3
配位数：6
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23
体心立方
V =？
配位数：？ 8
1/2 a
3
原胞？
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24
面心立方
V =？
配位数：？ 12
1/4 a
3
原胞？
5
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25
金刚石结构
将面心立方结构，沿对角线方向移动 1/4对角线长度重叠而成
V =？1/4 a
3
配位数：？ 4
原胞？
金刚石结构属面心立方晶格，原胞与面心立方相同
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4、晶列和晶向指数
晶格中所有的格点都在一簇簇彼此平行的直线上 ?晶列 (晶列簇 ) ?晶列的方向 (晶向 )
* 一簇簇意即可以有无限多簇，每一簇都包含所有格点没有遗漏 ——所有格点都在某一簇晶列上
* 晶体外观上的晶棱就是某一晶列
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27
1,任一晶列上周期性地排列着无穷多个格点
2,任一晶列都有无穷多与之平行的晶列
* 这些互相平行的晶列构成一个晶列簇
* 同系列 (簇 )晶列上的格点具有相同的周期性
3,每簇晶列必将所有的格点包含无遗
* 晶格中所有的格点都在同一晶列簇内
4,过一晶列的平面中含无限平行周期排列晶列
* 相邻晶列间距相等
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28
晶向
区分晶列 ?晶列方向 ?怎么表示？
两个格点的连线即一晶列，因此从任一格点沿晶列方向到最近邻格点的平移矢量即晶向
>→<100]001[],100[ >→<010]010][010[ >→<001]100[],001[
其中的 l
，
m,n可用来表示该晶列晶向 ——[lmn]
问：这样的表示有没有问题？是否唯一？
——基矢的选取！结晶学原胞 ——晶胞
cbaR nml ++=
O
最近邻格点的平移矢量即最短格矢隐含什么？
已经隐含 l
，
m,n为互质的整数 ?最短的格矢。
一簇晶列包含所有格点，所以一定包含原点。
过原点沿晶列方向的最短格矢即晶向
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29
5、晶面和晶面(Miller)指数
晶格的所有格点也可看成都在一族相互平行的、间距相等的平面上 ——晶面
面间距大的晶面族，面上格点的密度较高
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30
1,任一晶面上二维周期性排列着无穷多个格点
2,任一晶面都有无限多与之平行的晶面
* 这些互相平行的晶面构成一族晶面族
* 同族晶面上的格点具有相同的二维周期性
3,每族晶面必将所有的格点包含无遗
* 晶格中所有的格点都在同一晶面族内
4,同族晶面中，相邻晶面的面间距相等，记为 d
如何区分晶面？
* 晶面的方向 ?晶面方向指数 (Miller指数 ) ?？
6
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31
晶面方程和晶面方向指数
这里 r分别是该晶面上任意一点的位矢,n是晶面方向单位矢量
该方程实际表示位置矢量在晶面方向上的投影
dμ=?nr
由过原点的晶面开始记数并记该晶面为第 0个晶面，
则第 μ 个晶面的方程为
dw
dv
du
μ
μ
μ
=?
=?
=?
