1
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1
第16讲、金属、绝缘体和半导体
1.空晶格模型
2.禁带起因——定性分析
3.禁带宽度——定量计算(微扰法)
4.金属、绝缘体、半导体能带概念
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2
空晶格模型
)()( rRr VV =+
仍然具有周期性势，但0=V
思考：与自由电子气有无关系、异同？
——方程的解是否相同？
——边界条件是否相同？
)()(
2
2
2
rr ψψ E
m
=
h
1、空晶格模型
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3
E是k的周期函数,E
n
(k)= E
n
(k+K)!
一维自由电子气一维空晶格整数== ii
L
k,
2π
[]
22
,
2
][
]
a
,
a
[-B
222
N
l
N
N
l
a
k
k
km
a
i
Na
i
L
k
≤<?=
∈→
+===
π
ππ
πππ
区第一
2
)( kkE =
() [] []()kEkm
a
kE
n
=?
+=
2
2π
符号[k]表示k在第一B区中取值k在整个空间取值
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4
方括号内的仍是周期函数：u(x)=u(x+na)
在第一Brillouin区外的状态k，可以通过把k改变2π/a的整数倍，移入第一Brillouin区内
这样，第一B区中的每个[k]，对应一系列不同的能量周期函数×
ikx
e
代入
[]km
a
k +=
π2
得到
[]
×周期函数
mx
a
i
xki
ee
π2
Bloch函数：
[]
2
2
+ km
a
π
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5
广延区图
a
π
a
π
2
)( kkE =
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6
a
π
a
π
1
2
2
3 3
44
[]() []?
+= km
a
EkE
n
π2
[]km
a
k +=
π2
2
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7
周期区图简约区图
a
π
a
π
a
π
a
π
1
2
3
4
1
2
2
3 3
44
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8
m为整数，有无穷多个（等于原胞个数）
当k被限定在第一B区时，[k]，E
n
([k])就有无穷多个值！每个n，对应一条能带
因此，对E
n
，必须区分：
* k的取值范围？[k]
*属于哪个n，即哪个能带？
在用第一Brillouin区内的波矢[k]时，必须指明属于哪个能带，n，否则是不确定的
[]() []
2
2
+= km
a
kE
n
π
所以，对于
E是k的多值函数,E
n
(k)，n=1,2,…∞!
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9
小结：能带的一些重要性质
周期函数：E
n
(k+K)= E
n
(k)
多值函数：对一个k，多个E
n
(k)能量值。用n
来区分
波矢k的偶函数：E
n
(k)= E
n
(-k)
对称性：E
n
(αk)= E
n
(k)，α表示晶体所具有的对称操作
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10
2、能隙(禁带)起因,定性分析
空晶格模型与自由电子气的差别来自于空晶格具有周期性
虽然空晶格模型势能等于零，但仍是周期性势，满足Bloch定理，因此，波函数是Bloch函数
因为k与k+K等价，能量是周期函数，当
k限定在第一B区，必须区分n，多值函数
设问：多值会出现什么问题？
n=j和j+1的两条能带，在Brillouin边界，
即在k=nπ/a，n=0，±1，±2，…处是简并的!!!
