1
2005年春季学期 陈信义编第 8章 磁场的源电磁学（第三册）
2
目 录
§ 8.1 毕奥 –萨伐定律
§ 8.3 安培环路定理
§ 8.2 匀速运动点电荷的磁场（在第 7章已讲）
§ 8.4 利用安培环路定律求磁场的分布
§ 8.5 与变化电场相联系的磁场
§ 8.6平行电流间的相互作用
3
一、毕 —萨定律（ 实验规律 1820 ）
真空磁导率 27
0 /104 AN
恒定电流 的电流元 lI?d
在 p点产 生的磁场：
2
0?d
4
d
r
rlIB
I
r?
B?d
p
lI?d
§ 8.1 毕奥 —萨伐定律
BB d
电流 I 在 P点的磁场,
4
运动点电荷磁场公式? 毕 —萨定律：
B?dlI?d
r?S
dln,q v
r
P
vvll dd
rv
r
qB?
4 2
0
0
点电荷 q在 p点的磁场（ v<<c）：
0)d(d BlSnB
电流元磁场
5
证毕。
2
0
2
0
2
0
0
d
4
d
4
)(
4
)d(
)d(d
r
rlI
r
rl
n q vS
r
rvq
lnS
BlnSB
【 思考 】 毕 —萨定律的相对论形式。
6
【 例 】 直线电流的磁场
2
0?d
4
d
r
rlIB
210 co sco s
4
d
r
IBB
无限长电流,
21,0
r
IB
2
0?
r
1?
2?
B p
0
I
l
r?
Idl? r
方向指向里面
2
0 s i nd
4
d
r
lIB
I
无限长直线电流的磁场
r
IB
2
0?
8
【 例 】 平行直线电流单位长度线段间的作用力
I1 I2
d
B1
B2 F
1 F2
国际单位制“安培”的定义：
N /mm 721 102,1 FFd若,则电流强度为
AII 121
d
IIFF
2
210
21
270 /104 AN
d
IIBIF
2
201
211
9
【 例 】 圆电流轴线上的磁场
//d BB
0dB
2
0
4
dd
r
lIB
l
r
IR
r
lIB d
4
s i n
4
dd
3
0
2
0
//?
R
r
x
B?d
I
lI?d
//dB
Bd
o
10
无限长直电流的磁场
r
IB
2
0?
2322
2
0
3
2
0
3
0
//
)(2
2
d
4
d
xR
IR
r
IR
l
r
IR
BB
圆电流中心的磁场
R
IB
2 0
R
r
x
B?d
I
lI?d
//dB
Bd
o
I
圆电流的磁场
12
内部轴线上的磁场
nIB 0
端口中心处的磁场
nIB 021
计算各匝圆电流在 p 点磁场的矢量积分
（教材 P249例 8.3）
n,I
p
【 例 】 密绕长直螺线管轴线上的磁场
I
I
通电螺线管的磁场
nIB 0
B
14
二,B 的高斯定理 (磁通连续方程 )
磁场是“无源场”
不存“磁荷” (磁单极子 )
0 B?
在任意磁场中,通过任意封闭曲面的磁通量总等于零
0d
S
SB
15
寻找磁单极子的实验研究具有重要的的理论意义。但至今还没发现磁单极子。
迪拉克 （ P,A,M,Dirac 1931） 指出，
已有的量子理论允许存在磁单极子。如果在实验中找到了磁单极子，磁场的高斯定理和整个电磁理论就要作重大的修改。
人们仍然认为,磁场是电流或变化的电场产生的。
16
§ 8.3 安培环路定理
【 例 】
L lB d )( 210 II
用毕 –萨定律证明（教材 P255）。
I1
L
I2
L inIlB 0 d
在恒定电流的磁场中,B 沿任何闭合路径的线积分等于与路径所“铰链”的电流强度代数和的?0 倍
Iin 取正值的方向与 L成右手螺旋。
17
1、与 L―铰链” 的电流，可理解为：
穿过以 L为边界的 任意形状 曲面的电流曲面 S 的,正面” 与 L 成右手螺旋
L
S
SjlB
dd 0?
