1
大学物理 A(1)
电磁学（第三册）
2
2005年春季学期 陈信义编第 1章 静止电荷的电场电磁学（第三册）
3
【 演示实验 】 点电荷平面电荷电力线,静电跳球摆球滚筒,日光灯的静电启辉
§ 1.1 电荷
§ 1.3 电场和电场强度
§ 1.5 -6 电通量 高斯定理
§ 1.2 库仑定律与叠加原理
§ 1.4 静止的点电荷的电场及其叠加
§ 1.7 利用高斯定理求静电场的分布补充,高斯定理的微分形式目 录
4
§ 1.1 电荷
密立根 （ R.A.Millikan） 带电油滴实验
（ 1906?1917,1923年诺贝尔物理奖）
2,电荷是量子化 (quantization)的基本电荷
e =1.60217733(49)?10-19C
1,电荷只有正,负两种电磁现象归因于电荷及其运动
宏观电磁学 — 电荷值连续
夸克 （ quark） 带分数电荷 和但实验未发现自由夸克（夸克囚禁） 3e? 3/2e
5
在不同惯性系中观测,同一带电粒子的电量相同 。
4,电荷是一个洛仑兹不变量
3,电荷守恒,在宏观和微观上,电荷总量守恒。
5,有电荷就有质量静质量为零的粒子,例如光子,只能是电中性的 。
,但是,都精确电中性 ！
2HHe pp
sJ10~2 34px
不确定关系：
例如：
H2 He
质子动量：
6
1/40= 8.9880?109 N·m2/C2
9?109 N·m2/C2
0— 真空介电常数 (Permittivity of vacuum)
0 = 8.85?10-12 C2/N·m2
§ 1.2 库仑定律与叠加原理惯性系，真空中的两静止 （ 或低速 ） 点电荷 间的作用力为
212
210
21
21?4 rr
qqF
q2q1
12F
21F
21?r
21r
一、库仑定律
7
平方反比规律
(与万有引力定律类似 )
如果指数严格等于 2,则 光子静质量为零 。
光子静质量上限为 10-48 kg.
16)2( 101.37.2,r
实验结果
8
【 例 】 比较氢原子中的质子和电子间的库仑力和万有引力 。
oA53.0?
epr
N101.8
m1053.0
C106.1
C
mN
109
4
1
8
2
10
2
19
2
2
9
2
2
0
r
e
F
e
9
N107.3
m1053.0
kg107.1kg101.9
skg
m
107.6
47
2
10
2731
2
3
11
2
r
mm
GF
pe
g
3910?ge FF库仑力 >>引力：
强力 >>电磁力 >>弱力 >>引力原子核中的核子 （ 质子,中子 ） 靠强力吸引,库仑排斥很弱 。
宏观物体靠分子、原子间的库仑力维系。
10
二,电力的叠加原理实验表明,两个点电荷之间的作用力并不因第三个点电荷的存在而改变 。
在电磁场的量子效应中，经典叠加原理不成立。
两个以上的点电荷对一个点电荷的作用力,
等于各个点电荷单独存在时对该点电荷作用力的矢量和
i
iFF
11
§ 1.3 电场和电场强度检验电荷
（ 静止 ）
q0
定义 电场强度：
0q
FE
即,静止的单位正电荷所受的电力 。静止或运动任意电荷分布
F 测受力惯性系，点 p(x,y,z)
12
场的观点?Maxwell电磁理论静止电荷间的作用也可认为是“超距作用”
场的观点,电荷之间的相互作用是通过电场传递的，或者说电荷周围存在电场。
变化的电 磁 场以光速传播,场 具有动量、质量移动带电体，电场力作功,场具有能量电场中的带电体，受电场的作用力。
电场物质性的表现
真空 (vacuum)— 什么都没有吗？
电磁场的零点振动 真空涨落 自发辐射
13
BvqEqF
静 静动 动源电荷
q
q
电荷间的作用力与电场的关系
EqF
EqF
EqF
14
静电场 — 在相对场源电荷静止的参考系中观测到的电场 。
静止点电荷的电场 r
r
qE?