() []
2
2
+= km
a
kE
n
π
a
π
a
π
1
2
3
4
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11
弱周期性势场
如果格点势能不等于零，会发生什么变化？
可以想象，如果晶格势很小（弱周期性势场），那么能带的大部分区域没有明显的变化
但是，布里渊区边界能级的简并处会发生什么变化？
怎么变化？
*定性分析（驻波势能与平面波比较）
变化大小？
*定量计算（微扰法）
a
π
a
π
1
2
3
4
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12
定性分析：Bragg散射形成驻波
电子会受周期性势场的散射
当Bragg反射条件满足时，沿一个方向行进的波受到反射，沿相反方向传播，反射波与入射波干涉，形成驻波——禁带的起因
0
'
00
kk
BA ψψ +=Ψ
x
a
iee
x
a
ee
x
a
ix
a
i
x
a
ix
a
i
π
π
ππ
ππ
sin2)(
cos2)(
=?=?Ψ
=+=+Ψ
3
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13
定性分析：驻波中心位置
x
a
π
2
2
cos)( ∝+Ψ
x
a
π
2
2
sin)( ∝?Ψ
中心在0,±a,±2a,…,
上，即正离子上中心在±0.5a,
±1.5a,…上，位于正离子间
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14
定性分析：驻波与平面波电荷分布
两个驻波(+)和(-)，使电子积聚在不同的区域，
因此具有不同的势能
能隙的起因：(+)的能量比平面波低，而(-)比平面波高，使原来简并的能级分裂
能隙的宽度：(+)和(-)的能量差
2
ikx
e
2
)(+ψ
2
)(?ψ
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15
定性分析：禁带的起因
简并能级在晶格势作用下分裂——禁带（没有解的能量区间）
分裂结果：能级低的更低，高的更高——所谓简并能级“相互排斥”
分裂的大小(禁带宽度)与晶格势的强弱有关——用微扰法可以计算
对照自由电子？孤立原子的电子？
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16
禁带，能隙(energy gap)
a
π
a
π
广延区图
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17
a
π
a
π
a
π
a
π
周期区图简约区图
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18
3、禁带宽度——定量计算(微扰法)
自由电子气，空晶格 ?能带（定性）
定量？回顾Sommerfeld模型：把价电子处理成自由电子气，如何处理离子实？
?正电背景：均匀分布保持电中性
为什么正离子的周期性势场能被忽略？
考察金属，区域：芯区，其余区域核电荷+Z芯电子-d
r
dZ?
~到势芯区外电子受
在芯区外，受核与屏蔽电子的联合作用势——非常弱
电子在其余区域可看成自由电子
?微扰法
4
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19
微扰法：零势场(空晶格)的解与微扰
将H分成两部分
)()()(
2
)(
2
22
xExxV
dx
d
m
xH ψψψ =
+?=
h
'
0
HHH +=
2
22
0
2
dx
d
m
H
h
=
)('
xVH =
)()( naxVxV +=
空晶格微扰
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20
零级解
能量
m
k
E
k
2
22
0
h
=
波函数
)exp(
1
0
ikx
L
k
=ψ
L=Na
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21
微扰部分
周期性势场，可作Fourier展开
)()( naxVxV +=
∑
≠
+=
0
2
0
n
nx
a
inxV )exp()()()(
π
VV
V
0
常数，可通过能量零点平移来消除。Fourier
系数
∫
=
L
nx
a
i
dxexV
L
n
0
2
1
π
)()(V
)()( nn
*
VV =?
思考：复杂结构？
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22
'
0
HHH +=
2
22
0
2
dx
d
m
H
h
= )
2
exp()()0('
0
nx
a
inH
n
π
∑
≠
+= VV
00 =)(V
空晶格微扰的Fourier展开
m
k
E
k
2
22
0
h
=
)exp(
1
0
ikx
L
k
=ψ
零级解能量零级波函数
L=Na
或常数，等于能量零点作平移)(0V?= EE
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23
L+++=
)2()1(0
kkkk
EEEE
0')(
0
0
*0')1(
===
∫
dxHxHE
k
L
kkkk
ψψ
∑
≠
=
)('
0
'
0
2
'
'
)2(
kk kk
kk
k
EE
H
E
dxHxH
k
L
kkk
0
'
0
*0'
'
'
)( ψψ
∫
=
非简并情况
=?
=
others 0
/2' if )(
ankkn πV
)
2
exp()()0('
0
nx
a
inH
n
π
∑
≠
+= VV
∑
∫
+?
