1
2005年春季学期 陈信义编第 3章 电势电磁学（第三册）
2
目 录
【 演示实验 】 高压带电操作、电容器储能
§ 3.1 静电场的保守性
§ 3.3 电势叠加原理
§ 3.2 电势差和电势
§ 3.4 电势梯度
§ 3.5 电荷在外场中的静电势能
§ 3.6 电荷系的静电能
§ 3.7 静电场的能量补充,静电场环路定理的微分形式
3
§ 3.1 静电场的保守性一、静电场是保守场
1、点电荷的静电场是保守场单位正电荷沿任意路径由点 a?b，电场力作的功 只与起、终点位置有关，与移动的路径无关。
r
r
qE?
4 20
有心力场
4
L
ba
ba
b
a
b
La
ba
UU
r
q
r
q
r
rq
rr
r
q
W
00
2
0
2
0
44
4
4
d
d
5
2、任意电荷体系的静电场是保守场电荷体系由点电荷组成 —场叠加原理
i
b
a
i
i
b
La
i
b
La
i
i
b
La
rErErErE
dddd
路径无关路径无关
— 保守性的表述二、静电场的环路定理
)(
0
L
rE?
d
静电场强沿任意闭合路径的积分等于零
L
6
二,高斯定理与环路定理完备描述静电场
(对任意电场都成立 )
)(
0
1d
S
i
S
qSE?
(只对静电场成立 )
)(
0d
L
rE?
【 思考 】 匀速运动电荷的电场是静电场吗？
v+Q
所以不是静电场！
环路积分不为零，
7
§ 3.2 电势差和电势
b
a
ba rEUU
d
静电场是保守场 —定义电势差一、电势差电势的减少＝电场力作的功单位正电荷的 电势能的差。
把单位正电荷由点 a?b电场力作的功。
8
二、电势
—把单位正电荷自该点移到电势零点,电场力作的功 。
把单位正电荷自电势零点移到该点 —外力作的功 。
0
)(
p
p
rEpU
d
00?pU选 p0 点为电势零点：,则 p点电势
9
电荷分布在有限范围 —选无穷远为电势零点
p
rdEpU
)(
通常选地球为无穷远电势零点。
电荷分布到无限远时，电势零点不能选在无限远。
电势零点的选择：
【 演示实验 】 高压带电操作
10
三,几种带电体的电势分布
r
qr
r
q
rU
r 00 4
d
4
)( 2
1,静止点电荷的电势选无穷远为电势零点
11
2,均匀带电球面的电势球面外点的电势等于处于球心的,点电荷,在该点的电势 。
球面内等电势,等于球面上的电势 。
r
q
0
U
R
R
Rr
r
q
r
r
q
Rr
R
q
r
r
q
r
rErU
r
R
R
r
r
,
44
,
44
0
)(
00
00
2
2
d
dd
d
12
Rr
r
q
RrrR
R
q
rU
,
4
,3
8
)(
0
22
3
0
3,均匀带电球体的电势
R
q r
Rrr
r
q
E
Rrr
R
qr
E
,?
4
1
,?
4
1
2
0
2
3
0
1
223
0
21 38dd)( rRR
qrErErU
R
R
r
:Rr?
R
qU
042
3)0(
球心,0 r
U
Rq
R
13
4,无限长圆柱面 (线电荷密度?) 的电势电势分布,选 点为电势零点)(
00 rrp?
Rr
r
E,
2 0
电场分布,RrE,0
R
r p
R
r p p
0r0
)l n (
2
dd)(,0
0
00
R
r
r
R
rE
r
r
rErURr
)l n (
2
)(,0
0
0
r
r
r
r
rErURr
d
14
电势零点不能选在无限远！
Rr
r
r
Rr
R
r
rU
),l n (
2
),l n (
2
)(
0
0
0
0
r
r0R0 r
p0
15
§ 3.3 电势叠加原理注意,各电荷的电势零点必须相同。
应用电场叠加原理证明,
)()(
00
pUrErEpU i
ii
p
p
i
p
p
dd
i i
EE
在电荷体系的电场中,某点电势等于各电荷单独在该点产生的电势的代数和
i
iUU
16
1、点电荷体系
n
i i
i
r
qpU
1 0
4)(
2、连续分布的电荷体系
电荷体系
r
dqpU
04
)(
dq
p
ri
qi
qj
dq
p
r
q
R
O x p
【 例 】 均匀带电圆环轴线上的电势
rqpU
04
)(
d
q
q
r
d
04
1
22
00 4
4 xR
q
r
q
rdq
18
【 例 】 两同心带电球面,求 A,B,C 点的电势 。
q1
q2
R1
R 2A
B C
rA
rB r
C
AAA r
qq
r
q
r
q
0
21
0
2
0
1
444
20
2
10
1
21 44 R
q
R
qUUU
CCC＝＋＝
20
2
0
1
21 44 R
q
r
qUUU
B
BBB＝＋＝
AAA UUU 21 ＋＝
单独在该点的电势的和 !