4 20
§ 1.4 静止点电荷的电场及其叠加电力的叠加原理?电场叠加原理：
在 n 个点电荷产生的电场中，某点的电场强度等于每个电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和
n
i
iEE
1
＝
15
连续分布电荷的电场：
库仑定律 +电场叠加原理? 完备描述静电场
r
r
VE
V
4
d
2
0
r
r
VE?
4
dd
2
0
V
EE
d
V
zz
V
yy
V
xx
EE
EE
EE
d
d
d
16
【 例 】 求电偶极子中垂线远点的场强电偶极子 (Electric dipole)：
靠得很近的等量异号点电荷对
-q
q
l
电偶极矩 （ Dipole moment）：
lqp
17
电偶极子中垂线上远点的场强：
EEE
E? r -3,比点电荷的电场的衰减得快 。
rr
- r
+
l
E
E
+
E
-
+ q
- q
p
3
0
3
0 4
)(
4?
r
rq
r
rq
)(
4 30
rr
r
q
3
04 r
lq
3
04 r
p
3
04 r
pE
18
【 例 】 电场中的电偶极子在均匀电场中，受合力为零。
+
-
l?
E?
EpM
在均匀电场中受的力矩：
力矩使 p 尽量和 E 方向一致。
电场不均匀，合力不为零。
在电场中，受力矩作用。
19
+
-
o
r
r
l?
Eq?
Eq
E?
计算关于任意一点 O的力矩：
)()( EqrEqrM
Ep
Elq
)()( Eqrr
20
解,把 q 分成无限多 dq,dq 的场强为 E?d
对称性?所有 dE?相互抵消
【 例 】 求均匀带电细圆环轴线上任一点的场强
R
dq
o
r
x
dEII
dE
p
qdE
21
//d EE
当 x>>R时，圆环?点电荷。
R
dq
o
r
x
dEII
dE
p
qdE
2
3
22
0
3
0
2
0
2
0
)(4
44
c o s
4
d
c o sd
xR
qx
r
qx
r
x
r
q
r
q
E
q
q
22
dEp x
xR
r
dr
dq
s
【 例 】 求半径为 R,面电荷密度为 s 的带电圆盘在轴线上产生的场强 。
解,对半径为 r,宽度为 dr的圆环的电场积分得
21
22
0
1
2 xR
xE
s
23
(1)当 x << R，圆盘?“无限大”带电平板
02?
s?E
(2)当 x>>R，圆盘?点电荷
2
04 x
qE
21
22
0
1
2 xR
xE
s
24
§ 1.5-6 电通量 高斯定理通过面元的电通量的符号,与 面元矢量方向的定义有关 。
一、电通量 (Flux)
q c o sSE?
1、通过面元?S 的电通量
nSE
SE
面元法向单位矢量
，则有
n
E
S
q
q
Scosq
nSS定义 面元矢量
25
2、通过曲面 S 的电通量
S
i
ii
S
SdE
SE
0
l i m
3、通过闭合曲面 S的电通量
S
SdE
E?S?d
S
S
iS
iE
iS
面元 可定义两个指向
S?d规定 的方向指向外为正
的正负依赖于面元指向的定义
26
0,电通量 向外,流”
0,电通量 向内,流”
S
SdE
E?S?d
S
二、高斯定理其中 S为任意闭合曲面 — 高斯面。
在真空中的静电场内,通过任意闭合曲面的电通量,等于该曲面所包围的电量的代数和的
1/?0 倍
)(0
1
S
i
S
qSE
d
iq
Q
— 电通量与电量的关系
27
（ 1） E是曲面上的某点处的场强,是由 全部电荷 （ 面 S内,外 ） 共同产生的 。
注意：
（ 2） 只有闭合曲面 内部的电荷,才对总通量有贡献 。
E?S?d
S
iq
Q
)(0
1
S
i
S
qSE d
28
0
2
2
0
2
0
/
4
4
4
q
r
r
q
S
r
q
S
S
d
d
定理的证明：
（ 1） 通过包围点电荷 q 的 同心球面 的电通量为 q/?0
q
n
S
E
r
S
29?qq ddd s i n
在球坐标系中
22
ddd
r
rS
r
S
立体角的概念：
x
q
d S
r
r
d S
d?
q
y
z Sd
Sd
r?
