1
2005年 秋季学期第 2章波动
Wave
陈信义编
2
§ 2.1 机械波的形成和特征
§ 2.2 行波 简谐波
§ 2.4 波动方程 波速 色散
§ 2.3 物体的弹性变形
§ 2.6 惠更斯原理
§ 2.5 波的能量
§ 2.7 波的叠加 驻波
△§ 2.8 声波 地震波 水波
§ 2.9 多普勒效应
§ 2.10 复波 群速度
△ § 2.11 孤子目 录 【 演 示 实 验 】
横波模型,纵波模型,细弹簧纵波,激光倍频,
马达激励弦驻波,
气体火焰驻波,
多普勒效应 （ 抡蜂鸣器 ）,超声喷泉
3
振动或扰动在空间以一定速度的传播称为波动,简称为波 (wave)。 机械振动或扰动在介质中的传播称为机械波,如声波,水波和地震波等 。
变化电场和变化磁场在空间的传播称为电磁波,
例如无线电波,光波和 X射线等 。
机械波只能在介质中传播,例如声波的传播要有空气作介质,水波的传播要有水作介质 。
但是,电磁波 （ 光 ） 的传播不需要介质,它可以在真空中传播 。
机械波和电磁波统称为经典波,它们代表的是某种实在的物理量的波动 。
4
虽然各类波的具体物理机制不同,但它们都具有 叠加性,都能发生 干涉 和 衍射 现象,也就是说它们所具有的波动的普遍性质 。
除了机械波和电磁波都能发生干涉和衍射现象外,实验中发现,电子,质子和中子这些微观粒子也能发生干涉和衍射 。 因此,微观粒子也具有波动性 。
简谐振动在空间的传播,称为简谐波,它是最简单的波 。 我们以机械波中的简谐波为例来介绍波动的普遍性质 。
5
§ 2.1 机械波的形成和特征一、机械波的形成
···· t = T/4·····················
· ···· t = T··
·······
· · ·········
t = 00 4 8 16 20···· ········12········ ···24··
t = T/2······· ··················
···· ··· · t = 3T/4
··
· ··············
6
弹性介质的质元受外界扰动而发生振动时,因质元之 间的弹性联系,会使振动传播开去,这就形成了波动 —机械波 （ mechanical wave）
波动是振动状态的传播，不是介质的传播。
机械波形成的条件
弹性介质波源
“上游,的质元依次带动,下游,的质元振动 。
某时刻某质元的振动状态将在较晚的时刻于
,下游,某处出现 。
7
二,波的几何描述波线 （ wave line）,
表示波的传播方向的射线 （波射线）
波面 （ wave surface）,
介质振动相位相同的点组成的面 （同相面）
波阵面 （ wave front）,
某时刻波到达的各点所构成的面 （波前）
球面波平面波波线波面
8
三,波的分类按波的性质机械波 （ mechanical wave ）
电磁波 （ electromagnetic wave ）?
纵波 （ longitudinal wave ）
按波线与振动方向关系横波 （ transverse wave ）
气体和液体中的声波是纵波,而固体中的声波既可以是纵波,也可以是横波 。
水表面的波既非横波又非纵波,水波中水质元作纵向,横向二维运动,即作圆运动 。
【 演示实验 】 横,纵波模型,细弹簧纵波
9
按波面形状平面波 （ plane wave ）
球面波 （ spherical wave ）
柱面波 （ cylindrical wave ）
按复杂程度 简谐波 （ simple harmonic wave ）复波 （ compound wave ）
按持续时间 连续波 （ continued wave ）脉冲波 （ pulsating wave ）
按是否传播 行波 （ travelling wave ）驻波 （ standing wave ）
10
1、波速 u,振动状态 （ 位相 ） 传播的速度 。
它 由介质的性质决定，与波源情况无关。
2、周期 （ period） T：
一个完整的波通过波线上的某点所需的时间。
它 由波源决定 （波源、观测者均不动时）
频率 （ frequency）
T
1
角频率 （ angular frequency） π2?
四、波的特征量 不是质元的振动速度！
11
3、波长 （ wave length）?
波线上相邻的振动状态相同的两质元间的距离。
它 由波源和介质共同决定
uT
波长表示波的 空间周期性
x
u
12
§ 2.2 行波 简谐波设? 为传播的物理量，它沿 x 轴传播，则某种物理量的扰动的传播称为行波。
)( u xxttfξ
x xx +Δx
t +Δt 时刻
ξ
x x
f t 时刻
t
xu
一、行波 （ travelling wave ）
tux
)( uxtf
)( uxtf
为沿 +x向传播的行波,u 为波速。
13
∴ 具有沿 +x向传播的性质 。
)( uxtf
同理,具有沿 -x向传播的性质 。
)( uxtf
u
xtftx ）（,?
行波的波函数：
即 ），（），（ txttxx
描述 行波传播时,物理量?随位置和时间的变化 。
14
co s),(?
u
xtAtxy?
二,简谐波 （ simple harmonic wave SHW）
如果传播的扰动是简谐振动,则这样的波称为 简谐波 （ 余弦波,单色波 ） 。
1、一维平面简谐波的波函数在 x = 0 处质元振动方程为 c o s),0(,tAty
则应有 波函数：
因无吸收，故振幅 A不变。
以机械波的横波为例,设平面波沿 x方向以速度 u 传播,介质均匀、无限大，无吸收。
15
波函数式中的
)( uxt,称为波的 位 相 。
波在某点的相位反映该点质元的“运动状态”。
所以，简谐波的传播也是介质振动位相的传播。
相速度 （ 相速 ）
设 t 时刻 x 处的位相经 dt 传到 （ x +dx） 处，
u
xxtt
u
xt dd ）（则应有
t
xu
d
d?于是得到即,简谐波的波速就是相速。
16
2、一维简谐波函数的另一种表示
co s),(?
u
xtAtxy?
Tu
π2?T
xtAtxy
π2 co s),(
0
t?
π2?t?
x
t?
沿波传播方向每增加?的距离，位相落后 2?。
说明,
因此,x点比 0点位相落后 。
x2
17
全反射壁(l- x)l
x
y0 = Acosωt
入射反射 S
0
【 例 】
反射波在 S处相位改变?。
如图示，已知,y0 = Acos? t,波长为?，
求：反射波函数 y?(x,t )
解,全反射,A不变。
ππ22c o s),( xltAtxy
ππ22π2c o s lxtA
波由 0经壁反射到 x 传播了距离 l + (l? x) = 2l?x，
相位落后了 (2l?x)/?,在壁处反射相位改变了?，
“+”表示沿? x 方向传播 取 +,?均可
18
3、波函数的意义
（ 1） t = t0,y? x 给出 t 时刻空间各点位移分布。
（ 2） x = x0,y? t 给出 x 点的振动函数。
T
y
t0
振动曲线 x = x0
xtAtxy
2co s),(
x
y
0
波动曲线 t = t
0
19
【 例 】
y
x0
已知一个向右传播的波在 x = 0点的振动解：
y
t-T T
A
0
A
-A
较 0点相位落后?/2
0 y
A
x=0点初相位为 －?/2
向 +y方向运动
t = 0
t > 0
试画出该波在曲线如图所示。
t = 0 时的波形曲线。
xtAy
2
2c os
2
2co s,
0
xAy
t
20
4、一维简谐波波函数的复数表示
表示单位距离内位相的变化定义波数 （ wave number）,2?k
) c o s ( kxtAy?