=
n
L
n
a
kki
dxe
L
n
0
2
'
1
)(
π
V
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24
()
∑
≠
+=
0 2
222
222
/2
22
|)(|
2
n
k
ank
mm
k
n
m
k
E
π
hh
h V
平面波
0
'
)('
0
'
0
'
'0
)(
k
kk kk
kk
kk
EE
H
x ψψψ
∑
≠
+=
能量修正波函数修正被周期势场散射
+=
∑
≠0 2
222
*
0
)
2
(
22
)
2
exp()(
1
n
k
a
n
k
mm
k
x
a
n
in
π
π
ψ
hh
V
5
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25
看微扰波函数是否仍满足Bloch定理？
)()(
0
xux
kk
ψψ =
V本身很小。如果k不在边界，分母不为零，影响很小！因此，除边界外，类自由电子的结果
∑
≠
+=
0 2
222
*
)
2
(
22
)
2
exp()(
1)(
n
a
n
k
mm
k
x
a
n
in
xu
π
π
hh
V
)()( naxuxu +=
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26
当散射波振幅趋于无限大！
Bragg 反射加强条件！
0
2
22
2
222
→?
a
n
k
mm
k πhh
a
n
k
π
=
an 2=λ λθ na =sin2
0-π/a
π/a
k
1st Brillouin zone
简并情况
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27
ank
ank
/'
/
π
π
=
=
两态能量相同简并用简并微扰
)1('
)1(
Δ=
Δ+=
a
n
k
a
n
k
π
π
Δ 为小量
0
'
00
kk
BA ψψ +=Ψ
零级波函数为两波函数的线性组合如果
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28
0)]([
2
0
22
2
=Ψ
+ xVE
m
dx
d
h
=?+?
=
0
0
0
0
BEEAn
BnAEE
k
k
)()(
)()(
'
*
V
V
[ ]
∫
dx
kk
0
'
0
,ψψ
0
0
0
=
'
*
)(
)(
k
k
EEn
nEE
V
V 2222
41
nn
TnTE Δ+±Δ+= |)(|)( V
2
2
2
=
a
n
m
T
n
πh
动能
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29
令Δ ?0 )(nTE
n
V±=
)('
)(
nTE
a
n
k
nTE
a
n
k
n
n
V
V
+==
=?=
π
π
简并态出现能量分裂！
)(nE
g
V2=
禁带宽度思考：禁带宽度与势场的傅立叶分量有关，那能带宽度与什么有关？
思考：V(r)不等于零时，
有无可能禁带宽度=0？
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30
一维图象的结论完全可以推广到二维、三维
非简并微扰，影响不大
简并微扰，简并态
k
E
k
E
π/a?π/a
)(12 V=
g
E
ank
ank
/'
/
π
π
=
=
0
'
00
kk
BA ψψ +=Ψ
6
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31
4、金属、绝缘体、半导体
k的取值范围
电子对能带的填充
满带和空带
投影能带
金属、绝缘体、半导体、半金属的能带
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32
k的取值范围
由于周期性，可以在第一Brillouin区求解
*即k的取值可以限制在第一Brillouin区
为简单起见只讨论一维情况，容易推广到三维
*原胞总数N，则L=Na，对周期性边界用Bloch定理
( ) ( )xNax ψψ =+ ( )()xeNax
iNak
ψψ =+ 1=
iNak
e
为整数llNak,2π=
a
bb
N
l
k
π2
,==
于是
因此，如用倒格子基矢表示k，利用正、倒格子基矢的正交关系，则
l整数，由于k的周期性，只需取
( )( )Kkk += EE
N是原胞总数，趋于无穷，因此k是连续分布的
2/2/ NlN ≤<?