30
SS r
S
2
dd?
闭合曲面对内部一点所张立体角为 4?。
S
Sr d21
2
24
r
r
4?
证明：
O
dS
d?
S
r
dS?
31
（ 2） 通过包围点电荷 q 的 任意 闭合曲面的电通量为 q/?0
d
d
dd
0
2
0
4
4
q
r
Sq
SE
q
dS
r
dS?d? r' E
S
004?
qq
SS
dd
通过闭合面 S 的电通量：
dd
04
q
32
044
00
dddd qq
（ 3） 任意 闭合曲面 外的点电荷通过该曲面的电通量为零 。
（ 4） 多个点电荷的电通量等于它们单独存在时电通量的和 （ 场叠加原理 ）
,?2
r
rS
dd?
2
dd
r
rS
q
Sd
Sd
r?
r
r? S
d
2
d
r
rS
rS?d
rS?d
33
对称性分析 选高斯面一,均匀带电球面的电场分布
1、对称性分析电荷分布球对称?电场分布球对称
（场强沿径向，只与半径有关）
2、选高斯面为同心球面
§ 1.7 利用高斯定理求静电场的分布电荷对称分布情况
Q
34
3、球面外电场分布
4、球面内电场分布
S
QSE 0d?
0＝内E
【 思考 】 为什么在 r = R 处 E 不连续？
R rQ
r
E
0 R
r
r
QE?
4 20
外
24d rESE
S
35
二,均匀带电球体的电场分布
R r
E
0
rr
R
QrE
0
3
0 3
4
1
球体内：
r
r
QE?
4 20
球体外：
36
三,无限长圆柱面 (线电荷密度?)的电场分布解,（ 1）场强 轴对称 沿径向
（ 2）选半径 r高 h的同轴圆柱面为高斯面
（ 3）柱面外
0/2 hSESErhE
SS
dd
（ 4） 圆柱面内
)(,0 RrE
r E
h
S
S'
RrrE,2
0
0/2 hrhE?
37
四,带电无限大平板 (面电荷密度 s)的电场分布电场垂直于板，在与板平行的面上电场处处相等，与板等远处电场的大小相等。
解,
0/2?s SSE ＝
s+
S S S
s
EE
02?
s＝E 与板垂直的均匀场
38
+
+
+
+
+
+
＋ s?
－ s
【 思考 】 带等量异号电荷的两个无限大平板之间的电场为,板外电场为 。
0?s 0
39
五、电力线电力线条数密度表示场强大小电力线上某点的切向和该点场强方向一致用电力线描述电场：
在真空中的静电场内,通过任意闭合曲面的 电力线的条数 等于该曲面所包围的电量的代数和的 1/?0倍 。
用电力线叙述高斯定理：
40
电力线的性质：
1,静电场的电力线始于正电荷 （ 或无穷远 ）,
终于负电荷 （ 或无穷远 ） 。
2、电力线不相交 （场强的单值性）
3、静电场的电力线不闭合电力线连续,不会在没有电荷的地方中断
【 思考 】 用高斯定理证明以上性质。
【 思考 】 电力线是物理实在吗？
库仑力是有心力，是保守力。
41
42电偶极子
43
一对等量正点电荷
44一对异号不等量点电荷
45
平板电容器
46
站在雷雨中的高地
47
讨论：
高斯定理只是静电场两个基本定理之一，与下面讲的环路定理结合，才能完备描述静电场。
但这不在于数学上的困难。
1,电荷分布无对称性，只用高斯定理能求场强分布吗？
),,(?zyxE?),,( 000 zyx?
