1
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1
上讲补充：动力学矩阵和色散关系
由于势能的导数是实数，可以得到
() ()qq
*
','
',' jj
DD
jj
αα
αα
=?
进而得到本征值的对称关系
() ( )qq?=
22
ll
ωω () ( )qq?=
nn
EE对比：
可以证明（对本征值方程取复共轭，利用本征值的反演对称），本征矢也有
() ( )qq?=
)(
,
*)(
,
l
j
l
j
cc
αα
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2
纵振动横振动声学质心运动光学原子的相对运动
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3
声学模
原子以相同振幅平行振动
LA
0=q
TA
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4
光学模(q=0)
相对振动
0=q
LO
TO
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5
声学、光学模(布里渊区边界)
通过位移的分析，也可得到
a
q
π
±=
LO
TO
TA
LA
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6
第25讲、晶格振动的量子理论
1.一维单原子链解的讨论
2.简正坐标：一维情况
3.简正坐标：三维情况
4.晶格振动的量子化
2
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7
1、一维单原子链解的讨论
设问：那么，这个解到底表示什么？
位移与频率ω(q)有关
*如果位相差2\pi的整数倍时，位移完全相等
而振动频率与n无关！
*这表示所有的原子都同时在做的频率为ω的振动
)2(
112
2
nnn
n
xxx
dt
xd
m?+=
+
β
解
2
sin2)(
qa
m
q
β
ω =
()[]tqqnai
n
Aex
ω?
=
取整数l
aN
l
q,
2π
=
方程
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8
讨论：位移？
位移与格点
*不同格点原子的位移，由Bloch定理决定，差一个相因子
*这说明，各个原子的振动并不是独立的
晶格振动是一种集体的振动！
*对应某个给定频率，需要N个互相有关联的位移来描写在不同原胞中原子具有这个频率的集体振动，
这说明振动是互相有关的
*或者说，提到某个频率的振动，就得与这N个的位移联系起来
()[]tqqnai
n
Aex
ω?
=
( )[ ]
个原胞共有为整数NnAex
tqqnai
n
,,
ω?
=
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9
讨论：位移？
位移与波矢
*波矢的取值由周期性边界条件决定
*这是振动的状态数目，一个状态q对应s个频率，s即自由度，一维单原子，s=1
这些振动互相之间独立，没有关系
*简谐振动
设问：那么多解，那么，原子到底怎么振动？
*或问：原子在任意时刻t，到底处在什么位置？
原胞数个值共NN
N
l
N
l
Na
q,,
22
,
2
≤<?=
π
()[]tqqnai
n
Aex
ω?
=
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10
讨论：位移？
振幅与q有关，A
q
(t)把e
-iωt
也包括进去
*即各种不同波矢、不同频率的格波的迭加
因此用这种方法来确定晶体中各个原子的空间坐标随时间的变化从而描写晶格振动非常复杂
*因为各个原子相互之间是关联的
问题在哪里？不同原子的振动是互相关联的，
*振动状态是独立的，但每个位移并不是独立的
自然要问：有无更简便的方法来描写这种振动
上面只是一个个特解，一般解应是它们的迭加，即在任意时刻t，n格点的原子处在
[]tqnai
n
Aex
ω?
=
()
∑
=
q
iqna
qn
etAx
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11
2、简正坐标：一维情况
一维单原子链解的分析
*换个角度，如果晶格振动中各个不同的波矢、不同频率的格波的振幅知道了，振动情况也就完全确定了——格波之间没有相互作用
*因此，就没有必要去知道每个原子的空间坐标
但是原子之间关联怎么办？关联？看势能
如果能简化交叉项，就可以分离变量。为此，
需要变换基轴x，通过变换使晶格振动的描写简化
() ()
∑∑ +++
+=?=
n
nnnn
n
nn
xxxxxxV
1
2
1
22
1
2
2
1
2
1
ββ
简谐
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12
一维单原子链解的位移
用x
n
表示格点n处原子位移时，x是坐标轴
*需要选基轴，使势能的表示简单，没有交叉项
*比如一个质点的一维运动，如果随意放置坐标轴，
可能需要三个变量x，y，z来描写它的运动。当然这三个变量并不独立，有两个约束条件。但从形式上，会有三个变量x，y，z出现在运动方程中，这样的表示是不方便的
现在描写晶格振动的情况类似
*既然每个原胞中等价原子的振动不是独立的，把它们的位移都表示出来的描写是不方便的
3
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13
基矢的选择
问：那么用什么做基矢较好？
e
iqna
对于不同的q，是N维的
本征矢e
iqna
，做基矢
()
∑
=
q
iqna
qn
etAx
()
',
'
1
nn
q
anniq
e
N
δ=
∑
或按n求和，
()
',
'
1
qq
n
naqqi
e
N
δ=
∑
iqna
e
N
1
本征矢e
iqna
本身满足正交归一性，即按q求和，
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14
展开
Q
q
(t)就是简正坐标，意义即x
n
在基矢轴e
iqna
的分量
看动能和势能在这个基矢轴下能不能表示得简洁些
∑
=
n
n
xmT
2
2
1
&
() ( )
∑∑ +++
+=?=
n
nnnn
n
nn
xxxxxxV
1
22
1
2
1
2
22
ββ
() ()
∑
=
q
iqna
qn
etQ
Nm
tx
1
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15
代入势能后可得
[]
naiqaniqnaiqiqnaaniqiqnaaniqaniq
qqn
qq
eeeeeeee
QQ
Nm
V
')(')(')(')(
',,
'
1111
2
++++
+?
