陈信义 编 2005.1
狭义相对论运动学和动力学
2
在上世纪初,发生了三次概念上的革命,它们深刻地改变了人们对物理世界的了解,这就是狭义相对论 （ 1905）,广义相对论 （ 1916）
和量子力学 （ 1925） 。
3
1879 –1955
Albert Einstein
4
§ 1 光速不变和爱因斯坦相对性原理
§ 3 同时性的相对性和时间延缓
§ 4 长度收缩
§ 6 洛仑兹协变矢量（补充）
§ 7 相对论速度变换狭义相对论运动学
§ 2 洛仑兹变换
§ 5 因果性的绝对性
5
§ 8 四维动量 质量
§ 10 相对论粒子动力学方程
§ 12 力的相对论变换
§ 11 四维动量守恒 和不变量的应用
§ 9 质能关系 能量 —动量关系
§ 13 广义相对论简介狭义相对论动力学陈信义 编 2005.1
狭义相对论（一）
相对论运动学
7
§ 1 光速不变和爱因斯坦相对性原理
ucv
按照伽利略变换光的传播速度，真的与参考系有关吗？
S S' u
c
火车
―追光实验”
8
001c
电磁学理论给出 真空中电磁波的传播速度为一、光速不变 原理其中 和 都是与参考系无关的常数 。
0? 0?
真空中光速与参考系无关 （ 即与光源的运动和观察者的运动无关 ）,不服从伽利略变换 。
1m是光在真空中 1/299792458秒内所经过的距离 。
1983年国际规定,真空中的光速 为物理常数
1ms4 5 87 9 22 9 9c
9
1,Michelson-Morlay 实验（ 1881–1887）
当时认为光在,以太,（ ether） 中以速度 c
传播 。
实验目的,干涉仪转
90°,观测干涉条纹是否移动？
实验结果,条纹无移动
(零结果 )。 以太不存在
,光速与参考系无关 。
S A
B
1L
2L
干涉条纹
P
地球公转
u
二、光速不变 原理的实验验证设“以太”相对太阳静止。
10
2
2
1
22
2
11
2
cu
L
cu
L
c
ttt P A PP B P
)1(
2
22
111
cuc
L
uc
L
uc
Lt
P A P
22 ucv
S A
B
1L
2L
P
地球公转
u
22
2
22
2
1
22
cuc
L
uc
Lt
P B P
22
1
22
2
11
2
cu
L
cu
L
c
ttt P A PP B P
干涉仪转 90° 后按照伽利略速度变换
，时间间隔变成
11
干涉仪转 90° 引起时间差的变化为
2
2
21
c
u
c
LLtt
由干涉理论，时间差的变化引起 的 移动 条纹数
2
2
21)(
c
uLLttcN
对于 5 8 9 n ms,mm,4
21 10322 uLL
40.0 N
但实验值为 0N
与参考系无关。 但是,,发射理论,和,以太拖曳假说,似乎还可以维护以太的存在 。
,这表明以太不存在,光速
12
2、双星观测结果否定 发射理论如果光速与光源运动有关
22
Tvc Lt
vc
Lt
1
因此可能出现,同一时刻观测到同一颗星处于不同位置
21 tt?
可见光速与光源运动无关 。 发射理论是不对的 。
— 从未观测到。
A B
1 2
L
v?
v?
vc? vc?
T周期,
1t 2t
A A
13
同步加速器产生速度为 0.99975 c 的?0
0 +?
沿?0 运动方向测得的?运动速度,与用静止辐射源测得的?速度 (光速 c)极其一致 ！
还有其他实验否定发射理论,例如 Phys.
Lett.,T,Alvager at al,12(1964)260：
结果表明,光速与光源运动无关 。
下面的恒星光行差现象,可以否定,以太拖曳,假说 。
14
3,恒星的光行差（ J.Bradley,1727）
8
4
103
103
c
u
tc
tu
Δ
Δtg?
如果,以太,被地球拖曳,
光到地球附近要附加速度 u,观察恒星时望远镜不必倾斜 。
5.20光行差角：
tu?
tc?
恒星
u
地球公转以太拖曳假说也不对 !
观察恒星时，望远镜必须倾斜。
15
―还在学生时代,我就在想这个问题了 。
我知道迈克耳逊实验的奇怪结果 。 我很快得出结论,如果我们承认麦克尔逊的零结果是事实,那么地球相对以太运动的想法就是错误的 。 这是引导我走向狭义相对论的最早的想法 。,
爱因斯坦对麦克尔逊－莫雷实验的评价,
16
设 S 系 相对 S系作 匀速直线运动
0 ttOO 重合时和规定：
x
x?
y
z z?
O
S
y?
O?
S?
u?
当 OO 重合时，和 由原点 发出闪光。
三、光速不变 原理的数学表达
17
因光速与参考系的运动无关,则无论在 S 系还是在 S系中观察,闪光的波前都是球面,球心分别是 和,而半径分别等于 和 。tc? ctO? O
x
x?
y
z z?
O
S
y?
O?
S?
u?
因此，闪光波前的方程应该为
tc?ct
18
22222 tczyxS:
22222 tczyxS:
),0,0,( tx
),0,0,( tx
，tcx
则有
ctx?
令,0,0 zyzy,0,0 xx
x
x?
y
z z?
O
S
y?
O?
S?
u?
tc?ct
在 轴上接收到闪光 这一事件的时空关系。
)( xx?
