波动光学光的衍射
2005年秋季学期第 4章夫琅禾费圆孔、单缝衍射单、双、三、多缝的衍射一维光栅、正交光栅衍射
【 演示实验 】
陈信义编
§ 4.1 衍射现象、惠更斯 — 菲涅耳原理
§ 4.2 单缝的夫琅禾费衍射,半波带法
§ 4.3 光栅衍射
§ 4.4 光学仪器的分辨本领
§ 4.5 X射线的衍射目 录
§ 4.1 衍射现象,惠更斯 — 菲涅耳原理一、光的衍射 （ diffraction of light ）
*
S
衍射屏 观察屏
a
一般 a ≯ 10-3?
1、定义：
衍射屏 观察屏
L? L
而偏离直线传播的现象叫 光的衍射。
S
光在传播过程中能绕过障碍物的边缘孔的衍射 缝的衍射
2、分类
（ 1）菲涅耳 （ Fresnel） 衍射 (近场衍射）
（ 2）夫琅禾费 （ Fraunhofer） 衍射（远场衍射）
L 和 D中至少有一个是有限值。
L 和 D皆为无限大（可用透镜实现）。
光源障碍物 观察屏
S
P
DL
B
*
孔的投影 菲涅耳衍射 夫琅禾费衍射圆孔的衍射图象：
P1 P
2 P3 P4
S
L
B
【 演示 】 圆孔,单缝的夫琅禾费衍射刀片边缘的衍射 圆屏衍射各子波在空间某点的相干叠加，决定了该点波的强度。
二,惠更斯 — 菲涅耳原理波传到的任何一点都是子波的波源 。
SrKQapE d)()()(d
K(? )：
a(Q)取决于波前上 Q处的强度,K(? )称 方向因子 。
= 0,K=Kmax
K(? )?
90o,K = 0
·
p
dE(p)r
Q
dS
S(波前 )
设初相为零
n
·
1882年以后,基尔霍夫 （ Kirchhoff） 求解电
) 2c o s (d)()()(d rtSr KQapE
Srtr KQapE
S
d) 2c o s ()()()(
p 点波的强度 )(
20 pEI p?
)( c o s)(0 ptpE
惠更斯 — 菲涅耳原理有了波动理论的根据。
这使得磁波动方程，也得到了 E(p)的表示式，
菲涅耳积分。
由 菲涅耳积分计算观察屏上的强度分布,很复杂 。 常用 半波带法,振幅矢量法 。
§ 4.2 单缝的夫琅禾费衍射,半波带法一、装置和光路
s ina?
00,— 中央明纹（中心）
A→ p和 B→ p 的光程差为
：缝宽aAB?
S：单色线光源
,衍射角
p·
δ
S
ff?
a
透镜 L?
透镜 L
B
缝平面 观察屏
0
A
*
— p点明亮程度降低
pI
1′
2B
A
a
θ
半波带半波带
1
2′
两个半波带发的光,在 p 点干涉相消形成暗纹 。
/2
1
1′
2
2′
半波带半波带可将缝分为两个“半波带”
相消相消二、半波带法－计算观察屏上的强度分布当 时,s ina（ 1）
— 在 p 点形成明纹（中心）
/2
θ
a
B
A
其中两相邻半波带的衍射光相消，
余下一个半波带的衍射光不被抵消
a
/2
B
A
θ
相消,p 点形成暗纹。
（ 3） 当 时, 2s i n? a
缝分成四个半波带，
可将两相邻半波带的衍射光
23s i n?a
（ 2） 当 时,可将缝分成三个半波带,
— 暗纹
— 明纹中心
…,3,2,1s i n kka
…,3,2,1 2)1 2(s i n kka
0s i n a — 中央明纹中心中央明纹中心和暗纹位置是准确的,其余明纹中心的位置是近似的,与准确值稍有偏离 。
半波带法得到的一般结果：
（准确）
（准确）
（近似）
三,光强公式用 振幅矢量法 （见后）可导出单缝衍射的
2
0
s i n?
II
1、主极大（中央明纹中心）位置
00 处,1s i n
max0 III
， s i nπ a?
其中光强公式：
2、极小（暗纹）位置
）时，（当?3,2,1π kk?
由
πs i nπ ka
s i n ka
0s in 0 I
这正是缝宽可以分成偶数个半波带的情形。
此时应有
2
0
s i n?
II
3、次极大位置,满足 tg
0ddI
解得,…，，,π47.3π46.2π43.1
相应,…,47.3,46.2,43.1s i n a
0? 2?-?-2?
y y1 = tg?
y2 =?
-2.46?
·
-1.43?
·
+1.43?
· ·
+2.46?0
·
半波带法,…,50.3,50.2,50.1
sin?0.047 0.017
1 I / I0
0
相对光强曲线
0.0470.017
a
2?
a
a
a
2
4、光强：
从中央（光强 I0）往外各次极大的光强依次为 0.0472I0,0.0165I0,0.0083I0 …
I次极大 << I主极大
…，，,π47.346.2π43.1 π?将依次带入光强公式
,
2
0
s i n
II 得到单缝衍射图样
sin
【 演示 】 单缝衍射角宽度
a
2
0?
四,用振幅矢量法推导光强公式
N
ax
（ N 很大）
各窄带发的子波在 p点振幅近似相等,设为?E0，
透镜
f
p
x
x
xsin?
缝平面缝宽 a
A
B
C 0
观测屏相邻窄带发的子波到 p点的相位差为：
将缝等分成 N
个窄带,每个窄带宽为：
2s i n x
2s i n
N
a
在 p点,N个同方向,同频率,同振幅,
初相依次差恒量 的简谐振动合成,合成的结果仍为简谐振动 。
对于中心点：
E0 = N?E0
E0
…?E0
p点合振幅 Ep 是各子波振幅矢量和的模。
= 0, = 0
2s i n
N
a
对于其他点 p：
当 N时,N个相接
Ep < E0 。? ≠ 0，
Ep
E0
π2s i n
aNΦ
，
2
s i n2 ΦRE p ΦRE0
2
s i n
2
0 Φ
Φ
EE
p
R EP
E0
圆弧对应的圆心角为
的折线将变为一个 圆弧，
设
s i nπ
2?
aΦ
s i n
0E?