~ ) (-i kxtAey? -ii tkx eAe
振动因子空间因子
（复振幅）
复数表达式：
－,向右 ＋：
向左波函数：
)(t,x=0点的位相
【 例 】 自由粒子波函数,)(),( EtpxiAetx
21
△§ 2.3 物体的弹性变形着重搞清 线变、切变 和 体变 的概念，
以及与三种变化相应的材料的弹性模量。
（自学书第 2.3节）
22
§ 2.4 波动方程 波速 色散一、一维波动方程
u
xtfy
以任意一个沿 x正方向传播的行波为例
2
2
2
2
f
t
y,1
2
2
22
2
f
ux
y
比较可得
波动方程,描述经典波动过程的普遍方程 。
任何行波,包括平面简谐波,都是它的解 。
u
xt，设
01 2
2
22
2
t
y
ux
y u为波速
23
波动方程虽由行波波函数得到,但其解并不限于行波 。 任何物理量,无论是位移,还是电场或磁场,只要它与坐标,时间的函数关系是波动方程的解,那么该物理量的运动形式就一定是波动 。
波动：运动函数满足波动方程
01 2
2
22
2
t
y
ux
y
的运动。
24
,MRTu
气体中：
液体中：
,
Ku?
（体积模量）
VV
PK
—比热比二、波速体变
p
p
p
p
V+? V
25
固体中
,
Gu
t
SFG?
,
Eu
l? ll
SFE
（切变模量）
（杨氏模量）
tl uu?
书表 2.2：,地震波传播 ……
弹性绳上的横波：
l
Fu
l — 绳的线密度F — 绳的初始张力，
横波 F
切变
F
S
l? l
F F
线变纵波切应力切应变应力线应变
26
三、色散 （ dispersion ）
上面给出介质中的波速,只与介质的性质有关,而与波的性质无关 。
实际上,在有些介质中,波速除了与介质有关外,不同频率简谐波的波速也不同 。
能产生色散现象的介质称为 色散介质 。
不产生色散现象的介质称为 无色散介质 。
这种波速与波的频率 （ 波长 ） 有关的现象称为色散 。
27
1
0 0
可见光 X 光反常色散区玻璃对光的色散曲线
n玻璃 （ c/u）
对 X 光来说，玻璃的折射率 <1。
28
四,真空中电磁波的波动方程真空中麦克斯韦方程组
0 E?
t
BE
0 B?
t
EB
00
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
对方程 2两边取旋度，并应用方程 1,4，有
EEEE 22)()(
t
E
Bt 2
2
00)(?
02
2
00
2?
t
EE
29
0 E?
t
BE
0 B?
t
EB
00
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
对方程 4两边取旋度，并应用 2,3，有
BBBB 22)()(
t
B
E
t 2
2
0000 )(?
02
2
00
2?
t
BB
30
02
2
00
2?
t
EE
02
2
00
2?
t
BB
真空中电磁波的波动方程：
满足波动方程的量是场矢量。
31
§ 2.5 波的能量一、波的能量波在弹性介质中传播时,介质的质元由于振动而具有动能,因发生形变还具有弹性势能 。
介质质元能量是如何变化的？
能量传播的规律如何？
以弹性棒中的简谐横波为例来分析：
随着扰动的传播,质元的能量也向前传播 。
对于机械波来说,我们把波动引起的介质的能量,称为波的能量 。
32
y
x0
y
x
y =Acos?(t-x/u)
0
u
x x+?x
yyy
d
0
xSG
“质元” 形变势能 ΔWp,振动动能 ΔWk
yFW
y
d
0
p?
VG 221?
dd,xy?
切变模量
SFG /GSF?
x
F
F
yS
y?
y?
xy
33
uu
xtA
x
y
x
y 1)(s i n
d
d
)(s i n21 222p uxtAVW
2
k d
d)(
2
1?
t
yVW?
)(s i n21 222 uxtAV pW
∴
VxyGVGW
2
2
p 2
1
2
1?
V
x
yu?
22
2
1?
2uGGu
又
u
xtAy?c o s
34
∴ 质元总能量
kp WWW kp 22 WW
VuxtA )(s i n 222
波动质元,
.c o n s tpkpk WWWW,
每个质元都与周围媒质交换能量。
能量密度 （ energy density）：
)(s i n 222 uxtAVWw
22 A
平均能量密度,
22
0 2
1d1 Atw
T
w
T
振动系统：
.co n s tpkpk EEEE,
系统与外界无能量交换。
35
22
2
1 Aw
适用于各种弹性波。
能量的传播：
0 x
y
u
2
)(c o s uxtAy
)(s i n 222 uxtAw
A
w
u
22 A
传播能量“一堆一堆”地传播。w
0?y 处,； 处，m a xww? Ay? 0?w
36
二、能流密度 （ energy flux density）
→ 能流波的传播 → 能量传播能流密度 S —单位时间内通过垂直于波线波的强度 I S?
u 单位面积
x
u
w
uAuwI 22
2
1 22
2
1 Az
uz
— 介质,特性阻抗”
方向单位面积波的能量。
（ 平均能流密度 ）
37
利用 和能量守恒，可以证明，
22
2
1 AzI
对无吸收介质，有：
平面波,c o n s t?A
球面波
r
A 1?
柱面波
r
A 1?
r? 场点到波源的距离
38
三,波的吸收 （ absorption of wave）
波通过介质时，一部分能量要被介质吸收。
机械能 → 热运动能（不可逆）；
造成吸收的因素：
疏部、密部有温差，发生热交换，
非弹性碰撞使分子机械能机械能 → 热运动能 （不可逆）；
→ 分子内能 （不可逆）。
(1)内摩擦：
(2)热传导：
(3)分子碰撞：
39
定义 吸收系数
xA
A
d
d
对平面波：
x+dxx0
A0 A A+dA x
xeAA 0设? = const,则
xeII?2
0
2AI?∵
xAA dd x
A
A xA
A
dd
00
40
空气：
钢：
,2 1211 m102 气
, 17 m104 钢空气中低频波可传得很远频率很高时 （ 超声 ）
钢气
超声波探伤：
探测器钢件超声波
zH105 6若
2 5 0m106.4 m15.1 3
100 mm6.4
0
0
III?空气
1 0 0 m15.1
0
0
III?钢
频率
41
§ 2.6 惠更斯原理 （ Huygens principle）
前面讨论了波动的基本概念，
其 传播方向、
惠更斯原理给出的方法 （惠更斯作图法）
现在讨论 与波的传播特性有关的现象、原理和规律。
是一种处理 波传播方向 的普遍方法。
频率 和 振幅 都有可能改变。
由于某些原因,波在传播中，
42
发射子波 （次级波）的 波源 （点源），
就是波在该时刻的 新的 波面。
的任一时刻，
一、惠更斯原理（ 1690）
1、原理的叙述介质中任意波面上的各点,都可看作是其后这些 子波面的包络面（包迹）
2、原理的应用已知 t 时刻的波面?t+?t 时刻的波面，
从而可进一步给出波的传播方向。
43
t+?t时刻波面
··
··
·
u?t
波传播方向
t 时刻波面平面波
t +?t
球面波例如，均匀各向同性介质内波的传播：
u
··
··
·· ···
·
··
···t
44
二、波的衍射 （ wave diffraction）
衍射,波传播过程中，当遇到障碍物时，
能绕过障碍物边缘而偏离直线传播的现象。
·
入射波衍射波障碍物
·
·
·
入射波衍射波障碍物
a
障碍物的线度越大 衍射现象越不明显,障碍物的线度越小 衍射现象越明显。
相对于 波长 而言，
45
水波通过窄缝时的衍射
46
广播和电视哪个更容易收到?
更容易听到男的还是女的说话的声音？
障碍物
（声音强度相同的情况下）
47
三、波的反射和折射 （ reflection & refraction）
△ 1.波的反射 （书 P 74）
2.波的折射,用惠更斯作图法导出折射定律
u2?t
媒质 1,
折射率 n1
媒质 2、
折射率 n2
i
法线
B
入射波
A· ·
E ·C
u1
u1?t
·· FD
u2
折射波传播方向
r
rnin s i ns i n 21? —— 折射定律
iACtuBC s i n1
rACtuAD s i n2
2
1
s i n
s i n
u
u
r
i?,c o n s t
1
2
n
n
2
2
1
1 n
cu
n
cu,光波得到
48
光密介质?光疏介质时，折射角 r >入射角 i 。
全反射的一个重要应用是 光导纤维（光纤），
i
r
n1(大 )
n2(小 )
i = iC
r = 90?
n1(大 )
n2(小 )
1
2
Cs i n n
ni?
