1
2005年春季学期 陈信义编电磁学（第三册）
第 4章 静电场中的导体
2
目 录
【 演示实验 】 鸟笼演示静电屏蔽,空心球壳演示静电屏蔽,电风轮演示尖端放电,电风吹火演示尖端放电,正负电荷间的尖端放电
§ 4.1 导体的静电平衡条件
§ 4.3 有导体存在时静电场的分析与计算
§ 4.2 静电平衡的导体上的电荷分布
§ 4.4–4.5 静电场的唯一性定理 静电屏蔽补充,静电场唯一性定理的证明
3
§ 4.1 导体的静电平衡条件静电平衡,导体 放入电场? 自由电子定向运动? 改变导体电荷分布? 改变电场? ····
金属导体,存在大量可自由移动的 自由电子,
自由电子对电场变化响应很快 （ 10－ 19s） 。
有导体存在时电场的性质？
电场一般利用带电导体形成。
只讨论各向同性、均匀的金属导体。
—称 电场和导体之间达到 静电平衡导体内部和表面无自由电荷的定向移动
4
E内 =0,E表面?表面
E0
静电平衡的形成：
+
+++
+
E
E＝ 0
静电平衡的条件,
导体内部 E内 =0,E表面?表面 。
导体成为等势体，表面成为等势面。
5
一,导体内部净电荷处处为零,电荷只能分布在表面上 。
§ 4.2 静电平衡的导体上的电荷分布
0,0 vSEE
V
in
S
inin dd?
实心导体，电荷只分布在表面上。
有空腔的导体如果腔内无带电体,则电荷只分布在导体外表面上,内表面无电荷 。
0,00 inininE
( )
0?in?V
可任取，则
6
+
+
+
++
+ +
++
+
+
++
+
+
++
+ +
++
+
+
+
+
-E
腔内无带电体内表面无电荷，电荷只分布在外表面上。
等势体
【 演示实验 】 空心导体
7
+
+
+
++
+ +
++
+
+
+
腔内有带电体
【 思考 】 移动 腔内 带电体或改变 腔内 带电体电量,是否影响内,外表面电荷分布？
由导体内场强为零和高斯定理,内表面带与腔内带电体等量反号电荷 。
+
+++
8
二,静电平衡导体的表面电荷密度,与当地表面紧邻处的电场强度的大小成正比 。
nE?
0?
0
0 SSES
【 思考 】 场强 E只 由 电荷S 产生 吗？
0?
E
E?
n?
S?
S
0?inE?
9
三,孤立导体处于静电平衡时,表面曲率大处,面电荷密度大 —电场强度大 。
【 演示实验 】 尖端放电
静电平衡导体尖端放电
10
雷击尖端
11
§ 4.3 有导体存在时静电场的分析与计算电荷守恒、静电平衡条件、高斯定理
【 例 】 面电荷密度为?0
的无限大绝缘板旁,有一无限大的原不带电的导体平板 。 求静电平衡后导体板两表面的面电荷密度 。
12
解,设导体板两表面电荷密度为?1 和?2
电荷守恒：
1 +?2 = 0
静电平衡条件：
E0+E1-E2 = 0
0/(2?0) +?1/(2?0) –?2/(2?0) = 0
1 –?2= –?0 结果,?1 = –?0 /2
2 =?0 /2
1?2
E0
E2 E
1
13
【 例 】 带电导体球 A与带电导体球壳 B同心,求
（ 1） 各表面电荷分布
（ 2） 导体球 A的电势 UA
（ 3） 将 B接地,各表面电荷分布 。
（ 4） 将 B的地线拆掉后,再将 A接地时各表面电荷分布 。
R3 R2
R1B A q
Q
14
A 表面,q
解,
（ 1）求 表面电荷
（ 2） 求 A的电势 UA
三层均匀带电球面,电势叠加
302010 444 R
qQ
R
q
R
qU
A
R3 R2
R1B A qQB 内表面,
B 外表面,Q+q
-q
-q
Q +q
15
B 内表面,-q
A 表面,q
（ 3） B 接地,求 表面电荷。
B 外表面,无电荷
0
4 30
R
qU B
B
外
B qA
- q
B
R3
0?BU接地结果：
16
（ 4） B的接地线拆掉,再将 A接地,求 表面电荷。
设 A表面 电荷为 q?
则 B 内表面,-q?
B 外表面,-q +q?
0
444 302010
R
qq
R
q
R
qU
A
可解出 q?(? q) 。
B
A q?
- q? -
q + q?