)(0
1
SS
iqSdE?
不能。
48
2,对所有平方反比的有心力场,高斯定理都适用 。
r
r
Gmg?
2
引力场场强,
S i
imGSdg?4
通过闭合曲面通量,
总结：
场的观点 场强叠加原理点电荷场叠加 （ 任意电荷分布 ）?电场分布高斯定理 （ 电荷分布有对称性 ）?电场分布静电的应用：
49
补充：高斯定理的微分形式
1,电场的散度 （ divergence）
S
V
P
V
SE
E S
V
d
l i m d i v
0
电场在 P点 的散度定义为
S SE d
为 通过 包围 P点的封闭曲面 S的电通量其中
50
0
1d i v EE
静电场是有源场,源头是电荷密度不为零的那些点 。
2,高斯定理的微分形式
51
证明：
i
S
Vi V
SE
E i
i
d
lim)( d i v
0
Si
ViPi
S
V
i SVi
iiV
iii
SEVE
dl i m)( d i vl i m
00
SV
SEVE
dd)( d i v?
)(0
1
S
iq?
52
)(0
1
d)( d i v
S
i
V
qVE?
因 V任意，则得 高斯定理的微分形式
0
1d i v?E?
VV
VVE d1d)( d i v
0
VS
i Vq d
)(
)(0
1
SS
iqSdE?
（积分形式）
53
E? div
3,散度的计算
x,y,z x
y
z
z? y
xV
SE
S
V
d
lim
0
zyzyxEzyxxE
zyx
xx
z
y
x
),,(),,(
1
l i m
0
0
0
54
E
z
E
y
E
x
E
zyxEzyxxE
x
zyx
xx
x
),,(),,(
1
lim
0
z
k
y
j
x
i
梯度算符
0
1 E?
高斯定理的微分形式可写成
大学物理 A(1)
电磁学（第三册）
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2005年春季学期 陈信义编第 1章 静止电荷的电场电磁学（第三册）
3
【 演示实验 】 点电荷平面电荷电力线,静电跳球摆球滚筒,日光灯的静电启辉
§ 1.1 电荷
§ 1.3 电场和电场强度
§ 1.5 -6 电通量 高斯定理
§ 1.2 库仑定律与叠加原理
§ 1.4 静止的点电荷的电场及其叠加
§ 1.7 利用高斯定理求静电场的分布补充,高斯定理的微分形式目 录
4
§ 1.1 电荷
密立根 （ R.A.Millikan） 带电油滴实验
（ 1906?1917,1923年诺贝尔物理奖）
2,电荷是量子化 (quantization)的基本电荷
e =1.60217733(49)?10-19C
1,电荷只有正,负两种电磁现象归因于电荷及其运动
宏观电磁学 — 电荷值连续
夸克 （ quark） 带分数电荷 和但实验未发现自由夸克（夸克囚禁） 3e? 3/2e
5
在不同惯性系中观测,同一带电粒子的电量相同 。
4,电荷是一个洛仑兹不变量
3,电荷守恒,在宏观和微观上,电荷总量守恒。
5,有电荷就有质量静质量为零的粒子,例如光子,只能是电中性的 。
,但是,都精确电中性 ！
2HHe pp
sJ10~2 34px
不确定关系：
例如：
H2 He
质子动量：
6
1/40= 8.9880?109 N·m2/C2
9?109 N·m2/C2
0— 真空介电常数 (Permittivity of vacuum)
0 = 8.85?10-12 C2/N·m2
§ 1.2 库仑定律与叠加原理惯性系，真空中的两静止 （ 或低速 ） 点电荷 间的作用力为
212
210
21
21?4 rr
qqF
q2q1
12F
21F
21?r
21r
一、库仑定律
7
平方反比规律
(与万有引力定律类似 )
如果指数严格等于 2,则 光子静质量为零 。
光子静质量上限为 10-48 kg.