=
∑
β
[]
∑∑
+=
++
',
)'(')'(
'
qqn
naqqiaiqiqaaqqi
qq
eeeeQQ
Nm
1
2
β
{}
∑?
+
+=
',
',
')'(
'
qq
qq
aiqiqaaqqi
qq
NeeeQQ
Nm
δ
β
1
2
[]{}
∑
=
q
iqaiqa
qq
eeQQ
m
2
2
β
[]{}
∑∑
=?=
q
qqq
q
qq
QQqaQQ
m
2
2
1
1 ω
β
)cos(
[])cos(qa
m
q
= 1
2
2
β
ω
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16
同样对动能也可得
∑∑
∑∑∑

++
==
==
q
qq
qq
qqqq
qqn
naqqi
qq
qqn
naqqi
qq
QQQQ
eQQ
N
eQQ
N
T
&&&&
&&&&
2
1
2
1
2
1
2
1
',
','
',
)'(
'
',,
)'(
'
δ
利用
*
qq
QQ =
最终可得
∑
+=
q
qqq
QQH
2
2
2
2
1
ω
&
[])cos(qa
m
q
= 1
2
2
β
ω
其中
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17
值得注意：量子化谐振子的频率就是经典简谐振动的频率
可以推广到三维的情况
这样过渡到量子力学处理——简谐振子方程
*可解得能量
()
qqq
nE ωω h?
+=
2
1
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18
3、简正坐标：三维情况
定义简正坐标Q
n
通过线性变换消除交叉项，将动能和势能同时简化为简正坐标Q
n
平方项的和
∑
=
=
N
n
n
QT
3
1
2
2
1
&
∑
=
=
N
n
n
n
QV
3
1
22
2
1
ω
∑
=
=
N
n
njn
j
j
Qa
M
u
3
1
1
4
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19
那么，正则动量为
n
n
n
Q
Q
VT
p
&
&
=

=
)(
哈密顿量为
()
∑
=
+=
N
n
nnn
QpH
3
1
222
2
1
ω
从正则方程得到
nn
n
n
Q
Q
H
p
2
ω?=
=&
0
2
=+
nnn
QQ ω
&&
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20
这是3N个相互无关的方程——简正坐标描述独立的简谐振动
)sin( δω += tAQ
nn
只考察一个Q
n
振动时，
)sin( δω += tA
M
a
u
n
j
jn
j
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21
4、晶格振动的量子化
将经典哈密顿中的动量写成算符形式
n
n
Q
ip
= h
即可得到波动方程
()()
NN
N
n
nn
QQQEQQQQ
Q
n
321321
3
1
22
2
2
2
2
1
,...,,,...,,ψψω =
+
∑
=
h
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22
这表示的是一系列无相互作用的简谐振子，可以分离变量，记
() ()
lllll
QQQ
Q
l
ε?ω =
+
22
2
2
2
2
1
h
解为厄密多项式，其本征值为
lll
n ωε h?
+=
2
1
∑
=
=
N
l
l
E
3
1
ε ()()
∏
=
=
N
l
lnN
QQQQ
l
3
1
321
ψ,...,,
得
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23
comments
注意：一个简正振动并不是表示某一个原子的振动，而是整个晶体所有原子都参与的振动频率相同的振动
这种集体振动称为振动模
振动能量是分裂的，量子化的！即
∑
=
j
jjnjn
uaMQ
~
lll
n ωε h?
+=
2
1
由
∑
=
=
N
n
njn
j
j
Qa
M
u
3
1
1
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24
这样的量子谐振子的频率就是经典振动的频率
这样的量子谐振子称为声子——晶格振动的能量子
利用声子的概念处理晶体中相互作用问题就比较简单明了，比如：
*晶格振动与晶格振动的相互作用；
*晶格振动与电子的相互作用；
*晶格振动与光子的相互作用等
声子是玻色子，遵从玻色统计
1
1
=
Tkl
Bl
e
n
/)q(
)q(
ωh
声子
5
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25
格波的能量是分立的，整数倍地增加
lll
n ωε h?
