1
http://10.45.24.132/~jgche/固体物理学
1
第3讲、Sommerfeld模型——基态
1,再论 Drude模型
2,费米 —狄拉克分布
3,比热的定性估计
4,Sommerfeld模型
5,状态密度 ——波矢空间
6,状态密度 ——能量空间
7,T=0时的性质量子统计，自由电子气的基态性质
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2
1、再论Drude模型
Wiedemann-Franz定律，成功 !
金属电子比热，完全失败
*实验测量，电子对比热的贡献在低温下与温度成正比，在绝对零度时消失
BV
nkc
2
3
=
为什么对比热失败？
对电导率呢？因为弛豫时间是个参数，并不能证明没有困难。成功的只有Wiedemann-Franz定律
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3
看：模型如何得到电子气比热？
经典理论
N个自由电子 自由度 3N
但室温时，实际 ~1%
电子怎么能够参与传导过程，
犹如可以迁移似的，但对热容却几乎没有贡献？
Pauli原理、
Fermi分布！
热容 ~3/2 Nk
B
热容热容被严重高估！ ?？加热，温度升高慢，所有电子都得到能量 ?热容大 ?Pauli原理否定模型假定仍可以！但统计？ ?经典还是量子？
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4
2、Fermi—Dirac分布
Drude模型用经典统计：在给定的电子气密度，温度 T，平衡态,Maxwell—Boltzmann分布
TkE
B
MB
B
e
Tk
m
nEf
/
2/3
2
)(
=
π
Sommerfeld模型用 Fermi—Dirac分布代替
Maxwell—Boltzmann分布
()
1
1
)(
BF
/
+
=
TkEEFD
e
Ef
在温度 T下，能量为 E的状态被占据的几率。式中 E
F
是电子的化学势，是温度的函数。当温度为零时，电子最高占据状态能量，称为费米能
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5
FD分布性质基态 T = 0 K
1
1
)(
/)(
+
=
TkEE
BF
e
Ef 1)(0 ≤≤ Ef
思考：经典极限？
费米能级 E
F
,T=0时的电子的最高能级对应的费米温度 E
F
=k
B
T
F
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6
FD与MB分布比较
基态，零度时，电子都处于费米能级以下
温度升高时，即对它加热，将发生什么情况？
某些空的能级将被占据，同时，原来被占据的某些能级空了出来
典型金属，在室温下的分布。 MB(黑 )，
FD(红 )，
FD(T=0K，绿 )
2
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7
3、比热的定性估计(半经典)
分析：电子从零度起被加热，不象经典粒子每个电子都得到 k
B
T的能量，而仅仅 Fermi能级附近的电子被激发
Drude高估了对热容有贡献的电子数
估计：有 k
B
T/k
B
T
F
比例的电子被激发，这部分电子数目（即上面近似三角区域内电子被激发到下面三角区域）
)/()/(~
FFBB
TTNTkTkN =
Tk
B
FBF
TkE =
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8
什么是物理？这就是物理！
与严格的理论相比，只差一个因子
9.42/
2
≈π
TkTTNU
BF
)/(≈
BF
)/( kTTNc
el
V
≈
T
F
~10
4
-10
5
K，室温下，比热比经典值小两个量级
思考,Drude模型中还有什么应该也只考虑应用费米能级附近的电子起作用？会得到什么结果？
被激发电子数 电子经典能量
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9
Drude成功的原因？
Drude模型对比热失败！
Drude模型对 Wiedemann-Franz定律基本正确！对热传导系数
τκ
2
3
1
vc
V
=
比热的过高估计（两个数量级）正好被速度的过低估计（同样数量级）所抵消！
除了碰撞瞬间，不考虑与离子实的作用也是非常好的近似，因为周期性排列没有散射机制
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10
4、Sommerfeld模型(基态性质)
模为常数，表示电子在各处出现的几率都相同