2002 EIEI p,
因此,光强为
2
0
s i n
II
2
s i n
2
0 Φ
Φ
EE
p
0I
中央明纹中心光强五,条纹的宽度
1、中央明纹宽度,两个第一级暗纹间的距离。
11s i n
角宽度
a
22
10
线宽度
10 tg2 fx
— 衍射反比定律
I0
x1
x2衍射屏 透镜观测屏
f
1
0
x?
0x?
12?f?
ax
0
af
2?
一般?角较小，有
2、其他明纹（次极大）宽度
02
1 x
a
fx
— 单缝衍射明纹宽度的特征在 s i ngt 时，
，
a
kffx
kk
s i n
3,波长对条纹间隔的影响
x — 波长越长，条纹间隔越宽。
有
4、缝宽变化对条纹的影响
a
fx
— 缝宽越小,条纹间隔越宽 。
只有中央明纹，屏幕一片亮。
I
0 sin?
时，且当 1~
a
a,21
几何光学是波动光学在 a >>?的极限情形。
只显出单一的明条纹? 单缝的几何光学像时，且当 0 aa?,0 x,0?k?
六、干涉和衍射的联系与区别求 雷达监视范围内公路的长度 L。
上无限多个子波的相干叠加。
干涉和衍射都是波的相干叠加,但 干涉是有限多个分立光束的相干叠加,衍射是波阵面
【 例 】
已知,一波长为?= 30mm的雷达在距离路边为雷达射束与公路成 15?角,天线宽度
a = 0.20m。
d =15m处，
如图示,ad
L
15
公路二者又常出现在同一现象中。
解,将雷达波束看成是单缝衍射的 0 级明纹由有如图
1s i na
,63.2315 1 °° °° 37.615 1
)c t g( c t g d L
a
1s i n
°63.8115.0
m2.0
mm30
m100)63.23c t g37.6( c t g15 00
d
L
15?a
公路
θ1
所以一、光栅 （ grating）
光栅 是由大量的等宽等间距的平行狭缝从广义上理解,任何具有空间周期性的衍射屏,都可叫作光栅 。
（或反射面）构成的光学元件。
§ 4.3 光栅衍射光栅是现代科技中常用的重要光学元件。
光通过光栅衍射可以产生 明亮尖锐 的亮纹，
复色光入射可产生 光谱,用以进行光谱分析。
1、光栅的概念
a? 透光 （ 或反光 ） 部分的宽度
3、光栅常数用电子束刻制可达数万条 /mm（ d?10-1?m） 。
反射光栅
d
透射光栅2、光栅的种类：
d
(空间周期性的表示 )
b? 不透光 （或不反光）部分的宽度普通光栅刻线为数十条 /mm — 数千条 /mm，
d = a+b
多光束干涉和单缝衍射联合作用的结果 。
0
p
焦距 f
缝平面 G 观察屏透镜 L
dsin?
d
各缝之间的干涉和每缝自身的夫琅禾费衍射，
决定了光通过光栅后的光强分布二,光通过光栅后的光强分布缝衍射光强极大值的位置,在屏上重叠 。
I
θ
θ
总强度的分布？
ad
f
透镜
1、各缝衍射光强度极大值位置重叠总强度的分布，是两束光的相干叠加。
以双缝为例观察屏
2
0
s i n?
II
s i nπ a?
缝衍射：
— 正入射光栅方程明纹（主极大）条件：
0
p
焦距 f
缝平面 G 观察屏透镜 L
dsin?
d
先不考虑衍射对光强的影响,只看多光束的干涉 。
2、多光束干涉 （ multiple-beam interference）
多光束干涉主极大的位置与缝的个数无关
kds i n
k = 0,1,2,…
p点为干涉主极大时：
0
p
焦距 f
缝平面 G 观察屏透镜 L
dsin?
d
设有 4个缝，
缝发的光在对应衍射角?方向的 p点的光振动的振幅为 Ep，
相邻缝发的光在 p点的相位差为。
每个
NEp
Ep
π,2 k k = 0,1,2,…
0 级亮纹中心,0
1 级亮纹中心,π2
0 级亮纹和 1级亮纹之间有暗纹吗？
条纹变窄,变亮 。
暗纹条件,各振幅矢量构成闭合多边形
2
d4s in
d2s in
2
3
d4
3s i n
0?/d-(?/d)-2(?/d) 2?/d
I
sin?
N = 4
ddd 4
3
24
0级 1级
相 邻 主极 大间 有 3
个 暗纹和 2个次极大
主极大位置不变
20
π2 kN
Nkk …,2,1
N个缝的暗纹,要求：
Ep
s i nd
Nkd s i n
Nkkk,0
相邻主极大间距：
Nds i n相邻暗纹间距：
相邻主极大间有 N－ 1个暗纹和 N－ 2个次极大闭合 π2s i n d而：
sin?
0 4-8 -4 8 (?/d)
N = 4 N2 I0单多缝干涉
N2I0单
sin?
0 4 8-4-8 (? /d )
光栅衍射光强曲线
3、光栅衍射 （ grating diffraction）
（ 1）多缝干涉主极大受单缝衍射的调制
sin?
0
I0单
-2 -1 1 2 (? /a)
单缝衍射
,2,1,0s i n kkd,
衍射暗纹位置：
,3,2,1 s i n kka,
从而出现缺级。
干涉明纹缺级级次：
kadk
干涉明纹位置：
k
k
a
d
,时,此时 在应该干涉加强的位置上没有衍射光到达，
（ 2） 缺级现象
,3,2,1,k
总能化成整数比,出现明纹缺级 。
a
d
sin?
