第 5章 刚体的定轴转动自学总结
2005年春季学期 陈信义编演示实验
1,茹科夫斯基转椅 （ 和车轮 ）
2,陀螺仪
3,质 心 运 动
（ 杠杆 ）
4,不同质量分布的等质量柱体滚动
5,车轮进动一、刚体的定轴转动定律二、转动刚体的角动量守恒三、刚体转动的功和能四,无滑动滚动 瞬时转轴 （ 补充 ）
五、进动目 录一、刚体的定轴转动定律? z
O?miri?
zz
z
z JtJt
LM
d
d
d
d
,2i
i
iz rmJ
zz JL?
mrJ z d2
:zM 外力矩沿 z轴分量的代数和刚体沿 z轴的角动量:
zL
刚体对 z轴的转动惯量
:zJ
2、适用于转轴固定于 惯性系 中的情况。
3,对于转轴通过质心的情况，如果质心有加速度，上式也成立。 （ 惯性力对质心的力矩和为零 ）
1,由关于定点的质点系角动量定理,向过该点的固定转轴投影得到 。
zzzz JtJtLM dddd
zfrM?)(
转动平面 o
f?
f
//f
z?
r
r?
外力 对固定转轴力矩的计算：
fr
0?M,沿转轴方向
0?M,沿转轴反方向转动平面内的分力对转轴的力矩计算转动惯量的几条规律：
1、对同一轴可叠加：
i iJJ
2、平行轴定理,2mdJJ
c
3、对薄平板刚体，有 垂直 轴定理：
yxz JJJ
Jc J
d
m C
质心
ri
x
z
yi
xi
miΔ
y
R
2
21 mR
2
4
1 mR
常用的转动惯量
2
3
2 mRJ?直径薄球壳：
2
5
2 mRJ?直径球体：
2
12
1 mLJ?过中点垂直于杆细杆：
2
3
1 mLJ?过一端垂直于杆圆柱体：
2
2
1 mRJ?对称轴
【 例 】 转轴光滑，初态静止，求下摆到?
角时的角加速度，角速度，转轴受力。
解,刚体定轴转动
1,受力分析
2,关于 O轴列转动定理
2
3
1 mlJ
O?
mgloM?c o s
2
OO JM?
l
g
2
c o s3
【 思考 】 为什么不关于过 质心 轴列转动定理？
,dd t
由?求?,
tdd
ddd t
,2c o s3 lg
l
g s in3?
00
dd
s in
2
3
2
1 2
l
g?
22
1
2 l
la n?
nn mamgNs i n
（ 1）?平动,质心运动定理
nN
s i nmgN n 25?
3,求转轴受力
OCCC,JM
（ 2）?转动,关于质心轴列转动定理
tN
c o smgN t 41? 21212 mlJ,lNM CtC
为什么？
【 例 】 一长为 L,质量为 m的均匀细棒,水平放置静止不动,受垂直向上的冲力 F作用,冲量为 F?t（?t很短 ）,冲力的作用点距棒的质心 l
远,求冲力作用后棒的运动状态 。
解 （ 1） 质心的运动
0)( CmvtmgF
tm mgFv C0
质心以 vC0的初速做上抛运动 。
l
FC
（ 2） 在上抛过程中棒的转动
tJJFl CC d
d
绕过质心转轴，列转动定理：
l
FC
tJ C?
tJ C?
2
12
mL
tFl
J
tFl
C
在上抛过程中,棒以恒定角速度?绕过质心轴 转动 。
【 演示 实验 】 质心运动 （ 杠杆 ）
二、转动刚体的角动量守恒
1、绕定轴转动
2、几个刚体 绕同一定轴 转动
【 演示 实验 】 茹科夫斯基转椅 (和车轮 )、陀螺仪
3,关于过质心轴若合外力矩为零,则刚体总角动量守恒,角动量可在这几部分间传递 。
若合外力矩为零，则刚体角动量守恒。
若对过质心轴合外力矩为零,则对该轴刚体角动量守恒 。 无论质心轴是否是惯性系 。
三、刚体转动的功和能力矩的功,
21dMW
不太大刚体的重力势能,
Cp m g hE?
机械能守恒定律,只有保守力做功时常数 pk EE
2
1
2
212 2
1
2
1 JJEEW
kk
合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功,等于它的转动动能的增加用机械能守恒重解：
转轴光滑，初态静止，求下摆到 θ 角时的角加速度，角速度。
l
g
dt
d
l
g
2
co s3
s in3
解,杆机械能守恒比用转动定律简单！
势能零点绕固定轴转动动能
2
2
3
1
2
1
s i n
2
0
mlJ
J
l
mg
杆动能的另一种表达,科尼西定理势能零点质心动能 绕过质心轴转动动能
2
2
2
12
1
2
1
22
1
s i n
2
0
mlJ
J
l
m
l
mg
c
c
四,刚体的无滑动滚动 瞬时转轴 （ 补充 ）
1,平面平行运动只考虑圆柱，球等 轴对称刚体 的滚动。
质心做平面运动＋绕过质心垂直轴做转动
2、无滑动滚动：
R
C
p cv?
ca
任意时刻接触点 P 瞬时静止
Ra
Rv
C
C
无滑动滚动条件：
【 思考 】 下一时刻 P点位置？
Cmafmgsi n
转动惯量小的滚得快！
【 演示实验 】 不同质量分布的等质量柱体滚动质心运动定理过质心轴转动定理纯滚动条件 （ 运动学条件 ）
2
s in
mRJ
m g R
C?
