1
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1
第5讲、自由电子气模型局限及修正
1.例题：纳米颗粒中的电子能级
2.均匀磁场中的电子气（4.3.1）
3,Hall效应和磁阻
4,Sommerfeld模型的局限
5.模型修正
6.固体微观描写
7.本章概要
受约束的电子气：零维、外场约束
自由电子气体模型的局限 ?模型的修正途径
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2
1、例题：纳米颗粒中的电子能级
假定某一维金属电子密度n=N/L，如果电子气被限制在有限长度内，即L很小时（相当于纳米尺寸），假定电子密度n=N/L不变并且不考虑表面效应，即仍用自由电子气模型，试估计费米能级附近能级间隔会如何变化，会出现什么现象？
*？
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3
解：一维Schroedinger方程的解
能量状态密度
能级
m
k
E
2
22
h
=
,...,2,1,0,
2
±±== nn
L
k
π
L
π2
=Δk
周期边条件，k为
每个k点占据的线度
k空间状态密度
π2
1 L
=
Δk
状态数
dk
L
d
L
dN 2
22 ππ
== k
dE
E
m
dk
2
2h
=
dE
E
mL
dN
2
2
2
2
2
hπ
=
？
自旋
()
2/1
2
== E
mL
dE
dN
E
hπ
ρ
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4
费米分布（基态，T=0）
()()
∫
∞
=
0
dEEfEN ρ
( )
m
n
E
8
2
0
F
hπ
=
>
<
=
F
F
EE
EE
Ef
if0
if1
)(
费米能级用电子数确定
∫
=
0
F
0
2/1
2
E
dEE
mL
hπ
()
2/1
0
F
22
E
mL
hπ
=
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5
纳米颗粒中的电子能级
L趋于无穷大，能级连续
L很小时，能级分立
如何估计费米能级附近的能级间隔？
由E~k关系，可由波矢差确定
m
k
E
2
22
h
= k
m
k
E Δ=Δ
2
h
波矢差是固定的常数
L
π2
=Δk
L
k
π2
2=Δ
L
E
L
EmE
Lm
E
0
F
2
2
22
2 ∝∝=Δ
h
h π
可得能级差
能量态密度的定义为：单位能量间隔内状态数。那么它的倒数应该是两个状态之间的能量间隔！
() L
E
E
E ∝=Δ
ρ
2
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6
2、均匀磁场中的电子气
没有磁场时，自由电子的哈密顿量为
2
2
2
=
m
H
h
有磁场时，哈密顿量中的动量算符换成p+qA，
()
2
2
2
Ap q
m
H +?=
h
其中A是矢势，需要满足AB ×?=
这时，由于其中不含x,z坐标，在这两个方向上和自由电子一样，尝试波函数为
假定磁场方向为z轴，可取A=(-By,0,0)，则
()[ ] ψψψ EppeByp
m
H
zyx
=+++?=
222
2
2
h
( )
( )ye
zkxki
zx
ψ
+
=
对电子,q为- e
2
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7
代入后可得()[]() ()yEykpeByk
m
zyx
=+++
2222
2
1
hh
可以写成
() () ()y
m
k
Ey
y
eByk
m
z
x
=
+
22
1
22
2
2
22
h
hh
这是简谐振子的Schroedinger方程，
()() ()y
m
k
Eyyy
m
ym
z
cc
ω
=
+
222
22
22
2
22
hh
m
eB
c
=ω回旋频率：
qB
k
y
x
c
h
=谐振子中心：
分立的能量本征值为
c
z
n
n
m
k
EE ωh
h
+=
=
2
1
2
22
m
k
nE
z
c
22
1
22
h
h +?
+= ω
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8
能级分立
在磁场方向，能量仍是连续的
原来自由电子在x~y平面连续的能级，现在是量子化的，这些分立的能级称为Landau能级
* 思考,Landau能级的物理原因？
如果k
z
保持不变，则电子在k
x
~ k
y
面内，被限制在一个个圆环上运动，每个圆环内电子能量相同，即分立的能量
那么，如果k
z
连续，电子在空间的轨迹就是螺旋运动
* 思考：如将电子气限制在二维空间，将会发生什么？
()
m
k
nkkk
m
z
czyx
22
1
2
22
222
2
h
h
h
+?