I单
sin?
0
I0单
-2 -1 1 2 (? /a)
I N2I0单
0 4 8-4-8 (? /d )
干涉明纹（主极大）缺级的级次：
d = 4a例如：
,8,44 kk
a
dk
N = 4
缺级
4,光栅衍射的光强公式每个单缝在 p点（对应衍射角?）均有
,s i n0单EE p
s i n
π a?
·
Ep
Ap
R
No
R
相邻缝在 p点的相位差
s i nπ2 d
p点合振幅为
2
s i n2, NRA p 2s i n2
RE
p又
s i n
s i ns i n
2
s i n
2
s i n
0
N
E
N
EA pp
单
s i nπ2 d
22
0 s i n
s i ns i n
NII
p 单单0I
单缝中央主极大光强
单缝衍射因子2s in?
多光束干涉因子2
s i n
s i n
N
光栅衍射的光强：
s i nπ a?
sin?
0
I单I0单
-2 -1 1 2 (?/a)
单缝衍射光强曲线
I N2I0单
0 4 8-4-8
sin?
(?/d)
单缝衍射轮廓线光栅衍射光强曲线
sin?
N2 I0单 I0单 sin2N?/sin2?
0 4-8 -4 8 (?/d)
多光束干涉光强曲线
N = 4,d = 4a例如：
单缝衍射和多缝衍射干涉的对比 （ d =10a）
19个明条纹 缺级缺级单缝多缝
【 演示 】 单、双、三、多缝的衍射一维和正交光栅衍射三,斜入射光栅 相控阵雷达
1、光线斜入射时的光栅方程
λ
d sin?
光栅 观察屏L
o
p
f
i
d sin i
)s i n( s i n id
kid )s i n( s i n
角度符号规定,由法线转向光线，逆时针为正。
斜入射可获得更高级次条纹 （教材例 4.5）
> 0
i > 0
入射光衍射光法线光栅对于确定的 k,i变化，则? 也变化。
is ins in
π2s i nπ2s i n did
d π2s i n
改变,即可改变 0 级衍射光的方向。
2,相控阵雷达微波源移相器辐射单元
d
n?
靶目标一维阵列的相控阵雷达
（ 1） 扫描方式
相位控制扫描
频率控制扫描
（ 2） 回波接收相邻入射光 的相位差：
通过同样的天线阵列接收 。
有例如 0级衍射光 （ k = 0），
无机械惯性,可高速扫描 。
一次全程扫描仅需几微秒 。
由计算机控制可形成多种波束 。
能同时搜索,跟踪多个目标 。
不转动,天线孔径可做得很大 。
辐射功率强,作用距离远,分辨率高 …
（ 3）相控阵雷达的优点相控阵雷达除军事应用外,还可民用：
如地形测绘,气象监测,导航、
测速（反射波的多普勒频移）?
阵列宽 31m，有 1792个辐射单元，覆盖 240o视野。
能探测到 5500公里范围内的 10m2大小的物体。
用于搜索洲际导弹和跟踪人造卫星。
设在美国鳕角 （ Cape cod） 的相控阵雷达照片
§ 4.4 光学仪器的分辨本领 光栅光谱一,透镜的分辨本领
1、圆孔的夫琅禾费衍射圆孔孔径为 D
L衍射屏 观察屏中央亮斑
（ 爱里斑 ）
1
f
22.1s i n 1D
爱里斑
D?
爱里斑变小集中了约
84% 的衍射光能 。
（ Airy disk）
相对光强曲线
1.22(?/D)
sin?
1
I / I0
0
【 演示 】 圆孔衍射
2、透镜的分辩本领几何光学：
物 点? 象 点物 （物点集合）?象 （象点集合）
（ 经透镜 ）
波动光学,
物 点? 象 斑物 （物点集合）? 象 （象斑集合）
（ 经透镜 ）
衍射限制了透镜的分辨能力 。
两个光点刚可分辨 两个光点不可分辨瑞利判据对于两个等光强的非相干的物点，
一个象斑的中心恰好落在另一象斑的边缘可以分辨的。
（ Rayleigh criterion）：
如果
（第一暗纹处）,则此两物点被认为是刚刚若象斑再靠近就不能分辨了。
非相干叠加瑞利判据小孔（直径 D）对两个靠近的遥远的点光源的分辨离得太近不能分辨瑞利判据刚能分辨离得远可分辨
D
22.1
1
22.1
1 DR
R
D
I
D
*
*
S1
S2
0
最小分辨角 （ angle of minimum resolution）,
分辨本领 （ resolving power）：
不可选择,RD但望远镜：
▲ 世界上最大的 光学 望远镜：
建在了夏威夷山顶。
▲ 世界上最大的 射电 望远镜：
建在了波多黎各岛的地球表面仅 10?12W的功率，
D = 305 m
Arecibo,能探测射到整个也可探测引力波。
D = 8 m
显微镜,D不会很大,R但
▲ 在正常照明下,人眼瞳孔直径约为 3mm，
所以电子显微镜分辨本领很高，
的结构。
▲ 夜间观看汽车灯，远看是一个亮点，
移近才看出是两个灯。
逐渐
（见书 P177例 4.2）。
可分辨约 9m 远处的相距 2mm 的两个点对?= 0.55?m（ 5500A）的黄光, 1?，?
可观察物质电子,0.1A? 1A（ 10 -2?10 -1 nm）?
二、光栅光谱,光栅的色散本领、分辨本领
1、光栅光谱白光（ 350?770nm）的光栅光谱是连续谱：
0级 1级 2级-2级 -1级
(白 )
3级-3级
k 一定时,，
，，，,210s in kkd正入射：
主极大位置也不同，形成同一 级 光谱。
不同颜色光的汞的光栅光谱线色散本领
f — 光栅后的透镜焦距
* 2、光栅的色散本领把不同波长的光在谱线上 分开 的能力角色散本领
xD
l?