当入射 i >临界角 iC 时，将无折射光 — 全反射。
iC — 临界角它是现代光通信技术的重要器件。
49
光导纤维
50
光缆电缆图中的细光缆和粗电缆的通信容量相同我国电信的主干线可达 300公里。
也只有几十公里。
而且损耗小。
光纤通信容量大，
在不加中继站的情况下,光缆传输距离而同轴电缆只几公里,微波早已全部为光缆。
51
近 10年发展起来的 导管 X 光学 也应用了 全反射现象。 对 X 光来说，玻璃对真空的折射率 <1，
故 X 光从真空或空气射向玻璃时会发生全反射 。
X 光以大于临界角入射到内表面光滑的玻璃就可以沿着弯曲的导管传播。管内，
应用毛细的 X 管束可制成 X 光透镜。
聚焦提高光束功率密度 将发散光变为平行光
52
一、波的叠加原理 ( superposition principle)
§ 2.7 波的叠加 驻波若几列波同时在介质中传播,则它们各以原有的振幅,波长和频率沿原方向独立地传播,
彼此互不影响 （ 独立传播原理 ） ；
波的叠加原理是 干涉、衍射的基本依据。
在几列波相遇处,质元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和 （ 波的叠加原理 ） 。
1,叠加原理成立的条件：
波强度较小,波动方程是线性的 。
53
波强度过大时,介质形变与弹力的关系不再呈线性,波动方程非线性,叠加原理不成立 。
2,光学的非线性现象
E
B
c? c
EB?
入射到介质中的光波引起振动：
tEE?co s0?
”,BE
54
强光通过介质时,介质出现非线性,引起：
光学整流、倍频、混频 等效应弱光,E0<<原子内部电子受到的电场强度
（ ～ 1010V/m） 。
普通光源的光属弱光 (E0～ 103V/m)
强光,激光的 E0可超过 10 9 V/m
弱光通过介 质时,介 质的电极化强度与电场呈 线性关系,
EP )1(,
0 r
55
强光通过介质 会怎样？
2EEP
线性项 光学整流 倍频例如,红宝石激光器发出的 红光 通过石英晶体转变成 倍频紫外光 （ 1961年 ） 。
tEEtE 2c o s2121c o s 20200
tEtE 2200 c o sc o s
tEE?co s0?
56
放在两反射镜间的 YAG棒,在光泵激励下发射 1.06微米波长的红外激光 。 它通过按特定方向切割的碘酸锂晶体时,出射的除了 1.06微米的激光外,还有波长为 0.53微米 （ 为入射光波长的一半,即其频率的一倍 ） 的绿光 。
【 演示实验 】 激光倍频
57
相干条件,（ 1）频率相同；
（ 2）振动方向相同；
（ 3）相位差恒定。
两列波干涉的一般规律留在后面光的干涉中再去分析 。
这里只研究一种特殊的、常见的干涉现象
—驻波 （ standing wave）
波叠加时,在空间出现稳定的振动加强和减 弱的分布叫波的干涉 。
二、波的干涉现象
58
三、驻波就形成 驻波，
能够传播的波叫 行波 （ travelling wave）
1,驻波的形成和描述两列 相干的行波 沿相反方向传播而叠加时，
它是一种常见的重要干涉现象。
【 演示实验 】
弦驻波 （ 横驻波 ）
气体火焰驻波 （ 纵驻波 ）
59
驻波不传播,各点做简谐振动,振幅随位置不同而不同 。
设两列行波分别沿 x 轴的正向和反向传播，
）（ π2 c o s1 xtAy:x?
:x?
）（ π2 c o s2 xtAy
在 x = 0处两波的初相均为 0：
21 yyy
绝对值为振幅 振动
txA c o s2c o s2?
txAy co s2co s2?
驻波的波函数：
从波函数上看,为什么不传播？
60
2A
t = 0
y
0 x
0t = T/8 x
x
0t = T/2
0 xt = T/4
波节波腹
/4-? /4
x0
2A
-2A
振动范围
/2
xt = 3T/8
0
61
是一个线性的齐次方程,所以如果 y1和 y2是波动方程的解,那么它们的叠加 y1+y2也一定是方程的解 (波的叠加原理 )。 驻波是两列行波的叠加,而行波是波动方程的解,所以驻波也是波动方程的解 。
由于波动方程
01 2
2
22
2
t yux y
波动方程虽由行波波函数得到,但其解并不限于行波 。 任何物理量,无论是位移,还是电场或磁场,只要它与坐标,时间的函数关系是波动方程的解,那么该物理量的运动形式就一定是波动,它可以是行波,也可以是驻波 。
62
各处不等，出现了 波腹 （振幅最大处） 和 波节 。
测波节间距可得行波波长。相邻波节间距?/2，
（ 1） 振幅,
（ 2） 位相,不传播。 驻波是 分段的振动 。
两相邻波节间为一段，
2,驻波的特点同一段振动相位相同；
相邻段振动相位相反。
x
0 4? 2? 43?4
0 4? 2? 43?4
x
xAA 2c o s20?
63
波节 （ 波腹 ） 的两边,不发生能量交换 。
驻波相邻的波节和波腹之间的?/4区域,实际上构成一个独立的振动体系,它与外界不交换能量 。 能量只在?/4区域内流动 。
波节静止波幅附近无形变
4?
总能流密度为,0)( uwuw
但质元间仍有能量交换。
（ 3） 能量,
平均没有能量的传播，
64
能量由波节向波腹流动瞬时位移为 0，
能量由波腹向波节流动势能 → 动能动能最大。
势能为 0，
动能 → 势能
Ep?Ep?
Ek?
Ep?Ep?
Ek?
参考材料：“驻波能量流动特性”
65
3,的情形：
21 AA?
)2c o s (c o s2c o s2 1 xtAtxAy
设,
112 )( AAAA
严格的驻波 行波仍可叫“驻波”，不过波节处有振动。
4、驻波的界面情况
0
驻波
z2z1 x
uz — 特性阻抗
:21 zz?
界面上总是 波节
:21 zz?
界面上总是 波腹波疏?波密介质波密?波疏介质
66
波腹位相不变波疏介质波密介质
x
驻波入射波和反射波的波形波节驻波 位相突变?
波疏介质 波密介质
x
2
“半波损失,
half-wave loss
（ z小） （ z大）
（ z小）（ z大）
67
为什么会发生位相突变?？
0
透射波 y2
反射波 y1?
入射波 y1
z2z1 x
)c o s ( 111 xktAy入射波
) c o s ( 111 xktAy反射波
) c o s ( 222 xktAy
透射波适当选择时间零点，各波波函数为
68
（ 2）界面两侧应力相等（牛顿第三定律）
（ 1）界面两侧质元位移相同（接触）
[ y1+ y1?]x =0 = [ y2]x =0
0
2
0
11
xx S
F
S
F
S
F
0
2
2
0
11
1
xx x
yE
x
y
x
yE （纵波）
机械波垂直界面入射，有 界面关系：
将 y和 E=?u2代入界面关系，得：
69
反射波和入射波引起界面质点的振动同相 。
21
21
1
1
zz
zz
A
A
21
1
1
2 2
zz
z
A
A
1A? 1A
和 同号，
(波密?波疏介质 )：
21 zz?
若反射波和入射波引起界面质点的振动反相,
位相突变?。
1A? 1A
和 反号，
(波疏?波密介质 )：
21 zz?
若透射波和入射波引起界面质点的振动总是同相 。
2A 1A
和 总是同号，
70
平面驻波：提琴全息振型平面驻波
“鱼洗”之谜
【 演示实验 】 鱼洗 （ 六教 A区 500号 演示大厅 ）
71
四、简正模式 （ normal mode）
波在一定边界内传播时就会形成各种驻波。
如 两端固定的弦，
L
,3,2,12 nLn n?
n
L
n
2或
L
unu
n
n 2
l
F
u
—系统的 固有频率
F —弦中的张力
l —弦的线密度波速形成驻波必须满足以下条件：
72
基频
2
1?
n =1
二次谐频
n =2
22?