关于安培环路定理的讨论
18
ISjlB
L
S
00
dd
曲面 S 的 正面 与 L 成右手螺旋例如
I
L
S
Sd?
I
j?
19
2、对于恒定电流中的,一段”,安培环路定理不适用。
ISjlB
L
S
00
1
dd
？
原因：物理上，恒定电流一定闭合！
0dd
2
0L
S
SjlB
I
L
S1
S2
20
3、安培环路 定理是基本的规律，而 毕 —萨定律只是磁场的定义。
4,包括 非恒定情况 的安培环路 定理 将在 § 8.5
介绍 。
jB 0
5、安培环路 定理的微分形式 —磁场的旋度其中,j 为恒定电流的电流密度矢量。
jB 0
L SS SjSBlB
ddd 0?
21
【 例 】 求密绕长直螺线管的磁场分布
n,I
§ 8.4 利用安培环路定理求磁场的分布
22
1、对称性? Bin 平行于轴线
M
N
关于 MN 镜象反射 + 电流反向?体系 复原镜象反射 电流反向
Bin
Bin 平行于轴线
23
2、安培环路定理?Bin均匀分布
Bin 平行于轴线均匀分布L
L rB 0d Bin均匀分布下面分析外部磁场 的分布，再求 Bin.
24
由安培环路定理：
xB
zB
yB
由 B的高斯定理：
0?yB
Bz与 r无关
0 zB
,12
2
0
0
in rn
r
InI
B
B
x
0o ut?B
n,I
inB
均匀分布
r
3、外部磁场 如何分布？
r,螺线管?长直电流
jnIB 00in内部磁场：
密绕情况
r
IB
x?
2
0?
外部磁场：
0?
0?
25
非密绕有漏磁
xB
zB
yB
26
【 例 】 环形 密绕 螺线管
I I
...,
R r
..
.
.
.,
..,
..
..
..
..
..
..
.
..
.
....,.
.设绕 N匝,关于对称轴绕 360o/N对称 。
密绕,N,管内
,外的磁场轴对称,在共轴的圆周上 B的数值相等,方向沿切向 。
nI
r
NIB
0
0
in 2
0ou t?B
27
【 例 】 无限大平面电流的磁场分布
B的高斯定理?By=0
平面电流由平行的直线电流组成?Bx=0
j
－面电流密度矢量j?
xB
yB
zB
0?
0?
j
l
B安培环流定理：
jllB 02
2
0 jB
无限大均匀平面电流两侧的磁场是均匀磁场,
大小相等,方向相反 。
28
一,位移电流 —Maxwell的假设
E
Ic
-q+q
c
S
d
L
ISjlB 00
2
dd使得
§ 8.5 与变化电场相联系的磁场
c
SL
ISjlB 00
1
dd
SjlB
SL
dd
2
0?
Maxwell假设：在极板间流有 位移电流 jd
S2
S1 L
0
dj
29
cd
S
d ISjSj
d
2
t
Ej
d d
d
0
tESSEttq dddddd 00
求 位移电流,ES
1
S2
Ic
L -q+q
dj
30
二、普遍的安培环流定理推广到非恒定情况
t
E
jB c
00
—,变化电场激发磁场,
L
S
c St
EjlB?
dd 00
cj
t
Ej
d?
0?
L s
cj
—传导电流
t
E
0?