DfD l
D
色散本领：
波长的谱线，衍射角,位置 x+? x
波长为?的谱线,衍射角为?,位置为 x；设：
二者的关系定义：
，dki s i ns i n,
dk
c o s
c o s d
kD
c o s?
d
fkD
l
与光栅缝数 N 无关有和由减小 d 可增大色散本领,对级次 k更高的光谱，
色散本领还可进一步增大。 增大透镜的焦距 f
（通常可达数米）,还可以再增大 线 色散本领。
量未知波长时,
若在? 不大处观察光栅光谱,几乎不变，?cos
所以 D?和 Dl 差不多是常数,于是有和
x,此时的光谱称 匀排光谱 （棱镜光谱为非匀排光谱）。 根据拍好的匀排光谱谱片来测可采用 线性内插法。
c o s d
kD
c o s?
d
fkD
l
和由 可看出：
3,光栅的色分辨本领
（ resolving power of grating）
宽度的,
色散本领只反映谱线主极大中心分离的程度，
但不能说明谱线是否重叠,因为谱线本身是有为此引入色分辨本领。
设入射波长为?和? + 时，
光栅的色分辨本领
R定义：
两谱线刚能分辨。
下面分析 R 和哪些因素有关。
)(1 NdNkdk
d
ks in
的 k级主极大?+的 k级主极大
sin
得
R
k
N
)0(1 kNkNkR,
(N >>1)
按瑞利判据：
Nd
kNkk )(s i n 1 的暗纹，的对应 ）（
由图,有：
0/d-(/d)-2(/d) 2/d
I
sin?
N = 4
ddd 4
3
24
0级 1级
dd
Nd
Nk
4
)(3
)(
4
114
)(
1
s i n
例如：
:1,4 kN
设例如，对波长靠得很近的 Na双线：
1 =? = 589 nm
NkR 9 8 26.05 8 9
都可分辨出 Na双线
2 =? + = 589.6nm
若 k = 2，则 N = 491
若 k =3,则 N = 327
)0( kNkR,
光栅的色分辨本领：
1895年德国物理学家 伦琴 发现了 高速电子撞
§ 4.5 X 射线的衍射 （ diffraction of X-rays ）
一,X射线的产生击固体可产生 一种能使胶片感光,空气电离、
荧光质发光? 的中性射线,称为 X 射线。
- K A
X射线
X射线管 + K — 阴极,A— 阳极加速阴极发射的热电子
A? K间加几万伏高压，
X 射线管的结构如下：
威廉,伦琴
1845 — 1923
由于发现 X射线获 1901年（首届）
诺贝尔物理奖
Wilhelm C.R?ntgen
德国人
X射线准直缝 晶体
···
·
劳厄斑衍射图样证实了 X 射线的波动性。
劳厄 （ Laue） 实验 （ 1912）：
晶体相当于三维光栅
X射线?,10 -2? 101nm
（ 10 -1? 10 2?）
d
d?
d
dsin?
1
2晶面
A
C
B
二,X 射线在晶体上的衍射
1、衍射中心：
Φ,掠射角
d,晶面间距
2、同一层晶面上点间散射光的干涉：
每个原子都是散射子波的波源
3,面间散射光的干涉,ΦdCBAC s i n2
NaCl d =0,28nm
符合反射定律的散射光加强
（晶格常数）
散射光干涉加强条件：
kΦd s i n2
—— 布拉格公式三、应用已知?,?可测 d
已知?,d可测?
— X 射线晶体结构分析。
— X 射线光谱分析。
），，（?21?k
共同获得了 1915年的诺贝尔物理学奖。
布拉格父子 （ W.H.Bragg,W.L.Bragg ）
由于利用 X射线分析晶体结构的杰出工作，
威廉,亨利,布拉格（父） 威廉,劳伦斯,布拉格（子）
1862 — 1942 1890 — 1971
四、实际观察 X 射线衍射的作法
1、劳厄法：
使用?连续的 X射线照射晶体,
此法可定晶轴方向。
得到所有晶面族反射的主极大。 每个主极大对应一个亮斑
（劳厄斑）。
X射线准直缝 晶体
···
·
劳厄斑
d
),2,1(s i n2 kkΦd?
这样得到的衍射图叫 劳厄 (Laue)相。
SiO2 的劳厄相
2、粉末法,),2,1(s i n2 kkΦd?
用确定? 的 X射线入射到多晶粉末 。 大量无规晶面取向,总可使布拉格条件满足 。 这样得到的衍射图叫 德拜 (Dedye)相 。
此法可定晶格常数 。
粉末铝 的德拜相五,X 射线衍射与普通光栅衍射的区别
▲ X 射线衍射有一系列的布喇格条件 。
晶体内有许多晶面族,
3,2,1s i n2 ikΦd iii,
一维光栅只有一个干涉加强条件：
— 光栅方程 。
▲ 晶体在 都确定时,?、,ii Φd
iii kΦd s i n2 的关系 。布喇格公式一维光栅在?和入射方向角 i 确定后,
kid )s i n( s i n
衍射角?满足光栅方程。
对第 i个晶面族有：
入射方向和?一定时，
不一定能满足总能有
1、一个原理惠更斯 —— 菲涅耳原理
2、两种方法半波带法 振幅矢量法
3、三类问题单缝、圆孔衍射 —— 单纯衍射光栅 —— 衍射和干涉的综合
X光衍射 —— 空间光栅,总体是衍射，
具体处理是多光束干涉衍 射 小 结
（ 2）任何光学仪器都存在分辨率的问题
（ 1）无论孔、缝，衍射都出现光的扩展
Da,? 几何光学
22.1
1 DR透镜：
NkR
光栅：
（角）
（色）
4、四点结论
（ 3）光栅方程
kid )s i n( s i n
（ 4）乌利夫 — 布喇格公式
k = 0,1,2,· · ·
i,入射角?,衍射 角
kΦd s i n2
,掠射角
,,21?k
2005年秋季学期第 4章夫琅禾费圆孔、单缝衍射单、双、三、多缝的衍射一维光栅、正交光栅衍射
【 演示实验 】
陈信义编
§ 4.1 衍射现象、惠更斯 — 菲涅耳原理
§ 4.2 单缝的夫琅禾费衍射,半波带法
§ 4.3 光栅衍射
§ 4.4 光学仪器的分辨本领
§ 4.5 X射线的衍射目 录
§ 4.1 衍射现象,惠更斯 — 菲涅耳原理一、光的衍射 （ diffraction of light ）
*
S
衍射屏 观察屏
a
一般 a ≯ 10-3?