与自由电子完全一样，k空间态密度也是常数，但已经不能简单地由此得到能量态密度
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33
电子如何填充能带？
E
n
(k)是k的多值函数，n=1,2,…,∞
周期性边条件可知，第一B区内k的取值范围
* k=2πl/a,其中-N/2<l<=N/2
* N是原胞总数，在第一B区中一共有N个不同的k
每个k，自旋向上、向下各一个状态
*每个状态可填一个电子，所以每条能带(n)的每个
k，可填不同自旋的两个电子
一个原胞内，如果总共有j个价电子，在T=0
时，从n=1开始填充，填充至j/2能级
*第一Brillouin区的每条能带，有N个不同的k，但同时，整个系统也有N个原胞，所以正好相当于每个原胞内的两个电子填第一Brillouin区内的一条能带
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34
满带不导电
在外场的作用下，没有空的k态可以使电子分布有变化，电子从布里渊区一端出去，k=k+K，
又从另一端进来，所以对电流没有贡献
设问：自电子气时有没有电子的整体移动？
如果能带没有填满，导电电子自由地响应外场的作用，漂移，在外电场方向引起整体漂移，
对称的部分相互抵消，不对称的部分形成电流
)k()k(?= EE
具有N个原胞的晶体，每个能带能够容纳2N个电子，
如果能带全部填满，k和-k
对称地被填满，对电流的贡献互相抵消
Kkk +=
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35
思考
单电子原子组成的晶体，能带总是填充至半满，因此可以导电，是金属。但是，如果将晶格常数逐渐增大，直至原子间无相互作用，这时按照Bloch定理，它还是金属吗？问题在哪里？
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36
投影能带
将能带往某一方向投影，得到所谓的投影能带
7
Metal Semimetals Semiconductor
E(k)
金属、绝缘体、半导体、半金属的能带
k
B
T>E
g
杂质
Insulator
E
g
>5eV
E
g
~1eV
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38
本讲要点
能带和能隙：空晶格模型和弱周期势场近似
能隙的起因：散射形成驻波，与平面波相比，
驻波势能或高或低于平面波，在B区边界零级近似的简并能级分裂而形成能隙
非简并微扰：除B区边界外，晶体势场对其他区域能带的影响可忽略
简并微扰：能隙宽度是势Fourier展开系数的两倍：E
g
=2|V(n)|
金属、绝缘体能带论判据：能带填充情况
金属到绝缘体转变
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39
概念要点
能带
禁带
微扰法：禁带宽度
能带理论的导电解释：能带填充情况
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40
思考问题
1.自由电子气与空晶格模型的差别？
2,V(r)不等于零时，有无可能禁带宽度=0？
3.禁带宽度与势场的傅立叶分量有关，那能带宽度与什么有关？
单电子原子组成的晶体，能带总是填充至半满，因此可以导电，是金属。但是，如果将晶格常数逐渐增大，直至原子间无相互作用，这时按照Bloch定理，它还是金属吗？问题在哪里？
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41
习题：
3.1
3.2
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42
第14讲习题解答
( ) ( )
()
()
()
()()()
()()
()
() ()
()
()
x
x
x
x
xF
k
k
F
k
qk
qk
qkkq
k
dq
qk
qk
q
k
kkqq
dqddqd
V
kI
e
V
d
e
e
V
d
ee
e
V
dee
V
d
e
e
V
e
V
d
k
k
kk
k
k
i
i
i
ii
iii
i
ii
ij
j
ij
+?
+=
=
+
=
+
=
+?
=
=
=
=
=
=
=
=
∫
∫∫
∑
∑∑
∫
∑
∫
∑
∫
∑ ∫∑∫
<<
<
<
≠
1
1
ln
4
1
2
1
,
2
ln
2
111
ln
11
cos2
sin
2
4
2
441
41
'
'
1
'
'
1
'
'
11
'
'
11
'
''
'
2
F
F
0
22
0
22
2
3232
2
'
'
'
'
'
*
F
F
FF
F
F
其中
π
ππ
π
π
π
ππ
π
qq
q
q
rk
q
rrqk
rk
q
rqkrrqk
rq
q
rqkrq
q
rk
rqrq
qk
q
qk
qk
r
rr
r
rr
r
rr
r
rr
r
rr
rr
r
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1
第16讲、金属、绝缘体和半导体
1.空晶格模型
2.禁带起因——定性分析
3.禁带宽度——定量计算(微扰法)
4.金属、绝缘体、半导体能带概念
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2
空晶格模型
)()( rRr VV =+
仍然具有周期性势，但0=V
思考：与自由电子气有无关系、异同？
——方程的解是否相同？
——边界条件是否相同？
)()(
2
2
2
rr ψψ E
m
=
h
1、空晶格模型
http://10.45.24.132/~jgche/固体物理学
3
E是k的周期函数,E
n
(k)= E
n
(k+K)!