U A =0
UA= 0
17
针对特定体系,边界 S内只包围若干个静止导体,给定导体的几何形状,相互位置 。
§ 4.4–4.5 静电场的唯一性定理 静电屏蔽边界 S
导体 Ⅰ 导体 Ⅱ
自由空间,E=?
此外,再给定哪些条件,边界 S内自由 空间的电场才能唯一确定？
18
0)( 2 UUE?
给定哪些边值条件,边界 S内自由 空间的电场才能唯一确定？
一,静电边值问题
0,
0
E
自由空间,0
解出,由 求电场分布。),,( zyxU UE
静电边值问题：
02 U
边值条件
19（ 3） 给定一些导体的 电势 和其余导体的 电量 。
（ 1）给定每一个导体的 电势。
（ 2）给定每一个导体的 电量。
给定边界 S上的电势分布,或,再给定下列条件之一,S内 静电场分布唯一确定
SU nU S
导体 Ⅰ 导体 Ⅱ
自由空间,E=?
n?
S
二,静电场的唯一性定理
20
不论导体壳是否接地,壳内电场都不受壳外电荷位置和数量变化的影响,壳外电场也不受壳内电荷位置变化的影响 。
唯一性定理的证明见本章补充。
三,静电屏蔽金属 导体壳
Qin
Qout
但为了使壳外电场不受壳内电荷数量变化的影响,导体壳必须接地 。
21
Qin
Qout
-Qin
Qin
1、导体壳不接地壳内空间的边值条件,Qin,– Qin
壳外空间的边值条件,Qin,Qout
S
0 nU S
等势体
22
壳外 Qout位置和数量变化,不改变壳内空间的边值条件,因此,不改变壳内空间电场分布 。
壳内 Qin位置变化,不改变壳外空间电场分布 。
Qin
Qout
-Qin
Qin
S
0 nU S
等势体
但壳内 Qin数值变化,改变壳外表面电荷 Qin，
因此,将改变壳外空间的电场分布 ！
23
2、导体壳接地壳内边值条件,Qin,U=0
壳外边值条件,Qout,U=0
一个接地的封闭金属壳,可以起到壳内外互不影响的屏蔽作用 。
Qin
Qout
US=0
S
U=0
24
静电屏蔽的应用金属表面对电磁波有很强的反射作用,反射系数几乎是 1。 所以 封闭的金属导体壳可以完全屏蔽电磁波 。
电磁波进入导体的深度称为,穿透深度,,
它正比于,高频电磁波的穿透深度很小,
很快衰竭 。
1
3,电磁波的屏蔽原因：导体中自由电子在入射场驱动下形成传导电流,其焦耳热消耗了电磁场的能量 。
25
【 思考题解答 】
+
+
+
++
+ +
++
+
+
+
+
+++
带电体移动金属 腔内 带电体,或改变 腔内 带电体的电量,不影响外表面电荷分布,只影响内表面电荷分布 。
S
0 nU S
26
四,电像法介绍
【 例 】 点电荷 q放在 无限大接地导体平板上方
h处 。 求板面上的电荷分布 。
h
q
o
27
边界面内导体电量给定为 q。
板上方空间的电场分布是唯一的。
U=0
U?=0
h
q
o
边界面电势给定 U=U?=0，
按静电唯一性定理：
解：
E?
28
上方空间和所求空间的边值条件 （ U=U?=0,q）
相同 。
由唯一性定理,上方空间电场，即为所求。
U=0
U?=0
h
q
h
-q（ q 的电象）
用 q的电象 –q，
代替接地板对上方空间电场的作用 。
29
232204
2
ha
qhE
p
2322
0
2 ha
qh
E pp
U=0
U?=0
h
q
h
-q
p
a
pE
电象法本质,用域外的象电荷来等效边界上的未知电荷对域内的影响,以简化计算 。
30
就一般情况,给定一些导体的电势和其余导体的电量,证明 。
假设存在两个解,UU,
即电场的分布唯一确定。
如果能证明 UU 则 EE＋常数，
nUUQU
U
SSIII
2
,,
0
或给定 或
SU nU S
给定导体 Ⅰ
U Ⅰ
导体 Ⅱ
给定 Q Ⅱ
自由空间,E=?
n?
S
补充,静电场唯一性定理的证明静电边值问题：
31
把导体 Ⅱ 的电荷条件变换成电势条件
Ⅱ
ⅡⅡ
S
QsE
d0?
ⅡS
其中 代表 导体 Ⅱ 的外表面。
Ⅱ
Ⅱ
Ⅱ
S
Qs
n
U
d0?