1、定义：
衍射屏 观察屏
L? L
而偏离直线传播的现象叫 光的衍射。
S
光在传播过程中能绕过障碍物的边缘孔的衍射 缝的衍射
2、分类
（ 1）菲涅耳 （ Fresnel） 衍射 (近场衍射）
（ 2）夫琅禾费 （ Fraunhofer） 衍射（远场衍射）
L 和 D中至少有一个是有限值。
L 和 D皆为无限大（可用透镜实现）。
光源障碍物 观察屏
S
P
DL
B
*
孔的投影 菲涅耳衍射 夫琅禾费衍射圆孔的衍射图象：
P1 P
2 P3 P4
S
L
B
【 演示 】 圆孔,单缝的夫琅禾费衍射刀片边缘的衍射 圆屏衍射各子波在空间某点的相干叠加，决定了该点波的强度。
二,惠更斯 — 菲涅耳原理波传到的任何一点都是子波的波源 。
SrKQapE d)()()(d
K(? )：
a(Q)取决于波前上 Q处的强度,K(? )称 方向因子 。
= 0,K=Kmax
K(? )?
90o,K = 0
·
p
dE(p)r
Q
dS
S(波前 )
设初相为零
n
·
1882年以后,基尔霍夫 （ Kirchhoff） 求解电
) 2c o s (d)()()(d rtSr KQapE
Srtr KQapE
S
d) 2c o s ()()()(
p 点波的强度 )(
20 pEI p?
)( c o s)(0 ptpE
惠更斯 — 菲涅耳原理有了波动理论的根据。
这使得磁波动方程，也得到了 E(p)的表示式，
菲涅耳积分。
由 菲涅耳积分计算观察屏上的强度分布,很复杂 。 常用 半波带法,振幅矢量法 。
§ 4.2 单缝的夫琅禾费衍射,半波带法一、装置和光路
s ina?
00,— 中央明纹（中心）
A→ p和 B→ p 的光程差为
：缝宽aAB?
S：单色线光源
,衍射角
p·
δ
S
ff?
a
透镜 L?
透镜 L
B
缝平面 观察屏
0
A
*
— p点明亮程度降低
pI
1′
2B
A
a
θ
半波带半波带
1
2′
两个半波带发的光,在 p 点干涉相消形成暗纹 。
/2
1
1′
2
2′
半波带半波带可将缝分为两个“半波带”
相消相消二、半波带法－计算观察屏上的强度分布当 时,s ina（ 1）
— 在 p 点形成明纹（中心）
/2
θ
a
B
A
其中两相邻半波带的衍射光相消，
余下一个半波带的衍射光不被抵消
a
/2
B
A
θ
相消,p 点形成暗纹。
（ 3） 当 时, 2s i n? a
缝分成四个半波带，
可将两相邻半波带的衍射光
23s i n?a
（ 2） 当 时,可将缝分成三个半波带,
— 暗纹
— 明纹中心
…,3,2,1s i n kka
…,3,2,1 2)1 2(s i n kka
0s i n a — 中央明纹中心中央明纹中心和暗纹位置是准确的,其余明纹中心的位置是近似的,与准确值稍有偏离 。
半波带法得到的一般结果：
（准确）
（准确）
（近似）
三,光强公式用 振幅矢量法 （见后）可导出单缝衍射的
2
0
s i n?
II
1、主极大（中央明纹中心）位置
00 处,1s i n
max0 III
， s i nπ a?
其中光强公式：
2、极小（暗纹）位置
）时，（当?3,2,1π kk?
由
πs i nπ ka
s i n ka
0s in 0 I
这正是缝宽可以分成偶数个半波带的情形。
此时应有
2
0
s i n?
II
3、次极大位置,满足 tg
0ddI
解得,…，，,π47.3π46.2π43.1
相应,…,47.3,46.2,43.1s i n a
0? 2?-?-2?
y y1 = tg?
y2 =?
-2.46?
·
-1.43?
·
+1.43?
· ·
+2.46?0
·
半波带法,…,50.3,50.2,50.1
sin?0.047 0.017
1 I / I0
0
相对光强曲线
0.0470.017
a
2?
a
a
a
2
4、光强：
从中央（光强 I0）往外各次极大的光强依次为 0.0472I0,0.0165I0,0.0083I0 …
I次极大 << I主极大
…，，,π47.346.2π43.1 π?将依次带入光强公式
,
2
0
s i n
II 得到单缝衍射图样
sin
【 演示 】 单缝衍射角宽度
a
2
0?
四,用振幅矢量法推导光强公式
N
ax
（ N 很大）
各窄带发的子波在 p点振幅近似相等,设为?E0，
透镜
f
p
x
x
xsin?
缝平面缝宽 a
A
B
C 0
观测屏相邻窄带发的子波到 p点的相位差为：
将缝等分成 N
个窄带,每个窄带宽为：
2s i n x
2s i n
N
a
在 p点,N个同方向,同频率,同振幅,
初相依次差恒量 的简谐振动合成,合成的结果仍为简谐振动 。
对于中心点：
E0 = N?E0
E0
…?E0
p点合振幅 Ep 是各子波振幅矢量和的模。
= 0, = 0
2s i n
N
a
对于其他点 p：
当 N时,N个相接
Ep < E0 。? ≠ 0，
Ep
E0
π2s i n
aNΦ
，
2
s i n2 ΦRE p ΦRE0
2
s i n
2
0 Φ
Φ
EE
p
R EP
E0
圆弧对应的圆心角为
的折线将变为一个 圆弧，
设
s i nπ
2?
aΦ
s i n
0E?