三次谐频
n =3
23?
每种可能的 稳定振动方式 称作系统的一个简正模式。 两端固定的弦：
3,2,1
2
n
Ln n
n
L
n
2
73
Ln=1,3…
L= n
4
n?
n=1,3…2
n?
L= n
三次谐频
n = 3
2
3 3?
3?
n = 3
三次谐频
23?
3?
边界情况不同，简正模式也不同：
L
n = 1
基频
4
1?1? 1?
2
1?
基频
n = 1
74
末端封闭的笛中的驻波 末端开放的笛中的驻波
【 演示 】 圆环简正模式 氢原子中电子驻波
75
一般地说,对于一个驻波体系存在无限多个本征频率和简正模式 。 在这一体系中形成的任何实际的振动,都可以看成是各种简正模式的线性叠加,其中每一种简正模式的位相和所占比例的大小,则由初始扰动的性质决定 。
当周期性驱动力的频率与驻波体系的某一简正频率相同时,就会使该频率驻波的振幅变得最大,这种现象也称为共振 。 利用共振方法可以测量空气中的声速 。
76
水槽插入两端开口玻璃管,音叉置于管上端,
音叉频率为?,管中空气柱长度 l通过水面高低调节 。 水面由管顶端下降到 l=a时,声强第一次达到最大 ;下降到 l=d+a和 l=2d+a时,声强第二,三次最大 。 声强出现极大,表示音叉频率与管内空气柱固有频率相同而发生共振 。
77
4
1?a?
2
1
4
1,da
1
4
12,da
2d u?,?du 2,?
11 sm3 3 0sm0 8 011 5 3.022 νdu
设?＝ 1080 Hz,d =15.3 cm，则空气中声速为
78
§ 2.8 声波 *地震波 *水波声压：
静波 ppp
（可正、可负）
（ sound pressure）
声压振幅, uAp?m
声强,
（ intensity of sound）
22
2
1 AuI
标准声强：
这个声强人能够勉强听到，称为闻阈。
对声波，要求清楚如下概念：
2120 W / m10I
= 1KHz
（ ）
，
79
声强级：
( B el )l o g
0I
IL? ( d B )l o g10
0I
I?
（ sound intensity level）
正常说话 ~60dB,噪声 >90dB,炮声 ~120dB。
每条曲线描绘的是相同响度下不同频率的声强级。
声响曲线听觉界限频率 Hz
dB
声强级
80
dB
Hz
声阈频率语音范围疼痛界限音乐范围听觉界限声强级声音范围
81
超声波,? > 20KHz的声波要求了解其应用：
加湿器（演示实验）
声致发光超声探伤声纳（海底地形）
超声焊接、切割、手术
B超
【 演示实验 】 超声喷泉
82声致发光（清华物理系 安宇）
83
由于波源和观察者的运动,而使观测的频率不同于波源频率的现象 。
§ 2.9 多普勒效应 (Doppler effect)
一、机械波的多普勒效应设运动在波源 S 和观测者 R的连线方向上，
以二者相向运动的方向为速度的正方向。
vS > 0 vR > 0
S R
（ 相对介质 ） （ 相对介质 ）
S? （ 波源频率 ） R? （ 观测频率 ）
【 演示实验 】 抡蜂鸣器
u
（ 波速 ）
84
vS = 0 vR u?
S
RR
R
vv?
uuu
S?
u?
vR > 0(R接近 S)，
SR
vR < 0(R远离 S)，
SR
（ 1） vS = 0,vR ≠ 0
单位时间内接收波的个数：
S
R
R
v
u
u
S ·· R·
85
vS
S·· ·
R
R
（ 2） vR = 0,vS ≠ 0?0
R
uTS
R
R
u?
SS )v( Tu
u
S
S
R v u
u
SSR )v( Tu
vS >0,
SR
vS <0,
SR
vSTS
·S
R
86水波的多普勒效应（波源向右运动）
87
S
S
R
R v
v
u
u
u
u
S
S
R
v
v?
u
u
SR
（ 3） vR ≠ 0,vS ≠ 0
当 vR =?vS时,无相对运动：
S
S
R
v
v?
u
uR?
速度 vR,vS 是相对介质而言,并以相向为正 。
S
S
R v u
u
S
R
R
v
u
uvS=0,vR≠0：
vS≠0,vR＝ 0：
88
【 例 】 一静止声源 S 频率?S= 300Hz,声速 u = 330m/s
,观察者 R 以速度 vR= 60m/s 向右运动,反射壁以 v=
100m/s 的速度 亦 向右运动 。
解：
R收到的声源发射波的频率：
s
R
R u
u v
反射壁收到的声源发射波的频率：
su
u v
求,R 测得的拍频?B =?
vv
RRS
*
u?
S
R收到的反射壁反射波的频率：
vv RR uu SR v
v
v?
u
u
u
u
89
拍频：
su v
vv2|| R
RRB?
Hz8.55?
3 0 01 0 03 3 0 601 0 02
则由拍频?反射壁速度 v= 100m/s 。
s= 300Hz,vR= 60m/s，如果已知
Hz8.55B
测出拍频
90
二、电磁波的多普勒效应
v (对 R)
S c R
S? R?
S
22
R c o sv
v
c
c
当 时，仍有
2
SR
— 横向多普勒效应电磁波不同于机械波，不需要介质。可以证明，只是光源和观察者的 相对速度 决定接收的频率。由相对论可导出：
v?
91
当光源和观察者的相对运动发生在二者连线上,即?＝ 0时
SR v
v
c
c
SR v
v
c
c
二者以速率 v互相接近：
二者互相远离：
多普勒红移（“大爆炸”宇宙论）
92
三、冲击波 （ shock wave）
uΔt
·S v
S
· · · ·
vSΔt
u?Sv 0R
时,—后发出的波面将超越先发出的波面，
形成 锥形波阵面－冲击波（激波）
Sv
s i n u
冲击波带
u
Sv
—— 马赫数对超音速飞机的最小飞行高度要有一定限制。
马赫锥
（ Mach number）
93
超音速的子弹在空气中形成的激波
（马赫数为 2 ）
94
作起始脉冲和截止脉冲。
高能带电粒子在介质中的速度超过光在介质中的速度时,将发生锥形的电磁波 —切连柯夫辐射。
可用来探测高能带电粒子。脉冲重叠,也可用来四、多普勒效应的应用：
测速（固、液、气）
卫星跟踪（书 P95? 96）
不易引起电磁激波 —切连柯夫辐射 (Cerenkov radiation)：
它发光持续时间短 （数量级 10 -10s），
95
警察用多普勒测速仪测速 超声多普勒效应测血流速
96
*§ 2.10 复波 群速度 （书 2.12节）
若干不同频率的简谐波叠加而成的合成波,
它是 非简谐波 。
一、复波例如，两个频率相近的简谐波合成的复波为波群,波包 或 信号 的传播速度 ug,称为 群速度 （ group velocity） 。
y
x
gu
波群 波群
97
二、群速度
ku g d
d群速度定义为：
对于无色散介质，相速为常数，
0ddu
uu g?
d
d uuu
g
因此，有在无色散介质中,群速度等于相速度 。
kuk 2,由,得
ku
相速度：
98
d
du色散越严重，即 越大,ug 和 u 相差越大。
色散引起波包扩散 。 色散严重?波包扩散?