+=
2
1
ll
n ωh
2/
l
ωh
声子的能量和准动量分别为l
ωh qh
第l支格波的能量为
最低能量并不是零，称为零点振动能
晶体的热学性质与晶格振动有关的部分由此给出
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26
例：计入第p近邻相互作用的一维单原子链
对一维单原子链放弃最近邻相互作用的假定，
考虑到第p近邻的相互作用，设相应的力常数为B
p
，求色散关系
一维单原子链的势能
*只考虑第一近邻相互作用势能
*和考虑至第p近邻相互作用势能
()
∑ +
=
n
nn
xxV
2
1
2
1
β
简谐
()
∑∑
=
+
=
n
p
i
inni
xxV
1
2
2
1
β
简谐
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27
作用于原子上的力
只考虑第一近邻时的力(注意前面求和中有两项与x
n
有关)
()()[]
nnnn
n
n
xxxx
dx
dV
F=?=
+ 11
β
简谐
考虑第p近邻时的力(注意每一近邻的求和中有两项与x
n
有关)
()()[]
∑
=
+
=?=
p
i
nininni
n
n
xxxx
dx
dV
F
1
β
简谐
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28
方程和尝试解
第n原子的运动方程为
()()[]
∑
=
+
=
p
l
nlnlnnl
n
xxxx
dt
xd
M
1
2
2
β
尝试解没有变化，仍为
tiiqna
n
eAex
ω?
=
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29
代入方程后可得
[]
tiiqna
p
l
iqlaiqla
l
tiiqna
eAeeeeAeM
ωω
βω
=

∑
=?
1
2
2
[]
∑
=
=
p
l
iqlaiqla
l
eeM
1
2
2βω
[]
∑
=
=
p
l
l
qla
M
1
2
1
2
cosβω
∑
=
=
p
l
l
qla
M
1
22
2
4
sinβω
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30
例题
考虑一维双原子链，两个原子的质量分别是M
1
和M
2
，只计入最近邻原子间的相互作用，力常数是C，讨论当M
1
>> M
2
时的振动情况
6
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31
解
运动方程和尝试解分别为
()
12222122
2121221
+++
+
+=
+=
nnnn
nnnn
xxxCxM
xxxCxM
&&
&&
()tianiq
n
tinaiq
n
Bex
Aex
ω
ω
+
+
=
=
12
12
2
2
代入后即得
()( )
()( )?
=?++?
=+
021
012
2
2
2
1
BMCAeC
BeCAMC
iqa
iqa
ω
ω
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32
很容易得到
( )qaMMMMMM
MM
C
cos
21
2
2
2
121
21
2
2++±+=ω
+
+±+= qa
M
M
M
M
MMM
MM
C
cos
1
2
2
1
2
121
21
2
21ω
+±+≈ qa
M
M
MMM
MM
C
cos
1
2
121
21
2
1ω
利用M
1
>>M
2
，得到
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33
对声学支
()qaMM
MM
C
cos
22
21
2
=
声学
ω
()qa
M
C
cos?= 1
1
2
2
1
qa
M
C
sin=
声学
ω
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34
对光学支
()
++= qa
M
M
M
C
cos12
1
2
2
2
光学
ω
+=
2
1
2
2
1
2
2
qa
M
M
M
C
cos
+=
2
1
2
2
1
2
2
qa
M
M
M
C
cos
光学
ω
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35
在B区边界，对光学支
2
2
M
C
=
光学
ω
振幅比为
01112
2
1
=
BCA
M
M
C )(
所以，A=0。即M
1
原子静止，而M
2
原子以上述频率振动
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36
在B区边界，对声学支
1
2
M
C
=
声学
ω
振幅比为
() 01211
1
2
= B
M
M
CAC )(
所以，B=0。即M
2
原子静止，而M
1
原子以上述频率振动
7
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37
本讲要点
晶格振动是一种集体振动——称为格波
*格波可以不是简谐的，如是非谐的，可以展开为简谐振动的迭加；在简谐近似下，格波就是简谐波，
这时格波之间的没有相互作用
独立的简谐振动模式——声子——简谐振动的能量量子格波能量?能量量子化?声子
*如果某种格波ω
l
(q)被n
l
个声子占据，这种格波的能量就是
)q(
lll
n ωε h?
+=
2
1
*声子是遵从玻色统计
1
1
=
Tkl
Bl
e
n
/)q(
)q(
ωh
*声子的能量和准动量分别为
l
ωh qh
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38
概念要点
声子
*晶体中原子的集体振动
*声子能级
*声子能量的动量
*声子数按能量分布
1
1
=
Tkl
Bl
e
n
/)q(
)q(
ωh
l
ωh qh
)q(
lll
n ωε h?
+=
2
1
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39
思考问题
比较简谐近似中的声子与金属中自由电子气，
有什么差别？
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40
习题
1、证明动力学矩阵是厄密矩阵，即证明
( )()qq
jj
DD
jj
','
*
','
αα
αα
=
2、设有一维简单晶格，晶格常数为a，原子质量为m，在平衡点附近两个原子间相互作用势能可表示成
322
0
6
1
2
1
2
1
rrraaUrU ζηζη ++?
+?=)(
求色散关系。
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41
课堂练习
设有晶格常数为a的正方形结构的单电子原子组成的金属，
*试用金属费米面作图法画出费米面（徒手作图即可，但需标出布里渊区边界及费米面半径的值）；
*假定温度改变时，由于原子的微小位移而发生相变，如图，试画出费米面。