16)2( 101.37.2,r
实验结果
8
【 例 】 比较氢原子中的质子和电子间的库仑力和万有引力 。
oA53.0?
epr
N101.8
m1053.0
C106.1
C
mN
109
4
1
8
2
10
2
19
2
2
9
2
2
0
r
e
F
e
9
N107.3
m1053.0
kg107.1kg101.9
skg
m
107.6
47
2
10
2731
2
3
11
2
r
mm
GF
pe
g
3910?ge FF库仑力 >>引力：
强力 >>电磁力 >>弱力 >>引力原子核中的核子 （ 质子,中子 ） 靠强力吸引,库仑排斥很弱 。
宏观物体靠分子、原子间的库仑力维系。
10
二,电力的叠加原理实验表明,两个点电荷之间的作用力并不因第三个点电荷的存在而改变 。
在电磁场的量子效应中，经典叠加原理不成立。
两个以上的点电荷对一个点电荷的作用力,
等于各个点电荷单独存在时对该点电荷作用力的矢量和
i
iFF
11
§ 1.3 电场和电场强度检验电荷
（ 静止 ）
q0
定义 电场强度：
0q
FE
即,静止的单位正电荷所受的电力 。静止或运动任意电荷分布
F 测受力惯性系，点 p(x,y,z)
12
场的观点?Maxwell电磁理论静止电荷间的作用也可认为是“超距作用”
场的观点,电荷之间的相互作用是通过电场传递的，或者说电荷周围存在电场。
变化的电 磁 场以光速传播,场 具有动量、质量移动带电体，电场力作功,场具有能量电场中的带电体，受电场的作用力。
电场物质性的表现
真空 (vacuum)— 什么都没有吗？
电磁场的零点振动 真空涨落 自发辐射
13
BvqEqF
静 静动 动源电荷
q
q
电荷间的作用力与电场的关系
EqF
EqF
EqF
14
静电场 — 在相对场源电荷静止的参考系中观测到的电场 。
静止点电荷的电场 r
r
qE?
4 20
§ 1.4 静止点电荷的电场及其叠加电力的叠加原理?电场叠加原理：
在 n 个点电荷产生的电场中，某点的电场强度等于每个电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和
n
i
iEE
1
＝
15
连续分布电荷的电场：
库仑定律 +电场叠加原理? 完备描述静电场
r
r
VE
V
4
d
2
0
r
r
VE?
4
dd
2
0
V
EE
d
V
zz
V
yy
V
xx
EE
EE
EE
d
d
d
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【 例 】 求电偶极子中垂线远点的场强电偶极子 (Electric dipole)：
靠得很近的等量异号点电荷对
-q
q
l
电偶极矩 （ Dipole moment）：
lqp
17
电偶极子中垂线上远点的场强：
EEE
E? r -3,比点电荷的电场的衰减得快 。
rr
- r
+
l
E
E
+
E
-
+ q
- q
p
3
0
3
0 4
)(
4?
r
rq
r
rq
)(
4 30
rr
r
q
3
04 r
lq
3
04 r
p
3
04 r
pE
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【 例 】 电场中的电偶极子在均匀电场中，受合力为零。
+
-
l?
E?
EpM
在均匀电场中受的力矩：
力矩使 p 尽量和 E 方向一致。
电场不均匀，合力不为零。
在电场中，受力矩作用。
19
+
-
o
r
r
l?
Eq?
Eq
E?
