2005年春季学期 陈信义编电磁学（第三册）
第 5章 静电场中的电介质本章讨论：
电介质 如何影响电场？
在 电场作用下,电介质的 电荷如何分布？
如何计算有电介质存在时的电场分布？
引 言电介质 (Dielectric),就是绝缘体 —无自由电荷,不导电 。
请关注：电介质和导体在电学机制上的区别 。
【 演示实验 】 电介质对电场的影响,压电效 应,电致伸缩
§ 5.1 电介质对电场的影响
§ 5.3 D 的高斯定理
§ 5.2 电介质的极化
§ 5.5 电容器的能量（自学）
§ 5.4 电容器和它的电容（自学）?
目 录
§ 5.6 介质中电场能量密度
§ 5.1 电介质对电场的影响 【 演示实验 】
+Q
-Q
E0 U0
+Q
-Q
1?r? —相对介电常数
rr
UUEE
00,
变压器油,?r～ 2.24
钛酸钡,?r～ 103—104 铁电体电介质 E,U
电场被削弱：
端面出现电荷如何解释上述实验结果？
束缚电荷的电场 E′ 不能全部抵消 E0,只能削弱总场 E.
++++++++++++
-----------------+ + + + + + + +
- - - -- - - -
机制与导体有何不同？
E0E?
导体情况：
－,束 缚 电 荷,（ bound
charge） 或,极化电荷,。
电介质情况：
电中性的分子中,带负电的电子 (或负离子 )与带正电的原子核 (或正离子 )束缚得很紧,不能自由运动－ 束缚电荷 或 极化电荷 。
§ 5.2 电介质的极化 （ polarization）
一、电介质的电结构电偶极子模型：
每一个分子中的正电荷集中于一点,称为正电荷重心 ；负电荷集中于另一点,称为 负电荷重心 — 两者构成 电偶极子固有电偶极矩
1,有极分子 (Polar molecule) — 极性 电介质例如 HCl,H2O,CO
H2
O
...
O HH
H
O
+H+ p
分子正负电重心不重合 有固有电偶极矩二、有极分子和无极分子
~ 10–30 C·m
分子
HCl 3,43 H2S 5,3
HBr 2,60 SO2 5,3
HI 1,26 NH3 5,0
CO 0,40 C2H5OH 3,66
分子p / (10?30C? m) p / (10?30C? m)
H2O 6,2
有极分子的电偶极矩分子正负电中心重合 无固有电偶极
2,无极分子 (Nonpolar molecule)
例如 H2,O2,CO2,CH4
4CH
H
H
C HH C
H+
H+
H+ H+
— 非极性电介质三、电介质的极化 (Polarization)
在外电场作用下,电介质 表面出现正负电荷层的现象 —电极化极化机制无极分子 位移极化有极分子 取向极化
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
外E
1、无极分子的 位移极化无外电场,正负电荷重心重合，介质不带电
l?
p? 外E
f?f
加外电场：
产生 感生电偶极矩 主要是电子 （ 云 ） 移动极化的效果,端面出现 束缚电荷
2,有极分子的 取向极化无外电场,固有电 偶极 矩热运动，混乱分布，介质不带电。
+
+
+ +
+
+
+
加外电场,外场取向与热混乱运动达到平衡。 +
+ +
++ +
++
++ +
+
+ + + +
外E
极化的效果,端面出现 束缚电荷有极分子电介质也存在位移极化,但取向极化是主要的,它比位移极化约大一个数量级 。
电场频率很高时,分子惯性较大,取向极化跟不上外电场的变化,只有惯性很小的电子才能紧跟高频电场的变化而产生位移极化
,只有电子位移极化机制起作用 。
四、电极化强度 (Polarization intensity）
—表征电介质极化程度 如何表征？
电极化强度,电介质中某点附近单位体积内分子电偶极矩的矢量和
V
p
P i
V?
lim
0
单位,C/m2 —面电荷密度？
V? 宏观小、微观大的体积元极化状态：各分子电偶极矩矢量和不会完全相互抵消 。 表征极化程度。
lnqpnP
n —单位体积内的分子数每个分子的正电荷重心相对于其负电荷重心都有一个位移 l,各个分子的感应电矩都相同
,电介质的极化强度为以均匀的位移极化为例：
均匀极化,电介质各处极化强度 P大小和方向都相同 。
电极化强度 P ～ 总场强 E
1,0 ree EP
e? 电极化率（介质性质，与场无关）
介质中的总场强 (外电场＋束缚电荷电场 )E?