k平面波波矢，方向为平面波传播方向
与波长的关系
在 V=L
3
内的 N个自由电子。独立电子近似 ?分离变量 ?单电子方程 ?单电子波函数
)()(
2
2
2
rr
r
ψψ E
m
=
h rk
k
r
=
i
Ce)(ψ
波函数代入方程得到解，即自由电子的能量
λπ /2=k
() )(
22
222
2
2
2
zyx
kkk
m
k
m
E ++==
hh
k
C=
2
)(r
k
ψ
∑
=
i
i
m2
2
p
H
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11
讨论
自由电子的状态用量子数 k来描述！
k是电子动量的本征态 kp h=
则相应的速度
m
k
v
h
=
即自由电子的能量也可写成这个形式
2
2
1
mvE =
比较电子动能
() )(
22
222
2
2
2
zyx
kkk
m
k
m
E ++==
hh
k
k如何取值？固体无限时,k可取任意值,E(k)
因此是连续的，否则,k由边界条件定
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12
L
N
周期边界条件
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,(
zyxLzyx
zyxzLyx
zyxzyLx
ψψ
ψψ
ψψ
=+
=+
=+
rk
k
r
=
i
e)(ψ
1===
Lik
Lik
Lik
z
y
x
eee
L;
6;
4;
2;0,,
LLL
kkk
zyx
πππ
±±±=
边界条件导致 k
取值的量子化，
分立值思考：无限深势阱？
3
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13
5、状态密度——波矢空间
每个点都是解，描写电子状态
每个状态在 k空间占体积
L/2π
() VL /8/2
33
ππ =
状态密度,k空间单位体积内的状态数
3
8
1
π
V
=
Δk
每个
k
值在该空间代表一个点
L;
4;
2;0,,
LL
kkk
zyx
ππ
±±=
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14
k
F
k
y
k
x
k
z
Fermi 能级
()
3
F3
3
4
2
2 k
V
N π
π
=
半径 k
F
的球内的状态数为基态，电子在 k空间都处于半径为 k
F
的球内，即占据球内一点。
最高被占据面,Fermi面
Pauli原理：每个 k
态填两个电子，由低到高依次填充，
形成半径为 k
F
的
Fermi球自旋
m
k
v
F
F
h
=
B
F
F
k
E
T =
速度 温度
m
k
E
2
2
F
2
F
h
=
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15
Fermi能级？
基态下电子填充的最高能级
Fermi能级：把基态下已被占据的状态和未被占据的状态分开
只有 Fermi能级附近的电子才容易被激发
*电流也是Fermi能级附近的能态占据状况发生变化引起的
*如果加外场，也只有Fermi能级附近的状态发生变化
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16
基态总能量(T=0)
单位体积自由电子气体的基态能量,Feimi球内所有电子能量之和
∑
<
=
F
2
2
22
0
kk
m
k
E
h
自旋
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17
3
8
1
π
V
k
=
Δ
为了将求和转换为积分，利用 k空间单位体积内的状态数，可得
∑∑
<<
Δ==
FF
28
2
2
2
22
3
22
0
kkkk
m
k
m
k
VV
E
k
hh
π
∫
<
=
F
28
2
22
3
0
kk
d
m
k
V
E
k
h
π
m
k
E
F
F
2
22
0
h
=
()
3
F3
3
4
2
2 k
V
N π
π
=
∫
<
=
F
2
22
3
4
28
2
kk
dkk
m
k
π
π
h
再利用
()
3
F
352
2
0
42
32
10
1 F
kVm
k
V
N
E
π
π
π?
=
h
m
k
F
25
3
22
h
=
0
5
3
F
E=
m
k
10
1
52
2
F
h
π
=
电子气平均能
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18
6、状态密度——能量空间
状态空间,k点等间距分布，每个 k点占有的体积
33
82
VL
ππ
=?