光速不变原理数学表达
19
S系,电力加磁力
221 cuff
S
u
u
uq
q
r
S
按照伽利略变换：
2
0
2
4 r
qf
S 系,静电力还有一些电磁学规律不服从 伽利略变换。
按照电磁学：
四、爱因斯坦相对性原理例如力与参考系无关力与参考系有关！
20
修改电磁学定律，还是修改伽利略变换？
电磁学定律,实验验证是正确的伽利略 变换?洛仑兹 (Lorentz)变换绝对时空观?相对论时空观低速?高速伽利略变换,适用于低速情况。 高速情况？
爱因斯坦,修改伽利略变换
21
爱因斯坦,论动体的电动力学,1905
基本物理规律 （ 包括力学规律 ） 的方程,是洛仑兹 变换下的协变式：
物理规律 （ 包括力学规律 ） 在一切惯性参考系中都具有相同的形式,即对物理规律来说,
一切惯性系都是平等的 。 不存在任何一个特殊的惯性系,例如绝对静止的惯性系 。
相对性原理：
在 洛仑兹 变换下,方程的形式不变 。
22
§ 2 洛仑兹变换但洛仑兹导出他的时空变换时却以,以太,
存在为前提,并认为只有 t才代表真正的时间,
而 t'只是一个辅助的数学量 。
光速不变原理和爱因斯坦相对性原理所蕴含的时空观,应该由一个时空变换来表达 。 早在
1899年,洛仑兹就给出了惯性系间的时空变换式,即洛仑兹变换 。
1905年,爱因斯坦则在全新的物理基础上得到这一变换关系 。
23
事件,任意一个具有确定的发生时间和确定的发生地点的物理现象 。
一、事件和时空变换如,,一个粒子在某一时刻出现在某一位臵
” 就是一个事件,粒子出现的时刻和位置就构成了该事件的时空坐标 。
在讨论时空的性质时,我们总是用事件的时空坐标,或用事件的时空点来代表事件,而不去关心事件的具体物理内容,即不去关心到底发生了什么事情 。
一个事件发生的时间和地点,称为该事件的时空坐标 。
24
时空变换,同一事件在两个惯性系中的时空坐标和之间的变换关系 。
不同形式的时空变换,涉及在不同参考系中对时间和空间的测量,代表不同的时空性质,
反映不同的时空观 。
x?
x
y y?
u?
z z?
O O?
),,,(
),,,(
tzyx
tzyxP
时空变换,),,,( tzyx ),,,( tzyx和 的关系
25
按照狭义相对论时空观,时空的变换关系应该用洛仑兹变换代替伽利略变换,而伽利略变换是洛仑兹变换在低速情况下的近似 。
实际上,相对论不应依赖于光速不变这一电磁学规律 。
相对性原理 +光速不变? 狭义相对论二,洛仑兹变换相对论可直接由相对性原理,空间的均匀和各向同性得到 。 但推导比较复杂 。
26
utxx
tuxx
当 u<<c,伽利略变换
)( utxx
)( tuxx
一般情况,时空变换 （ 线性变换 ） 的最简单形式为
tx,
S
u
S
x?
x
O?
O
tx,
同一事件,),(),,( txtx
11,要求 时,cu
为什么？
S 系
S 系
27
＝?因此，有
)( utxx
)( tuxx
S? 系和 S 系是惯性系，等价
ctx
tcx
即
c
xt
c
xt,
由相对性原理,
由光速不变原理确定?的形式,
28
)( tuxx
xcu
1?
x
c
ux?
x
c
u
2
2
2 1 －?
c
xt
c
xt,
utxcu
12?
xcucu?
112?
2
2
11
c
u－
)( utxx
于是，得
29
221
1
cu－
由式,解出)( tuxx
xx
ut?
1
utx
u
utxx
u
t 11)(1 2
x
c
utt
2?
即得
－ 洛仑兹因子
)( utxx用式 代入，得
1cu因要求 时,则取
30
211, cu设,洛仑兹变换可写成因 S 系和 S系只是在 x (x)轴方向上做相对运动，则有
zzyy,
x
c
tt
zz
yy
ctxx
x
c
tt
zz
yy
tcxx
＋
＋
uu
31
22
2
22
/1
/1
cu
x
c
u
t
t
zz
yy
cu
utx
x
22
2
22
/1
/1
cu
x
c
u
t
t
zz
yy
cu
tux
x
或写成
32
tt
zz
yy
utxx
－
伽利略变换
（ 绝对时空 ）
cu
洛仑兹 变换
（ 相对论时空 ）
zz
yy
cu
utxx
22
/1
22
2
/1 cu
xcut
t
伽利略变换是洛仑兹 变换的低速近似,
33
1892年 G.F.Fitzgerald 和 H.A.Lorentz 独立提出运动长度收缩的概念 。
三,关于狭义相对论的 主要的工作
1899年 H.A.Lorentz 从,以太,论出发,导出了 Lorentz 变换 。
1904年庞加莱提出物体质量随运动速度增加而增加,极限速度为光速 c。
1905年爱因斯坦?论动体的电动力学?给出相对论的物理基础 。 爱因斯坦的预言,其它人甚至都没想象过 。
34
35
§ 3 同时性的相对性和时间延缓时间的概念与同时性相连系。
一,同时性的相对性
relativity of simultaneity and time dilation
tx,1 tx,2
11,tx 22,tx
S
u
S
x?
x
O?
O
同时发生还同时发生吗？
1,用洛仑兹变换推导同时性的相对性
21 tt?？
36
)( 211 cuxtt
tx,1 tx,2
11,tx 22,tx
S
u
S
x?
x
O?
O
同时发生
21 tt?
不同时发生
021212 cuxxtt?