相对介电常数
r?
只讨论各向同性、线性电介质。
五、各向同性、线性电介质的极化规律方向相同 （ 各向同性 ）,成正比 （ 线性 ）
q
P?
Sd n?
q?
l?
Q?d
n － 分子数密度
n? －面元 外法线单位矢量
电介质六、束缚电荷 与极化强度的关系
1、束缚电荷面密度以非极性电介质为例推导结果也适用于极性电介质表面 dS 出现的束缚电荷：
qSnlnQ )d?(d Snlnq d?)(
Snpn d SnP d
n
n P
S
SP
d
d?
SPn d?
束缚电荷面密度：
P 表面该点的电极化强度矢量
n 表面该点 外法线方向 单位矢量束缚电荷面密度：
c o s? PPnP n
n? P?
当?为锐角时,电介质表面上出现一层正极化电荷 。
当?为钝角时,表面上出现一层负极化电荷 。
束缚电荷面密度，等于 电极化强度法向分量。
束缚电荷体密度：
V
Q
V
内
l i m
0
封闭面 S 内的束缚电荷：
dS P
V Q
介质内
S
2、束缚电荷体密度
S
SQ d?内
S S
SPSnP
dd?
P
V
SP
S
V
d
lim
0
P
束缚电荷体密度，等于 电极化强度散度负值。
【 例 】 已知介质球均匀极化，极化强度为,P?
求,,.
解,
c o s PP n
0 P
P
P
θ
n?
均匀极化电介质,体束缚电荷密度为零 。
1、铁电体 （ ferroelectrics）
钛酸钡（?r ～ 103—104）、酒石酸钾钠,…
P～ E 关系是非线性的；
电滞效应 —撤去外电场后 P不会减为零,相对两表面仍存在异号极化电荷 。
—增大电容器的电容（～ 103 倍）
—铁电记忆元件七、铁电体和压电体应用,电声换能器,压电晶体振荡器,
压电变压器,压电传感器
2、压电体 (piezoelectrics)
压电晶体、压电陶瓷压电效 应,机械形变 （ 压缩或伸长 ） 能改变电极化强度,对应两表面产生异号极化电荷 。
电致伸缩 —逆压电效应
【 演示实验 】 压电效 应,电致伸缩
§ 5.3 D的高斯定理给定自由电荷分布,如何求稳定后的电场分布和束缚电荷分布？
电荷重新分布?···
E0? E1? E2? · · ·? E
实际计算,引入一个包含束缚电荷效应的辅助量 D，直接求 D，再求 E.
存在介质时，静电场的规律：
给定自由电荷分布?电场?束缚电荷分布
电场重新分布迭代计算：
E 的高斯定理：
00 /d
内＋内 qqSE
S
一、电位移矢量 D D的高斯定理
S
qSPE 内00 d)(
S
SPq
d内束缚电荷,代入移项得
：q? 束缚电荷自由电荷,：0q总场强,：E?
电介质自由电荷
S
q0内
q?内为什么？
定义 (引入 )电位移矢量：
PED 0?
D 的高斯定理：
S
qSdD 0
通过任意封闭曲面的电位移矢量的通量,
等于该封闭面所包围的 自由电荷 的代数和
S
qSdPE 内00 )(
电位移线（ D 线） 发自正自由电荷，止于负自由电荷。 在闭合面上的 通量只和闭合面内的自由电荷有关。
所以,D的分布一般也和束缚电荷（介质分布）有关。
只有当介质的分布满足一定条件时,D 才与束缚电荷无关。
PED 0?因为
PED 0?,0d
S
qSD
,其中 E 是所有电荷共同产生的,P与束缚电荷有关 。
【 思考 】 由微分形式,如何理解 D可能与束缚电荷的分布有关？
二、各向同性、线性介质 D,E,P 的关系
0 D
EPED r 00
EP r )1(0
D 的高斯定理微分形式：
三、有电介质时电场、束缚电荷的计算
S
qSdD 0
E?D
P?E
,P
0q D
P
nP?