计算关于任意一点 O的力矩：
)()( EqrEqrM
Ep
Elq
)()( Eqrr
20
解,把 q 分成无限多 dq,dq 的场强为 E?d
对称性?所有 dE?相互抵消
【 例 】 求均匀带电细圆环轴线上任一点的场强
R
dq
o
r
x
dEII
dE
p
qdE
21
//d EE
当 x>>R时，圆环?点电荷。
R
dq
o
r
x
dEII
dE
p
qdE
2
3
22
0
3
0
2
0
2
0
)(4
44
c o s
4
d
c o sd
xR
qx
r
qx
r
x
r
q
r
q
E
q
q
22
dEp x
xR
r
dr
dq
s
【 例 】 求半径为 R,面电荷密度为 s 的带电圆盘在轴线上产生的场强 。
解,对半径为 r,宽度为 dr的圆环的电场积分得
21
22
0
1
2 xR
xE
s
23
(1)当 x << R，圆盘?“无限大”带电平板
02?
s?E
(2)当 x>>R，圆盘?点电荷
2
04 x
qE
21
22
0
1
2 xR
xE
s
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§ 1.5-6 电通量 高斯定理通过面元的电通量的符号,与 面元矢量方向的定义有关 。
一、电通量 (Flux)
q c o sSE?
1、通过面元?S 的电通量
nSE
SE
面元法向单位矢量
，则有
n
E
S
q
q
Scosq
nSS定义 面元矢量
25
2、通过曲面 S 的电通量
S
i
ii
S
SdE
SE
0
l i m
3、通过闭合曲面 S的电通量
S
SdE
E?S?d
S
S
iS
iE
iS
面元 可定义两个指向
S?d规定 的方向指向外为正
的正负依赖于面元指向的定义
26
0,电通量 向外,流”
0,电通量 向内,流”
S
SdE
E?S?d
S
二、高斯定理其中 S为任意闭合曲面 — 高斯面。
在真空中的静电场内,通过任意闭合曲面的电通量,等于该曲面所包围的电量的代数和的
1/?0 倍
)(0
1
S
i
S
qSE
d
iq
Q
— 电通量与电量的关系
27
（ 1） E是曲面上的某点处的场强,是由 全部电荷 （ 面 S内,外 ） 共同产生的 。
注意：
（ 2） 只有闭合曲面 内部的电荷,才对总通量有贡献 。
E?S?d
S
iq
Q
)(0
1
S
i
S
qSE d
28
0
2
2
0
2
0
/
4
4
4
q
r
r
q
S
r
q
S
S
d
d
定理的证明：
（ 1） 通过包围点电荷 q 的 同心球面 的电通量为 q/?0
q
n
S
E
r
S
29?qq ddd s i n
在球坐标系中
22
ddd
r
rS
r
S
立体角的概念：
x
q
d S
r
r
d S
d?
q
y
z Sd
Sd
r?
30
SS r
S
2
dd?
闭合曲面对内部一点所张立体角为 4?。
S
Sr d21
2
24
r
r
4?
证明：
O
dS
d?
S
r
dS?
31
（ 2） 通过包围点电荷 q 的 任意 闭合曲面的电通量为 q/?0
d
d
dd
0
2
0
4
4
q
r
Sq
SE
q
dS
r
dS?d? r' E
S
004?
SS
dd
通过闭合面 S 的电通量：
dd
04
q
32
044
00
dddd qq
（ 3） 任意 闭合曲面 外的点电荷通过该曲面的电通量为零 。
（ 4） 多个点电荷的电通量等于它们单独存在时电通量的和 （ 场叠加原理 ）
,?2
r
rS
dd?
2
dd
r
rS
q
Sd
Sd
r?
r
r? S
d
2
d
r
rS
rS?d
rS?d
33
对称性分析 选高斯面一,均匀带电球面的电场分布
1、对称性分析电荷分布球对称?电场分布球对称
（场强沿径向，只与半径有关）
2、选高斯面为同心球面
§ 1.7 利用高斯定理求静电场的分布电荷对称分布情况
Q
34
3、球面外电场分布
4、球面内电场分布
S
QSE 0d?
0＝内E
【 思考 】 为什么在 r = R 处 E 不连续？
R rQ
r
E
0 R
r
r
QE?