在 S系：
沿两个惯性系相对运动的方向配臵的两个事件
,若在一个惯性系中这两个事件同时发生,则在另一惯性系中观测,总是处于前一个惯性系运动后方的事件先发生 。
)(,222 cuxtt
先发生 后发生
37
2,通过特例说明
S uS
A Bc cM
x?x
理想的闪光实验不,光先到达 A
光同时到达 A和 B
在 S系中观测,事件 1先发生,闪光先到达 A
点,即,在运动后方的事件先发生 。
光速不变? 同时性的相对性
38
对不同参考系,沿相对速度方向配臵的同样的两个事件之间的时间间隔是不同的 。 时间的量度是相对的 。
但是,沿垂直于相对运动方向上发生的两个事件的同时性是绝对的
A
B
u
uS系S'系 B
A
3、时间的量度是相对的
39
二、时间延缓效应在另一相对观察者运动的惯性系中观测的这两个事件的时间间隔,称为 测时,用?t 代表 。
在相对观察者静止的惯性系中,同一地点先后发生的两个事件的时间间隔称为 原时,或 同地时,用?t 代表 。
按照 洛仑兹变换,有
)( xx
c
tt
零
tt
22 /1 cu
ttt
原时测时
—测时比原时长 时间延缓效应
40
在一个惯性系中观测,另一个做匀速直线运动的惯性系中同地发生的两个事件的时间间隔变大 。 这称为 时间延缓效应 。
因为任何过程都是由一系列相继发生的事件构成的,所以时间延缓效应表明：
例如,与 S系中一系列静止同步钟的,1秒,
相比,运动钟的,1秒,长? 动钟变慢 。
在对称情况下，时间延缓是相对的。
在一个惯性系中观测,运动惯性系中的任何过程 （ 包括物理,化学和生命过程 ） 的节奏变慢 。
41
在求解涉及同地发生的事件的问题时,为了计算方便一般应该,先确定哪个是原时 (同地时
),然后再找出对应的测时 。
【 例 】 飞船以 （ 32400km/h） 的速率相对地面飞行 。 飞船上的钟走了 5 秒,问用地面上的钟测量经过了几秒？
13 ms109u
原时 s5 t
s
cu
tt 0 0 0 0 0 0 0 0 2.5
103
1091
5
1 2
8
322
测时 =?
低速情况,时间延缓效应 很难发现！
定义事件
42
三、时间延缓效应的实验验证
子的寿命实验
子在高空大气顶层形成,静止平均寿命为
2.15?10－ 6s,速率为 0.995c,若无时间膨胀效应
,只能走 640m就消失了,地面观测不到 。
前可飞行 6400m,实际上可到达地面 。
衰变109 9 5.011 2在地面上看其寿命膨胀 倍，
B.Rossi,D.B.Hall 1941
43
【 例 】 孪生子佯谬和孪生子效应
1961年,美国斯坦福大学的海尔弗利克在分析大量实验数据的基础上提出,寿命可以用细胞分裂的次数乘以分裂的周期来推算 。 对于人来说细胞分裂的次数大约为 50次,而分裂的周期大约是 2.4年,照此计算,人的寿命应为 120岁 。 因此,用细胞分裂的周期可以代表生命过程的节奏 。
设想有一对孪生兄弟,哥哥告别弟弟乘宇宙飞船去太空旅行 。 在各自的参考系中,哥哥和弟弟的细胞分裂周期都是 2.4年 。 但由于时间延缓效应,在地球上的弟弟看来,飞船上的哥哥的细胞分裂周期要比 2.4年长
,他认为哥哥比自己年轻 。 而飞船上的哥哥认为弟弟的细胞分裂周期也变长,弟弟也比自己年轻 。
假如飞船返回地球兄弟相见,到底谁年轻就成了难以回答的问题 。
44
问题的关键是,时间延缓效应是狭义相对论的结果
,它要求飞船和地球同为惯性系 。 要想保持飞船和地球同为惯性系,哥哥和弟弟就只能永别,不可能面对面地比较谁年轻 。 这就是通常所说的 孪生子佯谬 （
twin paradox） 。
如果飞船返回地球则在往返过程中有加速度,飞船就不是惯性系了 。 这一问题的严格求解要用到广义相对论,计算结果是,兄弟相见时哥哥比弟弟年轻 。 这种现象,被称为 孪生子效应 。
1971年,美国空军用两组 Cs（ 铯 ） 原子钟做实验 。
发现绕地球一周的运动钟变慢了 203± 10ns,而按广义相对论预言运动钟变慢 184 ± 23 ns,在误差范围内理论值和实验值一致,验证了孪生子效应 。
45
§ 4 长度收缩 (length contraction)
一、测长和原长在 S 系中 运动杆 AB 的长度,是 同时测量
（ t1=t2） 杆的 A端和 B端的位臵 x1和 x2,并由下式给出
11,tx 22,tx
11,tx 22,tx
S
u
S
x?
x
O?
O
A B
长度的测量和同时性的概念密切相关：
12 xxl
46
测量运动杆的 A端和 B端这两个事件 同时发生,它们的空间位置间的距离,就是 S系中的杆长 。
例如,S系中运动 杆的长度是测长。
例如,S 系中静止杆的长度是原长。
测长,同时发生的两个事件的空间位臵间的距离 。
原长 （ 固有长度 ）,与测长对应的该两事件在另一参考系中的空间位臵的距离 。
事件 1,测量 A端坐标,事件 2,测量 B端坐标
47
【 思考 】 与运动方向垂直的长度收缩吗？
长度收缩是相对的,在 S 系中看,S系中静止杆也变短了 。
例如,在 S系中看,S 系中的杆 （ 运动杆 ）
变短了 。
原长最长，测长比原长短 —长度收缩效应
tull
二,用洛仑兹变换推导长度收缩效应
221 culll
测长原长零
l
48
真空中的光速,是实际物体速度的上限 。
若 u≥c，则测长为零或虚数，不合理。
221 cull
【 例 】 长度为 5m的飞船,相对地面的速度为
1-3 ms109?,在地面测量飞船长度（测长）为
m9 9 9 9 9 9 9 9 8.4
m)103/109(15 283
l?