EP
ED
r
r
10
0
【 例 】 一带正电的金属球浸在油中。求球外的电场分布和贴近金属球表面的油面上的束缚电荷。
R
+
+
+ +
+ ++
++
- -
-
-
-
-
-
qq'
r?
qrD 24?
rrqDE
rr
4 200
2
00
2
0 44 r
qE
r
qE
r
r
r
qD?
4 2?
D 的高斯定理
P E
D
r
为什么？
解：
r
r
q
r
r
q
EP
r
r
r
r
4
)
1
1(
4
)1(
)1(
2
2
0
0
0
R
+
+
+ +
+ ++
++
- -
-
-
-
-
-
qq'
P E
D
r
qRq
r
)11(4 2
总与 反号,数值小于 。q? qq
24)
11()?()(
R
qrRP
r
球表面的油面上的束缚电荷：
-r^
P(R)
【 思考 】 油内出现体束缚电荷吗？
0?
E
另一解法：
ErP r )1()?( 0
用 E 的高斯定理
qq
r
r
)
1
1(
)
1
1(
R
+
+ +
+ ++
++
-
-
-
-
-
-
qq'
r?
+?'
++-
-?S
四、静电场的边界条件在两种介质的分界面上
1,E 的切向分量连续
2
1
2
1
21
t
t
tt
D
D
EE
2,对无自由电荷的界面,D的法向分量连续
—D线连续
1
2
2
1
21
n
n
nn
E
E
DD
021 lElE ttE 的环流定理
2
1
2
1
2
2
1
1,
t
ttt
D
DDD
tt EE 21?
证明,?l
介质 1,?1
介质 2,?20h
h?
1
2
2
1
2211,?
n
n
nn E
E
EE
D 的高斯定理 0
021 SSDSD nn?
nn DD 21?
S
介质 1,?1
介质 2,?2
n
0h
h?
§ 5.4 电容器和它的电容?
一、孤立导体的电容
Q,U
孤立导体
U
QC?
【 例 】 孤立导体球的电容
R
R
Q
Q
U
Q
C
0
0
4
4
电介质减弱了极板间的电场和电势差，电容增加到?r 倍。
二、平板电容器
S
d? r
- Q
+ Q
D
d
S
U
Q
C
U
S
Qd
EdU
E
S
QD
E
S
Q
D
r
rrrrr
0
0
0
0
00
,
＝
三、园柱形电容器
1
2
0
ln
2
R
R
LC r
四,球形电容器
R 1
r
R 2
12
2104
RR
RRC r
对于孤立导体球：
1,,12 rRRR?
RC 04
R2 R1
L?r
§ 5.5 电容器的能量
QUCU
C
QW
2
1
2
1
2
1 22
dqCqdqudW
C
Q
dqC
q
dWW
Q 2
0
2
1?
uCdr?
q?
q?
dq充电电容器的能量还可以这样计算：
qUqUW
QQ
dd
)()( 2
1
2
1 Q?
Q?
r
U
：正电荷板上 dq处电势
U
：负电荷板上 dq处电势
【 思考 】 公式中的 dq包括束缚电荷吗？ 束缚电荷对能量有贡献吗？
qUqUW
QQ
dd
)()( 2
1
2
1
QUqUU
Q 2
1)(
2
1
)(
d
电容器的能量：
1、各向同性、线性介质
22
1 20 EDEw r
e
1?r?
在 E 相同的情况下,电介质中的电场能量密度比真空中的增大到?r 倍 — 极化能 。
§ 5.6 介质中电场能量密度
2
2
0 Ew
e
（真空）
以平板电容器为例说明
EUCdr?
Q?
Q?