【 例 】 两个质量和半径都相同,但转动惯量不同的柱体,在斜面上作无滑动滚动,哪个滚得快？
mg
f
RC
CJRf?
Ra C?
x
y
3、轴对称 刚体无滑动滚动 中的瞬时转轴
C
p
A
B D
E
F
v?时刻 t 接触点 P 瞬时静止；
在 时 间 (t~t+?t)
内,以 P点为原点建立平动坐标系；
时间 (t ~t+?t)内,刚体的运动 （ 质心平动,
绕质心轴转动 ） 可以看成,绕过 P 点且垂直于固定平面的转轴的 无滑动滚动 。
接触点 P,瞬时转轴瞬时转动中心绕 瞬时转轴的转动定理的形式？
虽然 p点瞬时静止,但有加速度,所以除了力矩 Mp外,还 应考虑惯性力矩 。
下面证明,对于无滑动滚动的 轴对称刚体,
接触点 p的加速度沿过 p点的半径方向,因此,
关于过 p点的转轴,惯性力矩等于零 。
惯性力作用在质心上,方向与 p点的加速度方向相反 。
pp JM?
:pJ
关于过 p点转轴的转动惯量轴对称刚体，绕 瞬时转轴的转动定理：
24
证明：
pCp aaa
:pa?
p点相对惯性系的加速度
:pa
p点相对质心的加速度
R
C
p cv?
ca
pnptp aaa
按切,法向分解,
无滑动滚动：
,Cpt vv Cpt aa
pnptCp aaaa
p点加速度沿半径方向ap
pna
pnCC aaa
过 p点转轴惯性力矩等于零
25
【 例 】 两个质量和半径都相同,但转动惯量不同的柱体,在斜面上作无滑动滚动,哪个滚得快？
关于瞬转轴列转动定理重解：
mg
f
RC
p
pJm g R?s i n
2mRJJ Cp
2
s i n
mRJ
m g R
C?
简单多了！
五、进动 （ 旋进,Precession）
高速自转的物体,其自转轴绕另一个轴缓慢转动的现象 。
【 演示实验 】 车轮进动
L
M
不,屈服,于外力矩作用,
稳定对称轴的方向 。
L
mg
LM
si nL
M
【 思考 】 上述分析严格吗？
2005年春季学期 陈信义编演示实验
1,茹科夫斯基转椅 （ 和车轮 ）
2,陀螺仪
3,质 心 运 动
（ 杠杆 ）
4,不同质量分布的等质量柱体滚动
5,车轮进动一、刚体的定轴转动定律二、转动刚体的角动量守恒三、刚体转动的功和能四,无滑动滚动 瞬时转轴 （ 补充 ）
五、进动目 录一、刚体的定轴转动定律? z
O?miri?
zz
z
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LM
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,2i
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:zM 外力矩沿 z轴分量的代数和刚体沿 z轴的角动量:
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刚体对 z轴的转动惯量
:zJ
2、适用于转轴固定于 惯性系 中的情况。
3,对于转轴通过质心的情况，如果质心有加速度，上式也成立。 （ 惯性力对质心的力矩和为零 ）
1,由关于定点的质点系角动量定理,向过该点的固定转轴投影得到 。
zzzz JtJtLM dddd
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转动平面 o
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r
r?
外力 对固定转轴力矩的计算：
fr
0?M,沿转轴方向
0?M,沿转轴反方向转动平面内的分力对转轴的力矩计算转动惯量的几条规律：
1、对同一轴可叠加：
i iJJ
2、平行轴定理,2mdJJ
c
3、对薄平板刚体，有 垂直 轴定理：
yxz JJJ
Jc J
d
m C
质心
ri
x
z
yi
xi
miΔ
y
R
2
21 mR
2
4
1 mR
常用的转动惯量
2
3
2 mRJ?直径薄球壳：
2
5
2 mRJ?直径球体：
2
12
1 mLJ?过中点垂直于杆细杆：
2
3
1 mLJ?过一端垂直于杆圆柱体：
2
2
1 mRJ?对称轴
【 例 】 转轴光滑，初态静止，求下摆到?