长度收缩效应也很难测出。
求有关问题时 —先确定哪个是测长,再 找原长。
49
有因果 （ 有信息联系,vS≤c） 的两个事件,发生的先后次序 (因果性 ） 是绝对的,在任何惯性系中都不应颠倒 。
11,tx 22,tx
11,tx 22,tx
S
u
S
x?
x
O?
O
12 tt?
？
12 tt
vs 先后
ctt xxSv
21
12
信息联系
§ 5 因果性的绝对性
50
2122121 xxc
utttt?
在 S 系观察,先后次序不颠倒 。
21
12
221
1
tt
xx
c
utt?
sv
c
utt
221
1?
同号。)(
21 tt?
和 )(
21 tt，则cv,cu S因无因果 （ 无信息联系,vs可取任意值 ） 的两个事件,发生的先后次序在不同惯性系可能颠倒 。
但是证明：
51
洛仑兹变换矩阵如果把时间乘上常数 ic,则洛仑兹变换可以写成下面简洁形式一,洛仑兹变换矩阵
§ 6 洛仑兹协变矢量（补充）
下面证明,洛仑兹变换 矩阵是正交矩阵
i c t
z
y
x
i
i
tic
z
y
x
00
0100
0010
00
52
I
i
i
i
i
00
0100
0010
00
00
0100
0010
00
转臵矩阵因此,洛仑兹变换 是正交变换 。
二,洛仑兹 协变矢量按照 洛仑兹 变换的矢量,称为 洛仑兹 协变矢量,或称为四维矢量,四矢量 。
洛仑兹变换 矩阵是正交矩阵：
53
四矢量的微分 也是四 矢量，例如
Tddddd ticzyxX,,,?
是一个四 矢量 。
例如，一个事件的时空坐标
Ti ctzyxX,,,?
是一个洛仑兹 协变矢量用四矢量 [x,y,z,ict]T描述的时空，称为闵可夫斯基 （ Minkovski） 空间（四维空间）。
描述高速运动的粒子,用闵可夫斯基空间。
—时空四矢量 。
54
三,洛仑兹 变换不变量在 洛仑兹 变换下不改变的量,称为 洛仑兹 变换不变量,简称 不变量 。
四 矢量分量的平方和 （ 模方 ）,与参考系无关,是 洛仑兹 变换不变量 。
2
4
2
3
2
2
2
1
2
4
2
3
2
2
2
1 xxxxxxxx
T4321,,,xxxxX?若 为 四 矢量，则是不变量。 例如 事件时空坐标的 不变量为
2222222222 tczyxtczyx
55
2
4
2
3
2
2
2
1 xxxx
24232221 xxxx
4
3
2
1
4321
00
0100
0010
00
00
0100
0010
00
,,,
x
x
x
x
i
i
i
i
xxxx
证明：
1
4
3
2
1
4
3
2
1
00
0100
0010
00
x
x
x
x
i
i
x
x
x
x
56
四,,间隔,是不变量
])()()()[( 2212212212212 i c ti c tzzyyxxS
][)( 2212212212212 zzyyxxttc
222 rtc
事件 1,),,(
111,1 i ctzyx
,事件 2,),,(
222,2 i ctzyx
2222 rtcS
两个事件的,间隔,定义为,
T21212121 ticticzzyyxx因 为四矢量，则,
间隔,2S? 是不变量。
57
原时?t 为 不变量
（ 2） 异地同时发生的两事件的间隔
22222 )( rzyxS
（ 3） 用光信号联系的两事件的间隔
02S
222222 tt crcS
（ 1） 同地相继发生的两事件的间隔几种特殊情况下的间隔：
【 思考 】 杆在不同参考系中测长相等吗？
58
§ 7 相对论速度变换
Relativistic velocity transformation
一、速度的定义二,洛仑兹 变换?速度变换 （课下完成）
同一参考系中 坐标对时间的变化率
S系：
t
zv
t
yv
t
xv
zyx d
d
d
d
d
d,,
S'系：
t
zv
t
yv
t
xv
zyx?
d
d
d
d
d
d,,
59
相对论速度变换：
uvv
对 u<<c,vx<<c情况?伽里略速度变换
22
2
22
2
2
1
1
1
1
1
cu
c
uv
v
v
cu
c
uv
v
v
c
uv
uv
v
x
z
z
x
y
y
x
x
x
22
2
22
2
2
1
1
1
1
1
cu
c
vu
v
v
cu
c
vu
v
v
c
vu
uv
v
x
z
z
x
y
y
x
x
x
60
2
2
2
2
2
2
2
2222
)1(
)1)(1(
1 c
c
uv
c
v
c
u
vvvv
x
zyx
1、当 v = c时，得 v = c
与光速不变原理一致 。
2、当 v < c时，得 v < c
不可能通过参考系变换实现超光速 ！
讨论：
61
xx vvvv,
设3、对于一维运动
0 zyzy vvvv
【 例 】 追光实验
,
1
2c
u
u
v
vv
2
1
c
u
u
v
vv
c
c
uc
uc
c
uv
uv
v?
22 11
cv?