得电势条件：
32
nUUQs
n
U
U
U
S
SS0I
2
,d,
0
或
Ⅱ
Ⅱ
Ⅱ?
静电边值问题改写成：
给定 或
SU nU S
给定导体 Ⅰ
U Ⅰ
导体 Ⅱ
给定 Q Ⅱ
ⅡS
n? n?
Ⅱ
Ⅱ
Ⅱ
S
QsnU d0?
33
n
U
n
U
UUQs
n
U
UU
U
S
SS
SS0
2
,d,
0
II 或
Ⅱ
Ⅱ
Ⅱ?
n
U
n
U
UUQs
n
U
UU
U
S
SS
SS0
2
,d,
0
II 或
Ⅱ
Ⅱ
Ⅱ?
设存在两个解,和U? U,令 UUU*
00,0d,0
0
S
*
S
*
*
*
*2
n
U
Us
n
U
U
U
S
或
Ⅱ
Ⅱ
Ⅰ
34
常数 UUU *如果,则电场分布唯一。
1,先证明下式成立
sUUVU
V
dd **2*
V?其中 代表任意封闭面 包围的自由空间体积。
00,0d,0
0
S
*
S
*
*
*
*2
n
U
Us
n
U
U
U
S
或
Ⅱ
Ⅱ
Ⅰ
关于 的边值问题,*U
（ 向外为正）
35
2*
*2***
**
U
UUUU
UUA
sAVA
V
dd
高斯定理（数学）：
** UUA设：
sUUVU
V
dd **2*
即得：
常数 UUU *2,再证明零
36
sUUVU
V
dd **2*
sUUVU
V
dd **2*
sUUsUUsUU
VUVUVU
SSS
SS
VVV
ddd
ddd
******
2
*
2
*
2
*
ⅡⅠ
ⅡⅡⅠⅠ
－
S
导体 Ⅱ导体 Ⅰ
ⅠS
ⅡS
V
V
n?
n?
n?
导体 Ⅰ 界面导体 Ⅱ 界面
37
s
n
UUsUUs
n
UU
SSS
S
S ddd
*
***
*
*
ⅡⅠ
Ⅱ
ⅡⅠⅠ
00,0d,0
0
S
*
S
*
*
*
*2
n
U
Us
n
U
U
U
S
或
Ⅱ
Ⅱ
Ⅰ
sUUsUUsUU
VU
SSS
SS
V
ddd
d
******
2
*
ⅡⅠ
ⅡⅡⅠⅠ
原体系的电场分布是唯一的。 证毕。
,0* U 常数 UUU *所以 即,
等势
0?
2005年春季学期 陈信义编电磁学（第三册）
第 4章 静电场中的导体
2
目 录
【 演示实验 】 鸟笼演示静电屏蔽,空心球壳演示静电屏蔽,电风轮演示尖端放电,电风吹火演示尖端放电,正负电荷间的尖端放电
§ 4.1 导体的静电平衡条件
§ 4.3 有导体存在时静电场的分析与计算
§ 4.2 静电平衡的导体上的电荷分布
§ 4.4–4.5 静电场的唯一性定理 静电屏蔽补充,静电场唯一性定理的证明
3
§ 4.1 导体的静电平衡条件静电平衡,导体 放入电场? 自由电子定向运动? 改变导体电荷分布? 改变电场? ····
金属导体,存在大量可自由移动的 自由电子,
自由电子对电场变化响应很快 （ 10－ 19s） 。
有导体存在时电场的性质？
电场一般利用带电导体形成。
只讨论各向同性、均匀的金属导体。
—称 电场和导体之间达到 静电平衡导体内部和表面无自由电荷的定向移动
4
E内 =0,E表面?表面
E0
静电平衡的形成：
+
+++
+
E
E＝ 0
静电平衡的条件,
导体内部 E内 =0,E表面?表面 。
导体成为等势体，表面成为等势面。
5
一,导体内部净电荷处处为零,电荷只能分布在表面上 。
§ 4.2 静电平衡的导体上的电荷分布
0,0 vSEE
V
in
S
inin dd?
实心导体，电荷只分布在表面上。
有空腔的导体如果腔内无带电体,则电荷只分布在导体外表面上,内表面无电荷 。
0,00 inininE
( )
0?in?V
可任取，则
6
+
+
+
++
+ +
++
+
+
++
+
+
++
+ +
++
+
+
+
+
-E
腔内无带电体内表面无电荷，电荷只分布在外表面上。
等势体
【 演示实验 】 空心导体
7
+
+
+
++
+ +
++
+
+
+
腔内有带电体
【 思考 】 移动 腔内 带电体或改变 腔内 带电体电量,是否影响内,外表面电荷分布？
由导体内场强为零和高斯定理,内表面带与腔内带电体等量反号电荷 。
+
+++
8
二,静电平衡导体的表面电荷密度,与当地表面紧邻处的电场强度的大小成正比 。
nE?