+?++ ω
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9
能量态密度：两部分的迭加。在x~y方向的分立能级的态密度和在z方向的连续能级的态密度，即一维的态密度与分立能级的迭加
一维电子气体的能量态密度
2/1
2/1
2
1
~)(
∑∑?
+?=
n
c
n
n
nEEED ωh
()
2/1
~
EED
c
z
nE
m
k
ωh
h
+?=
2
1
2
22
改写磁场中电子气能量关系
于是得到磁场中电子气的态密度为
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10
Hall效应：
沿j×B方向产生Hall电场E
y
x
j
r
B
x
j
r
E
x
E
x
x
j
r
E
y
_ _ _ _ _ _ _
+ + + + + + +
3、Hall效应和磁阻（准经典）
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11
经典Hall效应
H
R
x
R
z
B
Bj
E
R
x
y
H
≡系数，定义Hall
磁阻
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准经典理论
电子在电磁场中受力
Fk =?
+ δ
τ
1
dt
d
h
考虑碰撞，电子运动方程
()BkEF ×+?= he
()BkEk ×+?=?
+ hh eδ
dt
d
τ
1
则运动方程为
()BvEv ×+?=?
+ e
dt
d
m
τ
1
3
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13
稳态
()
()
zz
xyy
yxx
eEv
dt
d
m
BvEev
dt
d
m
BvEev
dt
d
m
=?
+
=?
+
+?=?
+
τ
τ
τ
1
1
1
B
z
静磁场沿z
方向
zz
xcyy
ycxx
E
m
e
v
vE
m
e
v
vE
m
e
v
τ
τω
τ
τω
τ
=
+?=
=
meB
c
/=ω
回旋频率
0/ =dtdv
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14
横向电流为零，即
0=
y
v
于是
xcy
xx
vE
m
e
E
m
e
v
τω
τ
τ
+?=
=
0
用电流密度的关系vj en?=
就有
xxx
EmEnej στ == /
2
另有
xxxcy
J
ne
B
E
m
eB
EE?=?=?=
τ
τω
与 B无关,磁阻为零
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15
对于自由载流子，这个量是负的。载流子浓度低，Hall系数的数值大
与实验比较，一价金属较好，贵金属差，过渡金属非常差，符号都有可能相反
看来有两种载流子，一种负，一种正。超出自由电子气模型才能说明——能带理论才能解释
* Hall效应常被用来测量载流子
1980年代以后，出现量子Hall效应现象：二维电子气在磁场下（整数量子Hall效应，分数量子Hall效应）
ne
R
H
1
=
Bj
E
R
x
y
H
≡
根据定义，Hall系数
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16
4、模型的局限：a,电导
成功：与Drude模型相比，改用量子统计后，
可以解释金属许多物理性质，比如电导率
* 根本原因：除了 d或 f电子金属，传导电子行为与自由电子确实非常相似
* 传导电子的行为？ ?能带理论
不能解释
* 电导的温度依赖性？
* 电导的各向异性？（某些金属）
* 传导电子的数目？
* 绝缘体、半导体、导体？
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17
b,热传导
成功：改用量子统计，低温时比热与温度成正比
* 这个结论对碱金属较好，与实验相符
不能解释
* 比热的温度依赖关系即使在低温，对贵重金属（ d
壳层满，只有 s价电子）也较差，对过渡金属（ d壳层也未满）非常差
* 为何低温时比热主要是电子的贡献？原子核呢？
* Wiedemann-Franz定律高温、极低温是与实验相符，但中等温度时,Lorenz数与温度有关
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18
c,Hall效应
成功：
* 导出了 Hall系数，量级基本正确
* 碱金属的 Hall系数
不能解释
* Hall系数实际应与温度、磁场强度有关
* 有些材料 Hall系数前符号错误（存在不同载流子）
4
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19
5、模型修正
质疑自由电子气的几个近似
* 自由电子近似
* 独立电子近似
* 弛豫时间近似
最值得修正的近似——自由电子近似
* 意即：如果这个近似被修正，很多问题可以得到合理的解释
* 自由电子近似就是电子与离子的相互作用被忽略
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20
讨论
忽略离子意味着
1,离子在两次碰撞之间对电子运动的作用被忽略；
2,离子作为一个碰撞之源到底起什么作用并不明确
3,作为一个独立运动学实体，离子本身对固体的性质的贡献被忽略 ?比热与 T
3
成正比
思考：上面1和2有什么差别？
因为不能明确碰撞的真正含义！
如果只考虑离子排列，离子不振动，则只需一个简单的修正就可以还原自由电子模型
* 周期性排列 ?碰撞将真正地不存在
* 只有当离子被允许运动，偏离周期性 ?离子作为碰撞之源的角色才能够被适当地理解
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21
自由电子近似修正
修正分成两个步骤
1,电子并不是运动真空中，而是运动在一个离子静止排列的特殊的势场中
*其实验根据早就存在，即宏观晶体的X射线衍射实验，所以这是合理的
*因此在自由电子哈密顿量上加上一项
∑
=
Ji
Ji
RrV
,
0
)(
2
1
H
核电子核电子
* 需要这个排列必须具有周期性 ?固体物理的核心内容 ——晶体的周期性结构 ——整个固体物理的分析基础，无它就不会有固体物理学已经用了静止离子坐标
2,离子振动，偏离这个静止的势场
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22
6、固体的微观描写
}){},({}){},({H
JiJi
RrERr Ψ=Ψ
核电子核电子?