S S' u
c
火车
62
【 例 】 求 S系中光的速率和传播方向
x
y
z
0,,0 zyx vvv c
求 S系中的光速
（ 速率,方向 ）
S 系中的光速
63
u
c
u
u
c
vu
uvv
x
x
x
22
0
1
0
1
22
2
2
2
2
2
2
1
0
1
1
1
uc
c
u
c
u
c
c
u
c
vu
v
v
x
y
y
01
0
1
0
1
1
2
2
2
2
2
2
c
u
c
uc
u
c
vu
v
v
x
z
z
0,,22 zyx vucvuvS系中光速：
64
c
cdt 2 t?
c?c2-u2
2/
1
222
tu
d
t
t
u
c
c
u
u
c
u
uctg
光速不变是指光的 传播的速率不变,并非光的传播的方向不变 ！
u
狭义相对论运动学和动力学
2
在上世纪初,发生了三次概念上的革命,它们深刻地改变了人们对物理世界的了解,这就是狭义相对论 （ 1905）,广义相对论 （ 1916）
和量子力学 （ 1925） 。
3
1879 –1955
Albert Einstein
4
§ 1 光速不变和爱因斯坦相对性原理
§ 3 同时性的相对性和时间延缓
§ 4 长度收缩
§ 6 洛仑兹协变矢量（补充）
§ 7 相对论速度变换狭义相对论运动学
§ 2 洛仑兹变换
§ 5 因果性的绝对性
5
§ 8 四维动量 质量
§ 10 相对论粒子动力学方程
§ 12 力的相对论变换
§ 11 四维动量守恒 和不变量的应用
§ 9 质能关系 能量 —动量关系
§ 13 广义相对论简介狭义相对论动力学陈信义 编 2005.1
狭义相对论（一）
相对论运动学
7
§ 1 光速不变和爱因斯坦相对性原理
ucv
按照伽利略变换光的传播速度，真的与参考系有关吗？
S S' u
c
火车
―追光实验”
8
001c
电磁学理论给出 真空中电磁波的传播速度为一、光速不变 原理其中 和 都是与参考系无关的常数 。
0? 0?
真空中光速与参考系无关 （ 即与光源的运动和观察者的运动无关 ）,不服从伽利略变换 。
1m是光在真空中 1/299792458秒内所经过的距离 。
1983年国际规定,真空中的光速 为物理常数
1ms4 5 87 9 22 9 9c
9
1,Michelson-Morlay 实验（ 1881–1887）
当时认为光在,以太,（ ether） 中以速度 c
传播 。
实验目的,干涉仪转
90°,观测干涉条纹是否移动？
实验结果,条纹无移动
(零结果 )。 以太不存在
,光速与参考系无关 。
S A
B
1L
2L
干涉条纹
P
地球公转
u
二、光速不变 原理的实验验证设“以太”相对太阳静止。
10
2
2
1
22
2
11
2
cu
L
cu
L
c
ttt P A PP B P
)1(
2
22
111
cuc
L
uc
L
uc
Lt
P A P
22 ucv
S A
B
1L
2L
P
地球公转
u
22
2
22
2
1
22
cuc
L
uc
Lt
P B P
22
1
22
2
11
2
cu
L
cu
L
c
ttt P A PP B P
干涉仪转 90° 后按照伽利略速度变换
，时间间隔变成
11
干涉仪转 90° 引起时间差的变化为
2
2
21
c
u
c
LLtt
由干涉理论，时间差的变化引起 的 移动 条纹数
2
2
21)(
c
uLLttcN
对于 5 8 9 n ms,mm,4
21 10322 uLL
40.0 N
但实验值为 0N
与参考系无关。 但是,,发射理论,和,以太拖曳假说,似乎还可以维护以太的存在 。
,这表明以太不存在,光速
12
2、双星观测结果否定 发射理论如果光速与光源运动有关
22
Tvc Lt
vc
Lt
1
因此可能出现,同一时刻观测到同一颗星处于不同位置
21 tt?
可见光速与光源运动无关 。 发射理论是不对的 。
— 从未观测到。
A B
1 2
L
v?
v?
vc? vc?
T周期,
1t 2t
A A
13
同步加速器产生速度为 0.99975 c 的?0
0 +?
沿?0 运动方向测得的?运动速度,与用静止辐射源测得的?速度 (光速 c)极其一致 ！
还有其他实验否定发射理论,例如 Phys.
Lett.,T,Alvager at al,12(1964)260：
结果表明,光速与光源运动无关 。
下面的恒星光行差现象,可以否定,以太拖曳,假说 。
14
3,恒星的光行差（ J.Bradley,1727）
8
4
103
103
c
u
tc
tu
Δ
Δtg?
如果,以太,被地球拖曳,
光到地球附近要附加速度 u,观察恒星时望远镜不必倾斜 。
5.20光行差角：
tu?
tc?
恒星
u
地球公转以太拖曳假说也不对 !
观察恒星时，望远镜必须倾斜。
15
―还在学生时代,我就在想这个问题了 。
我知道迈克耳逊实验的奇怪结果 。 我很快得出结论,如果我们承认麦克尔逊的零结果是事实,那么地球相对以太运动的想法就是错误的 。 这是引导我走向狭义相对论的最早的想法 。,
爱因斯坦对麦克尔逊－莫雷实验的评价,
16
设 S 系 相对 S系作 匀速直线运动
0 ttOO 重合时和规定：
x
x?
y
z z?
O
S
y?
O?
S?
u?
当 OO 重合时，和 由原点 发出闪光。
三、光速不变 原理的数学表达
17
因光速与参考系的运动无关,则无论在 S 系还是在 S系中观察,闪光的波前都是球面,球心分别是 和,而半径分别等于 和 。tc? ctO? O
x
x?
y
z z?
O
S
y?
O?
S?
u?
因此，闪光波前的方程应该为
tc?ct
18
22222 tczyxS:
22222 tczyxS:
),0,0,( tx
),0,0,( tx
，tcx
则有
ctx?
令,0,0 zyzy,0,0 xx
x
x?
y
z z?
O
S
y?
O?
S?
u?
tc?ct
在 轴上接收到闪光 这一事件的时空关系。
)( xx?