)cos(
)cos(
)cos(
nc
nb
na
wvu
1
:
1
:
1
)cos(:)cos(:)cos( = ncnbna
晶面方向？如果该晶面与三个基轴的截距分别为 u,v,
w，则向 n投影得方向余弦之比等于截距倒数之比 ?两者等价，
常用后者表示晶面
wc
ua vb
c
a
b
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32
Miller指数
a
1
a
3
a
2
ua
1
wa
3
va
2
)(,
1
:
1
:
1
:,hkl
wvu
lkh =
可证,u,v,w必为有理数 (留作思考题 )，其倒数比的互质的整数比用来表示晶面方向的晶面指数
c
ua
vb
c
a
b
用晶胞的基矢，晶面指数称为Miller指数
{100}),001(),10(0),100( →
晶面指数简单的晶面，面间距大，容易解理 (剖开 )，所以同一自然晶体的外形特征总是相似的所有格点在该晶面族上，一定包含原点。最靠近原点晶面的截距 ?容易得到截距的互质倒数比思考,uvw 有理数？
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33
6、咬文嚼字(括号内为第一版页码)
p.24(p.36)：,每一格点有相同的最近邻数，称为该格子的配位数,。这句话完全是错的。配位数应以最近邻原子数而不是以最近邻格点数定义。所以，最常犯的错误就在此 ?格点和原子绝对不要混淆
p.26(p.39)：,晶向 [hlk]、密勒指数 (hlk),…，
a1,a2,a3”。特别提醒，都应以晶胞 (单胞 )基矢
a,b,c为基轴定义的，从不以原胞基矢 a1,a2,a3
为基轴定义
p.26(p.39)：,原胞中原子坐标用其在 a1,a2,a3轴上的投影表示,…写成分数形式,。同上，但常用的都是针对晶胞,a,b,c
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34
本讲要点
密堆积
配位数
* 最近邻原子数。指原子间距最小并相等的原子个数
晶列及晶向指数
* 晶格中任两个格点的连线成一晶列：任一晶列上周期地排列着无穷多格点；任一晶列都有无穷多互相平行排列的晶列形成一晶列簇；每一晶列簇必将所有格点包含无遗；在过一晶列的晶面上，所有晶列间距相等。用晶向指数区分晶列簇：
由过原点沿该晶列方向最短格矢 lmn(对晶胞基轴 )参数给出
晶面及晶面指数
* 晶格的所有格点可看成都在一族相互平行等间距的平面上，
称为晶面：任一晶面上二维周期性排列着无穷多个格点；每族晶面必将所有的格点包含无遗；晶格中所有的格点都在同一晶面族内。用晶面指数 (Miller指数 )区分晶面族：由同族晶面中最靠近原点的晶面在晶胞基轴上的截距的倒数给出
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35
概念要点
密堆积
配位数
晶列及晶向指数
晶面及晶面指数
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36
思考问题
为什么 u,v,w必为有理数？这归结为阿羽依有理数定理：晶体中任一晶面，在基矢坐标系中的截距为有理数。这是周期性的必然结果。
7
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37
习题
1,若基矢 a,b,c构成简单正交系，试证晶面族 (hkl)
的面间距为
* 并说明面指数简单的晶面，面密度比较大，容易解理
2,书中习题 2.5
3,书中习题 2.6
* 提示：面心立方结构中，一个晶胞内有八个四面体空位，有四个八面体空位。四面体、八面体形状如图，顶角为原子的位置。该题所求的即空位中心位置的坐标。该题首先需要确定空位在那里，然后确定它的位置坐标。
222
1
+
+
=
c
l
b
k
a
h
d
hkl
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38
课堂练习
试简述自由电子气模型中电阻产生的原因，实验的结果如何？
* 在自由电子气模型中，电阻产生的机制是因为电子与离子实的碰撞。其碰撞的几率由弛豫时间的倒数确定。由此确定的电子平均自由程的量级与原子间距相当。
* 自由电子气模型只能用温度升高时，电子与离子实的碰撞更剧烈来勉强解释电阻随温度的变化，但是无法解释，为什么实验发现在极低温时，电子的平均自由程是这种近似估计的
10
8
倍。
* 电阻产生的真实原因（也就是实验的结果）是电子被杂质、
缺陷和原子热扰动所导致的非周期结构的散射。这是电子气模型所不能考虑的。
* 评论：现阶段能够回答前两条，与周期有关的内容要深入学习后才能理解。
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1
上讲要点：晶格、基元、格点、格矢