++= H
H
H
H
∑∑
+=
',
'
2
)(
2
1
2
p?
H
ii
ii
i
i
rrV
m
电子电子
∑∑
+=
',
'
2
)(
2
1
2
P
H
JJ
JJ
J J
J
RRV
M
核核
∑
=
Ji
Ji
RrV
,
)(
2
1
H
核电子核电子核坐标电子坐标
}{
}{
J
i
R
r
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23
近似步骤——绝热近似——原子固定
基本事实：原子核比电子重得多
绝热近似：考虑电子运动时可不考虑原子核得运动。原子核固定在它的瞬间位置。
( ) }){},({)H
H
(}){},({H
H
H
0
JiJi
RrRr Ψ+?Ψ++
核电子电子核电子核电子
∑∑
+=
',
'
2
)(
2
1
2
P
H
JJ
JJ
J J
J
RRV
M
核核
J
R
0
J
R
}){},({}){},({)H
H
H
(
- JiJi
RrERr Ψ=Ψ++
核电子核电子
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24
进一步的近似和简化处理
同经典自由电子气，但用量子统计
?第一章的其余内容—— Sommefeld模型
∑∑
+=
',
'
2
)(
2
1
2
p?
H
ii
ii
i
i
rrV
m
电子电子
∑
=
Ji
Ji
RrV
,
0
)(
2
1
H
核电子核电子独立电子近似自由电子近似
∑
++
i
i
m2
p?
H
H
H
2
核电子核电子
5
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25
但需要对原子核位置的理想化，才能处理
10
29
/m
3
数量级的原子
* 静止（绝热近似）
* 周期性排列近似，即
0
J
R
0
"
0
'
0
JJJ
RRR +=
∑
=
Ji
Ji
RrV
,
0
)(
2
1
H
核电子核电子
如果要去掉自由电子近似，则仍需加上
*这个关系就是结构的平移周期性的数学表示 ?
?第二章、晶体的结构
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26
考虑电子-电子、电子-周期性静止排列的原子核的相互作用
)()(
0
rVRrV
核电子核电子
=?
0
"
0
'
0
JJJ
RRR +=?在周期性结构中，因
+=
∑∑∑?
Ji
Ji
ii
ii
i
i
RrVrrV
m
H
,
0
',
'
2
)(
2
1
)(
2
1
2
p?
核电子电子
就有
且
)()(
0
rVRrV
核电子核电子
=?
?第三、四章、能带理论
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27
但假定原子仅在平衡位置附近运动，而这种平衡位置仍呈周期性排列，可用经典处理
?第五章、晶格振动（量子化——声子）
∑∑
+=
',
'
2
)(
2
1
2
P
H
JJ
JJ
J J
J
RRV
M
核核
"' JJJ
RRR =?