光速不变原理数学表达
19
S系,电力加磁力
221 cuff
S
u
u
uq
q
r
S
按照伽利略变换：
2
0
2
4 r
qf
S 系,静电力还有一些电磁学规律不服从 伽利略变换。
按照电磁学：
四、爱因斯坦相对性原理例如力与参考系无关力与参考系有关！
20
修改电磁学定律，还是修改伽利略变换？
电磁学定律,实验验证是正确的伽利略 变换?洛仑兹 (Lorentz)变换绝对时空观?相对论时空观低速?高速伽利略变换,适用于低速情况。 高速情况？
爱因斯坦,修改伽利略变换
21
爱因斯坦,论动体的电动力学,1905
基本物理规律 （ 包括力学规律 ） 的方程,是洛仑兹 变换下的协变式：
物理规律 （ 包括力学规律 ） 在一切惯性参考系中都具有相同的形式,即对物理规律来说,
一切惯性系都是平等的 。 不存在任何一个特殊的惯性系,例如绝对静止的惯性系 。
相对性原理：
在 洛仑兹 变换下,方程的形式不变 。
22
§ 2 洛仑兹变换但洛仑兹导出他的时空变换时却以,以太,
存在为前提,并认为只有 t才代表真正的时间,
而 t'只是一个辅助的数学量 。
光速不变原理和爱因斯坦相对性原理所蕴含的时空观,应该由一个时空变换来表达 。 早在
1899年,洛仑兹就给出了惯性系间的时空变换式,即洛仑兹变换 。
1905年,爱因斯坦则在全新的物理基础上得到这一变换关系 。
23
事件,任意一个具有确定的发生时间和确定的发生地点的物理现象 。
一、事件和时空变换如,,一个粒子在某一时刻出现在某一位臵
” 就是一个事件,粒子出现的时刻和位置就构成了该事件的时空坐标 。
在讨论时空的性质时,我们总是用事件的时空坐标,或用事件的时空点来代表事件,而不去关心事件的具体物理内容,即不去关心到底发生了什么事情 。
一个事件发生的时间和地点,称为该事件的时空坐标 。
24
时空变换,同一事件在两个惯性系中的时空坐标和之间的变换关系 。
不同形式的时空变换,涉及在不同参考系中对时间和空间的测量,代表不同的时空性质,
反映不同的时空观 。
x?
x
y y?
u?
z z?
O O?
),,,(
),,,(
tzyx
tzyxP
时空变换,),,,( tzyx ),,,( tzyx和 的关系
25
按照狭义相对论时空观,时空的变换关系应该用洛仑兹变换代替伽利略变换,而伽利略变换是洛仑兹变换在低速情况下的近似 。
实际上,相对论不应依赖于光速不变这一电磁学规律 。
相对性原理 +光速不变? 狭义相对论二,洛仑兹变换相对论可直接由相对性原理,空间的均匀和各向同性得到 。 但推导比较复杂 。
26
utxx
tuxx
当 u<<c,伽利略变换
)( utxx
)( tuxx
一般情况,时空变换 （ 线性变换 ） 的最简单形式为
tx,
S
u
S
x?
x
O?
O
tx,
同一事件,),(),,( txtx
11,要求 时,cu
为什么？
S 系
S 系
27
＝?因此，有
)( utxx
)( tuxx
S? 系和 S 系是惯性系，等价
ctx
tcx
即
c
xt
c
xt,
由相对性原理,
由光速不变原理确定?的形式,
28
)( tuxx
xcu
1?
x
c
ux?
x
c
u
2
2
2 1 －?
c
xt
c
xt,
utxcu
12?
xcucu?
112?
2
2
11
c
u－
)( utxx
于是，得
29
221
1
cu－
由式,解出)( tuxx
xx
ut?
1
utx
u
utxx
u
t 11)(1 2
x
c
utt
2?
即得
－ 洛仑兹因子
)( utxx用式 代入，得
1cu因要求 时,则取
30
211, cu设,洛仑兹变换可写成因 S 系和 S系只是在 x (x)轴方向上做相对运动，则有
zzyy,
x
c
tt
zz
yy
ctxx
x
c
tt
zz
yy
tcxx
＋
＋
uu
31
22
2
22
/1
/1
cu
x
c
u
t
t
zz
yy
cu
utx
x
22
2
22
/1
/1
cu
x
c
u
t
t
zz
yy
cu
tux
x
或写成
32
tt
zz
yy
utxx
－
伽利略变换
（ 绝对时空 ）
cu
洛仑兹 变换
（ 相对论时空 ）
zz
yy
cu
utxx
22
/1
22
2
/1 cu
xcut
t
伽利略变换是洛仑兹 变换的低速近似,
33
1892年 G.F.Fitzgerald 和 H.A.Lorentz 独立提出运动长度收缩的概念 。
三,关于狭义相对论的 主要的工作
1899年 H.A.Lorentz 从,以太,论出发,导出了 Lorentz 变换 。
1904年庞加莱提出物体质量随运动速度增加而增加,极限速度为光速 c。
1905年爱因斯坦?论动体的电动力学?给出相对论的物理基础 。 爱因斯坦的预言,其它人甚至都没想象过 。
34
35
§ 3 同时性的相对性和时间延缓时间的概念与同时性相连系。
一,同时性的相对性
relativity of simultaneity and time dilation
tx,1 tx,2
11,tx 22,tx
S
u
S
x?
x
O?
O
同时发生还同时发生吗？
1,用洛仑兹变换推导同时性的相对性
21 tt?？
36
)( 211 cuxtt
tx,1 tx,2
11,tx 22,tx
S
u
S
x?
x
O?
O
同时发生
21 tt?
不同时发生
021212 cuxxtt?