角时的角加速度，角速度，转轴受力。
解,刚体定轴转动
1,受力分析
2,关于 O轴列转动定理
2
3
1 mlJ
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mgloM?c o s
2
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【 思考 】 为什么不关于过 质心 轴列转动定理？
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（ 1）?平动,质心运动定理
nN
s i nmgN n 25?
3,求转轴受力
OCCC,JM
（ 2）?转动,关于质心轴列转动定理
tN
c o smgN t 41? 21212 mlJ,lNM CtC
为什么？
【 例 】 一长为 L,质量为 m的均匀细棒,水平放置静止不动,受垂直向上的冲力 F作用,冲量为 F?t（?t很短 ）,冲力的作用点距棒的质心 l
远,求冲力作用后棒的运动状态 。
解 （ 1） 质心的运动
0)( CmvtmgF
tm mgFv C0
质心以 vC0的初速做上抛运动 。
l
FC
（ 2） 在上抛过程中棒的转动
tJJFl CC d
d
绕过质心转轴，列转动定理：
l
FC
tJ C?
tJ C?
2
12
mL
tFl
J
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C
在上抛过程中,棒以恒定角速度?绕过质心轴 转动 。
【 演示 实验 】 质心运动 （ 杠杆 ）
二、转动刚体的角动量守恒
1、绕定轴转动
2、几个刚体 绕同一定轴 转动
【 演示 实验 】 茹科夫斯基转椅 (和车轮 )、陀螺仪
3,关于过质心轴若合外力矩为零,则刚体总角动量守恒,角动量可在这几部分间传递 。
若合外力矩为零，则刚体角动量守恒。
若对过质心轴合外力矩为零,则对该轴刚体角动量守恒 。 无论质心轴是否是惯性系 。
三、刚体转动的功和能力矩的功,
21dMW
不太大刚体的重力势能,
Cp m g hE?
机械能守恒定律,只有保守力做功时常数 pk EE
2
1
2
212 2
1
2
1 JJEEW
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合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功,等于它的转动动能的增加用机械能守恒重解：
转轴光滑，初态静止，求下摆到 θ 角时的角加速度，角速度。
l
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解,杆机械能守恒比用转动定律简单！
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四,刚体的无滑动滚动 瞬时转轴 （ 补充 ）
1,平面平行运动只考虑圆柱，球等 轴对称刚体 的滚动。
质心做平面运动＋绕过质心垂直轴做转动
2、无滑动滚动：
R
C
p cv?
ca
任意时刻接触点 P 瞬时静止
Ra
Rv
C
C
无滑动滚动条件：
【 思考 】 下一时刻 P点位置？
Cmafmgsi n
转动惯量小的滚得快！
【 演示实验 】 不同质量分布的等质量柱体滚动质心运动定理过质心轴转动定理纯滚动条件 （ 运动学条件 ）
2
s in
mRJ
m g R
C?
【 例 】 两个质量和半径都相同,但转动惯量不同的柱体,在斜面上作无滑动滚动,哪个滚得快？
mg
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CJRf?
Ra C?
x
y
3、轴对称 刚体无滑动滚动 中的瞬时转轴
C
p
A
B D
E
F
v?时刻 t 接触点 P 瞬时静止；
在 时 间 (t~t+?t)
内,以 P点为原点建立平动坐标系；
时间 (t ~t+?t)内,刚体的运动 （ 质心平动,
绕质心轴转动 ） 可以看成,绕过 P 点且垂直于固定平面的转轴的 无滑动滚动 。
接触点 P,瞬时转轴瞬时转动中心绕 瞬时转轴的转动定理的形式？
虽然 p点瞬时静止,但有加速度,所以除了力矩 Mp外,还 应考虑惯性力矩 。
下面证明,对于无滑动滚动的 轴对称刚体,
接触点 p的加速度沿过 p点的半径方向,因此,
关于过 p点的转轴,惯性力矩等于零 。
惯性力作用在质心上,方向与 p点的加速度方向相反 。
pp JM?
:pJ
关于过 p点转轴的转动惯量轴对称刚体，绕 瞬时转轴的转动定理：
24
证明：
pCp aaa
:pa?
p点相对惯性系的加速度
:pa
p点相对质心的加速度
R
C
p cv?
ca
pnptp aaa
按切,法向分解,
无滑动滚动：
,Cpt vv Cpt aa
pnptCp aaaa
p点加速度沿半径方向ap
pna
pnCC aaa
过 p点转轴惯性力矩等于零
25
【 例 】 两个质量和半径都相同,但转动惯量不同的柱体,在斜面上作无滑动滚动,哪个滚得快？
关于瞬转轴列转动定理重解：
mg
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pJm g R?s i n
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简单多了！
五、进动 （ 旋进,Precession）
高速自转的物体,其自转轴绕另一个轴缓慢转动的现象 。
【 演示实验 】 车轮进动
L
M
不,屈服,于外力矩作用,
稳定对称轴的方向 。
L
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【 思考 】 上述分析严格吗？