19
§ 3.4 电势梯度一、等势面电势相等的点组成的曲面。
1,电场线与等势面处处正交，并指向电势降低的方向。
2,两等势面相距较近处的场强大,相距较远处场强较小 。
等势面特征：
20
等势面电场线点电荷的等势面
21
+
等势面电偶极子的等势面电场线
22
两相等点电荷的等势面等势面电场线
23
等势面电场线
24
等势面电场线平行板电容器
25
人心脏的等电势线，类似于电偶极子。
26
二、场强和电势的关系证明见力学 § 4.8由势能求保守力。
电势梯度矢量,U?
静电场中某点的电场强度，等于该点电势的负梯度
k
z
U
j
y
U
i
x
U
UE
静电场强等于负电势梯度矢量。
27
U 垂直于过该点的等势面,方向是电势升高最快的方向 。
U 的基本特征：
证明：
垂直于等势面,和 与等势面相切n? k? m?
nmk?,?,?以等势面 U上 p点为原点作直角坐标系
U
U+DU
n?
k?
m?P
28
n
Un
n
Un
m
Um
k
UkU
U
U+DU
n?
k?
m?P
垂直于过该点的等势面。U?所以，
电场线与等势面处处正交 。 两等势面相距较近处的场强大,相距较远处场强较小 。
因此
29
所以,的方向是电势升高最快的方向。U?
n
U
n
UlU
l
U
c o s?
U
U+DU
n?
k?
m?P
l?
n
UnU
电场线指向电势降低最快的方向。
30
【 例 】 均匀带电球面，由电势分布求场强分布。
场强沿径向? 只要计算径向分量
0 r
U
R q
Rr
r
q
Rr
R
q
rU
,
4
,
4
)(
0
0
Rr
r
q
r
q
r
Rr
R
q
r
r
rU
E
,
44
,0
4)(
2
00
0
31
电荷的电量 × 该点的电势
qUW ＝
“电荷与电场的相互作用能”
§ 3.5 电荷在外场中的静电势能
【 例 】 氢原子中电子的静电势能
“电子与电场（质子）的相互作用能”
原子核（质子）的电势：
r
erU
04
)(
电子的静电势能：
r
erUeW
0
2
4
)()(
＝
32
【 例 】 电偶极子在均匀外电场中的电势能
WWW
EpW,
（受力矩,）EpM
EpW
【 思考 】 势能 W随 p的取向如何变化？
- q
E
l
+ q
lqp证明：
c o sd EllEUU
qUqU
UUq
33
§ 3.6 电荷体系的静电能一、点电荷体系的相互作用能其中 Ui 为 qi 所在处,由 qi 以外的 其它电荷 所产生的电势 。
把 n 个静止点电荷从现有位置彼此分散到无穷远时,它们间的静电力所作的功,称为这 n 个点电荷间的相互作用能
i
n
i
i UqW?
12
1
34
证明：
1,n=2
r
qqr
r
qqW
r 0
21
2
0
21
4
d
4
固定 q1，把 q2移到无限远电场力做的功
r
qU
r
qU
0
2
1
0
1
2 4,4
221121 UqUqW写成对称形式即
q2
q1 r
1122 qUqUW
35
2,n=3 q3
q2q1
11333133222322111221 qUqUqUqUqUqUW
类推，得
i
n
i
i UqW?