消失,群速的概念将失去意义 。
只有在
d
du 较小的情况下,群速才意义,波包才稳定 。
在色散介质中,,复波的群速度不等于相速度
0ddu
uuuku g dddd
99
△ *§ 2.11 孤子 （ soliton） （自学书 2.13节）
在非线性介质中，相速度和振幅有关，
非线性效应可能使 波包被挤压,
起的 波包扩散 相抵消,形成形状不变的孤立波，
又称做 孤波,或 孤子 。
孤子在信号传播中有重要应用。
从而与色散引
2005年 秋季学期第 2章波动
Wave
陈信义编
2
§ 2.1 机械波的形成和特征
§ 2.2 行波 简谐波
§ 2.4 波动方程 波速 色散
§ 2.3 物体的弹性变形
§ 2.6 惠更斯原理
§ 2.5 波的能量
§ 2.7 波的叠加 驻波
△§ 2.8 声波 地震波 水波
§ 2.9 多普勒效应
§ 2.10 复波 群速度
△ § 2.11 孤子目 录 【 演 示 实 验 】
横波模型,纵波模型,细弹簧纵波,激光倍频,
马达激励弦驻波,
气体火焰驻波,
多普勒效应 （ 抡蜂鸣器 ）,超声喷泉
3
振动或扰动在空间以一定速度的传播称为波动,简称为波 (wave)。 机械振动或扰动在介质中的传播称为机械波,如声波,水波和地震波等 。
变化电场和变化磁场在空间的传播称为电磁波,
例如无线电波,光波和 X射线等 。
机械波只能在介质中传播,例如声波的传播要有空气作介质,水波的传播要有水作介质 。
但是,电磁波 （ 光 ） 的传播不需要介质,它可以在真空中传播 。
机械波和电磁波统称为经典波,它们代表的是某种实在的物理量的波动 。
4
虽然各类波的具体物理机制不同,但它们都具有 叠加性,都能发生 干涉 和 衍射 现象,也就是说它们所具有的波动的普遍性质 。
除了机械波和电磁波都能发生干涉和衍射现象外,实验中发现,电子,质子和中子这些微观粒子也能发生干涉和衍射 。 因此,微观粒子也具有波动性 。
简谐振动在空间的传播,称为简谐波,它是最简单的波 。 我们以机械波中的简谐波为例来介绍波动的普遍性质 。
5
§ 2.1 机械波的形成和特征一、机械波的形成
···· t = T/4·····················
· ···· t = T··
·······
· · ·········
t = 00 4 8 16 20···· ········12········ ···24··
t = T/2······· ··················
···· ··· · t = 3T/4
··
· ··············
6
弹性介质的质元受外界扰动而发生振动时,因质元之 间的弹性联系,会使振动传播开去,这就形成了波动 —机械波 （ mechanical wave）
波动是振动状态的传播，不是介质的传播。
机械波形成的条件
弹性介质波源
“上游,的质元依次带动,下游,的质元振动 。
某时刻某质元的振动状态将在较晚的时刻于
,下游,某处出现 。
7
二,波的几何描述波线 （ wave line）,
表示波的传播方向的射线 （波射线）
波面 （ wave surface）,
介质振动相位相同的点组成的面 （同相面）
波阵面 （ wave front）,
某时刻波到达的各点所构成的面 （波前）
球面波平面波波线波面
8
三,波的分类按波的性质机械波 （ mechanical wave ）
电磁波 （ electromagnetic wave ）?
纵波 （ longitudinal wave ）
按波线与振动方向关系横波 （ transverse wave ）
气体和液体中的声波是纵波,而固体中的声波既可以是纵波,也可以是横波 。
水表面的波既非横波又非纵波,水波中水质元作纵向,横向二维运动,即作圆运动 。
【 演示实验 】 横,纵波模型,细弹簧纵波
9
按波面形状平面波 （ plane wave ）
球面波 （ spherical wave ）
柱面波 （ cylindrical wave ）
按复杂程度 简谐波 （ simple harmonic wave ）复波 （ compound wave ）
按持续时间 连续波 （ continued wave ）脉冲波 （ pulsating wave ）
按是否传播 行波 （ travelling wave ）驻波 （ standing wave ）
10
1、波速 u,振动状态 （ 位相 ） 传播的速度 。
它 由介质的性质决定，与波源情况无关。
2、周期 （ period） T：
一个完整的波通过波线上的某点所需的时间。
它 由波源决定 （波源、观测者均不动时）
频率 （ frequency）
T
1
角频率 （ angular frequency） π2?
四、波的特征量 不是质元的振动速度！
11
3、波长 （ wave length）?
波线上相邻的振动状态相同的两质元间的距离。
它 由波源和介质共同决定
uT
波长表示波的 空间周期性
x
u
12
§ 2.2 行波 简谐波设? 为传播的物理量，它沿 x 轴传播，则某种物理量的扰动的传播称为行波。
)( u xxttfξ
x xx +Δx
t +Δt 时刻
ξ
x x
f t 时刻
t
xu
一、行波 （ travelling wave ）
tux
)( uxtf
)( uxtf
为沿 +x向传播的行波,u 为波速。
13
∴ 具有沿 +x向传播的性质 。
)( uxtf
同理,具有沿 -x向传播的性质 。
)( uxtf
u
xtftx ）（,?
行波的波函数：
即 ），（），（ txttxx
描述 行波传播时,物理量?随位置和时间的变化 。
14
co s),(?
u
xtAtxy?
二,简谐波 （ simple harmonic wave SHW）
如果传播的扰动是简谐振动,则这样的波称为 简谐波 （ 余弦波,单色波 ） 。
1、一维平面简谐波的波函数在 x = 0 处质元振动方程为 c o s),0(,tAty
则应有 波函数：
因无吸收，故振幅 A不变。
以机械波的横波为例,设平面波沿 x方向以速度 u 传播,介质均匀、无限大，无吸收。
15
波函数式中的
)( uxt,称为波的 位 相 。
波在某点的相位反映该点质元的“运动状态”。
所以，简谐波的传播也是介质振动位相的传播。
相速度 （ 相速 ）
设 t 时刻 x 处的位相经 dt 传到 （ x +dx） 处，
u
xxtt
u
xt dd ）（则应有
t
xu
d
d?于是得到即,简谐波的波速就是相速。
16
2、一维简谐波函数的另一种表示
co s),(?
u
xtAtxy?
Tu
π2?T
xtAtxy
π2 co s),(
0
t?
π2?t?
x
t?
沿波传播方向每增加?的距离，位相落后 2?。
说明,
因此,x点比 0点位相落后 。
x2
17
全反射壁(l- x)l
x
y0 = Acosωt
入射反射 S
0
【 例 】
反射波在 S处相位改变?。
如图示，已知,y0 = Acos? t,波长为?，
求：反射波函数 y?(x,t )
解,全反射,A不变。
ππ22c o s),( xltAtxy
ππ22π2c o s lxtA
波由 0经壁反射到 x 传播了距离 l + (l? x) = 2l?x，
相位落后了 (2l?x)/?,在壁处反射相位改变了?，
“+”表示沿? x 方向传播 取 +,?均可
18
3、波函数的意义
（ 1） t = t0,y? x 给出 t 时刻空间各点位移分布。
（ 2） x = x0,y? t 给出 x 点的振动函数。
T
y
t0
振动曲线 x = x0
xtAtxy
2co s),(
x
y
0
波动曲线 t = t
0
19
【 例 】
y
x0
已知一个向右传播的波在 x = 0点的振动解：
y
t-T T
A
0
A
-A
较 0点相位落后?/2
0 y
A
x=0点初相位为 －?/2
向 +y方向运动
t = 0
t > 0
试画出该波在曲线如图所示。
t = 0 时的波形曲线。
xtAy
2
2c os
2
2co s,
0
xAy
t
20
4、一维简谐波波函数的复数表示
表示单位距离内位相的变化定义波数 （ wave number）,2?k
) c o s ( kxtAy?