4 20
外
24d rESE
S
35
二,均匀带电球体的电场分布
R r
E
0
rr
R
QrE
0
3
0 3
4
1
球体内：
r
r
QE?
4 20
球体外：
36
三,无限长圆柱面 (线电荷密度?)的电场分布解,（ 1）场强 轴对称 沿径向
（ 2）选半径 r高 h的同轴圆柱面为高斯面
（ 3）柱面外
0/2 hSESErhE
SS
dd
（ 4） 圆柱面内
)(,0 RrE
r E
h
S
S'
RrrE,2
0
0/2 hrhE?
37
四,带电无限大平板 (面电荷密度 s)的电场分布电场垂直于板，在与板平行的面上电场处处相等，与板等远处电场的大小相等。
解,
0/2?s SSE ＝
s+
S S S
s
EE
02?
s＝E 与板垂直的均匀场
38
+
+
+
+
+
+
＋ s?
－ s
【 思考 】 带等量异号电荷的两个无限大平板之间的电场为,板外电场为 。
0?s 0
39
五、电力线电力线条数密度表示场强大小电力线上某点的切向和该点场强方向一致用电力线描述电场：
在真空中的静电场内,通过任意闭合曲面的 电力线的条数 等于该曲面所包围的电量的代数和的 1/?0倍 。
用电力线叙述高斯定理：
40
电力线的性质：
1,静电场的电力线始于正电荷 （ 或无穷远 ）,
终于负电荷 （ 或无穷远 ） 。
2、电力线不相交 （场强的单值性）
3、静电场的电力线不闭合电力线连续,不会在没有电荷的地方中断
【 思考 】 用高斯定理证明以上性质。
【 思考 】 电力线是物理实在吗？
库仑力是有心力，是保守力。
41
42电偶极子
43
一对等量正点电荷
44一对异号不等量点电荷
45
平板电容器
46
站在雷雨中的高地
47
讨论：
高斯定理只是静电场两个基本定理之一，与下面讲的环路定理结合，才能完备描述静电场。
但这不在于数学上的困难。
1,电荷分布无对称性，只用高斯定理能求场强分布吗？
),,(?zyxE?),,( 000 zyx?
)(0
1
SS
iqSdE?
不能。
48
2,对所有平方反比的有心力场,高斯定理都适用 。
r
r
Gmg?
2
引力场场强,
S i
imGSdg?4
通过闭合曲面通量,
总结：
场的观点 场强叠加原理点电荷场叠加 （ 任意电荷分布 ）?电场分布高斯定理 （ 电荷分布有对称性 ）?电场分布静电的应用：
49
补充：高斯定理的微分形式
1,电场的散度 （ divergence）
S
V
P
V
SE
E S
V
d
l i m d i v
0
电场在 P点 的散度定义为
S SE d
为 通过 包围 P点的封闭曲面 S的电通量其中
50
0
1d i v EE
静电场是有源场,源头是电荷密度不为零的那些点 。
2,高斯定理的微分形式
51
证明：
i
S
Vi V
SE
E i
i
d
lim)( d i v
0
Si
ViPi
S
V
i SVi
iiV
iii
SEVE
dl i m)( d i vl i m
00
SV
SEVE
dd)( d i v?
)(0
1
S
iq?
52
)(0
1
d)( d i v
S
i
V
qVE?
因 V任意，则得 高斯定理的微分形式
0
1d i v?E?
VV
VVE d1d)( d i v
0
VS
i Vq d
)(
)(0
1
SS
iqSdE?
（积分形式）
53
E? div
3,散度的计算
x,y,z x
y
z
z? y
xV
SE
S
V
d
lim
0
zyzyxEzyxxE
zyx
xx
z
y
x
),,(),,(
1
l i m
0
0
0
54
E
z
E
y
E
x
E
zyxEzyxxE
x
zyx
xx
x
),,(),,(
1
lim
0
z
k
y
j
x
i
梯度算符
0
1 E?
高斯定理的微分形式可写成