J
R
0
J
R
但这时不考虑电子的运动，H就一项
前面都是绝热近似，即在考虑电子运动时，不考虑原子核运动，现去掉绝热近似，
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28
考虑电子与晶格振动（声子）的相互作用
?第六章、输运现象
* 又回到金属电导，但已是另一层次
0
J
R
∑
=
Ji
Ji
RrV
,
)(
2
1
H
核电子核电子
J
R声子
如果考虑原子核运动的同时也考虑电子运动，
需加上
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29
模型逐级修正的需要、根据及结果
金属自由电子气模型
* 量子统计自由电子气体，不能解释很多物理现象的局限主要出自没有考虑结构
晶体的结构
* 考虑结构，但简化并抽象成原子固定在平衡位置，周期性无限排列，以解决 10
29
数量级的困难
能带理论
* 电子在理想的周期性排列的结构中运动 ?但无散射机制（即自由运动） ?原因是严格周期性，与实际不符
晶格振动
* 至少有原子热振动 ?破坏周期性，这种热振动抽象量子化成成声子
电子输运理论
* 电子在不严格的周期结构中运动，会受声子散射，还会有其他因素破坏周期性（杂质、缺陷等），也会受散射 ——形成电阻
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30
7、本章概要
单自由电子薛定厄方程
边界条件（周期性，无限深势阱）
波矢k的物理意义：描写电子气体运动状态
* 与位置无关的描写动量算符的本征态，动量本征值
* 即处于 k状态的电子有一个与 k成正比的确定的动量
* 速度
* 能量是经典的动能形式
* 由边界条件，可以确定只允许分立值
状态密度及其物理意义
* 状态空间
* 能量空间
6
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31
基态性质：状态密度和费米分布函数
* 费米能级
* 总能量
* 压强
* 体积弹性模量
低温性质：非零温度费米分布
* 费米能级
* 比热
输运性质
* 电导
* 热传导
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32
基态解
自由电子Schroedinger方程（单电子）的解
* E(k)关系
* 周期性边界条件所确定的 k的分裂值
状态密度
* 状态空间
* 能量空间
费米能级
总能量
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33
低温解
定性估计比热
定量计算比热
Sommerfeld积分
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34
本讲要点
量子约束效应（纳米颗粒能级）
自由电子气体在均匀外磁场中的行为，注意其状态密度
经典Hall效应
自由电子气体的几个近似所引入的偏差
自由电子近似的讨论
如何对此进行修正
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35
概念要点
量子约束
朗道（Landau）能级
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36
思考问题
如果将电子气体约束在二维空间，在垂直与该平面的均匀磁场中会得到什么？
Landau能级分立的物理原因？
7
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37
习题
试定性说明一维、二维自由电子气体比热与温度的关系与维数无关（上讲的思考题），并定量求这个关系。
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1
第5讲、自由电子气模型局限及修正
1.例题：纳米颗粒中的电子能级
2.均匀磁场中的电子气（4.3.1）
3,Hall效应和磁阻
4,Sommerfeld模型的局限
5.模型修正
6.固体微观描写
7.本章概要
受约束的电子气：零维、外场约束
自由电子气体模型的局限 ?模型的修正途径
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2
1、例题：纳米颗粒中的电子能级
假定某一维金属电子密度n=N/L，如果电子气被限制在有限长度内，即L很小时（相当于纳米尺寸），假定电子密度n=N/L不变并且不考虑表面效应，即仍用自由电子气模型，试估计费米能级附近能级间隔会如何变化，会出现什么现象？
*？
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3
解：一维Schroedinger方程的解
能量状态密度
能级
m
k
E
2
22
h
=
,...,2,1,0,
2
±±== nn
L
k
π
L
π2
=Δk
周期边条件，k为
每个k点占据的线度
k空间状态密度
π2
1 L
=
Δk
状态数
dk
L
d
L
dN 2
22 ππ
== k
dE
E
m
dk
2
2h
=
dE
E
mL
dN
2
2
2
2
2
hπ
=
？
自旋
()
2/1
2
== E
mL
dE
dN
E
hπ