=Δk
k空间单位体积内 k点数 ——状态密度（常数）
3
8
1
π
V
=
Δk
更常用的是能量空间的状态密度？
4
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19
能量空间，k ?E
在能量空间，对分立能级的求和也可转换成积分
k求和以积分代替，分立 ?连续
∑ ∫
→
k
kkk df
V
f )(
8
)(
3
π
∑ ∫
→
i
i
dEEDEfEf )()()(
D(E)——状态密度：单位能量间隔 E~E+dE
内，电子状态数
思考：能量空间的状态密度什么物理意义？
dE
dN
ED =)(
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20
能量态密度
书中用单位体积内的 D(E)/V ?g (E)
已知 k空间的状态密度（常数），由 k空间的状态密度可以得到能量空间的状态密度，利用
()
m
k
kkk
m
E
zyx
22
22
222
2
hh
=++=
得到 D(E)
)(
8
3
ED
V
→
π
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21
2/3
22
2
2
)(
=
=
h
mV
C
ECED
π
E
dEm
dkk
m
E
2
2
2
2
2
2
h
h
=?=
D(E)
E
EC
dkk
V
d
V
dN
2
33
4
8
2
8
2 π
ππ
== k
思考：二维、一维自旋 密度 体积微元
dE
dN
ED =)(
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22
经典：同一能量状态可以填任意电子
量子：泡利不相容原理
费米分布：热平衡时，能量处在 E时的几率
∫∫
∞∞
==
00
)()()( dEEEfCdEEDEfN
三维时，能量状态密度与能量的平方根成正比
2/3
22
2
2
,)(?
==
h
mV
CECED
π
N状态数。如果全部用来填充电子，就是电子数。因此，假定电子总数知道，可用上式来确定 Fermi能量，总能等 T=0时的基态性质
[ ]1/1)(
/)(
+=
TkEE
BF
eEf
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23
7、T=0时的性质
电子数
>
<
=
F
F
EE
EE
Ef
if0
if1
)(
() ()
2/3
0
2/3
22
2/3
0
0
2
33
2
0
FF
E
E
mV
ECdEECN
F
===
∫
hπ
()
3/2
2
0
3
2
n
m
E
F
π
h
=
3/1
)3( nk
F
π=
费米能级
m
k
E
F
F
2
22
0
h
=
VNn /=
利用
得费米波矢费米能级的典型数值是 1~10eV
相应的费米温度为 10
4
~10
5
K
费米波矢为原子间距的倒数
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24
电子气的平均能量（平均动能）
N
EdEEfED
E
∫
=
)()(
0
在 T = 0 K 电子仍具有相当大的动能！ E
F
量级
Pauli 不相容原理
0
0
2/3
0
5
3
F
E
EdEE
N
C F
∫
==
5
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25
自由电子气能量密度
0
F
00
5
3
nE
V
EN
V
E
===ε
自由电子气压强
N
V
E
P?
=
0
0
F0
5
3
NEE =
由于
()
3/2
2
3/2
2
0
3
2
3
2
==
V
N
m
n
m
E
F
ππ
hh
ε
3
2
3
2
3
2
000
==?
=?
=
V
E
V
E
V
E
P
N
与 V是 -2/3关系，所以
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26
体积弹性模量
V
P
VB
=
P
V
P
VB
V
3
5
=?
=
由于
3/2
0
∝VE
所以
3/5?
∝VP
于是
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27
本讲要点
Drude模型失败的根本原因 ——只有费米能级附近的电子才在电导和热导中起作用
Sommerfeld模型
* Fermi—Dirac分布代替Maxwell—Boltzmann分布
F-D分布性质
一个例子：半经典模型估计比热
基态的基本性质
*状态密度——极其重要的物理量
*费米能级、费米波矢、费米半径
*基态能量
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28
概念要点
费米 —狄拉克分布
*热平衡，温度T时，电子处于能量E的几率
*化学势。零度时，最高占据能级——费米能级
费米能级
*电子最高的占据能级
*只有费米能级附近的电子才是活跃的，参与输运
状态密度
* k空间状态密度是常数
*单位能量间隔内电子状态数
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29
思考问题
Drude模型中还有什么应该也只考虑应用费米能级附近的电子起作用？会得到什么结果？回顾上讲习题 1和 2。
能量空间的状态密度有什么物理意义？
一维、二维能量空间状态密度。
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30
习题
求零温度时一维、二维电子气体的费米能级和电子气体平均能量。
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1
第3讲、Sommerfeld模型——基态
1,再论 Drude模型
2,费米 —狄拉克分布
3,比热的定性估计
4,Sommerfeld模型
5,状态密度 ——波矢空间
6,状态密度 ——能量空间
7,T=0时的性质量子统计，自由电子气的基态性质
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2
1、再论Drude模型
Wiedemann-Franz定律，成功 !