0?
0
0 SSES
【 思考 】 场强 E只 由 电荷S 产生 吗？
0?
E
E?
n?
S?
S
0?inE?
9
三,孤立导体处于静电平衡时,表面曲率大处,面电荷密度大 —电场强度大 。
【 演示实验 】 尖端放电
静电平衡导体尖端放电
10
雷击尖端
11
§ 4.3 有导体存在时静电场的分析与计算电荷守恒、静电平衡条件、高斯定理
【 例 】 面电荷密度为?0
的无限大绝缘板旁,有一无限大的原不带电的导体平板 。 求静电平衡后导体板两表面的面电荷密度 。
12
解,设导体板两表面电荷密度为?1 和?2
电荷守恒：
1 +?2 = 0
静电平衡条件：
E0+E1-E2 = 0
0/(2?0) +?1/(2?0) –?2/(2?0) = 0
1 –?2= –?0 结果,?1 = –?0 /2
2 =?0 /2
1?2
E0
E2 E
1
13
【 例 】 带电导体球 A与带电导体球壳 B同心,求
（ 1） 各表面电荷分布
（ 2） 导体球 A的电势 UA
（ 3） 将 B接地,各表面电荷分布 。
（ 4） 将 B的地线拆掉后,再将 A接地时各表面电荷分布 。
R3 R2
R1B A q
Q
14
A 表面,q
解,
（ 1）求 表面电荷
（ 2） 求 A的电势 UA
三层均匀带电球面,电势叠加
302010 444 R
R
q
R
qU
A
R3 R2
R1B A qQB 内表面,
B 外表面,Q+q
-q
-q
Q +q
15
B 内表面,-q
A 表面,q
（ 3） B 接地,求 表面电荷。
B 外表面,无电荷
0
4 30
R
qU B
B
外
B qA
- q
B
R3
0?BU接地结果：
16
（ 4） B的接地线拆掉,再将 A接地,求 表面电荷。
设 A表面 电荷为 q?
则 B 内表面,-q?
B 外表面,-q +q?
0
444 302010
R
R
q
R
qU
A
可解出 q?(? q) 。
B
A q?
- q? -
q + q?
U A =0
UA= 0
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针对特定体系,边界 S内只包围若干个静止导体,给定导体的几何形状,相互位置 。
§ 4.4–4.5 静电场的唯一性定理 静电屏蔽边界 S
导体 Ⅰ 导体 Ⅱ
自由空间,E=?
此外,再给定哪些条件,边界 S内自由 空间的电场才能唯一确定？
18
0)( 2 UUE?
给定哪些边值条件,边界 S内自由 空间的电场才能唯一确定？
一,静电边值问题
0,
0
E
自由空间,0
解出,由 求电场分布。),,( zyxU UE
静电边值问题：
02 U
边值条件
19（ 3） 给定一些导体的 电势 和其余导体的 电量 。
（ 1）给定每一个导体的 电势。
（ 2）给定每一个导体的 电量。
给定边界 S上的电势分布,或,再给定下列条件之一,S内 静电场分布唯一确定
SU nU S
导体 Ⅰ 导体 Ⅱ
自由空间,E=?
n?