~ ) (-i kxtAey? -ii tkx eAe
振动因子空间因子
（复振幅）
复数表达式：
－,向右 ＋：
向左波函数：
)(t,x=0点的位相
【 例 】 自由粒子波函数,)(),( EtpxiAetx
21
△§ 2.3 物体的弹性变形着重搞清 线变、切变 和 体变 的概念，
以及与三种变化相应的材料的弹性模量。
（自学书第 2.3节）
22
§ 2.4 波动方程 波速 色散一、一维波动方程
u
xtfy
以任意一个沿 x正方向传播的行波为例
2
2
2
2
f
t
y,1
2
2
22
2
f
ux
y
比较可得
波动方程,描述经典波动过程的普遍方程 。
任何行波,包括平面简谐波,都是它的解 。
u
xt，设
01 2
2
22
2
t
y
ux
y u为波速
23
波动方程虽由行波波函数得到,但其解并不限于行波 。 任何物理量,无论是位移,还是电场或磁场,只要它与坐标,时间的函数关系是波动方程的解,那么该物理量的运动形式就一定是波动 。
波动：运动函数满足波动方程
01 2
2
22
2
t
y
ux
y
的运动。
24
,MRTu
气体中：
液体中：
,
Ku?
（体积模量）
VV
PK
—比热比二、波速体变
p
p
p
p
V+? V
25
固体中
,
Gu
t
SFG?
,
Eu
l? ll
SFE
（切变模量）
（杨氏模量）
tl uu?
书表 2.2：,地震波传播 ……
弹性绳上的横波：
l
Fu
l — 绳的线密度F — 绳的初始张力，
横波 F
切变
F
S
l? l
F F
线变纵波切应力切应变应力线应变
26
三、色散 （ dispersion ）
上面给出介质中的波速,只与介质的性质有关,而与波的性质无关 。
实际上,在有些介质中,波速除了与介质有关外,不同频率简谐波的波速也不同 。
能产生色散现象的介质称为 色散介质 。
不产生色散现象的介质称为 无色散介质 。
这种波速与波的频率 （ 波长 ） 有关的现象称为色散 。
27
1
0 0
可见光 X 光反常色散区玻璃对光的色散曲线
n玻璃 （ c/u）
对 X 光来说，玻璃的折射率 <1。
28
四,真空中电磁波的波动方程真空中麦克斯韦方程组
0 E?
t
BE
0 B?
t
EB
00
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
对方程 2两边取旋度，并应用方程 1,4，有
EEEE 22)()(
t
E
Bt 2
2
00)(?
02
2
00
2?
t
EE
29
0 E?
t
BE
0 B?
t
EB
00
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
对方程 4两边取旋度，并应用 2,3，有
BBBB 22)()(
t
B
E
t 2
2
0000 )(?
02
2
00
2?
t
BB
30
02
2
00
2?
t
EE
02
2
00
2?
t
BB
真空中电磁波的波动方程：
满足波动方程的量是场矢量。
31
§ 2.5 波的能量一、波的能量波在弹性介质中传播时,介质的质元由于振动而具有动能,因发生形变还具有弹性势能 。
介质质元能量是如何变化的？
能量传播的规律如何？
以弹性棒中的简谐横波为例来分析：
随着扰动的传播,质元的能量也向前传播 。
对于机械波来说,我们把波动引起的介质的能量,称为波的能量 。
32
y
x0
y
x
y =Acos?(t-x/u)
0
u
x x+?x
yyy
d
0
xSG
“质元” 形变势能 ΔWp,振动动能 ΔWk
yFW
y
d
0
p?
VG 221?
dd,xy?
切变模量
SFG /GSF?
x
F
F
yS
y?
y?
xy
33
uu
xtA
x
y
x
y 1)(s i n
d
d
)(s i n21 222p uxtAVW
2
k d
d)(
2
1?
t
yVW?
)(s i n21 222 uxtAV pW
∴
VxyGVGW
2
2
p 2
1
2
1?
V
x
yu?
22
2
1?
2uGGu
又
u
xtAy?c o s
34
∴ 质元总能量
kp WWW kp 22 WW
VuxtA )(s i n 222
波动质元,
.c o n s tpkpk WWWW,
每个质元都与周围媒质交换能量。
能量密度 （ energy density）：
)(s i n 222 uxtAVWw
22 A
平均能量密度,
22
0 2
1d1 Atw
T
w
T
振动系统：
.co n s tpkpk EEEE,
系统与外界无能量交换。
35
22
2
1 Aw
适用于各种弹性波。
能量的传播：
0 x
y
u
2
)(c o s uxtAy
)(s i n 222 uxtAw
A
w
u
22 A
传播能量“一堆一堆”地传播。w
0?y 处,； 处，m a xww? Ay? 0?w
36
二、能流密度 （ energy flux density）
→ 能流波的传播 → 能量传播能流密度 S —单位时间内通过垂直于波线波的强度 I S?
u 单位面积
x
u
w
uAuwI 22
2
1 22
2
1 Az
uz
— 介质,特性阻抗”
方向单位面积波的能量。
（ 平均能流密度 ）
37
利用 和能量守恒，可以证明，
22
2
1 AzI
对无吸收介质，有：
平面波,c o n s t?A
球面波
r
A 1?
柱面波
r
A 1?
r? 场点到波源的距离
38
三,波的吸收 （ absorption of wave）
波通过介质时，一部分能量要被介质吸收。
机械能 → 热运动能（不可逆）；
造成吸收的因素：
疏部、密部有温差，发生热交换，
非弹性碰撞使分子机械能机械能 → 热运动能 （不可逆）；
→ 分子内能 （不可逆）。
(1)内摩擦：
(2)热传导：
(3)分子碰撞：
39
定义 吸收系数
xA
A
d
d
对平面波：
x+dxx0
A0 A A+dA x
xeAA 0设? = const,则
xeII?2
0
2AI?∵
xAA dd x
A
A xA
A
dd
00
40
空气：
钢：
,2 1211 m102 气
, 17 m104 钢空气中低频波可传得很远频率很高时 （ 超声 ）
钢气
超声波探伤：
探测器钢件超声波
zH105 6若
2 5 0m106.4 m15.1 3
100 mm6.4
0
0
III?空气
1 0 0 m15.1
0
0
III?钢
频率
41
§ 2.6 惠更斯原理 （ Huygens principle）
前面讨论了波动的基本概念，
其 传播方向、
惠更斯原理给出的方法 （惠更斯作图法）
现在讨论 与波的传播特性有关的现象、原理和规律。
是一种处理 波传播方向 的普遍方法。
频率 和 振幅 都有可能改变。
由于某些原因,波在传播中，
42
发射子波 （次级波）的 波源 （点源），
就是波在该时刻的 新的 波面。
的任一时刻，
一、惠更斯原理（ 1690）
1、原理的叙述介质中任意波面上的各点,都可看作是其后这些 子波面的包络面（包迹）
2、原理的应用已知 t 时刻的波面?t+?t 时刻的波面，
从而可进一步给出波的传播方向。
43
t+?t时刻波面
··
··
·
u?t
波传播方向
t 时刻波面平面波
t +?t
球面波例如，均匀各向同性介质内波的传播：
u
··
··
·· ···
·
··
···t
44
二、波的衍射 （ wave diffraction）
衍射,波传播过程中，当遇到障碍物时，
能绕过障碍物边缘而偏离直线传播的现象。
·
入射波衍射波障碍物
·
·
·
入射波衍射波障碍物
a
障碍物的线度越大 衍射现象越不明显,障碍物的线度越小 衍射现象越明显。
相对于 波长 而言，
45
水波通过窄缝时的衍射
46
广播和电视哪个更容易收到?
更容易听到男的还是女的说话的声音？
障碍物
（声音强度相同的情况下）
47
三、波的反射和折射 （ reflection & refraction）
△ 1.波的反射 （书 P 74）
2.波的折射,用惠更斯作图法导出折射定律
u2?t
媒质 1,
折射率 n1
媒质 2、
折射率 n2
i
法线
B
入射波
A· ·
E ·C
u1
u1?t
·· FD
u2
折射波传播方向
r
rnin s i ns i n 21? —— 折射定律
iACtuBC s i n1
rACtuAD s i n2
2
1
s i n
s i n
u
u
r
i?,c o n s t
1
2
n
n
2
2
1
1 n
cu
n
cu,光波得到
48
光密介质?光疏介质时，折射角 r >入射角 i 。
全反射的一个重要应用是 光导纤维（光纤），
i
r
n1(大 )
n2(小 )
i = iC
r = 90?
n1(大 )
n2(小 )
1
2
Cs i n n
ni?