ρ
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4
费米分布（基态，T=0）
()()
∫
∞
=
0
dEEfEN ρ
( )
m
n
E
8
2
0
F
hπ
=
>
<
=
F
F
EE
EE
Ef
if0
if1
)(
费米能级用电子数确定
∫
=
0
F
0
2/1
2
E
dEE
mL
hπ
()
2/1
0
F
22
E
mL
hπ
=
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5
纳米颗粒中的电子能级
L趋于无穷大，能级连续
L很小时，能级分立
如何估计费米能级附近的能级间隔？
由E~k关系，可由波矢差确定
m
k
E
2
22
h
= k
m
k
E Δ=Δ
2
h
波矢差是固定的常数
L
π2
=Δk
L
k
π2
2=Δ
L
E
L
EmE
Lm
E
0
F
2
2
22
2 ∝∝=Δ
h
h π
可得能级差
能量态密度的定义为：单位能量间隔内状态数。那么它的倒数应该是两个状态之间的能量间隔！
() L
E
E
E ∝=Δ
ρ
2
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6
2、均匀磁场中的电子气
没有磁场时，自由电子的哈密顿量为
2
2
2
=
m
H
h
有磁场时，哈密顿量中的动量算符换成p+qA，
()
2
2
2
Ap q
m
H +?=
h
其中A是矢势，需要满足AB ×?=
这时，由于其中不含x,z坐标，在这两个方向上和自由电子一样，尝试波函数为
假定磁场方向为z轴，可取A=(-By,0,0)，则
()[ ] ψψψ EppeByp
m
H
zyx
=+++?=
222
2
2
h
( )
( )ye
zkxki
zx
ψ
+
=
对电子,q为- e
2
http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学
7
代入后可得()[]() ()yEykpeByk
m
zyx
=+++
2222
2
1
hh
可以写成
() () ()y
m
k
Ey
y
eByk
m
z
x
=
+
22
1
22
2
2
22
h
hh
这是简谐振子的Schroedinger方程，
()() ()y
m
k
Eyyy
m
ym
z
cc
ω
=
+
222
22
22
2
22
hh
m
eB
c
=ω回旋频率：
qB
k
y
x
c
h
=谐振子中心：
分立的能量本征值为
c
z
n
n
m
k
EE ωh
h
+=
=
2
1
2
22
m
k
nE
z
c
22
1
22
h
h +?
+= ω
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8
能级分立
在磁场方向，能量仍是连续的
原来自由电子在x~y平面连续的能级，现在是量子化的，这些分立的能级称为Landau能级
* 思考,Landau能级的物理原因？
如果k
z
保持不变，则电子在k
x
~ k
y
面内，被限制在一个个圆环上运动，每个圆环内电子能量相同，即分立的能量
那么，如果k
z
连续，电子在空间的轨迹就是螺旋运动
* 思考：如将电子气限制在二维空间，将会发生什么？
()
m
k
nkkk
m
z
czyx
22
1
2
22
222
2
h
h
h
+?
+?++ ω
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9
能量态密度：两部分的迭加。在x~y方向的分立能级的态密度和在z方向的连续能级的态密度，即一维的态密度与分立能级的迭加
一维电子气体的能量态密度
2/1
2/1
2
1
~)(
∑∑?
+?=
n
c
n
n
nEEED ωh
()
2/1
~
EED
c
z
nE
m
k
ωh
h
+?=
2
1
2
22
改写磁场中电子气能量关系
于是得到磁场中电子气的态密度为
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10
Hall效应：
沿j×B方向产生Hall电场E
y
x
j
r
B
x
j
r
E
x
E
x
x
j
r
E
y
_ _ _ _ _ _ _
+ + + + + + +
3、Hall效应和磁阻（准经典）
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11
经典Hall效应
H
R
x
R
z
B
Bj
E
R
x
y
H
≡系数，定义Hall
磁阻
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12
准经典理论
电子在电磁场中受力
Fk =?
+ δ
τ
1
dt
d
h
考虑碰撞，电子运动方程
()BkEF ×+?= he
()BkEk ×+?=?
+ hh eδ
dt
d
τ
1
则运动方程为
()BvEv ×+?=?
+ e
dt
d
m
τ
1
3
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13
稳态
()
()
zz
xyy
yxx
eEv
dt
d
m
BvEev
dt
d
m
BvEev
dt
d
m
=?
+
=?
+
+?=?