在 S系：
沿两个惯性系相对运动的方向配臵的两个事件
,若在一个惯性系中这两个事件同时发生,则在另一惯性系中观测,总是处于前一个惯性系运动后方的事件先发生 。
)(,222 cuxtt
先发生 后发生
37
2,通过特例说明
S uS
A Bc cM
x?x
理想的闪光实验不,光先到达 A
光同时到达 A和 B
在 S系中观测,事件 1先发生,闪光先到达 A
点,即,在运动后方的事件先发生 。
光速不变? 同时性的相对性
38
对不同参考系,沿相对速度方向配臵的同样的两个事件之间的时间间隔是不同的 。 时间的量度是相对的 。
但是,沿垂直于相对运动方向上发生的两个事件的同时性是绝对的
A
B
u
uS系S'系 B
A
3、时间的量度是相对的
39
二、时间延缓效应在另一相对观察者运动的惯性系中观测的这两个事件的时间间隔,称为 测时,用?t 代表 。
在相对观察者静止的惯性系中,同一地点先后发生的两个事件的时间间隔称为 原时,或 同地时,用?t 代表 。
按照 洛仑兹变换,有
)( xx
c
tt
零
tt
22 /1 cu
ttt
原时测时
—测时比原时长 时间延缓效应
40
在一个惯性系中观测,另一个做匀速直线运动的惯性系中同地发生的两个事件的时间间隔变大 。 这称为 时间延缓效应 。
因为任何过程都是由一系列相继发生的事件构成的,所以时间延缓效应表明：
例如,与 S系中一系列静止同步钟的,1秒,
相比,运动钟的,1秒,长? 动钟变慢 。
在对称情况下，时间延缓是相对的。
在一个惯性系中观测,运动惯性系中的任何过程 （ 包括物理,化学和生命过程 ） 的节奏变慢 。
41
在求解涉及同地发生的事件的问题时,为了计算方便一般应该,先确定哪个是原时 (同地时
),然后再找出对应的测时 。
【 例 】 飞船以 （ 32400km/h） 的速率相对地面飞行 。 飞船上的钟走了 5 秒,问用地面上的钟测量经过了几秒？
13 ms109u
原时 s5 t
s
cu
tt 0 0 0 0 0 0 0 0 2.5
103
1091
5
1 2
8
322
测时 =?
低速情况,时间延缓效应 很难发现！
定义事件
42
三、时间延缓效应的实验验证
子的寿命实验
子在高空大气顶层形成,静止平均寿命为
2.15?10－ 6s,速率为 0.995c,若无时间膨胀效应
,只能走 640m就消失了,地面观测不到 。
前可飞行 6400m,实际上可到达地面 。
衰变109 9 5.011 2在地面上看其寿命膨胀 倍，
B.Rossi,D.B.Hall 1941
43
【 例 】 孪生子佯谬和孪生子效应
1961年,美国斯坦福大学的海尔弗利克在分析大量实验数据的基础上提出,寿命可以用细胞分裂的次数乘以分裂的周期来推算 。 对于人来说细胞分裂的次数大约为 50次,而分裂的周期大约是 2.4年,照此计算,人的寿命应为 120岁 。 因此,用细胞分裂的周期可以代表生命过程的节奏 。
设想有一对孪生兄弟,哥哥告别弟弟乘宇宙飞船去太空旅行 。 在各自的参考系中,哥哥和弟弟的细胞分裂周期都是 2.4年 。 但由于时间延缓效应,在地球上的弟弟看来,飞船上的哥哥的细胞分裂周期要比 2.4年长
,他认为哥哥比自己年轻 。 而飞船上的哥哥认为弟弟的细胞分裂周期也变长,弟弟也比自己年轻 。
假如飞船返回地球兄弟相见,到底谁年轻就成了难以回答的问题 。
44
问题的关键是,时间延缓效应是狭义相对论的结果
,它要求飞船和地球同为惯性系 。 要想保持飞船和地球同为惯性系,哥哥和弟弟就只能永别,不可能面对面地比较谁年轻 。 这就是通常所说的 孪生子佯谬 （
twin paradox） 。
如果飞船返回地球则在往返过程中有加速度,飞船就不是惯性系了 。 这一问题的严格求解要用到广义相对论,计算结果是,兄弟相见时哥哥比弟弟年轻 。 这种现象,被称为 孪生子效应 。
1971年,美国空军用两组 Cs（ 铯 ） 原子钟做实验 。
发现绕地球一周的运动钟变慢了 203± 10ns,而按广义相对论预言运动钟变慢 184 ± 23 ns,在误差范围内理论值和实验值一致,验证了孪生子效应 。
45
§ 4 长度收缩 (length contraction)
一、测长和原长在 S 系中 运动杆 AB 的长度,是 同时测量
（ t1=t2） 杆的 A端和 B端的位臵 x1和 x2,并由下式给出
11,tx 22,tx
11,tx 22,tx
S
u
S
x?
x
O?
O
A B
长度的测量和同时性的概念密切相关：
12 xxl
46
测量运动杆的 A端和 B端这两个事件 同时发生,它们的空间位置间的距离,就是 S系中的杆长 。
例如,S系中运动 杆的长度是测长。
例如,S 系中静止杆的长度是原长。
测长,同时发生的两个事件的空间位臵间的距离 。
原长 （ 固有长度 ）,与测长对应的该两事件在另一参考系中的空间位臵的距离 。
事件 1,测量 A端坐标,事件 2,测量 B端坐标
47
【 思考 】 与运动方向垂直的长度收缩吗？
长度收缩是相对的,在 S 系中看,S系中静止杆也变短了 。
例如,在 S系中看,S 系中的杆 （ 运动杆 ）
变短了 。
原长最长，测长比原长短 —长度收缩效应
tull
二,用洛仑兹变换推导长度收缩效应
221 culll
测长原长零
l
48
真空中的光速,是实际物体速度的上限 。
若 u≥c，则测长为零或虚数，不合理。
221 cull
【 例 】 长度为 5m的飞船,相对地面的速度为
1-3 ms109?,在地面测量飞船长度（测长）为
m9 9 9 9 9 9 9 9 8.4
m)103/109(15 283
l?