晶格 (点阵、格子 )，基元 (原胞、晶胞 )
格点，其位置由格矢 R
l
=l
1
a
1
+l
2
a
2
+l
3
a
3
表示
* a
1
,a
2
,a
3
是基矢，格矢满足,R
l
=R
m
+R
n
基元内可以只有一个原子，也可不止一个。
* 由位矢 τ
1
,τ
2
,τ
3
,…表示基元内每个原子相对于格点的位置
),(),(物理具体内容基元数学几何结构晶格晶体+=
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2
咬文嚼字 ?加深印象(括号内为第一版页码)
p.23(p.34)：平移任何一个格矢，晶体保持不变
*,晶体,疑为,晶格,之误。
p.24(p.35)：,对有限大的晶体，所含原胞数和格点数相等,。
* 晶体（简称）可以有两个含义：
#理想晶体 ?数学=晶格+基元 ?无限的
#实际晶体 ?物理=原子规则排列的材料 ?有限的
* 但格子和格点是唯一的：
#格子是晶体周期性的数学抽象，一定是无限的；
#原胞和格点都是对格子定义的
* 所以这句话不要误解成格子可以是有限的
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3
咬文嚼字(括号内为第一版页码)
p.34(p.51)：原胞只含一个格点，是体积最小的重复单元。单胞则不同，可含一个或数个格点
* 格点不是原子，是基元（原胞或单胞）的代表点。
一旦用单胞作基元，实际就有它对应的格子，而单胞由格点的代表。只有在代表原胞的格点这个意义上 (那是另一套格子 )，单胞才可含那套格子的一个或数个格点。因此，既然用单胞，就应视单胞为基元，就用代表格点基元。因此这时格子就不是原来与原胞对应的格点的格子。慎用这样的表述。
p.40(p.60)：简单晶格与复式晶格
* 不能说复式晶格说法错，因为作为一个概念它有自己的定义。但这种说法不好，容易引起对晶格的误解，我们总是把格子理解成布拉维格子的简称。
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易混淆概念：简单晶格、复式晶格
简单晶格：基元中只含有一个原子的晶格
=Bravias格子
复式晶格：基元中含有一个以上的原子的晶格
(相同或不同原子 )
带芯格子（ lattice with bases）
源自：复式晶格可以看成由几套简单晶格套构而成考题：复式格子的倒格子是不是复式格子？
比如，面心立方结构和金刚石结构，都是面心立方格子。按这个概念，就成简单面心立方晶格，复式面心立方晶格？
* 关键是绝对不要把基元里的原子当作格点
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上讲复习：如何确定原胞和基矢？
给定一个原子排列结构，如何确定原胞和基矢？三个步骤：
1,根据原胞是最小重复单元，分析、判断
2,选定原胞的代表点 ——格点
3,检验：是否选基矢使格矢可以表示每个格点，没有遗漏，也没有多余
举例：
* 蜂窝结构
* 六角密堆积结构
* 面心立方结构
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例：蜂窝结构，honeycomb
蜂窝结构的基元至少含两个原子，所以
1,选基元含两个原子，这时可先不考虑形状
* 比如选 a和 b对
a
bc
d
ef
gh
i
jk
l
2,该基元能否覆盖晶体？
* 平移椭圆，可以覆盖！
3,选基元中如 a原子作格点
* 基元中的等价点对应格点
5,其他检验程序如前
4,选基矢表达格点
* 比如 a-k和 a-e
6,还需给出基元内原子坐标
2
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例：蜂窝结构，honeycomb
a
bc
d
ef
gh
i
jk
l
基元可以有多种选择
* 比如选 b和 c对
也能覆盖晶体
同样，基矢也可有多种选择
* 比如可选为b-j和 b-d
与前面完全等价
注意这里的椭圆并不表示基元的形状，只是表示基元所包含的原子
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8
例：六角密积,hexagonal close-packed(hcp)
c
a
1
a
2
a
3
以基矢为单位以基矢为单位
),
2
1
,
3
1
,
3
2
(
),0,0,0(
)
3
(
2
)
3
(
2
2
1
3
2
1
=
=
=
+=
=
τ
τ
ka
jia
jia
c
a
a
i
j
k
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9
六角密堆积顶视图：ABABAB…
六角密积是 ABAB重复
先在 xy面内确定基矢，
即 a
1
和 a
2
，如何确定
a
3
？
原子可代表格点的条件
* 沿 a