金属电子比热，完全失败
*实验测量，电子对比热的贡献在低温下与温度成正比，在绝对零度时消失
BV
nkc
2
3
=
为什么对比热失败？
对电导率呢？因为弛豫时间是个参数，并不能证明没有困难。成功的只有Wiedemann-Franz定律
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3
看：模型如何得到电子气比热？
经典理论
N个自由电子 自由度 3N
但室温时，实际 ~1%
电子怎么能够参与传导过程，
犹如可以迁移似的，但对热容却几乎没有贡献？
Pauli原理、
Fermi分布！
热容 ~3/2 Nk
B
热容热容被严重高估！ ?？加热，温度升高慢，所有电子都得到能量 ?热容大 ?Pauli原理否定模型假定仍可以！但统计？ ?经典还是量子？
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4
2、Fermi—Dirac分布
Drude模型用经典统计：在给定的电子气密度，温度 T，平衡态,Maxwell—Boltzmann分布
TkE
B
MB
B
e
Tk
m
nEf
/
2/3
2
)(
=
π
Sommerfeld模型用 Fermi—Dirac分布代替
Maxwell—Boltzmann分布
()
1
1
)(
BF
/
+
=
TkEEFD
e
Ef
在温度 T下，能量为 E的状态被占据的几率。式中 E
F
是电子的化学势，是温度的函数。当温度为零时，电子最高占据状态能量，称为费米能
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5
FD分布性质基态 T = 0 K
1
1
)(
/)(
+
=
TkEE
BF
e
Ef 1)(0 ≤≤ Ef
思考：经典极限？
费米能级 E
F
,T=0时的电子的最高能级对应的费米温度 E
F
=k
B
T
F
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6
FD与MB分布比较
基态，零度时，电子都处于费米能级以下
温度升高时，即对它加热，将发生什么情况？
某些空的能级将被占据，同时，原来被占据的某些能级空了出来
典型金属，在室温下的分布。 MB(黑 )，
FD(红 )，
FD(T=0K，绿 )
2
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3、比热的定性估计(半经典)
分析：电子从零度起被加热，不象经典粒子每个电子都得到 k
B
T的能量，而仅仅 Fermi能级附近的电子被激发
Drude高估了对热容有贡献的电子数
估计：有 k
B
T/k
B
T
F
比例的电子被激发，这部分电子数目（即上面近似三角区域内电子被激发到下面三角区域）
)/()/(~
FFBB
TTNTkTkN =
Tk
B
FBF
TkE =
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8
什么是物理？这就是物理！
与严格的理论相比，只差一个因子
9.42/
2
≈π
TkTTNU
BF
)/(≈
BF
)/( kTTNc
el
V
≈
T
F
~10
4
-10
5
K，室温下，比热比经典值小两个量级
思考,Drude模型中还有什么应该也只考虑应用费米能级附近的电子起作用？会得到什么结果？
被激发电子数 电子经典能量
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Drude成功的原因？
Drude模型对比热失败！
Drude模型对 Wiedemann-Franz定律基本正确！对热传导系数
τκ
2
3
1
vc
V
=
比热的过高估计（两个数量级）正好被速度的过低估计（同样数量级）所抵消！
除了碰撞瞬间，不考虑与离子实的作用也是非常好的近似，因为周期性排列没有散射机制
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4、Sommerfeld模型(基态性质)
模为常数，表示电子在各处出现的几率都相同
k平面波波矢，方向为平面波传播方向
与波长的关系
在 V=L
3
内的 N个自由电子。独立电子近似 ?分离变量 ?单电子方程 ?单电子波函数
)()(
2
2
2
rr
r
ψψ E
m
=
h rk
k
r
=
i
Ce)(ψ