2002 EIEI p,
因此,光强为
2
0
s i n
II
2
s i n
2
0 Φ
Φ
EE
p
0I
中央明纹中心光强五,条纹的宽度
1、中央明纹宽度,两个第一级暗纹间的距离。
11s i n
角宽度
a
22
10
线宽度
10 tg2 fx
— 衍射反比定律
I0
x1
x2衍射屏 透镜观测屏
f
1
0
x?
0x?
12?f?
ax
0
af
2?
一般?角较小，有
2、其他明纹（次极大）宽度
02
1 x
a
fx
— 单缝衍射明纹宽度的特征在 s i ngt 时，
，
a
kffx
kk
s i n
3,波长对条纹间隔的影响
x — 波长越长，条纹间隔越宽。
有
4、缝宽变化对条纹的影响
a
fx
— 缝宽越小,条纹间隔越宽 。
只有中央明纹，屏幕一片亮。
I
0 sin?
时，且当 1~
a
a,21
几何光学是波动光学在 a >>?的极限情形。
只显出单一的明条纹? 单缝的几何光学像时，且当 0 aa?,0 x,0?k?
六、干涉和衍射的联系与区别求 雷达监视范围内公路的长度 L。
上无限多个子波的相干叠加。
干涉和衍射都是波的相干叠加,但 干涉是有限多个分立光束的相干叠加,衍射是波阵面
【 例 】
已知,一波长为?= 30mm的雷达在距离路边为雷达射束与公路成 15?角,天线宽度
a = 0.20m。
d =15m处，
如图示,ad
L
15
公路二者又常出现在同一现象中。
解,将雷达波束看成是单缝衍射的 0 级明纹由有如图
1s i na
,63.2315 1 °° °° 37.615 1
)c t g( c t g d L
a
1s i n
°63.8115.0
m2.0
mm30
m100)63.23c t g37.6( c t g15 00
d
L
15?a
公路
θ1
所以一、光栅 （ grating）
光栅 是由大量的等宽等间距的平行狭缝从广义上理解,任何具有空间周期性的衍射屏,都可叫作光栅 。
（或反射面）构成的光学元件。
§ 4.3 光栅衍射光栅是现代科技中常用的重要光学元件。
光通过光栅衍射可以产生 明亮尖锐 的亮纹，
复色光入射可产生 光谱,用以进行光谱分析。
1、光栅的概念
a? 透光 （ 或反光 ） 部分的宽度
3、光栅常数用电子束刻制可达数万条 /mm（ d?10-1?m） 。
反射光栅
d
透射光栅2、光栅的种类：
d
(空间周期性的表示 )
b? 不透光 （或不反光）部分的宽度普通光栅刻线为数十条 /mm — 数千条 /mm，
d = a+b
多光束干涉和单缝衍射联合作用的结果 。
0
p
焦距 f
缝平面 G 观察屏透镜 L
dsin?
d
各缝之间的干涉和每缝自身的夫琅禾费衍射，
决定了光通过光栅后的光强分布二,光通过光栅后的光强分布缝衍射光强极大值的位置,在屏上重叠 。
I
θ
θ
总强度的分布？
ad
f
透镜
1、各缝衍射光强度极大值位置重叠总强度的分布，是两束光的相干叠加。
以双缝为例观察屏
2
0
s i n?
II
s i nπ a?
缝衍射：
— 正入射光栅方程明纹（主极大）条件：
0
p
焦距 f
缝平面 G 观察屏透镜 L
dsin?
d
先不考虑衍射对光强的影响,只看多光束的干涉 。
2、多光束干涉 （ multiple-beam interference）
多光束干涉主极大的位置与缝的个数无关
kds i n
k = 0,1,2,…
p点为干涉主极大时：
0
p
焦距 f
缝平面 G 观察屏透镜 L
dsin?
d
设有 4个缝，
缝发的光在对应衍射角?方向的 p点的光振动的振幅为 Ep，
相邻缝发的光在 p点的相位差为。
每个
NEp
Ep
π,2 k k = 0,1,2,…
0 级亮纹中心,0
1 级亮纹中心,π2
0 级亮纹和 1级亮纹之间有暗纹吗？
条纹变窄,变亮 。
暗纹条件,各振幅矢量构成闭合多边形
2
d4s in
d2s in
2
3
d4
3s i n
0?/d-(?/d)-2(?/d) 2?/d
I
sin?
N = 4
ddd 4
3
24
0级 1级
相 邻 主极 大间 有 3
个 暗纹和 2个次极大
主极大位置不变
20
π2 kN
Nkk …,2,1
N个缝的暗纹,要求：
Ep
s i nd
Nkd s i n
Nkkk,0
相邻主极大间距：
Nds i n相邻暗纹间距：
相邻主极大间有 N－ 1个暗纹和 N－ 2个次极大闭合 π2s i n d而：
sin?
0 4-8 -4 8 (?/d)
N = 4 N2 I0单多缝干涉
N2I0单
sin?
0 4 8-4-8 (? /d )
光栅衍射光强曲线
3、光栅衍射 （ grating diffraction）
（ 1）多缝干涉主极大受单缝衍射的调制
sin?
0
I0单
-2 -1 1 2 (? /a)
单缝衍射
,2,1,0s i n kkd,
衍射暗纹位置：
,3,2,1 s i n kka,
从而出现缺级。
干涉明纹缺级级次：
kadk
干涉明纹位置：
k
k
a
d
,时,此时 在应该干涉加强的位置上没有衍射光到达，
（ 2） 缺级现象
,3,2,1,k
总能化成整数比,出现明纹缺级 。
a
d
sin?