3
平移后将第 1层原子移到第 2层原子位置！
* 沿 a
3
平移将第 2层原子移到第 3层原子位置！重复
两次平移后结构需重复
* z分量,a
3
是 c轴的一半，
两次平移后可以重复
* xy分量,a
3
在 xy方向平移后不能重复，见图。
所以，原子不代表格点绿色表 A层，黄色表 B层。 B
层和 A层二维周期一样，但有一错位,a
3
在 xy方向的分量即错位矢量。六角密堆积结构是
ABAB地重复。如原子可代表格点，那 a
1
,a
2
,a
3
整数组合 (格矢 )可把所有绿黄点表示出来 10
立方密堆积顶视图：ABCABC…
六角密积第 3层不能重复
有没有第 3层满足重复条件的晶体结构？
绿色表 A层，黄色表 B层，白色表 C层。 B,C层和 A层二维周期一样，但 BA之间有错位，而 CB有同样的错位,a
3
在 xy方向的分量即错位矢量。
立方密堆积结构是 ABCABC
地重复，原子可代表格点
原子可代表格点的条件
* 沿 a
3
平移后将第 1层原子移到第 2层原子位置！
* 沿 a
3
平移后将第 2层原子移到第 3层原子位置！
* 沿 a
3
平移将第 3层原子移到第
4层原子位置！以后重复
三次平移后结构重复
* z分量,a
3
可取为 c轴的 1/3，
三次平移后可以重复
* xy分量,a
3
在 xy方向平移后可重复，见图。
因此，这种结构中每个原子可以是格点 ?面心立方
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11
例：面心立方：face-centred cubic(fcc)
)
(
2
)
(
2
)
(
2
3
2
1
jia
ika
kja
+=
+=
+=
a
a
a
k
j
i
a
1
a
2
a
3
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例：面心立方：face-centred cubic(fcc)
沿对角线方向看，面心立方就是 ABCABC的六角堆积而成
黄、白色的六角容易看出，在后面加一个晶胞可看出绿色的六角
移出单独看就很清楚
3
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13
例：面心立方：face-centred cubic(fcc)
a
1
和 a
2
确定的平面，
看 a
3
平移
1,a1+a3和 a2+a3，在
(1,1/2,1/2)和 (1/2,1,1/2)
是格点
2,a3+a3在顶角上，也是格点
3,可证没有多余的点
前面是将面心立方看作与六角密堆积类似结构分析，但面心立方习惯的基矢选取如图，我们来看看这样的基矢是否满足前面提到过的要素，即平移后能不能重复
a
1
a
2
a
3
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14
第8讲、密堆积、晶列和晶面
1,密堆积
2,配位数
3,密堆积和配位数举例
4,晶列和晶向指数
5,晶面和晶面 (Miller)指数
6,咬文嚼字与晶体周期性结构有关的概念 ——晶列、晶向、
晶面、晶面指数；以及其他一些概念 ——密堆积、堆积比，最近邻和配位数等
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15
1、密堆积（与周期性无关）
原子在晶体中的平衡位置，相应于体系能量最低的位置，因此总是尽可能地紧密排列
那么，如何排列同样大小的球，使空隙最小？
——这是一个古老的 Kepler堆积问题 (1611)
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16
Kepler堆积问题
二维问题 1892年被挪威数学家 Axel Thue
证明
三维问题的证明？
* 堆积比上限
#77.97%(1958)
#77.84%(1988)
密堆积,74.04%
绝大多数数学家都相信而所有物理学家都知道
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17
密堆积：只有两种，六角和立方
注意：原子平均占有的体积！
上层下层六角密积
ABABAB
立方密积
ABCABC
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18
堆积比(fcc结构)
fcc：每个晶胞共 4个原子
顶角原子：共 8个原子，每个顶角原子 8个晶胞共享，
相当于每个晶胞 1个顶角原子
面上原子：共 6个原子，每个面上原子 2个晶胞共享，
相当于每个晶胞 3个原子
堆积比：相切的硬球体积与整个体积之比
a
2
4
2
max
a
r =
6
2
3
4
4
3
3
max
π
π
=
×
=
a
r
堆积比
4
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19