波函数代入方程得到解，即自由电子的能量
λπ /2=k
() )(
22
222
2
2
2
zyx
kkk
m
k
m
E ++==
hh
k
C=
2
)(r
k
ψ
∑
=
i
i
m2
2
p
H
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讨论
自由电子的状态用量子数 k来描述！
k是电子动量的本征态 kp h=
则相应的速度
m
k
v
h
=
即自由电子的能量也可写成这个形式
2
2
1
mvE =
比较电子动能
() )(
22
222
2
2
2
zyx
kkk
m
k
m
E ++==
hh
k
k如何取值？固体无限时,k可取任意值,E(k)
因此是连续的，否则,k由边界条件定
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12
L
N
周期边界条件
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,(
zyxLzyx
zyxzLyx
zyxzyLx
ψψ
ψψ
ψψ
=+
=+
=+
rk
k
r
=
i
e)(ψ
1===
Lik
Lik
Lik
z
y
x
eee
L;
6;
4;
2;0,,
LLL
kkk
zyx
πππ
±±±=
边界条件导致 k
取值的量子化，
分立值思考：无限深势阱？
3
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13
5、状态密度——波矢空间
每个点都是解，描写电子状态
每个状态在 k空间占体积
L/2π
() VL /8/2
33
ππ =
状态密度,k空间单位体积内的状态数
3
8
1
π
V
=
Δk
每个
k
值在该空间代表一个点
L;
4;
2;0,,
LL
kkk
zyx
ππ
±±=
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14
k
F
k
y
k
x
k
z
Fermi 能级
()
3
F3
3
4
2
2 k
V
N π
π
=
半径 k
F
的球内的状态数为基态，电子在 k空间都处于半径为 k
F
的球内，即占据球内一点。
最高被占据面,Fermi面
Pauli原理：每个 k
态填两个电子，由低到高依次填充，
形成半径为 k
F
的
Fermi球自旋
m
k
v
F
F
h
=
B
F
F
k
E
T =
速度 温度
m
k
E
2
2
F
2
F
h
=
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15
Fermi能级？
基态下电子填充的最高能级
Fermi能级：把基态下已被占据的状态和未被占据的状态分开
只有 Fermi能级附近的电子才容易被激发
*电流也是Fermi能级附近的能态占据状况发生变化引起的
*如果加外场，也只有Fermi能级附近的状态发生变化
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16
基态总能量(T=0)
单位体积自由电子气体的基态能量,Feimi球内所有电子能量之和
∑
<
=
F
2
2
22
0
kk
m
k
E
h
自旋
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17
3
8
1
π
V
k
=
Δ
为了将求和转换为积分，利用 k空间单位体积内的状态数，可得
∑∑
<<
Δ==
FF
28
2
2
2
22
3
22
0
kkkk
m
k
m
k
VV
E
k
hh
π
∫
<
=
F
28
2
22
3
0
kk
d
m
k
V
E
k
h
π
m
k
E
F
F
2
22
0
h
=
()
3
F3
3
4
2
2 k
V
N π
π
=
∫
<
=
F
2
22
3
4
28
2
kk
dkk
m
k
π
π
h
再利用
()
3
F
352
2
0
42
32
10
1 F
kVm
k
V
N
E
π
π
π?
=
h
m
k
F
25
3
22
h
=
0
5
3
F
E=
m
k
10
1
52
2
F
h
π
=
电子气平均能
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6、状态密度——能量空间
状态空间,k点等间距分布，每个 k点占有的体积
33
82
VL
ππ
=?