SdESd
S
Q
C
QW r
r
r 20
2
0
0
2
222
1
S
QE
d
SC
r
r
0
0,
DEE
Sd
Ww r
e 2
1
2
2
0
没有上述简单公式 。 对电介质所作极化功
,只有一部分转化为极化能,另一部分转化为热能 。
2,各向异性电介质 （ D与 E方向不同）
EDw e
21
3,非线性有损耗的电介质
第 5章 静电场中的电介质本章讨论：
电介质 如何影响电场？
在 电场作用下,电介质的 电荷如何分布？
如何计算有电介质存在时的电场分布？
引 言电介质 (Dielectric),就是绝缘体 —无自由电荷,不导电 。
请关注：电介质和导体在电学机制上的区别 。
【 演示实验 】 电介质对电场的影响,压电效 应,电致伸缩
§ 5.1 电介质对电场的影响
§ 5.3 D 的高斯定理
§ 5.2 电介质的极化
§ 5.5 电容器的能量（自学）
§ 5.4 电容器和它的电容（自学）?
目 录
§ 5.6 介质中电场能量密度
§ 5.1 电介质对电场的影响 【 演示实验 】
+Q
-Q
E0 U0
+Q
-Q
1?r? —相对介电常数
rr
UUEE
00,
变压器油,?r～ 2.24
钛酸钡,?r～ 103—104 铁电体电介质 E,U
电场被削弱：
端面出现电荷如何解释上述实验结果？
束缚电荷的电场 E′ 不能全部抵消 E0,只能削弱总场 E.
++++++++++++
-----------------+ + + + + + + +
- - - -- - - -
机制与导体有何不同？
E0E?
导体情况：
－,束 缚 电 荷,（ bound
charge） 或,极化电荷,。
电介质情况：
电中性的分子中,带负电的电子 (或负离子 )与带正电的原子核 (或正离子 )束缚得很紧,不能自由运动－ 束缚电荷 或 极化电荷 。
§ 5.2 电介质的极化 （ polarization）
一、电介质的电结构电偶极子模型：
每一个分子中的正电荷集中于一点,称为正电荷重心 ；负电荷集中于另一点,称为 负电荷重心 — 两者构成 电偶极子固有电偶极矩
1,有极分子 (Polar molecule) — 极性 电介质例如 HCl,H2O,CO
H2
O
...
O HH
H
O
+H+ p
分子正负电重心不重合 有固有电偶极矩二、有极分子和无极分子
~ 10–30 C·m
分子
HCl 3,43 H2S 5,3
HBr 2,60 SO2 5,3
HI 1,26 NH3 5,0
CO 0,40 C2H5OH 3,66
分子p / (10?30C? m) p / (10?30C? m)
H2O 6,2
有极分子的电偶极矩分子正负电中心重合 无固有电偶极
2,无极分子 (Nonpolar molecule)
例如 H2,O2,CO2,CH4
4CH
H
H
C HH C
H+
H+
H+ H+
— 非极性电介质三、电介质的极化 (Polarization)
在外电场作用下,电介质 表面出现正负电荷层的现象 —电极化极化机制无极分子 位移极化有极分子 取向极化
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
外E
1、无极分子的 位移极化无外电场,正负电荷重心重合，介质不带电
l?
p? 外E
f?f
加外电场：
产生 感生电偶极矩 主要是电子 （ 云 ） 移动极化的效果,端面出现 束缚电荷
2,有极分子的 取向极化无外电场,固有电 偶极 矩热运动，混乱分布，介质不带电。
+
+
+ +
+
+
+
加外电场,外场取向与热混乱运动达到平衡。 +
+ +
++ +
++
++ +
+
+ + + +
外E
极化的效果,端面出现 束缚电荷有极分子电介质也存在位移极化,但取向极化是主要的,它比位移极化约大一个数量级 。
电场频率很高时,分子惯性较大,取向极化跟不上外电场的变化,只有惯性很小的电子才能紧跟高频电场的变化而产生位移极化
,只有电子位移极化机制起作用 。
四、电极化强度 (Polarization intensity）
—表征电介质极化程度 如何表征？
电极化强度,电介质中某点附近单位体积内分子电偶极矩的矢量和
V
p
P i
V?