S
二,静电场的唯一性定理
20
不论导体壳是否接地,壳内电场都不受壳外电荷位置和数量变化的影响,壳外电场也不受壳内电荷位置变化的影响 。
唯一性定理的证明见本章补充。
三,静电屏蔽金属 导体壳
Qin
Qout
但为了使壳外电场不受壳内电荷数量变化的影响,导体壳必须接地 。
21
Qin
Qout
-Qin
Qin
1、导体壳不接地壳内空间的边值条件,Qin,– Qin
壳外空间的边值条件,Qin,Qout
S
0 nU S
等势体
22
壳外 Qout位置和数量变化,不改变壳内空间的边值条件,因此,不改变壳内空间电场分布 。
壳内 Qin位置变化,不改变壳外空间电场分布 。
Qin
Qout
-Qin
Qin
S
0 nU S
等势体
但壳内 Qin数值变化,改变壳外表面电荷 Qin，
因此,将改变壳外空间的电场分布 ！
23
2、导体壳接地壳内边值条件,Qin,U=0
壳外边值条件,Qout,U=0
一个接地的封闭金属壳,可以起到壳内外互不影响的屏蔽作用 。
Qin
Qout
US=0
S
U=0
24
静电屏蔽的应用金属表面对电磁波有很强的反射作用,反射系数几乎是 1。 所以 封闭的金属导体壳可以完全屏蔽电磁波 。
电磁波进入导体的深度称为,穿透深度,,
它正比于,高频电磁波的穿透深度很小,
很快衰竭 。
1
3,电磁波的屏蔽原因：导体中自由电子在入射场驱动下形成传导电流,其焦耳热消耗了电磁场的能量 。
25
【 思考题解答 】
+
+
+
++
+ +
++
+
+
+
+
+++
带电体移动金属 腔内 带电体,或改变 腔内 带电体的电量,不影响外表面电荷分布,只影响内表面电荷分布 。
S
0 nU S
26
四,电像法介绍
【 例 】 点电荷 q放在 无限大接地导体平板上方
h处 。 求板面上的电荷分布 。
h
q
o
27
边界面内导体电量给定为 q。
板上方空间的电场分布是唯一的。
U=0
U?=0
h
q
o
边界面电势给定 U=U?=0，
按静电唯一性定理：
解：
E?
28
上方空间和所求空间的边值条件 （ U=U?=0,q）
相同 。
由唯一性定理,上方空间电场，即为所求。
U=0
U?=0
h
q
h
-q（ q 的电象）
用 q的电象 –q，
代替接地板对上方空间电场的作用 。
29
232204
2
ha
qhE
p
2322
0
2 ha
qh
E pp
U=0
U?=0
h
q
h
-q
p
a
pE
电象法本质,用域外的象电荷来等效边界上的未知电荷对域内的影响,以简化计算 。
30
就一般情况,给定一些导体的电势和其余导体的电量,证明 。
假设存在两个解,UU,
即电场的分布唯一确定。
如果能证明 UU 则 EE＋常数，
nUUQU
U
SSIII
2
,,
0
或给定 或
SU nU S
给定导体 Ⅰ
U Ⅰ
导体 Ⅱ
给定 Q Ⅱ
自由空间,E=?
n?
S
补充,静电场唯一性定理的证明静电边值问题：
31
把导体 Ⅱ 的电荷条件变换成电势条件
Ⅱ
ⅡⅡ
S
QsE
d0?
ⅡS
其中 代表 导体 Ⅱ 的外表面。
Ⅱ
Ⅱ
Ⅱ
S
Qs
n
U
d0?
得电势条件：
32
nUUQs
n
U
U
U
S
SS0I
2
,d,
0
或
Ⅱ
Ⅱ
Ⅱ?
静电边值问题改写成：
给定 或
SU nU S
给定导体 Ⅰ
U Ⅰ
导体 Ⅱ
给定 Q Ⅱ
ⅡS
n? n?
Ⅱ
Ⅱ
Ⅱ
S
QsnU d0?
33
n
U
n
U
UUQs
n
U
UU
U
S
SS
SS0
2
,d,
0
II 或
Ⅱ
Ⅱ
Ⅱ?
n
U
n
U
UUQs
n
U
UU
U
S
SS
SS0
2
,d,
0
II 或
Ⅱ
Ⅱ
Ⅱ?
设存在两个解,和U? U,令 UUU*
00,0d,0
0
S
*
S
*
*
*
*2
n
U
Us
n
U
U
U
S
或
Ⅱ
Ⅱ
Ⅰ
34
常数 UUU *如果,则电场分布唯一。
1,先证明下式成立
sUUVU
V
dd **2*
V?其中 代表任意封闭面 包围的自由空间体积。
00,0d,0
0
S
*
S
*
*
*
*2
n
U
Us
n
U
U
U
S
或
Ⅱ
Ⅱ
Ⅰ
关于 的边值问题,*U
（ 向外为正）
35
2*
*2***
**
U
UUUU
UUA
sAVA
V
dd
高斯定理（数学）：
** UUA设：
sUUVU
V
dd **2*
即得：
常数 UUU *2,再证明零
36
sUUVU
V
dd **2*
sUUVU
V
dd **2*
sUUsUUsUU
VUVUVU
SSS
SS
VVV
ddd
ddd
******
2
*
2
*
2
*
ⅡⅠ
ⅡⅡⅠⅠ
－
S
导体 Ⅱ导体 Ⅰ
ⅠS
ⅡS
V
V
n?
n?
n?
导体 Ⅰ 界面导体 Ⅱ 界面
37
s
n
UUsUUs
n
UU
SSS
S
S ddd
*
***
*
*
ⅡⅠ
Ⅱ
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