长度收缩效应也很难测出。
求有关问题时 —先确定哪个是测长,再 找原长。
49
有因果 （ 有信息联系,vS≤c） 的两个事件,发生的先后次序 (因果性 ） 是绝对的,在任何惯性系中都不应颠倒 。
11,tx 22,tx
11,tx 22,tx
S
u
S
x?
x
O?
O
12 tt?
？
12 tt
vs 先后
ctt xxSv
21
12
信息联系
§ 5 因果性的绝对性
50
2122121 xxc
utttt?
在 S 系观察,先后次序不颠倒 。
21
12
221
1
tt
xx
c
utt?
sv
c
utt
221
1?
同号。)(
21 tt?
和 )(
21 tt，则cv,cu S因无因果 （ 无信息联系,vs可取任意值 ） 的两个事件,发生的先后次序在不同惯性系可能颠倒 。
但是证明：
51
洛仑兹变换矩阵如果把时间乘上常数 ic,则洛仑兹变换可以写成下面简洁形式一,洛仑兹变换矩阵
§ 6 洛仑兹协变矢量（补充）
下面证明,洛仑兹变换 矩阵是正交矩阵
i c t
z
y
x
i
i
tic
z
y
x
00
0100
0010
00
52
I
i
i
i
i
00
0100
0010
00
00
0100
0010
00
转臵矩阵因此,洛仑兹变换 是正交变换 。
二,洛仑兹 协变矢量按照 洛仑兹 变换的矢量,称为 洛仑兹 协变矢量,或称为四维矢量,四矢量 。
洛仑兹变换 矩阵是正交矩阵：
53
四矢量的微分 也是四 矢量，例如
Tddddd ticzyxX,,,?
是一个四 矢量 。
例如，一个事件的时空坐标
Ti ctzyxX,,,?
是一个洛仑兹 协变矢量用四矢量 [x,y,z,ict]T描述的时空，称为闵可夫斯基 （ Minkovski） 空间（四维空间）。
描述高速运动的粒子,用闵可夫斯基空间。
—时空四矢量 。
54
三,洛仑兹 变换不变量在 洛仑兹 变换下不改变的量,称为 洛仑兹 变换不变量,简称 不变量 。
四 矢量分量的平方和 （ 模方 ）,与参考系无关,是 洛仑兹 变换不变量 。
2
4
2
3
2
2
2
1
2
4
2
3
2
2
2
1 xxxxxxxx
T4321,,,xxxxX?若 为 四 矢量，则是不变量。 例如 事件时空坐标的 不变量为
2222222222 tczyxtczyx
55
2
4
2
3
2
2
2
1 xxxx
24232221 xxxx
4
3
2
1
4321
00
0100
0010
00
00
0100
0010
00
,,,
x
x
x
x
i
i
i
i
xxxx
证明：
1
4
3
2
1
4
3
2
1
00
0100
0010
00
x
x
x
x
i
i
x
x
x
x
56
四,,间隔,是不变量
])()()()[( 2212212212212 i c ti c tzzyyxxS
][)( 2212212212212 zzyyxxttc
222 rtc
事件 1,),,(
111,1 i ctzyx
,事件 2,),,(
222,2 i ctzyx
2222 rtcS
两个事件的,间隔,定义为,
T21212121 ticticzzyyxx因 为四矢量，则,
间隔,2S? 是不变量。
57
原时?t 为 不变量
（ 2） 异地同时发生的两事件的间隔
22222 )( rzyxS
（ 3） 用光信号联系的两事件的间隔
02S
222222 tt crcS
（ 1） 同地相继发生的两事件的间隔几种特殊情况下的间隔：
【 思考 】 杆在不同参考系中测长相等吗？
58
§ 7 相对论速度变换
Relativistic velocity transformation
一、速度的定义二,洛仑兹 变换?速度变换 （课下完成）
同一参考系中 坐标对时间的变化率
S系：
t
zv
t
yv
t
xv
zyx d
d
d
d
d
d,,
S'系：
t
zv
t
yv
t
xv
zyx?
d
d
d
d
d
d,,
59
相对论速度变换：
uvv
对 u<<c,vx<<c情况?伽里略速度变换
22
2
22
2
2
1
1
1
1
1
cu
c
uv
v
v
cu
c
uv
v
v
c
uv
uv
v
x
z
z
x
y
y
x
x
x
22
2
22
2
2
1
1
1
1
1
cu
c
vu
v
v
cu
c
vu
v
v
c
vu
uv
v
x
z
z
x
y
y
x
x
x
60
2
2
2
2
2
2
2
2222
)1(
)1)(1(
1 c
c
uv
c
v
c
u
vvvv
x
zyx
1、当 v = c时，得 v = c
与光速不变原理一致 。
2、当 v < c时，得 v < c
不可能通过参考系变换实现超光速 ！
讨论：
61
xx vvvv,
设3、对于一维运动
0 zyzy vvvv
【 例 】 追光实验
,
1
2c
u
u
v
vv
2
1
c
u
u
v
vv
c
c
uc
uc
c
uv
uv
v?
22 11
cv?
S S' u
c
火车
62
【 例 】 求 S系中光的速率和传播方向
x
y
z
0,,0 zyx vvv c
求 S系中的光速
（ 速率,方向 ）
S 系中的光速
63
u
c
u
u
c
vu
uvv
x
x
x
22
0
1
0
1
22
2
2
2
2
2
2
1
0
1
1
1
uc
c
u
c
u
c
c
u
c
vu
v
v
x
y
y
01
0
1
0
1
1
2
2
2
2
2
2
c
u
c
uc
u
c
vu
v
v
x
z
z
0,,22 zyx vucvuvS系中光速：
64
c
cdt 2 t?
c?c2-u2
2/
1
222
tu
d
t
t
u
c
c
u
u
c
u
uctg
光速不变是指光的 传播的速率不变,并非光的传播的方向不变 ！
u