一维自由电子气一维空晶格整数== ii
L
k,
2π
[]
22
,
2
][
]
a
,
a
[-B
222
N
l
N
N
l
a
k
k
km
a
i
Na
i
L
k
≤<?=
∈→
+===
π
ππ
πππ
区第一
2
)( kkE =
() [] []()kEkm
a
kE
n
=?
+=
2
2π
符号[k]表示k在第一B区中取值k在整个空间取值
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4
方括号内的仍是周期函数：u(x)=u(x+na)
在第一Brillouin区外的状态k，可以通过把k改变2π/a的整数倍，移入第一Brillouin区内
这样，第一B区中的每个[k]，对应一系列不同的能量周期函数×
ikx
e
代入
[]km
a
k +=
π2
得到
[]
×周期函数
mx
a
i
xki
ee
π2
Bloch函数：
[]
2
2
+ km
a
π
http://10.45.24.132/~jgche/固体物理学
5
广延区图
a
π
a
π
2
)( kkE =
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6
a
π
a
π
1
2
2
3 3
44
[]() []?
+= km
a
EkE
n
π2
[]km
a
k +=
π2
2
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7
周期区图简约区图
a
π
a
π
a
π
a
π
1
2
3
4
1
2
2
3 3
44
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8
m为整数，有无穷多个（等于原胞个数）
当k被限定在第一B区时，[k]，E
n
([k])就有无穷多个值！每个n，对应一条能带
因此，对E
n
，必须区分：
* k的取值范围？[k]
*属于哪个n，即哪个能带？
在用第一Brillouin区内的波矢[k]时，必须指明属于哪个能带，n，否则是不确定的
[]() []
2
2
+= km
a
kE
n
π
所以，对于
E是k的多值函数,E
n
(k)，n=1,2,…∞!
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9
小结：能带的一些重要性质
周期函数：E
n
(k+K)= E
n
(k)
多值函数：对一个k，多个E
n
(k)能量值。用n
来区分
波矢k的偶函数：E
n
(k)= E
n
(-k)
对称性：E
n
(αk)= E
n
(k)，α表示晶体所具有的对称操作
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10
2、能隙(禁带)起因,定性分析
空晶格模型与自由电子气的差别来自于空晶格具有周期性
虽然空晶格模型势能等于零，但仍是周期性势，满足Bloch定理，因此，波函数是Bloch函数
因为k与k+K等价，能量是周期函数，当
k限定在第一B区，必须区分n，多值函数
设问：多值会出现什么问题？
n=j和j+1的两条能带，在Brillouin边界，
即在k=nπ/a，n=0，±1，±2，…处是简并的!!!