I单
sin?
0
I0单
-2 -1 1 2 (? /a)
I N2I0单
0 4 8-4-8 (? /d )
干涉明纹（主极大）缺级的级次：
d = 4a例如：
,8,44 kk
a
dk
N = 4
缺级
4,光栅衍射的光强公式每个单缝在 p点（对应衍射角?）均有
,s i n0单EE p
s i n
π a?
·
Ep
Ap
R
No
R
相邻缝在 p点的相位差
s i nπ2 d
p点合振幅为
2
s i n2, NRA p 2s i n2
RE
p又
s i n
s i ns i n
2
s i n
2
s i n
0
N
E
N
EA pp
单
s i nπ2 d
22
0 s i n
s i ns i n
NII
p 单单0I
单缝中央主极大光强
单缝衍射因子2s in?
多光束干涉因子2
s i n
s i n
N
光栅衍射的光强：
s i nπ a?
sin?
0
I单I0单
-2 -1 1 2 (?/a)
单缝衍射光强曲线
I N2I0单
0 4 8-4-8
sin?
(?/d)
单缝衍射轮廓线光栅衍射光强曲线
sin?
N2 I0单 I0单 sin2N?/sin2?
0 4-8 -4 8 (?/d)
多光束干涉光强曲线
N = 4,d = 4a例如：
单缝衍射和多缝衍射干涉的对比 （ d =10a）
19个明条纹 缺级缺级单缝多缝
【 演示 】 单、双、三、多缝的衍射一维和正交光栅衍射三,斜入射光栅 相控阵雷达
1、光线斜入射时的光栅方程
λ
d sin?
光栅 观察屏L
o
p
f
i
d sin i
)s i n( s i n id
kid )s i n( s i n
角度符号规定,由法线转向光线，逆时针为正。
斜入射可获得更高级次条纹 （教材例 4.5）
> 0
i > 0
入射光衍射光法线光栅对于确定的 k,i变化，则? 也变化。
is ins in
π2s i nπ2s i n did
d π2s i n
改变,即可改变 0 级衍射光的方向。
2,相控阵雷达微波源移相器辐射单元
d
n?
靶目标一维阵列的相控阵雷达
（ 1） 扫描方式
相位控制扫描
频率控制扫描
（ 2） 回波接收相邻入射光 的相位差：
通过同样的天线阵列接收 。
有例如 0级衍射光 （ k = 0），
无机械惯性,可高速扫描 。
一次全程扫描仅需几微秒 。
由计算机控制可形成多种波束 。
能同时搜索,跟踪多个目标 。
不转动,天线孔径可做得很大 。
辐射功率强,作用距离远,分辨率高 …
（ 3）相控阵雷达的优点相控阵雷达除军事应用外,还可民用：
如地形测绘,气象监测,导航、
测速（反射波的多普勒频移）?
阵列宽 31m，有 1792个辐射单元，覆盖 240o视野。
能探测到 5500公里范围内的 10m2大小的物体。
用于搜索洲际导弹和跟踪人造卫星。
设在美国鳕角 （ Cape cod） 的相控阵雷达照片
§ 4.4 光学仪器的分辨本领 光栅光谱一,透镜的分辨本领
1、圆孔的夫琅禾费衍射圆孔孔径为 D
L衍射屏 观察屏中央亮斑
（ 爱里斑 ）
1
f
22.1s i n 1D
爱里斑
D?
爱里斑变小集中了约
84% 的衍射光能 。
（ Airy disk）
相对光强曲线
1.22(?/D)
sin?
1
I / I0
0
【 演示 】 圆孔衍射
2、透镜的分辩本领几何光学：
物 点? 象 点物 （物点集合）?象 （象点集合）
（ 经透镜 ）
波动光学,
物 点? 象 斑物 （物点集合）? 象 （象斑集合）
（ 经透镜 ）
衍射限制了透镜的分辨能力 。
两个光点刚可分辨 两个光点不可分辨瑞利判据对于两个等光强的非相干的物点，
一个象斑的中心恰好落在另一象斑的边缘可以分辨的。
（ Rayleigh criterion）：
如果
（第一暗纹处）,则此两物点被认为是刚刚若象斑再靠近就不能分辨了。
非相干叠加瑞利判据小孔（直径 D）对两个靠近的遥远的点光源的分辨离得太近不能分辨瑞利判据刚能分辨离得远可分辨
D
22.1
1
22.1
1 DR
R
D
I
D
*
*
S1
S2
0
最小分辨角 （ angle of minimum resolution）,
分辨本领 （ resolving power）：
不可选择,RD但望远镜：
▲ 世界上最大的 光学 望远镜：
建在了夏威夷山顶。
▲ 世界上最大的 射电 望远镜：
建在了波多黎各岛的地球表面仅 10?12W的功率，
D = 305 m
Arecibo,能探测射到整个也可探测引力波。
D = 8 m
显微镜,D不会很大,R但
▲ 在正常照明下,人眼瞳孔直径约为 3mm，
所以电子显微镜分辨本领很高，
的结构。
▲ 夜间观看汽车灯，远看是一个亮点，
移近才看出是两个灯。
逐渐
（见书 P177例 4.2）。
可分辨约 9m 远处的相距 2mm 的两个点对?= 0.55?m（ 5500A）的黄光, 1?，?
可观察物质电子,0.1A? 1A（ 10 -2?10 -1 nm）?
二、光栅光谱,光栅的色散本领、分辨本领
1、光栅光谱白光（ 350?770nm）的光栅光谱是连续谱：
0级 1级 2级-2级 -1级
(白 )
3级-3级
k 一定时,，
，，，,210s in kkd正入射：
主极大位置也不同，形成同一 级 光谱。
不同颜色光的汞的光栅光谱线色散本领
f — 光栅后的透镜焦距
* 2、光栅的色散本领把不同波长的光在谱线上 分开 的能力角色散本领
xD
l?