堆积比
34.0
16
3
:diamond
52.0
6
1
:sc
68.0
8
3
:bcc
74.0
6
2
:fcc
=
=
=
=
π
π
π
π
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20
2、配位数（与周期性无关）
最近邻：离某一原子最近的原子，称为该原子的最近邻
* 不必是同种原子，但距离相同
配位数：最近邻的原子数
* 描写原子排列紧密的程度
* 最大配位数 =12(密堆积 )：每个原子与同层六个原子相切；上下两层各与三个原子相切
* 由于对称关系，没有 11,10,9,7,5的配位数
* 因此，可能的配位数依次是 12； 8； 6； 4； 3； 2
* 计算时需要将原胞沿基矢正负方向各延伸一个周期
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21
3、举例(体积和配位数)
简立方
体心立方
面心立方
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22
简立方
V= a
3
配位数：6
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23
体心立方
V =？
配位数：？ 8
1/2 a
3
原胞？
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24
面心立方
V =？
配位数：？ 12
1/4 a
3
原胞？
5
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25
金刚石结构
将面心立方结构，沿对角线方向移动 1/4对角线长度重叠而成
V =？1/4 a
3
配位数：？ 4
原胞？
金刚石结构属面心立方晶格，原胞与面心立方相同
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26
4、晶列和晶向指数
晶格中所有的格点都在一簇簇彼此平行的直线上 ?晶列 (晶列簇 ) ?晶列的方向 (晶向 )
* 一簇簇意即可以有无限多簇，每一簇都包含所有格点没有遗漏 ——所有格点都在某一簇晶列上
* 晶体外观上的晶棱就是某一晶列
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27
1,任一晶列上周期性地排列着无穷多个格点
2,任一晶列都有无穷多与之平行的晶列
* 这些互相平行的晶列构成一个晶列簇
* 同系列 (簇 )晶列上的格点具有相同的周期性
3,每簇晶列必将所有的格点包含无遗
* 晶格中所有的格点都在同一晶列簇内
4,过一晶列的平面中含无限平行周期排列晶列
* 相邻晶列间距相等
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28
晶向
区分晶列 ?晶列方向 ?怎么表示？
两个格点的连线即一晶列，因此从任一格点沿晶列方向到最近邻格点的平移矢量即晶向
>→<100]001[],100[ >→<010]010][010[ >→<001]100[],001[
其中的 l
，
m,n可用来表示该晶列晶向 ——[lmn]
问：这样的表示有没有问题？是否唯一？
——基矢的选取！结晶学原胞 ——晶胞
cbaR nml ++=
O
最近邻格点的平移矢量即最短格矢隐含什么？
已经隐含 l
，
m,n为互质的整数 ?最短的格矢。
一簇晶列包含所有格点，所以一定包含原点。
过原点沿晶列方向的最短格矢即晶向
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29
5、晶面和晶面(Miller)指数
晶格的所有格点也可看成都在一族相互平行的、间距相等的平面上 ——晶面
面间距大的晶面族，面上格点的密度较高
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30
1,任一晶面上二维周期性排列着无穷多个格点
2,任一晶面都有无限多与之平行的晶面
* 这些互相平行的晶面构成一族晶面族
* 同族晶面上的格点具有相同的二维周期性
3,每族晶面必将所有的格点包含无遗
* 晶格中所有的格点都在同一晶面族内
4,同族晶面中，相邻晶面的面间距相等，记为 d
如何区分晶面？
* 晶面的方向 ?晶面方向指数 (Miller指数 ) ?？
6
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31
晶面方程和晶面方向指数
这里 r分别是该晶面上任意一点的位矢,n是晶面方向单位矢量
该方程实际表示位置矢量在晶面方向上的投影
dμ=?nr
由过原点的晶面开始记数并记该晶面为第 0个晶面，
则第 μ 个晶面的方程为
dw
dv
du
μ
μ
μ
=?
=?
=?