() []
2
2
+= km
a
kE
n
π
a
π
a
π
1
2
3
4
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11
弱周期性势场
如果格点势能不等于零，会发生什么变化？
可以想象，如果晶格势很小（弱周期性势场），那么能带的大部分区域没有明显的变化
但是，布里渊区边界能级的简并处会发生什么变化？
怎么变化？
*定性分析（驻波势能与平面波比较）
变化大小？
*定量计算（微扰法）
a
π
a
π
1
2
3
4
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12
定性分析：Bragg散射形成驻波
电子会受周期性势场的散射
当Bragg反射条件满足时，沿一个方向行进的波受到反射，沿相反方向传播，反射波与入射波干涉，形成驻波——禁带的起因
0
'
00
kk
BA ψψ +=Ψ
x
a
iee
x
a
ee
x
a
ix
a
i
x
a
ix
a
i
π
π
ππ
ππ
sin2)(
cos2)(
=?=?Ψ
=+=+Ψ
3
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13
定性分析：驻波中心位置
x
a
π
2
2
cos)( ∝+Ψ
x
a
π
2
2
sin)( ∝?Ψ
中心在0,±a,±2a,…,
上，即正离子上中心在±0.5a,
±1.5a,…上，位于正离子间
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14
定性分析：驻波与平面波电荷分布
两个驻波(+)和(-)，使电子积聚在不同的区域，
因此具有不同的势能
能隙的起因：(+)的能量比平面波低，而(-)比平面波高，使原来简并的能级分裂
能隙的宽度：(+)和(-)的能量差
2
ikx
e
2
)(+ψ
2
)(?ψ
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15
定性分析：禁带的起因
简并能级在晶格势作用下分裂——禁带（没有解的能量区间）
分裂结果：能级低的更低，高的更高——所谓简并能级“相互排斥”
分裂的大小(禁带宽度)与晶格势的强弱有关——用微扰法可以计算
对照自由电子？孤立原子的电子？
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16
禁带，能隙(energy gap)
a
π
a
π
广延区图
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17
a
π
a
π
a
π
a
π
周期区图简约区图
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18
3、禁带宽度——定量计算(微扰法)
自由电子气，空晶格 ?能带（定性）
定量？回顾Sommerfeld模型：把价电子处理成自由电子气，如何处理离子实？
?正电背景：均匀分布保持电中性
为什么正离子的周期性势场能被忽略？
考察金属，区域：芯区，其余区域核电荷+Z芯电子-d
r
dZ?
~到势芯区外电子受
在芯区外，受核与屏蔽电子的联合作用势——非常弱
电子在其余区域可看成自由电子
?微扰法
4
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19
微扰法：零势场(空晶格)的解与微扰
将H分成两部分
)()()(
2
)(
2
22
xExxV
dx
d
m
xH ψψψ =
+?=
h
'
0
HHH +=
2
22
0
2
dx
d
m
H
h
=
)('
xVH =
)()( naxVxV +=
空晶格微扰
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20
零级解
能量
m
k
E
k
2
22
0
h
=
波函数
)exp(
1
0
ikx
L
k
=ψ
L=Na
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21
微扰部分
周期性势场，可作Fourier展开
)()( naxVxV +=
∑
≠
+=
0
2
0
n
nx
a
inxV )exp()()()(
π
VV
V
0
常数，可通过能量零点平移来消除。Fourier
系数
∫
=
L
nx
a
i
dxexV
L
n
0
2
1
π
)()(V
)()( nn
*
VV =?
思考：复杂结构？
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22
'
0
HHH +=
2
22
0
2
dx
d
m
H
h
= )
2
exp()()0('
0
nx
a
inH
n
π
∑
≠
+= VV
00 =)(V
空晶格微扰的Fourier展开
m
k
E
k
2
22
0
h
=
)exp(
1
0
ikx
L
k
=ψ
零级解能量零级波函数
L=Na
或常数，等于能量零点作平移)(0V?= EE
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23
L+++=
)2()1(0
kkkk
EEEE
0')(
0
0
*0')1(
===
∫
dxHxHE
k
L
kkkk
ψψ
∑
≠
=
)('
0
'
0
2
'
'
)2(
kk kk
kk
k
EE
H
E
dxHxH
k
L
kkk
0
'
0
*0'
'
'
)( ψψ
∫
=
非简并情况
=?
=
others 0
/2' if )(
ankkn πV
)
2
exp()()0('
0
nx
a
inH
n
π
∑
≠
+= VV
∑
∫
+?