—位移电流规定,E的正向与 L 成右手螺旋
31
RI
【 例 】 求正在充电的电容器边缘的磁场
t
ERBR
0
2
02
2
00 R
qE
【 思考 】 放电呢？
E
R
I
t
ERB
22
1 0
00
BL
B>0,B沿 L方向。
q
q?
tqI
32
真空中磁场的基本规律
0 B?
t
EjB
c
00
微分形式：
0d
S
SB
积分形式：
tcISt
EJlB e
SL
d
ddd
2000
1
2005年春季学期 陈信义编第 8章 磁场的源电磁学（第三册）
2
目 录
§ 8.1 毕奥 –萨伐定律
§ 8.3 安培环路定理
§ 8.2 匀速运动点电荷的磁场（在第 7章已讲）
§ 8.4 利用安培环路定律求磁场的分布
§ 8.5 与变化电场相联系的磁场
§ 8.6平行电流间的相互作用
3
一、毕 —萨定律（ 实验规律 1820 ）
真空磁导率 27
0 /104 AN
恒定电流 的电流元 lI?d
在 p点产 生的磁场：
2
0?d
4
d
r
rlIB
I
r?
B?d
p
lI?d
§ 8.1 毕奥 —萨伐定律
BB d
电流 I 在 P点的磁场,
4
运动点电荷磁场公式? 毕 —萨定律：
B?dlI?d
r?S
dln,q v
r
P
vvll dd
rv
r
qB?
4 2
0
0
点电荷 q在 p点的磁场（ v<<c）：
0)d(d BlSnB
电流元磁场
5
证毕。
2
0
2
0
2
0
0
d
4
d
4
)(
4
)d(
)d(d
r
rlI
r
rl
n q vS
r
rvq
lnS
BlnSB
【 思考 】 毕 —萨定律的相对论形式。
6
【 例 】 直线电流的磁场
2
0?d
4
d
r
rlIB
210 co sco s
4
d
r
IBB
无限长电流,
21,0
r
IB
2
0?
r
1?
2?
B p
0
I
l
r?
Idl? r
方向指向里面
2
0 s i nd
4
d
r
lIB
I
无限长直线电流的磁场
r
IB
2
0?
8
【 例 】 平行直线电流单位长度线段间的作用力
I1 I2
d
B1
B2 F
1 F2
国际单位制“安培”的定义：
N /mm 721 102,1 FFd若,则电流强度为
AII 121
d
IIFF
2
210
21
270 /104 AN
d
IIBIF
2
201
211
9
【 例 】 圆电流轴线上的磁场
//d BB
0dB
2
0
4
dd
r
lIB
l
r
IR
r
lIB d
4
s i n
4
dd
3
0
2
0
//?
R
r
x
B?d
I
lI?d
//dB
Bd
o
10
无限长直电流的磁场
r
IB
2
0?
2322
2
0
3
2
0
3
0
//
)(2
2
d
4
d
xR
IR
r
IR
l
r
IR
BB
圆电流中心的磁场
R
IB
2 0
R
r
x
B?d
I
lI?d
//dB
Bd
o
I
圆电流的磁场
12
内部轴线上的磁场
nIB 0
端口中心处的磁场
nIB 021
计算各匝圆电流在 p 点磁场的矢量积分
（教材 P249例 8.3）
n,I
p
【 例 】 密绕长直螺线管轴线上的磁场
I
I
通电螺线管的磁场
nIB 0
B
14
二,B 的高斯定理 (磁通连续方程 )
磁场是“无源场”
不存“磁荷” (磁单极子 )
0 B?
在任意磁场中,通过任意封闭曲面的磁通量总等于零
0d
S
SB
15
寻找磁单极子的实验研究具有重要的的理论意义。但至今还没发现磁单极子。
迪拉克 （ P,A,M,Dirac 1931） 指出，
已有的量子理论允许存在磁单极子。如果在实验中找到了磁单极子，磁场的高斯定理和整个电磁理论就要作重大的修改。
人们仍然认为,磁场是电流或变化的电场产生的。
16
§ 8.3 安培环路定理
【 例 】
L lB d )( 210 II
用毕 –萨定律证明（教材 P255）。
I1
L
I2
L inIlB 0 d
在恒定电流的磁场中,B 沿任何闭合路径的线积分等于与路径所“铰链”的电流强度代数和的?0 倍
Iin 取正值的方向与 L成右手螺旋。
17
1、与 L―铰链” 的电流，可理解为：
穿过以 L为边界的 任意形状 曲面的电流曲面 S 的,正面” 与 L 成右手螺旋
L
S
SjlB
dd 0?