当入射 i >临界角 iC 时，将无折射光 — 全反射。
iC — 临界角它是现代光通信技术的重要器件。
49
光导纤维
50
光缆电缆图中的细光缆和粗电缆的通信容量相同我国电信的主干线可达 300公里。
也只有几十公里。
而且损耗小。
光纤通信容量大，
在不加中继站的情况下,光缆传输距离而同轴电缆只几公里,微波早已全部为光缆。
51
近 10年发展起来的 导管 X 光学 也应用了 全反射现象。 对 X 光来说，玻璃对真空的折射率 <1，
故 X 光从真空或空气射向玻璃时会发生全反射 。
X 光以大于临界角入射到内表面光滑的玻璃就可以沿着弯曲的导管传播。管内，
应用毛细的 X 管束可制成 X 光透镜。
聚焦提高光束功率密度 将发散光变为平行光
52
一、波的叠加原理 ( superposition principle)
§ 2.7 波的叠加 驻波若几列波同时在介质中传播,则它们各以原有的振幅,波长和频率沿原方向独立地传播,
彼此互不影响 （ 独立传播原理 ） ；
波的叠加原理是 干涉、衍射的基本依据。
在几列波相遇处,质元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和 （ 波的叠加原理 ） 。
1,叠加原理成立的条件：
波强度较小,波动方程是线性的 。
53
波强度过大时,介质形变与弹力的关系不再呈线性,波动方程非线性,叠加原理不成立 。
2,光学的非线性现象
E
B
c? c
EB?
入射到介质中的光波引起振动：
tEE?co s0?
”,BE
54
强光通过介质时,介质出现非线性,引起：
光学整流、倍频、混频 等效应弱光,E0<<原子内部电子受到的电场强度
（ ～ 1010V/m） 。
普通光源的光属弱光 (E0～ 103V/m)
强光,激光的 E0可超过 10 9 V/m
弱光通过介 质时,介 质的电极化强度与电场呈 线性关系,
EP )1(,
0 r
55
强光通过介质 会怎样？
2EEP
线性项 光学整流 倍频例如,红宝石激光器发出的 红光 通过石英晶体转变成 倍频紫外光 （ 1961年 ） 。
tEEtE 2c o s2121c o s 20200
tEtE 2200 c o sc o s
tEE?co s0?
56
放在两反射镜间的 YAG棒,在光泵激励下发射 1.06微米波长的红外激光 。 它通过按特定方向切割的碘酸锂晶体时,出射的除了 1.06微米的激光外,还有波长为 0.53微米 （ 为入射光波长的一半,即其频率的一倍 ） 的绿光 。
【 演示实验 】 激光倍频
57
相干条件,（ 1）频率相同；
（ 2）振动方向相同；
（ 3）相位差恒定。
两列波干涉的一般规律留在后面光的干涉中再去分析 。
这里只研究一种特殊的、常见的干涉现象
—驻波 （ standing wave）
波叠加时,在空间出现稳定的振动加强和减 弱的分布叫波的干涉 。
二、波的干涉现象
58
三、驻波就形成 驻波，
能够传播的波叫 行波 （ travelling wave）
1,驻波的形成和描述两列 相干的行波 沿相反方向传播而叠加时，
它是一种常见的重要干涉现象。
【 演示实验 】
弦驻波 （ 横驻波 ）
气体火焰驻波 （ 纵驻波 ）
59
驻波不传播,各点做简谐振动,振幅随位置不同而不同 。
设两列行波分别沿 x 轴的正向和反向传播，
）（ π2 c o s1 xtAy:x?
:x?
）（ π2 c o s2 xtAy
在 x = 0处两波的初相均为 0：
21 yyy
绝对值为振幅 振动
txA c o s2c o s2?
txAy co s2co s2?
驻波的波函数：
从波函数上看,为什么不传播？
60
2A
t = 0
y
0 x
0t = T/8 x
x
0t = T/2
0 xt = T/4
波节波腹
/4-? /4
x0
2A
-2A
振动范围
/2
xt = 3T/8
0
61
是一个线性的齐次方程,所以如果 y1和 y2是波动方程的解,那么它们的叠加 y1+y2也一定是方程的解 (波的叠加原理 )。 驻波是两列行波的叠加,而行波是波动方程的解,所以驻波也是波动方程的解 。
由于波动方程
01 2
2
22
2
t yux y
波动方程虽由行波波函数得到,但其解并不限于行波 。 任何物理量,无论是位移,还是电场或磁场,只要它与坐标,时间的函数关系是波动方程的解,那么该物理量的运动形式就一定是波动,它可以是行波,也可以是驻波 。
62
各处不等，出现了 波腹 （振幅最大处） 和 波节 。
测波节间距可得行波波长。相邻波节间距?/2，
（ 1） 振幅,
（ 2） 位相,不传播。 驻波是 分段的振动 。
两相邻波节间为一段，
2,驻波的特点同一段振动相位相同；
相邻段振动相位相反。
x
0 4? 2? 43?4
0 4? 2? 43?4
x
xAA 2c o s20?
63
波节 （ 波腹 ） 的两边,不发生能量交换 。
驻波相邻的波节和波腹之间的?/4区域,实际上构成一个独立的振动体系,它与外界不交换能量 。 能量只在?/4区域内流动 。
波节静止波幅附近无形变
4?
总能流密度为,0)( uwuw
但质元间仍有能量交换。
（ 3） 能量,
平均没有能量的传播，
64
能量由波节向波腹流动瞬时位移为 0，
能量由波腹向波节流动势能 → 动能动能最大。
势能为 0，
动能 → 势能
Ep?Ep?
Ek?
Ep?Ep?
Ek?
参考材料：“驻波能量流动特性”
65
3,的情形：
21 AA?
)2c o s (c o s2c o s2 1 xtAtxAy
设,
112 )( AAAA
严格的驻波 行波仍可叫“驻波”，不过波节处有振动。
4、驻波的界面情况
0
驻波
z2z1 x
uz — 特性阻抗
:21 zz?
界面上总是 波节
:21 zz?
界面上总是 波腹波疏?波密介质波密?波疏介质
66
波腹位相不变波疏介质波密介质
x
驻波入射波和反射波的波形波节驻波 位相突变?
波疏介质 波密介质
x
2
“半波损失,
half-wave loss
（ z小） （ z大）
（ z小）（ z大）
67
为什么会发生位相突变?？
0
透射波 y2
反射波 y1?
入射波 y1
z2z1 x
)c o s ( 111 xktAy入射波
) c o s ( 111 xktAy反射波
) c o s ( 222 xktAy
透射波适当选择时间零点，各波波函数为
68
（ 2）界面两侧应力相等（牛顿第三定律）
（ 1）界面两侧质元位移相同（接触）
[ y1+ y1?]x =0 = [ y2]x =0
0
2
0
11
xx S
F
S
F
S
F
0
2
2
0
11
1
xx x
yE
x
y
x
yE （纵波）
机械波垂直界面入射，有 界面关系：
将 y和 E=?u2代入界面关系，得：
69
反射波和入射波引起界面质点的振动同相 。
21
21
1
1
zz
zz
A
A
21
1
1
2 2
zz
z
A
A
1A? 1A
和 同号，
(波密?波疏介质 )：
21 zz?
若反射波和入射波引起界面质点的振动反相,
位相突变?。
1A? 1A
和 反号，
(波疏?波密介质 )：
21 zz?
若透射波和入射波引起界面质点的振动总是同相 。
2A 1A
和 总是同号，
70
平面驻波：提琴全息振型平面驻波
“鱼洗”之谜
【 演示实验 】 鱼洗 （ 六教 A区 500号 演示大厅 ）
71
四、简正模式 （ normal mode）
波在一定边界内传播时就会形成各种驻波。
如 两端固定的弦，
L
,3,2,12 nLn n?
n
L
n
2或
L
unu
n
n 2
l
F
u
—系统的 固有频率
F —弦中的张力
l —弦的线密度波速形成驻波必须满足以下条件：
72
基频
2
1?
n =1
二次谐频
n =2
22?