=
n
L
n
a
kki
dxe
L
n
0
2
'
1
)(
π
V
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24
()
∑
≠
+=
0 2
222
222
/2
22
|)(|
2
n
k
ank
mm
k
n
m
k
E
π
hh
h V
平面波
0
'
)('
0
'
0
'
'0
)(
k
kk kk
kk
kk
EE
H
x ψψψ
∑
≠
+=
能量修正波函数修正被周期势场散射
+=
∑
≠0 2
222
*
0
)
2
(
22
)
2
exp()(
1
n
k
a
n
k
mm
k
x
a
n
in
π
π
ψ
hh
V
5
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25
看微扰波函数是否仍满足Bloch定理？
)()(
0
xux
kk
ψψ =
V本身很小。如果k不在边界，分母不为零，影响很小！因此，除边界外，类自由电子的结果
∑
≠
+=
0 2
222
*
)
2
(
22
)
2
exp()(
1)(
n
a
n
k
mm
k
x
a
n
in
xu
π
π
hh
V
)()( naxuxu +=
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26
当散射波振幅趋于无限大！
Bragg 反射加强条件！
0
2
22
2
222
→?
a
n
k
mm
k πhh
a
n
k
π
=
an 2=λ λθ na =sin2
0-π/a
π/a
k
1st Brillouin zone
简并情况
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27
ank
ank
/'
/
π
π
=
=
两态能量相同简并用简并微扰
)1('
)1(
Δ=
Δ+=
a
n
k
a
n
k
π
π
Δ 为小量
0
'
00
kk
BA ψψ +=Ψ
零级波函数为两波函数的线性组合如果
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28
0)]([
2
0
22
2
=Ψ
+ xVE
m
dx
d
h
=?+?
=
0
0
0
0
BEEAn
BnAEE
k
k
)()(
)()(
'
*
V
V
[ ]
∫
dx
kk
0
'
0
,ψψ
0
0
0
=
'
*
)(
)(
k
k
EEn
nEE
V
V 2222
41
nn
TnTE Δ+±Δ+= |)(|)( V
2
2
2
=
a
n
m
T
n
πh
动能
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29
令Δ ?0 )(nTE
n
V±=
)('
)(
nTE
a
n
k
nTE
a
n
k
n
n
V
V
+==
=?=
π
π
简并态出现能量分裂！
)(nE
g
V2=
禁带宽度思考：禁带宽度与势场的傅立叶分量有关，那能带宽度与什么有关？
思考：V(r)不等于零时，
有无可能禁带宽度=0？
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30
一维图象的结论完全可以推广到二维、三维
非简并微扰，影响不大
简并微扰，简并态
k
E
k
E
π/a?π/a
)(12 V=
g
E
ank
ank
/'
/
π
π
=
=
0
'
00
kk
BA ψψ +=Ψ
6
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31
4、金属、绝缘体、半导体
k的取值范围
电子对能带的填充
满带和空带
投影能带
金属、绝缘体、半导体、半金属的能带
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32
k的取值范围
由于周期性，可以在第一Brillouin区求解
*即k的取值可以限制在第一Brillouin区
为简单起见只讨论一维情况，容易推广到三维
*原胞总数N，则L=Na，对周期性边界用Bloch定理
( ) ( )xNax ψψ =+ ( )()xeNax
iNak
ψψ =+ 1=
iNak
e
为整数llNak,2π=
a
bb
N
l
k
π2
,==
于是
因此，如用倒格子基矢表示k，利用正、倒格子基矢的正交关系，则
l整数，由于k的周期性，只需取
( )( )Kkk += EE
N是原胞总数，趋于无穷，因此k是连续分布的
2/2/ NlN ≤<?