)cos(
)cos(
)cos(
nc
nb
na
wvu
1
:
1
:
1
)cos(:)cos(:)cos( = ncnbna
晶面方向？如果该晶面与三个基轴的截距分别为 u,v,
w，则向 n投影得方向余弦之比等于截距倒数之比 ?两者等价，
常用后者表示晶面
wc
ua vb
c
a
b
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32
Miller指数
a
1
a
3
a
2
ua
1
wa
3
va
2
)(,
1
:
1
:
1
:,hkl
wvu
lkh =
可证,u,v,w必为有理数 (留作思考题 )，其倒数比的互质的整数比用来表示晶面方向的晶面指数
c
ua
vb
c
a
b
用晶胞的基矢，晶面指数称为Miller指数
{100}),001(),10(0),100( →
晶面指数简单的晶面，面间距大，容易解理 (剖开 )，所以同一自然晶体的外形特征总是相似的所有格点在该晶面族上，一定包含原点。最靠近原点晶面的截距 ?容易得到截距的互质倒数比思考,uvw 有理数？
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33
6、咬文嚼字(括号内为第一版页码)
p.24(p.36)：,每一格点有相同的最近邻数，称为该格子的配位数,。这句话完全是错的。配位数应以最近邻原子数而不是以最近邻格点数定义。所以，最常犯的错误就在此 ?格点和原子绝对不要混淆
p.26(p.39)：,晶向 [hlk]、密勒指数 (hlk),…，
a1,a2,a3”。特别提醒，都应以晶胞 (单胞 )基矢
a,b,c为基轴定义的，从不以原胞基矢 a1,a2,a3
为基轴定义
p.26(p.39)：,原胞中原子坐标用其在 a1,a2,a3轴上的投影表示,…写成分数形式,。同上，但常用的都是针对晶胞,a,b,c
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34
本讲要点
密堆积
配位数
* 最近邻原子数。指原子间距最小并相等的原子个数
晶列及晶向指数
* 晶格中任两个格点的连线成一晶列：任一晶列上周期地排列着无穷多格点；任一晶列都有无穷多互相平行排列的晶列形成一晶列簇；每一晶列簇必将所有格点包含无遗；在过一晶列的晶面上，所有晶列间距相等。用晶向指数区分晶列簇：
由过原点沿该晶列方向最短格矢 lmn(对晶胞基轴 )参数给出
晶面及晶面指数
* 晶格的所有格点可看成都在一族相互平行等间距的平面上，
称为晶面：任一晶面上二维周期性排列着无穷多个格点；每族晶面必将所有的格点包含无遗；晶格中所有的格点都在同一晶面族内。用晶面指数 (Miller指数 )区分晶面族：由同族晶面中最靠近原点的晶面在晶胞基轴上的截距的倒数给出
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概念要点
密堆积
配位数
晶列及晶向指数
晶面及晶面指数
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36
思考问题
为什么 u,v,w必为有理数？这归结为阿羽依有理数定理：晶体中任一晶面，在基矢坐标系中的截距为有理数。这是周期性的必然结果。
7
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习题
1,若基矢 a,b,c构成简单正交系，试证晶面族 (hkl)
的面间距为
* 并说明面指数简单的晶面，面密度比较大，容易解理
2,书中习题 2.5
3,书中习题 2.6
* 提示：面心立方结构中，一个晶胞内有八个四面体空位，有四个八面体空位。四面体、八面体形状如图，顶角为原子的位置。该题所求的即空位中心位置的坐标。该题首先需要确定空位在那里，然后确定它的位置坐标。
222
1
+
+
=
c
l
b
k
a
h
d
hkl
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38
课堂练习
试简述自由电子气模型中电阻产生的原因，实验的结果如何？
* 在自由电子气模型中，电阻产生的机制是因为电子与离子实的碰撞。其碰撞的几率由弛豫时间的倒数确定。由此确定的电子平均自由程的量级与原子间距相当。
* 自由电子气模型只能用温度升高时，电子与离子实的碰撞更剧烈来勉强解释电阻随温度的变化，但是无法解释，为什么实验发现在极低温时，电子的平均自由程是这种近似估计的
10
8
倍。
* 电阻产生的真实原因（也就是实验的结果）是电子被杂质、
缺陷和原子热扰动所导致的非周期结构的散射。这是电子气模型所不能考虑的。
* 评论：现阶段能够回答前两条，与周期有关的内容要深入学习后才能理解。