DfD l
D
色散本领：
波长的谱线，衍射角,位置 x+? x
波长为?的谱线,衍射角为?,位置为 x；设：
二者的关系定义：
，dki s i ns i n,
dk
c o s
c o s d
kD
c o s?
d
fkD
l
与光栅缝数 N 无关有和由减小 d 可增大色散本领,对级次 k更高的光谱，
色散本领还可进一步增大。 增大透镜的焦距 f
（通常可达数米）,还可以再增大 线 色散本领。
量未知波长时,
若在? 不大处观察光栅光谱,几乎不变，?cos
所以 D?和 Dl 差不多是常数,于是有和
x,此时的光谱称 匀排光谱 （棱镜光谱为非匀排光谱）。 根据拍好的匀排光谱谱片来测可采用 线性内插法。
c o s d
kD
c o s?
d
fkD
l
和由 可看出：
3,光栅的色分辨本领
（ resolving power of grating）
宽度的,
色散本领只反映谱线主极大中心分离的程度，
但不能说明谱线是否重叠,因为谱线本身是有为此引入色分辨本领。
设入射波长为?和? + 时，
光栅的色分辨本领
R定义：
两谱线刚能分辨。
下面分析 R 和哪些因素有关。
)(1 NdNkdk
d
ks in
的 k级主极大?+的 k级主极大
sin
得
R
k
N
)0(1 kNkNkR,
(N >>1)
按瑞利判据：
Nd
kNkk )(s i n 1 的暗纹，的对应 ）（
由图,有：
0/d-(/d)-2(/d) 2/d
I
sin?
N = 4
ddd 4
3
24
0级 1级
dd
Nd
Nk
4
)(3
)(
4
114
)(
1
s i n
例如：
:1,4 kN
设例如，对波长靠得很近的 Na双线：
1 =? = 589 nm
NkR 9 8 26.05 8 9
都可分辨出 Na双线
2 =? + = 589.6nm
若 k = 2，则 N = 491
若 k =3,则 N = 327
)0( kNkR,
光栅的色分辨本领：
1895年德国物理学家 伦琴 发现了 高速电子撞
§ 4.5 X 射线的衍射 （ diffraction of X-rays ）
一,X射线的产生击固体可产生 一种能使胶片感光,空气电离、
荧光质发光? 的中性射线,称为 X 射线。
- K A
X射线
X射线管 + K — 阴极,A— 阳极加速阴极发射的热电子
A? K间加几万伏高压，
X 射线管的结构如下：
威廉,伦琴
1845 — 1923
由于发现 X射线获 1901年（首届）
诺贝尔物理奖
Wilhelm C.R?ntgen
德国人
X射线准直缝 晶体
···
·
劳厄斑衍射图样证实了 X 射线的波动性。
劳厄 （ Laue） 实验 （ 1912）：
晶体相当于三维光栅
X射线?,10 -2? 101nm
（ 10 -1? 10 2?）
d
d?
d
dsin?
1
2晶面
A
C
B
二,X 射线在晶体上的衍射
1、衍射中心：
Φ,掠射角
d,晶面间距
2、同一层晶面上点间散射光的干涉：
每个原子都是散射子波的波源
3,面间散射光的干涉,ΦdCBAC s i n2
NaCl d =0,28nm
符合反射定律的散射光加强
（晶格常数）
散射光干涉加强条件：
kΦd s i n2
—— 布拉格公式三、应用已知?,?可测 d
已知?,d可测?
— X 射线晶体结构分析。
— X 射线光谱分析。
），，（?21?k
共同获得了 1915年的诺贝尔物理学奖。
布拉格父子 （ W.H.Bragg,W.L.Bragg ）
由于利用 X射线分析晶体结构的杰出工作，
威廉,亨利,布拉格（父） 威廉,劳伦斯,布拉格（子）
1862 — 1942 1890 — 1971
四、实际观察 X 射线衍射的作法
1、劳厄法：
使用?连续的 X射线照射晶体,
此法可定晶轴方向。
得到所有晶面族反射的主极大。 每个主极大对应一个亮斑
（劳厄斑）。
X射线准直缝 晶体
···
·
劳厄斑
d
),2,1(s i n2 kkΦd?
这样得到的衍射图叫 劳厄 (Laue)相。
SiO2 的劳厄相
2、粉末法,),2,1(s i n2 kkΦd?
用确定? 的 X射线入射到多晶粉末 。 大量无规晶面取向,总可使布拉格条件满足 。 这样得到的衍射图叫 德拜 (Dedye)相 。
此法可定晶格常数 。
粉末铝 的德拜相五,X 射线衍射与普通光栅衍射的区别
▲ X 射线衍射有一系列的布喇格条件 。
晶体内有许多晶面族,
3,2,1s i n2 ikΦd iii,
一维光栅只有一个干涉加强条件：
— 光栅方程 。
▲ 晶体在 都确定时,?、,ii Φd
iii kΦd s i n2 的关系 。布喇格公式一维光栅在?和入射方向角 i 确定后,
kid )s i n( s i n
衍射角?满足光栅方程。
对第 i个晶面族有：
入射方向和?一定时，
不一定能满足总能有
1、一个原理惠更斯 —— 菲涅耳原理
2、两种方法半波带法 振幅矢量法
3、三类问题单缝、圆孔衍射 —— 单纯衍射光栅 —— 衍射和干涉的综合
X光衍射 —— 空间光栅,总体是衍射，
具体处理是多光束干涉衍 射 小 结
（ 2）任何光学仪器都存在分辨率的问题
（ 1）无论孔、缝，衍射都出现光的扩展
Da,? 几何光学
22.1
1 DR透镜：
NkR
光栅：
（角）
（色）
4、四点结论
（ 3）光栅方程
kid )s i n( s i n
（ 4）乌利夫 — 布喇格公式
k = 0,1,2,· · ·
i,入射角?,衍射 角
kΦd s i n2
,掠射角
,,21?k