与自由电子完全一样，k空间态密度也是常数，但已经不能简单地由此得到能量态密度
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33
电子如何填充能带？
E
n
(k)是k的多值函数，n=1,2,…,∞
周期性边条件可知，第一B区内k的取值范围
* k=2πl/a,其中-N/2<l<=N/2
* N是原胞总数，在第一B区中一共有N个不同的k
每个k，自旋向上、向下各一个状态
*每个状态可填一个电子，所以每条能带(n)的每个
k，可填不同自旋的两个电子
一个原胞内，如果总共有j个价电子，在T=0
时，从n=1开始填充，填充至j/2能级
*第一Brillouin区的每条能带，有N个不同的k，但同时，整个系统也有N个原胞，所以正好相当于每个原胞内的两个电子填第一Brillouin区内的一条能带
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34
满带不导电
在外场的作用下，没有空的k态可以使电子分布有变化，电子从布里渊区一端出去，k=k+K，
又从另一端进来，所以对电流没有贡献
设问：自电子气时有没有电子的整体移动？
如果能带没有填满，导电电子自由地响应外场的作用，漂移，在外电场方向引起整体漂移，
对称的部分相互抵消，不对称的部分形成电流
)k()k(?= EE
具有N个原胞的晶体，每个能带能够容纳2N个电子，
如果能带全部填满，k和-k
对称地被填满，对电流的贡献互相抵消
Kkk +=
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35
思考
单电子原子组成的晶体，能带总是填充至半满，因此可以导电，是金属。但是，如果将晶格常数逐渐增大，直至原子间无相互作用，这时按照Bloch定理，它还是金属吗？问题在哪里？
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36
投影能带
将能带往某一方向投影，得到所谓的投影能带
7
Metal Semimetals Semiconductor
E(k)
金属、绝缘体、半导体、半金属的能带
k
B
T>E
g
杂质
Insulator
E
g
>5eV
E
g
~1eV
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38
本讲要点
能带和能隙：空晶格模型和弱周期势场近似
能隙的起因：散射形成驻波，与平面波相比，
驻波势能或高或低于平面波，在B区边界零级近似的简并能级分裂而形成能隙
非简并微扰：除B区边界外，晶体势场对其他区域能带的影响可忽略
简并微扰：能隙宽度是势Fourier展开系数的两倍：E
g
=2|V(n)|
金属、绝缘体能带论判据：能带填充情况
金属到绝缘体转变
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39
概念要点
能带
禁带
微扰法：禁带宽度
能带理论的导电解释：能带填充情况
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40
思考问题
1.自由电子气与空晶格模型的差别？
2,V(r)不等于零时，有无可能禁带宽度=0？
3.禁带宽度与势场的傅立叶分量有关，那能带宽度与什么有关？
单电子原子组成的晶体，能带总是填充至半满，因此可以导电，是金属。但是，如果将晶格常数逐渐增大，直至原子间无相互作用，这时按照Bloch定理，它还是金属吗？问题在哪里？
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41
习题：
3.1
3.2
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42
第14讲习题解答
( ) ( )
()
()
()
()()()
()()
()
() ()
()
()
x
x
x
x
xF
k
k
F
k
qk
qk
qkkq
k
dq
qk
qk
q
k
kkqq
dqddqd
V
kI
e
V
d
e
e
V
d
ee
e
V
dee
V
d
e
e
V
e
V
d
k
k
kk
k
k
i
i
i
ii
iii
i
ii
ij
j
ij
+?
+=
=
+
=
+
=
+?
=
=
=
=
=
=
=
=
∫
∫∫
∑
∑∑
∫
∑
∫
∑
∫
∑ ∫∑∫
<<
<
<
≠
1
1
ln
4
1
2
1
,
2
ln
2
111
ln
11
cos2
sin
2
4
2
441
41
'
'
1
'
'
1
'
'
11
'
'
11
'
''
'
2
F
F
0
22
0
22
2
3232
2
'
'
'
'
'
*
F
F
FF
F
F
其中
π
ππ
π
π
π
ππ
π
q
q
rk
q
rrqk
rk
q
rqkrrqk
rq
q
rqkrq
q
rk
rqrq
qk
q
qk
qk
r
rr
r
rr
r
rr
r
rr
r
rr
rr
r