lim
0
单位,C/m2 —面电荷密度？
V? 宏观小、微观大的体积元极化状态：各分子电偶极矩矢量和不会完全相互抵消 。 表征极化程度。
lnqpnP
n —单位体积内的分子数每个分子的正电荷重心相对于其负电荷重心都有一个位移 l,各个分子的感应电矩都相同
,电介质的极化强度为以均匀的位移极化为例：
均匀极化,电介质各处极化强度 P大小和方向都相同 。
电极化强度 P ～ 总场强 E
1,0 ree EP
e? 电极化率（介质性质，与场无关）
介质中的总场强 (外电场＋束缚电荷电场 )E?
相对介电常数
r?
只讨论各向同性、线性电介质。
五、各向同性、线性电介质的极化规律方向相同 （ 各向同性 ）,成正比 （ 线性 ）
q
P?
Sd n?
q?
l?
Q?d
n － 分子数密度
n? －面元 外法线单位矢量
电介质六、束缚电荷 与极化强度的关系
1、束缚电荷面密度以非极性电介质为例推导结果也适用于极性电介质表面 dS 出现的束缚电荷：
qSnlnQ )d?(d Snlnq d?)(
Snpn d SnP d
n
n P
S
SP
d
d?
SPn d?
束缚电荷面密度：
P 表面该点的电极化强度矢量
n 表面该点 外法线方向 单位矢量束缚电荷面密度：
c o s? PPnP n
n? P?
当?为锐角时,电介质表面上出现一层正极化电荷 。
当?为钝角时,表面上出现一层负极化电荷 。
束缚电荷面密度，等于 电极化强度法向分量。
束缚电荷体密度：
V
Q
V
内
l i m
0
封闭面 S 内的束缚电荷：
dS P
V Q
介质内
S
2、束缚电荷体密度
S
SQ d?内
S S
SPSnP
dd?
P
V
SP
S
V
d
lim
0
P
束缚电荷体密度，等于 电极化强度散度负值。
【 例 】 已知介质球均匀极化，极化强度为,P?
求,,.
解,
c o s PP n
0 P
P
P
θ
n?
均匀极化电介质,体束缚电荷密度为零 。
1、铁电体 （ ferroelectrics）
钛酸钡（?r ～ 103—104）、酒石酸钾钠,…
P～ E 关系是非线性的；
电滞效应 —撤去外电场后 P不会减为零,相对两表面仍存在异号极化电荷 。
—增大电容器的电容（～ 103 倍）
—铁电记忆元件七、铁电体和压电体应用,电声换能器,压电晶体振荡器,
压电变压器,压电传感器
2、压电体 (piezoelectrics)
压电晶体、压电陶瓷压电效 应,机械形变 （ 压缩或伸长 ） 能改变电极化强度,对应两表面产生异号极化电荷 。
电致伸缩 —逆压电效应
【 演示实验 】 压电效 应,电致伸缩
§ 5.3 D的高斯定理给定自由电荷分布,如何求稳定后的电场分布和束缚电荷分布？
电荷重新分布?···
E0? E1? E2? · · ·? E
实际计算,引入一个包含束缚电荷效应的辅助量 D，直接求 D，再求 E.
存在介质时，静电场的规律：
给定自由电荷分布?电场?束缚电荷分布
电场重新分布迭代计算：
E 的高斯定理：
00 /d
内＋内 qqSE
S
一、电位移矢量 D D的高斯定理
S
qSPE 内00 d)(
S
SPq
d内束缚电荷,代入移项得
：q? 束缚电荷自由电荷,：0q总场强,：E?
电介质自由电荷
S
q0内
q?内为什么？
定义 (引入 )电位移矢量：
PED 0?