=Δk
k空间单位体积内 k点数 ——状态密度（常数）
3
8
1
π
V
=
Δk
更常用的是能量空间的状态密度？
4
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能量空间，k ?E
在能量空间，对分立能级的求和也可转换成积分
k求和以积分代替，分立 ?连续
∑ ∫
→
k
kkk df
V
f )(
8
)(
3
π
∑ ∫
→
i
i
dEEDEfEf )()()(
D(E)——状态密度：单位能量间隔 E~E+dE
内，电子状态数
思考：能量空间的状态密度什么物理意义？
dE
dN
ED =)(
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20
能量态密度
书中用单位体积内的 D(E)/V ?g (E)
已知 k空间的状态密度（常数），由 k空间的状态密度可以得到能量空间的状态密度，利用
()
m
k
kkk
m
E
zyx
22
22
222
2
hh
=++=
得到 D(E)
)(
8
3
ED
V
→
π
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21
2/3
22
2
2
)(
=
=
h
mV
C
ECED
π
E
dEm
dkk
m
E
2
2
2
2
2
2
h
h
=?=
D(E)
E
EC
dkk
V
d
V
dN
2
33
4
8
2
8
2 π
ππ
== k
思考：二维、一维自旋 密度 体积微元
dE
dN
ED =)(
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经典：同一能量状态可以填任意电子
量子：泡利不相容原理
费米分布：热平衡时，能量处在 E时的几率
∫∫
∞∞
==
00
)()()( dEEEfCdEEDEfN
三维时，能量状态密度与能量的平方根成正比
2/3
22
2
2
,)(?
==
h
mV
CECED
π
N状态数。如果全部用来填充电子，就是电子数。因此，假定电子总数知道，可用上式来确定 Fermi能量，总能等 T=0时的基态性质
[ ]1/1)(
/)(
+=
TkEE
BF
eEf
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7、T=0时的性质
电子数
>
<
=
F
F
EE
EE
Ef
if0
if1
)(
() ()
2/3
0
2/3
22
2/3
0
0
2
33
2
0
FF
E
E
mV
ECdEECN
F
===
∫
hπ
()
3/2
2
0
3
2
n
m
E
F
π
h
=
3/1
)3( nk
F
π=
费米能级
m
k
E
F
F
2
22
0
h
=
VNn /=
利用
得费米波矢费米能级的典型数值是 1~10eV
相应的费米温度为 10
4
~10
5
K
费米波矢为原子间距的倒数
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电子气的平均能量（平均动能）
N
EdEEfED
E
∫
=
)()(
0
在 T = 0 K 电子仍具有相当大的动能！ E
F
量级
Pauli 不相容原理
0
0
2/3
0
5
3
F
E
EdEE
N
C F
∫
==
5
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自由电子气能量密度
0
F
00
5
3
nE
V
EN
V
E
===ε
自由电子气压强
N
V
E
P?
=
0
0
F0
5
3
NEE =
由于
()
3/2
2
3/2
2
0
3
2
3
2
==
V
N
m
n
m
E
F
ππ
hh
ε
3
2
3
2
3
2
000
==?
=?
=
V
E
V
E
V
E
P
N
与 V是 -2/3关系，所以
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体积弹性模量
V
P
VB
=
P
V
P
VB
V
3
5
=?
=
由于
3/2
0
∝VE
所以
3/5?
∝VP
于是
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本讲要点
Drude模型失败的根本原因 ——只有费米能级附近的电子才在电导和热导中起作用
Sommerfeld模型
* Fermi—Dirac分布代替Maxwell—Boltzmann分布
F-D分布性质
一个例子：半经典模型估计比热
基态的基本性质
*状态密度——极其重要的物理量
*费米能级、费米波矢、费米半径
*基态能量
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概念要点
费米 —狄拉克分布
*热平衡，温度T时，电子处于能量E的几率
*化学势。零度时，最高占据能级——费米能级
费米能级
*电子最高的占据能级
*只有费米能级附近的电子才是活跃的，参与输运
状态密度
* k空间状态密度是常数
*单位能量间隔内电子状态数
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思考问题
Drude模型中还有什么应该也只考虑应用费米能级附近的电子起作用？会得到什么结果？回顾上讲习题 1和 2。
能量空间的状态密度有什么物理意义？
一维、二维能量空间状态密度。
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习题
求零温度时一维、二维电子气体的费米能级和电子气体平均能量。