12
1
33231223211131221 qUUqUUqUU
33221121 qUqUqU
36
式中 U为在带电体上,所有电荷在电荷元
dq 处的电势 。
二、连续分布的电荷体系的静电能
— 各电荷元间的静电相互作用能
（带电体）
＝ qUW d
2
1
【 思考 】 为什么不包括电荷元 dq 的自能？
37
R
q
【 例 】 均匀带电球体的静电能分割成同心薄球壳 （ dq）
r dr
dq
)3(8)( 223
0
rRRqrU
q
qrUW d)(
2
1
:点模型的发散困难
R
qW
0
2
20
3
:电荷元 dq 的自能为零所在处的电势为
,静电能为
WR,0若 q不变,
0,0 WR若?不变,
R
q
0
2
20
3
R rr
R
q
rR
R
q
0
2
3
22
3
0
d4
3
4
3
82
1?
38
【 例 】 电子的经典半径
c
e r
ecm
0
2
2
20
3
另一种估算,
m15
2
0
2
0
2
2
1082.2
4
4
cm
e
r
r
e
cm
e
c
c
e
m152
0
2
107.1
20
3
cm
er
e
c
39
体系静电能 = 相互作用能 ＋ 自能三、连续带电体体系的 静电能体系Q1
Q2
Q3
40
§ 3.7 静电场的能量均匀带电球面的静电能,
)(
d
2
1
球面
qUW
Rq
静电能贮存在电场中
Ein = 0
V
e VwW d
在区域 V 中电场的能量,
在真空中电场能量密度,
2
2
0 Ew
e
静电能贮存在哪儿？
E = 0
)( 0
d
42
1
球面
q
R
q
R
q
0
2
8
R
qW
0
2
8
41
R
R
qW d
8
d 2
0
2
用特例说明：
V
Ww
e d
d
电场的能量密度：
R
qW
0
2
8
设电斥力作用 R? R+dR
球壳 (R,R+dR)内的静电能
— 减少的静电能：
Rq
dR
242
2
0
2
2
0
0 E
R
q?
RR
R
R
q
d4
d
8
2
2
0
2
42
Rq
【 例 】 对场能积分求均匀带电球体的静电能 。
【 例 】 电容器储能
dr
r
R
q
rr
r
q
rr
R
qr
V
E
V
E
R
R
Rr Rr
0
0
0
0
0
2010
20
3
4
42
4
42
d
2
d
2
2
d
2
2
2
d
2
2
3
0
22
q qrUW d)(21与 相同
VwW e d
全空间
dV
43
证明,由斯托科斯公式因域 S 任意，则 0 E?
)( )(
d)(d
L S
SErE
0 E?
附录,静电场环路定理的微分形式
L
dS
E
S
S 是以 L 为边界的任意曲面
0,1
0
EE
静电场是有源、无旋场：
0?
2005年春季学期 陈信义编第 3章 电势电磁学（第三册）
2
目 录
【 演示实验 】 高压带电操作、电容器储能
§ 3.1 静电场的保守性
§ 3.3 电势叠加原理
§ 3.2 电势差和电势
§ 3.4 电势梯度
§ 3.5 电荷在外场中的静电势能
§ 3.6 电荷系的静电能
§ 3.7 静电场的能量补充,静电场环路定理的微分形式
3
§ 3.1 静电场的保守性一、静电场是保守场
1、点电荷的静电场是保守场单位正电荷沿任意路径由点 a?b，电场力作的功 只与起、终点位置有关，与移动的路径无关。
r
r
qE?
4 20
有心力场
4
L
ba
ba
b
a
b
La
ba
UU
r
q
r
q
r
rq
rr
r
q
W
00
2
0
2
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4
4
d
d
5
2、任意电荷体系的静电场是保守场电荷体系由点电荷组成 —场叠加原理
i
b
a
i
i
b
La
i
b
La
i
i
b
La
rErErErE
dddd
路径无关路径无关
— 保守性的表述二、静电场的环路定理
)(
0
L
rE?
d
静电场强沿任意闭合路径的积分等于零
L
6
二,高斯定理与环路定理完备描述静电场
(对任意电场都成立 )
)(
0
1d
S
i
S
qSE?
(只对静电场成立 )
)(
0d
L
rE?