D 的高斯定理：
S
qSdD 0
通过任意封闭曲面的电位移矢量的通量,
等于该封闭面所包围的 自由电荷 的代数和
S
qSdPE 内00 )(
电位移线（ D 线） 发自正自由电荷，止于负自由电荷。 在闭合面上的 通量只和闭合面内的自由电荷有关。
所以,D的分布一般也和束缚电荷（介质分布）有关。
只有当介质的分布满足一定条件时,D 才与束缚电荷无关。
PED 0?因为
PED 0?,0d
S
qSD
,其中 E 是所有电荷共同产生的,P与束缚电荷有关 。
【 思考 】 由微分形式,如何理解 D可能与束缚电荷的分布有关？
二、各向同性、线性介质 D,E,P 的关系
0 D
EPED r 00
EP r )1(0
D 的高斯定理微分形式：
三、有电介质时电场、束缚电荷的计算
S
qSdD 0
E?D
P?E
,P
0q D
P
nP?
EP
ED
r
r
10
0
【 例 】 一带正电的金属球浸在油中。求球外的电场分布和贴近金属球表面的油面上的束缚电荷。
R
+
+
+ +
+ ++
++
- -
-
-
-
-
-
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r?
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2
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D 的高斯定理
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为什么？
解：
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总与 反号,数值小于 。q? qq
24)
11()?()(
R
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r
球表面的油面上的束缚电荷：
-r^
P(R)
【 思考 】 油内出现体束缚电荷吗？
0?
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另一解法：
ErP r )1()?( 0
用 E 的高斯定理
r
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1
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R
+
+ +
+ ++
++
-
-
-
-
-
-
qq'
r?
+?'
++-
-?S
四、静电场的边界条件在两种介质的分界面上
1,E 的切向分量连续
2
1
2
1
21
t
t
tt
D
D
EE
2,对无自由电荷的界面,D的法向分量连续
—D线连续
1
2
2
1
21
n
n
nn
E
E
DD
021 lElE ttE 的环流定理
2
1
2
1
2
2
1
1,
t
ttt
D
DDD
tt EE 21?
证明,?l
介质 1,?1
介质 2,?20h
h?
1
2
2
1
2211,?
n
n
nn E
E
EE
D 的高斯定理 0
021 SSDSD nn?
nn DD 21?
S
介质 1,?1
介质 2,?2
n
0h
h?
§ 5.4 电容器和它的电容?
一、孤立导体的电容
Q,U
孤立导体
U
QC?
【 例 】 孤立导体球的电容
R
R
Q
Q
U
Q
C
0
0
4
4
电介质减弱了极板间的电场和电势差，电容增加到?r 倍。
二、平板电容器
S
d? r
- Q
+ Q
D
d
S
U
Q
C
U
S
Qd
EdU
E
S
QD
E
S
Q
D
r
rrrrr
0
0
0
0
00
,
＝
三、园柱形电容器
1
2
0
ln
2
R
R
LC r
四,球形电容器
R 1
r
R 2
12
2104
RR
RRC r
对于孤立导体球：
1,,12 rRRR?
RC 04
R2 R1
L?r
§ 5.5 电容器的能量
QUCU
C
QW
2
1
2
1
2
1 22
dqCqdqudW
C
Q
dqC
q
dWW
Q 2
0
2
1?
uCdr?
q?
q?
dq充电电容器的能量还可以这样计算：
qUqUW
dd
)()( 2
1
2
1 Q?
Q?
r
U
：正电荷板上 dq处电势
U
：负电荷板上 dq处电势
【 思考 】 公式中的 dq包括束缚电荷吗？ 束缚电荷对能量有贡献吗？
qUqUW
dd
)()( 2
1
2
1
QUqUU
Q 2
1)(
2
1
)(
d
电容器的能量：
1、各向同性、线性介质
22
1 20 EDEw r
e
1?r?
在 E 相同的情况下,电介质中的电场能量密度比真空中的增大到?r 倍 — 极化能 。
§ 5.6 介质中电场能量密度
2
2
0 Ew
e
（真空）
以平板电容器为例说明
EUCdr?
Q?
Q?
SdESd
S
Q
C
QW r
r
r 20
2
0
0
2
222
1
S
QE
d
SC
r
r
0
0,
DEE
Sd
Ww r
e 2
1
2
2
0
没有上述简单公式 。 对电介质所作极化功
,只有一部分转化为极化能,另一部分转化为热能 。
2,各向异性电介质 （ D与 E方向不同）
EDw e
21
3,非线性有损耗的电介质