+
τ
τ
τ
1
1
1
B
z
静磁场沿z
方向
zz
xcyy
ycxx
E
m
e
v
vE
m
e
v
vE
m
e
v
τ
τω
τ
τω
τ
=
+?=
=
meB
c
/=ω
回旋频率
0/ =dtdv
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14
横向电流为零，即
0=
y
v
于是
xcy
xx
vE
m
e
E
m
e
v
τω
τ
τ
+?=
=
0
用电流密度的关系vj en?=
就有
xxx
EmEnej στ == /
2
另有
xxxcy
J
ne
B
E
m
eB
EE?=?=?=
τ
τω
与 B无关,磁阻为零
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15
对于自由载流子，这个量是负的。载流子浓度低，Hall系数的数值大
与实验比较，一价金属较好，贵金属差，过渡金属非常差，符号都有可能相反
看来有两种载流子，一种负，一种正。超出自由电子气模型才能说明——能带理论才能解释
* Hall效应常被用来测量载流子
1980年代以后，出现量子Hall效应现象：二维电子气在磁场下（整数量子Hall效应，分数量子Hall效应）
ne
R
H
1
=
Bj
E
R
x
y
H
≡
根据定义，Hall系数
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16
4、模型的局限：a,电导
成功：与Drude模型相比，改用量子统计后，
可以解释金属许多物理性质，比如电导率
* 根本原因：除了 d或 f电子金属，传导电子行为与自由电子确实非常相似
* 传导电子的行为？ ?能带理论
不能解释
* 电导的温度依赖性？
* 电导的各向异性？（某些金属）
* 传导电子的数目？
* 绝缘体、半导体、导体？
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17
b,热传导
成功：改用量子统计，低温时比热与温度成正比
* 这个结论对碱金属较好，与实验相符
不能解释
* 比热的温度依赖关系即使在低温，对贵重金属（ d
壳层满，只有 s价电子）也较差，对过渡金属（ d壳层也未满）非常差
* 为何低温时比热主要是电子的贡献？原子核呢？
* Wiedemann-Franz定律高温、极低温是与实验相符，但中等温度时,Lorenz数与温度有关
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18
c,Hall效应
成功：
* 导出了 Hall系数，量级基本正确
* 碱金属的 Hall系数
不能解释
* Hall系数实际应与温度、磁场强度有关
* 有些材料 Hall系数前符号错误（存在不同载流子）
4
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19
5、模型修正
质疑自由电子气的几个近似
* 自由电子近似
* 独立电子近似
* 弛豫时间近似
最值得修正的近似——自由电子近似
* 意即：如果这个近似被修正，很多问题可以得到合理的解释
* 自由电子近似就是电子与离子的相互作用被忽略
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20
讨论
忽略离子意味着
1,离子在两次碰撞之间对电子运动的作用被忽略；
2,离子作为一个碰撞之源到底起什么作用并不明确
3,作为一个独立运动学实体，离子本身对固体的性质的贡献被忽略 ?比热与 T
3
成正比
思考：上面1和2有什么差别？
因为不能明确碰撞的真正含义！
如果只考虑离子排列，离子不振动，则只需一个简单的修正就可以还原自由电子模型
* 周期性排列 ?碰撞将真正地不存在
* 只有当离子被允许运动，偏离周期性 ?离子作为碰撞之源的角色才能够被适当地理解
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21
自由电子近似修正
修正分成两个步骤
1,电子并不是运动真空中，而是运动在一个离子静止排列的特殊的势场中
*其实验根据早就存在，即宏观晶体的X射线衍射实验，所以这是合理的
*因此在自由电子哈密顿量上加上一项
∑
=
Ji
Ji
RrV
,
0
)(
2
1
H
核电子核电子
* 需要这个排列必须具有周期性 ?固体物理的核心内容 ——晶体的周期性结构 ——整个固体物理的分析基础，无它就不会有固体物理学已经用了静止离子坐标
2,离子振动，偏离这个静止的势场
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22
6、固体的微观描写
}){},({}){},({H
JiJi
RrERr Ψ=Ψ
核电子核电子?
++= H
H
H
H
∑∑
+=
',
'
2
)(
2
1
2
p?
H
ii
ii
i
i
rrV
m
电子电子
∑∑
+=
',
'
2
)(
2
1
2
P
H
JJ
JJ
J J
J
RRV
M
核核
∑
=
Ji
Ji
RrV
,
)(
2
1
H
核电子核电子核坐标电子坐标
}{
}{
J
i
R
r
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23
近似步骤——绝热近似——原子固定
基本事实：原子核比电子重得多
绝热近似：考虑电子运动时可不考虑原子核得运动。原子核固定在它的瞬间位置。
( ) }){},({)H
H
(}){},({H
H
H
0
JiJi
RrRr Ψ+?Ψ++
核电子电子核电子核电子
∑∑
+=
',
'
2
)(
2
1
2
P
H
JJ
JJ
J J
J
RRV
M
核核
J
R
0
J
R
}){},({}){},({)H
H
H
(
- JiJi
RrERr Ψ=Ψ++
核电子核电子
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24
进一步的近似和简化处理
同经典自由电子气，但用量子统计
?第一章的其余内容—— Sommefeld模型
∑∑
+=
',
'
2
)(
2
1
2
p?