【 思考 】 匀速运动电荷的电场是静电场吗？
v+Q
所以不是静电场！
环路积分不为零，
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§ 3.2 电势差和电势
b
a
ba rEUU
d
静电场是保守场 —定义电势差一、电势差电势的减少＝电场力作的功单位正电荷的 电势能的差。
把单位正电荷由点 a?b电场力作的功。
8
二、电势
—把单位正电荷自该点移到电势零点,电场力作的功 。
把单位正电荷自电势零点移到该点 —外力作的功 。
0
)(
p
p
rEpU
d
00?pU选 p0 点为电势零点：,则 p点电势
9
电荷分布在有限范围 —选无穷远为电势零点
p
rdEpU
)(
通常选地球为无穷远电势零点。
电荷分布到无限远时，电势零点不能选在无限远。
电势零点的选择：
【 演示实验 】 高压带电操作
10
三,几种带电体的电势分布
r
qr
r
q
rU
r 00 4
d
4
)( 2
1,静止点电荷的电势选无穷远为电势零点
11
2,均匀带电球面的电势球面外点的电势等于处于球心的,点电荷,在该点的电势 。
球面内等电势,等于球面上的电势 。
r
q
0
U
R
R
Rr
r
q
r
r
q
Rr
R
q
r
r
q
r
rErU
r
R
R
r
r
,
44
,
44
0
)(
00
00
2
2
d
dd
d
12
Rr
r
q
RrrR
R
q
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,3
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0
22
3
0
3,均匀带电球体的电势
R
q r
Rrr
r
q
E
Rrr
R
qr
E
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4
1
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042
3)0(
球心,0 r
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13
4,无限长圆柱面 (线电荷密度?) 的电势电势分布,选 点为电势零点)(
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2 0
电场分布,RrE,0
R
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2
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0
00
R
r
r
R
rE
r
r
rErURr
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2
)(,0
0
0
r
r
r
r
rErURr
d
14
电势零点不能选在无限远！
Rr
r
r
Rr
R
r
rU
),l n (
2
),l n (
2
)(
0
0
0
0
r
r0R0 r
p0
15
§ 3.3 电势叠加原理注意,各电荷的电势零点必须相同。
应用电场叠加原理证明,
)()(
00
pUrErEpU i
ii
p
p
i
p
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dd
i i
EE
在电荷体系的电场中,某点电势等于各电荷单独在该点产生的电势的代数和
i
iUU
16
1、点电荷体系
n
i i
i
r
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1 0
4)(
2、连续分布的电荷体系
电荷体系
r
dqpU
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)(
dq
p
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qj
dq
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q
R
O x p
【 例 】 均匀带电圆环轴线上的电势
rqpU
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)(
d
q
q
r
d
04
1
22
00 4
4 xR
q
r
q
rdq
18
【 例 】 两同心带电球面,求 A,B,C 点的电势 。
q1
q2
R1
R 2A
B C
rA
rB r
C
AAA r
r
q
r
q
0
21
0
2
0
1
444
20
2
10
1
21 44 R
q
R
qUUU
CCC＝＋＝
20
2
0
1
21 44 R
q
r
qUUU
B
BBB＝＋＝
AAA UUU 21 ＋＝
单独在该点的电势的和 !
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§ 3.4 电势梯度一、等势面电势相等的点组成的曲面。
1,电场线与等势面处处正交，并指向电势降低的方向。
2,两等势面相距较近处的场强大,相距较远处场强较小 。
等势面特征：
20
等势面电场线点电荷的等势面
21
+
等势面电偶极子的等势面电场线
22
两相等点电荷的等势面等势面电场线
23
等势面电场线
24
等势面电场线平行板电容器
25
人心脏的等电势线，类似于电偶极子。
26
二、场强和电势的关系证明见力学 § 4.8由势能求保守力。
电势梯度矢量,U?
静电场中某点的电场强度，等于该点电势的负梯度
k
z
U
j
y
U
i
x
U
UE
静电场强等于负电势梯度矢量。
27
U 垂直于过该点的等势面,方向是电势升高最快的方向 。
U 的基本特征：
证明：
垂直于等势面,和 与等势面相切n? k? m?
nmk?,?,?以等势面 U上 p点为原点作直角坐标系
U
U+DU
n?
k?
m?P
28
n
Un
n
Un
m
Um
k
UkU
U
U+DU
n?
k?
m?P
垂直于过该点的等势面。U?所以，
电场线与等势面处处正交 。 两等势面相距较近处的场强大,相距较远处场强较小 。
因此
29
所以,的方向是电势升高最快的方向。U?
n
U
n
UlU
l
U
c o s?