关于安培环路定理的讨论
18
ISjlB
L
S
00
dd
曲面 S 的 正面 与 L 成右手螺旋例如
I
L
S
Sd?
I
j?
19
2、对于恒定电流中的,一段”,安培环路定理不适用。
ISjlB
L
S
00
1
dd
？
原因：物理上，恒定电流一定闭合！
0dd
2
0L
S
SjlB
I
L
S1
S2
20
3、安培环路 定理是基本的规律，而 毕 —萨定律只是磁场的定义。
4,包括 非恒定情况 的安培环路 定理 将在 § 8.5
介绍 。
jB 0
5、安培环路 定理的微分形式 —磁场的旋度其中,j 为恒定电流的电流密度矢量。
jB 0
L SS SjSBlB
ddd 0?
21
【 例 】 求密绕长直螺线管的磁场分布
n,I
§ 8.4 利用安培环路定理求磁场的分布
22
1、对称性? Bin 平行于轴线
M
N
关于 MN 镜象反射 + 电流反向?体系 复原镜象反射 电流反向
Bin
Bin 平行于轴线
23
2、安培环路定理?Bin均匀分布
Bin 平行于轴线均匀分布L
L rB 0d Bin均匀分布下面分析外部磁场 的分布，再求 Bin.
24
由安培环路定理：
xB
zB
yB
由 B的高斯定理：
0?yB
Bz与 r无关
0 zB
,12
2
0
0
in rn
r
InI
B
B
x
0o ut?B
n,I
inB
均匀分布
r
3、外部磁场 如何分布？
r,螺线管?长直电流
jnIB 00in内部磁场：
密绕情况
r
IB
x?
2
0?
外部磁场：
0?
0?
25
非密绕有漏磁
xB
zB
yB
26
【 例 】 环形 密绕 螺线管
I I
...,
R r
..
.
.
.,
..,
..
..
..
..
..
..
.
..
.
....,.
.设绕 N匝,关于对称轴绕 360o/N对称 。
密绕,N,管内
,外的磁场轴对称,在共轴的圆周上 B的数值相等,方向沿切向 。
nI
r
NIB
0
0
in 2
0ou t?B
27
【 例 】 无限大平面电流的磁场分布
B的高斯定理?By=0
平面电流由平行的直线电流组成?Bx=0
j
－面电流密度矢量j?
xB
yB
zB
0?
0?
j
l
B安培环流定理：
jllB 02
2
0 jB
无限大均匀平面电流两侧的磁场是均匀磁场,
大小相等,方向相反 。
28
一,位移电流 —Maxwell的假设
E
Ic
-q+q
c
S
d
L
ISjlB 00
2
dd使得
§ 8.5 与变化电场相联系的磁场
c
SL
ISjlB 00
1
dd
SjlB
SL
dd
2
0?
Maxwell假设：在极板间流有 位移电流 jd
S2
S1 L
0
dj
29
cd
S
d ISjSj
d
2
t
Ej
d d
d
0
tESSEttq dddddd 00
求 位移电流,ES
1
S2
Ic
L -q+q
dj
30
二、普遍的安培环流定理推广到非恒定情况
t
E
jB c
00
—,变化电场激发磁场,
L
S
c St
EjlB?
dd 00
cj
t
Ej
d?
0?
L s
cj
—传导电流
t
E
0?
—位移电流规定,E的正向与 L 成右手螺旋
31
RI
【 例 】 求正在充电的电容器边缘的磁场
t
ERBR
0
2
02
2
00 R
qE
【 思考 】 放电呢？
E
R
I
t
ERB
22
1 0
00
BL
B>0,B沿 L方向。
q
q?
tqI
32
真空中磁场的基本规律
0 B?
t
EjB
c
00
微分形式：
0d
S
SB
积分形式：
tcISt
EJlB e
SL
d
ddd
2000
1