H
ii
ii
i
i
rrV
m
电子电子
∑
=
Ji
Ji
RrV
,
0
)(
2
1
H
核电子核电子独立电子近似自由电子近似
∑
++
i
i
m2
p?
H
H
H
2
核电子核电子
5
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25
但需要对原子核位置的理想化，才能处理
10
29
/m
3
数量级的原子
* 静止（绝热近似）
* 周期性排列近似，即
0
J
R
0
"
0
'
0
JJJ
RRR +=
∑
=
Ji
Ji
RrV
,
0
)(
2
1
H
核电子核电子
如果要去掉自由电子近似，则仍需加上
*这个关系就是结构的平移周期性的数学表示 ?
?第二章、晶体的结构
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26
考虑电子-电子、电子-周期性静止排列的原子核的相互作用
)()(
0
rVRrV
核电子核电子
=?
0
"
0
'
0
JJJ
RRR +=?在周期性结构中，因
+=
∑∑∑?
Ji
Ji
ii
ii
i
i
RrVrrV
m
H
,
0
',
'
2
)(
2
1
)(
2
1
2
p?
核电子电子
就有
且
)()(
0
rVRrV
核电子核电子
=?
?第三、四章、能带理论
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27
但假定原子仅在平衡位置附近运动，而这种平衡位置仍呈周期性排列，可用经典处理
?第五章、晶格振动（量子化——声子）
∑∑
+=
',
'
2
)(
2
1
2
P
H
JJ
JJ
J J
J
RRV
M
核核
"' JJJ
RRR =?
J
R
0
J
R
但这时不考虑电子的运动，H就一项
前面都是绝热近似，即在考虑电子运动时，不考虑原子核运动，现去掉绝热近似，
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考虑电子与晶格振动（声子）的相互作用
?第六章、输运现象
* 又回到金属电导，但已是另一层次
0
J
R
∑
=
Ji
Ji
RrV
,
)(
2
1
H
核电子核电子
J
R声子
如果考虑原子核运动的同时也考虑电子运动，
需加上
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29
模型逐级修正的需要、根据及结果
金属自由电子气模型
* 量子统计自由电子气体，不能解释很多物理现象的局限主要出自没有考虑结构
晶体的结构
* 考虑结构，但简化并抽象成原子固定在平衡位置，周期性无限排列，以解决 10
29
数量级的困难
能带理论
* 电子在理想的周期性排列的结构中运动 ?但无散射机制（即自由运动） ?原因是严格周期性，与实际不符
晶格振动
* 至少有原子热振动 ?破坏周期性，这种热振动抽象量子化成成声子
电子输运理论
* 电子在不严格的周期结构中运动，会受声子散射，还会有其他因素破坏周期性（杂质、缺陷等），也会受散射 ——形成电阻
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30
7、本章概要
单自由电子薛定厄方程
边界条件（周期性，无限深势阱）
波矢k的物理意义：描写电子气体运动状态
* 与位置无关的描写动量算符的本征态，动量本征值
* 即处于 k状态的电子有一个与 k成正比的确定的动量
* 速度
* 能量是经典的动能形式
* 由边界条件，可以确定只允许分立值
状态密度及其物理意义
* 状态空间
* 能量空间
6
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31
基态性质：状态密度和费米分布函数
* 费米能级
* 总能量
* 压强
* 体积弹性模量
低温性质：非零温度费米分布
* 费米能级
* 比热
输运性质
* 电导
* 热传导
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32
基态解
自由电子Schroedinger方程（单电子）的解
* E(k)关系
* 周期性边界条件所确定的 k的分裂值
状态密度
* 状态空间
* 能量空间
费米能级
总能量
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33
低温解
定性估计比热
定量计算比热
Sommerfeld积分
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34
本讲要点
量子约束效应（纳米颗粒能级）
自由电子气体在均匀外磁场中的行为，注意其状态密度
经典Hall效应
自由电子气体的几个近似所引入的偏差
自由电子近似的讨论
如何对此进行修正
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35
概念要点
量子约束
朗道（Landau）能级
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思考问题
如果将电子气体约束在二维空间，在垂直与该平面的均匀磁场中会得到什么？
Landau能级分立的物理原因？
7
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37
习题
试定性说明一维、二维自由电子气体比热与温度的关系与维数无关（上讲的思考题），并定量求这个关系。