三次谐频
n =3
23?
每种可能的 稳定振动方式 称作系统的一个简正模式。 两端固定的弦：
3,2,1
2
n
Ln n
n
L
n
2
73
Ln=1,3…
L= n
4
n?
n=1,3…2
n?
L= n
三次谐频
n = 3
2
3 3?
3?
n = 3
三次谐频
23?
3?
边界情况不同，简正模式也不同：
L
n = 1
基频
4
1?1? 1?
2
1?
基频
n = 1
74
末端封闭的笛中的驻波 末端开放的笛中的驻波
【 演示 】 圆环简正模式 氢原子中电子驻波
75
一般地说,对于一个驻波体系存在无限多个本征频率和简正模式 。 在这一体系中形成的任何实际的振动,都可以看成是各种简正模式的线性叠加,其中每一种简正模式的位相和所占比例的大小,则由初始扰动的性质决定 。
当周期性驱动力的频率与驻波体系的某一简正频率相同时,就会使该频率驻波的振幅变得最大,这种现象也称为共振 。 利用共振方法可以测量空气中的声速 。
76
水槽插入两端开口玻璃管,音叉置于管上端,
音叉频率为?,管中空气柱长度 l通过水面高低调节 。 水面由管顶端下降到 l=a时,声强第一次达到最大 ;下降到 l=d+a和 l=2d+a时,声强第二,三次最大 。 声强出现极大,表示音叉频率与管内空气柱固有频率相同而发生共振 。
77
4
1?a?
2
1
4
1,da
1
4
12,da
2d u?,?du 2,?
11 sm3 3 0sm0 8 011 5 3.022 νdu
设?＝ 1080 Hz,d =15.3 cm，则空气中声速为
78
§ 2.8 声波 *地震波 *水波声压：
静波 ppp
（可正、可负）
（ sound pressure）
声压振幅, uAp?m
声强,
（ intensity of sound）
22
2
1 AuI
标准声强：
这个声强人能够勉强听到，称为闻阈。
对声波，要求清楚如下概念：
2120 W / m10I
= 1KHz
（ ）
，
79
声强级：
( B el )l o g
0I
IL? ( d B )l o g10
0I
I?
（ sound intensity level）
正常说话 ~60dB,噪声 >90dB,炮声 ~120dB。
每条曲线描绘的是相同响度下不同频率的声强级。
声响曲线听觉界限频率 Hz
dB
声强级
80
dB
Hz
声阈频率语音范围疼痛界限音乐范围听觉界限声强级声音范围
81
超声波,? > 20KHz的声波要求了解其应用：
加湿器（演示实验）
声致发光超声探伤声纳（海底地形）
超声焊接、切割、手术
B超
【 演示实验 】 超声喷泉
82声致发光（清华物理系 安宇）
83
由于波源和观察者的运动,而使观测的频率不同于波源频率的现象 。
§ 2.9 多普勒效应 (Doppler effect)
一、机械波的多普勒效应设运动在波源 S 和观测者 R的连线方向上，
以二者相向运动的方向为速度的正方向。
vS > 0 vR > 0
S R
（ 相对介质 ） （ 相对介质 ）
S? （ 波源频率 ） R? （ 观测频率 ）
【 演示实验 】 抡蜂鸣器
u
（ 波速 ）
84
vS = 0 vR u?
S
RR
R
vv?
uuu
S?
u?
vR > 0(R接近 S)，
SR
vR < 0(R远离 S)，
SR
（ 1） vS = 0,vR ≠ 0
单位时间内接收波的个数：
S
R
R
v
u
u
S ·· R·
85
vS
S·· ·
R
R
（ 2） vR = 0,vS ≠ 0?0
R
uTS
R
R
u?
SS )v( Tu
u
S
S
R v u
u
SSR )v( Tu
vS >0,
SR
vS <0,
SR
vSTS
·S
R
86水波的多普勒效应（波源向右运动）
87
S
S
R
R v
v
u
u
u
u
S
S
R
v
v?
u
u
SR
（ 3） vR ≠ 0,vS ≠ 0
当 vR =?vS时,无相对运动：
S
S
R
v
v?
u
uR?
速度 vR,vS 是相对介质而言,并以相向为正 。
S
S
R v u
u
S
R
R
v
u
uvS=0,vR≠0：
vS≠0,vR＝ 0：
88
【 例 】 一静止声源 S 频率?S= 300Hz,声速 u = 330m/s
,观察者 R 以速度 vR= 60m/s 向右运动,反射壁以 v=
100m/s 的速度 亦 向右运动 。
解：
R收到的声源发射波的频率：
s
R
R u
u v
反射壁收到的声源发射波的频率：
su
u v
求,R 测得的拍频?B =?
vv
RRS
*
u?
S
R收到的反射壁反射波的频率：
vv RR uu SR v
v
v?
u
u
u
u
89
拍频：
su v
vv2|| R
RRB?
Hz8.55?
3 0 01 0 03 3 0 601 0 02
则由拍频?反射壁速度 v= 100m/s 。
s= 300Hz,vR= 60m/s，如果已知
Hz8.55B
测出拍频
90
二、电磁波的多普勒效应
v (对 R)
S c R
S? R?
S
22
R c o sv
v
c
c
当 时，仍有
2
SR
— 横向多普勒效应电磁波不同于机械波，不需要介质。可以证明，只是光源和观察者的 相对速度 决定接收的频率。由相对论可导出：
v?
91
当光源和观察者的相对运动发生在二者连线上,即?＝ 0时
SR v
v
c
c
SR v
v
c
c
二者以速率 v互相接近：
二者互相远离：
多普勒红移（“大爆炸”宇宙论）
92
三、冲击波 （ shock wave）
uΔt
·S v
S
· · · ·
vSΔt
u?Sv 0R
时,—后发出的波面将超越先发出的波面，
形成 锥形波阵面－冲击波（激波）
Sv
s i n u
冲击波带
u
Sv
—— 马赫数对超音速飞机的最小飞行高度要有一定限制。
马赫锥
（ Mach number）
93
超音速的子弹在空气中形成的激波
（马赫数为 2 ）
94
作起始脉冲和截止脉冲。
高能带电粒子在介质中的速度超过光在介质中的速度时,将发生锥形的电磁波 —切连柯夫辐射。
可用来探测高能带电粒子。脉冲重叠,也可用来四、多普勒效应的应用：
测速（固、液、气）
卫星跟踪（书 P95? 96）
不易引起电磁激波 —切连柯夫辐射 (Cerenkov radiation)：
它发光持续时间短 （数量级 10 -10s），
95
警察用多普勒测速仪测速 超声多普勒效应测血流速
96
*§ 2.10 复波 群速度 （书 2.12节）
若干不同频率的简谐波叠加而成的合成波,
它是 非简谐波 。
一、复波例如，两个频率相近的简谐波合成的复波为波群,波包 或 信号 的传播速度 ug,称为 群速度 （ group velocity） 。
y
x
gu
波群 波群
97
二、群速度
ku g d
d群速度定义为：
对于无色散介质，相速为常数，
0ddu
uu g?
d
d uuu
g
因此，有在无色散介质中,群速度等于相速度 。
kuk 2,由,得
ku
相速度：
98
d
du色散越严重，即 越大,ug 和 u 相差越大。
色散引起波包扩散 。 色散严重?波包扩散?
消失,群速的概念将失去意义 。
只有在
d
du 较小的情况下,群速才意义,波包才稳定 。
在色散介质中,,复波的群速度不等于相速度
0ddu
uuuku g dddd
99
△ *§ 2.11 孤子 （ soliton） （自学书 2.13节）
在非线性介质中，相速度和振幅有关，
非线性效应可能使 波包被挤压,
起的 波包扩散 相抵消,形成形状不变的孤立波，
又称做 孤波,或 孤子 。
孤子在信号传播中有重要应用。
从而与色散引