U
U+DU
n?
k?
m?P
l?
n
UnU
电场线指向电势降低最快的方向。
30
【 例 】 均匀带电球面，由电势分布求场强分布。
场强沿径向? 只要计算径向分量
0 r
U
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Rr
r
q
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44
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2
00
0
31
电荷的电量 × 该点的电势
qUW ＝
“电荷与电场的相互作用能”
§ 3.5 电荷在外场中的静电势能
【 例 】 氢原子中电子的静电势能
“电子与电场（质子）的相互作用能”
原子核（质子）的电势：
r
erU
04
)(
电子的静电势能：
r
erUeW
0
2
4
)()(
＝
32
【 例 】 电偶极子在均匀外电场中的电势能
WWW
EpW,
（受力矩,）EpM
EpW
【 思考 】 势能 W随 p的取向如何变化？
- q
E
l
+ q
lqp证明：
c o sd EllEUU
qUqU
UUq
33
§ 3.6 电荷体系的静电能一、点电荷体系的相互作用能其中 Ui 为 qi 所在处,由 qi 以外的 其它电荷 所产生的电势 。
把 n 个静止点电荷从现有位置彼此分散到无穷远时,它们间的静电力所作的功,称为这 n 个点电荷间的相互作用能
i
n
i
i UqW?
12
1
34
证明：
1,n=2
r
qqr
r
qqW
r 0
21
2
0
21
4
d
4
固定 q1，把 q2移到无限远电场力做的功
r
qU
r
qU
0
2
1
0
1
2 4,4
221121 UqUqW写成对称形式即
q2
q1 r
1122 qUqUW
35
2,n=3 q3
q2q1
11333133222322111221 qUqUqUqUqUqUW
类推，得
i
n
i
i UqW?
12
1
33231223211131221 qUUqUUqUU
33221121 qUqUqU
36
式中 U为在带电体上,所有电荷在电荷元
dq 处的电势 。
二、连续分布的电荷体系的静电能
— 各电荷元间的静电相互作用能
（带电体）
＝ qUW d
2
1
【 思考 】 为什么不包括电荷元 dq 的自能？
37
R
q
【 例 】 均匀带电球体的静电能分割成同心薄球壳 （ dq）
r dr
dq
)3(8)( 223
0
rRRqrU
q
qrUW d)(
2
1
:点模型的发散困难
R
qW
0
2
20
3
:电荷元 dq 的自能为零所在处的电势为
,静电能为
WR,0若 q不变,
0,0 WR若?不变,
R
q
0
2
20
3
R rr
R
q
rR
R
q
0
2
3
22
3
0
d4
3
4
3
82
1?
38
【 例 】 电子的经典半径
c
e r
ecm
0
2
2
20
3
另一种估算,
m15
2
0
2
0
2
2
1082.2
4
4
cm
e
r
r
e
cm
e
c
c
e
m152
0
2
107.1
20
3
cm
er
e
c
39
体系静电能 = 相互作用能 ＋ 自能三、连续带电体体系的 静电能体系Q1
Q2
Q3
40
§ 3.7 静电场的能量均匀带电球面的静电能,
)(
d
2
1
球面
qUW
Rq
静电能贮存在电场中
Ein = 0
V
e VwW d
在区域 V 中电场的能量,
在真空中电场能量密度,
2
2
0 Ew
e
静电能贮存在哪儿？
E = 0
)( 0
d
42
1
球面
q
R
q
R
q
0
2
8
R
qW
0
2
8
41
R
R
qW d
8
d 2
0
2
用特例说明：
V
Ww
e d
d
电场的能量密度：
R
qW
0
2
8
设电斥力作用 R? R+dR
球壳 (R,R+dR)内的静电能
— 减少的静电能：
Rq
dR
242
2
0
2
2
0
0 E
R
q?
RR
R
R
q
d4
d
8
2
2
0
2
42
Rq
【 例 】 对场能积分求均匀带电球体的静电能 。
【 例 】 电容器储能
dr
r
R
q
rr
r
q
rr
R
qr
V
E
V
E
R
R
Rr Rr
0
0
0
0
0
2010
20
3
4
42
4
42
d
2
d
2
2
d
2
2
2
d
2
2
3
0
22
q qrUW d)(21与 相同
VwW e d
全空间
dV
43
证明,由斯托科斯公式因域 S 任意，则 0 E?
)( )(
d)(d
L S
SErE
0 E?
附录,静电场环路定理的微分形式
L
dS
E
S
S 是以 L 为边界的任意曲面
0,1
0
EE
静电场是有源、无旋场：
0?
